Schallgeschwindigkeit

Eine F/A-18 Hornet mit seltener lokaler Kondensation in feuchter Luft, während sie sich nahe der Schallgeschwindigkeit bewegt ⓘ

Schallmessungen ⓘ
Charakteristisch	Symbole
Schalldruck	p, SPL,LPA
Partikel-Geschwindigkeit	v, SVL
Partikelverschiebung	δ
Schallintensität	I, SIL
Schallleistung	P, SWL, LWA
Schallenergie	W
Schallenergiedichte	w
Schallexposition	E, SEL
Akustische Impedanz	Z
Tonfrequenz	AF
Übertragungsverlust	TL

Die Schallgeschwindigkeit ist die Strecke, die eine Schallwelle pro Zeiteinheit zurücklegt, während sie sich in einem elastischen Medium ausbreitet. Bei 20 °C (68 °F) beträgt die Schallgeschwindigkeit in Luft etwa 343 Meter pro Sekunde (1.125 ft/s; 1.235 km/h; 767 mph; 667 kn) oder einen Kilometer in 2,9 s bzw. eine Meile in 4,7 s. Sie hängt stark von der Temperatur und dem Medium ab, durch das sich eine Schallwelle ausbreitet. Bei 0 °C (32 °F) beträgt die Schallgeschwindigkeit etwa 331 m/s (1.086 ft/s; 1.192 km/h; 740 mph; 643 kn). ⓘ

Die Schallgeschwindigkeit in einem idealen Gas hängt nur von seiner Temperatur und Zusammensetzung ab. In gewöhnlicher Luft ist die Geschwindigkeit nur schwach von der Frequenz und dem Druck abhängig und weicht leicht vom idealen Verhalten ab. ⓘ

In der Umgangssprache bezeichnet die Schallgeschwindigkeit die Geschwindigkeit der Schallwellen in der Luft. Die Schallgeschwindigkeit variiert jedoch von Stoff zu Stoff: In der Regel breitet sich der Schall in Gasen am langsamsten, in Flüssigkeiten am schnellsten und in Festkörpern am schnellsten aus. Während sich der Schall beispielsweise in Luft mit 343 m/s ausbreitet, ist er in Wasser 1.481 m/s schnell (fast 4,3 Mal so schnell) und in Eisen 5.120 m/s (fast 15 Mal so schnell). In einem außergewöhnlich steifen Material wie Diamant breitet sich der Schall mit 12.000 Metern pro Sekunde aus - etwa 35 Mal so schnell wie in der Luft und ungefähr so schnell wie unter normalen Bedingungen. ⓘ

Schallwellen in Festkörpern bestehen aus Kompressionswellen (genau wie in Gasen und Flüssigkeiten) und einer anderen Art von Schallwellen, den Scherwellen, die nur in Festkörpern auftreten. Scherwellen in Festkörpern bewegen sich in der Regel mit anderen Geschwindigkeiten als Kompressionswellen, wie in der Seismologie zu sehen ist. Die Geschwindigkeit von Kompressionswellen in Festkörpern wird durch die Kompressibilität, den Schermodul und die Dichte des Mediums bestimmt. Die Geschwindigkeit von Scherwellen wird nur durch den Schermodul und die Dichte des festen Materials bestimmt. ⓘ

In der Fluiddynamik wird die Schallgeschwindigkeit in einem fluiden Medium (Gas oder Flüssigkeit) als relatives Maß für die Geschwindigkeit eines Objekts verwendet, das sich durch das Medium bewegt. Das Verhältnis zwischen der Geschwindigkeit eines Objekts und der Schallgeschwindigkeit (im selben Medium) wird als Mach-Zahl des Objekts bezeichnet. Objekte, die sich mit einer höheren Geschwindigkeit als der Schallgeschwindigkeit (Mach1) bewegen, werden als Überschallgeschwindigkeit bezeichnet. ⓘ

Schallgrößen ⓘ
Schallauslenkung $\xi$ Schalldruck $p$ Schalldruckpegel $L_{p}$ Schallenergiedichte $E$ Schallenergie $W$ Schallfluss $q$ Schallgeschwindigkeit $c_{\text{S}}$ Schallimpedanz $Z$ Schallintensität $I$ Schallleistung $P_{\text{ak}}$ Schallschnelle $v$ Schallschnelleamplitude $v$ Schallstrahlungsdruck

Sie ist nicht zu verwechseln mit der Schallschnelle $v$, d. h. der Momentangeschwindigkeit, mit der sich die einzelnen Teilchen des Mediums bewegen, um die zu der Schallwelle gehörige Deformation auf- und abzubauen. ⓘ

Die Schallgeschwindigkeit ist allgemein abhängig vom Medium (insbesondere Elastizität und Dichte) und seiner Temperatur, in Fluiden zusätzlich vom Druck und in Festkörpern maßgeblich vom Wellentyp (Longitudinalwelle, Schubwelle, Rayleigh-Welle, Lamb-Welle etc.) und von der Frequenz. In anisotropen Medien ist sie zusätzlich noch richtungsabhängig. In Gasen oder Gasgemischen, z. B. in normaler Luft spielt nur die Temperaturabhängigkeit eine nennenswerte Rolle. ⓘ

Für den Zusammenhang zwischen Schallgeschwindigkeit $c$ und Frequenz $f$ einer monochromatischen Schallwelle der Wellenlänge $\lambda$ gilt wie für alle solchen Wellen:

$c_{\text{S}}=\lambda \,f$ ⓘ

Geschichte

In Sir Isaac Newtons Principia von 1687 wird die Schallgeschwindigkeit in Luft mit 298 m/s (979 Fuß pro Sekunde) angegeben. Dies ist um etwa 15 % zu niedrig. Die Diskrepanz ist in erster Linie auf die Vernachlässigung des (damals unbekannten) Effekts der schnell schwankenden Temperatur in einer Schallwelle zurückzuführen (in modernen Begriffen ist die Kompression und Ausdehnung von Luft durch Schallwellen ein adiabatischer Prozess, kein isothermer Prozess). Dieser Fehler wurde später von Laplace korrigiert. ⓘ

Im 17. Jahrhundert gab es mehrere Versuche, die Schallgeschwindigkeit genau zu messen, unter anderem von Marin Mersenne im Jahr 1630 (1.380 Pariser Fuß pro Sekunde), Pierre Gassendi im Jahr 1635 (1.473 Pariser Fuß pro Sekunde) und Robert Boyle (1.125 Pariser Fuß pro Sekunde). Im Jahr 1709 veröffentlichte Reverend William Derham, Rektor von Upminster, eine genauere Messung der Schallgeschwindigkeit, die bei 1 072 Pariser Fuß pro Sekunde lag. (Der Pariser Fuß betrug 325 mm. Dies ist länger als der heute gebräuchliche "internationale Fuß", der 1959 offiziell mit 304,8 mm definiert wurde, so dass die Schallgeschwindigkeit bei 20 °C (68 °F) 1.055 Pariser Fuß pro Sekunde beträgt). ⓘ

Derham beobachtete mit einem Fernrohr vom Turm der Kirche St. Laurence in Upminster aus den Blitz eines weit entfernten Gewehrschusses und maß dann die Zeit bis zum Ertönen des Schusses mit einem Halbsekundenpendel. Die Schüsse wurden von einer Reihe örtlicher Sehenswürdigkeiten aus gemessen, darunter die Kirche von North Ockendon. Die Entfernung war durch Triangulation bekannt, und so konnte die Geschwindigkeit, mit der sich der Schall fortbewegt hatte, berechnet werden. ⓘ

Grundlegende Konzepte

Die Übertragung von Schall kann anhand eines Modells veranschaulicht werden, das aus einer Reihe von kugelförmigen Objekten besteht, die durch Federn miteinander verbunden sind. ⓘ

In der realen Welt stellen die Kugeln die Moleküle des Materials und die Federn die Bindungen zwischen ihnen dar. Der Schall durchdringt das System, indem er die Federn zusammendrückt und ausdehnt und die akustische Energie auf die benachbarten Kugeln überträgt. Dadurch wird die Energie wiederum auf die Federn (Bindungen) der Nachbarkugeln übertragen, und so weiter. ⓘ

Die Geschwindigkeit, mit der sich der Schall durch das Modell bewegt, hängt von der Steifigkeit der Federn und der Masse der Kugeln ab. Solange der Abstand zwischen den Kugeln konstant bleibt, übertragen steifere Federn/Bindungen die Energie schneller, während größere Kugeln die Energie langsamer übertragen. ⓘ

Bei einem realen Material wird die Steifigkeit der Federn als "Elastizitätsmodul" bezeichnet, und die Masse entspricht der Materialdichte. Unter der Voraussetzung, dass alle anderen Dinge gleich sind (ceteris paribus), breitet sich der Schall in schwammigen Materialien langsamer und in steiferen Materialien schneller aus. Auch Effekte wie Dispersion und Reflexion lassen sich anhand dieses Modells verstehen. ⓘ

