Mannigfaltigkeit

Die reale projektive Ebene ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, die in drei Dimensionen nicht realisiert werden kann, ohne sich selbst zu schneiden, hier dargestellt als Boys Oberfläche. ⓘ

Die Oberfläche der Erde erfordert (mindestens) zwei Karten, um jeden Punkt zu erfassen. Hier wird der Globus in Karten um den Nord- und Südpol zerlegt. ⓘ

In der Mathematik ist eine Mannigfaltigkeit ein topologischer Raum, der in der Nähe jedes Punktes lokal dem euklidischen Raum ähnelt. Genauer gesagt ist eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit, oder kurz n-Mannigfaltigkeit, ein topologischer Raum mit der Eigenschaft, dass jeder Punkt eine Nachbarschaft hat, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge des n-dimensionalen euklidischen Raums ist. ⓘ

Zu den eindimensionalen Mannigfaltigkeiten gehören Linien und Kreise, aber keine Lemniskaten. Zweidimensionale Mannigfaltigkeiten werden auch als Oberflächen bezeichnet. Beispiele sind die Ebene, die Kugel und der Torus sowie die Kleinsche Flasche und die reelle projektive Ebene. ⓘ

Das Konzept der Mannigfaltigkeit ist für viele Bereiche der Geometrie und der modernen mathematischen Physik von zentraler Bedeutung, da es die Beschreibung komplizierter Strukturen anhand der gut verstandenen topologischen Eigenschaften einfacher Räume ermöglicht. Mannigfaltigkeiten entstehen natürlich als Lösungsmengen von Gleichungssystemen und als Graphen von Funktionen. Das Konzept findet auch in der Computergrafik Anwendung, wenn es darum geht, Bilder mit Koordinaten zu verknüpfen (z. B. bei CT-Scans). ⓘ

Mannigfaltigkeiten können mit einer zusätzlichen Struktur versehen werden. Eine wichtige Klasse von Mannigfaltigkeiten sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten; ihre differenzierbare Struktur ermöglicht es, Berechnungen anzustellen. Eine Riemannsche Metrik auf einer Mannigfaltigkeit ermöglicht die Messung von Abständen und Winkeln. Symplektische Mannigfaltigkeiten dienen als Phasenräume im Hamiltonschen Formalismus der klassischen Mechanik, während vierdimensionale Lorentzsche Mannigfaltigkeiten die Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie modellieren. ⓘ

Das Studium von Mannigfaltigkeiten erfordert Grundkenntnisse in Kalkül und Topologie. ⓘ

Die Sphäre kann mit mehreren Abbildungen „plattgedrückt“ werden. Entsprechend kann die Erdoberfläche in einem Atlas dargestellt werden. ⓘ

Mannigfaltigkeiten sind der zentrale Gegenstand der Differentialgeometrie; sie haben bedeutende Anwendungen in der theoretischen Physik. ⓘ

Motivierende Beispiele

Kreis

Abbildung 1: Die vier Diagramme bilden jeweils einen Teil des Kreises auf ein offenes Intervall ab und decken zusammen den gesamten Kreis ab. ⓘ

Nach einer Linie ist ein Kreis das einfachste Beispiel für eine topologische Mannigfaltigkeit. Die Topologie ignoriert Krümmungen, so dass ein kleines Stück eines Kreises genauso behandelt wird wie ein kleines Stück einer Linie. Betrachten wir zum Beispiel den oberen Teil des Einheitskreises, x² + y² = 1, wobei die y-Koordinate positiv ist (in Abbildung 1 durch den gelben Bogen gekennzeichnet). Jeder Punkt dieses Bogens kann eindeutig durch seine x-Koordinate beschrieben werden. Die Projektion auf die erste Koordinate ist also eine stetige und invertierbare Abbildung vom oberen Bogen auf das offene Intervall (-1, 1):

$$\chi _{\mathrm {top} }(x,y)=x.\,$$

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Solche Funktionen und die offenen Bereiche, die sie abbilden, werden Diagramme genannt. In ähnlicher Weise gibt es Karten für den unteren (rot), linken (blau) und rechten (grün) Teil des Kreises:

$${\begin{aligned}\chi _{\mathrm {bottom} }(x,y)&=x\\\chi _{\mathrm {left} }(x,y)&=y\\\chi _{\mathrm {right} }(x,y)&=y.\end{aligned}}$$

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Zusammen decken diese Teile den gesamten Kreis ab, und die vier Karten bilden einen Atlas für den Kreis. ⓘ

Die Karten oben und rechts, $\chi _{\mathrm {top} }$ und $\chi _{\mathrm {right} }$ überschneiden sich in ihrem Bereich: Ihr Schnittpunkt liegt in dem Viertel des Kreises, in dem beide $x$ und $y$-Koordinaten positiv sind. Beide bilden diesen Teil in das Intervall $(0,1)$ab, wenn auch auf unterschiedliche Weise. So kann eine Funktion $T:(0,1)\rightarrow (0,1)=\chi _{\mathrm {right} }\circ \chi _{\mathrm {top} }^{-1}$ konstruiert werden, die Werte aus dem gemeinsamen Bereich von $\chi _{\mathrm {top} }$ über die Umkehrung auf den Kreis zurückführt, gefolgt von $\chi _{\mathrm {right} }$ auf das Intervall zurückführt. Für eine beliebige Zahl a in $(0,1)$, dann:

$${\begin{aligned}T(a)&=\chi _{\mathrm {right} }\left(\chi _{\mathrm {top} }^{-1}\left[a\right]\right)\\&=\chi _{\mathrm {right} }\left(a,{\sqrt {1-a^{2}}}\right)\\&={\sqrt {1-a^{2}}}\end{aligned}}$$

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Eine solche Funktion nennt man eine Übergangskarte. ⓘ

Abbildung 2: Eine auf der Steigung basierende Kreisverteilungskarte, die bis auf einen Punkt alle Punkte des Kreises abdeckt. ⓘ

Die Diagramme oben, unten, links und rechts sind nicht die einzigen möglichen Atlanten. Die Karten müssen keine geometrischen Projektionen sein, und die Anzahl der Karten ist eine Frage der Wahl. Betrachten Sie die Diagramme

$$\chi _{\mathrm {minus} }(x,y)=s={\frac {y}{1+x}}$$

und

$$\chi _{\mathrm {plus} }(x,y)=t={\frac {y}{1-x}}$$

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Dabei ist s die Steigung der Linie durch den Punkt mit den Koordinaten (x, y) und den festen Drehpunkt (-1, 0); t ist das Gegenteil der Steigung der Linie durch die Punkte mit den Koordinaten (x, y) und (+1, 0). Die inverse Abbildung von s auf (x, y) ist gegeben durch

$${\begin{aligned}x&={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}\\[5pt]y&={\frac {2s}{1+s^{2}}}\end{aligned}}$$

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Es kann bestätigt werden, dass x² + y² = 1 für alle Werte von s und t. Diese beiden Diagramme liefern einen zweiten Atlas für den Kreis, mit der Übergangskarte

$$t={\frac {1}{s}}$$

(d. h. man hat diese Beziehung zwischen s und t für jeden Punkt, in dem s und t beide ungleich Null sind). ⓘ

Jede Karte lässt einen einzigen Punkt aus, entweder (-1, 0) für s oder (+1, 0) für t, so dass keine der beiden Karten allein ausreicht, um den gesamten Kreis zu erfassen. Es kann bewiesen werden, dass es nicht möglich ist, den gesamten Kreis mit einer einzigen Karte abzudecken. Obwohl es beispielsweise möglich ist, einen Kreis aus einem einzigen Linienintervall zu konstruieren, indem man die Enden überlappt und "verklebt", ergibt dies kein Diagramm; ein Teil des Kreises wird auf beide Enden gleichzeitig abgebildet, wodurch die Invertierbarkeit verloren geht. ⓘ

Kugel

Die Kugel ist ein Beispiel für eine Fläche. Die Einheitskugel der impliziten Gleichung

x² + y² + z² - 1 = 0

kann durch einen Atlas mit sechs Karten abgedeckt werden: Die Ebene z = 0 teilt die Kugel in zwei Halbkugeln (z > 0 und z < 0), die beide durch die Projektion auf die Koordinatenebene xy auf die Scheibe x² + y² < 1 abgebildet werden können. Auf diese Weise erhält man zwei Diagramme; die vier anderen Diagramme erhält man durch eine ähnliche Konstruktion mit den beiden anderen Koordinatenebenen. ⓘ

Für den Kreis kann man eine Karte definieren, die die gesamte Kugel mit Ausnahme eines Punktes abdeckt. Zwei Karten sind also ausreichend, aber die Kugel kann nicht durch eine einzige Karte abgedeckt werden. ⓘ

Dieses Beispiel ist historisch bedeutsam, da es die Terminologie motiviert hat; es wurde deutlich, dass die gesamte Erdoberfläche nicht durch eine einzige Karte (auch "Seekarte" genannt, siehe Seekarte) dargestellt werden kann, und dass man daher Atlanten benötigt, um die gesamte Erdoberfläche abzudecken. ⓘ

Andere Kurven

Vier Mannigfaltigkeiten aus algebraischen Kurven: ■ Kreise, ■ Parabel, ■ Hyperbel, ■ kubisch. ⓘ

Mannigfaltigkeiten müssen nicht zusammenhängend sein (alle in "einem Stück"); ein Beispiel ist ein Paar getrennter Kreise. ⓘ

