Infinitesimalrechnung

Die Infinitesimalrechnung ist die mathematische Lehre von den kontinuierlichen Veränderungen, so wie die Geometrie die Lehre von den Formen und die Algebra die Lehre von den Verallgemeinerungen der arithmetischen Operationen ist. ⓘ

Die Differentialrechnung befasst sich mit den momentanen Veränderungsraten und den Steigungen von Kurven, die Integralrechnung mit der Akkumulation von Mengen und den Flächen unter oder zwischen Kurven. Diese beiden Zweige sind durch den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung miteinander verbunden und nutzen die grundlegenden Begriffe der Konvergenz von unendlichen Folgen und unendlichen Reihen zu einem wohldefinierten Grenzwert. ⓘ

Die Infinitesimalrechnung wurde unabhängig voneinander im späten 17. Jahrhundert von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelt. Spätere Arbeiten, einschließlich der Kodifizierung des Begriffs der Grenzen, stellten diese Entwicklungen auf eine solidere konzeptionelle Grundlage. Heute findet die Infinitesimalrechnung in den Natur-, Ingenieur- und Sozialwissenschaften breite Anwendung. ⓘ

In der Mathematikausbildung bezeichnet Kalkül die Kurse der elementaren mathematischen Analyse, die sich hauptsächlich mit der Untersuchung von Funktionen und Grenzwerten befassen. Das Wort calculus stammt aus dem Lateinischen und bedeutet "kleiner Kieselstein" (die Verkleinerungsform von calx, was "Stein" bedeutet), eine Bedeutung, die sich in der Medizin bis heute erhalten hat. Da solche Kieselsteine zum Abzählen von Entfernungen, zum Auszählen von Stimmen und zum Rechnen mit dem Abakus verwendet wurden, wurde das Wort zur Bezeichnung einer Berechnungsmethode. In diesem Sinne wurde es im Englischen mindestens seit 1672 verwendet, also einige Jahre vor den Veröffentlichungen von Leibniz und Newton. ⓘ

Neben der Differential- und Integralrechnung wird der Begriff auch zur Bezeichnung spezifischer Berechnungsmethoden und damit verbundener Theorien verwendet, die versuchen, ein bestimmtes Konzept mathematisch zu modellieren. Beispiele für diese Konvention sind die Aussagenkalkulation, die Ricci-Rechnung, die Variationsrechnung, die Lambda-Rechnung und die Prozessrechnung. Darüber hinaus wurde der Begriff "Kalkül" in der Ethik und Philosophie verschiedentlich für Systeme wie Benthams felikisches Kalkül und das ethische Kalkül verwendet. ⓘ

Die Infinitesimalrechnung ist eine von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelte Technik, um Differential- und Integralrechnung zu betreiben. Sie liefert eine Methode, eine Funktion auf beliebig kleinen (d. h. infinitesimalen) Abschnitten widerspruchsfrei zu beschreiben. Frühe Versuche, unendlich kleine Intervalle quantitativ zu fassen, waren an Widersprüchen und Teilungsparadoxa gescheitert. ⓘ

Für die heutige Analysis, die mit Grenzwerten und nicht mit Infinitesimalzahlen arbeitet, wird der Begriff üblicherweise nicht verwendet – allerdings existiert seit den 1960er Jahren mit der sogenannten Nichtstandardanalysis eine widerspruchsfreie Infinitesimalrechnung. ⓘ

Geschichte

Die moderne Infinitesimalrechnung wurde im 17. Jahrhundert in Europa von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelt (unabhängig voneinander, mit ersten Veröffentlichungen etwa zur gleichen Zeit), aber Elemente davon tauchten bereits im antiken Griechenland auf, dann in China und im Nahen Osten, und später noch einmal im mittelalterlichen Europa und in Indien. ⓘ

Antike Vorläufer

Ägypten

Berechnungen von Volumen und Fläche, ein Ziel der Integralrechnung, finden sich im ägyptischen Papyrus von Moskau (ca. 1820 v. Chr.), aber die Formeln sind einfache Anweisungen, ohne Hinweis darauf, wie sie ermittelt wurden. ⓘ

Griechenland

Archimedes verwendete die Methode der Erschöpfung, um die Fläche unter einer Parabel zu berechnen. ⓘ

Der antike griechische Mathematiker Eudoxus von Cnidus (ca. 390 - 337 v. Chr.) entwickelte die Erschöpfungsmethode, um die Formeln für das Volumen von Kegeln und Pyramiden zu beweisen, und legte damit den Grundstein für die Integralrechnung. ⓘ

Während der hellenistischen Periode wurde diese Methode von Archimedes weiterentwickelt, der sie mit dem Konzept der Unteilbarkeiten - einem Vorläufer der Infinitesimalrechnung - kombinierte, wodurch er mehrere Probleme lösen konnte, die heute von der Integralrechnung behandelt werden. Zu diesen Problemen gehören zum Beispiel die Berechnung des Schwerpunkts einer massiven Halbkugel, des Schwerpunkts eines Kegelstumpfs eines Kreisparaboloids und der Fläche einer Region, die von einer Parabel und einer ihrer Sekanten begrenzt wird. ⓘ

China

Die Methode der Erschöpfung wurde später in China von Liu Hui im 3. Jahrhundert n. Chr. unabhängig entdeckt, um die Fläche eines Kreises zu bestimmen. Im 5. Jahrhundert n. Chr. entwickelte Zu Gengzhi, der Sohn von Zu Chongzhi, eine Methode zur Bestimmung des Volumens einer Kugel, die später als Cavalieri-Prinzip bezeichnet wurde. ⓘ

Mittelalter

Mittlerer Osten

Alhazen, arabischer Mathematiker und Physiker aus dem 11. ⓘ

Im Nahen Osten leitete Hasan Ibn al-Haytham, latinisiert als Alhazen (ca. 965 - ca. 1040 n. Chr.) eine Formel für die Summe der vierten Potenzen ab. Er benutzte die Ergebnisse, um das durchzuführen, was man heute als Integration dieser Funktion bezeichnen würde, wobei die Formeln für die Summen der integralen Quadrate und der vierten Potenzen es ihm ermöglichten, das Volumen eines Paraboloids zu berechnen. ⓘ

