Algebra

Die quadratische Formel drückt die Lösung der Gleichung ax² + bx + c = 0, wobei a ungleich Null ist, in Form ihrer Koeffizienten a, b und c aus. ⓘ

Die Algebra (von arabisch الجبر (al-jabr) "Zusammenfügen von zerbrochenen Teilen, Knochensetzen") ist einer der großen Bereiche der Mathematik. Grob gesagt ist Algebra die Lehre von den mathematischen Symbolen und den Regeln für den Umgang mit diesen Symbolen in Formeln; sie zieht sich wie ein roter Faden durch fast die gesamte Mathematik. ⓘ

Die elementare Algebra befasst sich mit der Manipulation von Variablen, als wären sie Zahlen (siehe Abbildung), und ist daher für alle Anwendungen der Mathematik unerlässlich. Abstrakte Algebra ist die Bezeichnung, die in der Ausbildung für das Studium algebraischer Strukturen wie Gruppen, Ringe und Felder verwendet wird. Die lineare Algebra, die sich mit linearen Gleichungen und linearen Abbildungen beschäftigt, wird für moderne Darstellungen der Geometrie verwendet und hat viele praktische Anwendungen (z. B. in der Wettervorhersage). Es gibt viele Bereiche der Mathematik, die zur Algebra gehören, einige tragen "Algebra" in ihrem Namen, wie die kommutative Algebra, andere nicht, wie die Galoistheorie. ⓘ

Das Wort Algebra wird nicht nur zur Bezeichnung eines Bereichs der Mathematik und einiger Teilbereiche verwendet, sondern auch zur Bezeichnung einiger Arten algebraischer Strukturen, z. B. einer Algebra über einem Feld, die allgemein als Algebra bezeichnet wird. Manchmal wird derselbe Begriff auch für ein Teilgebiet und seine wichtigsten algebraischen Strukturen verwendet, z. B. Boolesche Algebra und Boolesche Algebra. Ein Mathematiker, der sich auf Algebra spezialisiert hat, wird Algebraiker genannt. ⓘ

Aryabhata I. ⓘ

Eine Seite aus dem Buch al-Kitab al-Muchtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala ⓘ

Die Algebra (von arabisch الجبر, DMG al-ǧabr „das Zusammenfügen gebrochener Teile“) ist eines der grundlegenden Teilgebiete der Mathematik; es befasst sich mit den Eigenschaften von Rechenoperationen. Im Volksmund wird Algebra häufig als das Rechnen mit Unbekannten in Gleichungen bezeichnet (zum Beispiel $x+1=2$); die Unbekannte wird (bzw. die Unbekannten werden) mit Buchstaben dargestellt. Als Begründer der Algebra gilt der Grieche Diophantos von Alexandria, der irgendwann zwischen 100 v. Chr. und 350 n. Chr. gelebt haben muss. Seine 13 Bücher umfassenden Arithmetica sind das älteste bis heute (teilweise) erhaltene Werk, in dem die algebraische Methode (also das Rechnen mit Buchstaben) verwendet wird. ⓘ

Etymologie

Das Wort Algebra stammt aus dem Titel eines Buches von Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi. ⓘ

Das Wort Algebra stammt aus dem Arabischen: الجبر, romanisiert: al-jabr, wörtl. 'Wiedervereinigung zerbrochener Teile, Zusammensetzen von Knochen', nach dem Titel des Buches cIlm al-jabr wa l-muqābala "Die Wissenschaft der Wiederherstellung und des Ausgleichs" des persischen Mathematikers und Astronomen al-Khwarizmi aus dem frühen 9. In seinem Werk bezog sich der Begriff al-jabr auf das Verschieben eines Terms von einer Seite einer Gleichung auf die andere, المقابلة al-muqābala "Ausgleichen" bezog sich auf das Hinzufügen gleicher Terme auf beiden Seiten. Das Wort, das im Lateinischen zu algeber oder algebra verkürzt wurde, gelangte im 15. Jahrhundert in die englische Sprache, entweder aus dem Spanischen, Italienischen oder dem mittelalterlichen Latein. Ursprünglich bezog es sich auf das chirurgische Verfahren, gebrochene oder ausgerenkte Knochen wieder einzurichten. Die mathematische Bedeutung wurde (im Englischen) erstmals im 16. ⓘ

Verschiedene Bedeutungen von "Algebra"

Das Wort "Algebra" hat in der Mathematik mehrere verwandte Bedeutungen, als einzelnes Wort oder mit Qualifikatoren.

