Schubmodul

Physikalische Größe ⓘ
Name	Schubmodul
Formelzeichen	G
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI Pa = N/m2 = kg·m−1·s−2 M·L−1·T−2 cgs Ba = dyn/cm2 = cm−1·g·s−2
Siehe auch: Elastizitätsmodul E Spannung (Mechanik) $\sigma$

Material	Typische Werte für den Schubmodul in GPa (bei Raumtemperatur) ⓘ
Stahl	79,3–81
Silicium (polykristallin)	65
Kupfer	47
Titan	41,4
Glas	26,2
Aluminium	25,5
Magnesium	17
Polyethylen	00,117
Gummi	00,0003

Schubmodul eines speziellen Basisglases:
Einflüsse der Zugabe ausgewählter Glasbestandteile ⓘ

Der Schubmodul $G$ (auch Gleitmodul, G-Modul, Schermodul oder Torsionsmodul) ist eine Materialkonstante, die Auskunft gibt über die linear-elastische Verformung eines Bauteils infolge einer Scherkraft oder Schubspannung. Die SI-Einheit ist Newton pro Quadratmeter (1 N/m² = 1 Pa), also die Einheit einer mechanischen Spannung. In Materialdatenbanken wird der Schubmodul üblicherweise in N/mm² (=MPa) oder kN/mm² (=GPa) angegeben. ⓘ

Im Rahmen der Elastizitätstheorie entspricht der Schubmodul der zweiten Lamé-Konstanten und trägt dort das Symbol $\mu$. ⓘ

Scherdehnung ⓘ

In der Werkstoffkunde ist der Schermodul oder Steifigkeitsmodul, der mit G oder manchmal auch mit S oder μ bezeichnet wird, ein Maß für die elastische Schersteifigkeit eines Materials und ist definiert als das Verhältnis von Scherspannung zu Scherdehnung:

$G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A}{\Delta x/l}}={\frac {Fl}{A\Delta x}}$ ⓘ

wobei

$\tau _{xy}=F/A\,$ = Scherspannung

$F$ ist die wirkende Kraft

$A$ ist die Fläche, auf die die Kraft einwirkt

$\gamma _{xy}$ = Scherdehnung. In der Technik $:=\Delta x/l=\tan \theta$an anderer Stelle $:=\theta$

$\Delta x$ ist die Querverschiebung

$l$ ist die ursprüngliche Länge der Fläche. ⓘ

Die abgeleitete SI-Einheit des Schermoduls ist das Pascal (Pa), obwohl er gewöhnlich in Gigapascal (GPa) oder in tausend Pfund pro Quadratzoll (ksi) ausgedrückt wird. Seine Dimensionsform ist M¹L-1T-2, wobei die Kraft durch Masse mal Beschleunigung ersetzt wird. ⓘ

Erläuterung

Werkstoff	Typische Werte für Schermodul (GPa) (bei Raumtemperatur) ⓘ
Diamant	478.0
Stahl	79.3
Eisen	52.5
Kupfer	44.7
Titan	41.4
Glas	26.2
Aluminium	25.5
Polyethylen	0.117
Gummi	0.0006
Granit	24
Schiefer	1.6
Kalkstein	24
Kreide	3.2
Sandstein	0.4
Holz	4

Der Schermodul ist eine von mehreren Größen zur Messung der Steifigkeit von Materialien. Sie alle ergeben sich aus dem verallgemeinerten Hooke'schen Gesetz:

• Der Elastizitätsmodul E beschreibt die Dehnungsreaktion des Materials auf eine einachsige Belastung in Richtung dieser Belastung (wie das Ziehen an den Enden eines Drahtes oder das Auflegen eines Gewichts auf eine Säule, wobei der Draht länger wird und die Säule an Höhe verliert),
• die Poissonzahl ν beschreibt die Reaktion in den Richtungen orthogonal zu dieser einachsigen Spannung (der Draht wird dünner und die Säule dicker),
• der Kompressionsmodul K beschreibt die Reaktion des Materials auf (gleichmäßigen) hydrostatischen Druck (wie der Druck am Boden des Ozeans oder eines tiefen Schwimmbeckens),
• der Schermodul G beschreibt die Reaktion des Materials auf Scherspannung (wie beim Schneiden mit einer stumpfen Schere). ⓘ