Indien

Im 14. Jahrhundert stellten indische Mathematiker eine nicht strenge Methode vor, die der Differenzierung ähnelt und auf einige trigonometrische Funktionen anwendbar ist. Madhava von Sangamagrama und die Kerala School of Astronomy and Mathematics stellten damit Komponenten der Infinitesimalrechnung auf. Eine vollständige Theorie, die diese Komponenten umfasst, ist heute in der westlichen Welt als Taylor-Reihe oder unendliche Reihenapproximationen bekannt. Sie waren jedoch nicht in der Lage, "viele unterschiedliche Ideen unter den beiden vereinheitlichenden Themen der Ableitung und des Integrals zu vereinen, die Verbindung zwischen den beiden aufzuzeigen und die Infinitesimalrechnung zu dem großen Problemlösungswerkzeug zu machen, das wir heute haben". ⓘ

Moderne

Die Infinitesimalrechnung war die erste Errungenschaft der modernen Mathematik, und es ist schwierig, ihre Bedeutung zu überschätzen. Ich denke, sie definiert eindeutiger als alles andere den Beginn der modernen Mathematik, und das System der mathematischen Analyse, das ihre logische Weiterentwicklung ist, stellt immer noch den größten technischen Fortschritt im exakten Denken dar.

-John von Neumann ⓘ

Johannes Keplers Werk Stereometrica Doliorum bildete die Grundlage für die Integralrechnung. Kepler entwickelte eine Methode zur Berechnung des Flächeninhalts einer Ellipse, indem er die Längen vieler Radien addierte, die von einem Brennpunkt der Ellipse aus gezogen wurden. ⓘ

Ein bedeutendes Werk war eine Abhandlung von Bonaventura Cavalieri, die auf Keplers Methoden zurückgeht. Er vertrat die Ansicht, dass Volumen und Flächen als Summen der Volumina und Flächen von infinitesimal dünnen Querschnitten berechnet werden sollten. Die Ideen ähnelten denen von Archimedes in Die Methode, aber man geht davon aus, dass diese Abhandlung im 13. Jahrhundert verloren ging und erst Anfang des 20. Jahrhunderts wiederentdeckt wurde, so dass Cavalieri sie nicht kannte. Cavalieris Arbeit war nicht sehr angesehen, da seine Methoden zu fehlerhaften Ergebnissen führen konnten und die von ihm eingeführten infinitesimalen Größen zunächst in Verruf gerieten. ⓘ

Das formale Studium der Infinitesimalrechnung führte Cavalieris Infinitesimalrechnung mit der Berechnung endlicher Differenzen zusammen, die etwa zur gleichen Zeit in Europa entwickelt wurde. Pierre de Fermat führte den Begriff der Adäquanz ein, der die Gleichheit bis zu einem infinitesimalen Fehlerterm darstellte, und behauptete, dass er sich von Diophantus inspirieren ließ. Die Kombination wurde von John Wallis, Isaac Barrow und James Gregory erreicht, wobei die beiden letzteren um 1670 Vorläufer des zweiten Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung nachwiesen. ⓘ

Isaac Newton entwickelte die Verwendung der Infinitesimalrechnung in seinen Gesetzen der Bewegung und der Gravitation. ⓘ

Die Produkt- und Kettenregel, die Begriffe der höheren Ableitungen und der Taylor-Reihen sowie der analytischen Funktionen wurden von Isaac Newton in einer eigenwilligen Notation verwendet, die er zur Lösung von Problemen der mathematischen Physik einsetzte. In seinen Werken formulierte Newton seine Ideen so um, dass sie dem mathematischen Idiom seiner Zeit entsprachen, und ersetzte Berechnungen mit Infinitesimalzahlen durch gleichwertige geometrische Argumente, die als unanfechtbar galten. Er nutzte die Methoden der Infinitesimalrechnung, um das Problem der Planetenbewegung, die Form der Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit, die Abplattung der Erde, die Bewegung eines auf einer Zykloide gleitenden Gewichts und viele andere Probleme zu lösen, die er in seiner Principia Mathematica (1687) behandelte. In anderen Arbeiten entwickelte er Reihenausdehnungen für Funktionen, einschließlich gebrochener und irrationaler Potenzen, und es war klar, dass er die Prinzipien der Taylor-Reihe verstand. Er veröffentlichte nicht alle diese Entdeckungen, und zu dieser Zeit galten infinitesimale Methoden noch als anrüchig. ⓘ

Gottfried Wilhelm Leibniz war der erste, der die Regeln der Infinitesimalrechnung klar darlegte. ⓘ

Diese Ideen wurden von Gottfried Wilhelm Leibniz, der ursprünglich von Newton des Plagiats bezichtigt wurde, zu einer echten Infinitesimalrechnung zusammengestellt. Heute gilt er als unabhängiger Erfinder der Infinitesimalrechnung und hat zu ihr beigetragen. Sein Beitrag bestand darin, dass er klare Regeln für die Arbeit mit infinitesimalen Größen aufstellte, die die Berechnung zweiter und höherer Ableitungen ermöglichten und die Produktregel und die Kettenregel in ihren Differential- und Integralformen lieferten. Im Gegensatz zu Newton hat sich Leibniz bei der Wahl seiner Notation sehr viel Mühe gegeben. ⓘ

Heute werden Leibniz und Newton in der Regel beide für die unabhängige Erfindung und Entwicklung der Infinitesimalrechnung verantwortlich gemacht. Newton war der erste, der die Infinitesimalrechnung auf die allgemeine Physik anwendete, und Leibniz entwickelte einen Großteil der heute in der Infinitesimalrechnung verwendeten Notation. Die grundlegenden Erkenntnisse, die sowohl Newton als auch Leibniz lieferten, waren die Gesetze der Differenzierung und Integration, der zweiten und höheren Ableitungen sowie der Begriff der approximativen Polynomreihe. ⓘ