• Als einzelnes Wort ohne Artikel bezeichnet "algebra" einen breiten Teil der Mathematik.
• Als einzelnes Wort mit einem Artikel oder im Plural bezeichnet "eine Algebra" oder "Algebren" eine bestimmte mathematische Struktur, deren genaue Definition vom Kontext abhängt. In der Regel hat die Struktur eine Addition, Multiplikation und skalare Multiplikation (siehe Algebra über einem Feld). Wenn einige Autoren den Begriff "Algebra" verwenden, machen sie eine Untermenge der folgenden zusätzlichen Annahmen: assoziativ, kommutativ, unital und/oder endlich-dimensional. In der universellen Algebra bezieht sich das Wort "Algebra" auf eine Verallgemeinerung des obigen Konzepts, die n-äre Operationen zulässt.
• Mit einem Qualifizierer gibt es die gleiche Unterscheidung:
  • Ohne Artikel bezeichnet es einen Teil der Algebra, z. B. die lineare Algebra, die elementare Algebra (die Regeln der Symbolmanipulation, die in den mathematischen Grundkursen der Primar- und Sekundarstufe gelehrt werden) oder die abstrakte Algebra (das Studium der algebraischen Strukturen an sich).
  • Im Zusammenhang mit einem Artikel bedeutet es eine Instanz einer algebraischen Struktur, z. B. einer Lie-Algebra, einer assoziativen Algebra oder einer Algebra mit Vertex-Operatoren.
  • Manchmal gibt es beide Bedeutungen für denselben Qualifikator, wie in diesem Satz: Die kommutative Algebra ist die Lehre von den kommutativen Ringen, die kommutative Algebren über den ganzen Zahlen sind. ⓘ

Algebra als Zweig der Mathematik

Die Algebra begann mit Berechnungen, die denen der Arithmetik ähnelten, wobei Buchstaben für Zahlen standen. Dies ermöglichte Beweise für Eigenschaften, die unabhängig von den beteiligten Zahlen gelten. Zum Beispiel kann in der quadratischen Gleichung

$ax^{2}+bx+c=0,$

$a,b,c$ jede beliebige Zahl sein (mit der Ausnahme, dass $a$ nicht sein kann $0$), und die quadratische Formel kann verwendet werden, um schnell und einfach die Werte der unbekannten Größe zu finden $x$ zu finden, die die Gleichung erfüllen. Das heißt, um alle Lösungen der Gleichung zu finden. ⓘ

Historisch gesehen und im aktuellen Unterricht beginnt das Studium der Algebra mit dem Lösen von Gleichungen, wie der obigen quadratischen Gleichung. Dann werden allgemeinere Fragen wie "Hat eine Gleichung eine Lösung?", "Wie viele Lösungen hat eine Gleichung?", "Was kann man über die Art der Lösungen sagen?" untersucht. Diese Fragen führten zur Ausweitung der Algebra auf nichtnumerische Objekte wie Permutationen, Vektoren, Matrizen und Polynome. Die strukturellen Eigenschaften dieser nichtnumerischen Objekte wurden dann in algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe und Felder formalisiert. ⓘ

Vor dem 16. Jahrhundert war die Mathematik in nur zwei Teilgebiete unterteilt: Arithmetik und Geometrie. Auch wenn einige Methoden, die schon viel früher entwickelt wurden, heute als Algebra bezeichnet werden, ist die Entstehung der Algebra und bald darauf der Infinitesimalrechnung als Teilgebiete der Mathematik erst im 16. oder 17. Ab der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts entstanden zahlreiche neue Gebiete der Mathematik, die sich zumeist sowohl der Arithmetik als auch der Geometrie bedienten und fast alle die Algebra verwendeten. ⓘ

Heute ist die Algebra stark gewachsen und umfasst viele Zweige der Mathematik, wie aus der Klassifikation der mathematischen Fächer hervorgeht zu sehen ist, wo keiner der Bereiche der ersten Ebene (zweistellige Einträge) als Algebra bezeichnet wird. Heute umfasst die Algebra die Abschnitte 08 - Allgemeine algebraische Systeme, 12 - Feldtheorie und Polynome, 13 - Kommutative Algebra, 15 - Lineare und multilineare Algebra, Matrixtheorie, 16 - Assoziative Ringe und Algebren, 17 - Nichtassoziative Ringe und Algebren, 18 - Kategorientheorie, homologische Algebra, 19 - K-Theorie und 20 - Gruppentheorie. Die Algebra wird auch in der 11-Zahlentheorie und der 14-Algebraischen Geometrie ausgiebig genutzt. ⓘ

Geschichte

Die Verwendung des Wortes "Algebra" zur Bezeichnung eines Teils der Mathematik stammt wahrscheinlich aus dem 16. Das Wort leitet sich von dem arabischen Wort al-jabr ab, das im Titel der um 820 von Al-Kwarizmi verfassten Abhandlung Al-Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala (Das umfassende Buch über das Rechnen durch Vervollständigung und Gleichgewicht) erscheint. ⓘ

