Kosinussatz

Abb. 1 - Ein Dreieck. Die Winkel α (oder A), β (oder B) und γ (oder C) liegen jeweils den Seiten a, b und c gegenüber. ⓘ

In der Trigonometrie setzt das Kosinusgesetz (auch bekannt als Kosinusformel, Kosinusregel oder al-Kashi-Theorem) die Länge der Seiten eines Dreiecks mit dem Kosinus eines Winkels in Beziehung. Unter Verwendung der Notation in Abb. 1 besagt das Kosinussatzgesetz

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,$ ⓘ

wobei γ den Winkel bezeichnet, der zwischen den Seiten der Längen a und b und gegenüber der Seite der Länge c liegt:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta .$ ⓘ

Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras, der nur für rechtwinklige Dreiecke gilt: Wenn der Winkel γ ein rechter Winkel ist (mit dem Maß 90 Grad oder π/2 Bogenmaß), dann ist cos γ = 0, und somit reduziert sich der Kosinussatz auf den Satz des Pythagoras:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}.$ ⓘ

Das Kosinussatzgesetz ist nützlich, um die dritte Seite eines Dreiecks zu berechnen, wenn zwei Seiten und ihr eingeschlossener Winkel bekannt sind, und um die Winkel eines Dreiecks zu berechnen, wenn alle drei Seiten bekannt sind. ⓘ

Geschichte

Abb. 2 - Stumpfes Dreieck ABC mit senkrechtem BH ⓘ

Obwohl der Begriff des Kosinus zu seiner Zeit noch nicht entwickelt war, enthält Euklids "Elemente" aus dem 3. Jahrhundert v. Chr. einen frühen geometrischen Lehrsatz, der dem Kosinusgesetz fast gleichwertig ist. Die Fälle stumpfer Dreiecke und spitzer Dreiecke (die den beiden Fällen eines negativen bzw. positiven Kosinus entsprechen) werden in den Sätzen 12 und 13 von Buch 2 getrennt behandelt. Da es zu Euklids Zeiten keine trigonometrischen Funktionen und keine Algebra (insbesondere keine negativen Zahlen) gab, hat die Aussage einen eher geometrischen Beigeschmack:

Proposition 12
In stumpfwinkligen Dreiecken ist das Quadrat auf der Seite, die den stumpfen Winkel einschließt, größer als die Quadrate auf den Seiten, die den stumpfen Winkel enthalten, und zwar um das Doppelte des Rechtecks, das eine der Seiten um den stumpfen Winkel einschließt, nämlich diejenige, auf die das Lot fällt, und die Gerade, die außen durch das Lot zum stumpfen Winkel hin abgeschnitten wird.

- Euklid's Elemente, Übersetzung von Thomas L. Heath. ⓘ

Unter Verwendung der Notation in Abb. 2 lässt sich Euklids Aussage durch die Formel

$AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2(CA)(CH).$ ⓘ

Diese Formel lässt sich in das Kosinussatzgesetz umwandeln, indem man feststellt, dass CH = (CB) cos(π - γ) = -(CB) cos γ. Satz 13 enthält eine völlig analoge Aussage für spitze Dreiecke. ⓘ

Euklids Elemente ebneten den Weg für die Entdeckung des Kosinusgesetzes. Im 15. Jahrhundert lieferte Jamshīd al-Kāshī, ein persischer Mathematiker und Astronom, die erste ausdrückliche Erklärung des Kosinusgesetzes in einer für die Triangulation geeigneten Form. Er lieferte genaue trigonometrische Tabellen und drückte das Theorem in einer für den modernen Gebrauch geeigneten Form aus. Noch in den 2020er Jahren wird das Kosinussatzgesetz in Frankreich als Théorème d'Al-Kashi bezeichnet. ⓘ

Das Theorem wurde im 16. Jahrhundert von François Viète in der westlichen Welt bekannt gemacht. Zu Beginn des 19. Jahrhunderts ermöglichte es die moderne algebraische Notation, das Kosinussatzgesetz in seiner heutigen symbolischen Form zu schreiben. ⓘ

Verwendungen

Abb. 3 - Anwendungen des Kosinussatzes: unbekannte Seite und unbekannter Winkel. ⓘ

