Schrödingergleichung

Schrödingers Gleichung, eingraviert auf dem Grabstein von Annemarie und Erwin Schrödinger. (Es wird die Newtonsche Punktschreibweise für die Zeitableitung verwendet.) ⓘ

Die Schrödinger-Gleichung ist eine lineare partielle Differentialgleichung, die die Wellenfunktion eines quantenmechanischen Systems bestimmt. Sie ist ein Schlüsselergebnis der Quantenmechanik, und ihre Entdeckung war ein wichtiger Meilenstein in der Entwicklung des Fachs. Die Gleichung ist nach Erwin Schrödinger benannt, der sie 1925 postulierte und 1926 veröffentlichte. Sie bildete die Grundlage für die Arbeit, die ihm 1933 den Nobelpreis für Physik einbrachte. ⓘ

Vom Konzept her ist die Schrödinger-Gleichung das Quanten-Gegenstück zu Newtons zweitem Gesetz in der klassischen Mechanik. Bei bekannten Anfangsbedingungen macht das zweite Newtonsche Gesetz eine mathematische Vorhersage darüber, welchen Weg ein bestimmtes physikalisches System im Laufe der Zeit nehmen wird. Die Schrödinger-Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung einer Wellenfunktion, die quantenmechanische Charakterisierung eines isolierten physikalischen Systems. Die Gleichung lässt sich aus der Tatsache ableiten, dass der Zeitentwicklungsoperator unitär sein muss und daher durch das Exponential eines selbstadjunkten Operators, des Quanten-Hamiltonschen, erzeugt werden muss. ⓘ

Die Schrödinger-Gleichung ist nicht die einzige Möglichkeit, quantenmechanische Systeme zu untersuchen und Vorhersagen zu treffen. Zu den anderen Formulierungen der Quantenmechanik gehören die Matrixmechanik, die von Werner Heisenberg eingeführt wurde, und die Pfadintegralformulierung, die vor allem von Richard Feynman entwickelt wurde. Paul Dirac fasste die Matrixmechanik und die Schrödinger-Gleichung in einer einzigen Formulierung zusammen. Wenn diese Ansätze verglichen werden, wird die Verwendung der Schrödinger-Gleichung manchmal als "Wellenmechanik" bezeichnet. ⓘ

Schrödinger-Gleichung vor der Warschauer Universität für neue Technologien (Ochota-Campus) (oben rechts) ⓘ

In der Schrödingergleichung ist der Zustand des Systems durch eine Wellenfunktion repräsentiert. Die Gleichung beschreibt deren zeitliche Veränderung dadurch, dass ein Hamiltonoperator auf die Wellenfunktion wirkt. Wenn das Quantensystem ein klassisches Analogon hat (z. B. Teilchen im dreidimensionalen Raum), lässt sich der Hamiltonoperator schematisch aus der klassischen Hamiltonfunktion erhalten. Für manche Systeme werden Hamiltonoperatoren auch direkt nach quantenmechanischen Gesichtspunkten konstruiert (Beispiel: Hubbard-Modell). ⓘ

Im Allgemeinen verändert die Wellenfunktion ihre Form in Abhängigkeit von der Zeit. Damit können physikalische Prozesse beschrieben werden wie z. B. die Ausbreitung, Streuung und Interferenz von Teilchen. Bei speziellen Wellenfunktionen bewirkt der Hamiltonoperator aber keine Änderung der Form, sondern nur der komplexen Phase, so dass sich das Betragsquadrat der Wellenfunktion mit der Zeit nicht ändert. Die entsprechenden Zustände sind stationäre Zustände, auch als Eigenzustände des Hamiltonoperators bezeichnet. Die Schrödingergleichung ermöglicht die Berechnung der durch solche Zustände definierten Energieniveaus. ⓘ

Die Schrödingergleichung bildet das Fundament für fast alle praktischen Anwendungen der Quantenmechanik. Seit 1926 gelang mit ihr die Erklärung vieler Eigenschaften von Atomen und Molekülen (bei denen die Elektronenwellenfunktionen als Orbitale bezeichnet werden) sowie von Festkörpern (Bändermodell). ⓘ

Definition

Vorbemerkungen

Komplexe Darstellung einer Wellenfunktion, die die nichtrelativistische Schrödinger-Gleichung mit V = 0 erfüllt, d. h. einem Teilchen entspricht, das sich frei im leeren Raum bewegt. ⓘ

In Einführungskursen in Physik oder Chemie wird die Schrödinger-Gleichung in der Regel so vorgestellt, dass sie nur mit den Konzepten und Begriffen der Grundrechenarten, insbesondere den Ableitungen nach Raum und Zeit, verstanden werden kann. Ein Spezialfall der Schrödinger-Gleichung, der eine Aussage in diesen Begriffen zulässt, ist die Orts-Raum-Schrödinger-Gleichung für ein einzelnes nichtrelativistisches Teilchen in einer Dimension:

