Vektorraum

Vektoraddition und skalare Multiplikation: Ein Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor w (rot, obere Abbildung) addiert. Unten wird w um den Faktor 2 gestreckt, was die Summe v + 2w ergibt. ⓘ

In der Mathematik, Physik und Technik ist ein Vektorraum (auch linearer Raum genannt) eine Menge, deren Elemente, oft Vektoren genannt, addiert und mit Zahlen, Skalaren genannt, multipliziert ("skaliert") werden können. Skalare sind oft reelle Zahlen, können aber auch komplexe Zahlen oder allgemeiner Elemente eines beliebigen Feldes sein. Die Operationen der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation müssen bestimmten Anforderungen genügen, den so genannten Vektoraxiomen. Die Begriffe reeller Vektorraum und komplexer Vektorraum werden häufig verwendet, um die Art der Skalare anzugeben: reeller Koordinatenraum oder komplexer Koordinatenraum. ⓘ

Vektorräume verallgemeinern die euklidischen Vektoren, die die Modellierung von physikalischen Größen wie Kräften und Geschwindigkeiten ermöglichen, die nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung haben. Das Konzept der Vektorräume ist grundlegend für die lineare Algebra, zusammen mit dem Konzept der Matrix, die das Rechnen in Vektorräumen ermöglicht. So lassen sich lineare Gleichungssysteme auf prägnante und synthetische Weise bearbeiten und untersuchen. ⓘ

Vektorräume sind durch ihre Dimension gekennzeichnet, die, grob gesagt, die Anzahl der unabhängigen Richtungen im Raum angibt. Das bedeutet, dass für zwei Vektorräume mit der gleichen Dimension die Eigenschaften, die nur von der Vektorraumstruktur abhängen, genau gleich sind (technisch gesehen sind die Vektorräume isomorph). Ein Vektorraum ist endlich-dimensional, wenn seine Dimension eine natürliche Zahl ist. Andernfalls ist er unendlich-dimensional, und seine Dimension ist eine unendliche Kardinalzahl. Endlich-dimensionale Vektorräume kommen natürlich in der Geometrie und verwandten Gebieten vor. Unendlich-dimensionale Vektorräume kommen in vielen Bereichen der Mathematik vor. Beispielsweise sind Polynomringe abzählbar unendlich-dimensionale Vektorräume, und viele Funktionsräume haben die Kardinalität des Kontinuums als Dimension. ⓘ

Viele Vektorräume, die in der Mathematik betrachtet werden, sind auch mit anderen Strukturen ausgestattet. Dies ist der Fall bei Algebren, zu denen Felderweiterungen, Polynomringe, assoziative Algebren und Lie-Algebren gehören. Dies gilt auch für topologische Vektorräume, zu denen Funktionsräume, Innenprodukträume, normierte Räume, Hilberträume und Banachräume gehören. ⓘ

Eine Basis ermöglicht es, Rechnungen mit Vektoren über deren Koordinaten statt mit den Vektoren selbst auszuführen, was manche Anwendungen erleichtert. ⓘ

Definition und grundlegende Eigenschaften

In diesem Artikel werden Vektoren in Fettdruck dargestellt, um sie von Skalaren zu unterscheiden. ⓘ

Ein Vektorraum über einem Feld F ist eine Menge V zusammen mit zwei binären Operationen, die die acht unten aufgeführten Axiome erfüllen. In diesem Zusammenhang werden die Elemente von V gemeinhin als Vektoren und die Elemente von F als Skalare bezeichnet. ⓘ

• Die erste Operation, Vektoraddition oder einfach Addition genannt, ordnet zwei beliebigen Vektoren v und w in V einen dritten Vektor in V zu, der üblicherweise als v + w geschrieben wird und die Summe dieser beiden Vektoren ist.
• Die zweite Operation, die so genannte Skalarmultiplikation, ordnet einem beliebigen Skalar a in F und einem beliebigen Vektor v in V einen weiteren Vektor in V zu, der mit av bezeichnet wird. ⓘ

Um einen Vektorraum zu haben, müssen diese beiden Operationen die folgenden acht Axiome erfüllen, die für jedes u, v und w in V und a und b in F erfüllt sein müssen. ⓘ

Axiom	Bedeutung ⓘ
Assoziativität der Vektoraddition	u + (v + w) = (u + v) + w
Kommutativität der Vektoraddition	u + v = v + u
Identitätselement der Vektoraddition	Es gibt ein Element 0 ∈ V, den sogenannten Nullvektor, so dass v + 0 = v für alle v ∈ V ist.
Inverse Elemente der Vektoraddition	Für jedes v ∈ V gibt es ein Element -v ∈ V, die so genannte additive Inverse von v, so dass v + (-v) = 0 ist.
Kompatibilität der Skalarmultiplikation mit der Feldmultiplikation	a(bv) = (ab)v
Identitätselement der skalaren Multiplikation	1v = v, wobei 1 die multiplikative Identität in F bezeichnet.
Distributivität der skalaren Multiplikation in Bezug auf die Vektoraddition	a(u + v) = au + av
Distributivität der Skalarmultiplikation in Bezug auf die Feldaddition	(a + b)v = av + bv

Wenn das Skalarfeld die reellen Zahlen sind, wird der Vektorraum als reeller Vektorraum bezeichnet. Wenn das Skalarfeld die komplexen Zahlen sind, nennt man den Vektorraum einen komplexen Vektorraum. Diese beiden Fälle sind die häufigsten, aber auch Vektorräume mit Skalaren in einem beliebigen Feld F werden häufig betrachtet. Ein solcher Vektorraum wird als F-Vektorraum oder als Vektorraum über F bezeichnet. ⓘ

Es gibt eine äquivalente Definition eines Vektorraums, die viel prägnanter, aber weniger elementar ist: Die ersten vier Axiome besagen, dass ein Vektorraum eine abelsche Gruppe unter Addition ist, und die vier Restaxiome besagen, dass die skalare Multiplikation einen Ringhomomorphismus vom Feld F in den Endomorphismenring dieser Gruppe definiert. ⓘ

Die Subtraktion zweier Vektoren kann definiert werden als

$\mathbf {v} -\mathbf {w} =\mathbf {v} +(-\mathbf {w} )$ ⓘ

Zu den direkten Konsequenzen der Axiome gehört, dass für jedes $s\in F$ und $\mathbf {v} \in V,$ hat man

• $0\mathbf {v} =\mathbf {0} ,$
• $s\mathbf {0} =\mathbf {0} ,$
• $(-1)\mathbf {v} =-\mathbf {v} ,$
• $s\mathbf {v} =\mathbf {0}$ impliziert $s=0$ oder $\mathbf {v} =\mathbf {0} .$ ⓘ

Verwandte Konzepte und Eigenschaften

Ein Vektor v in R² (blau), ausgedrückt in verschiedenen Basen: mit der Standardbasis von R²: v = xe₁ + ye₂ (schwarz), und mit einer anderen, nicht orthogonalen Basis: v = f₁ + f₂ (rot). ⓘ

Lineare Kombination

Bei einer Menge G von Elementen eines F-Vektorraums V ist eine Linearkombination von Elementen von G ein Element von V der Form

$$a_{1}\mathbf {g} _{1}+a_{2}\mathbf {g} _{2}+\cdots +a_{k}\mathbf {g} _{k},$$

wobei $a_{1},\ldots ,a_{k}\in F$ und $\mathbf {g} _{1},\ldots ,\mathbf {g} _{k}\in V.$ Die Skalare $a_{1},\ldots ,a_{k}$ werden die Koeffizienten der Linearkombination genannt.

Lineare Unabhängigkeit

Die Elemente einer Teilmenge G eines F-Vektorraums V werden als linear unabhängig bezeichnet, wenn kein Element von G als Linearkombination der anderen Elemente von G geschrieben werden kann. Äquivalent dazu sind sie linear unabhängig, wenn zwei Linearkombinationen von Elementen von G dasselbe Element von V definieren, wenn und nur wenn sie dieselben Koeffizienten haben. Äquivalent dazu sind sie auch linear unabhängig, wenn eine Linearkombination nur dann den Nullvektor ergibt, wenn alle ihre Koeffizienten Null sind.

Linearer Unterraum

Ein linearer Unterraum oder Vektorunterraum W eines Vektorraums V ist eine nicht leere Teilmenge von V, die unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation geschlossen ist; d. h. die Summe zweier Elemente von W und das Produkt eines Elements von V mit einem Skalar gehören zu W. Dies impliziert, dass jede Linearkombination von Elementen von W zu W gehört. Ein linearer Unterraum ist ein Vektorraum für die induzierte Addition und Skalarmultiplikation; dies bedeutet, dass die Schließeigenschaft impliziert, dass die Axiome eines Vektorraums erfüllt sind.
Die Schließeigenschaft impliziert auch, dass jeder Schnittpunkt von linearen Unterräumen ein linearer Unterraum ist.

