Boltzmann-Konstante

Boltzmann-Konstante ⓘ
Ludwig Boltzmann
Definition:	Der Proportionalitätsfaktor, der die durchschnittliche relative kinetische Energie der Teilchen in einem Gas mit der thermodynamischen Temperatur des Gases in Beziehung setzt
Symbol:	kB
Wert in Joule pro Kelvin:	1,380649×10-23 J⋅K-1

Die Boltzmann-Konstante (kB oder k) ist der Proportionalitätsfaktor, der die durchschnittliche relative kinetische Energie der Teilchen in einem Gas mit der thermodynamischen Temperatur des Gases in Beziehung setzt. Sie kommt in den Definitionen des Kelvin und der Gaskonstante sowie im Planck'schen Gesetz der Schwarzkörperstrahlung und in der Boltzmann'schen Entropieformel vor und wird bei der Berechnung des thermischen Rauschens in Widerständen verwendet. Die Boltzmann-Konstante hat die Dimension der Energie geteilt durch die Temperatur, genau wie die Entropie. Sie ist nach dem österreichischen Wissenschaftler Ludwig Boltzmann benannt. ⓘ

Im Rahmen der Neudefinition der SI-Basiseinheiten im Jahr 2019 ist die Boltzmann-Konstante eine der sieben "Definitionskonstanten", die genau definiert wurden. Sie werden in verschiedenen Kombinationen verwendet, um die sieben SI-Basiseinheiten zu definieren. Die Boltzmann-Konstante ist genau definiert als 1,380649×10-23 J⋅K-1. ⓘ

Physikalische Konstante ⓘ
Name	Boltzmann-Konstante
Formelzeichen	$k$ oder $k_{\mathrm {B} }$
Wert
SI	1.380649e-23 $\textstyle {\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {K} }}$
Unsicherheit (rel.)	(exakt)
Planck-Einheiten	1
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2018 (Direktlink)

Die Boltzmann-Konstante (Formelzeichen $k$ oder $k_{\mathrm {B} }$) ist eine physikalische Konstante, die in der statistischen Mechanik eine zentrale Rolle spielt. Sie wurde von Max Planck eingeführt und nach dem österreichischen Physiker Ludwig Boltzmann benannt, einem der Begründer der statistischen Mechanik. Sie gilt als eine der fundamentalen Konstanten der Physik. Man kann sie aber auch als Skalierungsfaktor ansehen, der Energie- und Temperaturskala miteinander verknüpft. ⓘ

Die Rolle der Boltzmann-Konstante

Beziehungen zwischen dem Boyle'schen, dem Charles'schen, dem Gay-Lussac'schen, dem Avogadro'schen, dem kombinierten und dem idealen Gasgesetz, mit der Boltzmann-Konstante k_B = R/N_A = n R/N (in jedem Gesetz sind die eingekreisten Eigenschaften variabel und die nicht eingekreisten Eigenschaften werden konstant gehalten) ⓘ

Makroskopisch besagt das ideale Gasgesetz, dass für ein ideales Gas das Produkt aus Druck p und Volumen V proportional zum Produkt aus Stoffmenge n (in Mol) und absoluter Temperatur T ist:

$pV=nRT,$

Dabei ist R die molare Gaskonstante (8,31446261815324 J⋅K-1⋅mol-1). Durch die Einführung der Boltzmann-Konstante als Gaskonstante pro Molekül k = R/N_A wird das ideale Gasgesetz in eine andere Form umgewandelt:

$pV=NkT,$

Dabei ist N die Anzahl der Gasmoleküle. Für n = 1 Mol ist N gleich der Anzahl der Teilchen in einem Mol (Avogadro-Zahl). ⓘ

Die Rolle bei der Äquipartition der Energie

Bei einem thermodynamischen System mit einer absoluten Temperatur T beträgt die durchschnittliche Wärmeenergie, die jeder mikroskopische Freiheitsgrad im System trägt, 1/2kT (d. h. etwa 2,07×10-21 J oder 0,013 eV bei Raumtemperatur). Es ist wichtig zu beachten, dass dies im Allgemeinen nur für klassische Systeme mit einer großen Anzahl von Teilchen gilt, in denen Quanteneffekte vernachlässigbar sind. ⓘ

