Poincaré-Vermutung

Poincaré-Vermutung ⓘ

Eine kompakte 2-dimensionale Fläche ohne Begrenzung ist topologisch homöomorph zu einer 2-Sphäre, wenn jede Schleife kontinuierlich zu einem Punkt zusammengezogen werden kann. Die Poincaré-Vermutung besagt, dass dies auch für 3-dimensionale Räume gilt.
Feld	Geometrische Topologie
Vermutung von	Henri Poincaré
Vermutet in	1904
Erster Beweis durch	Grigori Perelman
Erster Beweis in	2002
Impliziert durch	Geometrisierungsvermutung Zeeman-Vermutung
Verallgemeinerungen	Verallgemeinerte Poincaré-Vermutung

Im mathematischen Bereich der geometrischen Topologie wird die Poincaré-Vermutung (UK: /ˈpwæ̃kæreɪ/, US: /ˌpwæ̃kɑːˈreɪ/, franz: [pwɛ̃kaʁe]), oder Perelmans Theorem, ist ein Theorem über die Charakterisierung der 3-Sphäre, der Hypersphäre, die die Einheitskugel im vierdimensionalen Raum begrenzt. ⓘ

Das ursprünglich von Henri Poincaré 1904 aufgestellte Theorem betrifft Räume, die lokal wie ein gewöhnlicher dreidimensionaler Raum aussehen, deren Ausdehnung jedoch endlich ist. Poincaré stellte die Hypothese auf, dass ein solcher Raum, wenn er die zusätzliche Eigenschaft hat, dass jede Schleife im Raum kontinuierlich zu einem Punkt zusammengezogen werden kann, notwendigerweise eine dreidimensionale Kugel ist. Der Versuch, diese Vermutung zu lösen, hat im 20. Jahrhundert große Fortschritte auf dem Gebiet der geometrischen Topologie gebracht. ⓘ

Der letztendliche Beweis baute auf Richard S. Hamiltons Programm zur Verwendung des Ricci-Flusses auf, mit dem er versuchte, das Problem zu lösen. Durch die Entwicklung einer Reihe neuer Techniken und Ergebnisse in der Theorie des Ricci-Flusses war Grigori Perelman in der Lage, Hamiltons Programm zu modifizieren und zu vervollständigen. In unveröffentlichten arXiv-Preprints aus den Jahren 2002 und 2003 stellte Perelman seine Arbeit vor, mit der er die Poincaré-Vermutung und die noch stärkere Geometrisierungsvermutung von William Thurston bewies. In den folgenden Jahren studierten mehrere Mathematiker seine Arbeiten und erstellten detaillierte Formulierungen seiner Arbeit. ⓘ

Die Arbeit von Hamilton und Perelman an der Vermutung wird weithin als Meilenstein der mathematischen Forschung anerkannt. Hamilton wurde mit dem Shaw-Preis und dem Leroy P. Steele-Preis für einen bahnbrechenden Beitrag zur Forschung ausgezeichnet. Die Zeitschrift Science zeichnete Perelmans Beweis der Poincaré-Vermutung als wissenschaftlichen Durchbruch des Jahres 2006 aus. Das Clay Mathematics Institute, das die Poincaré-Vermutung in seine bekannte Liste der Millennium-Probleme aufgenommen hatte, bot Perelman einen Preis in Höhe von 1 Million US-Dollar für die Lösung der Vermutung an. Er lehnte den Preis mit der Begründung ab, dass Hamiltons Beitrag dem seinen ebenbürtig gewesen sei. ⓘ

Geschichte

Keine der beiden farbigen Schleifen auf diesem Torus kann kontinuierlich zu einem Punkt zusammengezogen werden. Ein Torus ist nicht homöomorph zu einer Kugel. ⓘ

Die Frage von Poincaré

Henri Poincaré beschäftigte sich mit den Grundlagen der Topologie, die später als kombinatorische Topologie und später als algebraische Topologie bezeichnet wurde. Er interessierte sich besonders dafür, welche topologischen Eigenschaften eine Kugel hat. ⓘ

