Tesserakt

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Tesserakt (8-Zeller) 4-Kubus ⓘ
Schlegeldiagramm
Gruppe	Reguläre Polytope
Familie	Hyperkubus
Zellen	8 (4.4.4)
Flächen	24 {4}
Kanten	32
Ecken	16
Schläfli-Symbole	{4,3,3} {4,3}x{} {4}x{4} {4}x{}x{} {}x{}x{}x{}
Coxeter-Dynkin-Diagramme
Symmetriegruppe	B₄, [3,3,4]
Eigenschaften	konvex

Der Tesserakt [ˈtɛsərakt] (von altgriechisch τέσσερες ἀκτίνες tésseres aktínes, deutsch ‚vier Strahlen‘) ist eine Übertragung des klassischen Würfelbegriffs auf vier Dimensionen. Man spricht dabei auch von einem vierdimensionalen Hyperwürfel. Der Tesserakt verhält sich zum Würfel wie der Würfel zum Quadrat. Er hat 16 Ecken, 32 gleich lange Kanten, 24 quadratische Flächen, und wird durch 8 würfelförmige Zellen begrenzt. Diese Zellen bezeichnet man auch als Begrenzungswürfel des Tesserakts. In jeder Ecke treffen 4 Kanten, 6 Flächen und 4 Zellen jeweils senkrecht aufeinander. ⓘ

Die Bilder in diesem Artikel sind als Bilder von Tesserakten unter Parallelprojektionen zu verstehen. Unten im rechten Bild erkennt man einen blauen und einen gelben Würfel, die durch sechs weitere rhomboedrisch verzerrte Begrenzungswürfel verbunden sind. Beim dreidimensionalen Netz des Tesserakts (links im ersten Bild) sind alle acht Begrenzungswürfel in den dreidimensionalen Raum gefaltet, so wie die Seitenflächen eines dreidimensionalen Würfels in ein Netz aus sechs Quadraten entfaltet werden können. Es gibt 261 Arten, einen Tesserakt zu entfalten. ⓘ

Im folgenden Bild ist ein Netz des Tesserakts links zu sehen, und rechts unten eine zweidimensionale Parallelprojektion des Tesserakts. ⓘ

Die Konstruktion der längsten Diagonalen von Quadrat, Würfel und Tesserakt ⓘ

Die längste Diagonale eines Hyperwürfels entspricht der Quadratwurzel seiner Dimensionsanzahl multipliziert mit seiner Kantenlänge. Beim Tesserakt ist daher die längste Diagonale zwei Kantenlängen lang. Wenn man bei einem Tesserakt seine acht gegenüberliegenden Begrenzungswürfel paarweise miteinander verheftet, entsteht ein 4-Torus. ⓘ

Der Tesserakt wird auch als 8-Zeller, C₈, (regelmäßiges) Oktachoron, Oktahedroid, kubisches Prisma und Tetrawürfel bezeichnet. Er ist der vierdimensionale Hyperwürfel oder 4-Würfel als Mitglied der dimensionalen Familie der Hyperwürfel oder Messpolytope. Coxeter bezeichnet ihn als das $\gamma _{4}$ Polytop. Der Begriff Hyperwürfel ohne Dimensionsangabe wird häufig als Synonym für dieses spezielle Polytop verwendet. ⓘ

Dem Oxford English Dictionary zufolge wurde das Wort Tesserakt erstmals 1888 von Charles Howard Hinton in seinem Buch A New Era of Thought verwendet, und zwar aus dem Griechischen téssara (τέσσαρα 'vier') und aktís (ἀκτίς 'Strahl'), was sich auf die vier Kanten von jedem Scheitelpunkt zu anderen Scheitelpunkten bezieht. In dieser Veröffentlichung sowie in einigen späteren Werken Hintons wurde das Wort gelegentlich als Tessarakt geschrieben. ⓘ