Al-jabr bezog sich auf eine Methode zur Umformung von Gleichungen, bei der gleiche Terme von beiden Seiten subtrahiert oder ein Term von einer Seite auf die andere übertragen wird, nachdem sein Vorzeichen geändert wurde. ⓘ

Die Algebra bezog sich also ursprünglich auf die Manipulation von Gleichungen und damit auf die Theorie der Gleichungen. Dies ist auch heute noch das, was Historiker der Mathematik im Allgemeinen unter Algebra verstehen. ⓘ

In der Mathematik hat sich die Bedeutung der Algebra nach der Einführung von Symbolen (Variablen) zur Bezeichnung unbekannter oder unvollständig spezifizierter Zahlen durch François Viète und der daraus resultierenden Verwendung der mathematischen Notation für Gleichungen und Formeln weiterentwickelt. So wurde die Algebra im Wesentlichen zum Studium der Wirkung von Operationen auf Ausdrücke mit Variablen. Dies schließt die Theorie der Gleichungen ein, ist aber nicht darauf beschränkt. ⓘ

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts entwickelte sich die Algebra weiter, indem sie Operationen berücksichtigte, die nicht nur auf Zahlen, sondern auch auf Elemente so genannter mathematischer Strukturen wie Gruppen, Felder und Vektorräume wirken. Diese neue Algebra wurde von van der Waerden in seiner namensgebenden Abhandlung als moderne Algebra bezeichnet, deren Name in späteren Ausgaben in Algebra geändert wurde. ⓘ

Frühe Geschichte der Algebra

Eine Seite aus Al-Khwārizmīs al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala

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Die Wurzeln der Algebra lassen sich bis zu den alten Babyloniern zurückverfolgen, die ein fortschrittliches arithmetisches System entwickelten, mit dem sie in der Lage waren, Berechnungen auf algorithmische Weise durchzuführen. Die Babylonier entwickelten Formeln zur Berechnung von Lösungen für Probleme, die heute in der Regel mit linearen Gleichungen, quadratischen Gleichungen und unbestimmten linearen Gleichungen gelöst werden. Im Gegensatz dazu lösten die meisten Ägypter dieser Epoche sowie die griechische und chinesische Mathematik im 1. Jahrtausend v. Chr. solche Gleichungen in der Regel mit geometrischen Methoden, wie sie im mathematischen Papyrus von Rhind, in Euklids Elementen und in den Neun Kapiteln über die mathematische Kunst beschrieben sind. Die geometrischen Arbeiten der Griechen, wie sie in den Elementen beschrieben sind, bildeten den Rahmen für die Verallgemeinerung von Formeln über die Lösung bestimmter Probleme hinaus in allgemeinere Systeme zur Angabe und Lösung von Gleichungen, obwohl dies erst mit der Entwicklung der Mathematik im mittelalterlichen Islam verwirklicht wurde. ⓘ

Zur Zeit Platons hatte die griechische Mathematik einen drastischen Wandel erfahren. Die Griechen schufen eine geometrische Algebra, in der die Begriffe durch Seiten von geometrischen Objekten, in der Regel Linien, dargestellt wurden, denen Buchstaben zugeordnet waren. Diophantus (3. Jahrhundert n. Chr.) war ein griechischer Mathematiker aus Alexandria und Autor einer Reihe von Büchern mit dem Titel Arithmetica. Diese Texte befassen sich mit dem Lösen algebraischer Gleichungen und haben in der Zahlentheorie zum modernen Begriff der Diophantischen Gleichung geführt. ⓘ

Die oben beschriebenen früheren Traditionen hatten einen direkten Einfluss auf den persischen Mathematiker Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (ca. 780-850). Er verfasste später das Buch The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing, das die Algebra als eine von Geometrie und Arithmetik unabhängige mathematische Disziplin etablierte. ⓘ

Die hellenistischen Mathematiker Hero von Alexandria und Diophantus sowie indische Mathematiker wie Brahmagupta setzten die Traditionen Ägyptens und Babylons fort, obwohl Diophantus' Arithmetica und Brahmaguptas Brāhmasphuṭasiddhānta auf einem höheren Niveau stehen. So beschrieb Brahmagupta in seinem 628 n. Chr. veröffentlichten Buch Brahmasphutasiddhanta die erste vollständige arithmetische Lösung quadratischer Gleichungen in Worten statt in Symbolen, einschließlich der Null- und Negativlösungen. Später entwickelten persische und arabische Mathematiker die algebraischen Methoden zu einem viel höheren Grad an Raffinesse. Obwohl Diophantus und die Babylonier meist spezielle Ad-hoc-Methoden zur Lösung von Gleichungen verwendeten, war der Beitrag von Al-Khwarizmi von grundlegender Bedeutung. Er löste lineare und quadratische Gleichungen ohne algebraische Symbolik, negative Zahlen oder Null, so dass er mehrere Arten von Gleichungen unterscheiden musste. ⓘ