Lineare Spannweite

Bei einer Teilmenge G eines Vektorraums V ist die lineare Spanne oder einfach die Spanne von G der kleinste lineare Unterraum von V, der G enthält, in dem Sinne, dass er die Schnittmenge aller linearen Unterräume ist, die G enthalten. Die Spanne von G ist auch die Menge aller Linearkombinationen von Elementen von G.
Wenn W die Spannweite von G ist, sagt man, dass G W aufspannt oder erzeugt, und dass G eine aufspannende Menge oder eine erzeugende Menge von W ist.

Basis und Dimension

Eine Teilmenge eines Vektorraums ist eine Basis, wenn ihre Elemente linear unabhängig sind und den Vektorraum aufspannen. Jeder Vektorraum hat mindestens eine Basis, im Allgemeinen viele (siehe Basis (lineare Algebra) § Beweis, dass jeder Vektorraum eine Basis hat). Außerdem haben alle Basen eines Vektorraums die gleiche Kardinalität, die als Dimension des Vektorraums bezeichnet wird (siehe Satz über die Dimension von Vektorräumen). Dies ist eine grundlegende Eigenschaft von Vektorräumen, die im weiteren Verlauf des Abschnitts näher erläutert wird. ⓘ

Basen sind ein grundlegendes Hilfsmittel für die Untersuchung von Vektorräumen, insbesondere wenn die Dimension endlich ist. Im unendlich-dimensionalen Fall hängt die Existenz unendlicher Basen, die oft Hamel-Basen genannt werden, vom Auswahlaxiom ab. Daraus folgt, dass im Allgemeinen keine Basis explizit beschrieben werden kann. Zum Beispiel bilden die reellen Zahlen einen unendlich-dimensionalen Vektorraum über den rationalen Zahlen, für den keine spezifische Basis bekannt ist. ⓘ

Betrachten wir eine Basis $(\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2},\ldots ,\mathbf {b} _{n})$ eines Vektorraums V der Dimension n über einem Feld F. Die Definition einer Basis impliziert, dass jede $\mathbf {v} \in V$ geschrieben werden kann

$\mathbf {v} =a_{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {b} _{n},$

mit $a_{1},\dots ,a_{n}$ in F geschrieben werden kann, und dass diese Zerlegung eindeutig ist. Die Skalare $a_{1},\ldots ,a_{n}$ werden die Koordinaten von v auf der Basis genannt. Man sagt auch, sie seien die Koeffizienten der Zerlegung von v in der Basis. Man sagt auch, dass das n-Tupel der Koordinaten der Koordinatenvektor von v auf der Basis ist, da die Menge $F^{n}$ der n-Tupel der Elemente von F ein Vektorraum für komponentenweise Addition und skalare Multiplikation ist, dessen Dimension n ist. ⓘ

Die Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Vektoren und ihren Koordinatenvektoren bildet die Vektoraddition auf die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation auf die Skalarmultiplikation ab. Es handelt sich also um einen Vektorraum-Isomorphismus, der es ermöglicht, Überlegungen und Berechnungen auf Vektoren in Überlegungen und Berechnungen auf deren Koordinaten zu übertragen. Wenn diese Koordinaten wiederum als Matrizen angeordnet sind, lassen sich diese Überlegungen und Berechnungen auf Koordinaten prägnant als Überlegungen und Berechnungen auf Matrizen ausdrücken. Außerdem kann eine lineare Gleichung, die sich auf Matrizen bezieht, zu einem System linearer Gleichungen erweitert werden, und umgekehrt kann jedes solche System zu einer linearen Gleichung auf Matrizen verdichtet werden. ⓘ

Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass die endlich-dimensionale lineare Algebra in drei gleichwertigen Sprachen ausgedrückt werden kann:

• Vektorräume, die prägnante und koordinatenfreie Aussagen liefern,
• Matrizen, die sich gut eignen, um prägnante, explizite Berechnungen auszudrücken,
• Lineare Gleichungssysteme, die elementarere Formulierungen ermöglichen. ⓘ

Das Tensorprodukt zweier Vektorräume $V,W$ über dem gleichen Körper wird durch ⓘ

$V\otimes W$ ⓘ

notiert. Die Elemente des Tensorproduktraums haben dabei die bilineare Darstellung ⓘ

$\sum _{i\in I}\sum _{j\in J}a_{ij}(v_{i}\otimes w_{j})$, ⓘ

Geschichte

Vektorräume haben ihren Ursprung in der affinen Geometrie durch die Einführung von Koordinaten in der Ebene oder im dreidimensionalen Raum. Um 1636 begründeten die französischen Mathematiker René Descartes und Pierre de Fermat die analytische Geometrie, indem sie die Lösungen für eine Gleichung mit zwei Variablen mit Punkten auf einer ebenen Kurve identifizierten. Um geometrische Lösungen ohne Verwendung von Koordinaten zu finden, führte Bolzano 1804 bestimmte Operationen auf Punkten, Linien und Ebenen ein, die Vorläufer der Vektoren sind. Möbius (1827) führte den Begriff der baryzentrischen Koordinaten ein. Bellavitis (1833) führte den Begriff des Bipunkts ein, d. h. eines orientierten Segments, bei dem eines der Enden der Ursprung und das andere ein Ziel ist. Mit der Vorstellung der komplexen Zahlen durch Argand und Hamilton und der Einführung der Quaternionen durch letzteren wurden die Vektoren neu überdacht. Sie sind Elemente in R² und R⁴; ihre Behandlung durch Linearkombinationen geht auf Laguerre im Jahr 1867 zurück, der auch Systeme linearer Gleichungen definierte. ⓘ

1857 führte Cayley die Matrixnotation ein, die eine Vereinheitlichung und Vereinfachung der linearen Abbildungen ermöglicht. Etwa zur gleichen Zeit beschäftigte sich Grassmann mit dem von Möbius initiierten baryzentrischen Kalkül. Er stellte sich Mengen von abstrakten Objekten vor, die mit Operationen ausgestattet sind. In seinen Arbeiten finden sich die Konzepte der linearen Unabhängigkeit und Dimension sowie Skalarprodukte. Tatsächlich geht Grassmanns Arbeit von 1844 über den Rahmen von Vektorräumen hinaus, da seine Überlegungen zur Multiplikation ihn auch zu dem führten, was heute als Algebren bezeichnet wird. Der italienische Mathematiker Peano war der erste, der 1888 die moderne Definition von Vektorräumen und linearen Abbildungen gab. ⓘ

Eine wichtige Entwicklung der Vektorräume ist auf die Konstruktion von Funktionsräumen durch Henri Lebesgue zurückzuführen. Diese wurde später, um 1920, von Banach und Hilbert formalisiert. Zu dieser Zeit begannen die Algebra und das neue Gebiet der Funktionalanalysis zu interagieren, insbesondere mit Schlüsselkonzepten wie Räumen von p-integrable Funktionen und Hilbert-Räumen. Zu dieser Zeit wurden auch die ersten Studien zu unendlich-dimensionalen Vektorräumen durchgeführt. ⓘ

Beispiele

Pfeile in der Ebene

Das erste Beispiel für einen Vektorraum besteht aus Pfeilen in einer festen Ebene, die an einem festen Punkt beginnen. Dies wird in der Physik verwendet, um Kräfte oder Geschwindigkeiten zu beschreiben. Bei zwei solchen Pfeilen, v und w, enthält das von diesen beiden Pfeilen aufgespannte Parallelogramm einen diagonalen Pfeil, der ebenfalls im Ursprung beginnt. Dieser neue Pfeil wird als Summe der beiden Pfeile bezeichnet und mit v + w bezeichnet. Im speziellen Fall von zwei Pfeilen auf derselben Linie ist ihre Summe der Pfeil auf dieser Linie, dessen Länge die Summe oder die Differenz der Längen ist, je nachdem, ob die Pfeile dieselbe Richtung haben. Eine weitere Operation, die mit Pfeilen durchgeführt werden kann, ist die Skalierung: Bei einer positiven reellen Zahl a wird der Pfeil, der die gleiche Richtung wie v hat, aber durch Multiplikation seiner Länge mit a vergrößert oder verkleinert wird, als Multiplikation von v mit a bezeichnet und mit av bezeichnet. Wenn a negativ ist, wird av als der Pfeil definiert, der in die entgegengesetzte Richtung zeigt. ⓘ

Nachfolgend einige Beispiele: Ist a = 2, so hat der resultierende Vektor aw die gleiche Richtung wie w, ist aber auf die doppelte Länge von w gestreckt (rechtes Bild unten). Äquivalent dazu ist 2w die Summe w + w. Außerdem hat (-1)v = -v die entgegengesetzte Richtung und die gleiche Länge wie v (blauer Vektor, der im rechten Bild nach unten zeigt). ⓘ