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x,t)\right]\Psi (x,t).$$

Hier, $\Psi (x,t)$ eine Wellenfunktion, eine Funktion, die jedem Punkt eine komplexe Zahl zuordnet $x$ zu jedem Zeitpunkt $t$. Der Parameter $m$ ist die Masse des Teilchens, und $V(x,t)$ ist das Potenzial, das die Umgebung darstellt, in der das Teilchen existiert. Die Konstante $i$ ist die imaginäre Einheit, und $\hbar$ ist die reduzierte Planck-Konstante, die Einheiten der Wirkung hat (Energie multipliziert mit Zeit). ⓘ

Über diesen einfachen Fall hinausgehend, definiert die von Paul Dirac, David Hilbert, John von Neumann und Hermann Weyl entwickelte mathematische Formulierung der Quantenmechanik den Zustand eines quantenmechanischen Systems als einen Vektor $|\psi \rangle$ der zu einem (trennbaren) Hilbert-Raum gehört ${\mathcal {H}}$. Dieser Vektor soll durch das innere Produkt des Hilbert-Raums normalisiert werden, d.h. in der Dirac-Notation gehorcht er $\langle \psi |\psi \rangle =1$. Die genaue Natur dieses Hilbert-Raums hängt vom System ab - zum Beispiel ist der Hilbert-Raum für die Beschreibung von Position und Impuls der Raum der komplexen quadratisch-integrablen Funktionen $L^{2}(\mathbb {C} )$, während der Hilbert-Raum für den Spin eines einzelnen Protons einfach der Raum zweidimensionaler komplexer Vektoren ist $\mathbb {C} ^{2}$ mit dem üblichen inneren Produkt. ⓘ

Physikalische Größen von Interesse - Position, Impuls, Energie, Spin - werden durch "Observablen" dargestellt, bei denen es sich um hermitsche (genauer: selbstadjungierte) lineare Operatoren handelt, die auf den Hilbert-Raum wirken. Eine Wellenfunktion kann ein Eigenvektor einer Observablen sein. In diesem Fall wird sie als Eigenzustand bezeichnet, und der zugehörige Eigenwert entspricht dem Wert der Observablen in diesem Eigenzustand. Allgemeiner ausgedrückt ist ein Quantenzustand eine lineare Kombination von Eigenzuständen, die als Quantenüberlagerung bezeichnet wird. Wird eine Beobachtungsgröße gemessen, so ist das Ergebnis einer ihrer Eigenwerte mit einer Wahrscheinlichkeit, die durch die Bornsche Regel gegeben ist: Im einfachsten Fall ist der Eigenwert $\lambda$ ist nicht entartet und die Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch $|\langle \lambda |\psi \rangle |^{2}$, wobei $|\lambda \rangle$ sein zugehöriger Eigenvektor ist. Im allgemeineren Fall ist der Eigenwert entartet und die Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch $\langle \psi |P_{\lambda }|\psi \rangle$, wobei $P_{\lambda }$ ist der Projektor auf den zugehörigen Eigenraum. ⓘ

Ein Impuls-Eigenzustand wäre eine vollkommen monochromatische Welle von unendlicher Ausdehnung, die nicht quadrat-integrable ist. Ebenso wäre ein Lageeigenzustand eine Dirac-Delta-Verteilung, die nicht quadrat-integrabel ist und technisch gesehen überhaupt keine Funktion darstellt. Folglich können beide nicht zum Hilbert-Raum des Teilchens gehören. Physiker führen manchmal fiktive "Basen" für einen Hilbert-Raum ein, die Elemente außerhalb dieses Raums enthalten. Diese Basen werden aus rechnerischen Gründen erfunden und stellen keine physikalischen Zustände dar. So kann eine Orts-Raum-Wellenfunktion $\Psi (x,t)$ wie oben verwendet, als das innere Produkt eines zeitabhängigen Zustandsvektors $|\Psi (t)\rangle$ mit unphysikalischen, aber bequemen "Positions-Eigenzuständen" $|x\rangle$:

$$\Psi (x,t)=\langle x|\Psi (t)\rangle .$$

ⓘ

Büste Schrödingers in Wien mit seiner Schrödingergleichung ⓘ

Die Schrödingergleichung in ihrer allgemeinsten Form lautet

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\,\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\,\psi (t)\rangle .$ ⓘ

Ein quantenmechanischer Zustand wird durch einen Vektor im Hilbertraum ${\mathcal {H}}$ beschrieben. Meist wird die Dirac-Notation mit Bra und Ket verwendet. Die Struktur des Hilbertraums wird durch das betrachtete System bestimmt. Für die Beschreibung des Spins eines Teilchens mit Spin 1/2 ist der Hilbertraum beispielsweise zweidimensional ${\mathcal {H}}=\mathbb {C} ^{2}$, für einen harmonischen Oszillator ist seine Dimension abzählbar unendlich ${\mathcal {H}}=\mathbb {C} ^{\infty }$. Ein freies Teilchen wird in einem (uneigentlichen) Hilbertraum mit überabzählbar unendlicher Dimension beschrieben. ⓘ