In dem Kontext, in dem Algebra mit der Theorie der Gleichungen identifiziert wird, ist der griechische Mathematiker Diophantus traditionell als "Vater der Algebra" bekannt, und in dem Kontext, in dem sie mit Regeln zur Handhabung und Lösung von Gleichungen identifiziert wird, gilt der persische Mathematiker al-Khwarizmi als "Vater der Algebra". Es lässt sich darüber streiten, ob Diophantus oder al-Khwarizmi eher berechtigt ist, im allgemeinen Sinne als "Vater der Algebra" bezeichnet zu werden. Die Befürworter von Diophantus verweisen auf die Tatsache, dass die Algebra in Al-Jabr etwas elementarer ist als die Algebra in der Arithmetica und dass die Arithmetica synkopisch ist, während Al-Jabr vollständig rhetorisch ist. Die Befürworter von Al-Khwarizmi verweisen auf die Tatsache, dass er die Methoden der "Reduktion" und des "Ausgleichs" (die Verschiebung subtrahierter Terme auf die andere Seite einer Gleichung, d. h. die Aufhebung gleichartiger Terme auf gegenüberliegenden Seiten der Gleichung) einführte, auf die sich der Begriff al-jabr ursprünglich bezog, und dass er eine umfassende Erklärung der Lösung quadratischer Gleichungen gab, die durch geometrische Beweise unterstützt wurde, während er die Algebra als eigenständige Disziplin behandelte. In seiner Algebra ging es auch nicht mehr um "eine Reihe von zu lösenden Problemen, sondern um eine Darstellung, die von primitiven Begriffen ausgeht, deren Kombinationen alle möglichen Prototypen für Gleichungen ergeben müssen, die von nun an ausdrücklich den eigentlichen Gegenstand des Studiums darstellen". Er untersuchte auch eine Gleichung um ihrer selbst willen und "in einer generischen Weise, insofern sie nicht einfach im Verlauf der Lösung eines Problems auftaucht, sondern spezifisch zur Definition einer unendlichen Klasse von Problemen herangezogen wird". ⓘ

Einem anderen persischen Mathematiker, Omar Khayyam, wird das Verdienst zugeschrieben, die Grundlagen der algebraischen Geometrie identifiziert und die allgemeine geometrische Lösung der kubischen Gleichung gefunden zu haben. Sein Buch Treatise on Demonstrations of Problems of Algebra (1070), in dem die Grundsätze der Algebra niedergelegt sind, ist Teil des Korpus der persischen Mathematik, der schließlich nach Europa übertragen wurde. Ein weiterer persischer Mathematiker, Sharaf al-Dīn al-Tūsī, fand algebraische und numerische Lösungen für verschiedene Fälle von kubischen Gleichungen. Er entwickelte auch das Konzept der Funktion. Die indischen Mathematiker Mahavira und Bhaskara II, der persische Mathematiker Al-Karaji und der chinesische Mathematiker Zhu Shijie lösten verschiedene Fälle von kubischen, quartischen, quintischen und polynomischen Gleichungen höherer Ordnung mit numerischen Methoden. Im 13. Jahrhundert steht die Lösung einer kubischen Gleichung durch Fibonacci stellvertretend für den Beginn einer Wiederbelebung der europäischen Algebra. Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412-1486) unternahm "die ersten Schritte zur Einführung der algebraischen Symbolik". Er berechnete auch Σn², Σn³ und verwendete die Methode der sukzessiven Annäherung zur Bestimmung von Quadratwurzeln. ⓘ

Moderne Geschichte der Algebra

Der italienische Mathematiker Girolamo Cardano veröffentlichte 1545 in seinem Buch Ars magna die Lösungen der kubischen und quartischen Gleichungen. ⓘ

Die Arbeiten von François Viète zur neuen Algebra am Ende des 16. Jahrhunderts waren ein wichtiger Schritt auf dem Weg zur modernen Algebra. Im Jahr 1637 veröffentlichte René Descartes La Géométrie, in der er die analytische Geometrie erfand und die moderne algebraische Notation einführte. Ein weiteres Schlüsselereignis für die weitere Entwicklung der Algebra war die allgemeine algebraische Lösung der kubischen und quartischen Gleichungen, die Mitte des 16. Jahrhunderts von dem japanischen Mathematiker Seki Kōwa und zehn Jahre später unabhängig davon von Gottfried Leibniz entwickelt wurde, um Systeme simultaner linearer Gleichungen mit Hilfe von Matrizen zu lösen. Auch Gabriel Cramer befasste sich im 18. Jahrhundert mit Matrizen und Determinanten. Permutationen wurden von Joseph-Louis Lagrange in seinem 1770 erschienenen Werk "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" untersucht, das sich mit der Lösung algebraischer Gleichungen befasste und in dem er Lagrange-Resolventen einführte. Paolo Ruffini war der erste, der die Theorie der Permutationsgruppen entwickelte, und zwar, wie seine Vorgänger, ebenfalls im Zusammenhang mit der Lösung algebraischer Gleichungen. ⓘ

