Geometrie

Eine Illustration des Desargues-Theorems, ein Ergebnis der euklidischen und projektiven Geometrie ⓘ

Die Geometrie (von altgriechisch γεωμετρία (geōmetría) 'Landvermessung'; von γῆ (gê) 'Erde, Land', und μέτρον (métron) 'ein Maß') ist neben der Arithmetik einer der ältesten Zweige der Mathematik. Sie befasst sich mit den Eigenschaften des Raums, die mit der Entfernung, der Form, der Größe und der relativen Position von Figuren zusammenhängen. Ein Mathematiker, der auf dem Gebiet der Geometrie arbeitet, wird Geometer genannt. ⓘ

Bis zum 19. Jahrhundert befasste sich die Geometrie fast ausschließlich mit der euklidischen Geometrie, die die Begriffe Punkt, Linie, Ebene, Abstand, Winkel, Fläche und Kurve als grundlegende Konzepte umfasst. ⓘ

Im 19. Jahrhundert haben mehrere Entdeckungen den Umfang der Geometrie dramatisch erweitert. Eine der ältesten dieser Entdeckungen ist Gauß' Theorema Egregium ("bemerkenswerter Satz"), das grob besagt, dass die Gaußsche Krümmung einer Fläche unabhängig von einer bestimmten Einbettung in einen euklidischen Raum ist. Dies impliziert, dass Oberflächen an sich, d. h. als eigenständige Räume, untersucht werden können, und wurde auf die Theorie der Mannigfaltigkeiten und der Riemannschen Geometrie ausgeweitet. ⓘ

Später im 19. Jahrhundert zeigte sich, dass Geometrien ohne das Parallelitätspostulat (nicht-euklidische Geometrien) entwickelt werden können, ohne dass ein Widerspruch entsteht. Die Geometrie, die der allgemeinen Relativitätstheorie zugrunde liegt, ist eine berühmte Anwendung der nicht-euklidischen Geometrie. ⓘ

Seitdem hat sich der Umfang der Geometrie stark erweitert, und das Gebiet hat sich in viele Untergebiete aufgeteilt, die von den zugrunde liegenden Methoden - Differentialgeometrie, algebraische Geometrie, Computergeometrie, algebraische Topologie, diskrete Geometrie (auch als kombinatorische Geometrie bekannt) usw. - oder von den Eigenschaften der euklidischen Geometrie abhängen. -oder auf den Eigenschaften der euklidischen Räume, die nicht berücksichtigt werden - projektive Geometrie, die nur die Ausrichtung der Punkte, nicht aber den Abstand und die Parallelität berücksichtigt, affine Geometrie, die den Begriff des Winkels und des Abstands weglässt, endliche Geometrie, die die Kontinuität weglässt, und andere. ⓘ

Ursprünglich entwickelt, um die physikalische Welt zu modellieren, findet die Geometrie in fast allen Wissenschaften Anwendung, aber auch in der Kunst, der Architektur und in anderen Bereichen, die mit Grafik zu tun haben. Die Geometrie findet auch in Bereichen der Mathematik Anwendung, die scheinbar nichts miteinander zu tun haben. So sind die Methoden der algebraischen Geometrie von grundlegender Bedeutung für den Beweis von Wiles' letztem Satz von Fermat, einem Problem, das in der elementaren Arithmetik formuliert wurde und mehrere Jahrhunderte lang ungelöst blieb. ⓘ

René Descartes, La Géometrie (Erstausgabe 1637) ⓘ

Axel Helsted, "Geometrie" ⓘ

Die Geometrie (altgriechisch γεωμετρία geometria, ionisch γεωμετρίη geometriē, ‚Erdmaße‘, ‚Erdmessung‘, ‚Landmessung‘) ist ein Teilgebiet der Mathematik. ⓘ

Andererseits umfasst der Begriff Geometrie eine Reihe von großen Teilgebieten der Mathematik, deren Bezug zur Elementargeometrie für Laien nur mehr schwer erkennbar ist. Dies gilt insbesondere für den modernen Begriff der Geometrie, der im Allgemeinen die Untersuchung invarianter Größen bezeichnet. ⓘ

Geschichte

Ein Europäer und ein Araber bei der Ausübung der Geometrie im 15. ⓘ

Die frühesten aufgezeichneten Anfänge der Geometrie lassen sich bis ins alte Mesopotamien und Ägypten im 2. Jahrtausend v. Chr. zurückverfolgen. Jahrtausend v. Chr. zurückverfolgt werden. Die frühe Geometrie war eine Sammlung empirisch ermittelter Prinzipien in Bezug auf Längen, Winkel, Flächen und Volumina, die entwickelt wurden, um einen praktischen Bedarf in der Vermessung, im Bauwesen, in der Astronomie und in verschiedenen Handwerksberufen zu decken. Die frühesten bekannten Texte zur Geometrie sind der ägyptische Rhind-Papyrus (2000-1800 v. Chr.) und der Moskauer Papyrus (ca. 1890 v. Chr.) sowie die babylonischen Tontafeln, wie Plimpton 322 (1900 v. Chr.). Der Moskauer Papyrus enthält zum Beispiel eine Formel zur Berechnung des Volumens eines Pyramidenstumpfs oder eines Kegelstumpfs. Spätere Tontafeln (350-50 v. Chr.) zeigen, dass babylonische Astronomen trapezförmige Verfahren zur Berechnung der Position und Bewegung des Jupiters im Zeit-Geschwindigkeits-Raum einsetzten. Diese geometrischen Verfahren nahmen die Oxford-Rechner, einschließlich des Satzes von der mittleren Geschwindigkeit, um 14 Jahrhunderte vorweg. Südlich von Ägypten etablierten die alten Nubier ein geometrisches System, das auch frühe Versionen von Sonnenuhren umfasste. ⓘ