In der klassischen statistischen Mechanik wird dieser Durchschnittswert genau für homogene ideale Gase vorhergesagt. Einatomige ideale Gase (die sechs Edelgase) besitzen drei Freiheitsgrade pro Atom, die den drei Raumrichtungen entsprechen. Nach der Äquipartition der Energie bedeutet dies, dass es eine thermische Energie von 3/2kT pro Atom gibt. Dies stimmt sehr gut mit experimentellen Daten überein. Die thermische Energie kann zur Berechnung der mittleren quadratischen Geschwindigkeit der Atome verwendet werden, die sich als umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Atommasse erweist. Die bei Raumtemperatur gefundenen mittleren quadratischen Geschwindigkeiten spiegeln dies genau wider und reichen von 1370 m/s für Helium bis zu 240 m/s für Xenon. ⓘ

Aus der kinetischen Theorie ergibt sich der mittlere Druck p für ein ideales Gas als

$p={\frac {1}{3}}{\frac {N}{V}}m{\overline {v^{2}}}.$

Die Kombination mit dem idealen Gasgesetz

$pV=NkT$

zeigt, dass die durchschnittliche kinetische Translationsenergie beträgt

${\tfrac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\tfrac {3}{2}}kT.$

Berücksichtigt man, dass der Vektor der Translationsgeschwindigkeit v drei Freiheitsgrade hat (einen für jede Dimension), so ist die durchschnittliche Energie pro Freiheitsgrad gleich einem Drittel davon, d. h. 1/2kT. ⓘ

Die ideale Gasgleichung wird auch von molekularen Gasen genau befolgt; die Form für die Wärmekapazität ist jedoch komplizierter, da die Moleküle neben den drei Freiheitsgraden für die Bewegung des Moleküls als Ganzes zusätzliche innere Freiheitsgrade besitzen. Zweiatomige Gase beispielsweise besitzen insgesamt sechs einfache Freiheitsgrade pro Molekül, die mit der atomaren Bewegung zusammenhängen (drei Translations-, zwei Rotations- und ein Vibrationsgrad). Bei niedrigeren Temperaturen sind möglicherweise nicht alle diese Freiheitsgrade vollständig an der Wärmekapazität des Gases beteiligt, da die Verfügbarkeit angeregter Zustände bei der entsprechenden thermischen Energie pro Molekül quantenmechanisch begrenzt ist. ⓘ

So hat beispielsweise ein punktförmiges Teilchen drei Translationsfreiheitsgrade:

$\langle E_{\mathrm {kin} }\rangle ={\frac {3}{2}}k_{\mathrm {B} }\,T.$ ⓘ

Dazu kommen bei ausreichend hohen Temperaturen noch Schwingungen der Atome gegeneinander entlang der Bindungen. ⓘ

Die Rolle der Boltzmann-Faktoren

Allgemeiner ausgedrückt: Systeme, die sich bei einer Temperatur T im Gleichgewicht befinden, haben die Wahrscheinlichkeit Pi, einen Zustand i mit der Energie E einzunehmen, gewichtet mit dem entsprechenden Boltzmann-Faktor:

$P_{i}\propto {\frac {\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)}{Z}},$

wobei Z die Verteilungsfunktion ist. Auch hier ist es die energieähnliche Größe kT, die von zentraler Bedeutung ist. ⓘ

Daraus ergibt sich (neben den obigen Ergebnissen für ideale Gase) auch die Arrhenius-Gleichung in der chemischen Kinetik. ⓘ

Rolle bei der statistischen Definition der Entropie

Ludwig Boltzmann ⓘ

Die Ideen von Ludwig Boltzmann präzisierend, lautet die von Max Planck gefundene fundamentale Beziehung:

$S=k_{\mathrm {B} }\,\ln \Omega \,.$ ⓘ

Das heißt, die Entropie $S$ eines Makrozustands eines abgeschlossenen Systems im thermischen Gleichgewicht ist proportional zum natürlichen Logarithmus der Anzahl $\Omega$ (Ergebnisraum) der entsprechend möglichen Mikrozustände (somit ein Maß für die Menge an benötigter Information zur Beschreibung des Mikrozustands). Das statistische Gewicht $\Omega$ ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Makrozustandes. ⓘ