Beispielsweise breitet sich der Schall in Nickel 1,59-mal schneller aus als in Bronze, was auf die größere Steifigkeit von Nickel bei etwa gleicher Dichte zurückzuführen ist. Ebenso breitet sich der Schall in leichtem Wasserstoffgas (Protium) etwa 1,41 Mal schneller aus als in schwerem Wasserstoffgas (Deuterium), da Deuterium ähnliche Eigenschaften, aber die doppelte Dichte aufweist. Gleichzeitig breitet sich "kompressionsartiger" Schall in Festkörpern schneller aus als in Flüssigkeiten und in Flüssigkeiten schneller als in Gasen, da Festkörper schwerer zu komprimieren sind als Flüssigkeiten, während Flüssigkeiten wiederum schwerer zu komprimieren sind als Gase. ⓘ

In einigen Lehrbüchern wird fälschlicherweise behauptet, dass die Schallgeschwindigkeit mit der Dichte zunimmt. Zur Veranschaulichung dieses Gedankens werden Daten für drei Materialien wie Luft, Wasser und Stahl vorgelegt, die jeweils eine sehr unterschiedliche Kompressibilität aufweisen, die die Dichteunterschiede mehr als ausgleicht. Ein anschauliches Beispiel für die beiden Effekte ist, dass sich der Schall in Wasser nur 4,3 Mal schneller ausbreitet als in Luft, obwohl die beiden Medien sehr unterschiedlich komprimierbar sind. Der Grund dafür ist, dass die größere Dichte von Wasser, die den Schall in Wasser im Vergleich zu Luft verlangsamt, die Unterschiede in der Kompressibilität der beiden Medien fast ausgleicht. ⓘ

Ein praktisches Beispiel kann in Edinburgh beobachtet werden, wenn die "One o'Clock Gun" am östlichen Ende von Edinburgh Castle abgefeuert wird. Wenn man am Fuß des westlichen Endes des Burgfelsens steht, kann man den Schall der Kanone durch den Felsen hindurch hören, etwas bevor er auf dem Luftweg ankommt, teilweise verzögert durch den etwas längeren Weg. Besonders wirkungsvoll ist es, wenn ein Salut mit mehreren Kanonen abgefeuert wird, wie z. B. zum "Geburtstag der Königin". ⓘ

Kompressions- und Scherwellen

Druckimpuls oder Kompressionswelle (Longitudinalwelle), die auf eine Ebene begrenzt ist. Dies ist die einzige Art von Schallwellen, die sich in Flüssigkeiten (Gasen und Flüssigkeiten) ausbreitet. Eine Druckwelle kann sich auch in Festkörpern ausbreiten, zusammen mit anderen Arten von Wellen (Transversalwellen, siehe unten) ⓘ

Transversalwelle, die auf Atome einwirkt, die zunächst auf eine Ebene beschränkt sind. Diese zusätzliche Art von Schallwellen (zusätzliche Art von elastischen Wellen) breitet sich nur in Festkörpern aus, da sie eine seitliche Scherbewegung erfordert, die durch die Elastizität des Festkörpers unterstützt wird. Die seitliche Scherbewegung kann in jeder Richtung erfolgen, die rechtwinklig zur Ausbreitungsrichtung der Welle ist (hier ist nur eine Scherrichtung dargestellt, rechtwinklig zur Ebene). Außerdem kann sich die rechtwinklige Scherrichtung mit der Zeit und über die Entfernung ändern, was zu verschiedenen Arten der Polarisation von Scherwellen führt ⓘ

In einem Gas oder einer Flüssigkeit besteht der Schall aus Kompressionswellen. In Festkörpern breiten sich die Wellen in zwei verschiedenen Arten aus. Eine Longitudinalwelle ist mit der Kompression und Dekompression in Ausbreitungsrichtung verbunden und ist derselbe Prozess in Gasen und Flüssigkeiten, mit einer analogen Kompressionswelle in Festkörpern. In Gasen und Flüssigkeiten werden nur Kompressionswellen unterstützt. Ein weiterer Wellentyp, die Transversalwelle, auch Scherwelle genannt, tritt nur in Festkörpern auf, da nur Festkörper elastische Verformungen zulassen. Sie entsteht durch die elastische Verformung des Mediums senkrecht zur Wellenausbreitungsrichtung; die Richtung der Scherverformung wird als "Polarisation" dieser Wellenart bezeichnet. Im Allgemeinen treten Transversalwellen als ein Paar orthogonaler Polarisationen auf. ⓘ

Diese verschiedenen Wellen (Kompressionswellen und die verschiedenen Polarisationen der Scherwellen) können bei gleicher Frequenz unterschiedliche Geschwindigkeiten haben. Ein extremes Beispiel ist ein Erdbeben, bei dem zuerst die starken Kompressionswellen und Sekunden später die schwankenden Transversalwellen eintreffen. ⓘ

Die Geschwindigkeit einer Kompressionswelle in einer Flüssigkeit wird durch die Kompressibilität und Dichte des Mediums bestimmt. In Festkörpern sind die Kompressionswellen analog zu denen in Flüssigkeiten, abhängig von der Kompressibilität und der Dichte, jedoch mit dem zusätzlichen Faktor des Schermoduls, der die Kompressionswellen aufgrund der außeraxialen elastischen Energien beeinflusst, die in der Lage sind, die effektive Spannung und Entspannung bei einer Kompression zu beeinflussen. Die Geschwindigkeit von Scherwellen, die nur in Festkörpern auftreten können, wird einfach durch den Schermodul und die Dichte des festen Materials bestimmt. ⓘ

Gleichungen

Die Schallgeschwindigkeit wird in der mathematischen Notation üblicherweise mit c angegeben, abgeleitet vom lateinischen Wort celeritas für "Geschwindigkeit". ⓘ

Für Flüssigkeiten im Allgemeinen ist die Schallgeschwindigkeit c durch die Newton-Laplace-Gleichung gegeben:

$c={\sqrt {\frac {K_{s}}{\rho }}},$

wobei

• Ks ist ein Steifigkeitskoeffizient, der isentrope Schüttungsmodul (oder der Schüttungselastizitätsmodul für Gase);
• $\rho$ die Dichte ist. ⓘ

Die Schallgeschwindigkeit steigt also mit der Steifigkeit (dem Widerstand eines elastischen Körpers gegen die Verformung durch eine einwirkende Kraft) des Materials und sinkt mit zunehmender Dichte. Bei idealen Gasen ist das Volumenmodul K einfach der Gasdruck multipliziert mit dem dimensionslosen adiabatischen Index, der für Luft unter normalen Druck- und Temperaturbedingungen etwa 1,4 beträgt. ⓘ

Für allgemeine Zustandsgleichungen kann die Schallgeschwindigkeit c bei Verwendung der klassischen Mechanik wie folgt hergeleitet werden: Man betrachte die Schallwelle, die sich mit der Geschwindigkeit $v$ durch ein Rohr ausbreitet, das auf die $x$ Achse ausgerichtete Rohr mit einer Querschnittsfläche von $A$. Im Zeitintervall $dt$ legt sie die Länge $dx=v\,dt$. Im stationären Zustand muss der Massendurchsatz ${\dot {m}}=\rho vA$ an den beiden Enden des Rohrs gleich sein, daher ist der Massenstrom $j=\rho v$ konstant ist und $v\,d\rho =-\rho \,dv$. Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz sorgt die Druckgradientenkraft für die Beschleunigung:

${\begin{aligned}{\frac {dv}{dt}}&=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dx}}\\\rightarrow dP&=(-\rho \,dv){\frac {dx}{dt}}=(v\,d\rho )v\\\rightarrow v^{2}&\equiv c^{2}={\frac {dP}{d\rho }}\end{aligned}}$ ⓘ

Und deshalb:

$c={\sqrt {\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{s}}},$ ⓘ

wobei

• P ist der Druck;
• $\rho$ ist die Dichte und die Ableitung erfolgt isentropisch, d. h. bei konstanter Entropie s. Dies liegt daran, dass sich eine Schallwelle so schnell ausbreitet, dass ihre Ausbreitung als adiabatischer Prozess angenähert werden kann. ⓘ

Wenn relativistische Effekte eine Rolle spielen, wird die Schallgeschwindigkeit anhand der relativistischen Euler-Gleichungen berechnet. ⓘ

In einem nicht-dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Schallfrequenz, so dass die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung für alle Frequenzen gleich sind. Luft, ein Gemisch aus Sauerstoff und Stickstoff, ist ein nicht-dispersives Medium. Luft enthält jedoch einen geringen Anteil an CO₂, das ein dispersives Medium ist und bei Ultraschallfrequenzen (> 28 kHz) eine Dispersion in die Luft bewirkt. ⓘ