Als Newton und Leibniz ihre Ergebnisse zum ersten Mal veröffentlichten, gab es eine große Kontroverse darüber, welchem Mathematiker (und damit welchem Land) die Anerkennung gebührt. Newton leitete seine Ergebnisse zuerst ab (die später in seiner Methode der Flüsse veröffentlicht wurden), aber Leibniz veröffentlichte seine "Nova Methodus pro Maximis et Minimis" zuerst. Newton behauptete, Leibniz habe Ideen aus seinen unveröffentlichten Notizen gestohlen, die Newton mit einigen Mitgliedern der Royal Society geteilt hatte. Diese Kontroverse trennte viele Jahre lang die englischsprachigen Mathematiker von den kontinentaleuropäischen Mathematikern, zum Nachteil der englischen Mathematik. Eine sorgfältige Untersuchung der Arbeiten von Leibniz und Newton zeigt, dass sie unabhängig voneinander zu ihren Ergebnissen kamen, wobei Leibniz zuerst mit der Integration und Newton mit der Differenzierung begann. Leibniz war es jedoch, der der neuen Disziplin ihren Namen gab. Newton nannte seine Infinitesimalrechnung "the science of fluxions", ein Begriff, der in englischen Schulen bis ins 19. Die erste vollständige Abhandlung über die Infinitesimalrechnung, die in englischer Sprache verfasst wurde und die Leibnizsche Notation verwendete, wurde erst 1815 veröffentlicht. ⓘ

Seit der Zeit von Leibniz und Newton haben viele Mathematiker zur Weiterentwicklung der Infinitesimalrechnung beigetragen. Eines der ersten und vollständigsten Werke über Infinitesimal- und Integralrechnung wurde 1748 von Maria Gaetana Agnesi geschrieben. ⓘ

Maria Gaetana Agnesi ⓘ

Grundlagen

In der Infinitesimalrechnung bezieht sich der Begriff Grundlagen auf die rigorose Entwicklung des Themas aus Axiomen und Definitionen. In der frühen Infinitesimalrechnung galt die Verwendung infinitesimaler Größen als unrigorös und wurde von einer Reihe von Autoren, vor allem Michel Rolle und Bishop Berkeley, heftig kritisiert. Berkeley beschrieb in seinem Buch The Analyst (1734) Infinitesimale als die Geister verstorbener Größen. Die Erarbeitung einer strengen Grundlage für die Infinitesimalrechnung beschäftigte die Mathematiker einen Großteil des Jahrhunderts nach Newton und Leibniz und ist in gewissem Maße auch heute noch ein aktives Forschungsgebiet. ⓘ

Mehrere Mathematiker, darunter Maclaurin, versuchten zu beweisen, dass die Verwendung von Infinitesimalen sinnvoll ist, aber erst 150 Jahre später wurde dank der Arbeiten von Cauchy und Weierstraß ein Weg gefunden, um bloße "Vorstellungen" von unendlich kleinen Mengen zu vermeiden. Die Grundlagen der Differential- und Integralrechnung waren gelegt. In Cauchys Cours d'Analyse finden wir eine breite Palette grundlegender Ansätze, darunter eine Definition der Kontinuität in Form von Infinitesimalzahlen und einen (etwas ungenauen) Prototyp einer (ε, δ)-Definition des Grenzwerts in der Definition der Differenzierung. In seiner Arbeit formalisierte Weierstraß den Begriff des Grenzwerts und eliminierte die Infinitesimale (obwohl seine Definition tatsächlich nilsquare-Infinitesimale validieren kann). Nach der Arbeit von Weierstraß wurde es schließlich üblich, die Infinitesimalrechnung auf Grenzwerte statt auf infinitesimale Größen zu stützen, obwohl das Thema gelegentlich immer noch "Infinitesimalrechnung" genannt wird. Bernhard Riemann nutzte diese Ideen, um eine genaue Definition des Integrals zu geben. In dieser Zeit wurden auch die Ideen der Infinitesimalrechnung mit der Entwicklung der komplexen Analysis auf die komplexe Ebene übertragen. ⓘ

In der modernen Mathematik sind die Grundlagen der Infinitesimalrechnung im Bereich der realen Analysis enthalten, die vollständige Definitionen und Beweise für die Theoreme der Infinitesimalrechnung enthält. Auch die Reichweite der Infinitesimalrechnung wurde stark erweitert. Henri Lebesgue erfand die Maßtheorie, die sich auf frühere Entwicklungen von Émile Borel stützt, und benutzte sie, um Integrale von allen außer den pathologischsten Funktionen zu definieren. Laurent Schwartz führte Verteilungen ein, mit denen die Ableitung jeder beliebigen Funktion bestimmt werden kann. ⓘ

Die Grenzwerte sind nicht der einzige rigorose Ansatz für die Grundlagen der Infinitesimalrechnung. Eine andere Möglichkeit ist die Verwendung der Nicht-Standard-Analyse von Abraham Robinson. Robinsons Ansatz, der in den 1960er Jahren entwickelt wurde, verwendet technische Hilfsmittel aus der mathematischen Logik, um das reelle Zahlensystem um infinitesimale und unendliche Zahlen zu erweitern, wie in der ursprünglichen Konzeption von Newton und Leibniz. Die sich daraus ergebenden Zahlen werden als hyperreale Zahlen bezeichnet und können für eine Leibniz-ähnliche Entwicklung der üblichen Regeln der Infinitesimalrechnung verwendet werden. Es gibt auch die glatte Infinitesimalrechnung, die sich von der Nicht-Standardrechnung dadurch unterscheidet, dass sie die Vernachlässigung von Infinitesimalzahlen höherer Potenz bei Ableitungen vorschreibt. ⓘ