Mannigfaltigkeiten müssen nicht geschlossen sein; so ist ein Linienabschnitt ohne Endpunkte eine Mannigfaltigkeit. Sie sind niemals abzählbar, es sei denn, die Dimension der Mannigfaltigkeit ist 0. Nimmt man diese Freiheiten zusammen, so sind weitere Beispiele für Mannigfaltigkeiten eine Parabel, eine Hyperbel und der Ort von Punkten auf einer kubischen Kurve y² = x³ - x (ein geschlossenes Schleifenstück und ein offenes, unendliches Stück). ⓘ

Ausgeschlossen sind jedoch Beispiele wie zwei sich berührende Kreise, die einen gemeinsamen Punkt haben, um eine Achterfigur zu bilden; an dem gemeinsamen Punkt kann kein zufriedenstellendes Diagramm erstellt werden. Selbst mit der von der Topologie erlaubten Biegung sieht die Umgebung des gemeinsamen Punktes wie ein "+" aus, nicht wie eine Linie. Ein "+" ist nicht homöomorph zu einem Liniensegment, da das Löschen des Mittelpunkts aus dem "+" einen Raum mit vier Komponenten (d. h. Stücken) ergibt, während das Löschen eines Punkts aus einem Liniensegment einen Raum mit höchstens zwei Stücken ergibt; topologische Operationen erhalten immer die Anzahl der Stücke. ⓘ

Mathematische Definition

Informell ist eine Mannigfaltigkeit ein Raum, der auf den euklidischen Raum "modelliert" ist. ⓘ

Es gibt viele verschiedene Arten von Mannigfaltigkeiten. In der Geometrie und Topologie sind alle Mannigfaltigkeiten topologische Mannigfaltigkeiten, möglicherweise mit zusätzlicher Struktur. Eine Mannigfaltigkeit kann durch eine Sammlung von Koordinatendiagrammen konstruiert werden, d. h. eine Abdeckung durch offene Mengen mit Homöomorphismen zu einem euklidischen Raum und Patching-Funktionen: Homöomorphismen von einer Region des euklidischen Raums zu einer anderen Region, wenn sie demselben Teil der Mannigfaltigkeit in zwei verschiedenen Koordinatendiagrammen entsprechen. Eine Mannigfaltigkeit kann eine zusätzliche Struktur erhalten, wenn die Patching-Funktionen über die Kontinuität hinausgehende Axiome erfüllen. Zum Beispiel haben differenzierbare Mannigfaltigkeiten Homöomorphismen auf überlappenden Nachbarschaften, die zueinander diffeomorph sind, so dass die Mannigfaltigkeit eine wohldefinierte Menge von Funktionen hat, die in jeder Nachbarschaft differenzierbar sind, also auf der Mannigfaltigkeit als Ganzes differenzierbar sind. ⓘ

Formal ist eine (topologische) Mannigfaltigkeit ein zweiter abzählbarer Hausdorff-Raum, der lokal homöomorph zum euklidischen Raum ist. ⓘ

Zweitabzählbar und Hausdorff sind Punktmengenbedingungen; zweitabzählbar schließt Räume aus, die in gewissem Sinne "zu groß" sind, wie z. B. die lange Linie, während Hausdorff Räume wie "die Linie mit zwei Ursprüngen" ausschließt (diese Verallgemeinerungen von Mannigfaltigkeiten werden in Nicht-Hausdorff-Mannigfaltigkeiten diskutiert). ⓘ

Lokal homöomorph zum euklidischen Raum bedeutet, dass jeder Punkt eine Nachbarschaft hat, die homöomorph zu einer offenen euklidischen n-Kugel ist,

$$\mathbf {B} ^{n}=\left\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1\right\}.$$

Genauer gesagt bedeutet lokal homöomorph hier, dass jeder Punkt m auf der Mannigfaltigkeit M eine offene Nachbarschaft hat, die zu einer offenen Nachbarschaft im euklidischen Raum homöomorph ist. Ist jedoch ein solcher Homöomorphismus gegeben, so ergibt das Vorbild einer $\epsilon$-Kugel einen Homöomorphismus zwischen der Einheitskugel und einer kleineren Nachbarschaft von m. Dies ist also kein Verlust an Allgemeinheit. Für topologische oder differenzierbare Mannigfaltigkeiten kann man auch verlangen, dass jeder Punkt eine Nachbarschaft hat, die homöomorph zum gesamten euklidischen Raum ist (da dieser diffeomorph zur Einheitskugel ist), aber dies kann nicht für komplexe Mannigfaltigkeiten getan werden, da die komplexe Einheitskugel nicht holomorph zum komplexen Raum ist. ⓘ

Im Allgemeinen wird angenommen, dass Mannigfaltigkeiten eine feste Dimension haben (der Raum muss lokal homöomorph zu einer festen n-Kugel sein), und ein solcher Raum wird als n-Mannigfaltigkeit bezeichnet; einige Autoren lassen jedoch Mannigfaltigkeiten zu, bei denen verschiedene Punkte unterschiedliche Dimensionen haben können. Wenn eine Mannigfaltigkeit eine feste Dimension hat, nennt man sie eine reine Mannigfaltigkeit. So hat beispielsweise die (Oberfläche einer) Kugel eine konstante Dimension von 2 und ist daher eine reine Mannigfaltigkeit, während die disjunkte Vereinigung einer Kugel und einer Linie im dreidimensionalen Raum keine reine Mannigfaltigkeit ist. Da die Dimension eine lokale Invariante ist (d. h. die Abbildung, die jeden Punkt in die Dimension seiner Umgebung schickt, über die ein Diagramm definiert ist, ist lokal konstant), hat jede zusammenhängende Komponente eine feste Dimension. ⓘ

Schematheoretisch gesehen ist eine Mannigfaltigkeit ein lokal beringter Raum, dessen Strukturscheide lokal isomorph zur Scheide kontinuierlicher (oder differenzierbarer, oder komplex-analytischer usw.) Funktionen im euklidischen Raum ist. Diese Definition wird meist verwendet, wenn es um analytische Mannigfaltigkeiten in der algebraischen Geometrie geht. ⓘ

Seekarten, Atlanten und Übergangskarten

Die sphärische Erde wird mit Hilfe von flachen Karten navigiert, die in einem Atlas zusammengefasst sind. In ähnlicher Weise kann eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Hilfe von mathematischen Karten, so genannten Koordinatentafeln, beschrieben werden, die in einem mathematischen Atlas gesammelt sind. Es ist im Allgemeinen nicht möglich, eine Mannigfaltigkeit mit nur einer Karte zu beschreiben, da die globale Struktur der Mannigfaltigkeit sich von der einfachen Struktur der Karten unterscheidet. So kann beispielsweise keine einzelne flache Karte die gesamte Erde darstellen, ohne dass benachbarte Merkmale über die Grenzen der Karte hinweg getrennt werden oder eine doppelte Erfassung erfolgt. Wenn ein Verteiler aus mehreren sich überschneidenden Karten konstruiert wird, enthalten die Regionen, in denen sie sich überschneiden, Informationen, die für das Verständnis der globalen Struktur wichtig sind. ⓘ

Diagramme

Eine Koordinatenkarte, ein Koordinatendiagramm oder einfach ein Diagramm einer Mannigfaltigkeit ist eine invertierbare Karte zwischen einer Teilmenge der Mannigfaltigkeit und einem einfachen Raum, so dass sowohl die Karte als auch ihre Umkehrung die gewünschte Struktur bewahren. Bei einer topologischen Mannigfaltigkeit ist der einfache Raum eine Teilmenge eines euklidischen Raums $\mathbb {R} ^{n}$ und das Interesse konzentriert sich auf die topologische Struktur. Diese Struktur wird durch Homöomorphismen erhalten, d. h. durch invertierbare Karten, die in beide Richtungen kontinuierlich sind. ⓘ

Im Falle einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ermöglicht ein Satz von Diagrammen, der Atlas genannt wird, die Berechnung auf Mannigfaltigkeiten. Polarkoordinaten bilden zum Beispiel ein Diagramm für die Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ minus der positiven x-Achse und dem Ursprung. Ein weiteres Beispiel für ein Diagramm ist die oben erwähnte Karte χ_top, ein Diagramm für den Kreis. ⓘ

Atlanten

Die Beschreibung der meisten Mannigfaltigkeiten erfordert mehr als eine Karte. Eine spezielle Sammlung von Karten, die eine Mannigfaltigkeit abdeckt, wird als Atlas bezeichnet. Ein Atlas ist nicht eindeutig, da alle Mannigfaltigkeiten auf verschiedene Weise durch unterschiedliche Kombinationen von Diagrammen abgedeckt werden können. Zwei Atlanten werden als äquivalent bezeichnet, wenn ihre Vereinigung ebenfalls ein Atlas ist. ⓘ

Der Atlas, der alle möglichen Diagramme enthält, die mit einem gegebenen Atlas übereinstimmen, wird als Maximalatlas bezeichnet (d. h. eine Äquivalenzklasse, die diesen gegebenen Atlas enthält). Im Gegensatz zu einem gewöhnlichen Atlas ist der Maximalatlas einer gegebenen Mannigfaltigkeit eindeutig. Obwohl er für Definitionen nützlich ist, ist er ein abstraktes Objekt und wird nicht direkt verwendet (z. B. in Berechnungen). ⓘ

