Polygon

Es gibt verschiedene Arten von Polygonen: offene (ohne Rand), nur Rand (ohne Innenraum), geschlossene (mit Rand und Innenraum) und sich selbst schneidende. ⓘ

In der Geometrie ist ein Polygon (/ˈpɒlɪɡɒn/) eine ebene Figur, die durch eine endliche Anzahl von geraden Liniensegmenten beschrieben wird, die miteinander verbunden sind, um eine geschlossene polygonale Kette (oder einen polygonalen Kreis) zu bilden. Die begrenzte ebene Region, der begrenzende Kreis oder beides zusammen kann als Polygon bezeichnet werden. ⓘ

Die Segmente eines polygonalen Kreises werden als Kanten oder Seiten bezeichnet. Die Punkte, an denen sich zwei Kanten treffen, sind die Scheitelpunkte (Singular: Vertex) oder Ecken des Polygons. Das Innere eines festen Polygons wird manchmal als Körper bezeichnet. Ein n-Eck ist ein Polygon mit n Seiten; ein Dreieck ist zum Beispiel ein 3-Eck. ⓘ

Ein einfaches Polygon ist ein Polygon, das sich nicht selbst schneidet. Mathematiker befassen sich oft nur mit den begrenzenden Polygonketten von einfachen Polygonen und definieren ein Polygon oft entsprechend. Eine polygonale Begrenzung kann sich selbst überkreuzen, wodurch Sternpolygone und andere sich selbst schneidende Polygone entstehen. ⓘ

Ein Polygon ist ein zweidimensionales Beispiel für ein allgemeineres Polytop in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen. Es gibt viele weitere Verallgemeinerungen von Polygonen, die für unterschiedliche Zwecke definiert wurden. ⓘ

Verschiedene Auffassungen von Polygonen und polygonalen Flächen ⓘ

Ein Polygon erhält man, indem in einer Zeichenebene mindestens drei verschiedene (nicht kollineare) Punkte durch Strecken miteinander verbunden werden. Dabei entsteht ein geschlossener Streckenzug (Polygonzug) mit ebenso vielen Ecken, beispielsweise ein Dreieck (3 Punkte, 3 Strecken) oder ein Viereck (4 Punkte, 4 Strecken). ⓘ

Etymologie

Das Wort Polygon leitet sich von dem griechischen Adjektiv πολύς (polús) "viel", "viele" und γωνία (gōnía) "Ecke" oder "Winkel" ab. Es wurde vorgeschlagen, dass γόνυ (gónu) 'Knie' der Ursprung von gon sein könnte. ⓘ

Klassifizierung

Einige verschiedene Arten von Polygonen ⓘ

Anzahl der Seiten

Polygone werden in erster Linie nach der Anzahl der Seiten eingeteilt. Siehe die folgende Tabelle. ⓘ

Konvexität und Schnittpunkt

Polygone können durch ihre Konvexität oder ihre Nicht-Konvexität charakterisiert werden:

Konvex: Jede Linie, die durch das Polygon gezogen wird (und keine Kante oder Ecke tangiert), trifft seine Begrenzung genau zweimal. Infolgedessen sind alle Innenwinkel kleiner als 180°. Das bedeutet, dass jedes Liniensegment, dessen Endpunkte auf der Begrenzung liegen, nur durch innere Punkte zwischen seinen Endpunkten verläuft.
Nicht konvex: Es kann eine Linie gefunden werden, die ihren Rand mehr als zweimal trifft. Dies bedeutet, dass es zwischen zwei Begrenzungspunkten einen Linienabschnitt gibt, der außerhalb des Polygons verläuft.
Einfach: Die Begrenzung des Polygons schneidet sich nicht selbst. Alle konvexen Polygone sind einfach.
Konkav: Nicht konvex und einfach. Es gibt mindestens einen Innenwinkel, der größer als 180° ist.
Sternförmig: Das gesamte Innere ist von mindestens einem Punkt aus sichtbar, ohne eine Kante zu schneiden. Das Polygon muss einfach sein, und es kann konvex oder konkav sein. Alle konvexen Polygone sind sternförmig.
Selbstschneidend: Die Begrenzung des Polygons kreuzt sich selbst. Der Begriff "komplex" wird manchmal im Gegensatz zu "einfach" verwendet, aber diese Verwendung birgt die Gefahr der Verwechslung mit der Vorstellung eines komplexen Polygons, das in der komplexen Hilbert-Ebene mit zwei komplexen Dimensionen existiert.
Sternpolygon: ein Polygon, das sich regelmäßig selbst schneidet. Ein Polygon kann nicht gleichzeitig ein Stern und sternförmig sein. ⓘ

