Poissonzahl

Die Poissonzahl $\nu$ (nach Siméon Denis Poisson; auch Querkontraktionszahl, Querdehnungszahl oder Querdehnzahl genannt; Formelzeichen auch $\mu$) ist ein Materialkennwert in der Mechanik bzw. Festigkeitslehre. Sie dient der Berechnung der Querkontraktion und gehört zu den elastischen Konstanten eines Materials. Die Poissonzahl ist eine Größe der Dimension Zahl, d. h. sie ist ein einfacher Zahlenwert. ⓘ

Ein Körper, an dem gezogen wird, wird länger und dünner ⓘ

Wird eine Probe (ein Vollmaterialstück genormter Größe) gedehnt, indem sie an ihren Enden („in Längsrichtung“) auseinandergezogen wird, so kann dies Einfluss auf ihr Volumen haben. Bei einer Probe, deren Material eine Poissonzahl nahe 0,5 hat, bleibt das Volumen (fast) gleich – zieht man sie länger, so wird sie gerade so viel dünner, dass ihr Volumen (praktisch) gleich bleibt (zum Beispiel bei Gummi). Eine Poissonzahl < 0,5 bedeutet, dass das Volumen der Probe zunimmt, wenn man sie auseinanderzieht (sämtliche isotrope Materialien, zum Beispiel Metalle). Die Probe wird zwar dünner, aber nicht so sehr, dass das Volumen gleich bliebe. Eine Poissonzahl < 0 bedeutet, dass die Probe dicker wird, wenn sie auseinandergezogen wird. ⓘ

Die Poissonzahl eines Materials gibt das Verhältnis der Querdehnung (x-Richtung) zur Axialdehnung (y-Richtung) an. ⓘ

In der Materialwissenschaft und Festkörpermechanik ist die Poissonzahl $\nu$ (nu) ein Maß für den Poisson-Effekt, d. h. die Verformung (Ausdehnung oder Kontraktion) eines Materials in Richtungen, die senkrecht zur jeweiligen Belastungsrichtung stehen. Der Wert der Poissonzahl ist der negative Wert des Verhältnisses von Querdehnung zu Axialdehnung. Für kleine Werte dieser Änderungen, $\nu$ ist der Betrag der Querdehnung geteilt durch den Betrag der axialen Stauchung. Bei den meisten Materialien liegt die Poissonzahl zwischen 0,0 und 0,5. Bei weichen Materialien wie Gummi, bei denen der Volumenmodul viel höher ist als der Schermodul, liegt die Poissonzahl nahe bei 0,5. Bei offenzelligen Polymerschäumen liegt die Poissonzahl nahe Null, da die Zellen beim Zusammendrücken zum Kollaps neigen. Viele typische Feststoffe haben Poisson-Zahlen im Bereich von 0,2-0,3. Das Verhältnis ist nach dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Poisson benannt. ⓘ

Ursprung

Die Poissonzahl ist ein Maß für den Poisson-Effekt, d. h. das Phänomen, dass ein Material dazu neigt, sich in Richtungen auszudehnen, die senkrecht zur Druckrichtung liegen. Wird das Material hingegen gedehnt statt gestaucht, zieht es sich in der Regel in den Richtungen quer zur Dehnungsrichtung zusammen. Wenn ein Gummiband gedehnt wird, wird es in der Regel deutlich dünner. Auch hier ist die Poissonzahl das Verhältnis der relativen Kontraktion zur relativen Expansion und hat den gleichen Wert wie oben. In einigen seltenen Fällen schrumpft ein Material tatsächlich in Querrichtung, wenn es zusammengedrückt wird (oder dehnt sich aus, wenn es gedehnt wird), was einen negativen Wert für die Poissonzahl ergibt. ⓘ