Bedeutung

Während viele Ideen der Infinitesimalrechnung bereits in Griechenland, China, Indien, Irak, Persien und Japan entwickelt wurden, begann die Anwendung der Infinitesimalrechnung in Europa im 17. Jahrhundert, als Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz auf der Arbeit früherer Mathematiker aufbauten und die Grundprinzipien der Infinitesimalrechnung einführten. Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung basierte auf früheren Konzepten der Momentanbewegung und der Fläche unter Kurven. ⓘ

Zu den Anwendungen der Differentialrechnung gehören Berechnungen von Geschwindigkeit und Beschleunigung, der Steigung einer Kurve und der Optimierung. Zu den Anwendungen der Integralrechnung gehören Berechnungen von Fläche, Volumen, Bogenlänge, Massenschwerpunkt, Arbeit und Druck. Zu den fortgeschritteneren Anwendungen gehören Potenzreihen und Fourier-Reihen. ⓘ

Die Infinitesimalrechnung wird auch verwendet, um ein genaueres Verständnis der Natur von Raum, Zeit und Bewegung zu gewinnen. Jahrhundertelang haben sich Mathematiker und Philosophen mit Paradoxien auseinandergesetzt, bei denen es um die Division durch Null oder um Summen von unendlich vielen Zahlen geht. Diese Fragen stellen sich bei der Untersuchung von Bewegung und Raum. Der antike griechische Philosoph Zenon von Elea gab mehrere berühmte Beispiele für solche Paradoxa. Die Infinitesimalrechnung stellt Werkzeuge zur Verfügung, insbesondere den Grenzwert und die unendliche Reihe, mit denen sich diese Paradoxa lösen lassen. ⓘ

Grundsätze

Grenzwerte und Infinitesimalzahlen

Die Kalkulation wird in der Regel durch die Arbeit mit sehr kleinen Mengen entwickelt. Historisch gesehen war die erste Methode, dies zu tun, die Verwendung von Infinitesimalen. Dabei handelt es sich um Objekte, die wie reelle Zahlen behandelt werden können, aber in gewissem Sinne "unendlich klein" sind. Eine infinitesimale Zahl kann beispielsweise größer als 0 sein, aber kleiner als eine beliebige Zahl in der Folge 1, 1/2, 1/3, ... und damit kleiner als jede positive reelle Zahl. Unter diesem Gesichtspunkt ist die Infinitesimalrechnung eine Sammlung von Techniken zum Umgang mit Infinitesimalzahlen. Die Symbole $dx$ und $dy$ wurden als infinitesimal betrachtet, und die Ableitung $dy/dx$ war einfach ihr Verhältnis. ⓘ

Der infinitesimale Ansatz geriet im 19. Jahrhundert in Vergessenheit, weil es schwierig war, den Begriff des Infinitesimalen präzise zu definieren. Im späten 19. Jahrhundert wurden Infinitesimale in der Wissenschaft durch den Epsilon-Delta-Ansatz für Grenzwerte ersetzt. Grenzwerte beschreiben das Verhalten einer Funktion bei einer bestimmten Eingabe in Bezug auf ihre Werte bei benachbarten Eingaben. Sie erfassen das Verhalten auf kleiner Skala unter Verwendung der dem reellen Zahlensystem innewohnenden Struktur (als metrischer Raum mit der Eigenschaft der kleinsten oberen Grenze). Bei dieser Behandlung ist die Infinitesimalrechnung eine Sammlung von Techniken zur Manipulation bestimmter Grenzen. Infinitesimale werden durch Folgen kleinerer und kleinerer Zahlen ersetzt, und das unendlich kleine Verhalten einer Funktion wird durch das Grenzwertverhalten für diese Folgen ermittelt. Man glaubte, dass Grenzwerte eine strengere Grundlage für die Infinitesimalrechnung bieten würden, und aus diesem Grund wurden sie im 20. Das Infinitesimalkonzept wurde jedoch im 20. Jahrhundert mit der Einführung der Nicht-Standard-Analyse und der glatten Infinitesimalanalyse wiederbelebt, die solide Grundlagen für die Handhabung von Infinitesimalzahlen lieferten. ⓘ

Differentialrechnung

Tangenslinie bei (x₀, f(x₀)). Die Ableitung f′(x) einer Kurve in einem Punkt ist die Steigung (Anstieg über Verlauf) der Linie, die diese Kurve in diesem Punkt tangiert. ⓘ

Die Differenzialrechnung ist die Lehre von der Definition, den Eigenschaften und den Anwendungen der Ableitung einer Funktion. Der Prozess der Ermittlung der Ableitung wird als Differenzierung bezeichnet. Bei einer Funktion und einem Punkt in der Domäne ist die Ableitung an diesem Punkt eine Möglichkeit, das kleinräumige Verhalten der Funktion in der Nähe dieses Punktes zu kodieren. Indem man die Ableitung einer Funktion an jedem Punkt ihres Bereichs findet, ist es möglich, eine neue Funktion zu erzeugen, die Ableitungsfunktion oder einfach die Ableitung der ursprünglichen Funktion genannt wird. Formal gesehen ist die Ableitung ein linearer Operator, der eine Funktion als Eingabe annimmt und eine zweite Funktion als Ausgabe erzeugt. Dies ist abstrakter als viele der in der elementaren Algebra untersuchten Prozesse, bei denen Funktionen in der Regel eine Zahl eingeben und eine andere Zahl ausgeben. Wenn zum Beispiel die Verdopplungsfunktion die Eingabe drei erhält, gibt sie sechs aus, und wenn die Quadrierfunktion die Eingabe drei erhält, gibt sie neun aus. Die Ableitung kann jedoch die Quadrierungsfunktion als Eingabe verwenden. Das bedeutet, dass die Ableitung alle Informationen der Quadrierungsfunktion aufnimmt - z. B. dass zwei zu vier, drei zu neun, vier zu sechzehn usw. wird - und diese Informationen zur Erzeugung einer anderen Funktion verwendet. Die Funktion, die durch Differenzierung der Quadrierungsfunktion entsteht, ist die Verdopplungsfunktion. ⓘ