Diese Moduln sind nicht unabhängig voneinander, und für isotrope Materialien sind sie über die Gleichungen verbunden

$E=2G(1+\nu )=3K(1-2\nu )$ ⓘ

Der Schermodul befasst sich mit der Verformung eines Festkörpers, wenn eine Kraft parallel zu einer seiner Oberflächen auf ihn einwirkt, während auf die gegenüberliegende Seite eine entgegengesetzte Kraft einwirkt (z. B. Reibung). Im Falle eines Objekts, das wie ein rechteckiges Prisma geformt ist, verformt es sich zu einem Parallelepiped. Anisotrope Materialien wie Holz, Papier und im Wesentlichen auch alle Einkristalle reagieren unterschiedlich auf Spannung oder Dehnung, wenn sie in verschiedenen Richtungen geprüft werden. In diesem Fall kann es erforderlich sein, den vollständigen Tensorausdruck der elastischen Konstanten anstelle eines einzelnen skalaren Wertes zu verwenden. ⓘ

Eine mögliche Definition einer Flüssigkeit wäre ein Material mit einem Schermodul von Null. ⓘ

Bei einem isotropen Material steht der Schubmodul mit dem Elastizitätsmodul E, der Querkontraktionszahl ν (Poissonzahl) und dem Kompressionsmodul K in folgender Beziehung:

$G={\frac {1}{2(1+\nu )}}\cdot E={\frac {3KE}{9K-E}}={\frac {3(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}\cdot K$ ⓘ

Für linear-elastisches, nicht-auxetisches Material ist die Poissonzahl größer-gleich null. Aus der Energieerhaltung ergibt sich die positive Definitheit von Kompressionsmodul und E-Modul. Daraus folgt, dass die Poissonzahl unter 0,5 liegt. $\left(0\leq \nu <0{,}5\right)$ Somit ergibt sich für den Schubmodul der meisten Materialien im linear-elastischen Bereich:

${\frac {1}{3}}E<G\leq {\frac {1}{2}}E$ ⓘ

Auxetische Materialien sind so definiert, dass sie eine negative Poissonzahl haben, was nur bei wenigen Materialien der Fall ist. Da der Schubmodul aufgrund der Energieerhaltung eine positiv definite Größe hat, gilt für auxetische Materialien im linear-elastischen Bereich:

${\frac {1}{2}}E<G_{\mathrm {aux} }<+\infty$

Da auch der E-Modul positiv definit ist, ergibt sich für die Poissonzahl der Gültigkeitsbereich $-1<\nu _{\mathrm {aux} }<0.$

Umrechnung zwischen den elastischen Konstanten ⓘ

Scherwellen

Einflüsse ausgewählter Glaskomponenten auf den Schermodul eines bestimmten Basisglases. ⓘ

In homogenen und isotropen Festkörpern gibt es zwei Arten von Wellen: Druckwellen und Scherwellen. Die Geschwindigkeit einer Scherwelle, $(v_{s})$ wird durch den Schermodul bestimmt,

$v_{s}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}$

wobei

G ist der Schermodul

$\rho$ ist die Dichte des Festkörpers. ⓘ

Schermodul von Metallen

Schermodul von Kupfer in Abhängigkeit von der Temperatur. Die experimentellen Daten sind mit farbigen Symbolen dargestellt. ⓘ

In der Regel wird beobachtet, dass der Schermodul von Metallen mit steigender Temperatur abnimmt. Bei hohen Drücken scheint der Schermodul auch mit dem angewandten Druck zuzunehmen. Bei vielen Metallen wurden Korrelationen zwischen der Schmelztemperatur, der Leerstellenbildungsenergie und dem Schermodul festgestellt. ⓘ

Es gibt mehrere Modelle, die versuchen, den Schermodul von Metallen (und möglicherweise von Legierungen) vorherzusagen. Zu den Schermodulmodellen, die bei Berechnungen des plastischen Fließens verwendet wurden, gehören:

1. das MTS-Schermodulmodell, das von Mechanical Threshold Stress (MTS) entwickelt wurde und in Verbindung mit dem Modell für plastische Fließspannungen verwendet wird.
2. das von Steinberg-Cochran-Guinan (SCG) entwickelte Schermodulmodell, das in Verbindung mit dem Steinberg-Cochran-Guinan-Lund (SCGL) Fließspannungsmodell verwendet wird.
3. das Schermodulmodell von Nadal und LePoac (NP), das die Lindemann-Theorie zur Bestimmung der Temperaturabhängigkeit und das SCG-Modell für die Druckabhängigkeit des Schermoduls verwendet. ⓘ