Die Poissonzahl eines stabilen, isotropen, linear elastischen Materials muss zwischen -1,0 und +0,5 liegen, da der Elastizitätsmodul, der Schermodul und der Volumenmodul positive Werte haben müssen. Bei den meisten Materialien liegt die Poissonzahl zwischen 0,0 und 0,5. Ein vollkommen inkompressibles isotropes Material, das bei kleinen Dehnungen elastisch verformt wird, hätte eine Poissonzahl von genau 0,5. Die meisten Stähle und starren Polymere weisen bei Verwendung innerhalb ihrer Konstruktionsgrenzen (vor der Streckung) Werte von etwa 0,3 auf, die sich bei Verformung nach der Streckung, die weitgehend bei konstantem Volumen erfolgt, auf 0,5 erhöhen. Gummi hat eine Poissonzahl von fast 0,5. Die Poissonzahl von Kork liegt nahe bei 0 und zeigt beim Zusammendrücken nur eine sehr geringe seitliche Ausdehnung, und Glas liegt zwischen 0,18 und 0,30. Einige Materialien, z. B. einige Polymerschäume, Origami-Falten und bestimmte Zellen, können eine negative Poissonzahl aufweisen und werden als auxetische Materialien bezeichnet. Wenn diese auxetischen Materialien in eine Richtung gedehnt werden, werden sie in der senkrechten Richtung dicker. Im Gegensatz dazu können einige anisotrope Materialien wie Kohlenstoff-Nanoröhren, zickzackförmig gefaltete Plattenmaterialien und wabenförmige auxetische Metamaterialien, um nur einige zu nennen, in bestimmten Richtungen eine oder mehrere Poissonzahlen über 0,5 aufweisen. ⓘ

Angenommen, das Material wird nur in einer Richtung gedehnt oder gestaucht (die x-Achse im folgenden Diagramm):

$\nu =-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {trans} }}{d\varepsilon _{\mathrm {axial} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {y} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}=-{\frac {d\varepsilon _{\mathrm {z} }}{d\varepsilon _{\mathrm {x} }}}$

wobei

• $\nu$ die resultierende Poissonzahl ist,
• $\varepsilon _{\mathrm {trans} }$ die Querdehnung
• $\varepsilon _{\mathrm {axial} }$ ist die axiale Dehnung

und positive Dehnung bedeutet Ausdehnung und negative Dehnung bedeutet Kontraktion. ⓘ

Poisson-Zahl aus Geometrieänderungen

Längenänderung

[Bild:PoissonRatio.svg|thumb|300px|right|Abbildung 1: Ein Würfel mit den Seitenlängen L aus einem isotropen, linear elastischen Material, das in x-Richtung unter Spannung steht, mit einer Poissonzahl von 0,5. Der grüne Würfel ist ungedehnt, der rote Würfel wird durch die Spannung in x-Richtung um ΔL gedehnt und in y- und z-Richtung um ΔL kontrahiert..]] ⓘ

Für einen Würfel, der in der x-Richtung gedehnt wird (siehe Abbildung 1) mit einer Längenzunahme von $\Delta L$ in x-Richtung und einer Längenabnahme von $\Delta L'$ in y- und z-Richtung sind die infinitesimalen diagonalen Dehnungen gegeben durch

$d\varepsilon _{x}={\frac {dx}{x}}\qquad d\varepsilon _{y}={\frac {dy}{y}}\qquad d\varepsilon _{z}={\frac {dz}{z}}.$ ⓘ

Wenn die Poissonzahl während der Verformung konstant ist, ergibt die Integration dieser Ausdrücke und die Verwendung der Definition der Poissonzahl

$-\nu \int _{L}^{L+\Delta L}{\frac {dx}{x}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dy}{y}}=\int _{L}^{L+\Delta L'}{\frac {dz}{z}}.$ ⓘ

Durch Lösen und Potenzieren ergibt sich die Beziehung zwischen $\Delta L$ und $\Delta L'$ ist dann

$\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{-\nu }=1+{\frac {\Delta L'}{L}}.$ ⓘ

Für sehr kleine Werte von $\Delta L$ und $\Delta L'$ergibt sich die Näherung erster Ordnung:

$\nu \approx -{\frac {\Delta L'}{\Delta L}}.$ ⓘ

Volumensänderung

Die relative Volumenänderung ΔV/V eines Würfels aufgrund der Dehnung des Materials kann nun berechnet werden. Mit $V=L^{3}$ und $V+\Delta V=(L+\Delta L)\left(L+\Delta L'\right)^{2}$:

${\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)\left(1+{\frac {\Delta L'}{L}}\right)^{2}-1$ ⓘ

Unter Verwendung der oben abgeleiteten Beziehung zwischen $\Delta L$ und $\Delta L'$:

${\frac {\Delta V}{V}}=\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)^{1-2\nu }-1$ ⓘ

und für sehr kleine Werte von $\Delta L$ und $\Delta L'$ergibt sich die Näherung erster Ordnung:

${\frac {\Delta V}{V}}\approx (1-2\nu ){\frac {\Delta L}{L}}$ ⓘ

Für isotrope Materialien können wir die Lamésche Beziehung verwenden

$\nu \approx {\frac {1}{2}}-{\frac {E}{6K}}$

wobei $K$ ist der Elastizitätsmodul und $E$ ist der Elastizitätsmodul. ⓘ

Breitenänderung

Abbildung 2: Vergleich zwischen den beiden Formeln, eine für kleine Verformungen, die andere für große Verformungen

Wenn ein Stab mit dem Durchmesser (oder der Breite oder der Dicke) d und der Länge L einer Spannung ausgesetzt wird, so dass sich seine Länge um ΔL ändert, ändert sich sein Durchmesser d um:

${\Delta d \over d}=-\nu {\frac {\Delta L}{L}}$ ⓘ

Die obige Formel gilt nur für kleine Verformungen; bei großen Verformungen kann die folgende (genauere) Formel verwendet werden:

$\Delta d=-d\left(1-{\left(1+{\frac {\Delta L}{L}}\right)}^{-\nu }\right)$

wobei

• $d$ ist ursprünglicher Durchmesser
• $\Delta d$ ist die Änderung des Stabdurchmessers
• $\nu$ ist die Poissonsche Zahl
• $L$ ist die ursprüngliche Länge, vor der Dehnung
• $\Delta L$ ist die Änderung der Länge. ⓘ

Der Wert ist negativ, weil er mit zunehmender Länge abnimmt. ⓘ

Charakteristische Materialien

Isotrop

Bei einem linear isotropen Material, das nur Druckkräften (d. h. Normalkräften) ausgesetzt ist, führt die Verformung eines Materials in Richtung einer Achse zu einer Verformung des Materials entlang der anderen Achse in drei Dimensionen. Somit ist es möglich, das Hooke'sche Gesetz (für Druckkräfte) in drei Dimensionen zu verallgemeinern:

$\varepsilon _{xx}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{xx}-\nu \left(\sigma _{yy}+\sigma _{zz}\right)\right]$

$\varepsilon _{yy}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{yy}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{zz}\right)\right]$

$\varepsilon _{zz}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{zz}-\nu \left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}\right)\right]$

wobei:

• $\varepsilon _{xx}$, $\varepsilon _{yy}$, und $\varepsilon _{zz}$ die Dehnungen in Richtung der $x$, $y$ und $z$ Achse
• $\sigma _{xx}$, $\sigma _{yy}$, und $\sigma _{zz}$ die Spannung in der Richtung von $x$, $y$ und $z$ Achse
• $E$ der Elastizitätsmodul (in allen Richtungen gleich: $x$, $y$, und $z$ für isotrope Materialien)
• $\nu$ ist die Poissonzahl (in allen Richtungen gleich: $x$, $y$ und $z$ für isotrope Materialien) ⓘ

Diese Gleichungen lassen sich im Folgenden alle zusammenfassen:

$\varepsilon _{ii}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ii}(1+\nu )-\nu \sum _{k}\sigma _{kk}\right]$ ⓘ

Im allgemeinsten Fall gelten nicht nur Normalspannungen, sondern auch Schubspannungen, und die vollständige Verallgemeinerung des Hooke'schen Gesetzes ist gegeben durch:

$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sum _{k}\sigma _{kk}\right]$

wobei $\delta _{ij}$ ist das Kronecker-Delta. Üblicherweise wird die Einstein-Schreibweise verwendet:

$\sigma _{kk}\equiv \sum _{l}\delta _{kl}\sigma _{kl}$

um die Gleichung einfach zu schreiben als:

$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}\left[\sigma _{ij}(1+\nu )-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}\right]$ ⓘ

Anisotrop

Bei anisotropen Materialien hängt die Poissonzahl von der Richtung der Dehnung und der Querverformung ab

$\nu (\mathbf {n} ,\mathbf {m} )=-E\left(\mathbf {n} \right)s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}m_{\alpha }m_{\beta }$

$E^{-1}(\mathbf {n} )=s_{ij\alpha \beta }n_{i}n_{j}n_{\alpha }n_{\beta }$ ⓘ

Hier ist $\nu$ die Poissonzahl, $E$ der Elastizitätsmodul, $\mathbf {n}$ ist ein Einheitsvektor, der entlang der Dehnungsrichtung gerichtet ist, $\mathbf {m}$ ist ein Einheitsvektor, der senkrecht zur Dehnungsrichtung gerichtet ist. Die Poissonzahl hat je nach Art der Anisotropie eine unterschiedliche Anzahl von speziellen Richtungen. ⓘ

Orthotrope Materialien

Orthotrope Materialien weisen drei zueinander senkrechte Symmetrieebenen in ihren Materialeigenschaften auf. Ein Beispiel ist Holz, das entlang der Maserung am steifsten (und stärksten) ist und in den anderen Richtungen weniger steif. ⓘ

Das Hooke'sche Gesetz lässt sich in Matrixform wie folgt ausdrücken

${\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{yz}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{zx}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{xy}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}$

wobei

• $E_{i}$ ist der Elastizitätsmodul entlang der Achse $i$
• $G_{ij}$ ist der Schermodul in Richtung $j$ in der Ebene, deren Normale in Richtung $i$
• $\nu _{ij}$ ist die Poissonzahl, die einer Kontraktion in Richtung $j$ wenn eine Dehnung in Richtung angewendet wird $i$. ⓘ

Die Poissonzahl eines orthotropen Materials ist in jeder Richtung (x, y und z) unterschiedlich. Die Symmetrie der Spannungs- und Dehnungstensoren impliziert jedoch, dass nicht alle sechs Poisson-Zahlen in der Gleichung unabhängig sind. Es gibt nur neun unabhängige Materialeigenschaften: drei Elastizitätsmodule, drei Schermodule und drei Poisson-Quotienten. Die verbleibenden drei Poisson-Zahlen können aus den folgenden Beziehungen abgeleitet werden

${\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}~,\qquad {\frac {\nu _{zx}}{E_{z}}}={\frac {\nu _{xz}}{E_{x}}}~,\qquad {\frac {\nu _{yz}}{E_{y}}}={\frac {\nu _{zy}}{E_{z}}}$ ⓘ

Aus den obigen Beziehungen können wir erkennen, dass, wenn $E_{x}>E_{y}$ dann $\nu _{xy}>\nu _{yx}$. Die größere Poissonzahl (in diesem Fall $\nu _{xy}$) wird als Haupt-Poissonzahl bezeichnet, während die kleinere (in diesem Fall $\nu _{yx}$) wird als "kleine Poissonzahl" bezeichnet. Ähnliche Beziehungen lassen sich auch zwischen den anderen Poisson-Zahlen finden. ⓘ

Transversal isotrop

Transversal isotrope Materialien haben eine Isotropieebene, in der die elastischen Eigenschaften isotrop sind. Wenn wir annehmen, dass diese Isotropieebene $y-z$ist, dann hat das Hooke'sche Gesetz die Form

${\begin{bmatrix}\epsilon _{xx}\\\epsilon _{yy}\\\epsilon _{zz}\\2\epsilon _{yz}\\2\epsilon _{zx}\\2\epsilon _{xy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yx}}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zx}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xy}}{E_{x}}}&{\tfrac {1}{E_{y}}}&-{\tfrac {\nu _{zy}}{E_{z}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{xz}}{E_{x}}}&-{\tfrac {\nu _{yz}}{E_{y}}}&{\tfrac {1}{E_{z}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {yz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {zx}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xy}}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\sigma _{yy}\\\sigma _{zz}\\\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}\\\sigma _{xy}\end{bmatrix}}$

wobei wir die Isotropieebene verwendet haben $y-z$ verwendet, um die Anzahl der Konstanten zu reduzieren, d. h., $E_{y}=E_{z},~\nu _{xy}=\nu _{xz},~\nu _{yx}=\nu _{zx}$. ⓘ