Expliziter ausgedrückt kann die "Verdopplungsfunktion" mit g(x) = 2x und die "Quadrierungsfunktion" mit f(x) = x² bezeichnet werden. Die "Ableitung" nimmt nun die Funktion f(x), die durch den Ausdruck "x²" definiert ist, als Eingabe, d. h. alle Informationen - wie z. B., dass zwei nach vier, drei nach neun, vier nach sechzehn usw. geschickt wird - und verwendet diese Informationen, um eine andere Funktion, die Funktion g(x) = 2x, auszugeben, wie sich zeigen wird. ⓘ

In der Lagrangeschen Notation ist das Symbol für eine Ableitung ein Apostroph-ähnliches Zeichen, das als Primzahl bezeichnet wird. So wird die Ableitung einer Funktion namens f mit f′ bezeichnet, ausgesprochen als "f prime" oder "f Strich". Wenn zum Beispiel f(x) = x² die Quadrierungsfunktion ist, dann ist f′(x) = 2x ihre Ableitung (die Verdopplungsfunktion g von oben). ⓘ

Wenn die Eingabe der Funktion die Zeit darstellt, dann stellt die Ableitung die Veränderung in Bezug auf die Zeit dar. Wenn zum Beispiel f eine Funktion ist, die eine Zeit als Eingabe nimmt und die Position eines Balls zu dieser Zeit als Ausgabe liefert, dann ist die Ableitung von f die Veränderung der Position in der Zeit, d. h. die Geschwindigkeit des Balls. ⓘ

Wenn eine Funktion linear ist (d. h. wenn der Graph der Funktion eine Gerade ist), dann kann die Funktion als y = mx + b geschrieben werden, wobei x die unabhängige Variable, y die abhängige Variable und b der y-Achsenabschnitt ist:

$m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.$ ⓘ

Dies ergibt einen genauen Wert für die Steigung einer Geraden. Wenn der Graph der Funktion jedoch keine Gerade ist, dann variiert die Änderung von y geteilt durch die Änderung von x. Ableitungen geben dem Begriff der Änderung des Outputs in Bezug auf die Änderung des Inputs eine genaue Bedeutung. Um konkret zu werden, sei f eine Funktion und ein Punkt a im Bereich von f. (a, f(a)) ist ein Punkt auf dem Graphen der Funktion. Wenn h eine Zahl nahe Null ist, dann ist a + h eine Zahl nahe a. Daher liegt (a + h, f(a + h)) nahe an (a, f(a)). Die Steigung zwischen diesen beiden Punkten ist ⓘ

$m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.$ ⓘ

Dieser Ausdruck wird als Differenzenquotient bezeichnet. Eine Linie durch zwei Punkte auf einer Kurve wird als Sekantenlinie bezeichnet; m ist also die Steigung der Sekantenlinie zwischen (a, f(a)) und (a + h, f(a + h)). Die Sekantenlinie ist nur eine Annäherung an das Verhalten der Funktion im Punkt a, da sie nicht berücksichtigt, was zwischen a und a + h geschieht. Es ist nicht möglich, das Verhalten bei a zu ermitteln, indem man h auf Null setzt, da dies eine Division durch Null erfordern würde, die undefiniert ist. Die Ableitung wird definiert, indem man den Grenzwert nimmt, wenn h gegen Null tendiert, was bedeutet, dass sie das Verhalten von f für alle kleinen Werte von h berücksichtigt und einen konsistenten Wert für den Fall extrahiert, dass h gleich Null ist:

$\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.$ ⓘ

Geometrisch gesehen ist die Ableitung die Steigung der Tangente an den Graphen von f bei a. Die Tangente ist ein Grenzwert von Sekantenlinien, so wie die Ableitung ein Grenzwert von Differenzenquotienten ist. Aus diesem Grund wird die Ableitung manchmal auch als Steigung der Funktion f bezeichnet. ⓘ

Ein spezielles Beispiel ist die Ableitung der Quadrierungsfunktion nach dem Eingang 3. f(x) = x² sei die Quadrierungsfunktion. ⓘ

Die Ableitung f′(x) einer Kurve in einem Punkt ist die Steigung der Linie, die diese Kurve in diesem Punkt tangiert. Diese Steigung wird bestimmt, indem man den Grenzwert der Steigungen von Sekantenlinien betrachtet. In diesem Fall ist die Funktion (in rot gezeichnet) f(x) = x³ - x. Die Tangente (in grün), die durch den Punkt (-3/2, -15/8) verläuft, hat eine Steigung von 23/4. Beachten Sie, dass die vertikalen und horizontalen Skalen in diesem Bild unterschiedlich sind. ⓘ

${\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}$ ⓘ

Die Steigung der Tangente an die Quadraturfunktion im Punkt (3, 9) ist 6, d.h. sie steigt sechsmal so schnell wie sie nach rechts steigt. Der soeben beschriebene Grenzwertprozess kann für jeden beliebigen Punkt im Bereich der Quadraturfunktion durchgeführt werden. Damit ist die Ableitungsfunktion der Quadraturfunktion oder kurz die Ableitung der Quadraturfunktion definiert. Eine ähnliche Berechnung wie oben zeigt, dass die Ableitung der Quadratzahlfunktion die Verdopplungsfunktion ist. ⓘ

Leibnizsche Notation

Eine gängige, von Leibniz eingeführte Notation für die Ableitung im obigen Beispiel lautet