Das Theorem wird bei der Triangulation verwendet, um ein Dreieck oder einen Kreis zu lösen, d. h. um die dritte Seite eines Dreiecks zu finden (siehe Abbildung 3):

• die dritte Seite eines Dreiecks, wenn man zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen kennt:
  $$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;$$
• die Winkel eines Dreiecks, wenn man die drei Seiten kennt:
  $$\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;$$
• die dritte Seite eines Dreiecks, wenn man zwei Seiten und einen gegenüberliegenden Winkel kennt (man kann dazu auch den Satz des Pythagoras verwenden, wenn es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt):
  $$a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.$$
  ⓘ

Diese Formeln führen bei Fließkommaberechnungen zu hohen Rundungsfehlern, wenn das Dreieck sehr spitz ist, d. h. wenn c klein im Verhältnis zu a und b ist oder γ klein im Vergleich zu 1. Es ist sogar möglich, für den Kosinus eines Winkels ein Ergebnis zu erhalten, das etwas größer als 1 ist. ⓘ

Die dritte gezeigte Formel ist das Ergebnis der Lösung von a in der quadratischen Gleichung a² - 2ab cos γ + b² - c² = 0. Diese Gleichung kann 2, 1 oder 0 positive Lösungen haben, entsprechend der Anzahl der möglichen Dreiecke in den Daten. Sie hat zwei positive Lösungen, wenn b sin γ < c < b ist, nur eine positive Lösung, wenn c = b sin γ ist, und keine Lösung, wenn c < b sin γ ist. Diese verschiedenen Fälle werden auch durch die Seiten-Winkel-Kongruenz erklärt. ⓘ

Beweise

Verwendung der Abstandsformel

Abb. 4 - Koordinatengeometrischer Beweis ⓘ

Betrachten wir ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c, wobei θ das Maß des Winkels ist, der der Seite mit der Länge c gegenüberliegt. Dieses Dreieck kann in das kartesische Koordinatensystem eingezeichnet werden, wobei die Seite a entlang der "x"-Achse ausgerichtet ist und der Winkel θ im Ursprung liegt, indem die Komponenten der drei Punkte des Dreiecks wie in Abb. 4 dargestellt aufgetragen werden:

$A=(b\cos \theta ,b\sin \theta ),B=(a,0),{\text{ and }}C=(0,0).$ ⓘ

Mit Hilfe der Abstandsformel,

$c={\sqrt {(a-b\cos \theta )^{2}+(0-b\sin \theta )^{2}}}.$ ⓘ

Quadrieren beider Seiten und Vereinfachung

${\begin{aligned}c^{2}&{}=(a-b\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}\\c^{2}&{}=a^{2}-2ab\cos \theta +b^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\end{aligned}}$ ⓘ

Ein Vorteil dieses Beweises besteht darin, dass er nicht die Berücksichtigung verschiedener Fälle erfordert, in denen das Dreieck spitz, rechtwinklig oder stumpf ist. ⓘ

Verwendung der Trigonometrie

Abb. 5 - Ein spitzwinkliges Dreieck mit Senkrechten ⓘ

Wenn man das Lot auf die Seite c durch den Punkt C, eine Höhe des Dreiecks, fallen lässt, ergibt sich (siehe Abb. 5)

$c=a\cos \beta +b\cos \alpha .$ ⓘ

(Dies gilt auch, wenn α oder β stumpf ist, denn in diesem Fall fällt das Lot außerhalb des Dreiecks). Das Durchmultiplizieren mit c ergibt

$c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .$ ⓘ

Betrachtet man die beiden anderen Höhen des Dreiecks, so ergibt sich

$a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,$

$b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .$ ⓘ

Addiert man die beiden letzten Gleichungen, erhält man

$a^{2}+b^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma .$ ⓘ

Subtrahiert man die erste Gleichung von der letzten Gleichung, erhält man

$a^{2}+b^{2}-c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma -(ac\cos \beta +bc\cos \alpha )$ ⓘ

was sich vereinfacht zu

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .$ ⓘ

Dieser Beweis verwendet die Trigonometrie, indem er die Kosinus der verschiedenen Winkel als eigenständige Größen behandelt. Er nutzt die Tatsache, dass der Kosinus eines Winkels die Beziehung zwischen den beiden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ausdrückt, die diesen Winkel einschließen. Andere Beweise (siehe unten) sind eher geometrisch, da sie einen Ausdruck wie cos γ lediglich als Bezeichnung für die Länge eines bestimmten Streckenabschnitts behandeln. ⓘ