Gleichheit und Symmetrie

Gleichwinklig: alle Eckwinkel sind gleich.
Gleichseitig: Alle Kanten haben die gleiche Länge.
Regelmäßig: sowohl gleichseitig als auch gleichwinklig.
Zyklisch: Alle Ecken liegen auf einem einzigen Kreis, dem sogenannten Umkreis.
Tangential: Alle Seiten sind tangential zu einem Inkreis.
Isogonal oder vertex-transitiv: Alle Ecken liegen auf der gleichen Symmetriebahn. Das Polygon ist außerdem zyklisch und gleichwinklig.
Isotoxal oder kantentransitiv: Alle Seiten liegen innerhalb der gleichen Symmetrieebene. Das Polygon ist außerdem gleichseitig und tangential. ⓘ

Die Eigenschaft der Regelmäßigkeit kann auch anders definiert werden: Ein Polygon ist dann und nur dann regelmäßig, wenn es sowohl isogonal als auch isotoxal ist, oder gleichwertig, wenn es sowohl zyklisch als auch gleichseitig ist. Ein nicht konvexes regelmäßiges Polygon wird als regelmäßiges Sternpolygon bezeichnet. ⓘ

Sonstiges

Geradlinig: Die Seiten des Polygons treffen sich in rechten Winkeln, d. h. alle Innenwinkel betragen 90 oder 270 Grad.
Monoton in Bezug auf eine gegebene Linie L: Jede Linie, die orthogonal zu L verläuft, schneidet das Polygon nicht mehr als zweimal. ⓘ

Eigenschaften und Formeln

Unterteilung eines n-Ecks in n - 2 Dreiecke ⓘ

Die euklidische Geometrie wird durchgehend vorausgesetzt. ⓘ

Winkel

Jedes Vieleck hat so viele Ecken wie es Seiten hat. Jede Ecke hat mehrere Winkel. Die beiden wichtigsten davon sind:

Innenwinkel - Die Summe der Innenwinkel eines einfachen n-Ecks beträgt (n - 2) × π Bogenmaß oder (n - 2) × 180 Grad. Das liegt daran, dass jedes einfache n-Eck (mit n Seiten) als aus (n - 2) Dreiecken zusammengesetzt betrachtet werden kann, von denen jedes eine Winkelsumme von π Bogenmaß oder 180 Grad hat. Das Maß eines jeden Innenwinkels eines konvexen regelmäßigen n-Ecks ist $\left(1-{\tfrac {2}{n}}\right)\pi$ Bogenmaß oder $180-{\tfrac {360}{n}}$ Grad. Die Innenwinkel von regelmäßigen Sternpolygonen wurden erstmals von Poinsot untersucht, und zwar in demselben Papier, in dem er die vier regelmäßigen Sternpolyeder beschreibt: für ein regelmäßiges ${\tfrac {p}{q}}$ -Eck (ein p-Eck mit zentraler Dichte q), jeder Innenwinkel beträgt ${\tfrac {\pi (p-2q)}{p}}$ Bogenmaß oder ${\tfrac {180(p-2q)}{p}}$ Grad.
Äußerer Winkel - Der äußere Winkel ist der Zusatzwinkel zum inneren Winkel. Wenn man um ein konvexes n-Eck herumfährt, ist der Winkel, der an einer Ecke "gedreht" wird, der Außenwinkel. Wenn man das Polygon ganz umrundet, ergibt sich eine volle Umdrehung, so dass die Summe der Außenwinkel 360° betragen muss. Dieses Argument kann auf konkave, einfache Polygone verallgemeinert werden, wenn die Außenwinkel, die sich in die entgegengesetzte Richtung drehen, von der Summe der Drehungen abgezogen werden. Bei der Verfolgung eines n-Ecks im Allgemeinen kann die Summe der Außenwinkel (der Gesamtbetrag, um den man sich an den Scheitelpunkten dreht) ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches d von 360° sein, z. B. 720° für ein Pentagramm und 0° für eine winklige "Acht" oder ein Antiparallelogramm, wobei d die Dichte oder Drehungszahl des Vielecks ist. Siehe auch Orbit (Dynamik). ⓘ

Fläche

Koordinaten eines nicht konvexen Fünfecks. ⓘ

In diesem Abschnitt wird davon ausgegangen, dass die Eckpunkte des betrachteten Polygons $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n-1},y_{n-1})$ der Reihe nach. Der Einfachheit halber wird in einigen Formeln auch die Schreibweise $(xn, y n) = (x 0, y 0)$ verwe_ndet. ⓘ