Die abstrakte Algebra wurde im 19. Jahrhundert aus dem Interesse an der Lösung von Gleichungen heraus entwickelt und konzentrierte sich zunächst auf das, was heute Galoistheorie genannt wird, und auf Fragen der Konstruierbarkeit. George Peacock war der Begründer des axiomatischen Denkens in Arithmetik und Algebra. Augustus De Morgan entdeckte die Relationenalgebra in seinem Syllabus of a Proposed System of Logic. Josiah Willard Gibbs entwickelte eine Algebra der Vektoren im dreidimensionalen Raum, und Arthur Cayley entwickelte eine Algebra der Matrizen (dies ist eine nicht-kommutative Algebra). ⓘ

Zeit der Babylonier

Bereits 2000 Jahre vor unserer Zeitrechnung waren die Babylonier in der Lage, Gleichungssysteme der Form

${\begin{aligned}x+y&=p\\xy&=q\,,\end{aligned}}$

die äquivalent zu einer quadratischen Gleichung der Form $x^{2}+q=px$ sind, zu lösen. Solche Gleichungen können irrationale Zahlen als Lösungen haben. Die Babylonier interessierten sich jedoch nicht für exakte Lösungen, sondern berechneten, meist mit Hilfe linearer Interpolation, ungefähre Lösungen. Auch befassten sich die Babylonier noch nicht mit negativen Zahlen. Eine der bekanntesten Tontafeln der Babylonier ist Plimpton 322, die zwischen 1900 und 1600 v. Chr. erstellt wurde. Sie listet pythagoreische Tripel, was bedeutet, dass die Babylonier bereits 1000 Jahre vor Pythagoras die Bedeutung dieser Zahlen kannten. ⓘ

Bereiche der Mathematik, die das Wort Algebra in ihrem Namen tragen

Vorlesung über lineare Algebra an der Aalto-Universität ⓘ

Einige Teilgebiete der Algebra haben das Wort Algebra in ihrem Namen; die lineare Algebra ist ein Beispiel dafür. Andere haben es nicht: Gruppentheorie, Ringtheorie und Feldtheorie sind Beispiele dafür. In diesem Abschnitt werden einige Bereiche der Mathematik aufgeführt, die das Wort "Algebra" im Namen tragen. ⓘ

• Elementare Algebra, der Teil der Algebra, der normalerweise in den Grundkursen der Mathematik gelehrt wird.
• Abstrakte Algebra, in der algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe und Felder axiomatisch definiert und untersucht werden.
• Lineare Algebra, in der die spezifischen Eigenschaften von linearen Gleichungen, Vektorräumen und Matrizen untersucht werden.
• Boolesche Algebra, ein Zweig der Algebra, der die Berechnung mit den Wahrheitswerten falsch und wahr abstrahiert.
• Kommutative Algebra, die Lehre von den kommutativen Ringen.
• Computeralgebra, die Umsetzung algebraischer Methoden in Algorithmen und Computerprogramme.
• Homologische Algebra, die Lehre von den algebraischen Strukturen, die für die Untersuchung topologischer Räume grundlegend sind.
• Universelle Algebra, in der Eigenschaften untersucht werden, die allen algebraischen Strukturen gemeinsam sind.
• Algebraische Zahlentheorie, in der die Eigenschaften von Zahlen aus algebraischer Sicht untersucht werden.
• Algebraische Geometrie, ein Zweig der Geometrie, der in seiner ursprünglichen Form Kurven und Flächen als Lösungen von Polynomgleichungen beschreibt.
• Algebraische Kombinatorik, bei der algebraische Methoden zur Untersuchung kombinatorischer Fragen verwendet werden.
• Relationale Algebra: eine Menge endlicher Beziehungen, die unter bestimmten Operatoren geschlossen ist. ⓘ

Viele mathematische Strukturen werden als Algebren bezeichnet:

• Algebra über einem Feld oder, allgemeiner, Algebra über einem Ring.
  Viele Klassen von Algebren über einem Feld oder über einem Ring haben einen speziellen Namen:
  • Assoziative Algebra
  • Nicht-assoziative Algebra
  • Lie-Algebra
  • Kompositionsalgebra
  • Hopf-Algebra
  • C*-Algebra
  • Symmetrische Algebra
  • Äußere Algebra
  • Tensor-Algebra
• In der Maßtheorie,
  • Sigma-Algebra
  • Algebra über einer Menge
• In der Kategorientheorie
  • F-Algebra und F-Kohlenalgebra
  • T-Algebra
• In der Logik,
  • Relationenalgebra, eine residuierte Boolesche Algebra, die durch eine Involution, die sogenannte Konverse, erweitert wird.
  • Boolesche Algebra, ein komplementäres distributives Gitter.
  • Heyting-Algebra ⓘ

Elementare Algebra

Notation algebraischer Ausdrücke:
  1 - Potenz (Exponent)
  2 - Koeffizient
  3 - Term
  4 - Operator
  5 - konstanter Term
  x y c - Variablen/Konstanten ⓘ

Die elementare Algebra ist die grundlegendste Form der Algebra. Sie wird Schülern beigebracht, bei denen man davon ausgeht, dass sie über die Grundprinzipien der Arithmetik hinaus keine weiteren Kenntnisse in Mathematik haben. In der Arithmetik kommen nur Zahlen und ihre arithmetischen Operationen (wie +, -, ×, ÷) vor. In der Algebra werden Zahlen oft durch Symbole dargestellt, die als Variablen bezeichnet werden (z. B. a, n, x, y oder z). Dies ist nützlich, weil:

• Es ermöglicht die allgemeine Formulierung von arithmetischen Gesetzen (wie a + b = b + a für alle a und b) und ist somit der erste Schritt zu einer systematischen Erkundung der Eigenschaften des reellen Zahlensystems.
• Sie ermöglicht es, auf "unbekannte" Zahlen zu verweisen, Gleichungen zu formulieren und zu untersuchen, wie diese gelöst werden können. (Zum Beispiel: "Finde eine Zahl x, so dass 3x + 1 = 10 ist" oder etwas weitergehend "Finde eine Zahl x, so dass ax + b = c ist". Dieser Schritt führt zu der Schlussfolgerung, dass es nicht die Art der spezifischen Zahlen ist, die es uns erlaubt, sie zu lösen, sondern die der beteiligten Operationen.)
• Er ermöglicht die Formulierung von funktionalen Beziehungen. (Zum Beispiel: "Wenn du x Eintrittskarten verkaufst, beträgt dein Gewinn 3x - 10 Dollar, oder f(x) = 3x - 10, wobei f die Funktion und x die Zahl ist, auf die die Funktion angewendet wird"). ⓘ

Polynome

Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3 ⓘ

Ein Polynom ist ein Ausdruck, der die Summe einer endlichen Anzahl von Termen ungleich Null ist, wobei jeder Term aus dem Produkt einer Konstanten und einer endlichen Anzahl von Variablen in ganzzahligen Potenzen besteht. Zum Beispiel ist x² + 2x - 3 ein Polynom in der einzigen Variablen x. Ein polynomischer Ausdruck ist ein Ausdruck, der unter Verwendung der Kommutativität, Assoziativität und Distributivität von Addition und Multiplikation in ein Polynom umgeschrieben werden kann. Zum Beispiel ist (x - 1)(x + 3) ein polynomieller Ausdruck, der genau genommen kein Polynom ist. Eine Polynomfunktion ist eine Funktion, die durch ein Polynom oder einen Polynomausdruck definiert ist. Die beiden vorangegangenen Beispiele definieren die gleiche Polynomfunktion. ⓘ

Zwei wichtige und verwandte Probleme in der Algebra sind die Faktorisierung von Polynomen, d. h. die Darstellung eines bestimmten Polynoms als Produkt anderer Polynome, die nicht weiter faktorisiert werden können, und die Berechnung der größten gemeinsamen Teiler von Polynomen. Das obige Beispielpolynom kann als (x - 1)(x + 3) faktorisiert werden. Eine verwandte Klasse von Problemen ist die Suche nach algebraischen Ausdrücken für die Wurzeln eines Polynoms in einer einzigen Variablen. ⓘ

Bildung

Es wurde vorgeschlagen, dass die elementare Algebra bereits Schülern im Alter von elf Jahren beigebracht werden sollte, obwohl es in den letzten Jahren in den Vereinigten Staaten üblicher ist, dass der öffentliche Unterricht in der achten Klasse (≈ 13 Jahre ±) beginnt. In einigen US-Schulen wird Algebra jedoch bereits in der neunten Klasse unterrichtet. ⓘ

Abstrakte Algebra

Die abstrakte Algebra erweitert die bekannten Konzepte aus der elementaren Algebra und der Arithmetik der Zahlen auf allgemeinere Konzepte. Hier sind die grundlegenden Konzepte der abstrakten Algebra aufgeführt. ⓘ

