Rechteck

Rechtwinklig ⓘ
Rechtwinklig ⓘ
	Rechtwinklig
Typ	Viereck, Trapez, Parallelogramm, Orthotop
Kanten und Scheitelpunkte	4
Schläfli-Symbol	{ } × { }
Coxeter-Dynkin-Diagramme
Symmetrie-Gruppe	Dihedral (D2), [2], (*22), Ordnung 4
Eigenschaften	konvex, isogonal, zyklisch Gegenüberliegende Winkel und Seiten sind kongruent

In der Geometrie der euklidischen Ebene ist ein Rechteck ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Es kann auch definiert werden als: ein gleichwinkliges Viereck, da gleichwinklig bedeutet, dass alle seine Winkel gleich sind (360°/4 = 90°); oder ein Parallelogramm, das einen rechten Winkel enthält. Ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten ist ein Quadrat. Gelegentlich wird für ein nicht-quadratisches Rechteck auch der Begriff länglich verwendet. Ein Rechteck mit den Scheitelpunkten ABCD wird bezeichnet als ABCD. ⓘ

Das Wort Rechteck kommt vom lateinischen rectangulus, das eine Kombination aus rectus (als Adjektiv, rechts, richtig) und angulus (Winkel) ist. ⓘ

Ein gekreuztes Rechteck ist ein gekreuztes (sich selbst schneidendes) Viereck, das aus zwei gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks sowie den beiden Diagonalen besteht (daher sind nur zwei Seiten parallel). Es ist ein Spezialfall eines Antiparallelogramms, und seine Winkel sind nicht rechtwinklig und nicht alle gleich, obwohl die gegenüberliegenden Winkel gleich sind. In anderen Geometrien wie der sphärischen, elliptischen und hyperbolischen Geometrie gibt es so genannte Rechtecke mit gleich langen gegenüberliegenden Seiten und gleichen Winkeln, die nicht rechtwinklig sind. ⓘ

Rechtecke kommen in vielen Kachelproblemen vor, z. B. bei der Kachelung der Ebene durch Rechtecke oder der Kachelung eines Rechtecks durch Polygone. ⓘ

Charakterisierungen

Ein konvexes Viereck ist dann und nur dann ein Rechteck, wenn es eines der folgenden ist:

ein Parallelogramm mit mindestens einem rechten Winkel
ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen
ein Parallelogramm ABCD, bei dem die Dreiecke ABD und DCA kongruent sind
ein gleichwinkliges Viereck
ein Viereck mit vier rechten Winkeln
ein Viereck, bei dem die beiden Diagonalen gleich lang sind und sich gegenseitig halbieren
ein konvexes Viereck mit den aufeinanderfolgenden Seiten a, b, c, d, dessen Fläche gleich ${\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)$ .
ein konvexes Viereck mit den aufeinanderfolgenden Seiten a, b, c, d, dessen Fläche gleich ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}.$ ⓘ

Klassifizierung

Ein Rechteck ist ein Sonderfall des Parallelogramms und des Trapezes. Ein Quadrat ist ein Spezialfall eines Rechtecks. ⓘ

Traditionelle Hierarchie

Ein Rechteck ist ein Spezialfall eines Parallelogramms, bei dem jedes Paar benachbarter Seiten rechtwinklig ist. ⓘ

Ein Parallelogramm ist ein Spezialfall eines Trapezes (in Nordamerika als Trapez bekannt), bei dem beide Paare von gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang sind. ⓘ

Ein Trapez ist ein konvexes Viereck, das mindestens ein Paar paralleler gegenüberliegender Seiten hat. ⓘ

Ein konvexes Viereck ist

einfach: Die Begrenzung kreuzt sich nicht selbst.
Sternförmig: Das gesamte Innere ist von einem einzigen Punkt aus sichtbar, ohne eine Kante zu kreuzen. ⓘ

Alternative Hierarchie

De Villiers definiert ein Rechteck allgemeiner als ein beliebiges Viereck mit Symmetrieachsen durch jedes Paar gegenüberliegender Seiten. Diese Definition schließt sowohl rechtwinklige Rechtecke als auch gekreuzte Rechtecke ein. Beide haben eine Symmetrieachse, die parallel und in gleichem Abstand zu einem Paar gegenüberliegender Seiten verläuft, und eine weitere, die die rechtwinklige Winkelhalbierende dieser Seiten ist, aber im Falle des gekreuzten Rechtecks ist die erste Achse keine Symmetrieachse für eine der beiden Seiten, die sie halbiert. ⓘ

