Einheitskreis

Illustration eines Einheitskreises. Die Variable t ist ein Winkelmaß. ⓘ

Animation des Abrollens des Umfangs eines Einheitskreises, eines Kreises mit dem Radius 1. Da C = 2πr, ist der Umfang eines Einheitskreises 2π. ⓘ

In der Mathematik ist ein Einheitskreis ein Kreis mit Einheitsradius, d. h. einem Radius von 1. Häufig, insbesondere in der Trigonometrie, ist der Einheitskreis der Kreis mit Radius 1, der im kartesischen Koordinatensystem in der euklidischen Ebene auf den Ursprung (0, 0) zentriert ist. In der Topologie wird er oft als S¹ bezeichnet, weil er eine eindimensionale n-Einheitskugel ist. ⓘ

Wenn (x, y) ein Punkt auf dem Umfang des Einheitskreises ist, dann sind |x| und |y| die Schenkellängen eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse die Länge 1 hat. Nach dem Satz des Pythagoras erfüllen x und y die Gleichung

$$x^{2}+y^{2}=1.$$

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Da x² = (-x)² für alle x ist und die Spiegelung eines beliebigen Punktes auf dem Einheitskreis an der x- oder y-Achse auch auf dem Einheitskreis liegt, gilt die obige Gleichung für alle Punkte (x, y) auf dem Einheitskreis, nicht nur für die im ersten Quadranten. ⓘ

Das Innere des Einheitskreises wird als offene Einheitsscheibe bezeichnet, während das Innere des Einheitskreises zusammen mit dem Einheitskreis selbst als geschlossene Einheitsscheibe bezeichnet wird. ⓘ

Man kann auch andere Begriffe von "Abstand" verwenden, um andere "Einheitskreise" zu definieren, z. B. den Riemannschen Kreis; siehe den Artikel über mathematische Normen für weitere Beispiele. ⓘ

In der komplexen Ebene

Der Einheitskreis kann als die Einheit der komplexen Zahlen betrachtet werden, d. h. als die Menge der komplexen Zahlen z der Form

$$z=e^{it}=\cos t+i\sin t=\operatorname {cis} (t)$$

für alle t (siehe auch: cis). Diese Beziehung entspricht der Eulerschen Formel. In der Quantenmechanik wird dies als Phasenfaktor bezeichnet. Er kann auch definiert werden als die Menge der komplexen Zahlen, die folgende Bedingungen erfüllen

$$|z|=1.$$

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Animation des Einheitskreises mit Winkeln ⓘ

Trigonometrische Funktionen auf dem Einheitskreis

Alle trigonometrischen Funktionen des Winkels θ (Theta) lassen sich geometrisch auf einem Einheitskreis mit dem Mittelpunkt O konstruieren. ⓘ

Sinusfunktion auf dem Einheitskreis (oben) und ihr Graph (unten) ⓘ

Die trigonometrischen Funktionen Kosinus und Sinus des Winkels θ können auf dem Einheitskreis wie folgt definiert werden: Wenn (x, y) ein Punkt auf dem Einheitskreis ist und der Strahl vom Ursprung (0, 0) nach (x, y) einen Winkel θ mit der positiven x-Achse bildet (wobei die Drehung gegen den Uhrzeigersinn positiv ist), dann

$$\cos \theta =x\quad {\text{and}}\quad \sin \theta =y.$$

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Die Gleichung x² + y² = 1 ergibt die Beziehung

$$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.$$

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Der Einheitskreis zeigt auch, dass Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, mit den Identitäten