Im 7. Jahrhundert v. Chr. nutzte der griechische Mathematiker Thales von Milet die Geometrie zur Lösung von Problemen wie der Berechnung der Höhe von Pyramiden und der Entfernung von Schiffen von der Küste. Ihm wird die erste Anwendung des deduktiven Denkens in der Geometrie zugeschrieben, indem er vier Folgerungen aus dem Thales-Theorem ableitete. Pythagoras gründete die Pythagoräische Schule, der der erste Beweis des Satzes von Pythagoras zugeschrieben wird, obwohl die Aussage des Satzes eine lange Geschichte hat. Eudoxus (408-c. 355 v. Chr.) entwickelte die Methode der Erschöpfung, die die Berechnung von Flächen und Volumina gekrümmter Figuren ermöglichte, sowie eine Theorie der Verhältnisse, die das Problem inkommensurabler Größen umging, wodurch die nachfolgenden Geometer bedeutende Fortschritte erzielen konnten. Um 300 v. Chr. wurde die Geometrie von Euklid revolutioniert, dessen Elemente, die weithin als das erfolgreichste und einflussreichste Lehrbuch aller Zeiten gelten, mathematische Strenge durch die axiomatische Methode einführten und das früheste Beispiel für das Format sind, das auch heute noch in der Mathematik verwendet wird, nämlich Definition, Axiom, Theorem und Beweis. Obwohl die meisten Inhalte der Elemente bereits bekannt waren, ordnete Euklid sie in einen einzigen, kohärenten logischen Rahmen ein. Die Elemente waren bis Mitte des 20. Jahrhunderts allen gebildeten Menschen im Westen bekannt, und ihr Inhalt wird auch heute noch im Geometrieunterricht gelehrt. Archimedes (ca. 287-212 v. Chr.) aus Syrakus benutzte die Methode der Erschöpfung, um die Fläche unter dem Bogen einer Parabel mit der Summierung einer unendlichen Reihe zu berechnen, und lieferte bemerkenswert genaue Näherungswerte für Pi. Er untersuchte auch die nach ihm benannte Spirale und erhielt Formeln für das Volumen von Rotationsflächen. ⓘ

Eine Frau unterrichtet Geometrie. Illustration am Anfang einer mittelalterlichen Übersetzung von Euklids Elementen (um 1310). ⓘ

Auch indische Mathematiker leisteten viele wichtige Beiträge zur Geometrie. Das Satapatha Brahmana (3. Jahrhundert v. Chr.) enthält Regeln für rituelle geometrische Konstruktionen, die den Sulba Sutras ähneln. Nach (Hayashi 2005, S. 363) enthalten die Śulba Sūtras "den frühesten erhaltenen verbalen Ausdruck des Satzes des Pythagoras in der Welt, obwohl er bereits den alten Babyloniern bekannt war. Sie enthalten Listen von pythagoreischen Tripeln, bei denen es sich um besondere Fälle von diophantischen Gleichungen handelt. Das Bakhshali-Manuskript enthält eine Handvoll geometrischer Probleme (einschließlich Problemen mit dem Volumen unregelmäßiger Körper). Das Bakhshali-Manuskript "verwendet auch ein dezimales Stellenwertsystem mit einem Punkt für die Null". Aryabhatas Aryabhatiya (499) enthält die Berechnung von Flächen und Volumen. Brahmagupta schrieb sein astronomisches Werk Brāhma Sphuṭa Siddhānta im Jahr 628. Kapitel 12, das 66 Sanskrit-Verse enthält, war in zwei Abschnitte unterteilt: "Grundlegende Operationen" (einschließlich Kubikwurzeln, Brüche, Verhältnisse und Proportionen sowie Tauschhandel) und "Praktische Mathematik" (einschließlich Mischen, mathematische Reihen, ebene Figuren, Stapeln von Ziegeln, Sägen von Holz und Stapeln von Getreide). Im letztgenannten Abschnitt stellte er sein berühmtes Theorem über die Diagonalen eines zyklischen Vierecks auf. Kapitel 12 enthielt auch eine Formel für die Fläche eines zyklischen Vierecks (eine Verallgemeinerung der Heronschen Formel) sowie eine vollständige Beschreibung rationaler Dreiecke (d. h. Dreiecke mit rationalen Seiten und rationalen Flächen). ⓘ

Im Mittelalter trug die Mathematik im mittelalterlichen Islam zur Entwicklung der Geometrie, insbesondere der algebraischen Geometrie, bei. Al-Mahani (geb. 853) hatte die Idee, geometrische Probleme wie die Verdoppelung des Würfels auf Probleme der Algebra zu reduzieren. Thābit ibn Qurra (im Lateinischen als Thebit bekannt) (836-901) befasste sich mit arithmetischen Operationen, die auf Verhältnisse geometrischer Größen angewandt wurden, und trug zur Entwicklung der analytischen Geometrie bei. Omar Khayyám (1048-1131) fand geometrische Lösungen für kubische Gleichungen. Die Theoreme von Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam und Nasir al-Din al-Tusi über Vierecke, einschließlich des Lambert-Vierecks und des Saccheri-Vierecks, waren frühe Ergebnisse der hyperbolischen Geometrie, und zusammen mit ihren alternativen Postulaten, wie dem Playfair-Axiom, hatten diese Arbeiten einen erheblichen Einfluss auf die Entwicklung der nicht-euklidischen Geometrie unter späteren europäischen Geometern, einschließlich Witelo (ca. 1230-c. 1314), dem ersten Geometer der Welt. 1230-c. 1314), Gersonides (1288-1344), Alfonso, John Wallis und Giovanni Girolamo Saccheri. ⓘ