Zweites Beispiel: geordnete Zahlenpaare

Ein zweites wichtiges Beispiel für einen Vektorraum sind Paare von reellen Zahlen x und y. (Die Reihenfolge der Komponenten x und y ist von Bedeutung, so dass ein solches Paar auch als geordnetes Paar bezeichnet wird.) Ein solches Paar wird als (x, y) geschrieben. Die Summe zweier solcher Paare und die Multiplikation eines Paares mit einer Zahl sind wie folgt definiert:

$(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ ⓘ

und ⓘ

$a(x,y)=(ax,ay).$ ⓘ

Das erste Beispiel oben lässt sich auf dieses Beispiel reduzieren, wenn ein Pfeil durch ein Paar kartesischer Koordinaten seines Endpunkts dargestellt wird. ⓘ

Koordinatenraum

Das einfachste Beispiel für einen Vektorraum über einem Feld F ist das Feld F selbst (da es eine abelsche Gruppe für die Addition ist, eine der Voraussetzungen, um ein Feld zu sein), ausgestattet mit seiner Addition (Es wird zur Vektoraddition.) und Multiplikation (Es wird zur skalaren Multiplikation.). Allgemeiner ausgedrückt, alle n-Tupel (Folgen der Länge n)

(a₁, a₂, ..., an)

der Elemente ai von F bilden einen Vektorraum, der üblicherweise mit Fn bezeichnet und als Koordinatenraum bezeichnet wird. Der Fall n = 1 ist das oben erwähnte einfachste Beispiel, in dem das Feld F ebenfalls als Vektorraum über sich selbst betrachtet wird. Der Fall F = R und n = 2 (also R²) wurde oben in der Einleitung besprochen. ⓘ

Komplexe Zahlen und andere Felderweiterungen

Die Menge der komplexen Zahlen C, d. h. der Zahlen, die in der Form x + iy für reelle Zahlen x und y geschrieben werden können, wobei i die imaginäre Einheit ist, bilden einen Vektorraum über den reellen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation: (x + iy) + (a + ib) = (x + a) + i(y + b) und c ⋅ (x + iy) = (c ⋅ x) + i(c ⋅ y) für reelle Zahlen x, y, a, b und c. Die verschiedenen Axiome eines Vektorraums ergeben sich aus der Tatsache, dass die gleichen Regeln auch für die Arithmetik der komplexen Zahlen gelten. ⓘ

Tatsächlich ist das Beispiel der komplexen Zahlen im Wesentlichen dasselbe wie der oben erwähnte Vektorraum geordneter Paare reeller Zahlen (d. h. isomorph dazu): Wenn wir uns die komplexe Zahl x + i y als Repräsentant des geordneten Paares (x, y) in der komplexen Ebene vorstellen, dann sehen wir, dass die Regeln für Addition und skalare Multiplikation genau denen im früheren Beispiel entsprechen. ⓘ

Ganz allgemein bieten Felderweiterungen eine weitere Klasse von Beispielen für Vektorräume, insbesondere in der Algebra und der algebraischen Zahlentheorie: Ein Feld F, das ein kleineres Feld E enthält, ist ein E-Vektorraum, und zwar durch die gegebenen Multiplikations- und Additionsoperationen von F. So sind beispielsweise die komplexen Zahlen ein Vektorraum über R, und die Felderweiterung $\mathbf {Q} (i{\sqrt {5}})$ ist ein Vektorraum über Q. ⓘ

Funktionsräume

Beispiel der Addition bei Funktionen: Die Summe der Sinusfunktion und der Exponentialfunktion ist $\sin +\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $(\sin +\exp )(x)=\sin(x)+\exp(x)$ ⓘ

Ist $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $A$ eine beliebige Menge, so kann auf der Menge $F(A,V)$ aller Funktionen $f\colon A\to V$ eine Addition und eine skalare Multiplikation punktweise definiert werden: Für $f,g\in F(A,V)$ und $\alpha \in K$ sind die Funktionen $f+g\in F(A,V)$ und $\alpha \cdot f\in F(A,V)$ definiert durch

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ für alle $x\in A$ und

$(\alpha \cdot f)(x)=\alpha \cdot f(x)$ für alle $x\in A$.

Mit dieser Addition und dieser skalaren Multiplikation ist $F(A,V)$ ein $K$-Vektorraum. Insbesondere gilt dies für $F(A,K)$, wenn also als Zielraum der Körper $K$ selbst gewählt wird. Weitere Beispiele für Vektorräume erhält man als Untervektorräume dieser Funktionenräume. ⓘ

In vielen Anwendungen ist $K=\mathbb {R}$, der Körper der reellen Zahlen, oder $K=\mathbb {C}$, der Körper der komplexen Zahlen, und $A$ ist eine Teilmenge von $\mathbb {R}$, $\mathbb {R} ^{n}$, $\mathbb {C}$ oder $\mathbb {C} ^{n}$. Beispiele sind etwa der Vektorraum aller Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ und die Unterräume $C^{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ aller stetigen Funktionen und $C^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )$ aller $k$-mal stetig differenzierbaren Funktionen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$. ⓘ

Lineare Gleichungen

Systeme von homogenen linearen Gleichungen sind eng mit Vektorräumen verbunden. Zum Beispiel sind die Lösungen von

a	+	3b	+	c	= 0
4a	+	2b	+	2c	= 0

sind durch Tripel mit beliebigem a, b = a/2 und c = -5a/2 gegeben. Sie bilden einen Vektorraum: Summen und skalare Vielfache solcher Tripel erfüllen immer noch die gleichen Verhältnisse der drei Variablen; sie sind also auch Lösungen. Matrizen können verwendet werden, um mehrere lineare Gleichungen wie oben zu einer Vektorgleichung zu verdichten, nämlich

Ax = 0,

wobei $A={\begin{bmatrix}1&3&1\\4&2&2\end{bmatrix}}$ ist die Matrix, die die Koeffizienten der gegebenen Gleichungen enthält, x ist der Vektor (a, b, c), Ax bezeichnet das Matrixprodukt, und 0 = (0, 0) ist der Nullvektor. In ähnlicher Weise bilden die Lösungen von homogenen linearen Differentialgleichungen Vektorräume. Zum Beispiel,

f′′(x) + 2f′(x) + f(x) = 0

ergibt f(x) = a e-x + bx e-x, wobei a und b beliebige Konstanten sind und e^x die natürliche Exponentialfunktion ist. ⓘ

Euklidische Ebene

Ein anschaulicher Vektorraum ist die zweidimensionale euklidische Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ (in rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystemen) mit den Pfeilklassen (Verschiebungen oder Translationen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren.

${\vec {v}}=(2,3)$ ist die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben,

${\vec {w}}=(3,-5)$ die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten.

Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung, und zwar diejenige Verschiebung, die man erhält, indem man die beiden Verschiebungen nacheinander ausführt:

${\vec {v}}+{\vec {w}}=(5,-2)$, d. h. die Verschiebung um 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten. ⓘ

Der Nullvektor ${\vec {0}}=(0,0)$ entspricht der Verschiebung, die alle Punkte an ihrem Platz belässt, d. h. der identischen Abbildung. ⓘ

Durch die Streckung der Verschiebung ${\vec {v}}$ mit einem Skalar $a=3$ aus der Menge der reellen Zahlen erhalten wir das Dreifache der Verschiebung:

$a\cdot {\vec {v}}=3\cdot (2,3)=(6,9)$. ⓘ

Alles zu diesem Beispiel Gesagte gilt auch in der reellen affinen Ebene. ⓘ

Polynomräume

Die Menge $K[X]$ der Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper $K$ bildet mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation mit einem Körperelement einen unendlichdimensionalen Vektorraum. Die Menge der Monome $\{1,\ x,\ x^{2},\ x^{3},\ x^{4},\dots \}$ ist eine Basis dieses Vektorraums. Die Menge der Polynome, deren Grad durch ein $n\in \mathbb {N}$ nach oben beschränkt ist, bildet einen Untervektorraum der Dimension $n+1$. Beispielsweise bildet die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 4, also aller Polynome der Form

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$,

einen 5-dimensionalen Vektorraum mit der Basis $\{1,\ x,\ x^{2},\ x^{3},\ x^{4}\}$. ⓘ

Bei unendlichen Körpern $K$ kann man die (abstrakten) Polynome mit den zugehörigen Polynomfunktionen identifizieren. Bei dieser Betrachtungsweise entsprechen die Polynomräume Unterräumen des Raums aller Funktionen von $K$ nach $K$. Zum Beispiel entspricht der Raum aller reellen Polynome vom Grad $\leq 1$ dem Raum der linearen Funktionen. ⓘ

Lineare Abbildungen und Matrizen

Die Beziehung zwischen zwei Vektorräumen kann durch eine lineare Abbildung oder eine lineare Transformation ausgedrückt werden. Es handelt sich dabei um Funktionen, die die Struktur des Vektorraums widerspiegeln, d. h. sie erhalten Summen und skalare Multiplikation:

$f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} )$ und f(a - v) = a - f(v) für alle v und w in V, alle a in F. ⓘ

Ein Isomorphismus ist eine lineare Karte f : V → W, so dass es eine inverse Karte g : W → V gibt, die so beschaffen ist, dass die beiden möglichen Zusammensetzungen f ∘ g : W → W und g ∘ f : V → V Identitätskarten sind. Äquivalent dazu ist f sowohl eineindeutig (injektiv) als auch onto (surjektiv). Gibt es einen Isomorphismus zwischen V und W, so nennt man die beiden Räume isomorph; sie sind dann als Vektorräume im Wesentlichen identisch, da alle Identitäten, die in V gelten, über f zu ähnlichen in W transportiert werden, und umgekehrt über g. ⓘ

Beschreibt man einen Pfeilvektor v durch seine Koordinaten x und y, so erhält man einen Isomorphismus der Vektorräume. ⓘ

So sind beispielsweise die in der Einleitung genannten Vektorräume "Pfeile in der Ebene" und "geordnete Zahlenpaare" isomorph: Ein ebener Pfeil v, der vom Ursprung eines (festen) Koordinatensystems ausgeht, kann als geordnetes Zahlenpaar ausgedrückt werden, indem man die x- und y-Komponente des Pfeils betrachtet, wie im Bild rechts dargestellt. Umgekehrt kehrt bei einem Paar (x, y) der Pfeil, der durch x nach rechts (oder nach links, wenn x negativ ist) und y nach oben (unten, wenn y negativ ist) geht, den Pfeil v um. ⓘ

Lineare Abbildungen V → W zwischen zwei Vektorräumen bilden einen Vektorraum HomF(V, W), auch als L(V, W) oder 𝓛(V, W) bezeichnet. Der Raum der linearen Abbildungen von V nach _F heißt der duale Vektorraum, bezeichnet mit V^∗. Über die injektive natürliche Abbildung V → V^∗∗ kann jeder Vektorraum in seinen Dualraum eingebettet werden; die Abbildung ist ein Isomorphismus, wenn und nur wenn der Raum endlich-dimensional ist. ⓘ

Sobald eine Basis von V gewählt ist, sind lineare Abbildungen f : V → W vollständig durch die Angabe der Bilder der Basisvektoren bestimmt, da jedes Element von V eindeutig als Linearkombination von ihnen ausgedrückt wird. Ist dim V = dim W, so führt eine 1-zu-1-Korrespondenz zwischen festen Basen von V und W zu einer linearen Abbildung, die jedes Basiselement von V auf das entsprechende Basiselement von W abbildet, was per definitionem ein Isomorphismus ist. Daher sind zwei Vektorräume isomorph, wenn ihre Dimensionen übereinstimmen und umgekehrt. Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, ist, dass jeder Vektorraum vollständig (bis zum Isomorphismus) durch seine Dimension, eine einzige Zahl, klassifiziert ist. Insbesondere ist jeder n-dimensionale F-Vektorraum V isomorph zu Fn. Es gibt jedoch keinen "kanonischen" oder bevorzugten Isomorphismus; tatsächlich ist ein Isomorphismus φ : Fn → V äquivalent zur Wahl einer Basis von V, indem die Standardbasis von Fn über φ auf V abgebildet wird. Die Freiheit der Wahl einer geeigneten Basis ist besonders im unendlich-dimensionalen Kontext nützlich; siehe unten. ⓘ

Matrizen

Eine typische Matrix ⓘ

Matrizen sind ein nützlicher Begriff, um lineare Abbildungen zu kodieren. Sie werden als rechteckige Anordnung von Skalaren geschrieben, wie in der Abbildung rechts zu sehen ist. Eine beliebige m-mal-n-Matrix A führt zu einer linearen Abbildung von Fn nach Fm, und zwar nach folgender Formel

$\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j},\ldots ,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\right)$, wobei $\sum$ bezeichnet die Summierung,

oder, unter Verwendung der Matrixmultiplikation der Matrix A mit dem Koordinatenvektor x:

x ↦ Ax.

Außerdem wird nach der Wahl der Basen von V und W jede lineare Abbildung f : V → W über diese Zuordnung eindeutig durch eine Matrix dargestellt. ⓘ

Das Volumen dieses Parallelepipeds ist der Absolutwert der Determinante der 3-mal-3-Matrix, die durch die Vektoren r₁, r₂ und r₃ gebildet wird. ⓘ

Die Determinante det (A) einer quadratischen Matrix A ist ein Skalar, der angibt, ob die zugehörige Abbildung ein Isomorphismus ist oder nicht: Dazu ist es ausreichend und notwendig, dass die Determinante ungleich Null ist. Die lineare Transformation von Rn, die einer reellen n-mal-n-Matrix entspricht, ist dann und nur dann orientierungserhaltend, wenn ihre Determinante positiv ist. ⓘ

Eigenwerte und Eigenvektoren

Endomorphismen, lineare Abbildungen f : V → V, sind besonders wichtig, da in diesem Fall Vektoren v mit ihrem Bild unter f, f(v), verglichen werden können. Jeder von Null verschiedene Vektor v, der die Bedingung λv = f(v) erfüllt, wobei λ ein Skalar ist, wird als Eigenvektor von f mit dem Eigenwert λ bezeichnet. Äquivalent dazu ist v ein Element des Kerns der Differenz f - λ - Id (wobei Id die Identitätskarte V → V ist). Wenn V endlich-dimensional ist, kann dies mit Hilfe von Determinanten umformuliert werden: f mit Eigenwert λ ist äquivalent zu

det(f - λ - Id) = 0.

Wenn man die Definition der Determinante ausbuchstabiert, kann man sehen, dass der Ausdruck auf der linken Seite eine Polynomfunktion in λ ist, das so genannte charakteristische Polynom von f. Wenn das Feld F groß genug ist, um eine Nullstelle dieses Polynoms zu enthalten (was automatisch für algebraisch geschlossene F geschieht, wie z. B. F = C), hat jede lineare Abbildung mindestens einen Eigenvektor. Der Vektorraum V kann eine Eigenbasis besitzen, die aus Eigenvektoren besteht, muss es aber nicht. Dieses Phänomen wird durch die kanonische Jordanform der Abbildung bestimmt. Die Menge aller Eigenvektoren, die einem bestimmten Eigenwert von f entsprechen, bildet einen Vektorraum, den so genannten Eigenraum, der dem betreffenden Eigenwert (und f) entspricht. Um das Spektraltheorem, die entsprechende Aussage für den unendlich-dimensionalen Fall, zu erreichen, ist die Maschinerie der Funktionalanalysis erforderlich, siehe unten. ⓘ

Grundlegende Konstruktionen

Zusätzlich zu den oben genannten konkreten Beispielen gibt es eine Reihe von Standardkonstruktionen der linearen Algebra, die Vektorräume liefern, die mit den gegebenen Räumen verwandt sind. Zusätzlich zu den unten aufgeführten Definitionen zeichnen sie sich durch universelle Eigenschaften aus, die ein Objekt X durch Angabe der linearen Abbildungen von X auf jeden anderen Vektorraum bestimmen. ⓘ

Unterräume und Quotientenräume

Eine Linie, die durch den Ursprung (blau, dick) in R³ verläuft, ist ein linearer Unterraum. Sie ist der Schnittpunkt zweier Ebenen (grün und gelb). ⓘ

Eine nicht leere Teilmenge W eines Vektorraums V, die unter Addition und skalarer Multiplikation geschlossen ist (und daher den 0-Vektor von V enthält), wird als linearer Unterraum von V oder einfach als Unterraum von V bezeichnet, wenn der umgebende Raum eindeutig ein Vektorraum ist. Unterräume von V sind eigenständige Vektorräume (über demselben Feld). Die Schnittmenge aller Unterräume, die eine gegebene Menge S von Vektoren enthalten, wird als ihre Spannweite bezeichnet, und es ist der kleinste Unterraum von V, der die Menge S enthält. Ausgedrückt in Elementen ist die Spanne der Unterraum, der aus allen Linearkombinationen der Elemente von S besteht. ⓘ

Ein linearer Unterraum der Dimension 1 ist eine Vektorlinie. Ein linearer Unterraum der Dimension 2 ist eine Vektorebene. Ein linearer Unterraum, der alle Elemente außer einem einer Basis des Umgebungsraums enthält, ist eine Vektorhyperebene. In einem Vektorraum der endlichen Dimension n ist eine Vektorhyperebene also ein Unterraum der Dimension n - 1. ⓘ