Diese Gleichung verknüpft – über die Boltzmann-Konstante als Proportionalitätsfaktor – die Mikrozustände des abgeschlossenen Systems mit der makroskopischen Größe der Entropie und bildet die zentrale Grundlage der statistischen Physik. Sie ist in leicht abgewandelter Nomenklatur auf dem Grabstein von Ludwig Boltzmann am Wiener Zentralfriedhof eingraviert. ⓘ

Die Entropieänderung ist in der klassischen Thermodynamik definiert als ⓘ

$\Delta S=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{T}}$ ⓘ

mit der Wärmemenge $Q$. ⓘ

Eine Entropiezunahme $\Delta S>0$ entspricht einem Übergang in einen neuen Makrozustand mit einer größeren Zahl möglicher Mikrozustände. Dies ist in einem abgeschlossenen (isolierten) System stets der Fall (Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik). ⓘ

In Bezug zur mikroskopischen Zustandssumme kann die Entropie auch als Größe der Dimension Zahl festgelegt werden:

${\begin{aligned}S^{\,\prime }&={\frac {S}{k_{\mathrm {B} }}}=\ln \Omega \\\Rightarrow \Delta S^{\,\prime }&=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{k_{\mathrm {B} }T}}.\end{aligned}}$ ⓘ

In dieser „natürlichen“ Form korrespondiert die Entropie mit der Definition der Entropie in der Informationstheorie und bildet dort ein zentrales Maß. Der Term $k_{\mathrm {B} }T$ stellt dabei jene Energie dar, um die Entropie $S^{\,\prime }$ um ein Nit anzuheben. ⓘ

Dies ist eine natürlichere Form, und diese umskalierte Entropie entspricht genau der späteren Informationsentropie von Shannon. ⓘ

Die charakteristische Energie kT ist also die Energie, die erforderlich ist, um die umskalierte Entropie um ein nat zu erhöhen. ⓘ

Die Thermospannung

In Halbleitern hängt die Shockley-Diodengleichung - die Beziehung zwischen dem elektrischen Stromfluss und dem elektrostatischen Potenzial an einem p-n-Übergang - von einer charakteristischen Spannung ab, der so genannten Thermospannung, die mit VT bezeichnet wird. Die Thermospannung hängt von der absoluten Temperatur T wie folgt ab

$$V_{\mathrm {T} }={kT \over q},$$

wobei q die Größe der elektrischen Ladung des Elektrons mit einem Wert von 1,602176634×10-19 C Äquivalent ist,

$${V_{\mathrm {T} } \over T}={k \over q}\approx 8.61733034\times 10^{-5}\ \mathrm {V/K} .$$

ⓘ

Bei einer Raumtemperatur von 300 K (27 °C; 80 °F) beträgt V_T ungefähr 25,85 mV, was durch Einsetzen der folgenden Werte ermittelt werden kann:

$$V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={\frac {1.38\times 10^{-23}\ \mathrm {J} \cdot k^{-1}\times 300\ \mathrm {K} }{1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C} }}\simeq 25.85\ \mathrm {mV}$$

ⓘ

Bei der Standardtemperatur von 298,15 K (25,00 °C; 77,00 °F) beträgt sie etwa 25,69 mV. Die Thermospannung ist auch in Plasmen und Elektrolytlösungen von Bedeutung (z. B. die Nernst-Gleichung); in beiden Fällen ist sie ein Maß dafür, wie stark die räumliche Verteilung von Elektronen oder Ionen durch eine Grenze mit einer festen Spannung beeinflusst wird. ⓘ

In Halbleitern besteht eine Abhängigkeit der Spannung über einen p-n-Übergang von der Temperatur, die mit Hilfe der Temperaturspannung $\phi _{T}$ oder $U_{T}$ beschrieben werden kann:

$\phi _{T}=U_{T}={\frac {k_{\mathrm {B} }\cdot T}{e}}$ ⓘ

Geschichte

Die Boltzmann-Konstante ist nach ihrem österreichischen Entdecker aus dem 19. Jahrhundert, Ludwig Boltzmann, benannt. Obwohl Boltzmann 1877 erstmals eine Verbindung zwischen Entropie und Wahrscheinlichkeit herstellte, wurde diese Beziehung nie mit einer spezifischen Konstante ausgedrückt, bis Max Planck in seiner Ableitung des Gesetzes über die Strahlung schwarzer Körper in den Jahren 1900-1901 erstmals k einführte und einen genaueren Wert dafür angab (1,346×10-23 J/K, etwa 2,5 % niedriger als der heutige Wert). Vor 1900 wurden Gleichungen mit Boltzmann-Faktoren nicht mit den Energien pro Molekül und der Boltzmann-Konstante geschrieben, sondern mit einer Form der Gaskonstante R und makroskopischen Energien für makroskopische Mengen des Stoffes. Die ikonische Kurzform der Gleichung S = k ln W auf dem Grabstein von Boltzmann stammt in Wirklichkeit von Planck und nicht von Boltzmann. Planck führte sie in demselben Werk ein wie sein gleichnamiges h. ⓘ

