Durchmesser

Kreis mit

  Umfang C

  Durchmesser D

  Radius R

  Mittelpunkt oder Ursprung O ⓘ

In der Geometrie ist der Durchmesser eines Kreises eine beliebige gerade Strecke, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft und deren Endpunkte auf dem Kreis liegen. Er kann auch als die längste Sehne des Kreises definiert werden. Beide Definitionen sind auch für den Durchmesser einer Kugel gültig. ⓘ

Im modernen Sprachgebrauch wird die Länge $d$ eines Durchmessers auch als Durchmesser bezeichnet. In diesem Sinne spricht man von dem Durchmesser und nicht a Durchmesser (der sich auf das Liniensegment selbst bezieht), da alle Durchmesser eines Kreises oder einer Kugel die gleiche Länge haben, nämlich das Doppelte des Radius $r.$ ⓘ

$d=2r\qquad {\text{or equivalently}}\qquad r={\frac {d}{2}}.$ ⓘ

Für eine konvexe Form in der Ebene ist der Durchmesser definiert als der größte Abstand, der zwischen zwei gegenüberliegenden parallelen Linien, die ihre Begrenzung tangieren, gebildet werden kann, und die Breite wird oft als der kleinste solche Abstand definiert. Beide Größen können mit Hilfe von Drehschiebern effizient berechnet werden. Bei einer Kurve mit konstanter Breite wie dem Reuleaux-Dreieck sind Breite und Durchmesser gleich, da alle Paare paralleler Tangenten den gleichen Abstand haben. ⓘ

Bei einer Ellipse ist die Standardterminologie eine andere. Der Durchmesser einer Ellipse ist jede Sehne, die durch den Mittelpunkt der Ellipse verläuft. Konjugierte Durchmesser haben z. B. die Eigenschaft, dass eine Tangente an die Ellipse im Endpunkt eines Durchmessers parallel zum konjugierten Durchmesser ist. Der längste Durchmesser wird als Hauptachse bezeichnet. ⓘ

Das Wort "Durchmesser" stammt aus dem Altgriechischen: διάμετρος (diametros), "Durchmesser eines Kreises", von διά (dia), "quer, durch" und μέτρον (metron), "Maß". Es wird oft abgekürzt ${\text{DIA}},{\text{dia}},d,$ oder . $\varnothing .$ ⓘ

Verallgemeinerungen

Die oben genannten Definitionen gelten nur für Kreise, Kugeln und konvexe Formen. Sie sind jedoch Spezialfälle einer allgemeineren Definition, die für alle Arten von $n$-dimensionalen (konvexen oder nicht-konvexen) Objekten gilt, wie z. B. einem Hyperwürfel oder einer Menge von verstreuten Punkten. Die Durchmesser oder . metrischer Durchmesser einer Teilmenge eines metrischen Raums ist die kleinste obere Schranke der Menge aller Abstände zwischen Punktpaaren in der Teilmenge. Explizit, wenn $S$ die Teilmenge ist und wenn $\rho$ die Metrik ist, ist der Durchmesser

$$\operatorname {diam} (S)=\sup _{x,y\in S}\rho (x,y).$$

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Wenn die Metrik $\rho$ wird hier als Codomain betrachtet $\mathbb {R}$ (die Menge aller reellen Zahlen) betrachtet, bedeutet dies, dass der Durchmesser der leeren Menge (der Fall $S=\varnothing$) gleich $-\infty$ (negative Unendlichkeit). Einige Autoren ziehen es vor, die leere Menge als Sonderfall zu behandeln, indem sie ihr einen Durchmesser von $0,$ zu, was der Annahme entspricht, dass die Codomain von $d$ die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen ist. ⓘ

Für ein beliebiges festes Objekt oder eine Menge von verstreuten Punkten im $n$-dimensionalen euklidischen Raum ist der Durchmesser des Objekts oder der Menge derselbe wie der Durchmesser seiner konvexen Hülle. Im medizinischen Sprachgebrauch in Bezug auf eine Läsion oder in der Geologie in Bezug auf ein Gestein ist der Durchmesser eines Objekts die kleinste obere Schranke der Menge aller Abstände zwischen Punktpaaren im Objekt. ⓘ

In der Differentialgeometrie ist der Durchmesser eine wichtige globale Riemannsche Invariante. ⓘ

In der ebenen Geometrie wird der Durchmesser eines Kegelschnitts in der Regel als jede Sehne definiert, die durch den Mittelpunkt des Kegels verläuft; solche Durchmesser sind nicht notwendigerweise von gleichmäßiger Länge, außer im Fall des Kreises, der eine Exzentrizität $e=0.$ ⓘ

Zeichen

Technische Formeln werden bevorzugt so aufgebaut, dass der Durchmesser und nicht der Radius als Variable enthalten ist, da sich der Durchmesser mit den werkstattüblichen Messmitteln (z. B. Messschieber) direkt ermitteln und dann in der Formel anwenden lässt. ⓘ