Das Gegenstück zu Unterräumen sind Quotientenvektorräume. Bei einem beliebigen Unterraum W ⊂ V ist der Quotientenraum V/W ("V modulo W") wie folgt definiert: Als Menge besteht er aus v + W = {v + w : w ∈ W}, wobei v ein beliebiger Vektor in V ist. Die Summe zweier solcher Elemente v₁ + W und v₂ + W ist (v₁ + v₂) + W, und die skalare Multiplikation ist gegeben durch a - (v + W) = (a - v) + W. Der entscheidende Punkt in dieser Definition ist, dass v₁ + W = v₂ + W nur dann ist, wenn die Differenz von v₁ und v₂ in W liegt. Auf diese Weise "vergisst" der Quotientenraum Informationen, die im Unterraum W enthalten sind. ⓘ

Der Kernel ker(f) einer linearen Abbildung f : V → W besteht aus Vektoren v, die in W auf 0 abgebildet werden. Der Kernel und das Bild im(f) = {f(v) : v ∈ V} sind Unterräume von V bzw. W. Die Existenz von Kerneln und Bildern ist Teil der Aussage, dass die Kategorie der Vektorräume (über einem festen Feld F) eine abelsche Kategorie ist, d. h. ein Korpus von mathematischen Objekten und strukturerhaltenden Abbildungen zwischen ihnen (eine Kategorie), die sich ähnlich wie die Kategorie der abelschen Gruppen verhält. Aus diesem Grund sind viele Aussagen wie der erste Isomorphiesatz (in Bezug auf Matrizen auch Rank-Nullity-Theorem genannt)

V / ker(f) ≡ im(f).

und der zweite und dritte Isomorphiesatz lassen sich ganz ähnlich formulieren und beweisen wie die entsprechenden Aussagen für Gruppen. ⓘ

Ein wichtiges Beispiel ist der Kern einer linearen Karte x ↦ Ax für eine feste Matrix A, wie oben beschrieben. Der Kern dieser Abbildung ist der Unterraum der Vektoren x, so dass Ax = 0 ist, was genau die Menge der Lösungen des zu A gehörenden Systems homogener linearer Gleichungen ist.

$a_{0}f+a_{1}{\frac {df}{dx}}+a_{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+\cdots +a_{n}{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}=0$Die Koeffizienten ai sind dabei ebenfalls Funktionen in x.

In der entsprechenden Abbildung

$f\mapsto D(f)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}$,

erscheinen die Ableitungen der Funktion f linear (im Gegensatz zu f′′(x)², zum Beispiel). Da die Differenzierung ein linearer Vorgang ist (d. h. (f + g)′ = f′ + g′ und (c-f)′ = c-f′ für eine Konstante c), ist diese Zuordnung linear und wird linearer Differentialoperator genannt. Insbesondere bilden die Lösungen der Differentialgleichung D(f) = 0 einen Vektorraum (über R oder C). ⓘ

Direktes Produkt und direkte Summe

Das direkte Produkt von Vektorräumen und die direkte Summe von Vektorräumen sind zwei Möglichkeiten, eine indizierte Familie von Vektorräumen zu einem neuen Vektorraum zusammenzufassen. ⓘ

Das direkte Produkt $\textstyle {\prod _{i\in I}V_{i}}$ einer Familie von Vektorräumen Vi besteht aus der Menge aller Tupel (vi)_{i ∈ I}, die für jeden Index i in einer Indexmenge I ein Element vi von Vi angeben. Addition und skalare Multiplikation werden komponentenweise durchgeführt. Eine Variante dieser Konstruktion ist die direkte Summe ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}$ (auch Koprodukt genannt und bezeichnet als ${\textstyle \coprod _{i\in I}V_{i}}$), bei der nur Tupel mit endlich vielen Vektoren ungleich Null zulässig sind. Wenn die Indexmenge I endlich ist, stimmen die beiden Konstruktionen überein, aber im Allgemeinen sind sie unterschiedlich. ⓘ

$V\times W=\left\{\left(v,w\right)\mid v\in V,w\in W\right\}$. ⓘ

Tensorprodukt

Das Tensorprodukt V ⊗_F W, oder einfach V ⊗ W, zweier Vektorräume V und W ist einer der zentralen Begriffe der multilinearen Algebra, die sich mit der Erweiterung von Begriffen wie linearen Abbildungen auf mehrere Variablen beschäftigt. Eine Abbildung g : V × W → X heißt bilinear, wenn g in beiden Variablen v und w linear ist. Das heißt, für ein festes w ist die Abbildung v ↦ g(v, w) linear im obigen Sinne und ebenso für ein festes v. ⓘ

Das Tensorprodukt ist ein spezieller Vektorraum, der ein universeller Empfänger von bilinearen Abbildungen g ist, wie folgt. Es ist definiert als der Vektorraum, der aus endlichen (formalen) Summen von Symbolen besteht, die Tensoren genannt werden

v₁ ⊗ w₁ + v₂ ⊗ w₂ + ⋯ + vn ⊗ wn,

unter Einhaltung der Regeln

a - (v ⊗ w) = (a - v) ⊗ w = v ⊗ (a - w), wobei a ein Skalar ist,

(v₁ + v₂) ⊗ w = v₁ ⊗ w + v₂ ⊗ w, und

v ⊗ (w₁ + w₂) = v ⊗ w₁ + v ⊗ w₂. ⓘ

Kommutatives Diagramm zur Veranschaulichung der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts. ⓘ

Diese Regeln gewährleisten, dass die Abbildung f von V × W auf V ⊗ W, die ein Tupel (v, w) auf v ⊗ w abbildet, bilinear ist. Die Allgemeingültigkeit besagt, dass es für jeden Vektorraum X und jede bilineare Abbildung g : V × W → X eine eindeutige Abbildung u gibt, die im Diagramm mit einem gestrichelten Pfeil dargestellt ist und deren Komposition mit f gleich g ist: u(v ⊗ w) = g(v, w). Dies wird als universelle Eigenschaft des Tensorprodukts bezeichnet, ein Beispiel für die in der fortgeschrittenen abstrakten Algebra häufig verwendete Methode, Objekte indirekt zu definieren, indem man Abbildungen von oder auf dieses Objekt angibt. ⓘ

Vektorräume mit zusätzlicher Struktur

Aus der Sicht der linearen Algebra sind Vektorräume insofern vollständig verstanden, als jeder Vektorraum bis zur Isomorphie durch seine Dimension charakterisiert ist. Allerdings bieten Vektorräume als solche keinen Rahmen für die Behandlung der für die Analysis wichtigen Frage, ob eine Folge von Funktionen zu einer anderen Funktion konvergiert. Ebenso ist die lineare Algebra nicht geeignet, unendliche Reihen zu behandeln, da die Additionsoperation nur eine endliche Anzahl von Termen zulässt. Die Bedürfnisse der Funktionsanalyse erfordern daher die Berücksichtigung zusätzlicher Strukturen. ⓘ

Einem Vektorraum kann eine partielle Ordnung ≤ gegeben werden, unter der einige Vektoren verglichen werden können. So kann beispielsweise der n-dimensionale reelle Raum Rn geordnet werden, indem seine Vektoren komponentenweise verglichen werden. Geordnete Vektorräume, zum Beispiel Riesz-Räume, sind grundlegend für die Lebesgue-Integration, die auf der Fähigkeit beruht, eine Funktion als Differenz zweier positiver Funktionen auszudrücken

$f=f^{+}-f^{-}$,

wobei $f^{+}$ bezeichnet den positiven Teil von $f$ und $f^{-}$ dem negativen Teil. ⓘ

Normierte Vektorräume und innere Produkträume

Das "Messen" von Vektoren erfolgt durch die Angabe einer Norm, einer Größe, die die Länge von Vektoren misst, oder durch ein inneres Produkt, das die Winkel zwischen Vektoren misst. Normen und innere Produkte werden bezeichnet als $|\mathbf {v} |$ und $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$bezeichnet. Die Angabe eines inneren Produkts hat zur Folge, dass auch die Längen von Vektoren definiert werden können, indem man die zugehörige Norm definiert ${\textstyle |\mathbf {v} |:={\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}}$. Vektorräume, die mit solchen Daten ausgestattet sind, werden als normierte Vektorräume bzw. Räume mit innerem Produkt bezeichnet. ⓘ

Der Koordinatenraum Fn kann mit dem Standardpunktprodukt ausgestattet werden:

$\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}.$

In R² spiegelt dies den allgemeinen Begriff des Winkels zwischen zwei Vektoren x und y nach dem Kosinusgesetz wider:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\cos \left(\angle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\right)\cdot |\mathbf {x} |\cdot |\mathbf {y} |.$

Aus diesem Grund werden zwei Vektoren, die die Bedingung $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0$ erfüllen, orthogonal genannt. Eine wichtige Variante des Standardpunktprodukts wird im Minkowski-Raum verwendet: R⁴, ausgestattet mit dem Lorentz-Produkt

$\langle \mathbf {x} |\mathbf {y} \rangle =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}.$