Geometrie

Als regelmäßiges Polytop mit drei Würfeln, die um jede Kante herum zusammengefaltet sind, hat es das Schläfli-Symbol {4,3,3} mit hyperoktaedrischer Symmetrie der Ordnung 384. Als 4D-Hyperprisma aus zwei parallelen Würfeln konstruiert, kann es als zusammengesetztes Schläfli-Symbol {4,3} × { } mit der Symmetrieordnung 96 bezeichnet werden. Als 4-4-Duoprisma, ein kartesisches Produkt aus zwei Quadraten, kann es als zusammengesetztes Schläfli-Symbol {4}×{4} bezeichnet werden, mit der Symmetrieordnung 64. Als Orthotop lässt es sich durch das zusammengesetzte Schläfli-Symbol { } × { } × { } × { } oder { }⁴, mit der Symmetrieordnung 16. ⓘ

Da jeder Scheitelpunkt eines Tesserakts an vier Kanten angrenzt, ist die Scheitelfigur des Tesserakts ein regelmäßiges Tetraeder. Das duale Polytop des Tesserakts ist das 16-Zellen-Polytop mit dem Schläfli-Symbol {3,3,4}, mit dem es kombiniert werden kann, um die Verbindung von Tesserakt und 16-Zellen zu bilden. ⓘ

Jede Kante eines regelmäßigen Tesserakts ist gleich lang. Dies ist von Interesse, wenn Tesserakte als Grundlage für eine Netzwerktopologie verwendet werden, um mehrere Prozessoren beim parallelen Rechnen miteinander zu verbinden: Der Abstand zwischen zwei Knoten ist höchstens 4 und es gibt viele verschiedene Pfade, um einen Gewichtsausgleich zu ermöglichen. ⓘ

Koordinaten

Der Standard-Tesserakt im euklidischen 4-Raum ist als konvexe Hülle der Punkte (±1, ±1, ±1, ±1) gegeben. Das heißt, er besteht aus den Punkten:

\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {R} ^{4}\,:\,-1\leq x_{i}\leq 1\}

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In diesem kartesischen Bezugssystem hat der Tesserakt den Radius 2 und wird durch acht Hyperebenen (xi = ±1) begrenzt. Jedes Paar von nicht parallelen Hyperebenen schneidet sich und bildet 24 quadratische Flächen in einem Tesserakt. Drei Würfel und drei Quadrate schneiden sich an jeder Kante. Es gibt vier Würfel, sechs Quadrate und vier Kanten, die sich an jedem Scheitelpunkt treffen. Insgesamt besteht es aus 8 Würfeln, 24 Quadraten, 32 Kanten und 16 Scheitelpunkten. ⓘ

Netz

Eine Entfaltung eines Polytops wird als Netz bezeichnet. Es gibt 261 verschiedene Netze des Tesserakts. Die Entfaltungen des Tesserakts können gezählt werden, indem die Netze auf gepaarte Bäume abgebildet werden (ein Baum zusammen mit einem perfekten Matching in seinem Komplement). ⓘ

Konstruktion

Eine Animation der Dimensionsverschiebung ⓘ

Die Konstruktion von Hyperwürfeln kann man sich folgendermaßen vorstellen:

1-dimensional: Zwei Punkte A und B können zu einer Linie verbunden werden, wodurch ein neues Liniensegment AB entsteht.
2-dimensional: Zwei parallele Linienabschnitte AB und CD, die durch den Abstand AB getrennt sind, können zu einem Quadrat verbunden werden, wobei die Ecken mit ABCD bezeichnet werden.
3-dimensional: Zwei parallele Quadrate ABCD und EFGH, die durch einen Abstand von AB getrennt sind, können zu einem Würfel verbunden werden, dessen Ecken mit ABCDEFGH bezeichnet sind.
4-dimensional: Zwei parallele Würfel ABCDEFGH und IJKLMNOP, die durch einen Abstand von AB getrennt sind, können zu einem Tesserakt verbunden werden, wobei die Ecken als ABCDEFGHIJKLMNOP gekennzeichnet sind. Diese parallele Anordnung von zwei Würfeln in der Weise, dass ihre 8 korrespondierenden Scheitelpunktpaare jeweils durch einen Abstand von AB getrennt sind, kann jedoch nur in einem Raum mit 4 oder mehr Dimensionen erreicht werden. ⓘ