Übergangskarten

Karten in einem Atlas können sich überschneiden, und ein einzelner Punkt einer Mannigfaltigkeit kann in mehreren Karten dargestellt werden. Wenn sich zwei Karten überschneiden, stellen Teile von ihnen dieselbe Region der Mannigfaltigkeit dar, so wie eine Karte von Europa und eine Karte von Russland beide Moskau enthalten können. Bei zwei sich überschneidenden Karten kann eine Übergangsfunktion definiert werden, die von einer offenen Kugel in $\mathbb {R} ^{n}$ zur Mannigfaltigkeit und dann zurück zu einer anderen (oder vielleicht derselben) offenen Kugel in $\mathbb {R} ^{n}$. Die resultierende Karte wird, wie die Karte T im obigen Kreisbeispiel, als Koordinatenänderung, Koordinatentransformation, Übergangsfunktion oder Übergangskarte bezeichnet. ⓘ

Zusätzliche Struktur

Ein Atlas kann auch verwendet werden, um zusätzliche Strukturen auf der Mannigfaltigkeit zu definieren. Die Struktur wird zunächst für jede Karte einzeln definiert. Wenn alle Übergangskarten mit dieser Struktur kompatibel sind, wird die Struktur auf die Mannigfaltigkeit übertragen. ⓘ

Dies ist die Standardmethode zur Definition differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Wenn die Übergangsfunktionen eines Atlasses für eine topologische Mannigfaltigkeit die natürliche Differentialstruktur von $\mathbb {R} ^{n}$ bewahren (d. h. wenn es sich um Diffeomorphismen handelt), überträgt sich die Differentialstruktur auf die Mannigfaltigkeit und macht sie zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Komplexe Mannigfaltigkeiten werden auf analoge Weise eingeführt, indem verlangt wird, dass die Übergangsfunktionen eines Atlasses holomorphe Funktionen sind. Für symplektische Mannigfaltigkeiten müssen die Übergangsfunktionen Symplektomorphismen sein. ⓘ

Die Struktur der Mannigfaltigkeit hängt vom Atlas ab, aber manchmal kann man sagen, dass verschiedene Atlanten dieselbe Struktur hervorbringen. Solche Atlanten werden als kompatibel bezeichnet. ⓘ

Diese Begriffe werden im Allgemeinen durch die Verwendung von Pseudogruppen präzisiert. ⓘ

Mannigfaltigkeit mit Rand

Eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist eine Mannigfaltigkeit mit einer Kante. Zum Beispiel ist ein Blatt Papier eine 2-Mannigfaltigkeit mit einer 1-dimensionalen Grenze. Der Rand einer n-fachen Mannigfaltigkeit mit Rand ist eine (n-1)-Mannigfaltigkeit. Eine Scheibe (Kreis plus Innenraum) ist eine 2-Mannigfaltigkeit mit Begrenzung. Ihre Begrenzung ist ein Kreis, eine 1-Mannigfaltigkeit. Ein Quadrat mit Innenraum ist ebenfalls eine 2-Mannigfaltigkeit mit Begrenzung. Eine Kugel (Kugel plus Innenraum) ist eine 3-Mannigfaltigkeit mit Begrenzung. Ihre Begrenzung ist eine Kugel, eine 2-Mannigfaltigkeit. (Nicht zu verwechseln mit Boundary (Topologie)). ⓘ

In der Fachsprache ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand ein Raum, der sowohl innere Punkte als auch Randpunkte enthält. Jeder innere Punkt hat eine homöomorphe Nachbarschaft zur offenen n-Kugel {(x₁, x₂, ..., xn) | Σxi² < 1}. Jeder Randpunkt hat eine Nachbarschaft, die homöomorph zur "halben" n-Kugel {(x₁, x₂, ..., xn) | Σxi² < 1 und x₁ ≥ 0} ist. Der Homöomorphismus muss jeden Randpunkt in einen Punkt mit x₁ = 0 überführen. ⓘ

Rand und Inneres

Sei M eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Das Innere von M, bezeichnet als Int M, ist die Menge der Punkte in M, deren Nachbarschaften homöomorph zu einer offenen Teilmenge von $\mathbb {R} ^{n}$. Der Rand von M, bezeichnet als ∂M, ist das Komplement von Int M in M. Die Randpunkte können als diejenigen Punkte charakterisiert werden, die auf der Randhyperfläche (xn = 0) von $\mathbb {R} _{+}^{n}$ unter einem Koordinatendiagramm liegen. ⓘ

Wenn M eine Mannigfaltigkeit mit Rand der Dimension n ist, dann ist Int M eine Mannigfaltigkeit (ohne Rand) der Dimension n und ∂M ist eine Mannigfaltigkeit (ohne Rand) der Dimension n - 1. ⓘ

Konstruktion

Eine einzelne Mannigfaltigkeit kann auf verschiedene Arten konstruiert werden, die jeweils einen anderen Aspekt der Mannigfaltigkeit betonen und so zu einem etwas anderen Blickwinkel führen. ⓘ

Diagramme

Die Grafik bildet den Teil der Kugel mit positiver z-Koordinate auf eine Scheibe ab. ⓘ

Die vielleicht einfachste Art, eine Mannigfaltigkeit zu konstruieren, ist die, die im obigen Beispiel des Kreises verwendet wurde. Zunächst wird eine Teilmenge von $\mathbb {R} ^{2}$ identifiziert, und dann wird ein Atlas konstruiert, der diese Teilmenge abdeckt. Das Konzept der Mannigfaltigkeit hat sich historisch aus Konstruktionen wie dieser entwickelt. Hier ist ein weiteres Beispiel, das diese Methode auf die Konstruktion einer Kugel anwendet: ⓘ

Sphäre mit Diagrammen

Eine Kugel kann fast genauso behandelt werden wie ein Kreis. In der Mathematik ist eine Kugel nur die Oberfläche (nicht das feste Innere), die als eine Teilmenge von $\mathbb {R} ^{3}$:

$$S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}.$$

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Die Sphäre ist zweidimensional, so dass jedes Diagramm einen Teil der Sphäre auf eine offene Teilmenge von $\mathbb {R} ^{2}$. Betrachten wir die nördliche Hemisphäre, d. h. den Teil mit positiver z-Koordinate (in der Abbildung rechts rot gefärbt). Die Funktion χ, definiert durch

$$\chi (x,y,z)=(x,y),\$$

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definiert ist, bildet die nördliche Hemisphäre auf die offene Einheitsscheibe ab, indem sie auf die (x, y)-Ebene projiziert wird. Ein ähnliches Diagramm existiert für die südliche Hemisphäre. Zusammen mit zwei Karten, die auf die (x, z)-Ebene projiziert werden, und zwei Karten, die auf die (y, z)-Ebene projiziert werden, erhält man einen Atlas mit sechs Karten, der die gesamte Kugel abdeckt. ⓘ

Dies kann leicht auf höherdimensionale Sphären verallgemeinert werden. ⓘ

Patchwork

Eine Mannigfaltigkeit kann konstruiert werden, indem man Teile auf konsistente Weise zusammenklebt und sie zu überlappenden Karten macht. Diese Konstruktion ist für jede Mannigfaltigkeit möglich und wird daher häufig als Charakterisierung verwendet, insbesondere für differenzierbare und riemannsche Mannigfaltigkeiten. Sie konzentriert sich auf einen Atlas, da die Flecken natürlich Diagramme liefern, und da kein äußerer Raum involviert ist, führt sie zu einer intrinsischen Sicht auf die Mannigfaltigkeit. ⓘ

Die Mannigfaltigkeit wird durch die Angabe eines Atlasses konstruiert, der seinerseits durch Übergangskarten definiert ist. Ein Punkt der Mannigfaltigkeit ist daher eine Äquivalenzklasse von Punkten, die durch Übergangskarten aufeinander abgebildet werden. Diagramme bilden Äquivalenzklassen auf Punkte eines einzelnen Flecks ab. In der Regel werden hohe Anforderungen an die Konsistenz der Übergangskarten gestellt. Für topologische Mannigfaltigkeiten müssen sie Homöomorphismen sein; wenn sie auch Diffeomorphismen sind, ist die resultierende Mannigfaltigkeit eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. ⓘ

Dies kann anhand der Übergangskarte t = ¹⁄s aus der zweiten Hälfte des Kreisbeispiels veranschaulicht werden. Beginnen Sie mit zwei Kopien der Linie. Verwenden Sie für die erste Kopie die Koordinate s und für die zweite Kopie die Koordinate t. Kleben Sie nun beide Kopien zusammen, indem Sie den Punkt t auf der zweiten Kopie mit dem Punkt s = ¹⁄t auf der ersten Kopie identifizieren (die Punkte t = 0 und s = 0 werden mit keinem Punkt der ersten bzw. zweiten Kopie identifiziert). Dies ergibt einen Kreis. ⓘ

Intrinsische und extrinsische Sicht

Die erste Konstruktion und diese Konstruktion sind sich sehr ähnlich, stellen aber unterschiedliche Sichtweisen dar. Bei der ersten Konstruktion wird die Mannigfaltigkeit als in einen euklidischen Raum eingebettet betrachtet. Dies ist die extrinsische Sichtweise. Wenn eine Mannigfaltigkeit auf diese Weise betrachtet wird, ist es einfach, Intuition aus euklidischen Räumen zu verwenden, um zusätzliche Strukturen zu definieren. In einem euklidischen Raum ist zum Beispiel immer klar, ob ein Vektor an einem bestimmten Punkt tangential oder normal zu einer Fläche durch diesen Punkt ist. ⓘ