Die Symmetrie der Spannungs- und Dehnungstensoren impliziert, dass

${\frac {\nu _{xy}}{E_{x}}}={\frac {\nu _{yx}}{E_{y}}}~,~~\nu _{yz}=\nu _{zy}~.$

Damit verbleiben sechs unabhängige Konstanten $E_{x},E_{y},G_{xy},G_{yz},\nu _{xy},\nu _{yz}$. Die transversale Isotropie führt jedoch zu einer weiteren Einschränkung zwischen $G_{yz}$ und $E_{y},\nu _{yz}$ die lautet

$G_{yz}={\frac {E_{y}}{2(1+\nu _{yz})}}~.$

Es gibt also fünf unabhängige elastische Materialeigenschaften, von denen zwei die Poisson-Zahlen sind. Für die angenommene Symmetrieebene ist die größere von $\nu _{xy}$ und $\nu _{yx}$ ist die größere Poissonzahl. Die anderen großen und kleinen Poisson-Zahlen sind gleich groß. ⓘ

Poisson-Zahlwerte für verschiedene Materialien

Einflüsse ausgewählter Glasbestandteile auf die Poissonzahl eines bestimmten Basisglases. ⓘ

Werkstoff	Poissonsche Zahl ⓘ
Gummi	0.4999
Gold	0.42–0.44
gesättigter Ton	0.40–0.49
Magnesium	0.252–0.289
Titan	0.265–0.34
Kupfer	0.33
Aluminium-Legierung	0.32
Ton	0.30–0.45
Rostfreier Stahl	0.30–0.31
Stahl	0.27–0.30
Gusseisen	0.21–0.26
Sand	0.20–0.455
Beton	0.1–0.2
Glas	0.18–0.3
metallische Gläser	0.276–0.409
Schaumstoff	0.10–0.50
Kork	0.0

Werkstoff	Symmetrie-Ebene	$\nu _{\rm {xy}}$	$\nu _{\rm {yx}}$	$\nu _{\rm {yz}}$	$\nu _{\rm {zy}}$	$\nu _{\rm {zx}}$	$\nu _{\rm {xz}}$ ⓘ
Nomex-Wabenkern	$x{\text{-}}y$Bändchen in $x$ Richtung	0.49	0.69	0.01	2.75	3.88	0.01
Glasfaser-Epoxidharz	$x{\text{-}}y$	0.29	0.32	0.06	0.06	0.32

Materialien mit negativer Poissonzahl

Einige Materialien, die als auxetische Materialien bekannt sind, weisen eine negative Poissonzahl auf. Bei einer positiven Dehnung in einer Längsachse ist die Querdehnung im Material tatsächlich positiv (d. h. sie würde die Querschnittsfläche vergrößern). Bei diesen Materialien ist dies in der Regel auf eindeutig orientierte, gelenkige Molekülbindungen zurückzuführen. Damit sich diese Bindungen in Längsrichtung dehnen können, müssen sich die Scharniere in Querrichtung "öffnen", was zu einer positiven Dehnung führt. Dies kann auch auf strukturierte Weise geschehen und zu neuen Aspekten im Materialdesign führen, wie bei mechanischen Metamaterialien. ⓘ

Untersuchungen haben gezeigt, dass bestimmte Massivholzarten bei einem Druckkriechversuch ausschließlich negative Poissonzahlen aufweisen. Der Druck-Kriechversuch zeigt anfangs positive Poissonzahlen, die jedoch allmählich abnehmen, bis sie negative Werte erreichen. Daraus ergibt sich auch, dass die Poissonzahl von Holz bei konstanter Belastung zeitabhängig ist, d. h., dass die Dehnung in axialer und transversaler Richtung nicht in gleichem Maße zunimmt. ⓘ