Der Tesserakt kann in kleinere 4-Polytope zerlegt werden. Er ist die konvexe Hülle der Verbindung von zwei Demitesserakten (16-Zellen). Er kann auch in 4-dimensionale Simplices (unregelmäßige 5-Zellen) trianguliert werden, die ihre Eckpunkte mit dem Tesserakt teilen. Es ist bekannt, dass es 92487256 solcher Triangulationen gibt und dass die kleinste Anzahl von 4-dimensionalen Vereinfachungen in jeder von ihnen 16 ist. Die Zerlegung des Tesserakts in 24 seiner charakteristischen Simplexe (ein bestimmtes Orthoschema mit Coxeter-Diagramm ) ist die einfachste direkte Konstruktion des Tesserakts, die möglich ist. Das charakteristische 4-Orthoschema des 4-Würfels ist eine fundamentale Region der definierenden Symmetriegruppe des Tesserakts, der Gruppe, die die B₄-Polytope erzeugt. Das charakteristische Simplex des Tesserakts erzeugt den Tesserakt direkt durch die Aktionen der Gruppe, indem es sich in seinen eigenen begrenzenden Facetten (seinen Spiegelwänden) spiegelt. ⓘ

Tesserakte sind auch zweiteilige Graphen, genau wie Linien, Quadrate und Würfel. ⓘ

Radiale gleichseitige Symmetrie

Der lange Radius (Mittelpunkt zu Scheitelpunkt) des Tesserakts ist gleich seiner Kantenlänge; seine Diagonale durch den Mittelpunkt (Scheitelpunkt zu gegenüberliegendem Scheitelpunkt) beträgt also 2 Kantenlängen. Nur wenige einheitliche Polytope haben diese Eigenschaft, darunter der vierdimensionale Tesserakt und die 24-Zelle, das dreidimensionale Kuboktaeder und das zweidimensionale Sechseck. Insbesondere ist der Tesserakt der einzige Hyperwürfel (mit Ausnahme eines 0-dimensionalen Punktes), der radial gleichseitig ist. Der längste Scheitelpunkt-zu-Scheitelpunkt-Durchmesser eines n-dimensionalen Hyperwürfels mit einheitlicher Kantenlänge ist √n, also für das Quadrat √2, für den Würfel √3, und nur für den Tesserakt √4, also genau 2 Kantenlängen. ⓘ

Formeln

Ohne Worte zu beweisen, dass ein Hyperwürfelgraph nicht planar ist, indem man den Satz von Kuratowski oder Wagner verwendet und entweder K₅ (oben) oder K_3,3 (unten) Untergraphen findet ⓘ

Für einen Tesserakt mit der Seitenlänge $s$ :

Hypervolumen: $H=s^{4}$
Oberflächenvolumen: $SV=8s^{3}$
Flächendiagonale: $d_{\mathrm {2} }={\sqrt {2}}s$
Zellendiagonale: $d_{\mathrm {3} }={\sqrt {3}}s$
4-Raum-Diagonale: $d_{\mathrm {4} }=2s$ ⓘ