Im frühen 17. Jahrhundert gab es zwei wichtige Entwicklungen in der Geometrie. Jahrhunderts gab es zwei wichtige Entwicklungen in der Geometrie: René Descartes (1596-1650) und Pierre de Fermat (1601-1665) schufen die analytische Geometrie, d. h. die Geometrie mit Koordinaten und Gleichungen. Dies war ein notwendiger Vorläufer für die Entwicklung der Infinitesimalrechnung und einer präzisen quantitativen Wissenschaft der Physik. Die zweite geometrische Entwicklung dieser Zeit war die systematische Untersuchung der projektiven Geometrie durch Girard Desargues (1591-1661). Die projektive Geometrie untersucht die Eigenschaften von Formen, die bei Projektionen und Schnitten unverändert bleiben, insbesondere im Hinblick auf die künstlerische Perspektive. ⓘ

Zwei Entwicklungen in der Geometrie im 19. Jahrhundert veränderten die Art und Weise, wie sie zuvor untersucht worden war. Dies waren die Entdeckung der nicht-euklidischen Geometrie durch Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski, János Bolyai und Carl Friedrich Gauß sowie die Formulierung der Symmetrie als zentrale Überlegung im Erlanger Programm von Felix Klein (das die euklidische und die nicht-euklidische Geometrie verallgemeinerte). Zwei der führenden Geometer dieser Zeit waren Bernhard Riemann (1826-1866), der vor allem mit den Mitteln der mathematischen Analyse arbeitete und die Riemannsche Fläche einführte, und Henri Poincaré, der Begründer der algebraischen Topologie und der geometrischen Theorie dynamischer Systeme. Infolge dieser bedeutenden Veränderungen in der Auffassung von Geometrie wurde der Begriff "Raum" zu einem reichhaltigen und vielfältigen Konzept, das den natürlichen Hintergrund für so unterschiedliche Theorien wie die komplexe Analyse und die klassische Mechanik bildet. ⓘ

Die wichtigsten Konzepte

Im Folgenden werden einige der wichtigsten Konzepte der Geometrie vorgestellt. ⓘ

Axiome

Eine Illustration von Euklids Parallelitätspostulat ⓘ

Euklid wählte in seinen Elementen, einem der einflussreichsten Bücher aller Zeiten, einen abstrakten Ansatz für die Geometrie. Euklid führte bestimmte Axiome oder Postulate ein, die primäre oder selbstverständliche Eigenschaften von Punkten, Linien und Ebenen ausdrücken. Anschließend leitete er weitere Eigenschaften durch mathematische Überlegungen ab. Euklids Ansatz in der Geometrie zeichnete sich durch seine Strenge aus und ist heute als axiomatische oder synthetische Geometrie bekannt. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts führte die Entdeckung nicht-euklidischer Geometrien durch Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauß (1777-1855) und andere zu einer Wiederbelebung des Interesses an dieser Disziplin, und im 20. Jahrhundert versuchte David Hilbert (1862-1943) mit Hilfe der Axiomatik eine moderne Grundlage für die Geometrie zu schaffen. ⓘ

Objekte

Punkte

Punkte gelten im Allgemeinen als grundlegende Objekte für den Aufbau der Geometrie. Sie können durch die Eigenschaften definiert werden, die sie haben müssen, wie in Euklids Definition als "das, was keinen Teil hat", oder in der synthetischen Geometrie. In der modernen Mathematik werden sie im Allgemeinen als Elemente einer Menge namens Raum definiert, die ihrerseits axiomatisch definiert ist. ⓘ

In diesen modernen Definitionen wird jede geometrische Form als eine Menge von Punkten definiert; dies ist in der synthetischen Geometrie nicht der Fall, in der eine Linie ein weiteres grundlegendes Objekt ist, das nicht als die Menge der Punkte betrachtet wird, durch die sie verläuft. ⓘ

Es gibt jedoch moderne Geometrien, in denen Punkte keine primitiven Objekte sind, oder sogar ohne Punkte. Eine der ältesten Geometrien dieser Art ist die punktfreie Geometrie von Whitehead, die 1919-1920 von Alfred North Whitehead formuliert wurde. ⓘ

Linien

Euklid beschrieb eine Linie als "Länge ohne Breite", die "in Bezug auf die Punkte auf ihr gleich liegt". In der modernen Mathematik ist der Begriff der Linie angesichts der Vielzahl von Geometrien eng mit der Art und Weise verbunden, wie die Geometrie beschrieben wird. So wird beispielsweise in der analytischen Geometrie eine Linie in der Ebene häufig als die Menge der Punkte definiert, deren Koordinaten eine bestimmte lineare Gleichung erfüllen, aber in einem abstrakteren Rahmen wie der Inzidenzgeometrie kann eine Linie ein unabhängiges Objekt sein, das sich von der Menge der Punkte, die auf ihr liegen, unterscheidet. In der Differentialgeometrie ist eine Geodäte eine Verallgemeinerung des Begriffs der Linie auf gekrümmte Räume. ⓘ