Die Patchwork-Konstruktion verwendet keine Einbettung, sondern betrachtet die Mannigfaltigkeit einfach als einen topologischen Raum für sich. Diese abstrakte Sichtweise wird als intrinsische Sichtweise bezeichnet. Sie kann es schwieriger machen, sich vorzustellen, was ein Tangentenvektor sein könnte, und es gibt keinen intrinsischen Begriff eines Normalenbündels, sondern ein intrinsisches stabiles Normalenbündel. ⓘ

n-Sphäre als Flickwerk

Die n-Sphäre Sn ist eine Verallgemeinerung der Idee von Kreis (1-Sphäre) und Kugel (2-Sphäre) auf höhere Dimensionen. Eine n-Sphäre Sn kann konstruiert werden, indem man zwei Kopien zusammenklebt von $\mathbb {R} ^{n}$. Die Übergangskarte zwischen ihnen ist die Inversion in einer Kugel, definiert als

$$\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\to \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}:x\mapsto x/\|x\|^{2}.$$

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Diese Funktion ist ihre eigene Inverse und kann daher in beide Richtungen verwendet werden. Da die Übergangskarte eine glatte Funktion ist, definiert dieser Atlas eine glatte Mannigfaltigkeit. Für den Fall n = 1 vereinfacht sich das Beispiel auf das bereits erwähnte Kreisbeispiel. ⓘ

Identifizierung von Punkten einer Mannigfaltigkeit

Es ist möglich, verschiedene Punkte einer Mannigfaltigkeit als gleich zu definieren. Man kann sich das so vorstellen, dass diese Punkte zu einem einzigen Punkt zusammengeklebt werden und einen Quotientenraum bilden. Es gibt jedoch keinen Grund zu erwarten, dass solche Quotientenräume Mannigfaltigkeiten sind. Unter den möglichen Quotientenräumen, die nicht notwendigerweise Mannigfaltigkeiten sind, gelten Orbifolien und CW-Komplexe als relativ brauchbar. Ein Beispiel für einen Quotientenraum einer Mannigfaltigkeit, der auch eine Mannigfaltigkeit ist, ist der reelle projektive Raum, der als Quotientenraum der entsprechenden Sphäre identifiziert wird. ⓘ

Eine Methode, um Punkte zu identifizieren (sie zusammenzukleben), ist eine Rechts- (oder Links-) Aktion einer Gruppe, die auf die Mannigfaltigkeit wirkt. Zwei Punkte werden identifiziert, wenn einer durch ein Gruppenelement auf den anderen verschoben wird. Wenn M die Mannigfaltigkeit und G die Gruppe ist, wird der resultierende Quotientenraum mit M / G (oder G \ M) bezeichnet. ⓘ

Zu den Mannigfaltigkeiten, die durch Identifizierung von Punkten konstruiert werden können, gehören Tori und reelle projektive Räume (ausgehend von einer Ebene bzw. einer Kugel). ⓘ

Kleben entlang von Grenzen

Zwei Mannigfaltigkeiten mit Rändern können entlang eines Randes zusammengeklebt werden. Wenn dies auf die richtige Weise geschieht, ist das Ergebnis ebenfalls eine Mannigfaltigkeit. In ähnlicher Weise können zwei Ränder einer einzigen Mannigfaltigkeit zusammengeklebt werden. ⓘ

Formal ist das Verkleben durch eine Bijektion zwischen den beiden Rändern definiert. Zwei Punkte werden identifiziert, wenn sie auf einander abgebildet werden. Bei einer topologischen Mannigfaltigkeit sollte diese Bijektion ein Homöomorphismus sein, da sonst das Ergebnis keine topologische Mannigfaltigkeit ist. Ebenso muss es sich bei einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit um einen Diffeomorphismus handeln. Bei anderen Mannigfaltigkeiten sollten andere Strukturen erhalten bleiben. ⓘ

Ein endlicher Zylinder kann als Mannigfaltigkeit konstruiert werden, indem man mit einem Streifen [0,1] × [0,1] beginnt und ein Paar gegenüberliegender Kanten am Rand durch einen geeigneten Diffeomorphismus zusammenklebt. Eine projektive Ebene erhält man, indem man eine Kugel mit einem Loch an ein Möbiusband entlang ihrer jeweiligen kreisförmigen Grenzen klebt. ⓘ

Kartesische Produkte

Das kartesische Produkt von Mannigfaltigkeiten ist ebenfalls eine Mannigfaltigkeit. ⓘ

Die Dimension des Produktmannigfaltigen ist die Summe der Dimensionen seiner Faktoren. Seine Topologie ist die Produkttopologie, und ein kartesisches Produkt von Diagrammen ist ein Diagramm für das Produktmannigfaltige. Daher kann ein Atlas für die Produktmannigfaltigkeit mit Hilfe von Atlanten für ihre Faktoren konstruiert werden. Wenn diese Atlanten eine Differentialstruktur auf den Faktoren definieren, definiert der entsprechende Atlas eine Differentialstruktur auf der Produktmannigfaltigkeit. Das Gleiche gilt für jede andere Struktur, die auf den Faktoren definiert ist. Hat einer der Faktoren eine Grenze, so hat auch der Produktmannigfaltigkeit eine Grenze. Kartesische Produkte können zur Konstruktion von Tori und endlichen Zylindern verwendet werden, z. B. als S¹ × S¹ bzw. S¹ × [0,1]. ⓘ

Ein endlicher Zylinder ist eine Mannigfaltigkeit mit einer Begrenzung. ⓘ

Geschichte

Die Erforschung von Mannigfaltigkeiten vereint viele wichtige Bereiche der Mathematik: Sie verallgemeinert Konzepte wie Kurven und Flächen sowie Ideen aus der linearen Algebra und der Topologie. ⓘ

Frühe Entwicklung

Vor dem modernen Konzept einer Mannigfaltigkeit gab es mehrere wichtige Ergebnisse. ⓘ

Die nichteuklidische Geometrie befasst sich mit Räumen, in denen das Parallelitätspostulat von Euklid versagt. Saccheri untersuchte solche Geometrien erstmals 1733, versuchte aber nur, sie zu widerlegen. Gauß, Bolyai und Lobachevsky entdeckten sie 100 Jahre später unabhängig voneinander. Sie entdeckten zwei Arten von Räumen, deren geometrische Struktur sich vom klassischen euklidischen Raum unterscheidet; daraus entstanden die hyperbolische Geometrie und die elliptische Geometrie. In der modernen Theorie der Mannigfaltigkeiten entsprechen diese Begriffe den Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit konstanter negativer bzw. positiver Krümmung. ⓘ

Carl Friedrich Gauß war möglicherweise der erste, der abstrakte Räume als eigenständige mathematische Objekte betrachtete. Sein Theorema egregium bietet eine Methode zur Berechnung der Krümmung einer Fläche, ohne den umgebenden Raum zu berücksichtigen, in dem die Fläche liegt. Eine solche Oberfläche würde in der modernen Terminologie als Mannigfaltigkeit bezeichnet werden; und in modernen Begriffen beweist das Theorem, dass die Krümmung der Oberfläche eine intrinsische Eigenschaft ist. Die Theorie der Mannigfaltigkeit hat sich ausschließlich auf diese intrinsischen Eigenschaften (oder Invarianten) konzentriert, während die extrinsischen Eigenschaften des umgebenden Raums weitgehend ignoriert wurden. ⓘ

Ein weiteres, eher topologisches Beispiel für eine intrinsische Eigenschaft einer Mannigfaltigkeit ist ihre Euler-Charakteristik. Leonhard Euler zeigte, dass für ein konvexes Polytop im dreidimensionalen euklidischen Raum mit V Scheitelpunkten (oder Ecken), E Kanten und F Flächen,

$$V-E+F=2.\$$

Die gleiche Formel gilt, wenn wir die Ecken und Kanten des Polytops auf eine Kugel projizieren, wodurch eine topologische Karte mit V Ecken, E Kanten und F Flächen entsteht, und zwar für jede kugelförmige Karte, auch wenn sie nicht aus einem konvexen Polytop hervorgeht. Somit ist 2 eine topologische Invariante der Kugel, die sogenannte Euler-Charakteristik. Andererseits kann ein Torus durch seine "parallelen" und "meridianen" Kreise aufgeschnitten werden, wodurch eine Karte mit V = 1 Scheitelpunkt, E = 2 Kanten und F = 1 Fläche entsteht. Somit ist die Euler-Charakteristik des Torus 1 - 2 + 1 = 0. Die Euler-Charakteristik anderer Flächen ist eine nützliche topologische Invariante, die mit Hilfe der Betti-Zahlen auf höhere Dimensionen ausgedehnt werden kann. In der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts brachte das Gauß-Bonnet-Theorem die Euler-Charakteristik mit der Gaußschen Krümmung in Verbindung. ⓘ

Synthese

Die Untersuchungen von Niels Henrik Abel und Carl Gustav Jacobi über die Umkehrung elliptischer Integrale in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts führten dazu, dass sie spezielle Arten komplexer Mannigfaltigkeiten betrachteten, die heute als Jacobianer bekannt sind. Bernhard Riemann trug weiter zu ihrer Theorie bei, indem er die geometrische Bedeutung des Prozesses der analytischen Fortsetzung von Funktionen komplexer Variablen erläuterte. ⓘ

Eine weitere wichtige Quelle für Mannigfaltigkeiten in der Mathematik des 19. Jahrhunderts war die analytische Mechanik, wie sie von Siméon Poisson, Jacobi und William Rowan Hamilton entwickelt wurde. Die möglichen Zustände eines mechanischen Systems werden als Punkte eines abstrakten Raums betrachtet, dem Phasenraum im Lagrangeschen und Hamiltonschen Formalismus der klassischen Mechanik. Dieser Raum ist in der Tat eine hochdimensionale Mannigfaltigkeit, deren Dimension den Freiheitsgraden des Systems entspricht und in der die Punkte durch ihre verallgemeinerten Koordinaten spezifiziert sind. Für eine uneingeschränkte Bewegung freier Teilchen entspricht die Mannigfaltigkeit dem euklidischen Raum, aber verschiedene Erhaltungsgesetze zwingen sie zu komplizierteren Gebilden, z. B. Liouville-Tori. Die Theorie eines rotierenden Festkörpers, die im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange entwickelt wurde, ist ein weiteres Beispiel dafür, dass die Mannigfaltigkeit nicht trivial ist. Geometrische und topologische Aspekte der klassischen Mechanik wurden von Henri Poincaré, einem der Begründer der Topologie, hervorgehoben. ⓘ