Die durch die Schrödingergleichung beschriebene Zeitentwicklung ist eine unitäre Transformation des Zustandsvektors im Hilbertraum. Da es sich dabei um eine lineare Transformation handelt, gilt das Superpositionsprinzip. Eine weitere Konsequenz ist die Möglichkeit der quantenmechanischen Verschränkung nicht wechselwirkender Teilsysteme. ⓘ

Zeitabhängige Gleichung

Die Form der Schrödinger-Gleichung hängt von der jeweiligen physikalischen Situation ab. Die allgemeinste Form ist die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung, die ein System beschreibt, das sich mit der Zeit entwickelt:

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (allgemein)

$i\hbar {\frac {d}{dt}}\vert \Psi (t)\rangle ={\hat {H}}\vert \Psi (t)\rangle$

wobei $t$ die Zeit ist, $\vert \Psi (t)\rangle$ der Zustandsvektor des Quantensystems ist ($\Psi$ ist der griechische Buchstabe psi), und ${\hat {H}}$ eine Beobachtungsgröße ist, der Hamilton-Operator. ⓘ

Jede dieser drei Zeilen ist eine Wellenfunktion, die die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für einen harmonischen Oszillator erfüllt. Links: Der Realteil (blau) und der Imaginärteil (rot) der Wellenfunktion. Rechts: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung, das Teilchen mit dieser Wellenfunktion an einem bestimmten Ort zu finden. Die beiden oberen Reihen sind Beispiele für stationäre Zustände, die stehenden Wellen entsprechen. Die untere Reihe ist ein Beispiel für einen Zustand, der kein stationärer Zustand ist. Die rechte Spalte veranschaulicht, warum stationäre Zustände "stationär" genannt werden. ⓘ

Der Begriff "Schrödinger-Gleichung" kann sich sowohl auf die allgemeine Gleichung als auch auf die spezielle nichtrelativistische Version beziehen. Die allgemeine Gleichung ist in der Tat recht allgemein und wird in der gesamten Quantenmechanik verwendet, von der Dirac-Gleichung bis zur Quantenfeldtheorie, indem verschiedene Ausdrücke für den Hamiltonian eingesetzt werden. Die spezifische nichtrelativistische Version ist eine Annäherung, die in vielen Situationen genaue Ergebnisse liefert, aber nur bis zu einem gewissen Grad (siehe relativistische Quantenmechanik und relativistische Quantenfeldtheorie). ⓘ

Um die Schrödinger-Gleichung anzuwenden, schreibt man den Hamiltonian für das System unter Berücksichtigung der kinetischen und potentiellen Energien der Teilchen, aus denen das System besteht, auf und setzt ihn in die Schrödinger-Gleichung ein. Die resultierende partielle Differentialgleichung wird für die Wellenfunktion gelöst, die Informationen über das System enthält. In der Praxis wird das Quadrat des Absolutwerts der Wellenfunktion an jedem Punkt genommen, um eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zu definieren. Bei einer Wellenfunktion im Positionsraum zum Beispiel $\Psi (x,t)$ wie oben beschrieben, ergibt sich

$$\Pr(x,t)=|\Psi (x,t)|^{2}.$$

ⓘ

Zeitunabhängige Gleichung

Die oben beschriebene zeitabhängige Schrödinger-Gleichung sagt voraus, dass Wellenfunktionen stehende Wellen, so genannte stationäre Zustände, bilden können. Diese Zustände sind besonders wichtig, da ihre individuelle Untersuchung später die Aufgabe vereinfacht, die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für jeden Zustand zu lösen. Stationäre Zustände können auch durch eine einfachere Form der Schrödinger-Gleichung, die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung, beschrieben werden. ⓘ

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (allgemein)

$\operatorname {\hat {H}} |\Psi \rangle =E|\Psi \rangle$

wobei $E$ ist die Energie des Systems. Sie wird nur verwendet, wenn der Hamiltonian selbst nicht explizit von der Zeit abhängig ist. Doch selbst in diesem Fall ist die Gesamtwellenfunktion von der Zeit abhängig, wie im Abschnitt über Linearität weiter unten erläutert wird. In der Sprache der linearen Algebra ist diese Gleichung eine Eigenwertgleichung. Daher ist die Wellenfunktion eine Eigenfunktion des Hamilton-Operators mit entsprechendem(n) Eigenwert(en) $E$. ⓘ

Eigenschaften

Für die statistische Interpretation der Quantenmechanik ist es notwendig, die Lösungen der Schrödingergleichung so zu normieren, dass ⓘ

$\int _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\;\mathrm {d} ^{3}r=1$ ⓘ

ist. Diese sogenannte Normierungsbedingung sagt aus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen irgendwo im gesamten Raum zu finden ist, bei 1 liegt. Für die so erhaltenen normierten Lösungen entspricht dann $|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}=\psi ^{*}\psi$ der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Teilchens am Ort $\mathbf {r}$ zum Zeitpunkt $t$. Allerdings ist nicht jede Lösung einer Schrödingergleichung normierbar. Sofern existent, ist diese normierte Lösung bis auf einen Phasenfaktor der Form $e^{\mathrm {i} K}$ für ein reelles $K$, das aber physikalisch bedeutungslos ist, eindeutig bestimmt. ⓘ