Poincaré behauptete 1900, dass die Homologie, ein Werkzeug, das er auf der Grundlage früherer Arbeiten von Enrico Betti entwickelt hatte, ausreiche, um festzustellen, ob es sich bei einer 3-Mannigfaltigkeit um eine 3-Kugel handele. In einem Papier von 1904 beschrieb er jedoch ein Gegenbeispiel zu dieser Behauptung, einen Raum, der heute als Poincaré-Homologie-Sphäre bezeichnet wird. Die Poincaré-Sphäre war das erste Beispiel für eine Homologie-Sphäre, eine Mannigfaltigkeit, die dieselbe Homologie wie eine Sphäre hatte und von der seither viele weitere konstruiert wurden. Um festzustellen, dass sich die Poincaré-Sphäre von der 3-Sphäre unterscheidet, führte Poincaré eine neue topologische Invariante ein, die Fundamentalgruppe, und zeigte, dass die Poincaré-Sphäre eine Fundamentalgruppe der Ordnung 120 hat, während die 3-Sphäre eine triviale Fundamentalgruppe hat. Auf diese Weise konnte er feststellen, dass diese beiden Räume in der Tat unterschiedlich sind. ⓘ

Im selben Papier fragte sich Poincaré, ob eine 3-Mannigfaltigkeit mit der Homologie einer 3-Sphäre und ebenfalls trivialer Fundamentalgruppe eine 3-Sphäre sein müsse. Poincarés neue Bedingung - d.h. "triviale Fundamentalgruppe" - kann als "jede Schleife kann auf einen Punkt geschrumpft werden" umformuliert werden. ⓘ

Die ursprüngliche Formulierung lautete wie folgt:

Man betrachte eine kompakte 3-dimensionale Mannigfaltigkeit V ohne Begrenzung. Ist es möglich, dass die Fundamentalgruppe von V trivial ist, obwohl V nicht homöomorph zur dreidimensionalen Kugel ist? ⓘ

Poincaré hat sich nie dazu geäußert, ob er glaubte, dass diese zusätzliche Bedingung die 3-Sphäre charakterisieren würde, aber nichtsdestotrotz ist die Aussage, dass dies der Fall ist, als Poincaré-Vermutung bekannt. Hier ist die Standardform der Vermutung:

Jede einfach zusammenhängende, geschlossene 3-Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre. ⓘ

Man beachte, dass "geschlossen" hier, wie in diesem Bereich üblich, die Bedingung bedeutet, dass sie im Sinne der Mengentopologie kompakt ist und auch keine Grenzen hat (der dreidimensionale euklidische Raum ist ein Beispiel für eine einfach zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit, die nicht zur 3-Sphäre homöomorph ist; aber er ist nicht kompakt und daher kein Gegenbeispiel). ⓘ

Lösungen

In den 1930er Jahren behauptete J. H. C. Whitehead einen Beweis, den er dann aber wieder zurückzog. Dabei entdeckte er einige Beispiele für einfach zusammenhängende (in der Tat kontrahierbare, d. h. homotopisch zu einem Punkt äquivalente) nicht-kompakte 3-Mannigfaltigkeiten, die nicht homöomorph sind zu $\mathbb {R} ^{3}$nicht homöomorph sind, deren Prototyp heute als Whitehead-Mannigfaltigkeit bezeichnet wird. ⓘ

In den 1950er und 1960er Jahren versuchten andere Mathematiker, die Vermutung zu beweisen, um dann festzustellen, dass diese Beweise fehlerhaft waren. Einflussreiche Mathematiker wie Georges de Rham, R. H. Bing, Wolfgang Haken, Edwin E. Moise und Christos Papakyriakopoulos versuchten, die Vermutung zu beweisen. Im Jahr 1958 bewies Bing eine schwache Version der Poincaré-Vermutung: Wenn jede einfache geschlossene Kurve einer kompakten 3-Mannigfaltigkeit in einer 3-Kugel enthalten ist, dann ist die Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-Sphäre. Bing beschrieb auch einige der Fallstricke beim Versuch, die Poincaré-Vermutung zu beweisen. ⓘ

