Viereck

Viereck ⓘ
Einige Arten von Vierecken
Kanten und Scheitelpunkte	4
Schläfli-Symbol	{4} (für Quadrat)
Fläche	verschiedene Methoden; siehe unten
Innenwinkel (Grad)	90° (für Quadrat und Rechteck)

In der Geometrie ist ein Viereck ein vierseitiges Vieleck mit vier Kanten (Seiten) und vier Ecken (Scheitelpunkten). Das Wort leitet sich von den lateinischen Wörtern quadri, eine Variante von vier, und latus, was "Seite" bedeutet, ab. Es wird auch als Tetragon bezeichnet, abgeleitet vom griechischen Wort "tetra" für "vier" und "gon" für "Ecke" oder "Winkel", in Analogie zu anderen Polygonen (z. B. Fünfeck). Da "gon" "Winkel" bedeutet, wird es analog dazu auch als Viereck oder 4-Winkel bezeichnet. Ein Viereck mit den Eckpunkten $A$, $B$, $C$ und $D$ wird manchmal bezeichnet als $\square ABCD$. ⓘ

Vierecke sind entweder einfach (sich nicht selbst schneidend) oder komplex (sich selbst schneidend oder gekreuzt). Einfache Vierecke sind entweder konvex oder konkav. ⓘ

Die Innenwinkel eines einfachen (und ebenen) Vierecks ABCD addieren sich zu 360 Bogengraden, d. h.

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.$ ⓘ

Dies ist ein Spezialfall der Formel für die Innenwinkelsumme von n-Gonen: S = (n - 2) × 180°. ⓘ

Alle sich nicht selbst kreuzenden Vierecke kacheln die Ebene durch wiederholte Drehung um die Mittelpunkte ihrer Kanten. ⓘ

Einige Typen von Vierecken ⓘ

Einfache Vierecke

Jedes Viereck, das sich nicht selbst schneidet, ist ein einfaches Viereck. ⓘ

Konvexes Viereck

Euler-Diagramm einiger Arten von einfachen Vierecken. (UK) steht für britisches Englisch und (US) für amerikanisches Englisch. ⓘ

Konvexe Vierecke durch Symmetrie, dargestellt mit einem Hasse-Diagramm. ⓘ

In einem konvexen Viereck sind alle Innenwinkel kleiner als 180°, und die beiden Diagonalen liegen beide im Inneren des Vierecks.

• Unregelmäßiges Viereck (britisches Englisch) oder Trapez (nordamerikanisches Englisch): keine Seiten sind parallel. (Im britischen Englisch wurde dies früher als Trapez bezeichnet. Mehr dazu unter Trapezoid § Trapezium vs Trapezoid)
• Trapezium (UK) oder Trapezoid (US): mindestens ein Paar gegenüberliegender Seiten ist parallel. Trapeze (UK) und Trapezoide (US) schließen Parallelogramme ein.
• Gleichschenkliges Trapez (UK) oder gleichschenkliges Trapez (US): Ein Paar gegenüberliegender Seiten ist parallel und die Basiswinkel sind gleich groß. Alternative Definitionen sind ein Viereck mit einer Symmetrieachse, die ein Paar gegenüberliegende Seiten halbiert, oder ein Trapez mit gleich langen Diagonalen.
• Parallelogramm: Ein Viereck mit zwei parallelen Seitenpaaren. Gleichwertige Bedingungen sind, dass die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind, dass die gegenüberliegenden Winkel gleich sind oder dass die Diagonalen einander halbieren. Zu den Parallelogrammen gehören Rauten (einschließlich der Rechtecke, die als Quadrate bezeichnet werden) und Rhomben (einschließlich der Rechtecke, die als Rechtecke bezeichnet werden). Mit anderen Worten: Parallelogramme umfassen alle Rauten und alle Rhomben und somit auch alle Rechtecke.
• Rhombus, Raute: Alle vier Seiten sind gleich lang (gleichseitig). Eine gleichwertige Bedingung ist, dass sich die Diagonalen senkrecht halbieren. Informell: "ein umgestülptes Quadrat" (schließt aber streng genommen auch ein Quadrat ein).
• Rhomboid: ein Parallelogramm, bei dem die benachbarten Seiten ungleich lang sind und einige Winkel schräg sind (gleichbedeutend mit: keine rechten Winkel haben). Informell: "ein umgestülptes Rechteck". Nicht alle Referenzen stimmen überein, einige definieren ein Rhomboid als ein Parallelogramm, das kein Rhombus ist.
• Rechteck: Alle vier Winkel sind rechtwinklig (gleichwinklig). Eine gleichwertige Bedingung ist, dass die Diagonalen einander halbieren und gleich lang sind. Zu den Rechtecken gehören auch Quadrate und Rechtecke. Informell: "ein Kasten oder ein Rechteck" (einschließlich eines Quadrats).
• Quadrat (regelmäßiges Viereck): Alle vier Seiten sind gleich lang (gleichseitig), und alle vier Winkel sind rechtwinklig. Eine gleichwertige Bedingung ist, dass die gegenüberliegenden Seiten parallel sind (ein Quadrat ist ein Parallelogramm) und dass die Diagonalen einander senkrecht halbieren und gleich lang sind. Ein Viereck ist dann und nur dann ein Quadrat, wenn es sowohl eine Raute als auch ein Rechteck ist (d. h. vier gleiche Seiten und vier gleiche Winkel).
• Oblong: länger als breit oder breiter als lang (d. h. ein Rechteck, das kein Quadrat ist).
• Drachen: zwei Paare von benachbarten Seiten sind gleich lang. Dies bedeutet, dass eine Diagonale den Drachen in kongruente Dreiecke unterteilt und dass die Winkel zwischen den beiden Paaren gleicher Seiten gleich groß sind. Dies bedeutet auch, dass die Diagonalen senkrecht zueinander stehen. Zu den Drachen gehören auch Rhomben. ⓘ