Einfache Polygone

Ist das Polygon nicht selbstschneidend (d. h. einfach), so ist der vorzeichenbehaftete Flächeninhalt

A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\quad {\text{where }}x_{n}=x_{0}{\text{ and }}y_{n}=y_{0},

oder, unter Verwendung von Determinanten

16A^{2}=\sum _{i=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{n-1}{\begin{vmatrix}Q_{i,j}&Q_{i,j+1}\\Q_{i+1,j}&Q_{i+1,j+1}\end{vmatrix}},

wobei $Q_{i,j}$ der quadratische Abstand zwischen $(x_{i},y_{i})$ und $(x_{j},y_{j}).$ ⓘ

Die vorzeichenbehaftete Fläche hängt von der Anordnung der Eckpunkte und der Orientierung der Ebene ab. Im Allgemeinen wird die positive Orientierung durch die (gegen den Uhrzeigersinn gerichtete) Drehung definiert, die die positive $x$ -Achse auf die positive y-Achse abbildet. Wenn die Scheitelpunkte gegen den Uhrzeigersinn angeordnet sind (d. h. nach der positiven Orientierung), ist die vorzeichenbehaftete Fläche positiv, andernfalls ist sie negativ. In beiden Fällen ist die Flächenformel absolut gesehen korrekt. Diese Formel wird allgemein als Schnürsenkelformel oder Vermessungsformel bezeichnet. ⓘ

Der Flächeninhalt A eines einfachen Polygons kann auch berechnet werden, wenn die Längen der Seiten a₁, a₂, ..., an und die Außenwinkel θ₁, θ₂, ..., θn bekannt sind:

{\begin{aligned}A={\frac {1}{2}}(a_{1}[a_{2}\sin(\theta _{1})+a_{3}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+a_{2}[a_{3}\sin(\theta _{2})+a_{4}\sin(\theta _{2}+\theta _{3})+\cdots +a_{n-1}\sin(\theta _{2}+\cdots +\theta _{n-2})]\\{}+\cdots +a_{n-2}[a_{n-1}\sin(\theta _{n-2})]).\end{aligned}}

Die Formel wurde von Lopshits im Jahr 1963 beschrieben. ⓘ

Wenn das Polygon auf einem Gitter mit gleichem Abstand gezeichnet werden kann, so dass alle seine Scheitelpunkte Gitterpunkte sind, gibt der Satz von Pick eine einfache Formel für den Flächeninhalt des Polygons, die auf der Anzahl der inneren und äußeren Gitterpunkte basiert: die erste Zahl plus die Hälfte der zweiten Zahl minus 1. ⓘ

Für jedes Polygon mit dem Umfang p und der Fläche A gilt die isoperimetrische Ungleichung $p^{2}>4\pi A$ gilt. ⓘ

Das Bolyai-Gerwien-Theorem besagt, dass für zwei einfache Polygone mit gleichem Flächeninhalt das erste in polygonale Teile zerlegt werden kann, die sich zu dem zweiten Polygon zusammensetzen lassen. ⓘ

Die Länge der Seiten eines Polygons bestimmt im Allgemeinen nicht dessen Fläche. Ist das Polygon jedoch einfach und zyklisch, dann bestimmen die Seiten den Flächeninhalt. Von allen n-Ecken mit gegebenen Seitenlängen ist dasjenige mit der größten Fläche zyklisch. Von allen n-Ecken mit gegebenem Umfang ist dasjenige mit dem größten Flächeninhalt regelmäßig (und damit zyklisch). ⓘ

Regelmäßige Polygone

Für den Flächeninhalt regelmäßiger Polygone gelten viele spezielle Formeln. ⓘ

Der Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks ergibt sich aus dem Radius r seines Inkreises und seinem Umfang p durch

A={\tfrac {1}{2}}\cdot p\cdot r.

Dieser Radius wird auch als Apotheme bezeichnet und oft als a dargestellt. ⓘ

Der Flächeninhalt eines regelmäßigen n-Ecks in Abhängigkeit vom Radius R des Inkreises kann trigonometrisch wie folgt ausgedrückt werden:

A=R^{2}\cdot {\frac {n}{2}}\cdot \sin {\frac {2\pi }{n}}=R^{2}\cdot n\cdot \sin {\frac {\pi }{n}}\cdot \cos {\frac {\pi }{n}}

ⓘ

Der Flächeninhalt eines regelmäßigen n-Ecks, das in einen Kreis mit Einheitsradius eingeschrieben ist, mit der Seite s und dem Innenwinkel $\alpha ,$ kann auch trigonometrisch ausgedrückt werden als:

A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\alpha }{n-2}}=n\cdot \sin {\frac {\alpha }{n-2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{n-2}}.