Viele Beweise behandeln die Fälle von stumpfen und spitzen Winkeln γ getrennt. ⓘ

Verwendung des Satzes von Pythagoras

Stumpfes Dreieck ABC mit der Höhe BH ⓘ

Kosinussatz in der ebenen Trigonometrie, Beweis auf der Grundlage des Satzes von Pythagoras. ⓘ

Fall eines stumpfen Winkels

Euklid bewies diesen Satz, indem er den Satz des Pythagoras auf jedes der beiden rechtwinkligen Dreiecke in der gezeigten Abbildung (AHB und CHB) anwendete. Mit d für die Strecke CH und h für die Höhe BH ergibt sich für das Dreieck AHB

$c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},$ ⓘ

und das Dreieck CHB ergibt

$d^{2}+h^{2}=a^{2}.$ ⓘ

Das Expandieren der ersten Gleichung ergibt

$c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.$ ⓘ

Setzt man die zweite Gleichung ein, so ergibt sich folgendes:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.$ ⓘ

Dies ist Euklids Satz 12 aus Buch 2 der Elemente. Um ihn in die moderne Form des Kosinussatzes umzuwandeln, muss man beachten, dass

$d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos \gamma .$ ⓘ

Fall eines spitzen Winkels

Euklids Beweis des Satzes 13 verläuft nach demselben Muster wie der Beweis des Satzes 12: Er wendet den Satz des Pythagoras auf die beiden rechtwinkligen Dreiecke an, die durch Fallenlassen der Senkrechten auf eine der Seiten, die den Winkel γ einschließen, gebildet werden, und verwendet zur Vereinfachung das Quadrat einer Differenz. ⓘ

Abb. 6 - Ein kurzer trigonometrischer Beweis für den Fall eines spitzen Winkels ⓘ

Ein weiterer Beweis für den spitzen Winkel

Mit Hilfe weiterer Trigonometrie lässt sich das Kosinussatzgesetz mit Hilfe des Satzes von Pythagoras nur einmal herleiten. Anhand des rechtwinkligen Dreiecks auf der linken Seite von Abb. 6 lässt sich nämlich zeigen, dass:

$${\begin{aligned}c^{2}&=(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\&=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma ,\end{aligned}}$$

Verwendung der trigonometrischen Identität

$$\cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1.$$

ⓘ

Dieser Beweis bedarf einer kleinen Änderung, wenn b < a cos(γ) ist. In diesem Fall bewegt sich das rechte Dreieck, auf das der Satz des Pythagoras angewendet wird, außerhalb des Dreiecks ABC. Die einzige Auswirkung auf die Berechnung ist, dass die Größe b - a cos(γ) durch a cos(γ) - b ersetzt wird. Da diese Größe nur durch ihr Quadrat in die Berechnung eingeht, ist der Rest des Beweises nicht betroffen. Dieses Problem tritt jedoch nur auf, wenn β stumpf ist, und kann durch Spiegelung des Dreiecks an der Winkelhalbierenden von γ vermieden werden. ⓘ

Mit Blick auf Abb. 6 ist zu bemerken, dass der Winkel gegenüber der Seite a gleich α ist:

$\tan \alpha ={\frac {a\sin \gamma }{b-a\cos \gamma }}.$ ⓘ

Dies ist nützlich für die direkte Berechnung eines zweiten Winkels, wenn zwei Seiten und ein eingeschlossener Winkel gegeben sind. ⓘ

Verwendung des Satzes von Ptolemäus

Beweis des Kosinussatzes mit Hilfe des Satzes von Ptolemäus ⓘ

Im Diagramm wird das Dreieck ABC mit den Seiten AB = c, BC = a und AC = b innerhalb des Umkreises wie gezeigt gezeichnet. Das Dreieck ABD wird kongruent zum Dreieck ABC mit AD = BC und BD = AC konstruiert. Die Senkrechten von D und C treffen die Basis AB in E bzw. F. Dann:

${\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}$ ⓘ

Nun wird das Kosinussatzgesetz durch eine einfache Anwendung des Satzes von Ptolemäus auf das zyklische Viereck ABCD wiedergegeben:

${\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}$ ⓘ

Wenn der Winkel B rechts ist, dann ist ABCD ein Rechteck und die Anwendung des Satzes von Ptolemäus führt zum Satz des Pythagoras:

$a^{2}+c^{2}=b^{2}.\quad$ ⓘ

Durch den Vergleich der Flächen

Man kann das Kosinussatzgesetz auch durch Flächenberechnungen beweisen. Der Vorzeichenwechsel, wenn der Winkel γ stumpf wird, macht eine Fallunterscheidung notwendig. ⓘ

Erinnern Sie sich, dass

• a², b² und c² sind die Flächeninhalte der Quadrate mit den Seiten a, b bzw. c;
• Wenn γ spitz ist, dann ist ab cos γ der Flächeninhalt des Parallelogramms, dessen Seiten a und b einen Winkel von γ′ = π/2 - γ bilden;
• wenn γ stumpf ist und somit cos γ negativ ist, dann ist -ab cos γ die Fläche des Parallelogramms, dessen Seiten a und b einen Winkel von γ′ = γ - π/2 bilden. ⓘ

Abb. 7a - Beweis des Kosinussatzes für den spitzen Winkel γ durch "Ausschneiden und Einfügen". ⓘ

Akuter Fall. Abbildung 7a zeigt ein Heptagon, das auf zwei verschiedene Arten in kleinere Teile zerlegt wurde, um einen Beweis für das Kosinusgesetz zu liefern. Die verschiedenen Teile sind

• in rosa, die Flächen a², b² auf der linken Seite und die Flächen 2ab cos γ und c² auf der rechten Seite;
• in blau, das Dreieck ABC, links und rechts;
• in grau, die Hilfsdreiecke, die alle kongruent zu ABC sind, und zwar eine gleiche Anzahl (nämlich 2) sowohl links als auch rechts. ⓘ

Die Gleichheit der Flächen auf der linken und der rechten Seite ergibt

$\,a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos \gamma \,.$ ⓘ

Abb. 7b - Beweis des Kosinussatzes für den stumpfen Winkel γ durch "Ausschneiden und Einfügen". ⓘ

Stumpfer Fall. In Abbildung 7b wird ein Sechseck auf zwei verschiedene Arten in kleinere Teile zerschnitten, was einen Beweis des Kosinussatzes für den Fall liefert, dass der Winkel γ stumpf ist. Wir haben

• in rosa die Flächen a², b² und -2ab cos γ auf der linken Seite und c² auf der rechten Seite;
• in blau, das Dreieck ABC zweimal, sowohl links als auch rechts. ⓘ

Die Gleichheit der Flächen auf der linken und der rechten Seite ergibt

$\,a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}.$ ⓘ

Der strenge Beweis wird Beweise dafür enthalten müssen, dass verschiedene Formen kongruent sind und daher den gleichen Flächeninhalt haben. Dazu wird die Theorie der kongruenten Dreiecke verwendet. ⓘ

Verwendung der Geometrie des Kreises

Mit Hilfe der Geometrie des Kreises ist es möglich, einen geometrischeren Beweis zu erbringen als mit dem Satz des Pythagoras allein. Algebraische Manipulationen (insbesondere der binomische Lehrsatz) werden vermieden. ⓘ

Abb. 8a - Das Dreieck ABC (rosa), ein Hilfskreis (hellblau) und ein rechtwinkliges Hilfsdreieck (gelb) ⓘ

Fall eines spitzen Winkels γ, bei dem a > 2b cos γ ist. Fallen Sie das Lot von A auf a = BC, wodurch eine Strecke der Länge b cos γ entsteht. Duplizieren Sie das rechtwinklige Dreieck, um das gleichschenklige Dreieck ACP zu bilden. Konstruiere den Kreis mit Mittelpunkt A und Radius b und seine Tangente h = BH durch B. Die Tangente h bildet einen rechten Winkel mit dem Radius b (Euklids Elemente: Buch 3, Satz 18; oder siehe hier), so dass das gelbe Dreieck in Abbildung 8 rechtwinklig ist. Durch Anwendung des Satzes von Pythagoras erhält man