• Tangentialviereck: Die vier Seiten sind Tangenten an einen Inkreis. Ein konvexes Viereck ist dann und nur dann tangential, wenn die gegenüberliegenden Seiten gleiche Beträge haben.
• Tangentiales Trapez: ein Trapez, dessen vier Seiten einen Inkreis tangieren.
• Zyklisches Viereck: Die vier Scheitelpunkte liegen auf einem Umkreis. Ein konvexes Viereck ist dann und nur dann zyklisch, wenn die Summe der gegenüberliegenden Winkel 180° beträgt.
• Rechtwinkliges Viereck: ein Viereck mit zwei gegenüberliegenden rechten Winkeln. Er ist eine Art von zyklischem Viereck.
• Harmonisches Viereck: Die Produkte der Längen der gegenüberliegenden Seiten sind gleich. Es ist eine Art zyklisches Viereck.
• Bizentrisches Viereck: Es ist sowohl tangential als auch zyklisch.
• Orthodiagonales Viereck: Die Diagonalen kreuzen sich in rechten Winkeln.
• Äquidiagonales Viereck: Die Diagonalen sind gleich lang.
• Ex-tangentiales Viereck: Die vier Verlängerungen der Seiten tangieren einen Exkreis.
• Ein gleichseitiges Viereck hat zwei gegenüberliegende gleiche Seiten, die sich in der Verlängerung unter 60° treffen.
• Ein Watt-Viereck ist ein Viereck mit einem Paar gegenüberliegender Seiten gleicher Länge.
• Ein quadratisches Viereck ist ein konvexes Viereck, dessen vier Eckpunkte alle auf dem Umfang eines Quadrats liegen.
• Ein diametrisches Viereck ist ein zyklisches Viereck, bei dem eine seiner Seiten ein Durchmesser des Umkreises ist.
• Ein Hjelmslev-Viereck ist ein Viereck mit zwei rechten Winkeln an gegenüberliegenden Scheitelpunkten. ⓘ

Konkave Vierecke

Bei einem konkaven Viereck ist ein Innenwinkel größer als 180°, und eine der beiden Diagonalen liegt außerhalb des Vierecks.

• Ein Dart (oder eine Pfeilspitze) ist ein konkaves Viereck mit bilateraler Symmetrie wie ein Drachen, bei dem jedoch ein Innenwinkel reflexartig ist. Siehe Drache. ⓘ

Komplexe Vierecke

Ein Antiparallelogramm ⓘ

Ein sich selbst schneidendes Viereck wird auch als Kreuzviereck, gekreuztes Viereck, Schmetterlingsviereck oder Schleifenviereck bezeichnet. Bei einem gekreuzten Viereck addieren sich die vier "inneren" Winkel auf beiden Seiten der Kreuzung (zwei spitze und zwei spiegelbildliche, alle auf der linken oder rechten Seite, je nachdem, wie die Figur nachgezeichnet wird) zu 720°. ⓘ