Mengen: Die abstrakte Algebra befasst sich nicht nur mit den verschiedenen Zahlentypen, sondern mit dem allgemeineren Konzept der Mengen: Sammlungen von Objekten, die Elemente genannt werden. Alle Sammlungen der bekannten Zahlentypen sind Mengen. Weitere Beispiele für Mengen sind die Menge aller zwei-mal-zwei-Matrizen, die Menge aller Polynome zweiten Grades (ax² + bx + c), die Menge aller zweidimensionalen Vektoren einer Ebene und die verschiedenen endlichen Gruppen wie die zyklischen Gruppen, die Gruppen der ganzen Zahlen modulo n. Die Mengenlehre ist ein Zweig der Logik und technisch gesehen kein Zweig der Algebra. ⓘ

Binäre Operationen: Der Begriff der Addition (+) wird zum Begriff der binären Operation verallgemeinert (hier mit ∗ bezeichnet). Der Begriff der binären Operation ist ohne die Menge, auf der die Operation definiert ist, bedeutungslos. Für zwei Elemente a und b in einer Menge S ist a ∗ b ein weiteres Element in der Menge; diese Bedingung wird Schließung genannt. Addition (+), Subtraktion (-), Multiplikation (×) und Division (÷) können binäre Operationen sein, wenn sie auf verschiedenen Mengen definiert sind, ebenso wie die Addition und Multiplikation von Matrizen, Vektoren und Polynomen. ⓘ

Identitätselemente: Die Zahlen Null und Eins werden verallgemeinert, um den Begriff eines Identitätselements für eine Operation zu definieren. Die Null ist das Identitätselement für die Addition und die Eins ist das Identitätselement für die Multiplikation. Für einen allgemeinen binären Operator ∗ muss das Identitätselement e die Bedingung a ∗ e = a und e ∗ a = a erfüllen, und es ist notwendigerweise eindeutig, falls es existiert. Dies gilt für die Addition als a + 0 = a und 0 + a = a und die Multiplikation a × 1 = a und 1 × a = a. Nicht alle Mengen und Operatorkombinationen haben ein Identitätselement; so hat beispielsweise die Menge der positiven natürlichen Zahlen (1, 2, 3, ...) kein Identitätselement für die Addition. ⓘ

Inverse Elemente: Bei den negativen Zahlen gibt es das Konzept der inversen Elemente. Bei der Addition wird die Umkehrung von a als -a und bei der Multiplikation als a-1 geschrieben. Ein allgemeines zweiseitiges inverses Element a-1 erfüllt die Eigenschaft, dass a ∗ a-1 = e und a-1 ∗ a = e ist, wobei e das Identitätselement ist. ⓘ

Assoziativität: Die Addition von ganzen Zahlen hat eine Eigenschaft, die Assoziativität genannt wird. Das heißt, die Gruppierung der zu addierenden Zahlen hat keinen Einfluss auf die Summe. Zum Beispiel: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Im Allgemeinen wird daraus (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c). Diese Eigenschaft gilt für die meisten binären Operationen, nicht aber für die Subtraktion, die Division oder die Oktonium-Multiplikation. ⓘ

Kommutativität: Addition und Multiplikation von reellen Zahlen sind beide kommutativ. Das heißt, die Reihenfolge der Zahlen hat keinen Einfluss auf das Ergebnis. Zum Beispiel: 2 + 3 = 3 + 2. Im Allgemeinen wird daraus a ∗ b = b ∗ a. Diese Eigenschaft gilt nicht für alle binären Operationen. So sind zum Beispiel die Matrixmultiplikation und die Quaternionenmultiplikation beide nicht kommutativ. ⓘ

Gruppen

Kombiniert man die oben genannten Konzepte, erhält man eine der wichtigsten Strukturen in der Mathematik: eine Gruppe. Eine Gruppe ist eine Kombination aus einer Menge S und einer einzelnen Binäroperation ∗, die beliebig definiert werden kann, aber die folgenden Eigenschaften hat:

• Es gibt ein Identitätselement e, so dass für jedes Mitglied a von S sowohl e ∗ a als auch a ∗ e identisch mit a sind.
• Jedes Element hat einen Kehrwert: Für jedes Glied a von S gibt es ein Glied a-1, so dass a ∗ a-1 und a-1 ∗ a beide mit dem Identitätselement identisch sind.
• Die Operation ist assoziativ: Wenn a, b und c Mitglieder von S sind, dann ist (a ∗ b) ∗ c identisch mit a ∗ (b ∗ c). ⓘ

Ist eine Gruppe auch kommutativ - d. h. für zwei beliebige Glieder a und b von S ist a ∗ b identisch mit b ∗ a -, so nennt man die Gruppe abelsch. ⓘ