${\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}$

In einem auf Grenzwerten basierenden Ansatz ist das Symbol dy/dx nicht als Quotient zweier Zahlen zu interpretieren, sondern als Abkürzung für den oben berechneten Grenzwert. Leibniz verstand es jedoch als Quotient zweier infinitesimal kleiner Zahlen, wobei dy die infinitesimal kleine Änderung von y ist, die durch eine infinitesimal kleine Änderung dx von x verursacht wird. Wir können uns d/dx auch als Differenzierungsoperator vorstellen, der eine Funktion als Eingabe annimmt und eine andere Funktion, die Ableitung, als Ausgabe liefert. Ein Beispiel:

${\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.$ ⓘ

In dieser Anwendung wird dx im Nenner als "in Bezug auf x" gelesen. Ein weiteres Beispiel für eine korrekte Schreibweise könnte sein:

${\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+2t+4\\{d \over dt}g(t)&=2t+2\end{aligned}}$ ⓘ

Auch wenn die Infinitesimalrechnung mit Hilfe von Grenzwerten entwickelt wird, ist es üblich, Symbole wie dx und dy so zu verwenden, als ob es sich um reelle Zahlen handelte; obwohl es möglich ist, solche Manipulationen zu vermeiden, sind sie bei der Darstellung von Operationen wie der Gesamtableitung manchmal notationstechnisch praktisch. ⓘ

Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich mit den Definitionen, Eigenschaften und Anwendungen von zwei verwandten Konzepten, dem unbestimmten Integral und dem bestimmten Integral. Der Prozess der Ermittlung des Wertes eines Integrals wird als Integration bezeichnet. In der Fachsprache untersucht die Integralrechnung zwei verwandte lineare Operatoren. ⓘ

Das unbestimmte Integral, auch als Antiderivativum bezeichnet, ist die Umkehrung der Ableitung. F ist ein unbestimmtes Integral von f, wenn f eine Ableitung von F ist. (Die Verwendung von Klein- und Großbuchstaben für eine Funktion und ihr unbestimmtes Integral ist in der Infinitesimalrechnung üblich). ⓘ

Das definite Integral gibt eine Funktion ein und gibt eine Zahl aus, die die algebraische Summe der Flächen zwischen dem Graphen der Eingabe und der x-Achse darstellt. Die technische Definition des bestimmten Integrals beinhaltet den Grenzwert einer Summe von Flächen von Rechtecken, genannt Riemannsche Summe. ⓘ

Ein motivierendes Beispiel ist die in einer bestimmten Zeit zurückgelegte Strecke. Wenn die Geschwindigkeit konstant ist, genügt die Multiplikation:

$\mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time}$

Ändert sich die Geschwindigkeit jedoch, ist eine leistungsfähigere Methode zur Ermittlung der Entfernung erforderlich. Eine solche Methode besteht darin, die zurückgelegte Strecke zu approximieren, indem man die Zeit in viele kurze Zeitintervalle aufteilt, dann die in jedem Intervall verstrichene Zeit mit einer der Geschwindigkeiten in diesem Intervall multipliziert und dann die Summe (eine Riemannsche Summe) der in jedem Intervall zurückgelegten ungefähren Strecke bildet. Der Grundgedanke ist, dass die Geschwindigkeit mehr oder weniger gleich bleibt, wenn nur eine kurze Zeitspanne verstreicht. Eine Riemannsche Summe liefert jedoch nur eine Annäherung an die zurückgelegte Strecke. Wir müssen den Grenzwert aller Riemann-Summen bilden, um die genaue zurückgelegte Strecke zu ermitteln. ⓘ

Konstante Geschwindigkeit ⓘ

Integration kann man sich als Messung der Fläche unter einer Kurve, definiert durch f(x), zwischen zwei Punkten (hier a und b) vorstellen. ⓘ

Wenn die Geschwindigkeit konstant ist, kann die Gesamtstrecke, die in einem bestimmten Zeitintervall zurückgelegt wurde, durch Multiplikation von Geschwindigkeit und Zeit berechnet werden. Wenn man zum Beispiel 3 Stunden lang mit einer konstanten Geschwindigkeit von 50 mph fährt, ergibt sich eine Gesamtstrecke von 150 Meilen. Im Diagramm links bilden diese beiden Werte bei konstanter Geschwindigkeit und Zeit ein Rechteck, dessen Höhe der Geschwindigkeit und dessen Breite der verstrichenen Zeit entspricht. Das Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit ergibt also auch die rechteckige Fläche unter der (konstanten) Geschwindigkeitskurve. Dieser Zusammenhang zwischen der Fläche unter einer Kurve und der zurückgelegten Strecke lässt sich auf jeden unregelmäßig geformten Bereich mit einer schwankenden Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitraum übertragen. Wenn f(x) im Diagramm auf der rechten Seite die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit darstellt, ist die zurückgelegte Strecke (zwischen den durch a und b dargestellten Zeiten) die Fläche des schattierten Bereichs s. ⓘ

Eine intuitive Methode zur Annäherung an diese Fläche besteht darin, die Strecke zwischen a und b in mehrere gleiche Abschnitte zu unterteilen, wobei die Länge jedes Abschnitts durch das Symbol Δx dargestellt wird. Für jedes kleine Segment können wir einen Wert der Funktion f(x) wählen. Der Flächeninhalt des Rechtecks mit der Basis Δx und der Höhe h ergibt die in diesem Abschnitt zurückgelegte Strecke (Zeit Δx multipliziert mit der Geschwindigkeit h). Zu jedem Segment gehört der Mittelwert der darüber liegenden Funktion f(x) = h. Die Summe aller dieser Rechtecke ergibt eine Annäherung an die Fläche zwischen der Achse und der Kurve, die eine Annäherung an die insgesamt zurückgelegte Strecke darstellt. Ein kleinerer Wert für Δx ergibt mehr Rechtecke und in den meisten Fällen eine bessere Annäherung, aber für eine genaue Antwort müssen wir einen Grenzwert nehmen, wenn Δx gegen Null geht. ⓘ

Das Symbol der Integration ist $\int$ein langgestrecktes S (das S steht für "Summe"). Das definite Integral wird geschrieben als:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$ ⓘ