Ebenen

In der euklidischen Geometrie ist eine Ebene eine ebene, zweidimensionale Fläche, die sich unendlich ausdehnt; die Definitionen für andere Arten von Geometrien sind Verallgemeinerungen davon. Ebenen werden in vielen Bereichen der Geometrie verwendet. Beispielsweise können Ebenen als topologische Oberfläche ohne Bezug auf Abstände oder Winkel untersucht werden; sie können als affiner Raum untersucht werden, in dem Kollinearität und Verhältnisse untersucht werden können, nicht aber Abstände; sie können als komplexe Ebene mit Hilfe von Techniken der komplexen Analyse untersucht werden, und so weiter. ⓘ

Winkel

Euklid definiert einen ebenen Winkel als die Neigung zweier Linien zueinander in einer Ebene, die sich treffen und nicht gerade zueinander verlaufen. In modernen Begriffen ist ein Winkel die Figur, die von zwei Strahlen, den Seiten des Winkels, gebildet wird, die einen gemeinsamen Endpunkt, den Scheitelpunkt des Winkels, haben. ⓘ

Akute (a), stumpfe (b) und gerade (c) Winkel. Die spitzen und stumpfen Winkel werden auch als schräge Winkel bezeichnet. ⓘ

In der euklidischen Geometrie werden Winkel zur Untersuchung von Polygonen und Dreiecken verwendet und sind auch ein eigenständiger Untersuchungsgegenstand. Die Untersuchung der Winkel eines Dreiecks oder der Winkel eines Einheitskreises bildet die Grundlage der Trigonometrie. ⓘ

In der Differentialgeometrie und der Infinitesimalrechnung können die Winkel zwischen ebenen Kurven oder Raumkurven oder -flächen mit Hilfe der Ableitung berechnet werden. ⓘ

Kurven

Eine Kurve ist ein eindimensionales Objekt, das geradlinig (wie eine Linie) oder nicht geradlinig sein kann; Kurven im zweidimensionalen Raum werden als ebene Kurven und solche im dreidimensionalen Raum als Raumkurven bezeichnet. ⓘ

In der Topologie ist eine Kurve durch eine Funktion von einem Intervall der reellen Zahlen zu einem anderen Raum definiert. In der Differentialgeometrie wird die gleiche Definition verwendet, aber die definierende Funktion muss differenzierbar sein. Die algebraische Geometrie untersucht algebraische Kurven, die als algebraische Varietäten der Dimension 1 definiert sind. ⓘ

Flächen

Eine Kugel ist eine Fläche, die parametrisch (durch x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ) oder implizit (durch x² + y² + z² - r² = 0) definiert werden kann. ⓘ

Eine Fläche ist ein zweidimensionales Objekt, wie z. B. eine Kugel oder ein Paraboloid. In der Differentialgeometrie und der Topologie werden Oberflächen durch zweidimensionale "Flecken" (oder Nachbarschaften) beschrieben, die durch Diffeomorphismen bzw. Homöomorphismen zusammengesetzt werden. In der algebraischen Geometrie werden Flächen durch Polynomgleichungen beschrieben. ⓘ

Mannigfaltigkeiten

Eine Mannigfaltigkeit ist eine Verallgemeinerung der Konzepte von Kurve und Oberfläche. In der Topologie ist eine Mannigfaltigkeit ein topologischer Raum, in dem jeder Punkt eine Nachbarschaft hat, die homöomorph zum euklidischen Raum ist. In der Differentialgeometrie ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ein Raum, in dem jede Nachbarschaft diffeomorph zum euklidischen Raum ist. ⓘ

Mannigfaltigkeiten werden in der Physik ausgiebig verwendet, unter anderem in der allgemeinen Relativitätstheorie und der Stringtheorie. ⓘ

Länge, Fläche und Volumen

Länge, Fläche und Volumen beschreiben die Größe oder Ausdehnung eines Objekts in einer Dimension, zwei Dimensionen bzw. drei Dimensionen. ⓘ

In der euklidischen Geometrie und der analytischen Geometrie kann die Länge eines Liniensegments häufig mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. ⓘ

Fläche und Volumen können als fundamentale, von der Länge unabhängige Größen definiert werden, oder sie können anhand von Längen in einer Ebene oder im dreidimensionalen Raum beschrieben und berechnet werden. Mathematiker haben viele explizite Formeln für den Flächeninhalt und das Volumen von verschiedenen geometrischen Objekten gefunden. In der Infinitesimalrechnung können Fläche und Volumen durch Integrale definiert werden, z. B. das Riemann-Integral oder das Lebesgue-Integral. ⓘ

Metriken und Maße

Visuelle Überprüfung des Satzes von Pythagoras für das Dreieck (3, 4, 5) wie im Zhoubi Suanjing 500-200 v. Chr. Der Satz des Pythagoras ist eine Folge der euklidischen Metrik. ⓘ

Das Konzept der Länge oder des Abstands kann verallgemeinert werden, was zu der Idee der Metrik führt. So misst die euklidische Metrik beispielsweise den Abstand zwischen Punkten in der euklidischen Ebene, während die hyperbolische Metrik den Abstand in der hyperbolischen Ebene misst. Weitere wichtige Beispiele für Metriken sind die Lorentz-Metrik der speziellen Relativitätstheorie und die semi-Riemannsche Metrik der allgemeinen Relativitätstheorie. ⓘ