Da die Schrödinger-Gleichung invariant ist unter der Phasentransformation $\psi (\mathbf {r} ,t)\rightarrow \psi ^{\prime }(\mathbf {r} ,t)=e^{\mathrm {i} \alpha }\psi (\mathbf {r} ,t)$ (U(1)-Symmetrie), folgt aus dem Noether-Theorem die Erhaltung der Normierung; die Wahrscheinlichkeit ist also eine Erhaltungsgröße. ⓘ

Linearität

Die Schrödinger-Gleichung ist eine lineare Differentialgleichung, das heißt, wenn zwei Zustandsvektoren $|\psi _{1}\rangle$ und $|\psi _{2}\rangle$ Lösungen sind, dann ist auch jede Linearkombination

$$|\psi \rangle =a|\psi _{1}\rangle +b|\psi _{2}\rangle$$

der beiden, wobei a und b beliebige komplexe Zahlen sind. Außerdem kann die Summe für eine beliebige Anzahl von Zustandsvektoren erweitert werden. Aufgrund dieser Eigenschaft können Überlagerungen von Quantenzuständen Lösungen der Schrödinger-Gleichung sein. Noch allgemeiner gilt, dass eine allgemeine Lösung der Schrödingergleichung durch eine gewichtete Summe über eine Basis von Zuständen gefunden werden kann. Eine häufig verwendete Wahl ist die Basis der Energieeigenzustände, die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung sind. In dieser Basis wird ein zeitabhängiger Zustandsvektor $|\Psi (t)\rangle$ als Linearkombination geschrieben werden

$$|\Psi (t)\rangle =\sum _{n}A_{n}e^{{-iE_{n}t}/\hbar }|\psi _{E_{n}}\rangle ,$$

wobei $A_{n}$ sind komplexe Zahlen und die Vektoren $|\psi _{E_{n}}\rangle$ sind Lösungen der zeitunabhängigen Gleichung ${\hat {H}}|\psi _{E_{n}}\rangle =E_{n}|\psi _{E_{n}}\rangle$. ⓘ

Die komplexwertige Wellenfunktion $\psi (\mathbf {r} ,t)$ eines Punktteilchens in einem Potential $V$ ist eine Lösung der Schrödingergleichung ⓘ

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} ,t)\right)\psi (\mathbf {r} ,t)$,

wobei $m$ die Masse des Teilchens, $\mathbf {r}$ sein Ort, $\Delta$ der Laplace-Operator und $t$ die Zeit sind. ⓘ

Mit dem Hamiltonoperator ⓘ

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} ,t)$ ⓘ

lässt sich die Schrödingergleichung in ihrer allgemeinen Form ⓘ

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\hat {H}}\psi (\mathbf {r} ,t)$ ⓘ

schreiben. ⓘ

Unitarität

Die Zeitentwicklung der Zustände wird durch die Anwendung eines Hamiltonoperators ${\hat {H}}$ auf die Zustände beschrieben. „Ausintegriert“ erhält man den Zeitentwicklungsoperator:

$|\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle$ ⓘ

Der Zeitentwicklungsoperator hat für zeitunabhängige Hamiltonoperatoren ${\tfrac {\partial }{\partial t}}H=0$ die Form:

${\hat {U}}(t)=\exp \left(-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}{\hat {H}}\,t\right)$ ⓘ

Die Norm eines Zustands ist gleich der L²-Norm, die durch das Skalarprodukt induziert wird:

$\|\psi (t)\|={\sqrt {\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle }}$ ⓘ

Die Wahrscheinlichkeitserhaltung (Erhaltung der Norm des Zustands) drückt sich durch die Unitarität des Zeitentwicklungsoperators ${\hat {U}}$ aus, was wiederum darauf beruht, dass ${\hat {H}}$ selbstadjungiert ist. Mit $|\psi (t)\rangle =U(t)|\psi (0)\rangle$ und $\langle \psi (t)|=\langle \psi (0)|U^{\dagger }(t)$ folgt:

${\begin{alignedat}{2}&&\langle \psi (t)|\psi (t)\rangle &=\langle \psi (0)|U^{\dagger }(t)U(t)|\psi (0)\rangle \,{\stackrel {!}{=}}\,\langle \psi (0)|\psi (0)\rangle \\\Longleftrightarrow &&U^{\dagger }(t)U(t)\;&=1\\\Longleftrightarrow &&H^{\dagger }&=H\end{alignedat}}$ ⓘ

Setzt man die Erhaltung der Wahrscheinlichkeitsdichte in der Theorie voraus, so muss der Zeitentwicklungsoperator unitär sein. Die Änderung eines zeitabhängigen Zustandes $|\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle$ wird daher durch einen anti-hermiteschen Operator bestimmt, wodurch man bereits vor Kenntnis der Schrödingergleichung ohne Beschränkung der Allgemeinheit