Im Jahr 1920 schrieb Planck in seiner Nobelpreisvorlesung:

Diese Konstante wird oft als Boltzmannsche Konstante bezeichnet, obwohl sie meines Wissens von Boltzmann selbst nie eingeführt wurde - ein merkwürdiger Umstand, der sich dadurch erklären lässt, dass Boltzmann, wie aus seinen gelegentlichen Äußerungen hervorgeht, nie an die Möglichkeit einer exakten Messung der Konstante gedacht hat. ⓘ

Dieser "merkwürdige Zustand" wird durch einen Hinweis auf eine der großen wissenschaftlichen Debatten der damaligen Zeit veranschaulicht. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts herrschte große Uneinigkeit darüber, ob Atome und Moleküle real sind oder nur ein heuristisches Werkzeug zur Lösung von Problemen darstellen. Es herrschte keine Einigkeit darüber, ob chemische Moleküle, wie sie durch das Atomgewicht gemessen werden, dasselbe sind wie physikalische Moleküle, wie sie durch die kinetische Theorie gemessen werden. Plancks Vortrag von 1920 ging weiter:

Nichts kann den positiven und hektischen Fortschritt, den die Kunst der Experimentatoren in den letzten zwanzig Jahren gemacht hat, besser illustrieren als die Tatsache, dass seit dieser Zeit nicht nur eine, sondern eine große Anzahl von Methoden entdeckt worden ist, um die Masse eines Moleküls mit praktisch derselben Genauigkeit zu messen, wie sie für einen Planeten erreicht wird. ⓘ

In den SI-Versionen vor der Neudefinition der SI-Basiseinheiten im Jahr 2019 war die Boltzmann-Konstante eher eine Messgröße als ein fester Wert. Ihre genaue Definition variierte im Laufe der Jahre auch aufgrund von Neudefinitionen des Kelvin (siehe Kelvin § Geschichte) und anderer SI-Basiseinheiten (siehe Joule § Geschichte). ⓘ

Im Jahr 2017 wurden die genauesten Messungen der Boltzmann-Konstante durch die akustische Gasthermometrie erzielt, bei der die Schallgeschwindigkeit eines einatomigen Gases in einer dreiachsigen ellipsoiden Kammer mithilfe von Mikrowellen- und akustischen Resonanzen bestimmt wird. Diese jahrzehntelange Arbeit wurde von mehreren Laboratorien mit verschiedenen Techniken durchgeführt und ist einer der Eckpfeiler der Neudefinition der SI-Basiseinheiten im Jahr 2019. Auf der Grundlage dieser Messungen empfahl die CODATA 1,380649×10-23 J/K als endgültigen festen Wert der Boltzmann-Konstante für das Internationale Einheitensystem zu verwenden. ⓘ

Die Boltzmann-Konstante hat die Dimension Energie/Temperatur. ⓘ

Ihr Wert beträgt:

$k_{\mathrm {B} }=1{,}380\,649\cdot 10^{-23}\;\mathrm {J/K}$ ⓘ

Dieser Wert gilt exakt, weil die Maßeinheit „Kelvin“ seit 2019 dadurch definiert ist, dass der Boltzmann-Konstante dieser Wert zugewiesen wurde. Zuvor war das Kelvin anders definiert, und $k_{\mathrm {B} }$ war eine experimentell zu bestimmende Größe. ⓘ

Mit Elektronenvolt (eV) als Energieeinheit hat die Boltzmann-Konstante den – ebenfalls exakten – Wert

$k_{\mathrm {B} }={\frac {1{,}380\,649\cdot 10^{-23}}{1{,}602\,176\,634\cdot 10^{-19}}}\,{\frac {\mathrm {eV} }{\mathrm {K} }}\approx 8{,}617\,333\,262\cdot 10^{-5}\,{\frac {\mathrm {eV} }{\mathrm {K} }}\,$. ⓘ