$c^{2}=b^{2}+h^{2}.$ ⓘ

Wenden Sie dann den Tangenten-Sekanten-Satz an (Euklids Elemente: Buch 3, Satz 36), der besagt, dass das Quadrat auf der Tangente durch einen Punkt B außerhalb des Kreises gleich dem Produkt der beiden Linienabschnitte (von B) ist, die durch eine beliebige Sekante des Kreises durch B entstehen: BH² = BC-BP, oder

$h^{2}=a(a-2b\cos \gamma ).$ ⓘ

Setzt man die vorstehende Gleichung ein, so erhält man das Kosinusgesetz:

$c^{2}=b^{2}+a(a-2b\cos \gamma ).$ ⓘ

Man beachte, dass h² die Potenz des Punktes B in Bezug auf den Kreis ist. Die Anwendung des Satzes von Pythagoras und des Tangenten-Sekanten-Satzes kann durch eine einzige Anwendung des Satzes von der Potenz eines Punktes ersetzt werden. ⓘ

Abb. 8b - Das Dreieck ABC (rosa), ein Hilfskreis (hellblau) und zwei rechtwinklige Hilfsdreiecke (gelb) ⓘ

Fall des spitzen Winkels γ, bei dem a < 2b cos γ ist. Fallen Sie das Lot von A auf a = BC, wodurch eine Strecke der Länge b cos γ entsteht. Duplizieren Sie das rechtwinklige Dreieck, um das gleichschenklige Dreieck ACP zu bilden. Konstruiere den Kreis mit dem Mittelpunkt A und dem Radius b und einer Sehne durch B, die senkrecht auf c = AB steht und deren Hälfte h = BH ist. Durch Anwendung des Satzes von Pythagoras erhält man

$b^{2}=c^{2}+h^{2}.$ ⓘ

Wenden Sie nun den Satz von der Sehne an (Euklids Elemente: Buch 3, Satz 35), der besagt, dass, wenn sich zwei Sehnen schneiden, das Produkt der beiden auf einer Sehne erhaltenen Linienabschnitte gleich dem Produkt der beiden auf der anderen Sehne erhaltenen Linienabschnitte ist. Im vorliegenden Fall: BH² = BC-BP, oder

$h^{2}=a(2b\cos \gamma -a).$ ⓘ

Setzt man die vorstehende Gleichung ein, so erhält man das Kosinusgesetz:

$b^{2}=c^{2}+a(2b\cos \gamma -a)\,.$ ⓘ

Man beachte, dass die Potenz des Punktes B in Bezug auf den Kreis den negativen Wert -h² hat. ⓘ

Abb. 9 - Beweis des Kosinussatzes mit Hilfe des Potenzsatzes eines Punktes. ⓘ

Fall eines stumpfen Winkels γ. Dieser Beweis verwendet direkt den Satz von der Potenz eines Punktes, ohne die Hilfsdreiecke, die man durch die Konstruktion einer Tangente oder einer Sehne erhält. Konstruieren Sie einen Kreis mit Mittelpunkt B und Radius a (siehe Abbildung 9), der die Sekante durch A und C in C und K schneidet. Die Potenz des Punktes A in Bezug auf den Kreis ist gleich AB² - BC² und AC-AK. Daraus folgt,

${\begin{aligned}c^{2}-a^{2}&{}=b(b+2a\cos(\pi -\gamma ))\\&{}=b(b-2a\cos \gamma ),\end{aligned}}$ ⓘ

das ist das Kosinusgesetz. ⓘ

Mit Hilfe der algebraischen Maße für Streckenabschnitte (die negative Zahlen als Streckenlängen zulassen) kann der Fall des stumpfen Winkels (CK > 0) und des spitzen Winkels (CK < 0) gleichzeitig behandelt werden. ⓘ

Anwendung des Sinussatzes

Wenn man das Sinusgesetz anwendet und weiß, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks 180 Grad ergeben muss, erhält man das folgende Gleichungssystem (die drei Unbekannten sind die Winkel):

${\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {b}{\sin \beta }},$

${\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }},$

$\alpha +\beta +\gamma =\pi .$ ⓘ

Mit der dritten Gleichung des Systems erhält man ein System von zwei Gleichungen in zwei Variablen:

${\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {b}{\sin(\alpha +\gamma )}},$

${\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }},$

Dabei haben wir die trigonometrische Eigenschaft verwendet, dass der Sinus eines zusätzlichen Winkels gleich dem Sinus des Winkels ist. ⓘ