Sie lautet: "das Integral von a nach b von f-von-x in Bezug auf x". Die Leibniz-Schreibweise dx soll andeuten, dass die Fläche unter der Kurve in eine unendliche Anzahl von Rechtecken unterteilt wird, so dass ihre Breite Δx das unendlich kleine dx wird. In einer Formulierung der Infinitesimalrechnung, die auf Grenzwerten basiert, wird die Notation ⓘ

$\int _{a}^{b}\cdots \,dx$ ⓘ

als Operator zu verstehen, der eine Funktion als Eingabe und eine Zahl, den Bereich, als Ausgabe erhält. Das abschließende Differential, dx, ist keine Zahl und wird nicht mit f(x) multipliziert, obwohl es als Erinnerung an die Δx-Grenzwertdefinition bei symbolischen Manipulationen des Integrals als solche behandelt werden kann. Formal gibt das Differential die Variable an, über die die Funktion integriert wird, und dient als schließende Klammer für den Integrationsoperator. ⓘ

Das unbestimmte Integral oder Antiderivativum wird geschrieben:

$\int f(x)\,dx.$ ⓘ

Funktionen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden, haben dieselbe Ableitung, und es kann gezeigt werden, dass die Gegenableitung einer gegebenen Funktion eigentlich eine Familie von Funktionen ist, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden. Da die Ableitung der Funktion y = x² + C, wobei C eine beliebige Konstante ist, y′ = 2x ist, ist die Antiderivative dieser Funktion gegeben durch:

$\int 2x\,dx=x^{2}+C.$

Die unbestimmte Konstante C, die im unbestimmten Integral oder der Antiderivationsfunktion enthalten ist, wird als Integrationskonstante bezeichnet. ⓘ

Fundamentaler Lehrsatz

Der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung besagt, dass Differenzierung und Integration inverse Operationen sind. Genauer gesagt, setzt er die Werte von Antiderivaten mit bestimmten Integralen in Beziehung. Da es in der Regel einfacher ist, ein Antiderivativ zu berechnen als die Definition eines bestimmten Integrals anzuwenden, bietet der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung eine praktische Möglichkeit, bestimmte Integrale zu berechnen. Er kann auch als präzise Aussage der Tatsache interpretiert werden, dass Differenzierung die Umkehrung der Integration ist. ⓘ

Der Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung besagt: Wenn eine Funktion f auf dem Intervall [a, b] stetig ist und wenn F eine Funktion ist, deren Ableitung f auf dem Intervall (a, b) ist, dann ⓘ

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$ ⓘ

Außerdem gilt für jedes x im Intervall (a, b), ⓘ

${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).$ ⓘ

Diese Erkenntnis, die sowohl von Newton als auch von Leibniz gemacht wurde, war der Schlüssel zur Verbreitung analytischer Ergebnisse, nachdem ihre Arbeit bekannt wurde. (Inwieweit Newton und Leibniz von ihren unmittelbaren Vorgängern beeinflusst wurden, und insbesondere, was Leibniz von der Arbeit von Isaac Barrow gelernt haben könnte, ist aufgrund des Prioritätsstreits zwischen ihnen schwer zu bestimmen). Der Fundamentalsatz bietet eine algebraische Methode, um viele bestimmte Integrale zu berechnen - ohne Grenzwertverfahren -, indem Formeln für Antiderivate gefunden werden. Er ist auch eine prototypische Lösung einer Differentialgleichung. Differentialgleichungen setzen eine unbekannte Funktion mit ihren Ableitungen in Beziehung und sind in den Wissenschaften allgegenwärtig. ⓘ

Anwendungen

Die logarithmische Spirale der Nautilus-Schale ist ein klassisches Bild, um das Wachstum und die Veränderung im Zusammenhang mit der Infinitesimalrechnung darzustellen. ⓘ

Die Infinitesimalrechnung wird in allen Bereichen der Naturwissenschaften, der Versicherungsmathematik, der Informatik, der Statistik, der Ingenieurwissenschaften, der Wirtschaftswissenschaften, der Medizin, der Demografie und in anderen Bereichen eingesetzt, in denen ein Problem mathematisch modelliert werden kann und eine optimale Lösung gewünscht wird. Sie ermöglicht es, von (nicht konstanten) Veränderungsraten zur Gesamtveränderung überzugehen oder umgekehrt, und oft kennen wir bei der Untersuchung eines Problems das eine und versuchen, das andere zu finden. Kalkül kann in Verbindung mit anderen mathematischen Disziplinen verwendet werden. So kann sie beispielsweise zusammen mit der linearen Algebra verwendet werden, um die beste lineare Annäherung für eine Reihe von Punkten in einem Bereich zu finden. Oder sie kann in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet werden, um den Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen anhand einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zu bestimmen. In der analytischen Geometrie, dem Studium der Graphen von Funktionen, wird die Infinitesimalrechnung verwendet, um Hoch- und Tiefpunkte (Maxima und Minima), Steigungen, Konkavitäten und Wendepunkte zu finden. Die Infinitesimalrechnung wird auch verwendet, um Näherungslösungen für Gleichungen zu finden; in der Praxis ist sie die Standardmethode zur Lösung von Differentialgleichungen und zur Wurzelbildung in den meisten Anwendungen. Beispiele hierfür sind Methoden wie die Newton-Methode, die Festpunktiteration und die lineare Approximation. Beispielsweise verwenden Raumfahrzeuge eine Variation der Euler-Methode, um gekrümmte Bahnen in der Schwerelosigkeit zu approximieren. ⓘ