Vierecke mit zwei Symmetrieachsen, die jeweils durch ein Paar gegenüberliegender Seiten verlaufen, gehören zu der größeren Klasse der Vierecke mit mindestens einer Symmetrieachse durch ein Paar gegenüberliegender Seiten. Zu diesen Vierecken gehören gleichschenklige Trapeze und gekreuzte gleichschenklige Trapeze (gekreuzte Vierecke mit der gleichen Scheitelpunktanordnung wie gleichschenklige Trapeze). ⓘ

Eigenschaften

Symmetrie

Ein Rechteck ist zyklisch: Alle Ecken liegen auf einem einzigen Kreis. ⓘ

Es ist gleichwinklig: Alle seine Eckwinkel sind gleich (jeweils 90 Grad). ⓘ

Es ist isogonal oder scheiteltransitiv: alle Ecken liegen auf der gleichen Symmetrieebene. ⓘ

Es hat zwei Reflexionssymmetrielinien und eine Rotationssymmetrie der Ordnung 2 (durch 180°). ⓘ

Rechteck-Rhombus-Dualismus

Das duale Polygon eines Rechtecks ist ein Rhombus, wie in der folgenden Tabelle dargestellt. ⓘ

Rechtwinklig	Rhombus ⓘ
Alle Winkel sind gleich.	Alle Seiten sind gleich.
Die abwechselnden Seiten sind gleich.	Die abwechselnden Winkel sind gleich.
Der Mittelpunkt ist gleich weit von den Scheitelpunkten entfernt, daher hat er einen Umkreis.	Sein Mittelpunkt ist gleich weit von den Seiten entfernt, daher hat er einen Inkreis.
Zwei Symmetrieachsen halbieren gegenüberliegende Seiten.	Zwei Symmetrieachsen halbieren gegenüberliegende Winkel.
Die Diagonalen sind gleich lang.	Die Diagonalen schneiden sich in gleichen Winkeln.

Die Figur, die durch die Verbindung der Mittelpunkte der Seiten eines Rechtecks gebildet wird, ist ein Rhombus und umgekehrt. ⓘ

Sonstiges

Ein Rechteck ist ein geradliniges Vieleck: Seine Seiten schneiden sich in rechten Winkeln. ⓘ

Ein Rechteck in der Ebene kann durch fünf unabhängige Freiheitsgrade definiert werden, z. B. drei für die Position (zwei für die Translation und einer für die Rotation), einen für die Form (Seitenverhältnis) und einen für die Gesamtgröße (Fläche). ⓘ

Zwei Rechtecke, von denen keines in das andere passt, werden als unvergleichbar bezeichnet. ⓘ

Formeln

Die Formel für den Umfang eines Rechtecks ⓘ

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt aus Länge und Breite. ⓘ

Hat ein Rechteck die Länge $\ell$ und Breite $w$

hat es den Flächeninhalt $A=\ell w\,$ ,
hat es einen Umfang $P=2\ell +2w=2(\ell +w)\,$ ,
hat jede Diagonale eine Länge $d={\sqrt {\ell ^{2}+w^{2}}}$ ,
und wenn $\ell =w\,$ hat, ist das Rechteck ein Quadrat. ⓘ

Theoreme

Das isoperimetrische Theorem für Rechtecke besagt, dass von allen Rechtecken mit einem bestimmten Umfang das Quadrat die größte Fläche hat. ⓘ

Die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks mit senkrechten Diagonalen bilden ein Rechteck. ⓘ

Ein Parallelogramm mit gleichen Diagonalen ist ein Rechteck. ⓘ

Das japanische Theorem für zyklische Vierecke besagt, dass die Mittelpunkte der vier Dreiecke, die durch die Scheitelpunkte eines zyklischen Vierecks bestimmt werden, zu dritt ein Rechteck bilden. ⓘ

Das britische Flaggentheorem besagt, dass für jeden Punkt P in der gleichen Ebene eines Rechtecks mit den Eckpunkten A, B, C und D:

\displaystyle (AP)^{2}+(CP)^{2}=(BP)^{2}+(DP)^{2}.