MTS-Modell

Das MTS-Schermodulmodell hat die folgende Form:

$\mu (T)=\mu _{0}-{\frac {D}{\exp(T_{0}/T)-1}}$ ⓘ

wobei $\mu _{0}$ ist der Schermodul bei $T=0K$und $D$ und $T_{0}$ sind Materialkonstanten. ⓘ

SCG-Modell

Das Steinberg-Cochran-Guinan (SCG)-Schermodulmodell ist druckabhängig und hat die Form

$\mu (p,T)=\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}+{\frac {\partial \mu }{\partial T}}(T-300);\quad \eta :={\frac {\rho }{\rho _{0}}}$

wobei μ₀ der Schermodul im Referenzzustand (T = 300 K, p = 0, η = 1), p der Druck und T die Temperatur ist. ⓘ

NP-Modell

Das Nadal-Le Poac (NP) Schermodulmodell ist eine modifizierte Version des SCG-Modells. Die empirische Temperaturabhängigkeit des Schermoduls im SCG-Modell wird durch eine Gleichung auf der Grundlage der Lindemann-Schmelztheorie ersetzt. Das NP-Schermodulmodell hat die folgende Form:

$\mu (p,T)={\frac {1}{{\mathcal {J}}\left({\hat {T}}\right)}}\left[\left(\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}\right)\left(1-{\hat {T}}\right)+{\frac {\rho }{Cm}}~T\right];\quad C:={\frac {\left(6\pi ^{2}\right)^{\frac {2}{3}}}{3}}f^{2}$ ⓘ

wobei ⓘ

${\mathcal {J}}({\hat {T}}):=1+\exp \left[-{\frac {1+1/\zeta }{1+\zeta /\left(1-{\hat {T}}\right)}}\right]\quad {\text{for}}\quad {\hat {T}}:={\frac {T}{T_{m}}}\in [0,6+\zeta ],$ ⓘ

und μ₀ ist der Schermodul bei absolutem Nullpunkt und Umgebungsdruck, ζ ist eine Fläche, m ist die Atommasse und f ist die Lindemann-Konstante. ⓘ

Scher-Relaxationsmodul

Der Scherrelaxationsmodul $G(t)$ ist die zeitabhängige Verallgemeinerung des Schermoduls $G$:

$G=\lim _{t\to \infty }G(t)$. ⓘ

Definition

Der Schubmodul beschreibt das Verhältnis zwischen der Schubspannung $\tau$ und dem Tangens des Schubwinkels $\gamma$ (Gleitung):

$\tau =G\cdot \tan \gamma$ ⓘ

Für kleine Winkel $\gamma$ kann in erster Näherung $\tan \gamma \approx \gamma$ gesetzt werden (Kleinwinkelnäherung). ⓘ

Diese Formel ist analog zum Hooke’schen Gesetz für den 1-achsigen Spannungszustand:

$\sigma =E\cdot \varepsilon$ ⓘ

Die Schubsteifigkeit ist das Produkt aus dem Schubmodul $G$ des Werkstoffs und der Querschnittsfläche $A$:

${\text{Schubsteifigkeit}}=G\cdot A\cdot \kappa \left(=G\cdot A_{S}\right),$ zum Beispiel in $\mathrm {N}$ ⓘ

Der querschnittsabhängige Korrekturfaktor $\kappa$ berücksichtigt dabei die über den Querschnitt ungleichförmige Verteilung der Schubspannung $\tau$. Oft wird die Schubsteifigkeit auch mithilfe der Schubfläche $A_{S}$ ausgedrückt. ⓘ

Bei Torsionsbelastung eines Bauteils berechnet sich seine Torsionssteifigkeit aus dem Schubmodul und dem Torsionsträgheitsmoment $I_{\mathrm {T} }$, das auf die Achse bezogen ist, um die der Körper tordiert wird:

$\mathrm {Torsionssteifigkeit_{T}} =G\cdot I_{\mathrm {T} },$ ⓘ

analog zur Ermittlung der Dehnsteifigkeit (aus dem Produkt von Elastizitätsmodul und Querschnittsfläche). ⓘ