Im Gegensatz zum Standardpunktprodukt ist es nicht positiv definit: $\langle \mathbf {x} |\mathbf {x} \rangle$ Es nimmt auch negative Werte an, zum Beispiel für $\mathbf {x} =(0,0,0,1)$. Die Herausnahme der vierten Koordinate - die der Zeit entspricht, im Gegensatz zu den drei Raumdimensionen - macht es nützlich für die mathematische Behandlung der speziellen Relativitätstheorie. ⓘ

Topologische Vektorräume

Konvergenzfragen werden behandelt, indem man Vektorräume V mit einer kompatiblen Topologie betrachtet, einer Struktur, die es erlaubt, über nahe beieinander liegende Elemente zu sprechen. Kompatibel bedeutet hier, dass Addition und skalare Multiplikation kontinuierliche Abbildungen sein müssen. Grob gesagt, wenn x und y in V und a in F um einen begrenzten Betrag variieren, dann gilt dies auch für x + y und ax. Damit die Angabe des Betrags, um den sich ein Skalar ändert, sinnvoll ist, muss das Feld F in diesem Zusammenhang auch eine Topologie tragen; eine gängige Wahl sind die Reellen oder die komplexen Zahlen. ⓘ

In solchen topologischen Vektorräumen kann man Reihen von Vektoren betrachten. Die unendliche Summe

$\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}$

bezeichnet den Grenzwert der entsprechenden endlichen Partialsummen der Folge (fi)_i∈N von Elementen von V. Die fi könnten z. B. (reelle oder komplexe) Funktionen sein, die zu einem Funktionsraum V gehören; in diesem Fall ist die Reihe eine Funktionsreihe. Die Art der Konvergenz der Reihe hängt von der Topologie ab, die dem Funktionsraum auferlegt ist. In solchen Fällen sind die punktweise Konvergenz und die gleichmäßige Konvergenz zwei bekannte Beispiele. ⓘ

Einheitskugeln" in R² bestehen aus ebenen Vektoren der Norm 1. Dargestellt sind die Einheitskugeln in verschiedenen p-Normen, für p = 1, 2 und ∞. Die größere Raute stellt Punkte mit der Norm 1 gleich 2 dar. ⓘ

Eine Möglichkeit, die Existenz von Grenzwerten bestimmter unendlicher Reihen sicherzustellen, besteht darin, die Aufmerksamkeit auf Räume zu beschränken, in denen jede Cauchy-Folge einen Grenzwert hat; ein solcher Vektorraum wird als vollständig bezeichnet. Grob gesagt ist ein Vektorraum vollständig, wenn er alle notwendigen Grenzwerte enthält. So ist beispielsweise der Vektorraum der Polynome auf dem Einheitsintervall [0,1] mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz nicht vollständig, weil jede stetige Funktion auf [0,1] nach dem Weierstraßschen Approximationssatz gleichmäßig durch eine Folge von Polynomen approximiert werden kann. Im Gegensatz dazu ist der Raum aller stetigen Funktionen auf [0,1] mit der gleichen Topologie vollständig. Eine Norm führt zu einer Topologie, indem sie definiert, dass eine Folge von Vektoren vn zu v konvergiert, wenn und nur wenn

$\lim _{n\to \infty }|\mathbf {v} _{n}-\mathbf {v} |=0.$

Banach- und Hilbert-Räume sind vollständige topologische Vektorräume, deren Topologien durch eine Norm bzw. ein inneres Produkt gegeben sind. Ihre Studie - ein Schlüsselstück der funktionalen Analyse - konzentriert sich auf unendlich-dimensionale Vektorräume, da alle Normen auf endlich-dimensionalen topologischen Vektorräumen denselben Begriff der Konvergenz ergeben. Das Bild rechts zeigt die Äquivalenz der 1-Norm und der ∞-Norm auf R²: Da die Einheits-"Kugeln" einander umschließen, konvergiert eine Folge in der einen Norm gegen Null, wenn und nur wenn sie dies in der anderen Norm tut. Im unendlichdimensionalen Fall gibt es jedoch im Allgemeinen inäquivalente Topologien, was die Untersuchung von topologischen Vektorräumen reicher macht als die von Vektorräumen ohne zusätzliche Daten. ⓘ

Aus konzeptioneller Sicht sollten alle Begriffe im Zusammenhang mit topologischen Vektorräumen der Topologie entsprechen. Anstatt beispielsweise alle linearen Abbildungen (auch Funktionale genannt) V → W zu betrachten, müssen Abbildungen zwischen topologischen Vektorräumen stetig sein. Insbesondere besteht der (topologische) Dualraum V^∗ aus stetigen Funktionalen V → R (oder zu C). Das fundamentale Hahn-Banach-Theorem befasst sich mit der Trennung von Unterräumen geeigneter topologischer Vektorräume durch stetige Funktionale. ⓘ

Banach-Räume

Banachräume, eingeführt von Stefan Banach, sind vollständige normierte Vektorräume. ⓘ

Ein erstes Beispiel ist der Vektorraum $\ell ^{p}$ bestehend aus unendlichen Vektoren mit reellen Einträgen $\mathbf {x} =\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots \right)$ dessen $p$-Norm $(1\leq {p}\leq \infty )$ gegeben ist durch

$\left\|\mathbf {x} \right\|_{p}:=\left(\sum _{i}\left\vert x_{i}\right\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$ für $p<\infty$   und   $\left\|\mathbf {x} \right\|_{\infty }:=\sup _{i}\left|x_{i}\right|$. ⓘ

Die Topologien auf dem unendlich-dimensionalen Raum $\ell ^{p}$ sind inäquivalent für verschiedene $p$. Zum Beispiel ist die Folge von Vektoren $\mathbf {x} _{n}=\left(2^{-n},2^{-n},\ldots ,2^{-n},0,0,\ldots \right)$, in denen die ersten $2^{n}$ Komponenten sind $2^{-n}$ und die folgenden sind $0$ist, konvergiert gegen den Nullvektor für $p=\infty$, aber nicht für $p=1$:

$\left\Vert \mathbf {x} _{n}\right\Vert _{_{\infty }}=\sup(2^{-n},0)=2^{-n}\rightarrow 0$, aber $\left\Vert \mathbf {x} _{n}\right\Vert _{1}=\sum _{i=1}^{2^{n}}2^{-n}=2^{n}\cdot 2^{-n}=1.$ ⓘ

Allgemeiner als Folgen von reellen Zahlen sind die Funktionen $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ mit einer Norm ausgestattet, die die obige Summe durch das Lebesgue-Integral ersetzt

$\left\Vert {f}\right\Vert _{p}:=\left(\int _{\Omega }\left\vert {f}\left(x\right)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}\right)^{\frac {1}{p}}.$ ⓘ

Der Raum der integrierbaren Funktionen auf einem gegebenen Gebiet $\Omega$ (z.B. ein Intervall), der folgende Bedingungen erfüllt $\left\Vert {f}\right\Vert _{p}<\infty$, erfüllen und mit dieser Norm ausgestattet sind, werden Lebesgue-Räume genannt, bezeichnet als $L^{\;\!p}\left(\Omega \right)$. ⓘ

Diese Räume sind vollständig. (Verwendet man stattdessen das Riemannsche Integral, so ist der Raum nicht vollständig, was als Rechtfertigung für die Lebesgue'sche Integrationstheorie angesehen werden kann.) Konkret bedeutet dies, dass für jede Folge von Lebesgue-integrierbaren Funktionen   $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n},\ldots$   mit $\left\Vert {f}_{n}\right\Vert _{p}<\infty$, die die Bedingung

$\lim _{k,\ n\to \infty }\int _{\Omega }\left\vert {f}_{k}(x)-{f}_{n}(x)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}=0$ ⓘ

gibt es eine Funktion ${f}\left(x\right)$ die zum Vektorraum $L^{\;\!p}\left(\Omega \right)$ so dass

$\lim _{k\to \infty }\int _{\Omega }\left\vert {f}\left(x\right)-{f}_{k}\left(x\right)\right\vert ^{p}\,{d\mu \left(x\right)}=0.$ ⓘ

Die Auferlegung von Beschränkungsbedingungen nicht nur für die Funktion, sondern auch für ihre Ableitungen führt zu Sobolev-Räumen. ⓘ

Hilbert-Räume

Die folgenden Schnappschüsse zeigen die Summierung von 1 bis 5 Termen bei der Approximation einer periodischen Funktion (blau) durch eine endliche Summe von Sinusfunktionen (rot). ⓘ

Vollständige Innenprodukträume werden zu Ehren von David Hilbert als Hilbert-Räume bezeichnet. Der Hilbert-Raum L²(Ω), dessen inneres Produkt gegeben ist durch

$\langle f\ ,\ g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx,$

wobei ${\overline {g(x)}}$ die komplex Konjugierte von g(x) bezeichnet, ist ein Schlüsselfall. ⓘ