${\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle =\left(-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}{\hat {H}}\right)|\psi (t)\rangle$

ansetzen kann. Damit reduziert sich das Postulieren der Schrödingergleichung auf die Bestimmung der Gestalt des hermiteschen Operators ${\hat {H}}$. ⓘ

Die Hermitezität ist eine Forderung, die an alle Operatoren der Quantenmechanik gestellt wird, die nach dem Korrespondenzprinzip Messergebnisse repräsentieren. Da Messergebnisse stets reell sein müssen, kommen als zugeordnete Operatoren nur hermitesche Operatoren in Frage. Solche Operatoren werden auch Observablen genannt. ⓘ

Änderungen der Basis

Die Schrödinger-Gleichung wird häufig mit Größen dargestellt, die als Funktionen der Position variieren, aber als Vektor-Operator-Gleichung hat sie eine gültige Darstellung in jeder beliebigen vollständigen Basis von kets im Hilbert-Raum. Wie bereits erwähnt, werden auch "Basen", die außerhalb des physikalischen Hilbert-Raums liegen, für Berechnungszwecke verwendet. Dies wird durch die Orts- und Impulsraum-Schrödinger-Gleichungen für ein nichtrelativistisches, spinloses Teilchen veranschaulicht. Der Hilbert-Raum für ein solches Teilchen ist der Raum komplexer quadratisch-integrabeler Funktionen im dreidimensionalen euklidischen Raum, und sein Hamiltonian ist die Summe aus einem kinetischen Energieterm, der quadratisch im Impulsoperator ist, und einem potenziellen Energieterm:

$$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi (t)\rangle =\left({\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+{\hat {V}}\right)|\Psi (t)\rangle .$$

Man schreibt $\mathbf {r}$ für einen dreidimensionalen Ortsvektor und $\mathbf {p}$ für einen dreidimensionalen Impulsvektor, lautet die Orts-Raum-Schrödinger-Gleichung

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).$$

Das Gegenstück im Impulsraum sind die Fourier-Transformationen der Wellenfunktion und des Potenzials:

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)+(2\pi \hbar )^{-3/2}\int d^{3}\mathbf {p} '\,{\tilde {V}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} '){\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ',t).$$

Die Funktionen $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ und ${\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)$ werden abgeleitet von $|\Psi (t)\rangle$ durch

$$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\langle \mathbf {r} |\Psi (t)\rangle ,$$

$${\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)=\langle \mathbf {p} |\Psi (t)\rangle ,$$

wobei $|\mathbf {r} \rangle$ und $|\mathbf {p} \rangle$ gehören nicht zum Hilbert-Raum selbst, sondern haben wohldefinierte innere Produkte mit allen Elementen dieses Raums. ⓘ

Wenn man sich von drei Dimensionen auf eine beschränkt, ist die Positions-Raum-Gleichung nur die erste Form der oben genannten Schrödinger-Gleichung. Die Beziehung zwischen Position und Impuls in der Quantenmechanik kann in einer einzigen Dimension verstanden werden. Bei der kanonischen Quantisierung werden die klassischen Variablen $x$ und $p$ zu selbstadjunkten Operatoren ${\hat {x}}$ und ${\hat {p}}$ die die kanonische Kommutationsbeziehung

$$[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .$$

Dies impliziert, dass

$$\langle x|{\hat {p}}|\Psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\Psi (x),$$

also ist die Wirkung des Impulsoperators ${\hat {p}}$ in der Orts-Raum-Darstellung ist ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$. Somit wird, ${\hat {p}}^{2}$ zu einer zweiten Ableitung, und in drei Dimensionen wird die zweite Ableitung zum Laplacian $\nabla ^{2}$. ⓘ

Die kanonische Kommutationsbeziehung impliziert auch, dass die Positions- und Impulsoperatoren Fourier-Konjugate voneinander sind. Folglich können Funktionen, die ursprünglich durch ihre Ortsabhängigkeit definiert waren, mit Hilfe der Fourier-Transformation in Impulsfunktionen umgewandelt werden. In der Festkörperphysik wird die Schrödingergleichung häufig für Impulsfunktionen geschrieben, da das Blochsche Theorem sicherstellt, dass das periodische Kristallgitterpotenzial ${\tilde {\Psi }}(p)$ mit ${\tilde {\Psi }}(p+K)$ nur für diskrete reziproke Gittervektoren $K$. Dies macht es bequem, die Impulsraum-Schrödinger-Gleichung an jedem Punkt in der Brillouin-Zone unabhängig von den anderen Punkten in der Brillouin-Zone zu lösen. ⓘ