Włodzimierz Jakobsche zeigte 1978, dass, wenn die Bing-Borsuk-Vermutung in der Dimension 3 wahr ist, auch die Poincaré-Vermutung wahr sein muss. ⓘ

Im Laufe der Zeit erlangte die Vermutung den Ruf, besonders knifflig zu sein. John Milnor bemerkte, dass die Fehler in falschen Beweisen manchmal "ziemlich subtil und schwer zu entdecken" sind. Die Arbeit an der Vermutung verbesserte das Verständnis von 3-Mannigfaltigkeiten. Experten auf diesem Gebiet zögerten oft, Beweise zu verkünden, und neigten dazu, eine solche Ankündigung mit Skepsis zu betrachten. In den 1980er und 1990er Jahren gab es einige öffentlichkeitswirksame Irrtumsbeweise (die nicht in begutachteter Form veröffentlicht wurden). ⓘ

Eine Darstellung der Versuche, diese Vermutung zu beweisen, findet sich in dem nichttechnischen Buch Poincaré's Prize von George Szpiro. ⓘ

Abmessungen

Die Klassifizierung geschlossener Flächen gibt eine positive Antwort auf die analoge Frage in zwei Dimensionen. Für Dimensionen größer als drei kann man die Verallgemeinerte Poincaré-Vermutung aufstellen: Ist eine homotopische n-Sphäre homöomorph zur n-Sphäre? In vier und mehr Dimensionen gibt es einfach zusammenhängende, geschlossene Mannigfaltigkeiten, die nicht homotopisch äquivalent zu einer n-Sphäre sind. ⓘ

In der Vergangenheit schien die Vermutung für die dritte Dimension plausibel zu sein, während die verallgemeinerte Vermutung für falsch gehalten wurde. Im Jahr 1961 schockierte Stephen Smale die Mathematiker, indem er die verallgemeinerte Poincaré-Vermutung für Dimensionen größer als vier bewies und seine Techniken erweiterte, um den fundamentalen h-Kobordismus-Satz zu beweisen. Im Jahr 1982 bewies Michael Freedman die Poincaré-Vermutung in vier Dimensionen. Freedmans Arbeit ließ die Möglichkeit offen, dass es eine glatte Vierer-Mannigfaltigkeit gibt, die homöomorph zur Vierersphäre ist, aber nicht diffeomorph zur Vierersphäre. Diese so genannte glatte Poincaré-Vermutung in der vierten Dimension bleibt offen und gilt als sehr schwierig. Die exotischen Sphären von Milnor zeigen, dass die glatte Poincaré-Vermutung beispielsweise in der siebten Dimension falsch ist. ⓘ

Diese früheren Erfolge in höheren Dimensionen ließen den Fall der drei Dimensionen in der Schwebe. Die Poincaré-Vermutung war sowohl in der vierten Dimension als auch in allen höheren Dimensionen im Wesentlichen wahr, und zwar aus ganz anderen Gründen. In der dritten Dimension hatte die Vermutung einen unsicheren Ruf, bis die Geometrisierungsvermutung sie in einen Rahmen stellte, der für alle 3-Mannigfaltigkeiten gilt. John Morgan schrieb:

Meiner Ansicht nach gab es vor Thurstons Arbeit über hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten und ... der Geometrisierungsvermutung keinen Konsens unter den Experten darüber, ob die Poincaré-Vermutung wahr oder falsch ist. Nach Thurstons Arbeit entwickelte sich trotz der Tatsache, dass sie keinen direkten Einfluss auf die Poincaré-Vermutung hatte, ein Konsens darüber, dass die Poincaré-Vermutung (und die Geometrisierungsvermutung) wahr waren. ⓘ

Hamiltons Programm und Lösung

Mehrere Stadien des Ricci-Flusses auf einer zweidimensionalen Mannigfaltigkeit ⓘ

Hamiltons Programm begann mit seiner Arbeit aus dem Jahr 1982, in der er den Ricci-Fluss auf einer Mannigfaltigkeit einführte und zeigte, wie man ihn zum Beweis einiger Spezialfälle der Poincaré-Vermutung verwenden kann. In den folgenden Jahren erweiterte er diese Arbeit, konnte aber die Vermutung nicht beweisen. Die eigentliche Lösung wurde erst gefunden, als Grigori Perelman seine Arbeiten veröffentlichte. ⓘ