In technischen Zeichnungen und Texten wird das Durchmesserzeichen ⌀ (U+2300) den Maßzahlen von Kreisformen vorangestellt. Früher wurde dies Zeichen nur dann verwendet, wenn die Kreisform nicht sofort erkennbar war, d. h. beispielsweise bei der Schnittdarstellung von Bohrungen oder Durchgangsbohrungen. Laut DIN 406-11 von 1992 ist das Durchmesserzeichen seither in jedem Fall voran zu setzen. ⓘ

Beispiele für Hohlkörper mit Innen- und Außendurchmesser sind Unterlegscheiben, Schläuche, Rohre, Hohlwellen und Wälzlager. Bei Rohren und Schläuchen wird der genormte Innendurchmesser Nennweite genannt. Der Begriff Nenndurchmesser wird branchenabhängig für Innen- oder Außendurchmesser benutzt. ⓘ

Zeichen U+2205 ∅ EMPTY SET aus einer AutoCAD-Zeichnung in der Schriftart dim.shx mit einem Winkel von 16°. Diese Schriftart enthält nicht U+2300 ⌀ DIAMETER SIGN. ⓘ

Ähnliche Symbole

Der lateinische Kleinbuchstabe o mit dem Strich ø ist in Größe und Form ähnlich wie dieses. Das Durchmesserzeichen ⌀ unterscheidet sich vom Symbol der leeren Menge ∅, vom (kursiven) Großbuchstaben phi Φ und vom nordischen Vokal Ø (lateinischer Großbuchstabe O mit Strich). Siehe auch geschlitzte Null. ⓘ

Kodierungen

Das Symbol hat einen Unicode-Codepunkt bei U+2300 ⌀ DIAMETER SIGN, im Miscellaneous Technical set. Auf einem Apple Macintosh kann das Durchmessersymbol über die Zeichenpalette eingegeben werden (diese wird geöffnet durch Drücken von ⌥ Opt⌘ CmdT in den meisten Anwendungen), wo es in der Kategorie Technische Symbole zu finden ist. In Unix/Linux/ChromeOS-Systemen wird es mit Strg+⇧ Umschalttaste+U 2300Leerzeichen. In Unix-ähnlichen Betriebssystemen kann sie mit einer Compose-Taste erreicht werden, indem nacheinander gedrückt wird, Composedi. Unter Windows kann es in den meisten Programmen mit Alt-Code 8960 eingegeben werden. ⓘ

Das Zeichen wird jedoch manchmal nicht korrekt angezeigt, da viele Schriftarten es nicht enthalten. In vielen Situationen ist der nordische Buchstabe ø unter Unicode U+00F8 ø LATIN SMALL LETTER O WITH STROKE (ø) ist ein akzeptabler Ersatz. Er kann auf einem Macintosh eingegeben werden, indem man ⌥ OptO (der Buchstabe o, nicht die Zahl 0). In Unix/Linux/ChromeOS-Systemen wird es mit Strg+⇧ Umschalttaste+U F8Leerzeichen oder . Composeo/. AutoCAD verwendet U+2205 ∅ EMPTY SET, das als Abkürzungsstring verfügbar ist %%c. ⓘ

In Microsoft Word kann das Durchmessersymbol durch Eingabe von 2300 und dann die Taste Alt+X. ⓘ

In LaTeX kann das Durchmessersymbol mit dem Befehl \diameter aus dem Paket "wasysym" abgerufen werden. ⓘ

Geometrie

Innen- und Außendurchmesser

Kreisring mit Innendurchmesser $d=2r$, Außendurchmesser $D=2R$ und Ringbreite $b=R-r$ ⓘ

Im Falle eines Kreisrings oder eines Hohlzylinders unterscheidet man zwischen dem inneren und äußeren Durchmesser, genannt Innen- und Außendurchmesser. ⓘ

Zur Abgrenzung werden meist verschiedene Formelzeichen verwendet, z. B. $d$, $d_{i}$ oder $D_{i}$ für den Innen- und $D$, $d_{a}$ oder $D_{a}$ für den Außendurchmesser. ⓘ

Analog werden $r={\frac {d}{2}}$ als Innen- und $R={\frac {d}{2}}$ als Außenradius bezeichnet. Die Differenz von Außen- und Innenradius $b=R-r$ nennt man bei Kreisringen Ringbreite und bei Hohlkörpern Wanddicke. ⓘ

Messverfahren

Für die Messung und Prüfung von Durchmessern eignen sich abhängig von der Größenordnung verschiedene Messmethoden. Sowohl Innen- als auch Außendurchmesser können mit Messschrauben und Messschiebern gemessen werden. ⓘ

Größere Durchmesser lassen sich auch durch Koordinatenmessgeräte erfassen. Für kleine Durchmesser im Mikrometer-Bereich eignen sich optische Messverfahren, wie Lasermikrometer. ⓘ

Zur Prüfung von Durchmessern eines Werkstücks können Grenzlehren verwendet werden. ⓘ