In einem dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit eine Funktion der Schallfrequenz, und zwar über die Dispersionsrelation. Jede Frequenzkomponente breitet sich mit ihrer eigenen Geschwindigkeit, der so genannten Phasengeschwindigkeit, aus, während sich die Energie der Störung mit der Gruppengeschwindigkeit ausbreitet. Das gleiche Phänomen tritt bei Lichtwellen auf; siehe optische Dispersion für eine Beschreibung. ⓘ

Abhängigkeit von den Eigenschaften des Mediums

Die Schallgeschwindigkeit ist variabel und hängt von den Eigenschaften der Substanz ab, durch die sich die Welle ausbreitet. In Festkörpern hängt die Geschwindigkeit von Transversalwellen (oder Scherwellen) von der Scherverformung unter Scherspannung (genannt Schermodul) und der Dichte des Mediums ab. Die Geschwindigkeit von Longitudinalwellen (oder Kompressionswellen) in Festkörpern hängt von denselben beiden Faktoren und zusätzlich von der Kompressibilität ab. ⓘ

Bei Flüssigkeiten sind nur die Kompressibilität und die Dichte des Mediums von Bedeutung, da Flüssigkeiten keine Scherspannungen übertragen. In heterogenen Fluiden, z. B. in einer mit Gasblasen gefüllten Flüssigkeit, wirken sich die Dichte der Flüssigkeit und die Kompressibilität des Gases additiv auf die Schallgeschwindigkeit aus, wie der Hot-Chocolate-Effekt zeigt. ⓘ

Bei Gasen steht die adiabatische Kompressibilität über das Wärmekapazitätsverhältnis (adiabatischer Index) in direktem Zusammenhang mit dem Druck, während Druck und Dichte umgekehrt mit der Temperatur und dem Molekulargewicht zusammenhängen, so dass nur die völlig unabhängigen Eigenschaften der Temperatur und der Molekularstruktur von Bedeutung sind (das Wärmekapazitätsverhältnis kann durch die Temperatur und die Molekularstruktur bestimmt werden, aber das Molekulargewicht allein reicht nicht aus, um es zu bestimmen). ⓘ

Schall breitet sich in Gasen mit geringem Molekulargewicht wie Helium schneller aus als in schwereren Gasen wie Xenon. Bei einatomigen Gasen beträgt die Schallgeschwindigkeit etwa 75 % der mittleren Geschwindigkeit, mit der sich die Atome in diesem Gas bewegen. ⓘ

Bei einem gegebenen idealen Gas ist die molekulare Zusammensetzung fest, so dass die Schallgeschwindigkeit nur von seiner Temperatur abhängt. Bei einer konstanten Temperatur hat der Gasdruck keinen Einfluss auf die Schallgeschwindigkeit, da die Dichte zunimmt, und da Druck und Dichte (ebenfalls proportional zum Druck) gleiche, aber entgegengesetzte Auswirkungen auf die Schallgeschwindigkeit haben und sich die beiden Beiträge genau aufheben. In ähnlicher Weise hängen Kompressionswellen in Festkörpern sowohl von der Kompressibilität als auch von der Dichte ab - genau wie in Flüssigkeiten -, aber in Gasen trägt die Dichte so zur Kompressibilität bei, dass ein Teil jeder Eigenschaft herausgerechnet wird, so dass nur eine Abhängigkeit von der Temperatur, dem Molekulargewicht und dem Wärmekapazitätsverhältnis bleibt, die unabhängig von der Temperatur und der molekularen Zusammensetzung abgeleitet werden können (siehe Ableitungen unten). Für ein einzelnes gegebenes Gas (unter der Annahme, dass sich das Molekulargewicht nicht ändert) und über einen kleinen Temperaturbereich (für den die Wärmekapazität relativ konstant ist) hängt die Schallgeschwindigkeit also nur noch von der Temperatur des Gases ab. ⓘ

Bei nicht idealem Gasverhalten, für das die Van-der-Waals-Gasgleichung verwendet werden würde, ist die Proportionalität nicht exakt, und es besteht eine leichte Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit vom Gasdruck. ⓘ

Die Luftfeuchtigkeit hat eine kleine, aber messbare Auswirkung auf die Schallgeschwindigkeit (sie erhöht sich um etwa 0,1 %-0,6 %), da die Sauerstoff- und Stickstoffmoleküle der Luft durch leichtere Wassermoleküle ersetzt werden. Dies ist ein einfacher Mischeffekt. ⓘ

Höhenunterschiede und Auswirkungen auf die atmosphärische Akustik

Dichte und Druck nehmen gleichmäßig mit der Höhe ab, die Temperatur (rot) jedoch nicht. Die Schallgeschwindigkeit (blau) hängt nur von den komplizierten Temperaturschwankungen in der Höhe ab und kann daraus berechnet werden, da sich die isolierten Auswirkungen von Dichte und Druck auf die Schallgeschwindigkeit gegenseitig aufheben. In zwei Regionen der Stratosphäre und der Thermosphäre nimmt die Schallgeschwindigkeit mit der Höhe zu, was auf die Erwärmung in diesen Regionen zurückzuführen ist. ⓘ

In der Erdatmosphäre wird die Schallgeschwindigkeit hauptsächlich durch die Temperatur beeinflusst. Für ein gegebenes ideales Gas mit konstanter Wärmekapazität und Zusammensetzung ist die Schallgeschwindigkeit ausschließlich von der Temperatur abhängig (siehe unten). In einem solchen Idealfall heben sich die Auswirkungen der abnehmenden Dichte und des abnehmenden Höhendrucks gegenseitig auf, abgesehen von der Restwirkung der Temperatur. ⓘ

Da die Temperatur (und damit die Schallgeschwindigkeit) mit zunehmender Höhe bis zu 11 km abnimmt, wird der Schall nach oben gebrochen, weg von den Zuhörern am Boden, und es entsteht ein akustischer Schatten in einiger Entfernung von der Quelle. Die Abnahme der Schallgeschwindigkeit mit der Höhe wird als negativer Schallgeschwindigkeitsgradient bezeichnet. ⓘ

Allerdings gibt es oberhalb von 11 km Abweichungen von diesem Trend. Insbesondere in der Stratosphäre oberhalb von etwa 20 km nimmt die Schallgeschwindigkeit mit der Höhe zu, was auf einen Temperaturanstieg aufgrund der Erwärmung innerhalb der Ozonschicht zurückzuführen ist. Dies führt zu einem positiven Schallgeschwindigkeitsgradienten in dieser Region. Ein weiterer Bereich mit positivem Gradienten tritt in sehr großen Höhen auf, in der so genannten Thermosphäre oberhalb von 90 km. ⓘ

Praktische Formel für trockene Luft

Annäherung der Schallgeschwindigkeit in trockener Luft auf der Grundlage des Wärmekapazitätsverhältnisses (in grün) gegen die abgeschnittene Taylor-Expansion (in rot). ⓘ

Die ungefähre Schallgeschwindigkeit in trockener Luft (0 % Luftfeuchtigkeit) in Metern pro Sekunde bei Temperaturen nahe 0 °C lässt sich wie folgt berechnen

$c_{\mathrm {air} }=(331.3+0.606\cdot \theta )~~~\mathrm {m/s} ,$

wobei $\theta$ die Temperatur in Grad Celsius (°C) ist. ⓘ

Diese Gleichung ergibt sich aus den ersten beiden Termen der Taylor-Erweiterung der folgenden, genaueren Gleichung:

$c_{\mathrm {air} }=331.3~{\sqrt {1+{\frac {\theta }{273.15}}}}~~~~\mathrm {m/s} .$ ⓘ

Dividiert man den ersten Teil und multipliziert den zweiten Teil auf der rechten Seite mit √273,15, erhält man die alternative Form

$c_{\mathrm {air} }=20.05~{\sqrt {\theta +273.15}}~~~~\mathrm {m/s} .$ ⓘ

die auch wie folgt geschrieben werden kann

$c_{\mathrm {air} }=20.05~{\sqrt {T}}~~~~\mathrm {m/s}$ ⓘ

wobei T die thermodynamische Temperatur bezeichnet. ⓘ

Der Wert von 331,3 m/s, der die Geschwindigkeit bei 0 °C (oder 273,15 K) darstellt, basiert auf theoretischen (und einigen gemessenen) Werten des Wärmekapazitätsverhältnisses γ sowie auf der Tatsache, dass reale Luft bei 1 atm sehr gut durch die ideale Gasannäherung beschrieben wird. Die allgemein gefundenen Werte für die Schallgeschwindigkeit bei 0 °C können aufgrund der bei der Berechnung getroffenen Annahmen zwischen 331,2 und 331,6 variieren. Wenn man annimmt, dass der Wert des idealen Gases γ genau 7/5 = 1,4 beträgt (wobei sowohl die Tatsache außer Acht gelassen wird, dass dies der Wert für Luft mit 20 Grad und nicht für Luft mit 0 Grad ist, als auch die Tatsache, dass Luft genügend Argon enthält, um diesen Wert leicht zu verändern), so errechnet sich die Geschwindigkeit bei 0 °C (siehe nachfolgender Abschnitt) auf etwa 331,3 m/s, den oben verwendeten Koeffizienten. ⓘ