Ende 2002 und 2003 veröffentlichte Perelman drei Arbeiten auf arXiv. Darin skizzierte er einen Beweis für die Poincaré-Vermutung und eine allgemeinere Vermutung, die Geometrisierungsvermutung von Thurston, und vervollständigte damit das Ricci-Flow-Programm, das zuvor von Richard S. Hamilton umrissen wurde. ⓘ

Von Mai bis Juli 2006 legten mehrere Gruppen Arbeiten vor, die die Details von Perelmans Beweis der Poincaré-Vermutung wie folgt ergänzten:

• Bruce Kleiner und John W. Lott veröffentlichten im Mai 2006 ein Papier auf arXiv, das die Details von Perelmans Beweis der Geometrisierungsvermutung ergänzte, nachdem Teilversionen bereits seit 2003 öffentlich zugänglich waren. Ihr Manuskript wurde 2008 in der Zeitschrift "Geometry and Topology" veröffentlicht. In den Jahren 2011 und 2013 wurden einige wenige Korrekturen vorgenommen; so wurde beispielsweise in der ersten Version des veröffentlichten Papiers eine falsche Version von Hamiltons Kompaktheitstheorem für den Ricci-Fluss verwendet.
• Huai-Dong Cao und Xi-Ping Zhu veröffentlichten in der Juni-Ausgabe 2006 des Asian Journal of Mathematics einen Aufsatz mit einer Darstellung des vollständigen Beweises der Poincaré- und Geometrisierungsvermutungen. Im ersten Absatz des Artikels heißt es

In diesem Papier werden wir die Hamilton-Perelman-Theorie des Ricci-Flusses vorstellen. Darauf aufbauend geben wir den ersten schriftlichen Bericht über einen vollständigen Beweis der Poincaré-Vermutung und der Geometrisierungsvermutung von Thurston. Das gesamte Werk ist das Ergebnis der Bemühungen vieler geometrischer Analytiker, wobei Hamilton und Perelman zweifelsohne die Hauptverantwortlichen sind.

Einige Beobachter interpretierten Cao und Zhu so, dass sie Perelmans Arbeit für sich beanspruchten. Später stellten sie eine überarbeitete Version mit neuem Wortlaut auf arXiv ein. Darüber hinaus war eine Seite ihrer Darstellung im Wesentlichen identisch mit einer Seite in einem der frühen, öffentlich zugänglichen Entwürfe von Kleiner und Lott; auch dies wurde in der überarbeiteten Version geändert, zusammen mit einer Entschuldigung des Redaktionsausschusses der Zeitschrift.

• John Morgan und Gang Tian veröffentlichten im Juli 2006 ein Papier auf arXiv, das einen detaillierten Beweis nur der Poincaré-Vermutung (die etwas einfacher ist als die vollständige Geometrisierungsvermutung) enthält, und erweiterten dies zu einem Buch. Im Jahr 2015 wies Abbas Bahri darauf hin, dass die Seiten 441-445 von Morgans und Tians Darstellung falsch waren. Der Fehler wurde später von Morgan und Tian korrigiert. ⓘ

Alle drei Gruppen stellten fest, dass die Lücken in Perelmans Arbeiten geringfügig waren und mit seinen eigenen Techniken geschlossen werden konnten. ⓘ

Am 22. August 2006 verlieh das ICM Perelman die Fields-Medaille für seine Arbeit über den Ricci-Fluss, aber Perelman lehnte die Medaille ab. John Morgan sprach am 24. August 2006 auf dem ICM über die Poincaré-Vermutung und erklärte, dass "Perelman 2003 die Poincaré-Vermutung gelöst hat". ⓘ

Im Dezember 2006 würdigte die Zeitschrift Science den Beweis der Poincaré-Vermutung als Durchbruch des Jahres und brachte ihn auf ihrer Titelseite. ⓘ