Wahrscheinlichkeitsstrom

Die Schrödinger-Gleichung ist mit der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung vereinbar. Multipliziert man die Schrödinger-Gleichung auf der rechten Seite mit der komplex-konjugierten Wellenfunktion, multipliziert die Wellenfunktion links von der komplex-konjugierten Schrödinger-Gleichung und subtrahiert, erhält man die Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeit:

$${\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,$$

wobei

$$\rho =|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)$$

ist die Wahrscheinlichkeitsdichte (Wahrscheinlichkeit pro Volumeneinheit, * bezeichnet die komplex Konjugierte), und

$$\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)$$

ist der Wahrscheinlichkeitsstrom (Fluss pro Flächeneinheit). ⓘ

Trennung der Variablen

Wenn der Hamiltonian keine explizite Funktion der Zeit ist, lässt sich die Gleichung in ein Produkt aus räumlichen und zeitlichen Anteilen zerlegen. Die Lösung der Gleichung durch Trennung der Variablen bedeutet, dass eine Lösung der Form

$$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\tau (t),$$

wobei $\psi (\mathbf {r} )$ nur eine Funktion aller Raumkoordinaten der Teilchen ist, aus denen das System besteht, und $\tau (t)$ nur eine Funktion der Zeit ist. Setzt man diesen Ausdruck für $\Psi$ in die Schrödingergleichung ein, so ergibt sich

$$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i{Et/\hbar }}.$$

Eine solche Lösung wird als stationär bezeichnet, da die einzige Zeitabhängigkeit ein Phasenfaktor ist, der sich bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte nach der Bornschen Regel aufhebt. ⓘ

Dies lässt sich auf eine beliebige Anzahl von Teilchen in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen (in einem zeitunabhängigen Potenzial) verallgemeinern: Die Lösungen der zeitabhängigen Gleichung in Form von stehenden Wellen sind die Zustände mit einer bestimmten Energie anstelle einer Wahrscheinlichkeitsverteilung verschiedener Energien. In der Physik werden diese stehenden Wellen als "stationäre Zustände" oder "Energieeigenzustände" bezeichnet; in der Chemie heißen sie "Atomorbitale" oder "Molekülorbitale". Überlagerungen von Energieeigenzuständen ändern ihre Eigenschaften je nach den relativen Phasen zwischen den Energieniveaus. Die Energieeigenzustände bilden eine Basis: Jede Wellenfunktion kann als Summe über die diskreten Energiezustände oder als Integral über kontinuierliche Energiezustände oder allgemeiner als Integral über ein Maß geschrieben werden. Dies ist der Spektralsatz in der Mathematik, und in einem endlich-dimensionalen Zustandsraum ist es einfach eine Aussage über die Vollständigkeit der Eigenvektoren einer hermitschen Matrix. ⓘ

Die Trennung der Variablen kann auch eine nützliche Methode für die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung sein. Je nach Symmetrie des Problems können zum Beispiel die kartesischen Achsen getrennt werden,

$$\psi (\mathbf {r} )=\psi _{x}(x)\psi _{y}(y)\psi _{z}(z),$$

oder Radial- und Winkelkoordinaten können getrennt werden:

$$\psi (\mathbf {r} )=\psi _{r}(r)\psi _{\theta }(\theta )\psi _{\phi }(\phi ).$$

ⓘ

Beispiele

Teilchen in einem Kasten

1-dimensionaler Kasten mit potenzieller Energie (oder unendlicher Potenzialtopf) ⓘ

Das Teilchen in einer eindimensionalen potentiellen Energiebox ist das mathematisch einfachste Beispiel, bei dem die Beschränkungen zur Quantisierung der Energieniveaus führen. Der Kasten ist so definiert, dass die potentielle Energie innerhalb einer bestimmten Region gleich Null und außerhalb unendlich ist. Für den eindimensionalen Fall in der $x$ Richtung kann die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung wie folgt geschrieben werden

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=E\psi .$$

ⓘ

Mit dem Differentialoperator, der durch

$${\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}$$

definiert ist, erinnert die obige Gleichung an das klassische Analogon der kinetischen Energie,

$${\frac {1}{2m}}{\hat {p}}_{x}^{2}=E,$$

wobei der Zustand $\psi$ in diesem Fall die Energie $E$ die mit der kinetischen Energie des Teilchens übereinstimmt. ⓘ

Die allgemeinen Lösungen der Schrödinger-Gleichung für das Teilchen in einem Kasten lauten

$$\psi (x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\qquad \qquad E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$$

oder nach der Eulerschen Formel,

$$\psi (x)=C\sin(kx)+D\cos(kx).$$

ⓘ

Die unendlichen potentiellen Wände des Kastens bestimmen die Werte von $C,D,$ und $k$ auf $x=0$ und $x=L$ wobei $\psi$ gleich Null sein müssen. Somit ist at $x=0$,

$$\psi (0)=0=C\sin(0)+D\cos(0)=D$$

und $D=0$. Bei $x=L$,

$$\psi (L)=0=C\sin(kL),$$

in dem $C$ kann nicht Null sein, da dies dem Postulat widersprechen würde, dass $\psi$ die Norm 1 hat. Da also $\sin(kL)=0$, $kL$ ein ganzzahliges Vielfaches sein muss von $\pi$,

$$k={\frac {n\pi }{L}}\qquad \qquad n=1,2,3,\ldots .$$

ⓘ

Diese Einschränkung für $k$ impliziert eine Einschränkung für die Energieniveaus, so dass sich folgendes ergibt

$$E_{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}n^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.$$