ⓘ

Selbstschneidend

Der Flächeninhalt eines sich selbst schneidenden Polygons kann auf zwei verschiedene Arten definiert werden, die unterschiedliche Antworten liefern:

Unter Verwendung der Formeln für einfache Polygone können wir zulassen, dass die Fläche bestimmter Regionen innerhalb des Polygons mit einem Faktor multipliziert wird, den wir als Dichte der Region bezeichnen. Zum Beispiel hat das zentrale konvexe Fünfeck in der Mitte eines Pentagramms die Dichte 2. Die beiden dreieckigen Regionen eines Kreuzvierecks (wie eine 8) haben entgegengesetzte Dichten, und die Addition ihrer Flächen kann eine Gesamtfläche von Null für die gesamte Figur ergeben.
Betrachtet man die eingeschlossenen Regionen als Punktmengen, kann man den Flächeninhalt der eingeschlossenen Punktmenge ermitteln. Dies entspricht dem Flächeninhalt der vom Polygon abgedeckten Ebene oder dem Flächeninhalt eines oder mehrerer einfacher Polygone, die denselben Umriss haben wie das sich selbst schneidende Polygon. Im Falle des Kreuzvierecks wird es wie zwei einfache Dreiecke behandelt. ⓘ

Schwerpunkt

Unter Verwendung derselben Konvention für Scheitelpunktkoordinaten wie im vorigen Abschnitt lauten die Koordinaten des Schwerpunkts eines massiven einfachen Vielecks

C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}),

C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}).

In diesen Formeln ist der vorzeichenbehaftete Wert des Flächeninhalts $A$ verwendet werden. ⓘ

Bei Dreiecken ( $n = 3$ ) sind die Schwerpunkte der Scheitelpunkte und des Volumenkörpers gleich, aber im Allgemeinen gilt dies nicht für $n > 3$ . Der Schwerpunkt der Scheitelpunktmenge eines Polygons mit n Scheitelpunkten hat die Koordinaten

c_{x}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}x_{i},

c_{y}={\frac {1}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}y_{i}.

ⓘ

Verallgemeinerungen

Die Idee des Polygons wurde auf verschiedene Weise verallgemeinert. Einige der wichtigeren sind:

Ein kugelförmiges Polygon ist ein Kreis aus Großkreisbögen (Seiten) und Eckpunkten auf der Oberfläche einer Kugel. Es ermöglicht das Digon, ein Polygon mit nur zwei Seiten und zwei Ecken, was in einer flachen Ebene unmöglich ist. Sphärische Polygone spielen eine wichtige Rolle in der Kartografie (Kartenherstellung) und in Wythoffs Konstruktion der einheitlichen Polyeder.
Ein schräges Polygon liegt nicht in einer flachen Ebene, sondern verläuft im Zickzack in drei (oder mehr) Dimensionen. Die Petrie-Polygone der regelmäßigen Polytope sind bekannte Beispiele.
Ein Apeirogon ist eine unendliche Folge von Seiten und Winkeln, die nicht geschlossen ist, aber keine Enden hat, weil sie sich unendlich in beide Richtungen erstreckt.
Ein schiefes Apeirogon ist eine unendliche Folge von Seiten und Winkeln, die nicht in einer ebenen Ebene liegen.
Ein komplexes Polygon ist eine Konfiguration analog zu einem gewöhnlichen Polygon, das in der komplexen Ebene mit zwei realen und zwei imaginären Dimensionen existiert.
Ein abstraktes Polygon ist eine algebraische, teilweise geordnete Menge, die die verschiedenen Elemente (Seiten, Scheitelpunkte usw.) und ihre Verknüpfung darstellt. Ein reelles geometrisches Polygon gilt als eine Realisierung des zugehörigen abstrakten Polygons. Je nach Abbildung können alle hier beschriebenen Verallgemeinerungen realisiert werden.
Ein Polyeder ist ein dreidimensionaler Körper, der durch flache polygonale Flächen begrenzt ist, analog zu einem Polygon in zwei Dimensionen. Die entsprechenden Formen in vier oder mehr Dimensionen werden Polytope genannt. (In anderen Konventionen werden die Begriffe Polyeder und Polytop in jeder Dimension verwendet, mit dem Unterschied, dass ein Polytop notwendigerweise begrenzt ist). ⓘ