Per Definition konvergiert in einem Hilbert-Raum jede Cauchy-Folge zu einem Grenzwert. Umgekehrt ist es ebenso wichtig, eine Folge von Funktionen fn mit wünschenswerten Eigenschaften zu finden, die sich einer gegebenen Grenzwertfunktion annähert. In der frühen Analyse wurde unter dem Namen Taylor-Approximation eine Annäherung differenzierbarer Funktionen f durch Polynome gefunden. Nach dem Stone-Weierstraß-Theorem kann jede stetige Funktion auf [a, b] durch ein Polynom so genau wie gewünscht angenähert werden. Ein ähnliches Verfahren zur Approximation durch trigonometrische Funktionen wird gemeinhin als Fourier-Expansion bezeichnet und findet in der Technik häufig Anwendung (siehe unten). Allgemeiner und konzeptionell liefert das Theorem eine einfache Beschreibung der "Basisfunktionen" oder, in abstrakten Hilbert-Räumen, der Basisvektoren, die ausreichen, um einen Hilbert-Raum H zu erzeugen, in dem Sinne, dass der Abschluss ihrer Spannweite (d. h. endliche Linearkombinationen und Grenzwerte dieser Funktionen) der gesamte Raum ist. Eine solche Menge von Funktionen wird als Basis von H bezeichnet, ihre Kardinalität wird als Dimension des Hilbert-Raums bezeichnet. Der Satz zeigt nicht nur, dass geeignete Basisfunktionen für Approximationszwecke ausreichen, sondern ermöglicht zusammen mit dem Gram-Schmidt-Verfahren auch die Konstruktion einer Basis von orthogonalen Vektoren. Solche orthogonalen Basen sind die Hilbert-Raum-Verallgemeinerung der Koordinatenachsen im endlich-dimensionalen euklidischen Raum. ⓘ

Die Lösungen verschiedener Differentialgleichungen können mit Hilfe von Hilbert-Räumen interpretiert werden. So führen viele Bereiche der Physik und der Technik zu solchen Gleichungen, und häufig werden Lösungen mit bestimmten physikalischen Eigenschaften als Basisfunktionen verwendet, die oft orthogonal sind. Ein Beispiel aus der Physik ist die zeitabhängige Schrödingergleichung in der Quantenmechanik, die die Änderung physikalischer Eigenschaften in der Zeit mit Hilfe einer partiellen Differentialgleichung beschreibt, deren Lösungen als Wellenfunktionen bezeichnet werden. Bestimmte Werte für physikalische Eigenschaften wie Energie oder Impuls entsprechen Eigenwerten eines bestimmten (linearen) Differentialoperators, und die zugehörigen Wellenfunktionen werden als Eigenzustände bezeichnet. Das Spektraltheorem zerlegt einen linearen kompakten Operator, der auf Funktionen wirkt, in diese Eigenfunktionen und ihre Eigenwerte. ⓘ

Algebren über Feldern

Eine Hyperbel, gegeben durch die Gleichung x ⋅ y = 1. Der Koordinatenring der Funktionen auf dieser Hyperbel ist gegeben durch R[x, y] / (x - y - 1), einen unendlich-dimensionalen Vektorraum über R. ⓘ

Allgemeine Vektorräume besitzen keine Multiplikation zwischen Vektoren. Ein Vektorraum mit einem zusätzlichen bilinearen Operator, der die Multiplikation von zwei Vektoren definiert, ist eine Algebra über einem Feld. Viele Algebren ergeben sich aus Funktionen auf einem geometrischen Objekt: Da Funktionen mit Werten in einem bestimmten Feld punktweise multipliziert werden können, bilden diese Einheiten Algebren. Das Stone-Weierstraß-Theorem zum Beispiel beruht auf Banach-Algebren, die sowohl Banach-Räume als auch Algebren sind. ⓘ

Die kommutative Algebra macht großen Gebrauch von Ringen von Polynomen in einer oder mehreren Variablen, die oben eingeführt wurden. Ihre Multiplikation ist sowohl kommutativ als auch assoziativ. Diese Ringe und ihre Quotienten bilden die Grundlage der algebraischen Geometrie, da sie Ringe von Funktionen algebraischer geometrischer Objekte sind. ⓘ

Ein weiteres wichtiges Beispiel sind die Lie-Algebren, die weder kommutativ noch assoziativ sind, was aber durch die Bedingungen ([x, y] bezeichnet das Produkt von x und y) eingeschränkt wird:

• [x, y] = -[y, x] (Antikommutativität), und
• [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 (Jacobi-Identität).

Beispiele sind der Vektorraum der n-mal-n-Matrizen mit [x, y] = xy - yx, der Kommutator zweier Matrizen und R³, ausgestattet mit dem Kreuzprodukt. ⓘ

Die Tensoralgebra T(V) ist eine formale Methode, Produkte zu einem beliebigen Vektorraum V zu addieren, um eine Algebra zu erhalten. Als Vektorraum wird sie durch Symbole aufgespannt, die als einfache Tensoren bezeichnet werden

v₁ ⊗ v₂ ⊗ ⋯ ⊗ vn, wobei der Grad n variiert.

Die Multiplikation erfolgt durch Verkettung solcher Symbole, wobei das Distributivgesetz für die Addition gilt und die Skalarmultiplikation mit dem Tensorprodukt ⊗ vertauscht werden muss, ähnlich wie beim oben eingeführten Tensorprodukt zweier Vektorräume. Im Allgemeinen gibt es keine Beziehungen zwischen v₁ ⊗ v₂ und v₂ ⊗ v₁. Wenn man erzwingt, dass zwei solcher Elemente gleich sind, erhält man die symmetrische Algebra, während man mit v₁ ⊗ v₂ = - v₂ ⊗ v₁ die äußere Algebra erhält. ⓘ

Wenn ein Feld F explizit angegeben ist, wird häufig der Begriff F-Algebra verwendet. ⓘ

Verwandte Strukturen

Vektorbündel

Ein Möbiusband. Örtlich sieht es aus wie U × R. ⓘ

Ein Vektorbündel ist eine Familie von Vektorräumen, die durch einen topologischen Raum X kontinuierlich parametrisiert sind. Genauer gesagt ist ein Vektorbündel über X ein topologischer Raum E, der mit einer kontinuierlichen Abbildung

π : E → X

so dass für jedes x in X die Faser π-1(x) ein Vektorraum ist. Der Fall dim V = 1 wird als Linienbündel bezeichnet. Für jeden Vektorraum V macht die Projektion X × V → X das Produkt X × V zu einem "trivialen" Vektorbündel. Vektorbündel über X müssen lokal ein Produkt von X und einem (festen) Vektorraum V sein: Für jedes x in X gibt es eine Nachbarschaft U von x, so dass die Restriktion von π auf π-1(U) isomorph zum trivialen Bündel U × V → U ist. Trotz ihres lokal trivialen Charakters können Vektorbündel (je nach Form des zugrundeliegenden Raums X) im Großen "verdreht" sein (d. h. das Bündel muss nicht (global isomorph zu) dem trivialen Bündel X × V sein). Zum Beispiel kann das Möbiusband als Linienbündel über dem Kreis S¹ betrachtet werden (indem man offene Intervalle mit der reellen Linie identifiziert). Es unterscheidet sich jedoch von dem Zylinder S¹ × R, da letzterer orientierbar ist, während ersterer nicht orientierbar ist. ⓘ

Die Eigenschaften bestimmter Vektorbündel liefern Informationen über den zugrunde liegenden topologischen Raum. Beispielsweise besteht das Tangentenbündel aus der Sammlung von Tangentenräumen, die durch die Punkte einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit parametrisiert sind. Das Tangentenbündel des Kreises S¹ ist global isomorph zu S¹ × R, da es ein globales Vektorfeld ungleich Null auf S¹ gibt. Im Gegensatz dazu gibt es nach dem Hairy-Ball-Theorem kein (tangentiales) Vektorfeld auf der 2-Sphäre S², das überall ungleich Null ist. Die K-Theorie untersucht die Isomorphismenklassen aller Vektorbündel über einem topologischen Raum. Sie vertieft nicht nur topologische und geometrische Einsichten, sondern hat auch rein algebraische Konsequenzen, wie z. B. die Klassifizierung der endlich-dimensionalen reellen Divisionsalgebren: R, C, die Quaternionen H und die Oktonionen O. ⓘ

Das Kotangenzbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit besteht in jedem Punkt der Mannigfaltigkeit aus dem Dual des Tangentenraums, dem Kotangenzraum. Abschnitte dieses Bündels werden als differentielle Einformen bezeichnet. ⓘ

Module

Module sind für Ringe das, was Vektorräume für Felder sind: Die gleichen Axiome, angewandt auf einen Ring R anstelle eines Feldes F, ergeben Module. Im Vergleich zu Vektorräumen wird die Theorie der Module durch das Vorhandensein von Ringelementen kompliziert, die keine multiplikativen Inversen haben. So müssen Module beispielsweise keine Basen haben, wie der Z-Modul (d. h. die abelsche Gruppe) Z/2Z zeigt; diejenigen Module, die Basen haben (einschließlich aller Vektorräume), werden als freie Module bezeichnet. Dennoch kann ein Vektorraum kompakt als Modul über einem Ring definiert werden, der ein Feld ist, wobei die Elemente Vektoren genannt werden. Einige Autoren verwenden den Begriff Vektorraum, um Module über einem Divisionsring zu bezeichnen. Die algebraisch-geometrische Interpretation von kommutativen Ringen über ihr Spektrum ermöglicht die Entwicklung von Konzepten wie lokal freie Module, dem algebraischen Gegenstück zu Vektorbündeln. ⓘ

Affine und projektive Räume

Eine affine Ebene (hellblau) in R³. Sie ist ein zweidimensionaler Unterraum, der um einen Vektor x (rot) verschoben ist.