ⓘ

Für jeden konvexen Körper C in der Ebene kann ein Rechteck r in C eingeschrieben werden, so dass eine homothetische Kopie R von r um C herumgeschrieben wird und das positive Homothetieverhältnis höchstens 2 beträgt und $0.5{\text{ × Area}}(R)\leq {\text{Area}}(C)\leq 2{\text{ × Area}}(r)$ . ⓘ

Gekreuzte Rechtecke

Ein gekreuztes (sich selbst schneidendes) Viereck besteht aus zwei gegenüberliegenden Seiten eines sich nicht selbst schneidenden Vierecks sowie den beiden Diagonalen. In ähnlicher Weise ist ein gekreuztes Rechteck ein gekreuztes Viereck, das aus zwei gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks und den beiden Diagonalen besteht. Es hat die gleiche Anordnung der Eckpunkte wie das Rechteck. Es erscheint als zwei identische Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt, aber der geometrische Schnittpunkt wird nicht als Scheitelpunkt betrachtet. ⓘ

Ein gekreuztes Viereck wird manchmal mit einer Fliege oder einem Schmetterling verglichen und manchmal als "eckige Acht" bezeichnet. Ein dreidimensionaler rechteckiger Drahtrahmen, der verdreht ist, kann die Form einer Fliege annehmen. ⓘ

Das Innere eines gekreuzten Rechtecks kann eine Polygondichte von ±1 in jedem Dreieck haben, abhängig von der Wickelrichtung im oder gegen den Uhrzeigersinn. ⓘ

Ein gekreuztes Rechteck kann als gleichwinklig angesehen werden, wenn Rechts- und Linksdrehungen zulässig sind. Wie bei jedem gekreuzten Viereck beträgt die Summe der Innenwinkel 720°, so dass die Innenwinkel auf der Außenseite erscheinen und 180° überschreiten können. ⓘ

Ein Rechteck und ein gekreuztes Rechteck sind Vierecke, die die folgenden Eigenschaften gemeinsam haben:

Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang.
Die beiden Diagonalen sind gleich lang.
Es hat zwei Reflexionssymmetrielinien und eine Rotationssymmetrie der Ordnung 2 (durch 180°). ⓘ

Andere Rechtecke

Ein Sattelrechteck hat 4 nicht planare Eckpunkte, die sich mit Eckpunkten eines Quaders abwechseln, mit einer einzigen minimalen Innenfläche, die als Linearkombination der vier Eckpunkte definiert ist, wodurch eine Sattelfläche entsteht. Dieses Beispiel zeigt 4 blaue Kanten des Rechtecks und zwei grüne Diagonalen, die alle Diagonalen der rechteckigen Quaderflächen sind. ⓘ

In der sphärischen Geometrie ist ein sphärisches Rechteck eine Figur, deren vier Kanten Großkreisbögen sind, die sich in gleichen Winkeln größer als 90° treffen. Die gegenüberliegenden Bögen sind gleich lang. Die Oberfläche einer Kugel in der euklidischen Festkörpergeometrie ist eine nicht-euklidische Fläche im Sinne der elliptischen Geometrie. Die sphärische Geometrie ist die einfachste Form der elliptischen Geometrie. ⓘ

In der elliptischen Geometrie ist ein elliptisches Rechteck eine Figur in der elliptischen Ebene, deren vier Kanten elliptische Bögen sind, die sich in gleichen Winkeln größer als 90° treffen. Die gegenüberliegenden Bögen sind gleich lang. ⓘ

In der hyperbolischen Geometrie ist ein hyperbolisches Rechteck eine Figur in der hyperbolischen Ebene, deren vier Kanten hyperbolische Bögen sind, die sich in gleichen Winkeln kleiner als 90° treffen. Gegenüberliegende Bögen sind gleich lang. ⓘ

Mosaike

Das Rechteck wird in vielen periodischen Mosaikmustern verwendet, z. B. im Mauerwerk in Form von Kacheln:

Gestapelte Bindung	Laufender Verband	Korbgeflecht	Korbgeflecht	Fischgrätenmuster ⓘ

Quadratische, perfekte und andere gekachelte Rechtecke

Ein perfektes Rechteck der Ordnung 9 ⓘ

Ein Rechteck, das mit Quadraten, Rechtecken oder Dreiecken gekachelt ist, wird als "quadratisches", "rechteckiges" oder "trianguliertes" (oder "dreieckiges") Rechteck bezeichnet. Ein gekacheltes Rechteck ist perfekt, wenn die Kacheln ähnlich und in ihrer Anzahl endlich sind und keine zwei Kacheln die gleiche Größe haben. Sind zwei solcher Kacheln gleich groß, ist die Kachelung unvollkommen. In einem perfekten (oder unvollkommenen) dreieckigen Rechteck müssen die Dreiecke rechtwinklig sein. Eine Datenbank mit allen bekannten perfekten Rechtecken, perfekten Quadraten und verwandten Formen finden Sie unter squaring.net. Die geringste Anzahl von Quadraten, die für ein perfektes Rechteck benötigt wird, ist 9, und die geringste Anzahl, die für ein perfektes Quadrat benötigt wird, ist 21, gefunden 1978 durch Computersuche. ⓘ