Benennung

Das Wort Polygon kommt vom spätlateinischen polygōnum (Substantiv), vom griechischen πολύγωνον (polygōnon/polugōnon), Substantiv Verwendung des Neutrums von πολύγωνος (polygōnos/polugōnos, das maskuline Adjektiv), was "vielwinklig" bedeutet. Einzelne Polygone werden nach der Anzahl ihrer Seiten benannt (und manchmal auch klassifiziert), indem ein aus dem Griechischen stammendes numerisches Präfix mit dem Suffix -gon kombiniert wird, z. B. Fünfeck, Zwölfeck. Ausnahmen sind das Dreieck, das Viereck und das Nichteck. ⓘ

Abgesehen von Zehnecken (mit 10 Seiten) und Zwölfecken (mit 12 Seiten) verwenden Mathematiker im Allgemeinen eine numerische Schreibweise, z. B. 17-gon und 257-gon. ⓘ

Ausnahmen gibt es für Seitenzahlen, die sich leicht verbal ausdrücken lassen (z. B. 20 und 30) oder die von Nicht-Mathematikern verwendet werden. Einige spezielle Polygone haben auch eigene Namen; das regelmäßige Sternfünfeck wird zum Beispiel auch Pentagramm genannt. ⓘ

Polygon-Namen und verschiedene Eigenschaften ⓘ
Name	Seiten	Eigenschaften
Monogon	1	Wird im Allgemeinen nicht als Polygon anerkannt, obwohl einige Disziplinen wie die Graphentheorie den Begriff manchmal verwenden.
digon	2	Nicht allgemein als Polygon in der euklidischen Ebene anerkannt, obwohl es als sphärisches Polygon existieren kann.
Dreieck (oder Trigon)	3	Das einfachste Polygon, das in der euklidischen Ebene existieren kann. Es kann die Ebene kacheln.
Viereck (oder Tetragon)	4	Das einfachste Polygon, das sich selbst kreuzen kann; das einfachste Polygon, das konkav sein kann; das einfachste Polygon, das nicht zyklisch sein kann. Kann die Ebene kacheln.
Fünfeck	5	Das einfachste Polygon, das als regelmäßiger Stern existieren kann. Ein sternförmiges Fünfeck ist auch als Pentagramm oder Pentagramm bekannt.
Sechseck	6	Kann die Ebene kacheln.
Heptagon (oder Septagon)	7	Das einfachste Polygon, dessen regelmäßige Form nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. Es kann jedoch mit einer Neusis-Konstruktion konstruiert werden.
Achteck	8
Nonagon (oder Enneagon)	9	"Nonagon" ist eine Mischung aus Latein [novem = 9] und Griechisch; "enneagon" ist rein griechisch.
Zehneck	10
Hendekagon (oder Undekagon)	11	Das einfachste Polygon, dessen regelmäßige Form nicht mit Zirkel, Lineal und Winkeldreieck konstruiert werden kann. Es kann jedoch mit Neusis konstruiert werden.
Zwölfeck (oder Duodeck)	12
Tridekagon (oder Triskaidekagon)	13
Tetradekagon (oder Tetrakaidekagon)	14
Pentadeck (oder Pentakaideck)	15
Sechseck (oder Hexakaideck)	16
Heptadekagon (oder Heptakaidekagon)	17	Konstruierbares Vieleck
Oktadeck (oder Oktakaideck)	18
Enneadeck (oder Enneakaideck)	19
Ikosagon	20
Ikositrigon (oder Ikosikaitrigon)	23	Das einfachste Polygon, bei dem die regelmäßige Form nicht mit Neusis konstruiert werden kann.
Ikositetragon (oder Ikosikaitetragon)	24
Ikosipentagon (oder Ikosikaipentagon)	25	Das einfachste Polygon, bei dem nicht bekannt ist, ob die regelmäßige Form mit Neusis konstruiert werden kann oder nicht.
Triaktagon	30
Tetrakontagon- (oder Tessarakontagon-)	40
Pentakontagon (oder Fünfeck)	50
Sechseck (oder Sechseck)	60
Heptakontagon (oder Hebdomkontagon)	70
Oktakontagon (oder Ogdoëkontagon)	80
Enneakontagon (oder Enneekontagon)	90
Hektogon (oder Hekatontagon)	100
257-Gon	257	Konstruierbares Vieleck
chiliagon	1000	Philosophen wie René Descartes, Immanuel Kant und David Hume haben das Chiliagon in ihren Diskussionen als Beispiel verwendet.
Myriagon	10,000	Wird in einigen philosophischen Diskussionen als Beispiel verwendet, zum Beispiel in Descartes' Meditationen über die erste Philosophie
65537-gon	65,537	Konstruierbares Vieleck
Megagon	1,000,000	Wie bei René Descartes' Beispiel des Chiliagons wurde das millionenfache Polygon zur Veranschaulichung eines klar definierten Konzepts verwendet, das nicht visualisiert werden kann. Das Megagon wird auch zur Veranschaulichung der Konvergenz regelmäßiger Polygone zu einem Kreis verwendet.
apeirogon	∞	Ein degeneriertes Polygon mit unendlich vielen Seiten.