Medien mit künstlicher Mikrostruktur können eine negative Poissonzahl aufweisen. In einem einfachen Fall wird die Auxetizität erreicht, indem Material entfernt und ein periodisches poröses Medium geschaffen wird. Bei Gittern können niedrigere Werte der Poissonzahl erreicht werden, die im isotropen Fall unendlich nahe am Grenzwert -1 liegen können. ⓘ

Mehr als dreihundert kristalline Materialien haben eine negative Poisson-Zahl. Zum Beispiel Li, Na, K, Cu, Rb, Ag, Fe, Ni, Co, Cs, Au, Be, Ca, Zn Sr, Sb, MoS$_{2}$ und andere. ⓘ

Poisson-Funktion

Bei endlichen Dehnungen wird die Beziehung zwischen den Quer- und Axialdehnungen $\varepsilon _{\text{trans}}$ und $\varepsilon _{\text{axial}}$ in der Regel nicht gut durch die Poissonzahl beschrieben. Tatsächlich wird die Poissonzahl oft als eine Funktion der angewandten Dehnung im Bereich großer Dehnungen betrachtet. In solchen Fällen wird die Poissonzahl durch die Poissonfunktion ersetzt, für die es mehrere konkurrierende Definitionen gibt. Definition der transversalen Dehnung $\lambda _{\text{trans}}=\varepsilon _{\text{trans}}+1$ und der axialen Dehnung $\lambda _{\text{axial}}=\varepsilon _{\text{axial}}+1$Für den Fall, dass die Querdehnung eine Funktion der axialen Dehnung ist (d. h., $\lambda _{\text{trans}}=\lambda _{\text{trans}}(\lambda _{\text{axial}})$), sind die gebräuchlichsten die Hencky-, Biot-, Green- und Almansi-Funktionen ⓘ

${\begin{aligned}\nu ^{\text{Hencky}}&=-{\frac {\ln \lambda _{\text{trans}}}{\ln \lambda _{\text{axial}}}}\\[2pt]\nu ^{\text{Biot}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}}{\lambda _{\text{axial}}-1}}\\[2pt]\nu ^{\text{Green}}&={\frac {1-\lambda _{\text{trans}}^{2}}{\lambda _{\text{axial}}^{2}-1}}\\[2pt]\nu ^{\text{Almansi}}&={\frac {\lambda _{\text{trans}}^{-2}-1}{1-\lambda _{\text{axial}}^{-2}}}\end{aligned}}$ ⓘ

Anwendungen des Poisson-Effekts

Ein Bereich, in dem der Poisson-Effekt einen erheblichen Einfluss hat, ist die Strömung unter Druck stehender Rohre. Wenn die Luft oder Flüssigkeit in einem Rohr unter hohem Druck steht, übt sie eine gleichmäßige Kraft auf die Innenseite des Rohrs aus, was zu einer Ringspannung im Rohrmaterial führt. Aufgrund des Poisson-Effekts führt diese Ringspannung dazu, dass sich der Durchmesser des Rohrs vergrößert und seine Länge leicht abnimmt. Insbesondere die Längenverringerung kann sich spürbar auf die Rohrverbindungen auswirken, da sich dieser Effekt für jeden in Reihe geschalteten Rohrabschnitt akkumuliert. Eine eingespannte Verbindung kann auseinandergezogen werden oder anderweitig versagen. ⓘ

Ein weiterer Anwendungsbereich für den Poisson-Effekt ist die Strukturgeologie. Gesteine unterliegen wie die meisten Materialien dem Poisson-Effekt, wenn sie unter Spannung stehen. Auf einer geologischen Zeitskala kann eine übermäßige Erosion oder Sedimentation der Erdkruste große vertikale Spannungen auf das darunter liegende Gestein erzeugen oder beseitigen. Dieses Gestein dehnt sich in vertikaler Richtung aus oder zieht sich zusammen, was eine direkte Folge der angelegten Spannung ist, und es verformt sich aufgrund des Poisson-Effekts auch in horizontaler Richtung. Diese Veränderung der Dehnung in horizontaler Richtung kann Fugen und ruhende Spannungen im Gestein beeinflussen oder bilden. ⓘ