Riemann war der erste, der die Idee der Oberfläche auf höhere Dimensionen verallgemeinerte. Der Name "Manifold" stammt von Riemanns ursprünglichem deutschen Begriff "Mannigfaltigkeit", den William Kingdon Clifford mit "Mannigfaltigkeit" übersetzt hat. In seiner Göttinger Antrittsvorlesung bezeichnete Riemann die Menge aller möglichen Werte einer Variablen mit bestimmten Einschränkungen als Mannigfaltigkeit, weil die Variable viele Werte annehmen kann. Er unterscheidet zwischen stetiger Mannigfaltigkeit und diskreter Mannigfaltigkeit, je nachdem, ob sich der Wert kontinuierlich ändert oder nicht. Als kontinuierliche Beispiele nennt Riemann nicht nur Farben und die Lage von Objekten im Raum, sondern auch die möglichen Formen einer räumlichen Figur. Mittels Induktion konstruiert Riemann eine n-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit als einen kontinuierlichen Stapel von (n-1) dimensionalen Mannigfaltigkeiten. Riemanns intuitiver Begriff der Mannigfaltigkeit entwickelte sich zu dem, was heute als Mannigfaltigkeit formalisiert wird. Riemannsche Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Flächen sind nach Riemann benannt. ⓘ

Die Definition von Poincaré

In seinem sehr einflussreichen Werk Analysis Situs gab Henri Poincaré eine Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit (variété), die als Vorläufer des modernen Konzepts einer Mannigfaltigkeit diente. ⓘ

Im ersten Abschnitt von Analysis Situs definiert Poincaré eine Mannigfaltigkeit als die Ebenenmenge einer kontinuierlich differenzierbaren Funktion zwischen euklidischen Räumen, die die Nichtentartungshypothese des impliziten Funktionentheorems erfüllt. Im dritten Abschnitt stellt er zunächst fest, dass der Graph einer kontinuierlich differenzierbaren Funktion eine Mannigfaltigkeit im letztgenannten Sinne ist. Anschließend schlägt er eine neue, allgemeinere Definition von Mannigfaltigkeit vor, die auf einer "Kette von Mannigfaltigkeiten" (une chaîne des variétés) beruht. ⓘ

Poincarés Begriff einer Kette von Mannigfaltigkeiten ist ein Vorläufer des modernen Begriffs des Atlasses. Er betrachtet insbesondere zwei Mannigfaltigkeiten, die jeweils als Graphen von Funktionen definiert sind $\theta (y)$ und $\theta '\left(y'\right)$. Wenn sich diese Mannigfaltigkeiten überschneiden (a une partie commune), dann verlangt er, dass die Koordinaten $y$ kontinuierlich differenzierbar von den Koordinaten $y'$ abhängen und umgekehrt (...les $y$ sont fonctions analytiques des $y'$ et inversement). Auf diese Weise führt er einen Vorläufer des Begriffs des Diagramms und der Übergangskarte ein. ⓘ

Zum Beispiel kann der Einheitskreis in der Ebene als Graph der Funktion ${\textstyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}$ oder auch der Funktion ${\textstyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$ in der Nachbarschaft jedes Punktes mit Ausnahme der Punkte (1, 0) und (-1, 0); und in der Nachbarschaft dieser Punkte kann man ihn als den Graphen von bzw, ${\textstyle x={\sqrt {1-y^{2}}}}$ und ${\textstyle x=-{\sqrt {1-y^{2}}}}$. Der Kreis kann durch einen Graphen in der Nachbarschaft eines jeden Punktes dargestellt werden, weil die linke Seite seiner Definitionsgleichung $x^{2}+y^{2}-1=0$ in jedem Punkt des Kreises eine Steigung ungleich Null hat. Nach dem Satz von der impliziten Funktion ist jede Unterverzweigung des euklidischen Raums lokal der Graph einer Funktion. ⓘ

Hermann Weyl gab in seiner Vorlesung über Riemannsche Flächen in den Jahren 1911-1912 eine Definition für differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ebnete damit den Weg für das allgemeine Konzept eines topologischen Raums, das kurz darauf folgte. In den 1930er Jahren klärten Hassler Whitney und andere die grundlegenden Aspekte des Themas, und so wurden Intuitionen aus der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts präzisiert und durch Differentialgeometrie und Lie-Gruppentheorie weiterentwickelt. Insbesondere das Whitney-Embedding-Theorem zeigte, dass die eigentliche Definition in Form von Diagrammen äquivalent zu Poincarés Definition in Form von Teilmengen des euklidischen Raums war. ⓘ

Topologie der Mannigfaltigkeiten: Highlights

Zweidimensionale Mannigfaltigkeiten, auch bekannt als 2D-Flächen, die in unseren gewöhnlichen 3D-Raum eingebettet sind, wurden von Riemann unter dem Namen Riemann-Flächen betrachtet und Anfang des 20. Jahrhunderts von Poul Heegaard und Max Dehn streng klassifiziert. Jahrhunderts von Poul Heegaard und Max Dehn streng klassifiziert. Poincaré leistete Pionierarbeit bei der Untersuchung dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten und stellte eine grundlegende Frage, die heute als Poincaré-Vermutung bekannt ist. Nach fast einem Jahrhundert bewies Grigori Perelman die Poincaré-Vermutung (siehe die Lösung der Poincaré-Vermutung). William Thurstons Geometrisierungsprogramm, das in den 1970er Jahren formuliert wurde, lieferte eine weitreichende Erweiterung der Poincaré-Vermutung auf die allgemeinen dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten. Vierdimensionale Mannigfaltigkeiten wurden in den 1980er Jahren von Michael Freedman und in einem anderen Rahmen von Simon Donaldson in den Vordergrund der mathematischen Forschung gerückt, der durch die jüngsten Fortschritte in der theoretischen Physik (Yang-Mills-Theorie) motiviert war, wo sie als Ersatz für die gewöhnliche "flache" Raumzeit dienen. Andrey Markov Jr. zeigte 1960, dass es keinen Algorithmus zur Klassifizierung vierdimensionaler Mannigfaltigkeiten gibt. Wichtige Arbeiten über höherdimensionale Mannigfaltigkeiten, einschließlich Analogien zur Poincaré-Vermutung, waren zuvor von René Thom, John Milnor, Stephen Smale und Sergei Novikov durchgeführt worden. Eine sehr weit verbreitete und flexible Technik, die vielen Arbeiten über die Topologie von Mannigfaltigkeiten zugrunde liegt, ist die Morse-Theorie. ⓘ

Zusätzliche Struktur

Topologische Mannigfaltigkeiten

Die am einfachsten zu definierende Art von Mannigfaltigkeit ist die topologische Mannigfaltigkeit, die lokal wie ein "gewöhnlicher" euklidischer Raum aussieht $\mathbb {R} ^{n}$. Definitionsgemäß sind alle Mannigfaltigkeiten topologische Mannigfaltigkeiten, so dass der Ausdruck "topologische Mannigfaltigkeit" in der Regel verwendet wird, um zu betonen, dass eine Mannigfaltigkeit keine zusätzliche Struktur hat oder dass nur ihre topologischen Eigenschaften betrachtet werden. Formal gesehen ist eine topologische Mannigfaltigkeit ein topologischer Raum, der lokal homöomorph zu einem euklidischen Raum ist. Das bedeutet, dass jeder Punkt eine Nachbarschaft hat, für die ein Homöomorphismus (eine bijektive kontinuierliche Funktion, deren Inverse ebenfalls kontinuierlich ist) existiert, der diese Nachbarschaft abbildet auf $\mathbb {R} ^{n}$. Diese Homöomorphismen sind die Karten der Mannigfaltigkeit. ⓘ

Eine topologische Mannigfaltigkeit ähnelt lokal einem euklidischen Raum in einer eher schwachen Weise: Während es für jede einzelne Karte möglich ist, differenzierbare Funktionen zu unterscheiden oder Abstände und Winkel zu messen, hat ein Raum allein aufgrund der Tatsache, dass er eine topologische Mannigfaltigkeit ist, keine bestimmte und konsistente Auswahl solcher Konzepte. Um solche Eigenschaften für eine Mannigfaltigkeit zu erörtern, muss man die Struktur weiter spezifizieren und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Mannigfaltigkeiten betrachten, die weiter unten behandelt werden. Insbesondere kann ein und dieselbe zugrundeliegende topologische Mannigfaltigkeit mehrere miteinander unvereinbare Klassen differenzierbarer Funktionen und eine unendliche Anzahl von Möglichkeiten zur Angabe von Abständen und Winkeln aufweisen. ⓘ

Normalerweise werden zusätzliche technische Annahmen über den topologischen Raum getroffen, um pathologische Fälle auszuschließen. Üblicherweise wird verlangt, dass der Raum Hausdorff und zweitabzählbar ist. ⓘ

Die Dimension der Mannigfaltigkeit an einem bestimmten Punkt ist die Dimension des euklidischen Raums, auf den die Diagramme an diesem Punkt abgebildet werden (Zahl n in der Definition). Alle Punkte in einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit haben die gleiche Dimension. Einige Autoren verlangen, dass alle Karten einer topologischen Mannigfaltigkeit auf euklidische Räume der gleichen Dimension abgebildet werden. In diesem Fall hat jede topologische Mannigfaltigkeit eine topologische Invariante, ihre Dimension. ⓘ