In einer anderen Richtung werden die Begriffe Länge, Fläche und Volumen durch die Maßtheorie erweitert, die Methoden untersucht, um Mengen eine Größe oder ein Maß zuzuweisen, wobei die Maße ähnlichen Regeln folgen wie die der klassischen Flächen und Volumen. ⓘ

Kongruenz und Ähnlichkeit

Kongruenz und Ähnlichkeit sind Konzepte, die beschreiben, wann zwei Formen ähnliche Merkmale aufweisen. In der euklidischen Geometrie wird Ähnlichkeit verwendet, um Objekte zu beschreiben, die die gleiche Form haben, während Kongruenz verwendet wird, um Objekte zu beschreiben, die sowohl in der Größe als auch in der Form gleich sind. Hilbert behandelte in seiner Arbeit zur Schaffung einer strengeren Grundlage für die Geometrie die Kongruenz als einen undefinierten Begriff, dessen Eigenschaften durch Axiome definiert werden. ⓘ

Kongruenz und Ähnlichkeit werden in der Transformationsgeometrie verallgemeinert, die die Eigenschaften geometrischer Objekte untersucht, die durch verschiedene Arten von Transformationen erhalten bleiben. ⓘ

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Die klassischen Geometer legten besonderes Augenmerk auf die Konstruktion von geometrischen Objekten, die auf andere Weise beschrieben worden waren. Die einzigen Instrumente, die bei den meisten geometrischen Konstruktionen verwendet wurden, waren der Zirkel und das Lineal. Außerdem musste jede Konstruktion in einer endlichen Anzahl von Schritten abgeschlossen werden. Es stellte sich jedoch heraus, dass einige Probleme mit diesen Mitteln allein schwer oder gar nicht zu lösen waren, und es wurden geniale Konstruktionen mit Neusis, Parabeln und anderen Kurven oder mechanischen Vorrichtungen gefunden. ⓘ

Dimension

Die Schneeflocke von Koch, mit fraktaler Dimension=log4/log3 und topologischer Dimension=1 ⓘ

Während die traditionelle Geometrie die Dimensionen 1 (eine Linie), 2 (eine Ebene) und 3 (unsere umgebende Welt, die als dreidimensionaler Raum aufgefasst wird) zuließ, haben Mathematiker und Physiker fast zwei Jahrhunderte lang höhere Dimensionen verwendet. Ein Beispiel für eine mathematische Verwendung höherer Dimensionen ist der Konfigurationsraum eines physikalischen Systems, dessen Dimension den Freiheitsgraden des Systems entspricht. Beispielsweise kann die Konfiguration einer Schraube durch fünf Koordinaten beschrieben werden. ⓘ

In der allgemeinen Topologie wurde der Begriff der Dimension von den natürlichen Zahlen auf unendliche Dimensionen (z. B. Hilbert-Räume) und positive reelle Zahlen (in der fraktalen Geometrie) erweitert. In der algebraischen Geometrie hat die Dimension einer algebraischen Varietät eine Reihe scheinbar unterschiedlicher Definitionen erhalten, die in den häufigsten Fällen alle gleichwertig sind. ⓘ

Symmetrie

Eine Kachel der hyperbolischen Ebene ⓘ

Das Thema Symmetrie in der Geometrie ist fast so alt wie die Wissenschaft der Geometrie selbst. Symmetrische Formen wie der Kreis, regelmäßige Vielecke und platonische Körper waren für viele antike Philosophen von großer Bedeutung und wurden schon vor Euklid eingehend untersucht. Symmetrische Muster kommen in der Natur vor und wurden in einer Vielzahl von Formen künstlerisch umgesetzt, darunter in den Grafiken von Leonardo da Vinci, M. C. Escher und anderen. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts wurde die Beziehung zwischen Symmetrie und Geometrie intensiv untersucht. Felix Kleins Erlanger Programm verkündete, dass die Symmetrie, ausgedrückt durch den Begriff der Transformationsgruppe, in einem sehr genauen Sinne bestimmt, was Geometrie ist. In der klassischen euklidischen Geometrie wird Symmetrie durch Kongruenzen und starre Bewegungen dargestellt, während in der projektiven Geometrie eine analoge Rolle von Kollineationen gespielt wird, geometrischen Transformationen, die Geraden in Geraden verwandeln. In den neuen Geometrien von Bolyai und Lobachevsky, Riemann, Clifford und Klein sowie Sophus Lie fand Kleins Idee, "eine Geometrie über ihre Symmetriegruppe zu definieren", ihre Inspiration. Sowohl diskrete als auch kontinuierliche Symmetrien spielen in der Geometrie eine wichtige Rolle, erstere in der Topologie und der geometrischen Gruppentheorie, letztere in der Lie-Theorie und der Riemannschen Geometrie. ⓘ

Eine andere Art von Symmetrie ist das Prinzip der Dualität, das unter anderem in der projektiven Geometrie gilt. Dieses Meta-Phänomen lässt sich grob wie folgt beschreiben: Ersetzen Sie in einem beliebigen Satz Punkt mit Ebene, verbinden Sie mit treffen, liegt in mit enthält, und das Ergebnis ist ein ebenso wahrer Satz. Eine ähnliche und eng verwandte Form der Dualität besteht zwischen einem Vektorraum und seinem Dualraum. ⓘ