ⓘ

Ein endlicher Potentialtopf ist die Verallgemeinerung des unendlichen Potentialtopfproblems auf Potentialtöpfe mit endlicher Tiefe. Das endliche Potentialtopfproblem ist mathematisch komplizierter als das unendliche Teilchen-im-Kasten-Problem, da die Wellenfunktion an den Wänden des Brunnens nicht auf Null festgelegt ist. Stattdessen muss die Wellenfunktion kompliziertere mathematische Randbedingungen erfüllen, da sie in Regionen außerhalb des Brunnens ungleich Null ist. Ein weiteres verwandtes Problem ist das der rechteckigen Potentialbarriere, die ein Modell für den Quantentunneleffekt liefert, der eine wichtige Rolle für die Leistung moderner Technologien wie Flash-Speicher und Rastertunnelmikroskopie spielt. ⓘ

Harmonischer Oszillator

Ein harmonischer Oszillator in der klassischen Mechanik (A-B) und der Quantenmechanik (C-H). In (A-B) schwingt eine Kugel, die an einer Feder befestigt ist, hin und her. (C-H) sind sechs Lösungen der Schrödinger-Gleichung für diese Situation. Die horizontale Achse ist die Position, die vertikale Achse ist der Realteil (blau) oder der Imaginärteil (rot) der Wellenfunktion. Stationäre Zustände oder Energieeigenzustände, die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung sind, werden in C, D, E, F, aber nicht in G oder H dargestellt. ⓘ

Die Schrödinger-Gleichung für diese Situation lautet

$$E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi +{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi ,$$

wobei $x$ ist die Verschiebung und $\omega$ die Winkelfrequenz. Darüber hinaus kann sie zur näherungsweisen Beschreibung einer Vielzahl anderer Systeme verwendet werden, einschließlich schwingender Atome, Moleküle und Atome oder Ionen in Gittern, und zur Annäherung an andere Potentiale in der Nähe von Gleichgewichtspunkten. Sie ist auch die Grundlage für Störungsmethoden in der Quantenmechanik. ⓘ

Die Lösungen im Positionsraum sind

$$\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\ \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\ e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\ {\mathcal {H}}_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),$$

wobei $n\in \{0,1,2,\ldots \}$, und die Funktionen ${\mathcal {H}}_{n}$ sind die Hermite-Polynome der Ordnung $n$. Die Lösungsmenge kann erzeugt werden durch

$$\psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\right)^{n}\left(x-{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{\frac {-m\omega x^{2}}{2\hbar }}.$$

ⓘ

Die Eigenwerte sind

$$E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega .$$

ⓘ

Der Fall $n=0$ wird als Grundzustand bezeichnet, seine Energie wird als Nullpunktenergie bezeichnet, und die Wellenfunktion ist ein Gauß. ⓘ

Der harmonische Oszillator veranschaulicht wie das Teilchen im Kasten die allgemeine Eigenschaft der Schrödinger-Gleichung, dass die Energien gebundener Eigenzustände diskretisiert sind. ⓘ

Wasserstoffatom

Die Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom (oder ein wasserstoffähnliches Atom) lautet

$$E\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}\psi$$

wobei $q$ ist die Elektronenladung, $\mathbf {r}$ ist die Position des Elektrons relativ zum Atomkern, $r=|\mathbf {r} |$ die Größe der relativen Position ist, der Potentialterm auf die Coulomb-Wechselwirkung zurückzuführen ist, wobei $\varepsilon _{0}$ die Dielektrizitätskonstante des freien Raums ist und

$$\mu ={\frac {m_{q}m_{p}}{m_{q}+m_{p}}}$$

die reduzierte 2-Körper-Masse des Wasserstoffkerns (nur ein Proton) mit der Masse $m_{p}$ und des Elektrons der Masse $m_{q}$. Das negative Vorzeichen ergibt sich aus dem Potentialterm, da das Proton und das Elektron entgegengesetzt geladen sind. Die reduzierte Masse anstelle der Elektronenmasse wird verwendet, da das Elektron und das Proton um einen gemeinsamen Schwerpunkt kreisen und ein Zweikörperproblem darstellen, das es zu lösen gilt. Da hier die Bewegung des Elektrons im Mittelpunkt des Interesses steht, ist das äquivalente Einkörperproblem die Bewegung des Elektrons unter Verwendung der reduzierten Masse. ⓘ