Grob gesagt, sind affine Räume Vektorräume, deren Ursprung nicht festgelegt ist. Genauer gesagt, ist ein affiner Raum eine Menge mit einer freien transitiven Vektorraumaktion. Insbesondere ist ein Vektorraum ein affiner Raum über sich selbst, und zwar durch die Abbildung

V × V → V, (v, a) ↦ a + v.

Wenn W ein Vektorraum ist, dann ist ein affiner Unterraum eine Teilmenge von W, die man erhält, indem man einen linearen Unterraum V durch einen festen Vektor x ∈ W verschiebt; dieser Raum wird mit x + V bezeichnet (er ist eine Coset von V in W) und besteht aus allen Vektoren der Form x + v für v ∈ V. Ein wichtiges Beispiel ist der Raum der Lösungen eines Systems inhomogener linearer Gleichungen

Ax = b

eine Verallgemeinerung des obigen homogenen Falles, der durch Setzen von b = 0 in dieser Gleichung gefunden werden kann. Der Raum der Lösungen ist der affine Unterraum x + V, wobei x eine bestimmte Lösung der Gleichung und V der Raum der Lösungen der homogenen Gleichung (der Nullraum von A) ist. ⓘ

Die Menge der eindimensionalen Unterräume eines festen, endlichdimensionalen Vektorraums V wird als projektiver Raum bezeichnet; er kann verwendet werden, um die Vorstellung von parallelen Linien zu formalisieren, die sich im Unendlichen schneiden. Grassmannsche und Flaggen-Mannigfaltigkeiten verallgemeinern dies, indem sie lineare Unterräume fester Dimension k bzw. Flaggen von Unterräumen parametrisieren. ⓘ

Verwandte Konzepte

Spezifische Vektoren in einem Vektorraum

• Nullvektor (manchmal auch Nullvektor genannt und bezeichnet mit $\mathbf {0}$), die additive Identität in einem Vektorraum. In einem normierten Vektorraum ist er der einzige Vektor mit der Norm Null. In einem euklidischen Vektorraum ist er der einzige Vektor der Länge Null.
• Basisvektor, ein Element einer gegebenen Basis eines Vektorraums.
• Einheitsvektor, ein Vektor in einem normierten Vektorraum, dessen Norm 1 ist, oder ein euklidischer Vektor der Länge eins.
• Isotroper Vektor oder Nullvektor, in einem Vektorraum mit quadratischer Form ein von Null verschiedener Vektor, für den die Form Null ist. Gibt es einen Nullvektor, so wird die quadratische Form als isotrope quadratische Form bezeichnet. ⓘ

Vektoren in speziellen Vektorräumen

• Spaltenvektor, eine Matrix mit nur einer Spalte. Die Spaltenvektoren mit einer festen Anzahl von Zeilen bilden einen Vektorraum.
• Zeilenvektor, eine Matrix mit nur einer Zeile. Die Zeilenvektoren mit einer festen Anzahl von Spalten bilden einen Vektorraum.
• Koordinatenvektor, das n-Tupel der Koordinaten eines Vektors auf einer Basis von n Elementen. Für einen Vektorraum über einem Feld F bilden diese n-Tupel den Vektorraum $F^{n}$ (wobei die Operationen punktweise Addition und skalare Multiplikation sind).
• Verschiebungsvektor, ein Vektor, der die Änderung der Position eines Punktes relativ zu einer vorherigen Position angibt. Verschiebungsvektoren gehören zum Vektorraum der Translationen.
• Positionsvektor eines Punktes, der Verschiebungsvektor von einem Bezugspunkt (dem sogenannten Ursprung) zum Punkt. Ein Positionsvektor stellt die Position eines Punktes in einem euklidischen Raum oder einem affinen Raum dar.
• Geschwindigkeitsvektor, die Ableitung des Positionsvektors nach der Zeit. Er hängt nicht von der Wahl des Ursprungs ab und gehört somit zum Vektorraum der Translationen.
• Pseudovektor, auch Achsenvektor genannt
• Kovektor, ein Element des Duals eines Vektorraums. In einem Raum mit innerem Produkt definiert das innere Produkt einen Isomorphismus zwischen dem Raum und seinem Dual, was die Unterscheidung zwischen einem Kovektor und einem Vektor erschweren kann. Die Unterscheidung wird deutlich, wenn man die Koordinaten (nicht orthogonal) ändert.
• Tangentenvektor, ein Element des Tangentenraums einer Kurve, einer Fläche oder allgemeiner einer differentiellen Mannigfaltigkeit in einem bestimmten Punkt (diese Tangentenräume sind natürlich mit einer Vektorraumstruktur ausgestattet)
• Normalvektor oder einfach Normal, in einem euklidischen Raum oder, allgemeiner, in einem Raum mit innerem Produkt, ein Vektor, der in einem Punkt senkrecht zu einem Tangentenraum steht.
• Gradient, der Koordinatenvektor der partiellen Ableitungen einer Funktion mehrerer reeller Variablen. In einem euklidischen Raum gibt der Gradient den Betrag und die Richtung des maximalen Anstiegs eines Skalarfeldes an. Der Gradient ist ein Vektor, der normal auf eine ebene Kurve ist.
• Viervektor, in der Relativitätstheorie ein Vektor in einem vierdimensionalen reellen Vektorraum, dem Minkowski-Raum ⓘ

Erste Eigenschaften

Für alle $\alpha \in K$ und $v,w\in V$ gelten folgende Aussagen:

• $(-\alpha )\odot v=-(\alpha \odot v)=\alpha \odot (-v)$.
• $\alpha \odot v=0_{V}\quad \Leftrightarrow \quad \alpha =0_{K}{\text{ oder }}v=0_{V}$.
• Die Gleichung $v\oplus x=w$ ist für alle $v,w\in V$ eindeutig lösbar; die Lösung ist $x=w\oplus (-v)$. ⓘ

Verknüpfung von Vektorräumen

Zwei oder mehrere Vektorräume können auf verschiedene Weisen miteinander verknüpft werden, sodass ein neuer Vektorraum entsteht. ⓘ

Verallgemeinerungen

• Wenn man an Stelle eines Körpers $K$ einen kommutativen Ring zugrunde legt, erhält man einen Modul. Moduln sind eine gemeinsame Verallgemeinerung der Begriffe „abelsche Gruppe“ (für den Ring der ganzen Zahlen) und „Vektorraum“ (für Körper). ⓘ

• Einige Autoren verzichten in der Definition von Körpern auf das Kommutativgesetz der Multiplikation und nennen Moduln über Schiefkörpern ebenfalls Vektorräume. Folgt man dieser Vorgehensweise, so müssen $K$-Linksvektorräume und $K$-Rechtsvektorräume unterschieden werden, wenn der Schiefkörper nicht kommutativ ist. Die oben gegebene Definition des Vektorraums ergibt dabei einen $K$-Linksvektorraum, da die Skalare im Produkt auf der linken Seite stehen. $K$-Rechtsvektorräume werden analog mit der spiegelbildlich erklärten Skalarmultiplikation definiert. Viele fundamentale Ergebnisse gelten völlig analog auch für Vektorräume über Schiefkörpern, etwa die Existenz einer Basis. ⓘ

• Wenn man an Stelle eines Körpers $K$ einen Halbkörper zugrunde legt, erhält man einen Halbvektorraum. ⓘ

• Eine andere Verallgemeinerung von Vektorräumen sind Vektorbündel; sie bestehen aus je einem Vektorraum für jeden Punkt eines topologischen Basisraums. ⓘ

Historische Anmerkung

Bartel Leendert van der Waerden merkt an, dass seines Wissens der Begriff „n-dimensionaler Vektorraum“ zum ersten Mal von Hermann Günther Graßmann in seinem Buch „Die lineale Ausdehnungslehre“ von 1844 explizit definiert wurde. Implizit gearbeitet wird mit dem Strukturbegriff in diversen Zusammenhängen natürlich schon wesentlich früher. ⓘ