Ein Rechteck hat nur dann angemessene Seiten, wenn es durch eine endliche Anzahl ungleicher Quadrate kachelbar ist. Dasselbe gilt, wenn die Kacheln ungleiche gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke sind. ⓘ

Die Kacheln von Rechtecken durch andere Kacheln, die die meiste Aufmerksamkeit auf sich gezogen haben, sind die durch kongruente nicht-rechteckige Polyominoe, die alle Drehungen und Spiegelungen erlauben. Es gibt auch Tilings durch kongruente Polyabolos. ⓘ

Ein weiteres Beispiel eines perfekten Rechtecks – ebenfalls von Zbigniew Moroń – hat die Seitenlängen 47 und 65. Es wird überdeckt von 10 Quadraten mit den Seitenlängen 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 und 25. ⓘ

Unicode

U+25AC ▬ SCHWARZES RECHTECK

   U+25AD ▭ WEISSES RECHTECK
   U+25AE ▮ SCHWARZES VERTIKALES RECHTECK
   U+25AF ▯ WEISSES VERTIKALES RECHTECK ⓘ

Rechteckgitter

Rechteckgitter ⓘ

Das Rechteckgitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten in der zweidimensionalen euklidischen Ebene. Diese Punktmenge kann formal als die Menge ⓘ

\left\{(a\cdot x_{1},b\cdot x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}\mid a,b>0\ \land \ x_{1}\in \mathbb {Z} \ \land \ x_{2}\in \mathbb {Z} \right\}

ⓘ

geschrieben werden, wobei die positiven reellen Zahlen $a$ , $b$ die Abstände zwischen benachbarten Punkten sind. Das Rechteckgitter entsteht durch 2 Parallelstreckungen (siehe Affine Abbildung) aus dem Quadratgitter. ⓘ

Dieses Rechteckgitter ist achsensymmetrisch, drehsymmetrisch und punktsymmetrisch. Außerdem ist es translationsymmetrisch für alle Vektoren mit bestimmten Längen, die parallel zu den 2 Koordinatenachsen verlaufen, nämlich die unendlich vielen Vektoren $a\cdot a_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}$ , $b\cdot a_{2}\cdot {\vec {e}}_{2}$ , wobei $a_{1}$ , $a_{2}$ ganze Zahlen sind und $e_{1}$ , $e_{2}$ die 2 Einheitsvektoren im zweidimensionalen eudklidischen Vektorraum. ⓘ

Wird eine geometrische Figur in der Ebene in einem Quadratgitter platziert und dann durch Parallelstreckungen modifiziert, sodass ein Rechteckgitter entsteht, dann entstehen abhängig von der Art und Ausrichtung dieser geometrischen Figuren andere geometrische Figuren:

Parallelstreckungen von geometrischen Figuren ⓘ
Figur im Würfelgitter	Figur im Quadergitter
Figur im Würfelgitter	bei orthogonaler Ausrichtung	bei beliebiger Ausrichtung
Quadrat	Rechteck	Parallelogramm
Rechteck	Rechteck	Parallelogramm
Raute	Raute	Parallelogramm
Parallelogramm		Parallelogramm
rechtwinkliges Dreieck	rechtwinkliges Dreieck	Dreieck
gleichschenkliges Dreieck	gleichschenkliges Dreieck	Dreieck
Kreis	Ellipse	Ellipse
Ellipse	Ellipse	Ellipse

Goldenes Rechteck

Beide Rechtecke – je mit den Seitenverhältnissen a : b sowie (a + b) : a – sind jeweils Goldene Rechtecke (animierte Darstellung). ⓘ

Rechtecke mit der Eigenschaft ${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}$ für die Seitenlängen a und b nennt man Goldene Rechtecke. Als Seitenverhältnis ergibt sich der Goldenen Schnitt, also ${\frac {a}{b}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}6180339887$ . ⓘ