• Gekreuztes Trapez (US) oder Trapezium (Commonwealth): ein gekreuztes Viereck, bei dem ein Paar der nicht benachbarten Seiten parallel ist (wie ein Trapez)
• Antiparallelogramm: ein gekreuztes Viereck, bei dem jedes Paar nicht benachbarter Seiten gleich lang ist (wie ein Parallelogramm)
• Gekreuztes Rechteck: ein Antiparallelogramm, dessen Seiten zwei gegenüberliegende Seiten und die beiden Diagonalen eines Rechtecks sind, das also ein Paar parallele gegenüberliegende Seiten hat
• Gekreuztes Quadrat: ein Spezialfall eines gekreuzten Rechtecks, bei dem sich zwei der Seiten im rechten Winkel schneiden ⓘ

Besondere Linienabschnitte

Die beiden Diagonalen eines konvexen Vierecks sind die Liniensegmente, die gegenüberliegende Eckpunkte miteinander verbinden. ⓘ

Die beiden Bimediane eines konvexen Vierecks sind die Linienabschnitte, die die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten verbinden. Sie schneiden sich im "Scheitelpunkt" des Vierecks (siehe § Bemerkenswerte Punkte und Linien in einem konvexen Viereck unten). ⓘ

Die vier Maltituden eines konvexen Vierecks sind die Senkrechten zu einer Seite durch den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. ⓘ

Flächeninhalt eines konvexen Vierecks

Es gibt verschiedene allgemeine Formeln für den Flächeninhalt K eines konvexen Vierecks ABCD mit den Seiten a = AB, b = BC, c = CD und d = DA. ⓘ

Trigonometrische Formeln

Der Flächeninhalt kann trigonometrisch ausgedrückt werden als

$K={\frac {pq}{2}}\sin \theta ,$ ⓘ

wobei die Längen der Diagonalen p und q sind und der Winkel zwischen ihnen θ ist. Im Falle eines orthodiagonalen Vierecks (z. B. Rhombus, Quadrat und Drachen) reduziert sich diese Formel auf $K={\tfrac {pq}{2}}$ da θ 90° ist. ⓘ

Die Fläche kann auch in Form von Bimedianen ausgedrückt werden als

$K=mn\sin \varphi ,$

wobei die Längen der Bimediane m und n sind und der Winkel zwischen ihnen φ ist. ⓘ

Die Bretschneider-Formel drückt die Fläche in Form von Seiten und zwei gegenüberliegenden Winkeln aus:

${\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\frac {A+C}{2}}\right)\right]}}\end{aligned}}$ ⓘ

Dabei sind die Seiten nacheinander a, b, c, d, wobei s der Halbmesser ist und A und C zwei (eigentlich zwei beliebige) gegenüberliegende Winkel sind. Dies führt zu Brahmaguptas Formel für den Flächeninhalt eines zyklischen Vierecks - wenn A + C = 180°. ⓘ

Eine andere Flächenformel für die Seiten und Winkel, wobei der Winkel C zwischen den Seiten b und c und A zwischen den Seiten a und d liegt, lautet

$K={\frac {ad}{2}}\sin {A}+{\frac {bc}{2}}\sin {C}.$ ⓘ

Im Falle eines zyklischen Vierecks lautet die letztgenannte Formel $K={\frac {ad+bc}{2}}\sin {A}.$ ⓘ

Bei einem Parallelogramm, bei dem beide Paare von gegenüberliegenden Seiten und Winkeln gleich sind, reduziert sich diese Formel auf $K=ab\cdot \sin {A}.$ ⓘ

Alternativ kann man den Flächeninhalt auch in Form der Seiten und des Schnittwinkels θ der Diagonalen angeben, solange θ nicht 90° beträgt:

$K={\frac {\left|\tan \theta \right|}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.$ ⓘ

Im Falle eines Parallelogramms lautet diese Formel $K={\frac {\left|\tan \theta \right|}{2}}\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.$ ⓘ

Eine andere Flächenformel mit den Seiten a, b, c, d lautet

$K={\frac {\sqrt {((a^{2}+c^{2})-2x^{2})((b^{2}+d^{2})-2x^{2})}}{2}}\sin {\varphi }$

wobei x der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen und φ der Winkel zwischen den Bimedianen ist. ⓘ

Die letzte trigonometrische Flächenformel mit den Seiten a, b, c, d und dem Winkel α (zwischen a und b) lautet

$K={\frac {ab}{2}}\sin {\alpha }+{\frac {\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cdot \cos {\alpha })^{2}}}{4}},$

Sie kann auch für den Flächeninhalt eines konkaven Vierecks (dessen konkaver Teil dem Winkel α gegenüberliegt) verwendet werden, indem man einfach das Vorzeichen + in - ändert. ⓘ