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Für die meisten Anwendungen wird eine spezielle Art von topologischen Mannigfaltigkeiten, nämlich differenzierbare Mannigfaltigkeiten, verwendet. Wenn die lokalen Diagramme auf einer Mannigfaltigkeit in einem bestimmten Sinne kompatibel sind, kann man Richtungen, Tangentenräume und differenzierbare Funktionen auf dieser Mannigfaltigkeit definieren. Insbesondere ist es möglich, den Kalkül auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit zu verwenden. Jeder Punkt einer n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit hat einen Tangentenraum. Dies ist ein n-dimensionaler euklidischer Raum, der aus den Tangentenvektoren der Kurven durch den Punkt besteht. ⓘ

Zwei wichtige Klassen von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten sind glatte und analytische Mannigfaltigkeiten. Bei glatten Mannigfaltigkeiten sind die Übergangskarten glatt, d. h. unendlich differenzierbar. Analytische Mannigfaltigkeiten sind glatte Mannigfaltigkeiten mit der zusätzlichen Bedingung, dass die Übergangskarten analytisch sind (sie können als Potenzreihen ausgedrückt werden). Die Kugel kann eine analytische Struktur erhalten, ebenso wie die meisten bekannten Kurven und Flächen. ⓘ

Eine rektifizierbare Menge verallgemeinert die Idee einer stückweise glatten oder rektifizierbaren Kurve auf höhere Dimensionen; rektifizierbare Mengen sind jedoch im Allgemeinen keine Mannigfaltigkeiten. ⓘ

Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Um Abstände und Winkel auf Mannigfaltigkeiten zu messen, muss die Mannigfaltigkeit riemannisch sein. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, bei der jeder Tangentenraum mit einem inneren Produkt ⟨⋅ , ⋅⟩ ausgestattet ist, das sich von Punkt zu Punkt gleichmäßig ändert. Bei zwei Tangentenvektoren u und v ergibt das innere Produkt ⟨u , v⟩ eine reelle Zahl. Das Punkt- (oder Skalar-) Produkt ist ein typisches Beispiel für ein inneres Produkt. Damit lassen sich verschiedene Begriffe wie Länge, Winkel, Fläche (oder Volumen), Krümmung und Divergenz von Vektorfeldern definieren. ⓘ

Alle differenzierbaren Mannigfaltigkeiten (mit konstanter Dimension) können mit der Struktur einer Riemannschen Mannigfaltigkeit versehen werden. Der euklidische Raum selbst weist eine natürliche Struktur der Riemannschen Mannigfaltigkeit auf (die Tangentenräume sind natürlich mit dem euklidischen Raum selbst identifiziert und tragen das Standardskalarprodukt des Raums). Viele bekannte Kurven und Flächen, wie z. B. alle n-Kugeln, sind als Unterräume eines euklidischen Raums spezifiziert und erben eine Metrik von ihrer Einbettung in diesen Raum. ⓘ

Finsler-Mannigfaltigkeiten

Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ermöglicht die Definition von Abständen, erfordert aber nicht den Begriff des Winkels; sie ist eine analytische Mannigfaltigkeit, in der jeder Tangentenraum mit einer Norm, ||-||, ausgestattet ist, die sich von Punkt zu Punkt gleichmäßig ändert. Diese Norm kann zu einer Metrik erweitert werden, die die Länge einer Kurve definiert; sie kann jedoch im Allgemeinen nicht zur Definition eines inneren Produkts verwendet werden. ⓘ

Jede Riemannsche Mannigfaltigkeit ist eine Finsler-Mannigfaltigkeit. ⓘ

Lie-Gruppen

Lie-Gruppen, benannt nach Sophus Lie, sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten, die auch die Struktur einer Gruppe tragen, die so beschaffen ist, dass die Gruppenoperationen durch glatte Karten definiert sind. ⓘ

Ein euklidischer Vektorraum mit der Gruppenoperation der Vektoraddition ist ein Beispiel für eine nicht-kompakte Lie-Gruppe. Ein einfaches Beispiel für eine kompakte Lie-Gruppe ist der Kreis: Die Gruppenoperation ist einfach die Rotation. Diese Gruppe, bekannt als U(1), kann auch als Gruppe der komplexen Zahlen des Moduls 1 mit Multiplikation als Gruppenoperation charakterisiert werden. ⓘ

Weitere Beispiele für Lie-Gruppen sind spezielle Matrizengruppen, die alle Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe sind, der Gruppe der n mal n Matrizen mit einer Determinante ungleich Null. Wenn die Matrixeinträge reelle Zahlen sind, handelt es sich um eine n²-dimensionale unzusammenhängende Mannigfaltigkeit. Die orthogonalen Gruppen, die Symmetriegruppen der Kugel und der Hypersphären, sind n(n-1)/2-dimensionale Mannigfaltigkeiten, wobei n-1 die Dimension der Kugel ist. Weitere Beispiele sind in der Tabelle der Lie-Gruppen zu finden. ⓘ

Andere Arten von Mannigfaltigkeiten

• Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit, deren Diagramme Werte in $\mathbb {C} ^{n}$ annehmen und deren Übergangsfunktionen auf den Überlappungen holomorph sind. Diese Mannigfaltigkeiten sind die grundlegenden Studienobjekte der komplexen Geometrie. Eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit wird als Riemannsche Fläche bezeichnet. Eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit hat die Dimension 2n als reelle differenzierbare Mannigfaltigkeit.
• Eine CR-Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit, die auf Grenzen von Gebieten in $\mathbb {C} ^{n}$.
• Unendlich dimensionale Mannigfaltigkeiten": Um unendliche Dimensionen zu berücksichtigen, kann man Banach-Mannigfaltigkeiten betrachten, die lokal homöomorph zu Banach-Räumen sind. In ähnlicher Weise sind Fréchet-Mannigfaltigkeiten lokal homöomorph zu Fréchet-Räumen.
• Eine symplektische Mannigfaltigkeit ist eine Art von Mannigfaltigkeit, die zur Darstellung der Phasenräume in der klassischen Mechanik verwendet wird. Sie sind mit einer 2-Form ausgestattet, die die Poisson-Klammer definiert. Eine eng verwandte Art von Mannigfaltigkeit ist eine Kontaktmannigfaltigkeit.
• Eine kombinatorische Mannigfaltigkeit ist eine Art von Mannigfaltigkeit, die eine Diskretisierung einer Mannigfaltigkeit darstellt. In der Regel handelt es sich um eine stückweise lineare Mannigfaltigkeit, die aus vereinfachten Komplexen besteht.
• Eine digitale Mannigfaltigkeit ist eine spezielle Art einer kombinatorischen Mannigfaltigkeit, die im digitalen Raum definiert ist. Siehe digitale Topologie ⓘ

Klassifizierung und Invarianten

Verschiedene Begriffe von Mannigfaltigkeiten haben unterschiedliche Begriffe von Klassifikation und Invariante; in diesem Abschnitt konzentrieren wir uns auf glatte geschlossene Mannigfaltigkeiten. ⓘ

Die Klassifizierung glatter geschlossener Mannigfaltigkeiten ist im Prinzip gut verstanden, außer in der Dimension 4: in niedrigen Dimensionen (2 und 3) ist sie geometrisch, über den Uniformisierungssatz und die Lösung der Poincaré-Vermutung, und in hohen Dimensionen (5 und darüber) ist sie algebraisch, über die Operationstheorie. Dies ist eine prinzipielle Klassifizierung: Die allgemeine Frage, ob zwei glatte Mannigfaltigkeiten diffeomorph sind, ist im Allgemeinen nicht berechenbar. Außerdem bleiben spezifische Berechnungen schwierig, und es gibt viele offene Fragen. ⓘ

Orientierbare Flächen können visualisiert werden, und ihre Diffeomorphismenklassen können nach Gattung aufgezählt werden. Bei zwei orientierbaren Flächen kann man feststellen, ob sie diffeomorph sind, indem man ihre jeweiligen Gattungen berechnet und vergleicht: Sie sind diffeomorph, wenn und nur wenn die Gattungen gleich sind, so dass die Gattung einen vollständigen Satz von Invarianten bildet. ⓘ

In höheren Dimensionen ist dies viel schwieriger: Höherdimensionale Mannigfaltigkeiten können nicht direkt visualisiert werden (obwohl die visuelle Intuition für ihr Verständnis nützlich ist), noch können ihre Diffeomorphieklassen aufgezählt werden, noch kann man im Allgemeinen feststellen, ob zwei verschiedene Beschreibungen einer höherdimensionalen Mannigfaltigkeit sich auf dasselbe Objekt beziehen. ⓘ

Man kann jedoch feststellen, ob sich zwei Mannigfaltigkeiten voneinander unterscheiden, wenn es ein inhärentes Merkmal gibt, das sie voneinander abgrenzt. Solche Kriterien werden gemeinhin als Invarianten bezeichnet, da sie zwar in Bezug auf eine bestimmte Darstellung (z. B. die Gattung in Bezug auf eine Triangulation) definiert werden können, aber in Bezug auf alle möglichen Beschreibungen einer bestimmten Mannigfaltigkeit gleich sind: Sie sind unter verschiedenen Beschreibungen invariant. ⓘ