$$\cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )$$

$$\sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )$$

für jede ganze Zahl k. ⓘ

Dreiecke, die auf dem Einheitskreis konstruiert werden, können ebenfalls zur Veranschaulichung der Periodizität der trigonometrischen Funktionen verwendet werden. Man konstruiert zunächst einen Radius OP vom Ursprung O zu einem Punkt P(x₁,y₁) auf dem Einheitskreis, so dass ein Winkel t mit 0 < t < π/2 mit dem positiven Schenkel der x-Achse gebildet wird. Man betrachte nun einen Punkt Q(x₁,0) und die Geradenabschnitte PQ ⊥ OQ. Das Ergebnis ist ein rechtwinkliges Dreieck △OPQ mit ∠QOP = t. Da PQ die Länge y₁, OQ die Länge x₁ und OP die Länge 1 als Radius auf dem Einheitskreis hat, ist sin(t) = y₁ und cos(t) = x₁. Nachdem diese Äquivalenzen festgestellt wurden, nehme man einen anderen Radius OR vom Ursprung zu einem Punkt R(-x₁,y₁) auf dem Kreis, so dass der gleiche Winkel t mit dem negativen Arm der x-Achse gebildet wird. Betrachte nun einen Punkt S(-x₁,0) und die Geraden RS ⊥ OS. Das Ergebnis ist ein rechtwinkliges Dreieck △ORS mit ∠SOR = t. Da ∠ROQ = π - t ist, liegt R auf (cos(π - t), sin(π - t)), so wie P auf (cos(t), sin(t)) liegt. Da (-x₁, y₁) dasselbe ist wie (cos(π - t), sin(π - t)) und (x₁,y₁) dasselbe ist wie (cos(t),sin(t)), ist es wahr, dass sin(t) = sin(π - t) und -cos(t) = cos(π - t). Auf ähnliche Weise lässt sich ableiten, dass tan(π - t) = -tan(t) ist, da tan(t) = y₁/x₁ und tan(π - t) = y₁/-x₁. Eine einfache Demonstration des oben Gesagten ist in der Gleichheit sin(π/4) = sin(3π/4) = 1/√2 zu sehen. ⓘ

Bei der Arbeit mit rechtwinkligen Dreiecken sind Sinus, Kosinus und andere trigonometrische Funktionen nur für Winkelmaße größer als Null und kleiner als π/2 sinnvoll. Wenn sie jedoch mit dem Einheitskreis definiert werden, ergeben diese Funktionen sinnvolle Werte für jedes reelle Winkelmaß - sogar für solche größer als 2π. Tatsächlich können alle sechs trigonometrischen Standardfunktionen - Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans sowie archaische Funktionen wie Versinus und Exsekans - geometrisch mit Hilfe des Einheitskreises definiert werden, wie rechts dargestellt. ⓘ

Mit Hilfe des Einheitskreises können die Werte jeder trigonometrischen Funktion für viele andere als die angegebenen Winkel leicht von Hand mit Hilfe der Winkelsummen- und Differenzformeln berechnet werden. ⓘ

Der Einheitskreis mit den Koordinaten bestimmter Punkte ⓘ

Kreisgruppe

Komplexe Zahlen können mit Punkten in der euklidischen Ebene identifiziert werden, d. h. die Zahl a + bi wird mit dem Punkt (a, b) identifiziert. Unter dieser Identifikation ist der Einheitskreis eine multiplikationsfähige Gruppe, die als Kreisgruppe bezeichnet wird; sie wird gewöhnlich mit $\mathbb {T} .$ In der Ebene ergibt die Multiplikation mit cos θ + i sin θ eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um θ. Diese Gruppe hat wichtige Anwendungen in Mathematik und Wissenschaft. ⓘ

Komplexe Dynamik

Einheitskreis in der komplexen Dynamik ⓘ

Die Julia-Menge eines diskreten nichtlinearen dynamischen Systems mit einer Entwicklungsfunktion:

$$f_{0}(x)=x^{2}$$

ist ein Einheitskreis. Sie ist der einfachste Fall und wird daher häufig für die Untersuchung dynamischer Systeme verwendet. ⓘ

Rationale Parametrisierung

Rationale Parametrisierung ⓘ

Auch ohne Rückgriff auf trigonometrische Funktionen lassen sich alle Punkte des Einheitskreises finden. Sei $t$ eine beliebige reelle Zahl. Ein Schnittpunkt der Geraden durch $(-1,0)$ und $(0,t)$ mit dem Einheitskreis ist trivialerweise $(-1,0)$. Der andere befindet sich bei $\left({\tfrac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\tfrac {2t}{1+t^{2}}}\right)$, und durchläuft, wenn $t$ ganz $\mathbb {R}$ durchläuft, den ganzen Kreis. Der Punkt $(-1,0)$ wird dabei allerdings nur nach dem Grenzübergang $t\to \pm \infty$ erreicht. ⓘ

Diese Parametrisierung ist für alle Körper geeignet. Für rationale $t=p/q$ erhält man aus ihr durch elementare Umformungen pythagoräische Tripel $(q^{2}-p^{2},2pq,q^{2}+p^{2})$. ⓘ

Andere Normen

Wird eine andere Norm als die euklidische Norm zur Abstandsmessung benutzt, so ist die Form des Einheitskreises im kartesischen Koordinatensystem eine andere. So ist zum Beispiel der Einheitskreis für die Maximumsnorm ein Quadrat mit den Ecken $(\pm 1,\pm 1)$ und der Einheitskreis für die Summennorm ein Quadrat mit den Ecken $(\pm 1,0)$ und $(0,\pm 1)$. ⓘ