Nicht-trigonometrische Formeln

Die folgenden beiden Formeln drücken den Flächeninhalt in Abhängigkeit von den Seiten a, b, c und d, dem Halbmesser s und den Diagonalen p und q aus:

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},$ ⓘ

$K={\frac {\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}{4}}.$ ⓘ

Die erste reduziert sich auf die Formel von Brahmagupta im Fall des zyklischen Vierecks, da dann pq = ac + bd ist. ⓘ

Die Fläche kann auch durch die Bimediane m, n und die Diagonalen p, q ausgedrückt werden:

$K={\frac {\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}}{2}},$ ⓘ

$K={\frac {\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}{2}}.$ ⓘ

In der Tat reichen drei der vier Werte m, n, p und q zur Bestimmung des Flächeninhalts aus, da in jedem Viereck die vier Werte durch $p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).$ Die entsprechenden Ausdrücke lauten:

$K={\frac {\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}}{2}},$

wenn die Längen von zwei Bimedianen und einer Diagonale gegeben sind, und ⓘ

$K={\frac {\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}}{4}},$

wenn die Längen von zwei Diagonalen und einer Zweibeiner gegeben sind. ⓘ

Formeln für Vektoren

Der Flächeninhalt eines Vierecks ABCD kann mit Hilfe von Vektoren berechnet werden. Die Vektoren AC und BD bilden die Diagonalen von A nach C und von B nach D. Der Flächeninhalt des Vierecks ist dann

$K={\frac {|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |}{2}},$ ⓘ

das ist die Hälfte des Betrags des Kreuzprodukts der Vektoren AC und BD. Im zweidimensionalen euklidischen Raum kann der Vektor AC als freier Vektor im kartesischen Raum gleich (x₁,y₁) und BD als (x₂,y₂) ausgedrückt werden:

$K={\frac {|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{2}}.$ ⓘ

Diagonalen

Eigenschaften der Diagonalen in Vierecken

In der folgenden Tabelle ist aufgeführt, ob sich die Diagonalen in einigen der einfachsten Vierecke halbieren, ob ihre Diagonalen senkrecht aufeinander stehen und ob ihre Diagonalen gleich lang sind. Die Liste gilt für die allgemeinsten Fälle und schließt die genannten Teilmengen aus. ⓘ

Viereck	Winkelhalbierende Diagonalen	Senkrechte Diagonalen	Gleiche Diagonalen ⓘ
Trapezförmig	Keine	Siehe Anmerkung 1	Keine
Gleichschenkliges Trapez	Keine	Siehe Anmerkung 1	Ja
Parallelogramm	Ja	Keine	Keine
Drache	Siehe Anmerkung 2	Ja	Siehe Anmerkung 2
Rechteck	Ja	Keine	Ja
Rhombus	Ja	Ja	Keine
Quadrat	Ja	Ja	Ja

Anmerkung 1: Die allgemeinsten Trapezoide und gleichschenkligen Trapezoide haben keine rechtwinkligen Diagonalen, aber es gibt unendlich viele (nicht ähnliche) Trapezoide und gleichschenklige Trapezoide, die rechtwinklige Diagonalen haben und keine anderen benannten Vierecke sind. ⓘ

Anmerkung 2: In einem Drachen halbiert eine Diagonale die andere. Der allgemeinste Drachen hat ungleiche Diagonalen, aber es gibt eine unendliche Anzahl von (nicht ähnlichen) Drachen, bei denen die Diagonalen gleich lang sind (und die Drachen keine anderen benannten Vierecke sind). ⓘ

Längen der Diagonalen

Die Längen der Diagonalen in einem konvexen Viereck ABCD lassen sich mit Hilfe des Kosinusgesetzes für jedes Dreieck berechnen, das durch eine Diagonale und zwei Seiten des Vierecks gebildet wird. So

$p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}$ ⓘ

und

$q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.$ ⓘ

Andere, symmetrischere Formeln für die Längen der Diagonalen sind

$p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}$ ⓘ

und

$q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.$ ⓘ

Verallgemeinerungen des Parallelogrammgesetzes und des Satzes von Ptolemäus

In jedem konvexen Viereck ABCD ist die Summe der Quadrate der vier Seiten gleich der Summe der Quadrate der beiden Diagonalen plus dem Vierfachen des Quadrats der Strecke, die die Mittelpunkte der Diagonalen verbindet. Also

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}$ ⓘ

wobei x der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen ist. Dieser Satz wird auch als Eulerscher Viereckssatz bezeichnet und ist eine Verallgemeinerung des Parallelogrammgesetzes. ⓘ