Ricci-Fluss mit Operation

Hamiltons Programm zum Beweis der Poincaré-Vermutung besteht darin, zunächst eine Riemannsche Metrik auf die unbekannte einfach zusammenhängende geschlossene 3-Mannigfaltigkeit zu legen. Die Grundidee besteht darin, zu versuchen, diese Metrik zu "verbessern". Wenn die Metrik beispielsweise so weit verbessert werden kann, dass sie eine konstante positive Krümmung aufweist, dann muss es sich nach den klassischen Ergebnissen der Riemannschen Geometrie um die 3-Kugel handeln. Hamilton schrieb die "Ricci-Flussgleichungen" zur Verbesserung der Metrik vor; ⓘ

$\partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}$ ⓘ

wobei g die Metrik und R die Ricci-Krümmung ist, und man hofft, dass die Mannigfaltigkeit mit zunehmender Zeit t leichter zu verstehen ist. Der Ricci-Fluss dehnt den Teil mit negativer Krümmung der Mannigfaltigkeit aus und zieht den Teil mit positiver Krümmung zusammen. ⓘ

In einigen Fällen konnte Hamilton zeigen, dass dies funktioniert; sein ursprünglicher Durchbruch bestand beispielsweise darin, zu zeigen, dass, wenn die Riemannsche Mannigfaltigkeit überall eine positive Ricci-Krümmung hat, das obige Verfahren nur für ein begrenztes Intervall von Parameterwerten befolgt werden kann, $t\in [0,T)$ mit $T<\infty$und, noch wichtiger, dass es Zahlen gibt $c_{t}$ so dass als $t\nearrow T$die Riemannsche Metrik $c_{t}g(t)$ gleichmäßig zu einer konstanten positiven Krümmung konvergieren. Nach der klassischen Riemannschen Geometrie ist die einzige einfach zusammenhängende kompakte Mannigfaltigkeit, die eine Riemannsche Metrik mit konstanter positiver Krümmung tragen kann, die Kugel. Hamilton zeigte also einen Spezialfall der Poincaré-Vermutung: Wenn eine kompakte, einfach zusammenhängende 3-Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik mit positiver Ricci-Krümmung unterstützt, dann muss sie diffeomorph zur 3-Sphäre sein. ⓘ

Wenn man stattdessen nur eine beliebige Riemannsche Metrik hat, müssen die Ricci-Flussgleichungen zu komplizierteren Singularitäten führen. Perelmans große Leistung bestand darin, zu zeigen, dass diese Singularitäten, wenn man eine bestimmte Perspektive einnimmt, nur wie schrumpfende Kugeln oder Zylinder aussehen können, wenn sie in endlicher Zeit auftreten. Mit einem quantitativen Verständnis dieses Phänomens zerschnitt er die Mannigfaltigkeit entlang der Singularitäten, teilte die Mannigfaltigkeit in mehrere Stücke und fuhr dann mit dem Ricci-Fluss auf jedem dieser Stücke fort. Dieses Verfahren wird als Ricci-Fluss mit Operation bezeichnet. ⓘ

Perelman lieferte ein separates Argument auf der Grundlage des Kurvenverkürzungsflusses, um zu zeigen, dass auf einer einfach zusammenhängenden kompakten 3-Mannigfaltigkeit jede Lösung des Ricci-Flusses mit Operation in endlicher Zeit ausstirbt. Ein alternatives Argument, das auf der Min-Max-Theorie von Minimalflächen und der geometrischen Maßtheorie beruht, wurde von Tobias Colding und William Minicozzi geliefert. Im Zusammenhang mit einfachen Verbindungen ist also nur das oben beschriebene Phänomen des Ricci-Flusses mit Chirurgie in endlicher Zeit relevant. Dies gilt sogar, wenn die Fundamentalgruppe ein freies Produkt aus endlichen Gruppen und zyklischen Gruppen ist. ⓘ