In der Physik wird vor allem die Infinitesimalrechnung verwendet; alle Konzepte der klassischen Mechanik und des Elektromagnetismus sind durch die Infinitesimalrechnung miteinander verbunden. Die Masse eines Objekts mit bekannter Dichte, das Trägheitsmoment von Objekten und die potenziellen Energien aufgrund von Gravitations- und elektromagnetischen Kräften können alle mit Hilfe der Infinitesimalrechnung ermittelt werden. Ein Beispiel für die Anwendung der Infinitesimalrechnung in der Mechanik ist das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz, das besagt, dass die Ableitung des Impulses eines Objekts nach der Zeit gleich der auf das Objekt wirkenden Nettokraft ist. Alternativ kann das zweite Newtonsche Gesetz auch so ausgedrückt werden, dass die Nettokraft gleich der Masse des Objekts mal seiner Beschleunigung ist, was die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit und somit die zweite zeitliche Ableitung der räumlichen Position ist. Wenn wir wissen, wie ein Objekt beschleunigt wird, können wir mit Hilfe der Infinitesimalrechnung seinen Weg ableiten. ⓘ

Maxwells Theorie des Elektromagnetismus und Einsteins allgemeine Relativitätstheorie werden ebenfalls in der Sprache der Differentialrechnung ausgedrückt. Auch die Chemie nutzt die Infinitesimalrechnung zur Bestimmung von Reaktionsgeschwindigkeiten und zur Untersuchung des radioaktiven Zerfalls. In der Biologie beginnt die Populationsdynamik mit den Reproduktions- und Sterberaten, um Bevölkerungsänderungen zu modellieren. ⓘ

Der Satz von Green, der die Beziehung zwischen einem Geradenintegral um eine einfache geschlossene Kurve C und einem doppelten Integral über die von C begrenzte ebene Region D angibt, wird in einem als Planimeter bekannten Instrument angewendet, das zur Berechnung der Fläche einer ebenen Oberfläche auf einer Zeichnung verwendet wird. So lässt sich beispielsweise die Fläche eines unregelmäßig geformten Blumenbeets oder eines Swimmingpools bei der Planung eines Grundstücks berechnen. ⓘ

In der Medizin kann die Infinitesimalrechnung verwendet werden, um den optimalen Verzweigungswinkel eines Blutgefäßes zu finden, um den Durchfluss zu maximieren. Mit Hilfe der Infinitesimalrechnung lässt sich ermitteln, wie schnell ein Medikament aus dem Körper ausgeschieden wird oder wie schnell ein Krebstumor wächst. ⓘ

In den Wirtschaftswissenschaften ermöglicht die Infinitesimalrechnung die Bestimmung des maximalen Gewinns, indem sie eine Möglichkeit bietet, sowohl die Grenzkosten als auch die Grenzerlöse einfach zu berechnen. ⓘ

Variationen

Im Laufe der Jahre wurden viele Umformulierungen der Infinitesimalrechnung für unterschiedliche Zwecke untersucht. ⓘ

Nicht-Standardkalkül

Die ungenauen Berechnungen mit Infinitesimalzahlen wurden ab den 1870er Jahren weitgehend durch die strenge (ε, δ)-Definition des Grenzwerts ersetzt. In der Zwischenzeit blieben die Berechnungen mit Infinitesimalzahlen bestehen und führten oft zu korrekten Ergebnissen. Dies veranlasste Abraham Robinson zu der Frage, ob es möglich sei, ein Zahlensystem mit infinitesimalen Größen zu entwickeln, für das die Theoreme der Infinitesimalrechnung weiterhin gültig waren. Aufbauend auf den Arbeiten von Edwin Hewitt und Jerzy Łoś gelang es ihm 1960, die Nicht-Standard-Analyse zu entwickeln. Die Theorie der Nicht-Standard-Analyse ist reichhaltig genug, um in vielen Zweigen der Mathematik Anwendung zu finden. Daher tragen Bücher und Artikel, die sich ausschließlich mit den traditionellen Sätzen der Infinitesimalrechnung befassen, oft den Titel Nicht-Standardrechnung. ⓘ

Glatte Infinitesimalrechnung

Dies ist eine weitere Neuformulierung des Kalküls in Form von Infinitesimalen. Basierend auf den Ideen von F. W. Lawvere und unter Verwendung der Methoden der Kategorientheorie werden alle Funktionen als kontinuierlich betrachtet und können nicht in Form von diskreten Einheiten ausgedrückt werden. Ein Aspekt dieser Formulierung ist, dass das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte in dieser Formulierung nicht gilt. ⓘ

Konstruktive Analyse

Die konstruktive Mathematik ist ein Zweig der Mathematik, der darauf besteht, dass Beweise für die Existenz einer Zahl, einer Funktion oder eines anderen mathematischen Objekts eine Konstruktion des Objekts enthalten sollten. Als solche lehnt die konstruktive Mathematik auch das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte ab. Umformulierungen der Infinitesimalrechnung in einem konstruktiven Rahmen sind im Allgemeinen Teil des Themas der konstruktiven Analyse. ⓘ

Infinitesimalrechnung heute

Inspiriert durch Gödels Vollständigkeitssatz und ein daraus folgendes „Nichtstandard-Modell der natürlichen Zahlen“, das unendlich große „natürliche“ Zahlen kennt, entwickelte Abraham Robinson in den frühen 1960er Jahren eine widerspruchsfreie Infinitesimalrechnung, die heute meist als Nichtstandardanalysis bezeichnet wird und die grundsätzlich auf Leibniz’ Ideen aufbaut. ⓘ

Heute wird die Infinitesimale Analysis in Teilen der angewandten Mathematik, Stochastik, Physik und Ökonomie verwendet, etwa um mathematische Modelle zu konstruieren, die mit extremen Größenunterschieden arbeiten können. Ein Beispiel für eine (oft intuitive) Verwendung ist in der Atomphysik die Vereinbarung, dass Teilchen „unendlich weit“ voneinander entfernt seien und sich daher „fast nicht“ beeinflussen. Ein anderes intuitiv richtiges Beispiel aus der Stochastik ist die von Schülern und Studenten immer wieder gemachte Feststellung, dass manchen Ereignissen eine „unendlich kleine“, aber echt positive Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden sollte. Entsprechende Ereignisräume können mit Hilfe von Infinitesimalen modelliert werden. ⓘ