Der deutsche Mathematiker Carl Anton Bretschneider leitete 1842 die folgende Verallgemeinerung des Satzes von Ptolemäus ab, die sich auf das Produkt der Diagonalen in einem konvexen Viereck bezieht

$p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.$ ⓘ

Diese Beziehung kann als Kosinusgesetz für ein Viereck betrachtet werden. In einem zyklischen Viereck, in dem A + C = 180° ist, reduziert sie sich auf pq = ac + bd. Da cos (A + C) ≥ -1 ist, ergibt sich daraus auch ein Beweis für die ptolemäische Ungleichung. ⓘ

Andere metrische Beziehungen

Wenn X und Y die Füße der Normalen von B und D zur Diagonalen AC = p in einem konvexen Viereck ABCD mit den Seiten a = AB, b = BC, c = CD, d = DA sind, dann

$XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.$ ⓘ

In einem konvexen Viereck ABCD mit den Seiten a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, in dem sich die Diagonalen bei E schneiden,

$efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)$ ⓘ

wobei e = AE, f = BE, g = CE und h = DE. ⓘ

Form und Größe eines konvexen Vierecks werden vollständig durch die Längen der aufeinanderfolgenden Seiten und einer Diagonale zwischen zwei bestimmten Scheitelpunkten bestimmt. Die beiden Diagonalen p, q und die vier Seitenlängen a, b, c, d eines Vierecks sind durch die Cayley-Menger-Determinante wie folgt verknüpft:

$\det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.$ ⓘ

Winkelhalbierende

Die inneren Winkelhalbierenden eines konvexen Vierecks bilden entweder ein zyklisches Viereck (d. h. die vier Schnittpunkte benachbarter Winkelhalbierender sind zyklisch) oder sie sind konkurrent. In letzterem Fall ist das Viereck ein tangentiales Viereck. ⓘ

Wenn sich im Viereck ABCD die Winkelhalbierenden von A und C auf der Diagonalen BD treffen, dann treffen sich die Winkelhalbierenden von B und D auf der Diagonalen AC. ⓘ

Bimedianer

Das Varignon Parallelogramm EFGH ⓘ

Die Bimediane eines Vierecks sind die Geraden, die die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten verbinden. Der Schnittpunkt der Bimediane ist der Scheitelpunkt des Vierecks. ⓘ

Die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks (konvex, konkav oder gekreuzt) sind die Eckpunkte eines Parallelogramms, das Varignon-Parallelogramm. Es hat die folgenden Eigenschaften:

• Jedes Paar gegenüberliegender Seiten des Varignon-Parallelogramms ist parallel zu einer Diagonalen des ursprünglichen Vierecks.
• Eine Seite des Varignon-Parallelogramms ist halb so lang wie die Diagonale des ursprünglichen Vierecks, zu dem sie parallel ist.
• Der Flächeninhalt des Varignon-Parallelogramms entspricht der Hälfte des Flächeninhalts des ursprünglichen Vierecks. Dies gilt für konvexe, konkave und gekreuzte Vierecke, sofern der Flächeninhalt des letzteren als die Differenz der Flächeninhalte der beiden Dreiecke, aus denen es besteht, definiert ist.
• Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist gleich der Summe der Diagonalen des ursprünglichen Vierecks.
• Die Diagonalen des Varignon-Parallelogramms sind die Bimediane des ursprünglichen Vierecks. ⓘ

Die beiden Bimediane in einem Viereck und die Verbindungslinie zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen in diesem Viereck sind konkurrierend und werden alle durch ihren Schnittpunkt halbiert. ⓘ

In einem konvexen Viereck mit den Seiten a, b, c und d beträgt die Länge der Bimediane, die die Mittelpunkte der Seiten a und c verbindet

$m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}$ ⓘ

wobei p und q die Länge der Diagonalen sind. Die Länge der Zweiergruppe, die die Mittelpunkte der Seiten b und d verbindet, ist

$n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.$ ⓘ

Daraus folgt .

$\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).$ ⓘ

Dies ist auch eine logische Folge des Parallelogrammgesetzes, das im Varignon-Parallelogramm angewendet wird. ⓘ

Die Längen der Bimediane können auch durch zwei gegenüberliegende Seiten und den Abstand x zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen ausgedrückt werden. Dies ist möglich, wenn man den Eulerschen Viereckssatz in den obigen Formeln anwendet. Daher

$m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}$ ⓘ

und

$n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.$ ⓘ

Beachten Sie, dass die beiden gegenüberliegenden Seiten in diesen Formeln nicht die beiden sind, die der Bimedianer miteinander verbindet. ⓘ

In einem konvexen Viereck gibt es die folgende duale Verbindung zwischen den Bimedianen und den Diagonalen:

• Die beiden Bimediane sind dann und nur dann gleich lang, wenn die beiden Diagonalen senkrecht zueinander stehen.
• Die beiden Bimediane stehen dann und nur dann senkrecht aufeinander, wenn die beiden Diagonalen gleich lang sind. ⓘ

Trigonometrische Identitäten

Die vier Winkel eines einfachen Vierecks ABCD erfüllen die folgenden Identitäten:

$\sin {A}+\sin {B}+\sin {C}+\sin {D}=4\sin {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A+C}{2}}\sin {\frac {A+D}{2}}$ ⓘ

und

${\frac {\tan {A}\tan {B}-\tan {C}\tan {D}}{\tan {A}\tan {C}-\tan {B}\tan {D}}}={\frac {\tan {(A+C)}}{\tan {(A+B)}}}.$ ⓘ

Auch,

${\frac {\tan {A}+\tan {B}+\tan {C}+\tan {D}}{\cot {A}+\cot {B}+\cot {C}+\cot {D}}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.$ ⓘ

In den letzten beiden Formeln darf kein Winkel ein rechter Winkel sein, da tan 90° nicht definiert ist. ⓘ

Sei $a$, $b$, $c$, $d$ seien die Seiten eines konvexen Vierecks, $s$ sei der Halbkreisumfang, und $A$ und $C$ seien gegenüberliegende Winkel, dann ⓘ

$ad\sin ^{2}{\frac {A}{2}}+bc\cos ^{2}{\frac {C}{2}}=(s-a)(s-d)$ ⓘ

und ⓘ

$bc\sin ^{2}{\frac {C}{2}}+ad\cos ^{2}{\frac {A}{2}}=(s-b)(s-c)$. ⓘ

Mit diesen Identitäten können wir die Bretschneidersche Formel herleiten. ⓘ

Ungleichungen

Fläche

Wenn ein konvexes Viereck die aufeinanderfolgenden Seiten a, b, c, d und die Diagonalen p, q hat, dann erfüllt sein Flächeninhalt K

$K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)$ mit Gleichheit nur für ein Rechteck.

$K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ mit Gleichheit nur für ein Quadrat.

$K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})$ nur dann mit Gleichheit, wenn die Diagonalen senkrecht und gleich sind.

$K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}$ mit Gleichheit nur für ein Rechteck. ⓘ

Aus der Bretschneiderschen Formel folgt unmittelbar, dass der Flächeninhalt eines Vierecks

$K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$ ⓘ

mit Gleichheit nur dann, wenn das Viereck zyklisch oder entartet ist, so dass eine Seite gleich der Summe der anderen drei ist (es ist zu einem Liniensegment zusammengebrochen, so dass der Flächeninhalt gleich Null ist). ⓘ

Der Flächeninhalt eines beliebigen Vierecks erfüllt auch die Ungleichung

$\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.$ ⓘ

Bezeichnet man den Umfang als L, so ergibt sich

$K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},$ ⓘ

mit Gleichheit nur im Falle eines Quadrats. ⓘ

Der Flächeninhalt eines konvexen Vierecks erfüllt ebenfalls die Bedingung

$K\leq {\tfrac {1}{2}}pq$ ⓘ

für die Diagonalenlängen p und q mit Gleichheit, wenn und nur wenn die Diagonalen senkrecht zueinander stehen. ⓘ

Seien a, b, c, d die Längen der Seiten eines konvexen Vierecks ABCD mit dem Flächeninhalt K und den Diagonalen AC = p, BD = q. Dann ⓘ

$K\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd}{8}}$ mit Gleichheit nur für ein Quadrat. ⓘ

Seien a, b, c, d die Seitenlängen eines konvexen Vierecks ABCD mit dem Flächeninhalt K, dann gilt die folgende Ungleichung:

$K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})$ mit Gleichheit nur für ein Quadrat. ⓘ

Diagonalen und Bimediane

Eine logische Folge des Eulerschen Vierecksatzes ist die Ungleichung

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}$ ⓘ

wobei die Gleichheit nur dann gilt, wenn das Viereck ein Parallelogramm ist. ⓘ

Euler verallgemeinerte auch den Satz von Ptolemäus, der eine Gleichheit in einem zyklischen Viereck darstellt, in eine Ungleichung für ein konvexes Viereck. Er besagt, dass

$pq\leq ac+bd$ ⓘ

wobei die Gleichheit nur dann gegeben ist, wenn das Viereck zyklisch ist. Dies wird oft als Ptolemäus' Ungleichung bezeichnet. ⓘ