Diese Bedingung für die Fundamentalgruppe erweist sich als notwendig und hinreichend für das Aussterben in endlicher Zeit. Sie ist äquivalent zu der Aussage, dass die Primzahlzerlegung der Mannigfaltigkeit keine azyklischen Komponenten hat, und erweist sich als äquivalent zu der Bedingung, dass alle geometrischen Teile der Mannigfaltigkeit Geometrien haben, die auf den beiden Thurston-Geometrien S²×R und S³ basieren. Unter der Voraussetzung, dass man keinerlei Annahmen über die Fundamentalgruppe macht, führte Perelman eine weitere technische Studie über den Grenzwert der Mannigfaltigkeit für unendlich große Zeiten durch und bewies dabei die Geometrisierungsvermutung von Thurston: Bei großen Zeiten hat die Mannigfaltigkeit eine Dick-Dünn-Zerlegung, deren dicker Teil eine hyperbolische Struktur hat und deren dünner Teil eine Graphenmannigfaltigkeit ist. Aufgrund der Ergebnisse von Perelman und Colding und Minicozzi sind diese weiteren Ergebnisse jedoch unnötig, um die Poincaré-Vermutung zu beweisen. ⓘ

Lösung

Grigori Perelman ⓘ

Am 13. November 2002 veröffentlichte der russische Mathematiker Grigori Perelman auf arXiv den ersten von drei Eprints, die eine Lösung der Poincaré-Vermutung zeigen. Perelmans Beweis verwendet eine modifizierte Version eines von Richard S. Hamilton entwickelten Ricci-Flow-Programms. Im August 2006 wurde Perelman die Fields-Medaille (im Wert von 15.000 CAD) für seine Arbeit über den Ricci-Fluss verliehen, die er jedoch ablehnte. Am 18. März 2010 verlieh das Clay Mathematics Institute Perelman den mit 1 Million Dollar dotierten Millennium-Preis in Anerkennung seiner Beweise. Perelman lehnte auch diesen Preis ab. ⓘ

Perelman bewies die Vermutung durch Verformung der Mannigfaltigkeit mit Hilfe des Ricci-Flusses (der sich ähnlich wie die Wärmegleichung verhält, die die Diffusion von Wärme durch ein Objekt beschreibt). Der Ricci-Fluss verformt die Mannigfaltigkeit in der Regel in Richtung einer runderen Form, mit Ausnahme einiger Fälle, in denen er die Mannigfaltigkeit von sich selbst weg in Richtung sogenannter Singularitäten dehnt. Perelman und Hamilton zerschneiden dann die Mannigfaltigkeit an den Singularitäten (ein Prozess, der "Chirurgie" genannt wird), so dass sich die einzelnen Teile zu kugelähnlichen Formen formen. Die wichtigsten Schritte des Beweises bestehen darin, zu zeigen, wie sich Mannigfaltigkeiten verhalten, wenn sie durch den Ricci-Fluss verformt werden, zu untersuchen, welche Art von Singularitäten entstehen, zu bestimmen, ob dieser Operationsprozess abgeschlossen werden kann, und festzustellen, dass die Operation nicht unendlich oft wiederholt werden muss. ⓘ

Der erste Schritt besteht darin, die Mannigfaltigkeit mit Hilfe des Ricci-Flusses zu deformieren. Der Ricci-Fluss wurde von Richard S. Hamilton als eine Methode zur Verformung von Mannigfaltigkeiten definiert. Die Formel für den Ricci-Fluss ist eine Nachahmung der Wärmegleichung, die beschreibt, wie Wärme in einem Festkörper fließt. Wie der Wärmefluss neigt auch der Ricci-Fluss zu einem gleichmäßigen Verhalten. Im Gegensatz zur Wärmeströmung kann die Ricci-Strömung auf Singularitäten stoßen und nicht mehr funktionieren. Eine Singularität in einer Mannigfaltigkeit ist ein Ort, an dem sie nicht differenzierbar ist: wie eine Ecke, ein Scheitelpunkt oder eine Einschnürung. Der Ricci-Fluss wurde nur für glatte differenzierbare Mannigfaltigkeiten definiert. Hamilton nutzte den Ricci-Fluss, um zu beweisen, dass einige kompakte Mannigfaltigkeiten zu Kugeln diffeomorph sind, und er hoffte, damit die Poincaré-Vermutung beweisen zu können. Er musste die Singularitäten verstehen. ⓘ