Diese Gleichung ist für einen viel größeren Temperaturbereich korrekt, hängt aber immer noch von der Annahme ab, dass das Wärmekapazitätsverhältnis unabhängig von der Temperatur ist, und versagt aus diesem Grund insbesondere bei höheren Temperaturen. Sie liefert gute Vorhersagen für relativ trockene, kalte Bedingungen mit niedrigem Druck, wie etwa in der Stratosphäre der Erde. Die Gleichung versagt bei extrem niedrigen Drücken und kurzen Wellenlängen, da sie von der Annahme abhängt, dass die Wellenlänge des Schalls im Gas viel länger ist als die durchschnittliche mittlere freie Weglänge zwischen den Zusammenstößen der Gasmoleküle. Eine Herleitung dieser Gleichungen wird im folgenden Abschnitt gegeben. ⓘ

Ein Diagramm, das die Ergebnisse der beiden Gleichungen vergleicht, ist rechts abgebildet, wobei der etwas genauere Wert von 331,5 m/s für die Schallgeschwindigkeit bei 0 °C verwendet wird. ⓘ

Einzelheiten

Schallgeschwindigkeit in idealen Gasen und Luft

Für ein ideales Gas ist K (der Schüttungsmodul in den obigen Gleichungen, äquivalent zu C, dem Steifigkeitskoeffizienten in Festkörpern) gegeben durch

$K=\gamma \cdot p,$

Aus der obigen Newton-Laplace-Gleichung ergibt sich also die Schallgeschwindigkeit in einem idealen Gas wie folgt

$c={\sqrt {\gamma \cdot {p \over \rho }}},$

wobei

• γ ist der adiabatische Index, auch bekannt als isentroper Expansionsfaktor. Er ist das Verhältnis der spezifischen Wärme eines Gases bei konstantem Druck zu der eines Gases bei konstantem Volumen ($C_{p}/C_{v}$) und entsteht, weil eine klassische Schallwelle eine adiabatische Kompression hervorruft, bei der die Wärme der Kompression nicht genügend Zeit hat, dem Druckimpuls zu entkommen, und somit zu dem durch die Kompression hervorgerufenen Druck beiträgt;
• p ist der Druck;
• ρ ist die Dichte. ⓘ

Wenn man das Gesetz des idealen Gases anwendet und p durch nRT/V und ρ durch nM/V ersetzt, lautet die Gleichung für ein ideales Gas

$c_{\mathrm {ideal} }={\sqrt {\gamma \cdot {p \over \rho }}}={\sqrt {\gamma \cdot R\cdot T \over M}}={\sqrt {\gamma \cdot k\cdot T \over m}},$

wobei

• c_ideal ist die Schallgeschwindigkeit in einem idealen Gas;
• R (etwa 8,314463 J-K-1-mol-1) ist die molare Gaskonstante (universelle Gaskonstante);
• k ist die Boltzmann-Konstante;
• γ (gamma) ist der adiabatische Index. Bei Raumtemperatur, wo die thermische Energie vollständig in Rotation umgewandelt wird (Rotationen werden vollständig angeregt), Quanteneffekte jedoch die Anregung von Schwingungsmoden verhindern, beträgt der Wert 7/5 = 1,400 = 21/15 für zweiatomige Gase (wie Sauerstoff und Stickstoff), gemäß der kinetischen Theorie. Gamma wird tatsächlich experimentell in einem Bereich von 1,3991 bis 1,403 bei 0 °C für Luft gemessen. Gamma ist genau 5/3 = 1,667 = 25/15 für einatomige Gase (wie Argon) und es ist 4/3 = 1,333 = 20/15 für Gase mit dreiatomigen Molekülen, die, wie H
  ₂O, nicht kolinear sind (ein kolineares dreiatomiges Gas wie CO2 ist für unsere Zwecke hier einem zweiatomigen Gas gleichzusetzen);
• T ist die absolute Temperatur;
• M ist die molare Masse des Gases. Die mittlere molare Masse für trockene Luft beträgt etwa 0,02897 kg/mol (28,97 g/mol);
• n ist die Anzahl der Mole;
• m ist die Masse eines einzelnen Moleküls. ⓘ

Diese Gleichung gilt nur, wenn die Schallwelle eine kleine Störung der Umgebungsbedingungen ist und bestimmte andere Bedingungen erfüllt sind (siehe unten). Es hat sich gezeigt, dass die berechneten Werte für c_air leicht von den experimentell ermittelten Werten abweichen. ⓘ

Newton berücksichtigte die Schallgeschwindigkeit bekanntlich vor dem größten Teil der Entwicklung der Thermodynamik und verwendete daher fälschlicherweise isotherme Berechnungen anstelle von adiabatischen. Bei seinem Ergebnis fehlte der Faktor γ, aber ansonsten war es korrekt. ⓘ

Die numerische Substitution der oben genannten Werte ergibt die ideale Gasannäherung der Schallgeschwindigkeit für Gase, die bei relativ niedrigen Gasdrücken und Dichten genau ist (für Luft sind dies die Standardbedingungen auf dem Meeresspiegel). Bei zweiatomigen Gasen setzt die Verwendung von γ = 1,4000 außerdem voraus, dass das Gas in einem Temperaturbereich existiert, der hoch genug ist, dass die Rotationswärmekapazität vollständig angeregt wird (d. h., die Molekülrotation wird vollständig als Wärmeenergie-"Trennwand" oder -reservoir genutzt); gleichzeitig muss die Temperatur jedoch niedrig genug sein, dass die molekularen Schwingungsmoden keine Wärmekapazität beitragen (d. h., es wird nur unbedeutende Wärme in die Schwingung eingespeist, da alle Schwingungsquantenmoden oberhalb der Mindestenergiemode eine zu hohe Energie haben, um bei dieser Temperatur von einer signifikanten Anzahl von Molekülen besiedelt zu werden). Für Luft sind diese Bedingungen bei Raumtemperatur und auch bei Temperaturen deutlich unterhalb der Raumtemperatur erfüllt (siehe Tabellen unten). Im Abschnitt über die spezifische Wärmekapazität von Gasen wird dieses Phänomen ausführlicher behandelt. ⓘ

Für Luft führen wir die Kurzbezeichnung

$R_{*}=R/M_{\mathrm {air} }.$

Darüber hinaus wechseln wir zur Celsius-Temperatur $\theta$ = T - 273,15, was für die Berechnung der Luftgeschwindigkeit in der Nähe von 0 °C (etwa 273 Kelvin) zu berechnen. Dann gilt für trockene Luft,

$${\begin{aligned}c_{\mathrm {air} }&={\sqrt {\gamma \cdot R_{*}\cdot T}}={\sqrt {\gamma \cdot R_{*}\cdot (\theta +273.15)}},\\c_{\mathrm {air} }&={\sqrt {\gamma \cdot R_{*}\cdot 273.15}}\cdot {\sqrt {1+{\frac {\theta }{273.15}}}},\end{aligned}}$$

ⓘ

wobei $\theta$ (theta) die Temperatur in Grad Celsius(°C). ⓘ

Einsetzen von Zahlenwerten

$$R=8.314\,462\,618\,153\,24~\mathrm {J/(mol\cdot K)}$$

für die molare Gaskonstante in J/mol/Kelvin, und

$$M_{\mathrm {air} }=0.028\,964\,5~\mathrm {kg/mol}$$

für die mittlere molare Masse der Luft in kg und die Verwendung des Wertes für ein ideales zweiatomiges Gas von γ = 1,4000, ergibt sich

$$c_{\mathrm {air} }\approx 331.3{\sqrt {1+{\frac {\theta }{273.15}}}}~~~\mathrm {m/s} .$$

ⓘ

Schließlich ergibt die Taylor-Expansion der verbleibenden Quadratwurzel in $\theta$ ergibt

$${\begin{aligned}c_{\mathrm {air} }&\approx 331.3\left(1+{\frac {\theta }{2\cdot 273.15}}\right)&&\mathrm {m/s} ,\\c_{\mathrm {air} }&\approx \left(331.3+0.606\cdot \theta \right)&&\mathrm {m/s} .\end{aligned}}$$

ⓘ

Die obige Herleitung enthält die ersten beiden Gleichungen aus dem Abschnitt "Praktische Formel für trockene Luft". ⓘ

Effekte aufgrund von Windscherung

Die Schallgeschwindigkeit variiert mit der Temperatur. Da die Temperatur und die Schallgeschwindigkeit normalerweise mit zunehmender Höhe abnehmen, wird der Schall nach oben gebrochen, weg von den Zuhörern am Boden, und es entsteht ein Schallschatten in einiger Entfernung von der Quelle. Eine Windscherung von 4 m/(s - km) kann eine Brechung erzeugen, die einer typischen Temperatursturzrate von 7,5 °C/km entspricht. Höhere Werte des Windgradienten führen zu einer Brechung des Schalls nach unten zur Oberfläche in Windrichtung, wodurch der Schallschatten auf der windabgewandten Seite beseitigt wird. Dadurch wird die Hörbarkeit von Geräuschen in Windrichtung erhöht. Dieser Brechungseffekt in Windrichtung tritt auf, weil ein Windgradient vorhanden ist; der Schall wird nicht vom Wind getragen. ⓘ