In jedem konvexen Viereck sind die Bimediane m, n und die Diagonalen p, q durch die Ungleichung

$pq\leq m^{2}+n^{2},$ ⓘ

wobei Gleichheit nur dann gegeben ist, wenn die Diagonalen gleich sind. Dies folgt direkt aus der Identität der Vierecke $m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).$ ⓘ

Seiten

Die Seiten a, b, c und d eines beliebigen Vierecks erfüllen

$a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\frac {d^{2}}{3}}$ ⓘ

und

$a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\frac {d^{4}}{27}}.$ ⓘ

Maximale und minimale Eigenschaften

Von allen Vierecken mit einem bestimmten Umfang ist dasjenige mit der größten Fläche das Quadrat. Dies ist der so genannte isoperimetrische Satz für Vierecke. Er ist eine direkte Folge der Flächenungleichung

$K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2}$ ⓘ

wobei K die Fläche eines konvexen Vierecks mit dem Umfang L ist. Die Gleichheit gilt nur, wenn das Viereck ein Quadrat ist. Das Duale Theorem besagt, dass von allen Vierecken mit gegebenem Flächeninhalt das Quadrat den kürzesten Umfang hat. ⓘ

Das Viereck mit gegebenen Seitenlängen, das den größten Flächeninhalt hat, ist das zyklische Viereck. ⓘ

Von allen konvexen Vierecken mit gegebenen Diagonalen hat das orthodiagonale Viereck den größten Flächeninhalt. Dies ist eine direkte Folge der Tatsache, dass der Flächeninhalt eines konvexen Vierecks folgende Bedingung erfüllt

$K={\tfrac {1}{2}}pq\sin {\theta }\leq {\tfrac {1}{2}}pq,$ ⓘ

wobei θ der Winkel zwischen den Diagonalen p und q ist. Die Gleichheit gilt nur, wenn θ = 90° ist. ⓘ

Wenn P ein innerer Punkt in einem konvexen Viereck ABCD ist, dann

$AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.$ ⓘ

Aus dieser Ungleichung folgt, dass der Punkt innerhalb eines Vierecks, der die Summe der Abstände zu den Scheitelpunkten minimiert, der Schnittpunkt der Diagonalen ist. Daher ist dieser Punkt der Fermat-Punkt eines konvexen Vierecks. ⓘ

Bemerkenswerte Punkte und Linien in einem konvexen Viereck

Der Mittelpunkt eines Vierecks kann auf verschiedene Weise definiert werden. Der "Scheitelschwerpunkt" ergibt sich aus der Annahme, dass das Viereck leer ist, aber an seinen Scheitelpunkten gleiche Massen hat. Der "Seitenschwerpunkt" ergibt sich aus der Annahme, dass die Seiten eine konstante Masse pro Längeneinheit haben. Der übliche Mittelpunkt, auch Flächenschwerpunkt genannt, ergibt sich aus der Annahme, dass die Oberfläche des Vierecks eine konstante Dichte hat. Diese drei Punkte sind im Allgemeinen nicht alle derselbe Punkt. ⓘ

Der "Scheitelschwerpunkt" ist der Schnittpunkt der beiden Bimediane. Wie bei jedem Polygon sind die x- und y-Koordinaten des Scheitelpunkts das arithmetische Mittel der x- und y-Koordinaten der Scheitelpunkte. ⓘ

Der "Flächenschwerpunkt" des Vierecks ABCD lässt sich wie folgt berechnen. Ga, Gb, Gc, Gd seien die Schwerpunkte der Dreiecke BCD, ACD, ABD bzw. ABC. Dann ist der "Flächenschwerpunkt" der Schnittpunkt der Linien GaGc und GbGd. ⓘ

In einem allgemeinen konvexen Viereck ABCD gibt es keine natürlichen Entsprechungen für den Umfangsmittelpunkt und den Orthozentrum eines Dreiecks. Aber zwei solcher Punkte können auf folgende Weise konstruiert werden. Oa, Ob, Oc, Od seien die Zirkumzentren der Dreiecke BCD, ACD, ABD bzw. ABC; Ha, Hb, Hc, Hd seien die Orthozentren der gleichen Dreiecke. Dann wird der Schnittpunkt der Geraden OaOc und ObOd als Quasi-Umkreiszentrum und der Schnittpunkt der Geraden HaHc und HbHd als Quasi-Orthozentrum des konvexen Vierecks bezeichnet. Diese Punkte können verwendet werden, um eine Eulersche Linie eines Vierecks zu definieren. In einem konvexen Viereck sind das Quasi-Orthozentrum H, der "Flächenschwerpunkt" G und das Quasi-Umfangzentrum O in dieser Reihenfolge kollinear, und HG = 2GO. ⓘ