Um den Namen eines Polygons mit mehr als 20 und weniger als 100 Seiten zu bilden, werden die Präfixe wie folgt kombiniert. Der Begriff "kai" gilt für 13-Ecken und mehr und wurde von Kepler verwendet und von John H. Conway aus Gründen der Klarheit der verketteten Präfixzahlen bei der Benennung von quasiregulären Polyedern befürwortet, obwohl nicht alle Quellen ihn verwenden. ⓘ

Zehner		und	Einsen		Endsuffix ⓘ
Zehner		-kai-	1	-hena-	-gon
20	icosi- (icosa- wenn allein)		2	-di-
30	triaconta- (oder triconta-)		3	-tri-
40	tetraconta- (oder tessaraconta-)		4	-tetra-
50	pentaconta- (oder penteconta-)		5	-penta-
60	hexaconta- (oder hexeconta-)		6	-hexa-
70	heptaconta- (oder hebdomeconta-)		7	-hepta-
80	octaconta- (oder ogdoëconta-)		8	-octa-
90	enneaconta- (oder eneneconta-)		9	-ennea-

Historische Abbildung von Vielecken (1699) ⓘ

Nach Anzahl der Ecken

Polygone werden typischerweise nach der Zahl der Ecken (Wertigkeit des Polygons) benannt. ⓘ

Regelmäßiges Polygon

Hat ein Polygon gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet. Viele regelmäßige Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren (Konstruierbares Polygon). ⓘ

Liste regelmäßiger Polygone
Ecken	Bezeichnung	Griechisch	Besonderheit ⓘ
3	Dreieck	Trigon	Erste Fermatsche Primzahl 3 = 2^2⁰+ 1
4	Viereck	Tetragon	Quadrat
5	Fünfeck	Pentagon	Zweite Fermatsche Primzahl 5 = 2^2¹+ 1
6	Sechseck	Hexagon
7	Siebeneck	Heptagon	Siebeneck nach Archimedes (Näherungskonstruktion)
8	Achteck	Oktogon	englisch octagon
9	Neuneck	Nonagon	seltener Enneagon
10	Zehneck	Dekagon
11	Elfeck	Hendekagon
12	Zwölfeck	Dodekagon
13	Dreizehneck	Tridekagon
14	Vierzehneck	Tetradekagon
15	Fünfzehneck	Pentadekagon
16	Sechzehneck	Hexadekagon
17	Siebzehneck	Heptadekagon	Dritte Fermatsche Primzahl 17 = 2^2²+ 1
18	Achtzehneck	Oktodekagon	englisch octadecagon, octakaidecagon
19	Neunzehneck	Nonadekagon	englisch auch enneadecagon, enneakaidecagon
20	Zwanzigeck	Ikosagon

21	Einundzwanzigeck	Ikosihenagon
22	Zweiundzwanzigeck	Ikosidigon
23	Dreiundzwanzigeck	Ikositrigon
24	Vierundzwanzigeck	Ikositetragon
25	Fünfundzwanzigeck	Ikosipentagon
30	Dreißigeck	Triakontagon
32	Zweiunddreißigeck	Triakontadigon
34	Vierunddreißigeck	Triakontatetragon
40	Vierzigeck	Tetrakontagon
48	Achtundvierzigeck	Tetrakontaoktogon	englisch tetracontaoctagon
50	Fünfzigeck	Pentakontagon
51	Einundfünfzigeck	Pentakontahenagon
60	Sechzigeck	Hexakontagon
64	Vierundsechzigeck	Hexakontatetragon
68	Achtundsechzigeck	Hexakontaoktogon	englisch hexacontaoctagon
70	Siebzigeck	Heptakontagon
80	Achtzigeck	Oktokontagon	englisch octacontagon
85	Fünfundachtzigeck	Oktokontapentagon	englisch octacontapentagon
90	Neunzigeck	Enneakontagon
96	Sechsundneunzigeck	Enneakontahexagon
100	Hunderteck	Hektogon

257	257-Eck		Vierte Fermatsche Primzahl 257 = 2^2³+ 1
1 000	Tausendeck	Chiliagon
10 000	Zehntausendeck	Myriagon
65 537	65 537-Eck		Fünfte Fermatsche Primzahl 65537 = 2^2⁴+ 1
100 000	Hunderttausendeck
1 000 000	Millioneck	Megagon
4 294 967 295	4 294 967 295-Eck		Das Produkt aus den fünf Fermatschen Primzahlen (3 · 5 · 17 · 257 · 65537 = 4294967295 = 2³² - 1) liefert die größte bekannte ungerade Eckenanzahl, die theoretisch mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist
10¹⁰⁰	Googoleck	Googolgon	Eckenzahl: eine 1 mit 100 Nullen
∞	Unendlicheck	Apeirogon	Theoretische Grenzform mit unendlich vielen Seiten