Zeitgenössische Geometrie

Euklidische Geometrie

Die euklidische Geometrie ist die Geometrie im klassischen Sinne. Da sie den Raum der physikalischen Welt modelliert, wird sie in vielen wissenschaftlichen Bereichen wie Mechanik, Astronomie und Kristallographie sowie in vielen technischen Bereichen wie Ingenieurwesen, Architektur, Geodäsie, Aerodynamik und Navigation verwendet. Zu den obligatorischen Lehrplänen der meisten Länder gehört das Studium der euklidischen Konzepte wie Punkte, Linien, Ebenen, Winkel, Dreiecke, Kongruenz, Ähnlichkeit, feste Figuren, Kreise und analytische Geometrie. ⓘ

Differentialgeometrie

Die Differentialgeometrie nutzt die Werkzeuge der Infinitesimalrechnung, um Probleme mit Krümmungen zu untersuchen. ⓘ

Die Differentialgeometrie nutzt Techniken der Infinitesimalrechnung und der linearen Algebra zur Untersuchung geometrischer Probleme. Sie findet u. a. in der Physik, Ökonometrie und Bioinformatik Anwendung. ⓘ

Insbesondere ist die Differentialgeometrie für die mathematische Physik von Bedeutung, da Albert Einstein die allgemeine Relativitätstheorie aufgestellt hat, nach der das Universum gekrümmt ist. Die Differentialgeometrie kann entweder intrinsisch sein (was bedeutet, dass es sich bei den betrachteten Räumen um glatte Mannigfaltigkeiten handelt, deren geometrische Struktur durch eine Riemannsche Metrik bestimmt wird, die festlegt, wie Abstände in der Nähe jedes Punktes gemessen werden) oder extrinsisch (wenn das untersuchte Objekt ein Teil eines umgebenden flachen euklidischen Raums ist). ⓘ

Nicht-euklidische Geometrie

Die euklidische Geometrie war nicht die einzige historische Form der Geometrie, die untersucht wurde. Die sphärische Geometrie wurde lange Zeit von Astronomen, Astrologen und Seefahrern verwendet. ⓘ

Immanuel Kant vertrat die Auffassung, dass es nur eine einzige, absolute Geometrie gibt, die a priori durch ein inneres Geistesvermögen als wahr erkannt wird: Die euklidische Geometrie sei synthetisch a priori. Diese Ansicht wurde zunächst von Denkern wie Saccheri in Frage gestellt und schließlich durch die revolutionäre Entdeckung der nicht-euklidischen Geometrie in den Werken von Bolyai, Lobachevsky und Gauß (der seine Theorie nie veröffentlichte) umgestoßen. Sie zeigten, dass der gewöhnliche euklidische Raum nur eine Möglichkeit für die Entwicklung der Geometrie ist. Eine umfassende Vision des Themas Geometrie brachte Riemann dann in seiner Antrittsvorlesung von 1867 Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, zum Ausdruck, die erst nach seinem Tod veröffentlicht wurde. Riemanns neue Vorstellung vom Raum erwies sich als entscheidend für Albert Einsteins allgemeine Relativitätstheorie. Die Riemannsche Geometrie, die sehr allgemeine Räume betrachtet, in denen der Begriff der Länge definiert ist, ist ein Grundpfeiler der modernen Geometrie. ⓘ

Topologie

Eine Verdickung des Kleeblattknotens ⓘ

Die Topologie befasst sich mit den Eigenschaften kontinuierlicher Abbildungen und kann als eine Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie angesehen werden. In der Praxis bedeutet Topologie oft, dass man sich mit großräumigen Eigenschaften von Räumen befasst, wie z. B. Geschlossenheit und Kompaktheit. ⓘ

Das Gebiet der Topologie, das sich im 20. Jahrhundert massiv weiterentwickelt hat, ist in einem technischen Sinne eine Art Transformationsgeometrie, bei der Transformationen Homöomorphismen sind. Dies wurde oft in Form des Spruchs "Topologie ist Gummiplattengeometrie" ausgedrückt. Zu den Untergebieten der Topologie gehören die geometrische Topologie, die Differentialtopologie, die algebraische Topologie und die allgemeine Topologie. ⓘ

Algebraische Geometrie

Quintische Calabi-Yau-Dreifaltigkeit ⓘ

Das Gebiet der algebraischen Geometrie entwickelte sich aus der kartesischen Geometrie der Koordinaten. Sie erlebte periodische Wachstumsphasen, die u. a. mit der Schaffung und Untersuchung von projektiver Geometrie, birationaler Geometrie, algebraischen Varietäten und kommutativer Algebra einhergingen. Von den späten 1950er bis Mitte der 1970er Jahre erfuhr die Geometrie eine bedeutende Entwicklung, die vor allem auf die Arbeiten von Jean-Pierre Serre und Alexander Grothendieck zurückzuführen ist. Dies führte zur Einführung von Schemata und zur stärkeren Betonung topologischer Methoden, einschließlich verschiedener Kohomologie-Theorien. Eines der sieben Millenniumspreis-Probleme, die Hodge-Vermutung, ist eine Frage der algebraischen Geometrie. Wiles' Beweis von Fermats letztem Satz verwendet fortgeschrittene Methoden der algebraischen Geometrie, um ein altes Problem der Zahlentheorie zu lösen. ⓘ