Zum Beispiel ist die Menge der ganzen Zahlen unter der Operation der Addition eine Gruppe. In dieser Gruppe ist das Identitätselement 0 und der Kehrwert jedes Elements a ist seine Negation, -a. Die Bedingung der Assoziativität ist erfüllt, da für jede ganze Zahl a, b und c, (a + b) + c = a + (b + c) ⓘ

Die rationalen Zahlen ungleich Null bilden eine Gruppe unter Multiplikation. Hier ist das Identitätselement 1, da 1 × a = a × 1 = a für jede rationale Zahl a. Der Kehrwert von a ist 1/a, da a × 1/a = 1. ⓘ

Die ganzen Zahlen unter der Multiplikationsoperation bilden jedoch keine Gruppe. Das liegt daran, dass die multiplikative Umkehrung einer ganzen Zahl im Allgemeinen keine ganze Zahl ist. Zum Beispiel ist 4 eine ganze Zahl, aber ihr multiplikativer Kehrwert ist 1/4, was keine ganze Zahl ist. ⓘ

Die Theorie der Gruppen wird in der Gruppentheorie untersucht. Ein wichtiges Ergebnis dieser Theorie ist die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, die hauptsächlich zwischen 1955 und 1983 veröffentlicht wurde und die endlichen einfachen Gruppen in etwa 30 Grundtypen unterteilt. ⓘ

Halbgruppen, Quasi-Gruppen und Monoide sind algebraische Strukturen, die den Gruppen ähnlich sind, aber weniger Einschränkungen bei den Operationen aufweisen. Sie bestehen aus einer Menge und einer geschlossenen binären Operation, erfüllen aber nicht unbedingt die anderen Bedingungen. Eine Halbgruppe hat eine assoziative Binäroperation, hat aber möglicherweise kein Identitätselement. Ein Monoid ist eine Halbgruppe, die zwar eine Identität hat, aber möglicherweise nicht für jedes Element eine Umkehrung besitzt. Eine Quasigruppe erfüllt die Bedingung, dass jedes Element durch eine eindeutige Links- oder Rechtsmultiplikation in ein beliebiges anderes umgewandelt werden kann; die binäre Operation ist jedoch möglicherweise nicht assoziativ. ⓘ

Alle Gruppen sind Monoide, und alle Monoide sind Halbgruppen. ⓘ

Beispiele ⓘ

Menge	Natürliche Zahlen N		Ganze Zahlen Z		Rationale Zahlen Q Reelle Zahlen R Komplexe Zahlen C				Ganze Zahlen modulo 3 Z/3Z = {0, 1, 2}
Operation	+	×	+	×	+	−	×	÷	+	×
Geschlossen	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja	Nein	Ja	Ja
Identität	0	1	0	1	0	K.A.	1	K.A.	0	1
Umgekehrt	K.A.	K.A.	-a	K.A.	-a	K.A.	1/a (a ≠ 0)	K.A.	0, 2, 1, bzw.	N/A, 1, 2, bzw.
Assoziativ	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja	Nein	Ja	Nein	Ja	Ja
Kommutativ	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja	Nein	Ja	Nein	Ja	Ja
Struktur	Monoid	Monoid	abelsche Gruppe	Monoid	abelsche Gruppe	Quasigruppe	Monoid	Quasigruppe	abelsche Gruppe	Monoid

Ringe und Felder

Gruppen haben nur eine binäre Operation. Um das Verhalten der verschiedenen Arten von Zahlen vollständig zu erklären, müssen Strukturen mit zwei Operatoren untersucht werden. Die wichtigsten dieser Strukturen sind Ringe und Felder. ⓘ

Ein Ring hat zwei binäre Operationen (+) und (×), wobei × über + distributiv ist. Unter dem ersten Operator (+) bildet er eine abelsche Gruppe. Unter dem zweiten Operator (×) ist er assoziativ, aber er muss weder eine Identität noch eine Inverse haben, so dass eine Division nicht erforderlich ist. Das additive (+) Identitätselement wird als 0 geschrieben und die additive Umkehrung von a wird als -a geschrieben. ⓘ

Die Distributivität verallgemeinert das Distributivgesetz für Zahlen. Für die ganzen Zahlen (a + b) × c = a × c + b × c und c × (a + b) = c × a + c × b und × gilt als distributiv über +. ⓘ

Die ganzen Zahlen sind ein Beispiel für einen Ring. Die ganzen Zahlen haben zusätzliche Eigenschaften, die sie zu einem integralen Bereich machen. ⓘ

Ein Feld ist ein Ring mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass alle Elemente außer 0 eine abelsche Gruppe unter × bilden. Die multiplikative (×) Identität wird als 1 und die multiplikative Umkehrung von a wird als a-1 geschrieben. ⓘ

Die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen sind allesamt Beispiele für Felder. ⓘ