Weitere Typen

Klassifikation von Polygonen ⓘ

Überschlagenes Polygon: Bei einfachen Polygonen berühren sich die Kanten nur in den Eckpunkten; bei überschlagenen Polygonen haben die Kanten zusätzliche Schnittpunkte durch Überschneidung. ⓘ

Nicht-überschlagenes Polygon: Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180°) oder nichtkonvex (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°) sein. ⓘ

Planares Polygon: In der Ebene liegendes (planares) Polygon. ⓘ

Nicht-planares Polygon: Im Raum liegendes (nicht-planares) Polygon. ⓘ

Polygone können gleichseitig oder gleichwinklig sein:

Regelmäßiges Polygon: Hat ein Polygon sowohl gleiche Seiten als auch gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet. ⓘ

Sternpolygon: Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet. ⓘ

Orthogonales Polygon: Bei orthogonalen Polygonen treffen alle Kanten im rechten Winkel aufeinander (das heißt, der Innenwinkel beträgt an jeder Kante entweder 90° oder 270°). ⓘ

Für nicht überschlagene Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:

Jede der $n$ Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
Die Verbindung von Ecke $P_{a}$ zur Ecke $P_{b}$ ist mit der Verbindung von $P_{b}$ nach $P_{a}$ identisch.
Genau $n$ Verbindungen sind Seiten des Polygons.

Also hat ein nicht überschlagenes $n$ -Eck genau ${\tfrac {n\cdot (n-1)}{2}}-n={\tfrac {n\cdot (n-3)}{2}}$ Diagonalen. Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es (im Bereich eines überstumpfen Innenwinkels) Diagonalen außerhalb des Polygons. ⓘ

Geschichte

Historisches Bild der Polygone (1699) ⓘ

Polygone sind seit der Antike bekannt. Das Pentagramm, ein nicht-konvexes regelmäßiges Polygon (Sternpolygon), taucht bereits im 7. Jahrhundert v. Chr. auf einem Krater von Aristophanes auf, der in Caere gefunden wurde und sich heute im Kapitolinischen Museum befindet. ⓘ

Die erste bekannte systematische Studie über nicht-konvexe Polygone im Allgemeinen wurde von Thomas Bradwardine im 14. ⓘ

Im Jahr 1952 verallgemeinerte Geoffrey Colin Shephard die Idee der Polygone auf die komplexe Ebene, in der jede reale Dimension von einer imaginären begleitet wird, um komplexe Polygone zu schaffen. ⓘ

In der Natur

Der Giant's Causeway in Nordirland ⓘ

Vielecke treten in Gesteinsformationen auf, am häufigsten als flache Facetten von Kristallen, wobei die Winkel zwischen den Seiten von der Art des Minerals abhängen, aus dem der Kristall hergestellt ist. ⓘ

Regelmäßige Sechsecke können entstehen, wenn sich beim Abkühlen von Lava Bereiche mit dicht gepackten Basaltsäulen bilden, wie man sie am Giant's Causeway in Nordirland oder am Devil's Postpile in Kalifornien sehen kann. ⓘ

In der Biologie ist die Oberfläche der Wachswaben der Bienen eine Anordnung von Sechsecken, und die Seiten und die Basis jeder Zelle sind ebenfalls Polygone. ⓘ

Computergrafik

In der Computergrafik ist ein Polygon ein Primitivum, das beim Modellieren und Rendern verwendet wird. Sie werden in einer Datenbank definiert, die Arrays von Scheitelpunkten (die Koordinaten der geometrischen Scheitelpunkte sowie andere Attribute des Polygons wie Farbe, Schattierung und Textur), Verbindungsinformationen und Materialien enthält. ⓘ

Jede Oberfläche wird als Tesselation modelliert, die als Polygonnetz bezeichnet wird. Wenn ein quadratisches Netz n + 1 Punkte (Scheitelpunkte) pro Seite hat, gibt es n quadratische Quadrate im Netz oder 2n quadratische Dreiecke, da ein Quadrat zwei Dreiecke enthält. Es gibt (n + 1)² / 2(n²) Scheitelpunkte pro Dreieck. Wenn n groß ist, nähert sich dies der Hälfte. Oder: Jeder Scheitelpunkt innerhalb des quadratischen Netzes verbindet vier Kanten (Linien). ⓘ