Im Allgemeinen untersucht die algebraische Geometrie die Geometrie durch die Verwendung von Konzepten der kommutativen Algebra, wie z. B. multivariate Polynome. Sie findet in vielen Bereichen Anwendung, unter anderem in der Kryptographie und der Stringtheorie. ⓘ

Komplexe Geometrie

Die komplexe Geometrie untersucht die Beschaffenheit geometrischer Strukturen, die auf der komplexen Ebene modelliert sind oder aus ihr hervorgehen. Die komplexe Geometrie liegt an der Schnittstelle zwischen Differentialgeometrie, algebraischer Geometrie und der Analysis mehrerer komplexer Variablen und hat Anwendungen in der Stringtheorie und der Spiegelsymmetrie gefunden. ⓘ

Die komplexe Geometrie erschien erstmals als eigenständiges Studiengebiet in der Arbeit von Bernhard Riemann in seiner Studie über Riemannsche Flächen. Die Arbeiten im Geiste von Riemann wurden von der italienischen Schule der algebraischen Geometrie in den frühen 1900er Jahren durchgeführt. Die zeitgenössische Behandlung der komplexen Geometrie begann mit der Arbeit von Jean-Pierre Serre, der das Konzept der Garben in das Fach einführte und die Beziehungen zwischen komplexer Geometrie und algebraischer Geometrie beleuchtete. Die wichtigsten Studienobjekte der komplexen Geometrie sind komplexe Mannigfaltigkeiten, komplexe algebraische Varietäten und komplexe analytische Varietäten sowie holomorphe Vektorbündel und kohärente Garben über diesen Räumen. Besondere Beispiele für Räume, die in der komplexen Geometrie untersucht werden, sind Riemannsche Flächen und Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten, und diese Räume werden in der Stringtheorie verwendet. Insbesondere die Weltenblätter von Strings werden durch Riemann-Flächen modelliert, und die Superstring-Theorie sagt voraus, dass die zusätzlichen sechs Dimensionen der zehndimensionalen Raumzeit durch Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten modelliert werden können. ⓘ

Diskrete Geometrie

Die diskrete Geometrie umfasst die Untersuchung verschiedener Kugelpackungen. ⓘ

Die diskrete Geometrie ist ein Fach, das eng mit der konvexen Geometrie verbunden ist. Sie befasst sich hauptsächlich mit Fragen der relativen Lage einfacher geometrischer Objekte wie Punkte, Linien und Kreise. Beispiele sind die Untersuchung von Kugelpackungen, Triangulationen, die Kneser-Poulsen-Vermutung usw. Sie hat viele Methoden und Prinzipien mit der Kombinatorik gemeinsam. ⓘ

Computergestützte Geometrie

Die rechnergestützte Geometrie befasst sich mit Algorithmen und ihren Implementierungen zur Bearbeitung geometrischer Objekte. Zu den wichtigsten Problemen in der Vergangenheit gehören das Problem des reisenden Händlers, minimale Spannbäume, das Entfernen verdeckter Linien und die lineare Programmierung. ⓘ

Obwohl es sich um ein junges Gebiet der Geometrie handelt, gibt es zahlreiche Anwendungen in den Bereichen Computer Vision, Bildverarbeitung, computergestütztes Design, medizinische Bildgebung usw. ⓘ

Geometrische Gruppentheorie

Der Cayley-Graph der freien Gruppe mit zwei Generatoren a und b ⓘ

In der geometrischen Gruppentheorie werden geometrische Techniken in großem Maßstab eingesetzt, um endlich erzeugte Gruppen zu untersuchen. Sie ist eng mit der niedrigdimensionalen Topologie verbunden, wie z. B. in Grigori Perelmans Beweis der Geometrisierungsvermutung, die den Beweis der Poincaré-Vermutung, ein Millenniumspreis-Problem, beinhaltet. ⓘ

Die geometrische Gruppentheorie dreht sich häufig um den Cayley-Graphen, eine geometrische Darstellung einer Gruppe. Weitere wichtige Themen sind Quasi-Isometrien, Gromov-hyperbolische Gruppen und rechtwinklige Artin-Gruppen. ⓘ

Konvexe Geometrie

Die konvexe Geometrie untersucht konvexe Formen im euklidischen Raum und seinen abstrakteren Entsprechungen, wobei häufig Techniken der realen Analyse und der diskreten Mathematik verwendet werden. Sie steht in engem Zusammenhang mit der Konvexitätsanalyse, der Optimierung und der Funktionalanalysis sowie wichtigen Anwendungen in der Zahlentheorie. ⓘ

Die konvexe Geometrie geht auf das Altertum zurück. Archimedes gab die erste bekannte genaue Definition der Konvexität. Das isoperimetrische Problem, ein immer wiederkehrendes Konzept in der konvexen Geometrie, wurde auch von den Griechen, einschließlich Zenodorus, untersucht. Archimedes, Platon, Euklid und später auch Kepler und Coxeter untersuchten konvexe Polytope und ihre Eigenschaften. Seit dem 19. Jahrhundert haben sich die Mathematiker mit anderen Bereichen der konvexen Mathematik befasst, darunter höherdimensionale Polytope, Volumen und Flächeninhalt konvexer Körper, Gaußsche Krümmung, Algorithmen, Kacheln und Gitter. ⓘ

Anwendungen

Die Geometrie hat in vielen Bereichen Anwendungen gefunden, von denen einige im Folgenden beschrieben werden. ⓘ