Aus der Boltzmann-Konstante berechnet sich die universelle Gaskonstante mit Hilfe der Avogadro-Konstante $N_{\mathrm {A} }$:

$R_{\mathrm {m} }=N_{\mathrm {A} }\cdot k_{\mathrm {B} }$. ⓘ

Wert in verschiedenen Einheiten

Werte von kB	Einheiten	Anmerkungen ⓘ
1.380649×10−23	J/K	SI per Definition, J/K = m2⋅kg/(s2⋅K) in SI-Basiseinheiten
8.617333262×10−5	eV/K
2.083661912×1010	Hz/K	(k/h)
1.380649×10−16	erg/K	CGS-System, 1 erg = 1×10-7 J
3.297623483×10−24	cal/K	1 Kalorie = 4,1868 J
1.832013046×10−24	cal/°R
5.657302466×10−24	ft lb/°R
0.695034800	cm-1/K	(k/(hc))
3.166811563×10−6	Eh/K	(Eh = Hartree)
1.987204259×10−3	kcal/(mol⋅K)	(kNA)
8.314462618×10−3	kJ/(mol⋅K)	(kNA)
−228.5991672	dB(W/K/Hz)	10 log10(k/(1 W/K/Hz)), verwendet für Berechnungen des thermischen Rauschens

Da k ein Proportionalitätsfaktor zwischen Temperatur und Energie ist, hängt sein numerischer Wert von der Wahl der Einheiten für Energie und Temperatur ab. Der kleine Zahlenwert der Boltzmann-Konstante in SI-Einheiten bedeutet, dass eine Temperaturänderung um 1 K die Energie eines Teilchens nur geringfügig verändert. Eine Änderung von 1 °C ist definiert als das Gleiche wie eine Änderung von 1 K. Die charakteristische Energie kT ist ein Begriff, der in vielen physikalischen Beziehungen vorkommt. ⓘ

Die Boltzmann-Konstante stellt eine Beziehung zwischen Wellenlänge und Temperatur her (die Division von hc/k durch die Wellenlänge ergibt die Temperatur), wobei ein Mikrometer mit 14387. 777 K, und auch eine Beziehung zwischen Spannung und Temperatur (Multiplikation der Spannung mit k in Einheiten von eV/K), wobei ein Volt mit 11604,518 K in Beziehung steht. Das Verhältnis dieser beiden Temperaturen, 14387,777 K / 11604,518 K ≈ 1,239842, ist der numerische Wert von hc in Einheiten von eV⋅μm. ⓘ

Natürliche Einheiten

Die Boltzmann-Konstante liefert eine Abbildung dieser charakteristischen mikroskopischen Energie E auf die makroskopische Temperaturskala T = E/k. In der physikalischen Forschung trifft man häufig auf eine andere Definition, indem man k auf Eins setzt, was zu Temperatur- und Energiemengen desselben Typs führt. In diesem Zusammenhang wird die Temperatur tatsächlich in Energieeinheiten gemessen und die Boltzmann-Konstante wird nicht explizit benötigt. ⓘ

Die Äquipartitionsformel für die mit jedem klassischen Freiheitsgrad verbundene Energie lautet dann

$E_{\mathrm {dof} }={\tfrac {1}{2}}T$

Die Verwendung natürlicher Einheiten vereinfacht viele physikalische Beziehungen; in dieser Form deckt sich die Definition der thermodynamischen Entropie mit der Form der Informationsentropie:

$S=-\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}.$

wobei Pi die Wahrscheinlichkeit eines jeden Mikrozustands ist. ⓘ

Rolle in der statistischen Physik

Allgemeiner tritt die Boltzmann-Konstante in der thermischen Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho _{\mathrm {th} }$ beliebiger Systeme der statistischen Mechanik im thermischen Gleichgewicht auf. Diese lautet:

$\rho _{\mathrm {th} }={\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {E}{k_{\mathrm {B} }T}}}}{Z}}$ ⓘ

mit

• dem Boltzmann-Faktor $\mathrm {e} ^{-{\frac {E}{k_{\mathrm {B} }T}}}$
• der kanonischen Zustandssumme $Z$ als Normierungskonstante. ⓘ