Die Anwendung der Identität (siehe Identitäten der Winkelsumme und -differenz)

$\sin(\alpha +\gamma )=\sin \alpha \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha$

führt zu

$c(\sin \alpha \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha )=b\sin \gamma ,$

$c\sin \alpha =a\sin \gamma .$

Dividiert man das ganze System durch cos γ, erhält man:

$c(\sin \alpha +\tan \gamma \cos \alpha )=b\tan \gamma ,$

${\frac {c\sin \alpha }{\cos \gamma }}=a\tan \gamma ,$

${\frac {c^{2}\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\gamma }}=a^{2}\tan ^{2}\gamma .$

Aus der ersten Gleichung des Systems ergibt sich also

${\frac {c\sin \alpha }{b-c\cos \alpha }}=\tan \gamma$

Durch Einsetzen dieses Ausdrucks in die zweite Gleichung und durch Verwendung von

$1+\tan ^{2}\gamma ={\frac {1}{\cos ^{2}\gamma }}$

erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen:

$c^{2}\sin ^{2}\alpha \left[1+{\frac {c^{2}\sin ^{2}\alpha }{(b-c\cos \alpha )^{2}}}\right]=a^{2}\cdot {\frac {c^{2}\sin ^{2}\alpha }{(b-c\cos \alpha )^{2}}}$

Durch Multiplikation mit (b - c cos α)² erhalten wir die folgende Gleichung:

$(b-c\cos \alpha )^{2}+c^{2}\sin ^{2}\alpha =a^{2}.$

Dies impliziert

$b^{2}-2bc\cos \alpha +c^{2}\cos ^{2}\alpha +c^{2}\sin ^{2}\alpha =a^{2}.$

Unter Hinweis auf die Identität des Pythagoras ergibt sich das Kosinusgesetz:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha .$ ⓘ

Mit Hilfe von Vektoren

Bezeichne ⓘ

${\overrightarrow {CB}}={\vec {a}},\ {\overrightarrow {CA}}={\vec {b}},\ {\overrightarrow {AB}}={\vec {c}}$ ⓘ

daher, ⓘ

${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$ ⓘ

Nehmen Sie das Punktprodukt jeder Seite mit sich selbst:

${\vec {c}}\cdot {\vec {c}}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})$

$\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ ⓘ

Verwendung der Identität (siehe Punktprodukt) ⓘ

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \,\Vert {\vec {v}}\Vert \cos \angle ({\vec {u}},\ {\vec {v}})$ ⓘ

führt zu ⓘ

$\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+{\Vert {\vec {b}}\Vert }^{2}-2\,\Vert {\vec {a}}\Vert \!\;\Vert {\vec {b}}\Vert \cos \angle ({\vec {a}},\ {\vec {b}})$ ⓘ

Das Ergebnis folgt. ⓘ

Gleichschenkliger Fall

Wenn a = b ist, d. h. wenn das Dreieck gleichschenklig ist und die beiden Seiten, die den Winkel γ einschließen, gleich sind, vereinfacht sich das Kosinusgesetz erheblich. Da nämlich a² + b² = 2a² = 2ab ist, wird das Kosinussatzgesetz

$\cos \gamma =1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}$ ⓘ

oder

$c^{2}=2a^{2}(1-\cos \gamma ).$ ⓘ

Analogie für Tetraeder

Eine analoge Aussage beginnt damit, dass α, β, γ, δ die Flächen der vier Seiten eines Tetraeders sind. Bezeichnen Sie die Flächenwinkel mit ${\widehat {\beta \gamma }}$ usw. Dann

$\alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}-2\left[\beta \gamma \cos \left({\widehat {\beta \gamma }}\right)+\gamma \delta \cos \left({\widehat {\gamma \delta }}\right)+\delta \beta \cos \left({\widehat {\delta \beta }}\right)\right].$ ⓘ

Version geeignet für kleine Winkel

Wenn der Winkel γ klein ist und die benachbarten Seiten a und b ähnlich lang sind, wird die rechte Seite der Standardform des Kosinussatzes bei numerischen Näherungen in katastrophaler Weise aufgehoben. In Situationen, in denen dies ein wichtiges Anliegen ist, kann sich eine mathematisch äquivalente Version des Kosinussatzes, ähnlich der Haversinus-Formel, als nützlich erweisen:

${\begin{aligned}c^{2}&=(a-b)^{2}+4ab\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\&=(a-b)^{2}+4ab\operatorname {haversin} (\gamma ).\end{aligned}}$

Im Grenzfall eines infinitesimalen Winkels degeneriert das Kosinusgesetz zur Kreisbogenlängenformel c = a γ. ⓘ

In der sphärischen und hyperbolischen Geometrie

Sphärisches Dreieck, gelöst durch das Kosinussatzgesetz. ⓘ

Ähnliche Versionen wie das Kosinussatzgesetz für die euklidische Ebene gelten auch auf einer Einheitskugel und in einer hyperbolischen Ebene. In der sphärischen Geometrie wird ein Dreieck durch drei Punkte u, v und w auf der Einheitskugel und die Bögen der Großkreise, die diese Punkte verbinden, definiert. Wenn diese Großkreise die Winkel A, B und C mit den gegenüberliegenden Seiten a, b, c bilden, dann besagt das sphärische Kosinusgesetz, dass beide der folgenden Beziehungen gelten:

${\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\\cos A&=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.\end{aligned}}$ ⓘ

In der hyperbolischen Geometrie ist ein Paar von Gleichungen unter dem Namen hyperbolisches Kosinusgesetz bekannt. Die erste lautet

$\cosh a=\cosh b\cosh c-\sinh b\sinh c\cos A$ ⓘ

wobei sinh und cosh der hyperbolische Sinus und Kosinus sind, und die zweite lautet

$\cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cosh a.$ ⓘ

Wie in der euklidischen Geometrie kann man mit Hilfe des Kosinussatzes die Winkel A, B, C aus der Kenntnis der Seiten a, b, c bestimmen. Im Gegensatz zur euklidischen Geometrie ist in beiden nicht-euklidischen Modellen auch der umgekehrte Weg möglich: Die Winkel A, B, C bestimmen die Seiten a, b, c. ⓘ

Einheitliche Formel für Flächen mit konstanter Krümmung

Man definiert zwei Funktionen $\cos _{R}$ und $\sin _{R}$ als

$\cos _{R}(x)=\cos(x/R)\quad$ und $\quad \sin _{R}(x)=R\cdot \sin(x/R)$ ⓘ

erlaubt es, die Formeln für Ebene, Kugel und Pseudosphäre zu vereinheitlichen:

$\cos _{R}(BC)=\cos _{R}(AB)\cdot \cos _{R}(AC)+{\frac {1}{R^{2}}}\sin _{R}(AB)\cdot \sin _{R}(AC)\cdot \cos({\widehat {BAC}}).$ ⓘ

In dieser Schreibweise $R$ ist eine komplexe Zahl, die den Krümmungsradius der Oberfläche darstellt.

• Für $R\in \mathbb {R}$ ist die Oberfläche eine Kugel mit dem Radius $R$und ihre konstante Krümmung ist gleich $1/R^{2};$ ⓘ

• für $R=iR'\colon R'\in \mathbb {R}$ ist die Oberfläche eine Pseudosphäre mit dem (imaginären) Radius $R,$ mit konstanter Krümmung gleich $1/R^{2}=-1/R'^{2};$ ⓘ

• für $R\to \infty$ Die Oberfläche tendiert zu einer euklidischen Ebene mit konstanter Nullkrümmung. ⓘ

Überprüfung der Formel für nicht-euklidische Geometrie ⓘ

In den ersten beiden Fällen, $\cos _{R}$ und $\sin _{R}$ wohldefiniert über die gesamte komplexe Ebene für alle $R\neq 0$wohldefiniert, und die früheren Ergebnisse lassen sich ohne weiteres abrufen. ⓘ

Daher gilt für eine Kugel mit dem Radius $1$

$\cos(BC)=\cos(AB)\cdot \cos(AC)+\sin(AB)\cdot \sin(AC)\cdot \cos({\widehat {BAC}})$. ⓘ

Ebenso gilt für eine Pseudosphäre mit dem Radius $i$

$\cosh(BC)=\cosh(AB)\cdot \cosh(AC)-\sinh(AB)\cdot \sinh(AC)\cdot \cos({\widehat {BAC}}).$ ⓘ