Kunst

Bou Inania Madrasa, Fes, Marokko, zellige Mosaikfliesen, die kunstvolle geometrische Mosaike bilden ⓘ

Mathematik und Kunst sind auf vielfältige Weise miteinander verbunden. So hat beispielsweise die Theorie der Perspektive gezeigt, dass die Geometrie mehr umfasst als nur die metrischen Eigenschaften von Figuren: Die Perspektive ist der Ursprung der projektiven Geometrie. ⓘ

Künstler verwenden seit langem Konzepte der Proportion in der Gestaltung. Vitruv entwickelte eine komplizierte Theorie der idealen Proportionen für die menschliche Figur. Diese Konzepte wurden von Künstlern von Michelangelo bis zu modernen Comic-Zeichnern verwendet und angepasst. ⓘ

Der Goldene Schnitt ist eine besondere Proportion, die in der Kunst eine umstrittene Rolle gespielt hat. Oft wird behauptet, er sei das ästhetisch ansprechendste Längenverhältnis, und es wird häufig behauptet, er sei in berühmten Kunstwerken enthalten, obwohl die zuverlässigsten und eindeutigsten Beispiele von Künstlern, die sich dieser Legende bewusst waren, absichtlich geschaffen wurden. ⓘ

Kacheln oder Mosaike wurden im Laufe der Geschichte immer wieder in der Kunst verwendet. In der islamischen Kunst werden häufig Mosaike verwendet, ebenso wie in der Kunst von M. C. Escher. Escher nutzte in seinen Werken auch die hyperbolische Geometrie. ⓘ

Cézanne stellte die Theorie auf, dass alle Bilder aus der Kugel, dem Kegel und dem Zylinder aufgebaut werden können. Diese Theorie wird auch heute noch in der Kunsttheorie verwendet, obwohl die genaue Liste der Formen von Autor zu Autor variiert. ⓘ

Architektur

Die Geometrie hat viele Anwendungen in der Architektur. Es wird sogar behauptet, dass die Geometrie den Kern der architektonischen Gestaltung bildet. Zu den Anwendungen der Geometrie in der Architektur gehören die Verwendung der projektiven Geometrie zur Schaffung einer erzwungenen Perspektive, die Verwendung von Kegelschnitten bei der Konstruktion von Kuppeln und ähnlichen Objekten, die Verwendung von Mosaiken und die Verwendung der Symmetrie. ⓘ

Physik

Das Gebiet der Astronomie, insbesondere im Zusammenhang mit der Kartierung der Positionen von Sternen und Planeten auf der Himmelskugel und der Beschreibung der Beziehung zwischen den Bewegungen von Himmelskörpern, war im Laufe der Geschichte eine wichtige Quelle für geometrische Probleme. ⓘ

Die Riemannsche Geometrie und die Pseudo-Riemannsche Geometrie werden in der allgemeinen Relativitätstheorie verwendet. Die Stringtheorie nutzt mehrere Varianten der Geometrie, ebenso wie die Quanteninformationstheorie. ⓘ

Andere Bereiche der Mathematik

Die Pythagoräer entdeckten, dass die Seiten eines Dreiecks inkommensurable Längen haben können. ⓘ

Die Kalkulation wurde stark von der Geometrie beeinflusst. Die Einführung der Koordinaten durch René Descartes und die gleichzeitige Entwicklung der Algebra markierten eine neue Etappe für die Geometrie, da geometrische Figuren wie ebene Kurven nun analytisch in Form von Funktionen und Gleichungen dargestellt werden konnten. Dies spielte eine Schlüsselrolle bei der Entstehung der Infinitesimalrechnung im 17. Jahrhundert. Die analytische Geometrie ist nach wie vor eine wichtige Säule des Lehrplans für die Vorkalkulation und die Infinitesimalrechnung. ⓘ

Ein weiterer wichtiger Anwendungsbereich ist die Zahlentheorie. Im antiken Griechenland befassten sich die Pythagoräer mit der Rolle der Zahlen in der Geometrie. Die Entdeckung der inkommensurablen Längen widersprach jedoch ihren philosophischen Ansichten. Seit dem 19. Jahrhundert wird die Geometrie zur Lösung von Problemen in der Zahlentheorie verwendet, z. B. durch die Geometrie der Zahlen oder, in jüngerer Zeit, die Schematheorie, die in Wiles' Beweis von Fermats letztem Satz verwendet wird. ⓘ

Geschichte der deutschsprachigen Geometrieliteratur

Die älteste erhaltene Geometrieabhandlung in deutscher Sprache stammt vom Beginn des 15. Jahrhunderts. Es handelt sich dabei um die sogenannte Geometria Culmensis, welche im Auftrag des Deutschorden-Hochmeisters Konrad von Jungingen im Raum Culm verfasst worden ist und neben dem, im Wesentlichen auf der Practica geometriae des Dominicus de Calvasio beruhenden, lateinischen Text auch dessen deutsche Übersetzung enthält. Als erstes gedrucktes und eigenständiges Geometriebuch in deutscher Sprache gilt Albrecht Dürers Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt in Linien ebnen unnd gantzen corporen aus dem Jahre 1525. ⓘ

Sätze

Die Aussagen werden in Sätzen formuliert. ⓘ

Grundlegende Sätze:

• Satz des Pythagoras und davon abgeleitet der Kosinussatz sowie der Trigonometrische Pythagoras ⓘ

Benennungen

Nach der Geometrie wurde der Asteroid (376) Geometria benannt. ⓘ