Es kann auch ein Quasi-Punktzentrum E als Schnittpunkt der Geraden EaEc und EbEd definiert werden, wobei Ea, Eb, Ec, Ed die Neunpunktzentren der Dreiecke BCD, ACD, ABD bzw. ABC sind. Dann ist E der Mittelpunkt von OH. ⓘ

Eine weitere bemerkenswerte Linie in einem konvexen nicht-parallelen Viereck ist die Newton-Linie, die die Mittelpunkte der Diagonalen verbindet, wobei das Segment, das diese Punkte verbindet, durch den Scheitelpunkt halbiert wird. Eine weitere interessante Linie (in gewissem Sinne dual zur Newton-Linie) ist die Linie, die den Schnittpunkt der Diagonalen mit dem Scheitelschwerpunkt verbindet. Diese Linie zeichnet sich dadurch aus, dass sie den (Flächen-)Schwerpunkt enthält. Der Scheitelschwerpunkt teilt das Segment, das den Schnittpunkt der Diagonalen und den Flächenschwerpunkt verbindet, im Verhältnis 3:1. ⓘ

Für ein beliebiges Viereck ABCD mit den Punkten P und Q, den Schnittpunkten von AD und BC bzw. AB und CD, gehen die Kreise (PAB), (PCD), (QAD) und (QBC) durch einen gemeinsamen Punkt M, den so genannten Miquel-Punkt. ⓘ

Für ein konvexes Viereck ABCD, in dem E der Schnittpunkt der Diagonalen und F der Schnittpunkt der Verlängerungen der Seiten BC und AD ist, sei ω ein Kreis durch E und F, der CB innen in M und DA innen in N trifft. CA treffe ω wiederum in L und DB treffe ω wiederum in K. Dann gilt: Die Geraden NK und ML schneiden sich im Punkt P, der auf der Seite AB liegt; die Geraden NL und KM schneiden sich im Punkt Q, der auf der Seite CD liegt. Die Punkte P und Q werden "Pascalsche Punkte" genannt, die durch den Kreis ω auf den Seiten AB und CD gebildet werden. ⓘ

Weitere Eigenschaften von konvexen Vierecken

• Auf allen Seiten eines Vierecks seien äußere Quadrate eingezeichnet. Die Segmente, die die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Quadrate verbinden, sind (a) gleich lang und (b) senkrecht. Somit sind diese Mittelpunkte die Eckpunkte eines orthodiagonalen Vierecks. Dies wird Van Aubel's Theorem genannt.
• Für jedes einfache Viereck mit bestimmten Kantenlängen gibt es ein zyklisches Viereck mit denselben Kantenlängen.
• Die vier kleineren Dreiecke, die von den Diagonalen und Seiten eines konvexen Vierecks gebildet werden, haben die Eigenschaft, dass das Produkt der Flächen zweier gegenüberliegender Dreiecke gleich dem Produkt der Flächen der beiden anderen Dreiecke ist. ⓘ

Taxonomie

Eine Taxonomie der Vierecke, die ein Hasse-Diagramm verwendet.

Eine hierarchische Taxonomie der Vierecke ist in der Abbildung rechts dargestellt. Untere Klassen sind Spezialfälle von höheren Klassen, mit denen sie verbunden sind. Der Begriff "Trapez" bezieht sich hier auf die nordamerikanische Definition (das britische Äquivalent ist ein Trapezium). Es werden durchgängig umfassende Definitionen verwendet. ⓘ

Schiefe Vierecke

Die (roten) Seitenkanten des tetragonalen Dishenoids stellen ein regelmäßiges Zick-Zack-Schrägviereck dar ⓘ

Ein nicht ebenes Viereck wird als schiefes Viereck bezeichnet. Formeln zur Berechnung seiner Flächenwinkel aus den Kantenlängen und dem Winkel zwischen zwei benachbarten Kanten wurden für Arbeiten über die Eigenschaften von Molekülen wie Cyclobutan abgeleitet, die einen "gekräuselten" Ring aus vier Atomen enthalten. In der Vergangenheit wurde der Begriff Gauche-Viereck auch für ein schiefes Viereck verwendet. Ein schiefes Viereck bildet zusammen mit seinen Diagonalen ein (möglicherweise unregelmäßiges) Tetraeder, und umgekehrt entsteht jedes schiefe Viereck aus einem Tetraeder, bei dem ein Paar gegenüberliegender Kanten entfernt wurde. ⓘ