Für die Schallausbreitung kann die exponentielle Veränderung der Windgeschwindigkeit mit der Höhe wie folgt definiert werden:

$U(h)=U(0)h^{\zeta },$

${\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} H}}(h)=\zeta {\frac {U(h)}{h}},$

wobei

• U(h) ist die Geschwindigkeit des Windes in der Höhe h;
• ζ ist der Exponentialkoeffizient, der von der Rauheit der Bodenoberfläche abhängt und normalerweise zwischen 0,08 und 0,52 liegt;
• dU/dH(h) ist der erwartete Windgradient in Höhe h. ⓘ

In der Schlacht von Iuka im Amerikanischen Bürgerkrieg 1862 hielt ein Schallschatten, der vermutlich durch einen Nordostwind verstärkt wurde, zwei Divisionen von Unionssoldaten von der Schlacht ab, weil sie die Geräusche der Schlacht nur 10 km (sechs Meilen) windabwärts nicht hören konnten. ⓘ

Tabellen

In der Standardatmosphäre:

• T₀ ist 273,15 K (= 0 °C = 32 °F), was einen theoretischen Wert von 331,3 m/s (= 1086,9 ft/s = 1193 km/h = 741,1 mph = 644,0 kn) ergibt. In der Fachliteratur sind jedoch Werte zwischen 331,3 und 331,6 m/s zu finden;
• T₂₀ ist 293,15 K (= 20 °C = 68 °F), was einen Wert von 343,2 m/s (= 1126,0 ft/s = 1236 km/h = 767,8 mph = 667,2 kn) ergibt;
• T₂₅ ist 298,15 K (= 25 °C = 77 °F), was einen Wert von 346,1 m/s (= 1135,6 ft/s = 1246 km/h = 774,3 mph = 672,8 kn) ergibt. ⓘ

Wenn man von einem idealen Gas ausgeht, hängt die Schallgeschwindigkeit c nur von der Temperatur ab, nicht aber vom Druck oder der Dichte (da diese sich bei einer bestimmten Temperatur im Gleichschritt ändern und sich aufheben). Luft ist nahezu ein ideales Gas. Die Temperatur der Luft variiert mit der Höhe und führt zu den folgenden Schwankungen der Schallgeschwindigkeit unter Verwendung der Standardatmosphäre - die tatsächlichen Bedingungen können abweichen. ⓘ

Einfluss der Temperatur auf die Eigenschaften der Luft ⓘ

Temperatur, T (°C)	Geschwindigkeit des Schallgeschwindigkeit, c (m/s)	Dichte der Luft, ρ (kg/m3)	Charakteristische spezifische akustische Impedanz, z0 (Pa-s/m)
35	351.88	1.1455	403.2
30	349.02	1.1644	406.5
25	346.13	1.1839	409.4
20	343.21	1.2041	413.3
15	340.27	1.2250	416.9
10	337.31	1.2466	420.5
5	334.32	1.2690	424.3
0	331.30	1.2922	428.0
−5	328.25	1.3163	432.1
−10	325.18	1.3413	436.1
−15	322.07	1.3673	440.3
−20	318.94	1.3943	444.6
−25	315.77	1.4224	449.1

Bei normalen atmosphärischen Bedingungen variiert die Temperatur und damit die Schallgeschwindigkeit mit der Höhe:

Höhenlage	Temperatur	m/s	km/h	mph	kn ⓘ
Meereshöhe	15 °C (59 °F)	340	1,225	761	661
11.000 m-20.000 m (Reiseflughöhe von Verkehrsflugzeugen, und erster Überschallflug)	-57 °C (-70 °F)	295	1,062	660	573
29.000 m (Flug der X-43A)	-48 °C (-53 °F)	301	1,083	673	585

Einfluss von Frequenz und Gaszusammensetzung

Allgemeine physikalische Überlegungen

Das Medium, in dem sich eine Schallwelle ausbreitet, verhält sich nicht immer adiabatisch, so dass die Schallgeschwindigkeit mit der Frequenz variieren kann. ⓘ

Die Grenzen des Konzepts der Schallgeschwindigkeit aufgrund extremer Dämpfung sind ebenfalls von Belang. Die Dämpfung, die auf Meereshöhe für hohe Frequenzen besteht, gilt für immer niedrigere Frequenzen, wenn der atmosphärische Druck sinkt oder die mittlere freie Weglänge zunimmt. Aus diesem Grund verliert das Konzept der Schallgeschwindigkeit (außer für Frequenzen, die sich dem Nullpunkt nähern) in großen Höhen zunehmend an Anwendbarkeit. Die Standardgleichungen für die Schallgeschwindigkeit gelten mit angemessener Genauigkeit nur für Situationen, in denen die Wellenlänge der Schallwelle wesentlich länger ist als die mittlere freie Weglänge der Moleküle in einem Gas. ⓘ

Die molekulare Zusammensetzung des Gases trägt sowohl in Form der Masse (M) der Moleküle als auch in Form ihrer Wärmekapazitäten dazu bei, und beide haben somit einen Einfluss auf die Schallgeschwindigkeit. Im Allgemeinen haben einatomige Gase bei gleicher Molekülmasse eine etwas höhere Schallgeschwindigkeit (über 9 % höher), weil sie ein höheres γ (5/3 = 1,66...) haben als zweiatomige Gase (7/5 = 1,4). Bei gleicher Molekülmasse steigt die Schallgeschwindigkeit eines einatomigen Gases also um einen Faktor von

${c_{\mathrm {gas,monatomic} } \over c_{\mathrm {gas,diatomic} }}={\sqrt {{5/3} \over {7/5}}}={\sqrt {25 \over 21}}=1.091\ldots$ ⓘ

Dies ergibt einen Unterschied von 9 % und wäre ein typisches Verhältnis für die Schallgeschwindigkeit von Helium und Deuterium bei Raumtemperatur, jeweils mit einem Molekulargewicht von 4. Der Schall breitet sich in Helium schneller aus als in Deuterium, weil die adiabatische Kompression das Helium stärker erwärmt, da die Heliummoleküle Wärmeenergie aus der Kompression nur in Translation, nicht aber in Rotation speichern können. Daher breiten sich Heliummoleküle (einatomige Moleküle) in einer Schallwelle schneller aus und übertragen den Schall schneller. (Der Schall breitet sich mit etwa 70 % der mittleren Molekulargeschwindigkeit in Gasen aus; bei einatomigen Gasen sind es 75 % und bei zweiatomigen Gasen 68 %). ⓘ

Beachten Sie, dass wir in diesem Beispiel davon ausgegangen sind, dass die Temperatur so niedrig ist, dass die Wärmekapazitäten nicht durch Molekülschwingungen beeinflusst werden (siehe Wärmekapazität). Schwingungsmoden verursachen jedoch einfach Gammas, die gegen 1 abnehmen, da Schwingungsmoden in einem polyatomaren Gas dem Gas zusätzliche Möglichkeiten zur Wärmespeicherung geben, die sich nicht auf die Temperatur auswirken und somit auch nicht auf die Molekulargeschwindigkeit und die Schallgeschwindigkeit. Der Effekt höherer Temperaturen und Schwingungswärmekapazitäten führt also dazu, dass sich der Unterschied zwischen der Schallgeschwindigkeit in einatomigen und polyatomaren Molekülen vergrößert, wobei die Geschwindigkeit in einatomigen Gasen größer bleibt. ⓘ

Praktische Anwendung auf Luft

Der bei weitem wichtigste Faktor, der die Schallgeschwindigkeit in Luft beeinflusst, ist die Temperatur. Die Geschwindigkeit ist proportional zur Quadratwurzel der absoluten Temperatur, d. h. sie steigt um etwa 0,6 m/s pro Grad Celsius. Aus diesem Grund steigt die Tonhöhe eines Blasinstruments mit zunehmender Temperatur. ⓘ

Die Geschwindigkeit des Schalls wird durch die Luftfeuchtigkeit erhöht. Der Unterschied zwischen 0 % und 100 % Luftfeuchtigkeit beträgt bei normalem Druck und normaler Temperatur etwa 1,5 m/s, aber die Größe des Feuchtigkeitseffekts nimmt mit der Temperatur drastisch zu. ⓘ

Die Abhängigkeit von Frequenz und Druck ist in der Praxis normalerweise unbedeutend. In trockener Luft erhöht sich die Schallgeschwindigkeit um etwa 0,1 m/s, wenn die Frequenz von 10 Hz auf 100 Hz ansteigt. Für hörbare Frequenzen über 100 Hz ist sie relativ konstant. Standardwerte für die Schallgeschwindigkeit werden im Grenzbereich niedriger Frequenzen angegeben, wo die Wellenlänge im Vergleich zur mittleren freien Weglänge groß ist. ⓘ