Hamilton erstellte eine Liste der möglichen Singularitäten, die sich bilden könnten, aber er war besorgt, dass einige Singularitäten zu Schwierigkeiten führen könnten. Er wollte die Mannigfaltigkeit an den Singularitäten aufschneiden und Kappen einfügen und dann den Ricci-Fluss erneut ausführen, also musste er die Singularitäten verstehen und zeigen, dass bestimmte Arten von Singularitäten nicht auftreten. Perelman entdeckte, dass die Singularitäten alle sehr einfach waren: im Wesentlichen dreidimensionale Zylinder aus Kugeln, die sich entlang einer Linie ausdehnen. Ein gewöhnlicher Zylinder besteht aus Kreisen, die entlang einer Linie gestreckt werden. Perelman bewies dies mit Hilfe des so genannten "Reduzierten Volumens", das eng mit einem Eigenwert einer bestimmten elliptischen Gleichung verbunden ist. ⓘ

Manchmal reduziert sich eine ansonsten komplizierte Operation auf die Multiplikation mit einem Skalar (einer Zahl). Solche Zahlen werden als Eigenwerte dieser Operation bezeichnet. Eigenwerte stehen in engem Zusammenhang mit Schwingungsfrequenzen und werden bei der Analyse eines berühmten Problems verwendet: Kann man die Form einer Trommel hören? Im Wesentlichen ist ein Eigenwert wie eine Note, die von der Mannigfaltigkeit gespielt wird. Perelman bewies, dass dieser Ton ansteigt, wenn die Mannigfaltigkeit durch den Ricci-Fluss verformt wird. Dies half ihm, einige der lästigen Singularitäten zu beseitigen, die Hamilton beunruhigt hatten, insbesondere die Zigarren-Soliton-Lösung, die wie ein Strang aussah, der aus einer Mannigfaltigkeit herausragt, ohne dass sich auf der anderen Seite etwas befindet. Im Wesentlichen zeigte Perelman, dass alle Stränge, die sich bilden, abgeschnitten und gekappt werden können und keiner nur auf einer Seite herausragt. ⓘ

Um den Beweis zu vervollständigen, nimmt Perelman eine beliebige kompakte, einfach zusammenhängende, dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Begrenzung und beginnt, den Ricci-Fluss auszuführen. Dadurch wird die Mannigfaltigkeit in runde Stücke verformt, zwischen denen Stränge verlaufen. Er schneidet die Stränge ab und verformt die Mannigfaltigkeit weiter, bis schließlich eine Ansammlung von runden dreidimensionalen Kugeln übrig bleibt. Dann baut er die ursprüngliche Mannigfaltigkeit wieder auf, indem er die Kugeln mit dreidimensionalen Zylindern verbindet, sie in eine runde Form bringt und sieht, dass die Mannigfaltigkeit trotz der anfänglichen Verwirrung tatsächlich homöomorph zu einer Kugel ist. ⓘ

Eine unmittelbare Frage, die sich stellte, war, wie man sicher sein kann, dass nicht unendlich viele Schnitte notwendig sind. Diese Frage wurde aufgeworfen, weil die Schnitte möglicherweise ewig weitergehen könnten. Perelman bewies, dass dies nicht möglich ist, indem er minimale Oberflächen auf der Mannigfaltigkeit verwendete. Eine minimale Oberfläche ist im Wesentlichen ein Seifenfilm. Hamilton hatte gezeigt, dass die Fläche einer minimalen Oberfläche abnimmt, wenn der Krümmer einen Ricci-Fluss erfährt. Perelman überprüfte, was mit der Fläche der minimalen Oberfläche geschah, als die Mannigfaltigkeit zerschnitten wurde. Er bewies, dass die Fläche schließlich so klein ist, dass jeder Schnitt, nachdem die Fläche so klein ist, nur noch dreidimensionale Kugeln abschneiden kann und keine komplizierteren Stücke mehr. Dies wird von Sormani in dem unten zitierten Buch von Szpiro als Kampf mit einer Hydra beschrieben. Dieser letzte Teil des Beweises erschien in Perelmans drittem und letztem Papier zu diesem Thema. ⓘ