Als eine Konfiguration

Diese Konfigurationsmatrix stellt den Tesserakt dar. Die Zeilen und Spalten entsprechen den Eckpunkten, Kanten, Flächen und Zellen. Die diagonalen Zahlen geben an, wie viele der einzelnen Elemente im gesamten Tesserakt vorkommen. Die nicht diagonalen Zahlen geben an, wie viele Elemente der Spalte in oder an den Elementen der Zeile vorkommen. Die 2 in der ersten Spalte der zweiten Zeile gibt beispielsweise an, dass sich in jeder Kante 2 Scheitelpunkte (d. h. an den Extremen) befinden; die 4 in der zweiten Spalte der ersten Zeile bedeutet, dass sich 4 Kanten an jedem Scheitelpunkt treffen. ⓘ

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}$ ⓘ

Projektionen

Tesserakte können in den drei- und zweidimensionalen Raum projiziert werden, ähnlich wie ein Würfel in den zweidimensionalen Raum projiziert wird. ⓘ

Parallele Projektionshüllen des Tesserakts (jede Zelle ist mit verschiedenfarbigen Flächen gezeichnet, invertierte Zellen sind nicht gezeichnet) ⓘ

Das Rhombendodekaeder bildet die konvexe Hülle der ersten Parallelprojektion des Tesserakts auf die Scheitelpunkte. Die Anzahl der Scheitelpunkte in den Schichten dieser Projektion ist 1 4 6 4 1 - die vierte Reihe im Pascalschen Dreieck. ⓘ

Die Parallelprojektion der ersten Zelle des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine kubische Umhüllung. Die nächstgelegene und die am weitesten entfernte Zelle werden auf den Würfel projiziert, und die übrigen sechs Zellen werden auf die sechs quadratischen Flächen des Würfels projiziert. ⓘ

Die parallele Projektion des Tesserakts mit der ersten Fläche in den dreidimensionalen Raum hat eine quaderförmige Umhüllung. Zwei Zellenpaare projizieren auf die obere und untere Hälfte dieser Hülle, und die vier übrigen Zellen projizieren auf die Seitenflächen. ⓘ

Die kantenparallele Projektion des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine Umhüllung in Form eines sechseckigen Prismas. Sechs Zellen projizieren auf rhombische Prismen, die im sechseckigen Prisma so angeordnet sind, wie die Seitenflächen des 3D-Würfels bei der Vertex-First-Projektion auf sechs Rhomben in einer sechseckigen Hülle projizieren. Die beiden verbleibenden Zellen projizieren auf die Prismengrundflächen. ⓘ

Die Parallelprojektion des Tesserakts in den dreidimensionalen Raum hat eine rhombisch-dodekaedrische Umhüllung. Zwei Scheitelpunkte des Tesserakts werden auf den Ursprung projiziert. Es gibt genau zwei Möglichkeiten, ein rhombisches Dodekaeder in vier kongruente Rhomboeder zu zerlegen, was insgesamt acht mögliche Rhomboeder ergibt, die jeweils ein projizierter Würfel des Tesserakts sind. Diese Projektion ist auch diejenige mit dem maximalen Volumen. Ein Satz von Projektionsvektoren ist u=(1,1,-1,-1), v=(-1,1,-1,1), w=(1,-1,-1,1). ⓘ

Animation, die jeden einzelnen Würfel innerhalb der B₄ Coxeter-Ebenenprojektion des Tesserakts zeigt. ⓘ

Orthographische Projektionen ⓘ
Coxeter-Ebene	B₄	B₃ / D₄ / A₂	B₂ / D₃
Graph
Diedrische Symmetrie	[8]	[6]	[4]
Coxeter-Ebene	Andere	F₄	A₃
Graph
Diedrische Symmetrie	[2]	[12/3]	[4]

Eine 3D-Projektion eines Tesserakts, der eine einfache Drehung um eine Ebene im 4-dimensionalen Raum durchführt. Die Ebene halbiert die Figur von vorne links nach hinten rechts und von oben nach unten.	3D-Projektion eines Tesserakts, der eine doppelte Drehung um zwei orthogonale Ebenen im 4-dimensionalen Raum ausführt. ⓘ