Obwohl Kork in der Vergangenheit aus anderen Gründen zum Verschließen von Weinflaschen gewählt wurde (u. a. wegen seiner Inertheit, Undurchlässigkeit, Flexibilität, Dichtungsfähigkeit und Elastizität), bietet die Poissonzahl von Null einen weiteren Vorteil. Wenn der Korken in die Flasche eingeführt wird, dehnt sich der obere Teil, der noch nicht eingeführt ist, nicht im Durchmesser aus, da er axial zusammengedrückt wird. Die Kraft, die erforderlich ist, um einen Korken in eine Flasche einzuführen, entsteht nur durch die Reibung zwischen dem Korken und der Flasche aufgrund der radialen Kompression des Korkens. Wäre der Korken z. B. aus Gummi (mit einer Poissonzahl von etwa 1/2), wäre eine relativ große zusätzliche Kraft erforderlich, um die radiale Ausdehnung des oberen Teils des Gummikorkens zu überwinden. ⓘ

Die meisten Automechaniker wissen, dass es schwierig ist, einen Gummischlauch (z. B. einen Kühlmittelschlauch) von einem Metallrohrstutzen abzuziehen, da die Zugkraft den Durchmesser des Schlauchs schrumpfen lässt und den Stutzen fest umklammert. Mit einer breiten flachen Klinge lassen sich die Schläuche leichter von den Stutzen abschieben. ⓘ

Beziehung zu den Ausbreitungsgeschwindigkeiten von Ultraschallwellen

Zwischen den Ausbreitungsgeschwindigkeiten $v_{s}$ und $v_{p}$ von Scher- und Kompressionswellen und der Poissonzahl besteht folgende Beziehung:

${\frac {v_{s}}{v_{p}}}={\sqrt {\frac {1-2\nu }{2\left(1-\nu \right)}}}$ ⓘ

oder umgestellt:

$\nu ={\frac {v_{p}^{2}-2v_{s}^{2}}{2\left(v_{p}^{2}-v_{s}^{2}\right)}}$ ⓘ

Damit ist es möglich, die Poissonzahl eines Materials zu bestimmen, indem es Ultraschallwellen ausgesetzt wird und deren Ausbreitungsgeschwindigkeiten gemessen werden. ⓘ

Zahlenwerte

Für metallische Werkstoffe wird häufig ein Wert von $\nu =0{,}3$ oder $\nu =1/3$ angenommen und für thermoplastische Kunststoffe 0,35, falls keine genaueren Werte bekannt sind. Ein Fehler in der Poissonzahl wirkt sich in der Berechnung des Bauteilverhaltens unter mechanischer Beanspruchung deutlich weniger aus als ein Fehler im E-Modul. Deshalb muss der E-Modul für das verwendete Material genau bestimmt werden (z. B. im Zugversuch), während für die Querkontraktion häufig ein ungefährer Wert genügt. ⓘ

Einflüsse der Zugabe ausgewählter Glasbestandteile auf die Poissonzahl eines speziellen Basisglases. ⓘ

Der Kehrwert der Poissonzahl

In der Geotechnik und Felsmechanik wird auch der Kehrwert der Poissonzahl als „Poissonzahl“ bezeichnet. Oft wird dann das Zeichen $m$ verwendet. Eine einheitliche Bezeichnung hat sich bisher nicht durchgesetzt. Zur Vereinheitlichung wäre folgende Regelung empfehlenswert, die Othmar Rescher bereits 1965 vorgeschlagen hat: In seinem Buch Talsperrenstatik: Berechnung und Bemessung von Gewichtsstaumauern bezeichnet er die Querdehnzahl mit $\nu$ und die Poisson’sche Konstante mit $m$:

• Querdehnzahl: Zeichen: $\nu$; mit Zahlenwerten von 0 bis < 0,5
• Poisson’sche Konstante oder „Poissonzahl“ (der Geotechnik); mit Zahlenwerten > 2

wobei gilt:

$\nu ={\frac {1}{m}}$ ⓘ