Wie oben gezeigt, ist der Näherungswert 1000/3 = 333,33... m/s auf etwas unter 5 °C genau und stellt einen guten Näherungswert für alle "üblichen" Außentemperaturen (zumindest in gemäßigten Klimazonen) dar, daher die übliche Faustregel, um zu bestimmen, wie weit der Blitz eingeschlagen ist: die Sekunden vom Beginn des Blitzes bis zum Beginn des entsprechenden Donnergrollens zählen und durch 3 teilen: das Ergebnis ist die Entfernung in Kilometern bis zum nächsten Punkt des Blitzes. ⓘ

Mach-Zahl

Die Machzahl, eine nützliche Größe in der Aerodynamik, ist das Verhältnis der Luftgeschwindigkeit zur lokalen Schallgeschwindigkeit. In der Höhe ist die Mach-Zahl aus den genannten Gründen eine Funktion der Temperatur. Die Fluginstrumente in Flugzeugen berechnen die Mach-Zahl jedoch nicht anhand der Temperatur, sondern anhand des Druckunterschieds. Es wird davon ausgegangen, dass ein bestimmter Druck einer bestimmten Höhe und damit einer Standardtemperatur entspricht. Fluginstrumente müssen auf diese Weise arbeiten, weil der von einem Pitot-Rohr gemessene Staudruck sowohl von der Höhe als auch von der Geschwindigkeit abhängt. ⓘ

Experimentelle Methoden

Es gibt eine Reihe verschiedener Methoden zur Messung des Schalls in der Luft. ⓘ

Die früheste einigermaßen genaue Schätzung der Schallgeschwindigkeit in der Luft wurde von William Derham vorgenommen und von Isaac Newton anerkannt. Derham hatte ein Teleskop auf der Spitze des Turms der Kirche St. Laurence in Upminster, England. An einem ruhigen Tag gab er eine synchronisierte Taschenuhr an einen Assistenten weiter, der zu einem bestimmten Zeitpunkt von einem auffälligen Punkt aus, der einige Meilen entfernt war, eine Schrotflinte über die Landschaft abfeuerte. Dies konnte durch ein Teleskop bestätigt werden. Anschließend maß er mit einem Halbsekundenpendel die Zeitspanne zwischen dem Erkennen des Pulverdampfs und dem Eintreffen des Tons. Durch Triangulation wurde die Entfernung zum Abschussort ermittelt, und die einfache Division (Entfernung/Zeit) ergab die Geschwindigkeit. Durch zahlreiche Beobachtungen in verschiedenen Entfernungen konnte die Ungenauigkeit des Halbsekundenpendels ausgeglichen werden, was die endgültige Schätzung der Schallgeschwindigkeit ergab. Mit modernen Stoppuhren kann diese Methode heute auch auf Entfernungen von 200 bis 400 Metern angewandt werden, ohne dass ein so lautes Gewehr benötigt wird. ⓘ

Methoden der Einzelschußmessung

Das einfachste Konzept ist die Messung mit zwei Mikrofonen und einem schnellen Aufzeichnungsgerät wie z. B. einem digitalen Speichertrichter. Diese Methode beruht auf der folgenden Idee. ⓘ

Wenn eine Schallquelle und zwei Mikrofone in einer geraden Linie angeordnet sind, wobei sich die Schallquelle an einem Ende befindet, dann kann Folgendes gemessen werden:

1. Der Abstand zwischen den Mikrofonen (x), Mikrofonbasis genannt.
2. Die Ankunftszeit zwischen den Signalen (Verzögerung), die die verschiedenen Mikrofone erreichen (t). ⓘ

Dann ist v = x/t. ⓘ

Andere Methoden

Bei diesen Methoden wurde die Zeitmessung durch eine Messung des Kehrwerts der Zeit (Frequenz) ersetzt. ⓘ

Das Kundt'sche Rohr ist ein Beispiel für ein Experiment, mit dem man die Schallgeschwindigkeit in einem kleinen Volumen messen kann. Es hat den Vorteil, dass es die Schallgeschwindigkeit in jedem Gas messen kann. Bei dieser Methode wird ein Pulver verwendet, um die Knoten und Anti-Knoten für das menschliche Auge sichtbar zu machen. Dies ist ein Beispiel für einen kompakten Versuchsaufbau. ⓘ

Eine Stimmgabel kann in die Nähe der Mündung eines langen Rohrs gehalten werden, das in ein Fass mit Wasser eintaucht. In diesem System kann das Rohr in Resonanz gebracht werden, wenn die Länge der Luftsäule im Rohr gleich (1 + 2n)λ/4 ist, wobei n eine ganze Zahl ist. Da der Antinodalpunkt für das Rohr am offenen Ende etwas außerhalb der Rohrmündung liegt, ist es am besten, zwei oder mehr Resonanzpunkte zu finden und dann eine halbe Wellenlänge zwischen diesen zu messen. ⓘ

Hier gilt v = fλ. ⓘ

Hochpräzise Messungen in Luft

Der Einfluss von Verunreinigungen kann bei hochpräzisen Messungen erheblich sein. Chemische Trocknungsmittel können zur Trocknung der Luft verwendet werden, verunreinigen jedoch die Probe. Die Luft kann auch kryogenisch getrocknet werden, aber dabei wird auch das Kohlendioxid entfernt. Daher werden viele Präzisionsmessungen mit kohlendioxidfreier Luft und nicht mit natürlicher Luft durchgeführt. In einem Bericht aus dem Jahr 2002 wird festgestellt, dass eine Messung von Smith und Harlow aus dem Jahr 1963, bei der ein zylindrischer Resonator verwendet wurde, "den bis heute wahrscheinlichsten Wert der Standardschallgeschwindigkeit" ergab. Das Experiment wurde mit Luft durchgeführt, der das Kohlendioxid entzogen worden war, doch wurde das Ergebnis anschließend um diesen Effekt korrigiert, um es auf reale Luft zu übertragen. Die Experimente wurden bei 30 °C durchgeführt, aber um die Temperatur korrigiert, um sie bei 0 °C angeben zu können. Das Ergebnis war 331,45 ± 0,01 m/s für trockene Luft bei STP, für Frequenzen von 93 Hz bis 1.500 Hz. ⓘ

Nicht-gasförmige Medien

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Dreidimensionale Festkörper

In einem Festkörper ist die Steifigkeit sowohl für Volumenverformungen als auch für Scherverformungen ungleich Null. Daher ist es möglich, Schallwellen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten zu erzeugen, die von der abhängig von der Verformungsart. Schallwellen, die volumetrische Verformungen (Kompression) und Scherverformungen (Scherung) erzeugen, werden als Druckwellen (Longitudinalwellen) bzw. Scherwellen (Transversalwellen) bezeichnet. Bei Erdbeben werden die entsprechenden seismischen Wellen als P-Wellen (Primärwellen) bzw. S-Wellen (Sekundärwellen) bezeichnet. Die Schallgeschwindigkeiten dieser beiden Arten von Wellen, die sich in einem homogenen 3-dimensionalen Festkörper ausbreiten, sind jeweils gegeben durch

$c_{\mathrm {solid,p} }={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {E(1-\nu )}{\rho (1+\nu )(1-2\nu )}}},$

$c_{\mathrm {solid,s} }={\sqrt {\frac {G}{\rho }}},$

wobei

• K ist der Volumenmodul der elastischen Materialien;
• G ist der Schermodul der elastischen Materialien;
• E ist der Youngsche Modul;
• ρ ist die Dichte;
• ν ist die Poissonsche Zahl. ⓘ

Die letzte Größe ist nicht unabhängig, da E = 3K(1 - 2ν). Man beachte, dass die Geschwindigkeit von Druckwellen sowohl von den Druck- als auch von den Scherungseigenschaften des Materials abhängt, während die Geschwindigkeit von Scherungswellen nur von den Scherungseigenschaften abhängt. ⓘ

In der Regel breiten sich Druckwellen in Materialien schneller aus als Scherwellen, und bei Erdbeben ist dies der Grund dafür, dass dem Ausbruch eines Erdbebens oft ein schneller Aufwärts-Abwärts-Schock vorausgeht, bevor die Wellen eintreffen, die eine Seitwärtsbewegung erzeugen. Für eine typische Stahllegierung mit K = 170 GPa, G = 80 GPa und ρ = 7.700 kg/m³ ergibt sich beispielsweise eine Kompressionsgeschwindigkeit c_solid,p von 6.000 m/s. Dies steht in angemessener Übereinstimmung mit c_solid,p, das experimentell mit 5.930 m/s für eine (möglicherweise andere) Stahlsorte gemessen wurde. Die Schergeschwindigkeit c_solid,s wird mit denselben Zahlen auf 3.200 m/s geschätzt. ⓘ