3D-Projektion von drei Tesserakten mit und ohne Flächen	Perspektive mit Eliminierung des verborgenen Volumens. Die rote Ecke ist die nächstgelegene in 4D und hat 4 kubische Zellen, die sich um sie herum treffen. ⓘ

Das Tetraeder bildet die konvexe Hülle der vertexzentrierten Zentralprojektion des Tesserakts. Vier von 8 kubischen Zellen sind dargestellt. Der 16. Scheitelpunkt wird ins Unendliche projiziert und die vier Kanten zu ihm sind nicht dargestellt.	Stereographische Projektion (Kanten werden auf die 3-Sphäre projiziert) ⓘ

Stereoskopische 3D-Projektion eines Tesserakts (Parallelansicht) ⓘ
Stereoskopischer entschärfter 3D-Hyperwürfel

Tesselierung

Der Tesserakt tesseliert, wie alle Hyperwürfel, den euklidischen Raum. Die selbstduale tesseraktische Wabe, die aus 4 Tesserakten um jede Fläche besteht, hat das Schläfli-Symbol {4,3,3,4}. Somit hat der Tesserakt einen Flächenwinkel von 90°. ⓘ

Die radiale gleichseitige Symmetrie des Tesserakts macht sein Mosaik zum einzigen regelmäßigen kubischen Gitter aus gleich großen Kugeln in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen. ⓘ

In der Populärkultur

Seit ihrer Entdeckung sind vierdimensionale Hyperwürfel ein beliebtes Thema in Kunst, Architektur und Science-Fiction. Bemerkenswerte Beispiele sind:

"And He Built a Crooked House" (Und er baute ein krummes Haus), Robert Heinleins Science-Fiction-Geschichte von 1940, in der ein Gebäude in Form eines vierdimensionalen Hyperwürfels vorkommt. Diese Geschichte und Martin Gardners "The No-Sided Professor" aus dem Jahr 1946 gehören zu den ersten Science-Fiction-Erzählungen, in denen das Möbiusband, die Kleinsche Flasche und der Hyperwürfel (Tesserakt) vorgestellt werden.
Kreuzigung (Corpus Hypercubus), ein Ölgemälde von Salvador Dalí aus dem Jahr 1954, das einen vierdimensionalen Hyperwürfel zeigt, der sich zu einem dreidimensionalen lateinischen Kreuz entfaltet.
Die Grande Arche, ein 1989 fertig gestelltes Denkmal und Gebäude in der Nähe von Paris, Frankreich. Nach Angaben des Ingenieurs des Denkmals, Erik Reitzel, wurde die Grande Arche so entworfen, dass sie der Projektion eines Hyperwürfels ähnelt.
Fez, ein Videospiel, in dem man einen Charakter spielt, der über die zwei Dimensionen hinaus sehen kann, die andere Charaktere sehen können, und der diese Fähigkeit nutzen muss, um Plattformrätsel zu lösen. Es enthält "Dot", einen Tesserakt, der dem Spieler hilft, sich in der Welt zurechtzufinden, und ihm sagt, wie er seine Fähigkeiten einsetzen kann, passend zum Thema des Sehens jenseits der menschlichen Wahrnehmung des bekannten dimensionalen Raums.

Das Wort Tesserakt wurde später für zahlreiche andere Verwendungen in der Populärkultur übernommen, unter anderem als Handlungselement in Science-Fiction-Werken, oft mit wenig oder gar keinem Bezug zum vierdimensionalen Hyperwürfel dieses Artikels. Siehe Tesserakt (Disambiguierung). ⓘ