Das bildgebende System ruft die für die zu erstellende Szene benötigte Polygonstruktur aus der Datenbank ab. Diese wird in den aktiven Speicher und schließlich an das Anzeigesystem (Bildschirm, TV-Monitore usw.) übertragen, damit die Szene betrachtet werden kann. Während dieses Prozesses rendert das bildgebende System die Polygone in der richtigen Perspektive, um die verarbeiteten Daten an das Anzeigesystem zu übertragen. Obwohl die Polygone zweidimensional sind, werden sie durch den Systemcomputer in einer visuellen Szene in der richtigen dreidimensionalen Ausrichtung platziert. ⓘ

In der Computergrafik und der rechnergestützten Geometrie ist es oft notwendig zu bestimmen, ob ein bestimmter Punkt $P=(x_{0},y_{0})$ innerhalb eines einfachen Polygons liegt, das durch eine Folge von Liniensegmenten gegeben ist. Dies wird als Punkt-in-Polygon-Test bezeichnet. ⓘ

Algorithmen

Flächeninhalt

Insbesondere für die Programmierung ist die folgende Darstellung der gaußschen Trapezformel besonders geeignet, da sich zum Speichern der Koordinaten Arrays anbieten, die Indizierung von Arrays bei vielen Programmiersprachen ohnehin bei null beginnt und die Modulo-Funktion somit besonders elegant zum Einsatz kommen kann. Die Modulo-Funktion ist hier nötig, um sogenannte Off-by-one-Fehler bei der Array-Indizierung auszuschließen. Dabei sind $(x_{i},y_{i})$ , $i=0\dotsc n-1$ , $n\in \mathbb {N}$ , die Koordinaten der $n\geq 3$ Eckpunkte des Polygons. ⓘ

A={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1{\bmod {n}}})(x_{i}-x_{i+1{\bmod {n}}})\right|

ⓘ

Konvexe Hülle

Konvexe Hülle von Punkten in der Ebene ⓘ

Algorithmen für die Ermittlung der konvexen Hülle von $n$ Punkten in der Ebene haben als untere Schranke eine asymptotische Laufzeit von $\Omega (n\log n)$ . Der Beweis erfolgt durch Reduktion auf das Sortieren von $n$ Zahlen (siehe Sortierverfahren). Liegen nur $k$ der $n$ Punkte auf dem Rand der konvexen Hülle, ist die Schranke bei $\Omega (n\log k)$ . ⓘ

Es gibt mehrere Algorithmen zur Bestimmung der konvexen Hülle:

Graham-Scan-Algorithmus
Gift-Wrapping-Algorithmus
QuickHull
Inkrementeller Algorithmus
Chans Algorithmus ⓘ

Verwendung

In der Informatik sind wichtige Approximationen komplexer Polygone die konvexe Hülle und das minimal umgebende Rechteck. In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen möglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet (oder dieser ausgeschlossen), erst anschließend das ganze Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt berechnet. ⓘ

In der 3D-Computergrafik werden neben anderen Verfahren der geometrischen Modellierung beliebige (auch gekrümmte) Oberflächen als Polygonnetz modelliert. Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflächen, können allerdings nicht so gut durch Subdivision Surfaces interpoliert werden. Zur Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen. ⓘ

In der Architektur werden regelmäßige Polygone oft als Grundriss verwendet. Bekannte Beispiele:

5-Eck: Pentagon in Arlington, Virginia
8-Eck: Castel del Monte in Apulien, Italien
10-Eck: St. Gereon (Köln), Nordrhein-Westfalen
12-Eck: Saarpolygon, Steinkohlebergbau-Gedenkmonument in Ensdorf (Saar), Saarland
16-Eck: Leuchtturm Huisduinen bei Den Helder, Niederlande
18-Eck: Befreiungshalle in Kelheim, Bayern
30-Eck: Wiener Riesenrad in Wien, Österreich ⓘ

Beispiele für Polygone im Maschinenbau

Weiterhin wird der Begriff Polygon auch analog für die Verwendung als formschlüssige polygonale Welle-Nabe-Verbindung im Maschinenbau genutzt. Hierbei sind beliebige Polygonprofile denkbar. ⓘ

Beispiele für Polygone in der Geographie

US-Bundesstaaten mit polygonalen Umrissen ⓘ

Die Grenzen der US-Bundesstaaten Colorado und Wyoming umranden näherungsweise jeweils ein Rechteck und damit ein konvexes Polygon. ⓘ

Die Staaten New Mexico und Utah haben jeweils die Form eines konkaven Polygons. ⓘ