Naiverweise könnte man hoffen, ein ganzes Arsenal von invarianten Kriterien zu entwickeln, mit denen sich alle Mannigfaltigkeiten bis zur Isomorphie eindeutig klassifizieren ließen. Leider ist bekannt, dass es für Mannigfaltigkeiten der Dimension 4 und höher kein Programm gibt, das entscheiden kann, ob zwei Mannigfaltigkeiten diffeomorph sind. ⓘ

Glatte Mannigfaltigkeiten haben eine Vielzahl von Invarianten, die aus der Punktmengentopologie, der klassischen algebraischen Topologie und der geometrischen Topologie stammen. Die bekanntesten Invarianten, die für Oberflächen sichtbar sind, sind Orientierbarkeit (eine Normalinvariante, die auch durch die Homologie erkannt wird) und Genus (eine homologische Invariante). ⓘ

Glatte geschlossene Mannigfaltigkeiten haben keine lokalen Invarianten (außer der Dimension), obwohl geometrische Mannigfaltigkeiten lokale Invarianten haben, insbesondere die Krümmung einer Riemannschen Mannigfaltigkeit und die Torsion einer Mannigfaltigkeit mit einer affinen Verbindung. Diese Unterscheidung zwischen lokalen Invarianten und keinen lokalen Invarianten ist eine gängige Methode zur Unterscheidung zwischen Geometrie und Topologie. Alle Invarianten einer glatten geschlossenen Mannigfaltigkeit sind also global. ⓘ

Die algebraische Topologie ist eine Quelle für eine Reihe wichtiger globaler invarianter Eigenschaften. Einige Schlüsselkriterien sind die Eigenschaft der einfachen Verbindung und die Orientierbarkeit (siehe unten). In der Tat wurden mehrere Zweige der Mathematik, wie die Homologie und die Homotopietheorie, sowie die Theorie der charakteristischen Klassen gegründet, um die invarianten Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten zu untersuchen. ⓘ

Flächen

Orientierbarkeit

In zwei und mehr Dimensionen ist ein einfaches, aber wichtiges Invarianzkriterium die Frage, ob eine Mannigfaltigkeit eine sinnvolle Orientierung zulässt. Man betrachte eine topologische Mannigfaltigkeit mit Diagrammen, die auf $\mathbb {R} ^{n}$. Gegeben eine geordnete Basis für $\mathbb {R} ^{n}$bewirkt ein Diagramm, dass sein Teil der Mannigfaltigkeit selbst einen Ordnungssinn erhält, der in 3 Dimensionen entweder als rechts- oder linkshändig angesehen werden kann. Überlappende Diagramme müssen in ihrem Ordnungssinn nicht übereinstimmen, was den Mannigfaltigkeiten eine wichtige Freiheit gibt. Für einige Mannigfaltigkeiten, wie die Kugel, können Diagramme so gewählt werden, dass sich überlappende Regionen in ihrer "Händigkeit" übereinstimmen; dies sind orientierbare Mannigfaltigkeiten. Bei anderen ist dies unmöglich. Letztere Möglichkeit ist leicht zu übersehen, da jede geschlossene Fläche, die in den dreidimensionalen Raum eingebettet ist (ohne Selbstschnitt), orientierbar ist. ⓘ

Einige anschauliche Beispiele für nicht orientierbare Mannigfaltigkeiten sind: (1) das Möbiusband, das eine Mannigfaltigkeit mit Grenzen ist, (2) die Klein-Flasche, die sich in ihrer dreidimensionalen Darstellung selbst schneiden muss, und (3) die reelle projektive Ebene, die in der Geometrie natürlich vorkommt. ⓘ

Möbiusband

Möbiusband ⓘ

Beginnen Sie mit einem unendlichen, senkrecht stehenden Kreiszylinder, einer Mannigfaltigkeit ohne Begrenzung. Schneiden Sie ihn oben und unten durch, um zwei kreisförmige Begrenzungen und den zylindrischen Streifen zwischen ihnen zu erzeugen. Dies ist eine orientierbare Mannigfaltigkeit mit Begrenzung, an der eine "Operation" durchgeführt werden soll. Schneiden Sie den Streifen auf, so dass er sich zu einem Rechteck aufrollen kann, aber halten Sie die abgeschnittenen Enden fest. Drehen Sie ein Ende um 180°, so dass die Innenfläche nach außen zeigt, und kleben Sie die Enden wieder nahtlos zusammen. Das Ergebnis ist ein Streifen mit einer permanenten Halbverdrehung: das Möbiusband. Seine Begrenzung ist nicht mehr ein Kreispaar, sondern (topologisch) ein einziger Kreis; und das, was einmal seine "Innenseite" war, ist mit seiner "Außenseite" verschmolzen, so dass es jetzt nur noch eine einzige Seite hat. Ähnlich wie bei der Kleinschen Flasche unten müsste sich diese zweidimensionale Fläche in zwei Dimensionen selbst schneiden, kann aber leicht in drei oder mehr Dimensionen konstruiert werden. ⓘ

Klein-Flasche

Die in den dreidimensionalen Raum eingetauchte Klein-Flasche ⓘ

Man nehme zwei Möbiusstreifen, die jeweils eine einzelne Schleife als Begrenzung haben. Ziehen Sie diese Schleifen zu Kreisen aus und lassen Sie die Streifen zu Kreuzkappen verformen. Klebt man die Kreise zusammen, so entsteht eine neue, geschlossene Mannigfaltigkeit ohne Begrenzung, die Kleinsche Flasche. Das Schließen der Oberfläche ändert nichts an der fehlenden Orientierbarkeit, es entfernt lediglich die Begrenzung. Die Kleinsche Flasche ist also eine geschlossene Fläche ohne Unterscheidung zwischen innen und außen. Im dreidimensionalen Raum muss die Oberfläche einer Kleinschen Flasche durch sich selbst hindurchgehen. Die Konstruktion einer Kleinschen Flasche, die sich nicht selbst schneidet, erfordert vier oder mehr Raumdimensionen. ⓘ

Reale projektive Ebene

Beginnen Sie mit einer Kugel, deren Mittelpunkt der Ursprung ist. Jede Linie, die durch den Ursprung verläuft, durchschneidet die Kugel an zwei entgegengesetzten Punkten, den sogenannten Antipoden. Obwohl es keine Möglichkeit gibt, dies physikalisch zu tun, ist es möglich (durch Betrachtung eines Quotientenraums), jedes Antipodenpaar mathematisch zu einem einzigen Punkt zusammenzufassen. Die so entstandene geschlossene Fläche ist die reelle projektive Ebene, eine weitere nicht orientierbare Fläche. Für sie gibt es eine Reihe gleichwertiger Beschreibungen und Konstruktionen, aber dieser Weg erklärt ihren Namen: Alle Punkte auf einer beliebigen Linie durch den Ursprung projizieren auf denselben "Punkt" auf dieser "Ebene". ⓘ

Genus und die Euler-Charakteristik

Für zweidimensionale Mannigfaltigkeiten ist eine Schlüsseleigenschaft der Genus oder die "Anzahl der Griffe", die eine Oberfläche aufweist. Ein Torus ist eine Kugel mit einem Henkel, ein Doppeltorus ist eine Kugel mit zwei Henkeln und so weiter. Tatsächlich ist es möglich, kompakte zweidimensionale Mannigfaltigkeiten auf der Grundlage von Genus und Orientierbarkeit vollständig zu charakterisieren. Bei höherdimensionalen Mannigfaltigkeiten wird die Gattung durch den Begriff der Euler-Charakteristik und allgemeiner durch Betti-Zahlen, Homologie und Kohomologie ersetzt. ⓘ

Karten von Mannigfaltigkeiten

Eine Morin-Oberfläche, eine Immersion, die bei der Sphäreneversion verwendet wird ⓘ

So wie es verschiedene Arten von Mannigfaltigkeiten gibt, so gibt es auch verschiedene Arten von Abbildungen von Mannigfaltigkeiten. Neben kontinuierlichen Funktionen und glatten Funktionen im Allgemeinen gibt es Karten mit besonderen Eigenschaften. In der geometrischen Topologie sind Einbettungen, für die die Knotentheorie ein zentrales Beispiel ist, und Verallgemeinerungen wie Immersionen, Submersionen, Deckungsräume und verzweigte Deckungsräume eine grundlegende Art. Zu den grundlegenden Ergebnissen gehören das Whitney-Einbettungs-Theorem und das Whitney-Immersions-Theorem. ⓘ

In der Riemannschen Geometrie kann man nach Karten fragen, die die Riemannsche Metrik bewahren, was zu Begriffen wie isometrische Einbettungen, isometrische Immersionen und Riemannsche Submersionen führt; ein grundlegendes Ergebnis ist der Nash-Embedding-Satz. ⓘ

Skalar-bewertete Funktionen

3D-Farbdarstellung der sphärischen Harmonischen des Grades $n=5$ ⓘ

Ein grundlegendes Beispiel für Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten sind skalarwertige Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit,

$$f\colon M\to \mathbb {R}$$

oder

$$f\colon M\to \mathbb {C} ,$$

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manchmal auch reguläre Funktionen oder Funktionale genannt, in Analogie zur algebraischen Geometrie oder linearen Algebra. Diese sind sowohl für sich selbst als auch für die Untersuchung der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit von Interesse. ⓘ

In der geometrischen Topologie werden am häufigsten Morsefunktionen untersucht, die zu Handkörperzerlegungen führen, während man in der mathematischen Analyse oft Lösungen für partielle Differentialgleichungen untersucht, ein wichtiges Beispiel dafür ist die harmonische Analyse, bei der man harmonische Funktionen untersucht: den Kern des Laplace-Operators. Dies führt zu Funktionen wie der sphärischen Harmonischen und zu Wärmekernmethoden zur Untersuchung von Mannigfaltigkeiten, wie z. B. das Hören der Form einer Trommel und einige Beweise des Atiyah-Singer-Index-Theorems. ⓘ

Verallgemeinerungen von Mannigfaltigkeiten

Unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten

Die Definition einer Mannigfaltigkeit kann verallgemeinert werden, indem die Anforderung der endlichen Dimensionalität weggelassen wird. So ist eine unendlich dimensionale Mannigfaltigkeit ein topologischer Raum, der lokal homöomorph zu einem topologischen Vektorraum über den Realen ist. Dadurch entfallen die Punktmengenaxiome, so dass höhere Kardinalitäten und Nicht-Hausdorff-Mannigfaltigkeiten möglich sind; und es entfällt die endliche Dimension, so dass Strukturen wie Hilbert-Mannigfaltigkeiten auf Hilbert-Räumen, Banach-Mannigfaltigkeiten auf Banach-Räumen und Fréchet-Mannigfaltigkeiten auf Fréchet-Räumen modelliert werden können. Gewöhnlich wird die eine oder andere Bedingung gelockert: Mannigfaltigkeiten mit den Punktmengenaxiomen werden in der allgemeinen Topologie untersucht, während unendlich-dimensionale Mannigfaltigkeiten in der funktionellen Analyse untersucht werden.