Die Schallgeschwindigkeit in Halbleiterfestkörpern kann sehr empfindlich auf die Menge des elektronischen Dotierstoffs in ihnen reagieren. ⓘ

Eindimensionale Festkörper

Die Schallgeschwindigkeit für Druckwellen in steifen Materialien wie Metallen wird manchmal für "lange Stäbe" des betreffenden Materials angegeben, bei denen die Geschwindigkeit leichter zu messen ist. Bei Stäben, deren Durchmesser kürzer als eine Wellenlänge ist, kann die Geschwindigkeit von reinen Druckwellen vereinfacht werden und ist gegeben durch

$c_{\mathrm {solid} }={\sqrt {\frac {E}{\rho }}},$

wobei E der Youngsche Modul ist. Dies entspricht dem Ausdruck für Scherwellen, mit dem Unterschied, dass der Youngsche Modul den Schermodul ersetzt. Diese Schallgeschwindigkeit für Druckwellen in langen Stäben wird immer etwas geringer sein als die gleiche Geschwindigkeit in homogenen dreidimensionalen Festkörpern, und das Verhältnis der Geschwindigkeiten in den beiden verschiedenen Arten von Objekten hängt von der Poissonzahl des Materials ab. ⓘ

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten

Schallgeschwindigkeit in Wasser in Abhängigkeit von der Temperatur. ⓘ

In einer Flüssigkeit ist die einzige Steifigkeit ungleich Null die der volumetrischen Verformung (eine Flüssigkeit hält keine Scherkräfte aus). ⓘ

Daher ist die Schallgeschwindigkeit in einer Flüssigkeit gegeben durch

$c_{\mathrm {fluid} }={\sqrt {\frac {K}{\rho }}},$

wobei K der Volumenmodul der Flüssigkeit ist. ⓘ

Wasser

In Süßwasser breitet sich der Schall bei 20 °C mit einer Geschwindigkeit von etwa 1481 m/s aus (Online-Rechner siehe Abschnitt Externe Links). Anwendungen von Unterwasserschall finden sich in Sonar, akustischer Kommunikation und akustischer Ozeanographie. ⓘ

Meerwasser

Schallgeschwindigkeit als Funktion der Tiefe an einer Position nördlich von Hawaii im Pazifischen Ozean aus dem World Ocean Atlas 2005. Der SOFAR-Kanal überspannt das Minimum der Schallgeschwindigkeit in etwa 750 m Tiefe. ⓘ

In Salzwasser, das frei von Luftblasen oder Schwebstoffen ist, breitet sich der Schall mit etwa 1500 m/s aus (1500,235 m/s bei 1000 Kilopascal, 10 °C und 3 % Salzgehalt nach einer Methode). Die Schallgeschwindigkeit im Meerwasser hängt vom Druck (und damit von der Tiefe), der Temperatur (eine Änderung von 1 °C ~ 4 m/s) und dem Salzgehalt (eine Änderung von 1‰ ~ 1 m/s) ab, und es wurden empirische Gleichungen abgeleitet, um die Schallgeschwindigkeit aus diesen Variablen genau zu berechnen. Andere Faktoren, die die Schallgeschwindigkeit beeinflussen, sind unbedeutend. Da in den meisten Ozeanregionen die Temperatur mit der Tiefe abnimmt, sinkt das Profil der Schallgeschwindigkeit mit der Tiefe auf ein Minimum in mehreren hundert Metern Tiefe. Unterhalb dieses Minimums nimmt die Schallgeschwindigkeit wieder zu, da der Effekt des steigenden Drucks den Effekt der sinkenden Temperatur überwiegt (rechts). Für weitere Informationen siehe Dushaw et al. ⓘ

Eine empirische Gleichung für die Schallgeschwindigkeit in Meerwasser wurde von Mackenzie aufgestellt:

$c(T,S,z)=a_{1}+a_{2}T+a_{3}T^{2}+a_{4}T^{3}+a_{5}(S-35)+a_{6}z+a_{7}z^{2}+a_{8}T(S-35)+a_{9}Tz^{3},$

wobei

• T ist die Temperatur in Grad Celsius;
• S ist der Salzgehalt in Teilen pro Tausend;
• z ist die Tiefe in Metern. ⓘ

Die Konstanten a₁, a₂, ..., a₉ sind

${\begin{aligned}a_{1}&=1,448.96,&a_{2}&=4.591,&a_{3}&=-5.304\times 10^{-2},\\a_{4}&=2.374\times 10^{-4},&a_{5}&=1.340,&a_{6}&=1.630\times 10^{-2},\\a_{7}&=1.675\times 10^{-7},&a_{8}&=-1.025\times 10^{-2},&a_{9}&=-7.139\times 10^{-13},\end{aligned}}$

mit dem Kontrollwert 1550,744 m/s für T = 25 °C, S = 35 Teile pro Tausend, z = 1.000 m. Diese Gleichung hat einen Standardfehler von 0,070 m/s für den Salzgehalt zwischen 25 und 40 ppt. Siehe Technische Leitfäden. Geschwindigkeit des Schalls in Meerwasser für einen Online-Rechner. ⓘ

(Hinweis: Das Diagramm Schallgeschwindigkeit vs. Tiefe korreliert nicht direkt mit der MacKenzie-Formel. Das liegt daran, dass die Temperatur und der Salzgehalt in verschiedenen Tiefen unterschiedlich sind. Wenn T und S konstant gehalten werden, nimmt die Formel selbst immer mit der Tiefe zu). ⓘ

Andere Gleichungen für die Schallgeschwindigkeit in Meerwasser sind über einen weiten Bereich von Bedingungen genau, aber weitaus komplizierter, z. B. die von V. A. Del Grosso und die Chen-Millero-Li-Gleichung. ⓘ

Schallgeschwindigkeit in Plasmen

Die Schallgeschwindigkeit in einem Plasma für den allgemeinen Fall, dass die Elektronen heißer sind als die Ionen (aber nicht zu heiß), wird durch die folgende Formel angegeben (siehe hier)

$c_{s}=(\gamma ZkT_{\mathrm {e} }/m_{\mathrm {i} })^{1/2}=90.85(\gamma ZT_{e}/\mu )^{1/2}~\mathrm {m/s} ,$

wobei

• m_i ist die Ionenmasse;
• μ ist das Verhältnis der Ionenmasse zur Protonenmasse μ = m_i/m_p;
• T_e ist die Elektronentemperatur;
• Z ist der Ladungszustand;
• k ist die Boltzmann-Konstante;
• γ ist der adiabatische Index. ⓘ

Im Gegensatz zu einem Gas werden der Druck und die Dichte von getrennten Spezies bereitgestellt: der Druck von den Elektronen und die Dichte von den Ionen. Die beiden sind durch ein fluktuierendes elektrisches Feld gekoppelt. ⓘ

Mars

Die Schallgeschwindigkeit auf dem Mars variiert in Abhängigkeit von der Frequenz. Höhere Frequenzen breiten sich schneller aus als niedrigere Frequenzen. Höherfrequenter Schall von Lasern breitet sich mit 250 m/s (820 ft/s) aus, während niederfrequenter Schall bei 240 m/s (790 ft/s) seinen Höhepunkt erreicht. ⓘ

Steigungen

Wenn sich der Schall in drei Dimensionen gleichmäßig in alle Richtungen ausbreitet, nimmt die Intensität im Verhältnis zum Quadrat der Entfernung ab. Im Ozean gibt es jedoch eine Schicht, den so genannten "tiefen Schallkanal" oder SOFAR-Kanal, der die Schallwellen auf eine bestimmte Tiefe begrenzen kann. ⓘ

Im SOFAR-Kanal ist die Schallgeschwindigkeit geringer als in den Schichten darüber und darunter. Genauso wie sich Lichtwellen in einem Bereich mit höherem Brechungsindex brechen, brechen sich Schallwellen in einem Bereich, in dem ihre Geschwindigkeit verringert ist. Das Ergebnis ist, dass der Schall in der Schicht eingeschlossen wird, ähnlich wie Licht in einer Glasscheibe oder optischen Faser eingeschlossen werden kann. Der Schall wird also im Wesentlichen in zwei Dimensionen eingeschlossen. In zwei Dimensionen nimmt die Intensität nur im Verhältnis zum Kehrwert der Entfernung ab. Dadurch können sich die Wellen viel weiter ausbreiten, bevor sie unmerklich schwächer werden. ⓘ

Ein ähnlicher Effekt tritt in der Atmosphäre auf. Das Projekt Mogul nutzte diesen Effekt erfolgreich, um eine Atomexplosion in großer Entfernung zu erkennen. ⓘ

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Schallwellen in Festkörpern können sich sowohl als Longitudinalwelle (hierbei ist die Schwingungsrichtung der Teilchen parallel zur Ausbreitungsrichtung) oder als Transversalwelle (Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) ausbreiten. ⓘ