In Medien

Ein Gebäude in der Form eines Tesserakts liegt der Science-Fiction-Kurzgeschichte von Robert Heinlein —And He Built a Crooked House— aus dem Jahr 1941 zugrunde.
Der Tesserakt spielt eine große Rolle im Film Cube 2: Hypercube sowie in der Fernsehserie Gene Roddenberry's Andromeda.
In dem Roman Die Zeitfalte von Madeleine L’Engle erlaubt die Methode der „Tesserung“ (im Original Tesseract) das Reisen über weite Entfernungen durch Raum und Zeit.
Im Marvel-Comics-Universum ist ein mächtiger, kosmischer Würfel nach dem Tesserakt benannt. Abgesehen von der Form und dem Namen hat dieser Gegenstand nichts mit dem oben erklärten Tesserakt gemeinsam. In der filmischen Adaption des Universums tritt der Tesserakt mehrfach auf.
Im Film Interstellar befindet sich der Hauptcharakter zum Ende der Handlung im Innern des Ereignishorizonts einer Singularität in einem Raum, in dem die Zeit als vierte Raumdimension erscheint, dieser Raum erscheint optisch als dreidimensionale Projektion eines Tesserakts und wird auch als solcher bezeichnet.
Die britische Rockgruppe TesseracT benannte sich nach dem Tesserakt. ⓘ

Regelmäßige konvexe 4-Polytope ⓘ
Symmetrie-Gruppe	A₄	B₄		F₄	H₄
Bezeichnung	5-Zelle Hyper-Tetraeder 5-Punkt	16-Zelle Hyper-Oktaeder 8-Punkt	8-zellig Hyper-Würfel 16-zackiges	24-Zelle 24-teilig	600-zellig Hyper-Ikosaeder 120-zackig	120-zellig Hyper-Dodekaeder 600-teilig
Schläfli-Symbol	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Coxeter-Spiegel
Spiegel-Dihedrale	𝝅/2 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/2 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/2 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/2 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/2 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/5 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/2 𝝅/5 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2
Graph
Scheitelpunkte	5	8	16	24	120	600
Kanten	10	24	32	96	720	1200
Flächen	10 Dreiecke	32 Dreiecke	24 Quadrate	96 Dreiecke	1200 Dreiecke	720 Fünfecke
Zellen	5 Tetraeder	16 Tetraeder	8 Würfel	24 Oktaeder	600 Tetraeder	120 Dodekaeder
Tori	1 5-Tetraeder	2 8-Tetraeder	2 4-Würfel	4 6-Oktaeder	20 30-Tetraeder	12 10-Dodekaeder
Eingeschrieben	120 in 120-Zellen	1 16-Zelle	2 16-Zellen	3 8-Zellen	25 24-Zellen	10 600-Zellen
Große Polygone		2 𝝅/2 Quadrate x 3	4 𝝅/2 Rechtecke x 3	4 𝝅/3 Sechsecke x 4	12 𝝅/5 Zehnecke x 6	50 𝝅/15 Zwölfecke x 4
Petrie-Polygone	1 Fünfeck	1 Achteck	2 Achtecke	2 Zwölfecke	4 30er-Ecke	20 30er-Ecken
Isokantenpolygone		1 {8/2}=2{4} x {8/2}=2{4}	2 {8/2}=2{4} x {8/2}=2{4}	2 {12/2}=2{6} x {12/6}=6{2}	4 {30/2}=2{15} x 30{0}	20 {30/2}=2{15} x 30{0}
Langer Radius	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
Kantenlänge	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
Kurzer Radius	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	$1-\left({\tfrac {\sqrt {2}}{2\phi {\sqrt {3}}}}\right)^{2}\approx 0.936$	$1-\left({\tfrac {1}{2\phi {\sqrt {3}}}}\right)^{2}\approx 0.968$
Fläche	$10\left({\sqrt {\tfrac {8}{9}}}\right)\approx 9.428$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 13.856$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{8\phi ^{2}}}\right)\approx 99.238$	$720\left({\tfrac {25+10{\sqrt {5}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 621.9$
Volumen	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\sqrt {\tfrac {2}{9}}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {1}{3\phi ^{3}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {2+\phi }{2\phi ^{3}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-Inhalt	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.907$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.385$