In der Tat, $\cosh(x)=\cos(x/i)$ und $\sinh(x)=i\cdot \sin(x/i).$ ⓘ

Überprüfung der Formel im Grenzwert der euklidischen Geometrie ⓘ

In der euklidischen Ebene müssen die entsprechenden Grenzwerte für die obige Gleichung berechnet werden:

$\cos _{R}(x)=\cos(x/R)=1-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x^{2}}{R^{2}}}+o\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)$

und

$\sin _{R}(x)=R\cdot \sin(x/R)=x+o\left({\frac {1}{R^{3}}}\right)$. ⓘ

Wendet man dies auf die allgemeine Formel für eine endliche $R$ erhält man:

${\begin{aligned}1-{\frac {BC^{2}}{2R^{2}}}+o\left[{\frac {1}{R^{4}}}\right]={}&\left[1-{\frac {AB^{2}}{2R^{2}}}+o\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)\right]\cdot \left[1-{\frac {AC^{2}}{2R^{2}}}+o\left({\frac {1}{R^{4}}}\right)\right]+\\[5pt]&{}+{\frac {1}{R^{2}}}\left[AB+o\left({\frac {1}{R^{3}}}\right)\right]\cdot \left[AC+o\left({\frac {1}{R^{3}}}\right)\right]\cdot \cos({\widehat {BAC}})\end{aligned}}$ ⓘ

Man fasst die Terme zusammen, multipliziert mit $-2R^{2},$ und Einsetzen von $R\to \infty$ ergibt die erwartete Formel:

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos({\widehat {BAC}}).$ ⓘ

Kosinussatz für ebene Dreiecke

Gleichwertige Formulierung

Die zuvor genannten drei Identitätsgleichungen sind ihrerseits Folgerungen aus den folgenden drei Kosinusformeln und im Rahmen der Trigonometrie der euklidischen Ebene sogar gleichwertig mit

$a=b\cdot \cos \gamma +c\cdot \cos \beta$

$b=c\cdot \cos \alpha +a\cdot \cos \gamma$

$c=a\cdot \cos \beta +b\cdot \cos \alpha$ ⓘ

Man fasst diese Formeln unter dem Stichwort Projektionssatz oder Projektionssätze zusammen. ⓘ

Verallgemeinerung

Mit Vektoren in reellen Skalarprodukträumen, also Vektorräumen $V$ mit Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$, kann auch der Kosinussatz leicht verallgemeinert werden. Bezeichnet ⓘ

$\|a\|={\sqrt {\langle a,a\rangle }}$ ⓘ

die Skalarproduktnorm, also die Länge, eines Vektors $a\in V$ und $\theta _{a,b}$ mit ⓘ

$\cos \theta _{a,b}={\frac {\langle a,b\rangle }{\|a\|\cdot \|b\|}}$ ⓘ

den Winkel zwischen den beiden Vektoren $a,b\in V$, dann gilt für die Norm des Vektors $c=b-a$:

${\begin{aligned}\|c\|^{2}&=\|b-a\|^{2}=\langle b-a,b-a\rangle =\langle b,b\rangle -\langle b,a\rangle -\langle a,b\rangle +\langle a,a\rangle \\&=\|a\|^{2}+\|b\|^{2}-2\cdot \langle a,b\rangle =\|a\|^{2}+\|b\|^{2}-2\cdot \|a\|\cdot \|b\|\cos \theta _{a,b}\end{aligned}}$ ⓘ

Siehe auch

• Sinussatz
• Tangenssatz
• Geometrie auf der Kugeloberfläche
• Dschamschid Masʿud al-Kaschi
• Formelsammlung Trigonometrie ⓘ

Quellen und Literatur

• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht (= Studium). 4., überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-658-06730-4, doi:10.1007/978-3-658-06731-1. 
• Heinrich Behnke, Friedrich Bachmann, Kuno Fladt, Wilhelm Süss (Hrsg.): Grundzüge der Mathematik. Band II. Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1960. 
• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev, G. Musiol, H. Mühlig (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. 7., vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9. 
• Hanfried Lenz: Grundlagen der Elementarmathematik. 3., überarbeitete Auflage. Hanser Verlag, München (u. a.) 1976, ISBN 3-446-12160-9. 
• Manfred Leppig (Hrsg.): Lernstufen Mathematik. 1. Auflage. Girardet, Essen 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 192–193.  ⓘ