Orbifalten

Eine Orbifalte ist eine Verallgemeinerung von Mannigfaltigkeiten, die bestimmte Arten von "Singularitäten" in der Topologie zulässt. Grob gesagt handelt es sich um einen Raum, der lokal wie die Quotienten eines einfachen Raums (z. B. des euklidischen Raums) durch die Aktionen verschiedener endlicher Gruppen aussieht. Die Singularitäten entsprechen den Fixpunkten der Gruppenaktionen, und die Aktionen müssen in einem bestimmten Sinne kompatibel sein.

Algebraische Varietäten und Schemata

Nicht-singuläre algebraische Varietäten über den reellen oder komplexen Zahlen sind Mannigfaltigkeiten. Man verallgemeinert dies erstens, indem man Singularitäten zulässt, zweitens, indem man verschiedene Felder zulässt, und drittens, indem man die Patching-Konstruktion von Mannigfaltigkeiten nachahmt: So wie eine Mannigfaltigkeit aus offenen Teilmengen des euklidischen Raums zusammengeklebt wird, wird eine algebraische Varietät aus affinen algebraischen Varietäten zusammengeklebt, die Nullmengen von Polynomen über algebraisch geschlossenen Feldern sind. Schemata werden ebenfalls aus affinen Schemata zusammengeklebt, die eine Verallgemeinerung der algebraischen Varietäten sind. Beide sind mit Mannigfaltigkeiten verwandt, werden aber algebraisch mit Hilfe von Garben anstelle von Atlanten konstruiert.

Wegen der singulären Punkte ist eine Varietät im Allgemeinen keine Mannigfaltigkeit, obwohl die Begriffe variété (französisch), Mannigfaltigkeit (deutsch) und manifold (englisch) sprachlich weitgehend synonym sind. Im Französischen heißt eine algebraische Varietät une variété algébrique (eine algebraische Varietät), während eine glatte Mannigfaltigkeit une variété différentielle (eine differenzielle Varietät) genannt wird.

Geschichteter Raum

Ein "geschichteter Raum" ist ein Raum, der in Teile ("Schichten") unterteilt werden kann, wobei jede Schicht eine Mannigfaltigkeit ist und die Schichten auf vorgeschriebene Weise zusammenpassen (formell eine Filterung durch geschlossene Teilmengen). Es gibt verschiedene technische Definitionen, insbesondere einen geschichteten Whitney-Raum (siehe Whitney-Bedingungen) für glatte Mannigfaltigkeiten und einen topologisch geschichteten Raum für topologische Mannigfaltigkeiten. Zu den grundlegenden Beispielen gehören Mannigfaltigkeiten mit Rand (Mannigfaltigkeit der oberen Dimension und Rand der Kodimension 1) und Mannigfaltigkeiten mit Ecken (Mannigfaltigkeit der oberen Dimension, Rand der Kodimension 1, Ecken der Kodimension 2). Whitney-geschichtete Räume sind eine breite Klasse von Räumen, darunter algebraische Varietäten, analytische Varietäten, semialgebraische Mengen und subanalytische Mengen.

CW-Komplexe

Ein CW-Komplex ist ein topologischer Raum, der durch Zusammenkleben von Scheiben unterschiedlicher Dimensionalität gebildet wird. Im Allgemeinen ist der resultierende Raum singulär und daher keine Mannigfaltigkeit. Sie sind jedoch von zentralem Interesse in der algebraischen Topologie, insbesondere in der Homotopietheorie.

Homologie-Mannigfaltigkeiten

Eine Homologie-Mannigfaltigkeit ist ein Raum, der sich aus der Sicht der Homologietheorie wie eine Mannigfaltigkeit verhält. Sie sind nicht alle Mannigfaltigkeiten, können aber (in hohen Dimensionen) durch die Chirurgie-Theorie ähnlich wie Mannigfaltigkeiten analysiert werden, und wenn sie keine Mannigfaltigkeit sind, ist dies ein lokales Hindernis, wie in der Chirurgie-Theorie.

Differentialräume

Sei $M$ sei eine nichtleere Menge. Nehmen wir an, dass eine Familie von reellen Funktionen auf $M$ gewählt wurde. Bezeichne sie mit $C\subseteq \mathbb {R} ^{M}$. Sie ist eine Algebra in Bezug auf die punktweise Addition und Multiplikation. Sei $M$ sei mit der Topologie ausgestattet, die durch $C$. Nehmen wir außerdem an, dass die folgenden Bedingungen gelten. Erstens: für jede $H\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$, wobei $n\in \mathbb {N}$, und beliebige $f_{1},\dots ,f_{n}\in C$, die Zusammensetzung $H\circ \left(f_{1},\dots ,f_{n}\right)\in C$. Zweitens: jede Funktion, die in jedem Punkt von $M$ lokal mit einer Funktion aus $C$übereinstimmt, gehört auch zu $C$. Ein Paar $(M,C)$ für das die obigen Bedingungen gelten, heißt ein Sikorski-Differentialraum. ⓘ

Arten von Mannigfaltigkeiten

Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Andere Verallgemeinerungen riemannscher Mannigfaltigkeiten sind Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten (auch Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten genannt), die zum Beispiel in der Allgemeinen Relativitätstheorie auftreten. ⓘ

Hier braucht die durch die Metrik in jedem Tangentialraum definierte symmetrische Bilinearform nicht positiv definit zu sein, sondern nur nicht-ausgeartet. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester lässt sich eine solche Bilinearform als Diagonalmatrix mit Einträgen von $\pm 1$ darstellen. Sind dann $r$ Einträge +1 und $s$ Einträge -1, spricht man von einer Metrik mit Signatur $(r,s)$. Ist die Signatur der Metrik $(m-1,1)$ (oder nach einer anderen Konvention $(1,m-1)$), wobei $m$ die Dimension der Mannigfaltigkeit ist, so spricht man von einer Lorentz-Mannigfaltigkeit. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Raumzeit durch eine vierdimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit, also mit der Signatur (3,1) (bzw. (1,3)), beschrieben. ⓘ

Mannigfaltigkeiten mit Orientierung

Eine weitere wesentliche Eigenschaft von berandeten oder unberandeten Mannigfaltigkeiten betrifft die Orientierbarkeit bzw. Nicht-Orientierbarkeit der Mannigfaltigkeit. Sie kann ebenfalls „kartenweise“ definiert werden (wobei die Verträglichkeit von selbst erfüllt ist). ⓘ

Wie die folgenden Beispiele zeigen, kommen alle vier Kombinationen mit bzw. ohne Rand sowie mit bzw. ohne Orientierung vor. ⓘ

Beispiele

Rechteck

Eine orientierbare Mannigfaltigkeit mit Rand: ein Rechteck mit Länge $a$ und Breite $b$ (sowie der Diagonale $d$) ⓘ

Ein einfaches Beispiel einer berandeten und orientierbaren Mannigfaltigkeit betrifft ein (abgeschlossenes) Rechteck wie in nebenstehender Skizze. Der Rand besteht aus den Rechteckseiten; die zwei Orientierungen sind „entgegen dem Uhrzeigersinn“ (+) bzw. „im Uhrzeigersinn“ (−). Im ersten Fall wird etwa der folgende Umlauf betrachtet: Von A nach B und weiter nach C und D, von dort zurück nach A; alles entgegen dem Uhrzeigersinn. ⓘ

Anwendungen

Mannigfaltigkeiten spielen eine wichtige Rolle in der Theoretischen Physik, der Theoretischen Biologie, den Ingenieurwissenschaften sowie in den Geowissenschaften, z. B. bei der Integration über Flächen und mehrdimensionale Integrationsgebiete, besonders Mannigfaltigkeiten mit Rand und mit Orientierung (siehe z. B. den Artikel Satz von Stokes). ⓘ

In der Allgemeinen Relativitätstheorie und der Astrophysik sowie in den relativistischen Quantenfeldtheorien spielen Lorentzmannigfaltigkeiten, das heißt solche der Signatur (3,1), eine besondere Rolle bei der mathematischen Modellierung der Raumzeit und der vielen damit zusammenhängenden Größen. ⓘ

In der Evolutionsbiologie betrachtet man unter anderem die Wright-Mannigfaltigkeit, als Menge der in einem genetischen Kopplungsgleichgewicht befindlichen Allelfrequenzen einer Population. ⓘ