Für Longitudinalwellen hängt im allgemeinen Fall die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern von der Dichte $\rho$, der Poissonzahl $\nu$ und dem Elastizitätsmodul $E$ des Festkörpers ab. Dabei gilt

$c_{\text{Festkörper, longitudinal}}={\sqrt {\frac {E\,(1-\nu )}{\rho \,(1-\nu -2\nu ^{2})}}}$

$c_{\text{Festkörper, transversal}}={\sqrt {\frac {E}{2\,\rho \,(1+\nu )}}}\ =\ {\sqrt {\frac {G}{\rho }}}$

mit dem Schubmodul $G={\frac {E}{2\,(1+\nu )}}$. ⓘ

Das Verhältnis der Ausbreitungsgeschwindigkeit zwischen Longitudinal- und Transversalwelle ist in isotropen Medien immer größer als 1,414 (${\sqrt {2}}$) und nur abhängig von der Poissonzahl $\nu$:

$\nu$	${\tfrac {c_{\mathrm {long} }}{c_{\mathrm {trans} }}}$	Material		$\nu$	${\tfrac {c_{\mathrm {long} }}{c_{\mathrm {trans} }}}$	Material
0	1,414	Kork		0,3333...	2
0,032	1,438	Beryllium		0,4375	3
0,2	1,633	Beton		0,44	3,05	Blei
0,33	1,895	Titan		0,47916...	4
0,35	2,082	Al, Cu, Mg		$\rightarrow$ 0,5	$\rightarrow \infty$	Gummi, Übergang zu Flüssigkeiten

ⓘ

Für eine Oberflächenwelle auf einem ausgedehnten Festkörper (Rayleigh-Welle) gilt:

$c_{\text{Festkörper, Oberfläche}}\approx 0{,}922\cdot c_{\text{Festkörper, transversal}}$ ⓘ

Der Ausdruck $M={\frac {E\,(1-\nu )}{(1-\nu -2\nu ^{2})}}$ wird auch als Longitudinalmodul bezeichnet, sodass für die Longitudinalwelle auch

$c_{\text{Festkörper, longitudinal}}={\sqrt {\frac {M}{\rho }}}$

geschrieben werden kann. ⓘ

Im Spezialfall eines langen Stabes, dessen Durchmesser deutlich kleiner als die Wellenlänge der Schallwelle ist, kann der Einfluss der Querkontraktion vernachlässigt werden (d. h. $\nu =0$), und man erhält:

$c_{\text{langer Stab, longitudinal}}={\sqrt {\frac {E}{\rho }}}$

$c_{\text{langer Stab, transversal}}={\sqrt {\frac {E}{2\rho }}}$ ⓘ

Das theoretische Limit für Schallgeschwindigkeit in Festkörpern beträgt

$c_{\mathrm {solid} }^{\mathrm {max} }=c\cdot \alpha \cdot {\sqrt {\frac {m_{\mathrm {e} }}{2m_{\mathrm {p} }}}}={\frac {c}{8304{,}3\ldots }}\approx 36{,}1\;\mathrm {km/s} \,,$ ⓘ

wobei c die Lichtgeschwindigkeit, α die Feinstrukturkonstante, m_e die Masse eines Elektrons und m_p die Masse eines Protons ist. ⓘ

Schallgeschwindigkeit im idealen Gas

Quanteneffekte

Da die Schallgeschwindigkeit einerseits mit dem Kundtschen Rohr schon früh verhältnismäßig leicht präzise zu messen war und andererseits direkt mit einer atomphysikalischen Größe, der Anzahl der Freiheitsgrade, verknüpft ist, führte sie zur frühen Entdeckung wichtiger Effekte, die erst mit der Quantenmechanik erklärt werden konnten. ⓘ

Atome als Massepunkte

Das erste mit chemischen Methoden als einatomig identifizierte Gas – Quecksilberdampf bei hoher Temperatur – zeigte 1875 auch zum ersten Mal den Wert $\kappa =1{,}667$, also $f=3$. Dieser Wert ist nach der kinetischen Gastheorie einem Gas aus idealen Massepunkten vorbehalten. Ab 1895 kamen gleiche Befunde an den neu entdeckten Edelgasen Argon, Neon etc. hinzu. Das stützte einerseits die damalige Atomhypothese, nach der alle Materie aus winzigen Kügelchen aufgebaut ist, warf aber andererseits die Frage auf, warum diese Kugeln nicht wie jeder starre Körper drei weitere Freiheitsgrade für Drehbewegungen besitzen. Die Ende der 1920er Jahre gefundene quantenmechanische Erklärung besagt, dass für Drehbewegungen angeregte Energieniveaus besetzt werden müssen, deren Energie so hoch liegt, dass die kinetische Energie der stoßenden Gasteilchen bei weitem nicht ausreicht. Das gilt auch für die Rotation eines zweiatomigen Moleküls um die Verbindungslinie der Atome und erklärt somit, warum es hier für die Rotation nicht drei, sondern nur zwei Freiheitsgrade gibt. ⓘ

Einfrieren der Drehbewegung

Eine markante Temperaturabhängigkeit des Adiabatenkoeffizienten wurde 1912 bei Wasserstoff entdeckt: Bei Abkühlung von 300 K auf 100 K steigt $\kappa$ monoton von $1{,}400$ auf $1{,}667$, d. h. vom Wert für eine Hantel zum Wert für einen Massepunkt. Man sagt, die Rotation „friert ein“, bei 100 K verhält sich das ganze Molekül wie ein Massepunkt. Die quantenmechanische Begründung schließt an die obige Erklärung für Einzelatome an: Bei 100 K reicht die Stoßenergie der Gasmoleküle praktisch nie zur Anregung eines Energieniveaus mit höherem Drehimpuls, bei 300 K praktisch immer. Der Effekt ist bei anderen Gasen so deutlich nicht beobachtbar, weil sie in dem jeweils betreffenden Temperaturbereich bereits verflüssigt sind. Jedoch wird auf diese Weise erklärt, warum die gemessenen Adiabatenkoeffizienten realer Gase von der einfachen Formel $\kappa ={\tfrac {f+2}{f}}$ meist etwas abweichen. ⓘ

Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien

In Gasen

Gas	longitudinal in m/s ⓘ
Luft	343
Helium	981
Wasserstoff	1280
Sauerstoff (bei 0 °C)	316
Kohlendioxid	266
Argon	319
Krypton	221
Wasserdampf (bei 100 °C)	477
Schwefelhexafluorid (bei 0 °C)	129

Soweit nicht anders vermerkt, gelten die Werte für Standardbedingungen (Temperatur von 20 °C, Druck von einer physikalischen Atmosphäre). ⓘ

In Flüssigkeiten

Medium	longitudinal in m/s ⓘ
Wasser	1484
Wasser (bei 0 °C)	1407
Meerwasser	≈1500
Öl (SAE 20/30)	1340
Quecksilber	1450

Soweit nicht anders vermerkt, gelten die Werte für eine Temperatur von 20 °C. ⓘ

In Festkörpern

Medium	longitudinal in m/s	transversal in m/s ⓘ
Eis (bei −4 °C)	3250	1990
Gummi	1500	150
Silikonkautschuk (RTV)	≈ 1000
Plexiglas	2670	1120
PVC-P (weich)	80
PVC-U (hart)	2250	1060
Beton (C20/25)	3655	2240
Buchenholz	3300
Marmor	6150
Aluminium	6250–6350	3100
Beryllium	12.800, 12.900	8710, 8880
Blei	2160	700
Gold	3240	1200
Kupfer	4660	2260
Magnesium	5790	3100
Magnesium/Zk60	4400	810
Stahl	5850, 5920	3230
Titan	6100	3120
Eisen	5170
Bor	16.200
Diamant	18.000
Graphen	20.000

Soweit nicht anders vermerkt, gelten die Werte für eine Temperatur von 20 °C. ⓘ

Unter extremen Bedingungen

Medium	longitudinal, etwa (km/s) ⓘ
Dichte Molekülwolke	1
Erdkern (Seismische P-Wellen)	8 ... 11
Interplanetares Medium auf Höhe der Erdbahn	60
Interstellares Medium (hängt stark von der Temperatur ab)	0,2 (7 K) ... 100 (2 Mio. K)
Kernmaterie	$(c/5)$ 60 000

Temperaturabhängigkeit

Schallgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Lufttemperatur ⓘ

Temperatur $\vartheta$ (°C)	Schallgeschwindigkeit $c_{\text{S}}$
	(m/s)	(km/h)	(kn)
−50	299,63	1078,7	582,4
−40	306,27	1102,6	595,4
−30	312,77	1126,0	608,2
−20	319,09	1148,7	620,2
−10	325,35	1171,3	632,4
0±0	331,50	1193,4	644,4
+10	337,54	1215,1	656,1
+20	343,46	1236,5	667,7
+30	349,29	1257,2	678,8
+40	354,94	1277,8	690,0
+50	360,57	1298,0	700,9