Die Schrödingergleichung für ein Wasserstoffatom kann durch Trennung der Variablen gelöst werden. In diesem Fall sind sphärische Polarkoordinaten am besten geeignet. Also

$$\psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi ),$$

wobei R radiale Funktionen sind und $Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ sphärische Harmonische vom Grad $\ell$ und der Ordnung $m$. Dies ist das einzige Atom, für das die Schrödinger-Gleichung exakt gelöst wurde. Für Atome mit mehreren Elektronen sind Näherungsmethoden erforderlich. Die Familie der Lösungen sind:

$$\psi _{n\ell m}(r,\theta ,\varphi )={\sqrt {\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$$

wobei

• $a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{q}q^{2}}}$ ist der Bohr-Radius,
• $L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}(\cdots )$ sind die verallgemeinerten Laguerre-Polynome vom Grad $n-\ell -1$,
• $n,\ell ,m$ sind die Haupt-, Azimutal- bzw. magnetischen Quantenzahlen, die die folgenden Werte annehmen $n=1,2,3,\dots ,$ $\ell =0,1,2,\dots ,n-1,$ $m=-\ell ,\dots ,\ell .$ ⓘ

Näherungsweise Lösungen

In der Regel ist es nicht möglich, die Schrödinger-Gleichung für physikalisch interessante Situationen exakt zu lösen. Dementsprechend werden Näherungslösungen mit Techniken wie Variationsmethoden und WKB-Näherung erzielt. Es ist auch üblich, ein Problem von Interesse als kleine Modifikation eines exakt lösbaren Problems zu behandeln, eine Methode, die als Störungstheorie bekannt ist. ⓘ

Stationäre Lösungen

Für ein System mit Hamiltonoperator ${\hat {H}}$ ohne explizite Zeitabhängigkeit ist der Ansatz

$|\,\psi (t)\rangle =e^{-\mathrm {i} \omega t}|\,\psi (0)\rangle$

naheliegend. Hierbei ist die Zeitabhängigkeit des Zustandsvektors durch einen Faktor $e^{-\mathrm {i} \omega t}$ mit konstanter Frequenz $\omega$ ausgedrückt. Für den zeitunabhängigen Faktor des Zustandsvektors wird die Schrödingergleichung zur Eigenwertgleichung

${\hat {H}}|\,\psi (0)\rangle =E|\,\psi (0)\rangle$. ⓘ

Entsprechend der Planckschen Formel hat ein solches System die Energie

$E=\hbar \omega$. ⓘ

Diskrete Eigenwerte entsprechen diskreten Energieniveaus des Systems („Quantisierung als Eigenwertproblem“). ⓘ

Anmerkung: Eine gebräuchliche Ortsraumdarstellung der „zeitfreien“ (stationären) Schrödingergleichung lautet:

${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi (\mathbf {r} )+(E-V(\mathbf {r} ))\psi (\mathbf {r} )=0$ ⓘ

Lösungsverfahren allgemein

Die Lösungen der Schrödingergleichung (bzw. Pauligleichung) beinhalten im Prinzip die ganze Festkörperphysik und Chemie (eine Einschränkung: für innere Elektronen schwerer Atome sind relativistische Korrekturen nicht mehr klein). Lösungen in geschlossener Form gibt es nur für einige 1-Elektron-Systeme (Wasserstoffatom, Potentialbarriere, harmonischer Oszillator, Morse-Potential, …). Ab Heliumatom oder Wasserstoffmolekül ist man auf numerische Techniken angewiesen. ⓘ

Mit Computerunterstützung und geeigneten Methoden (Störungsrechnung, Variationsansätze, …) lassen sich Systeme mit bis zu etwa 10 Elektronen numerisch ohne Näherung behandeln, d. h. die Verfahren konvergieren mit steigendem Rechenaufwand gegen die exakte Lösung. Ein Beispiel solcher Verfahren ist Configuration Interaction. ⓘ

Bei diesen prinzipiell exakten Verfahren ist im $N$-Teilchen-Fall eine Wellenfunktion im $3N$-dimensionalen Konfigurationsraum zu bestimmen. Verwendet man $q$ (Stützpunkt- oder Variations-) Werte je Dimension, dann sind $q^{3N}$ Werte zu berechnen. Im Ergebnis macht diese exponentiell wachsende Anforderung an Speicher und Rechenleistung exakte Rechnungen für die meisten Systeme unmöglich (ein Ethan-Molekül z. B. enthält zwei Kohlenstoffatome und 18 Elektronen). Walter Kohn hat dieses exponentielle Ressourcenwachstum als „Exponentialbarriere“ bezeichnet. ⓘ

Größere Systeme werden daher mit Näherungsverfahren untersucht. Bekannte Verfahren sind die Hartree-Fock-Näherung, Erweiterungen und die Split-Operator-Methode in der Theoretischen Chemie. ⓘ

Eine Sonderrolle spielt die auf Walter Kohn zurückgehende Dichtefunktionaltheorie, da diese gezielt die Exponentialbarriere umgeht. Damit lassen sich mit ab initio-Rechnungen Gitterkonstanten und Bindungsenergien auch komplizierter Atome und Verbindungen mit Fehlern im Prozentbereich berechnen. ⓘ

Semiklassische Grenze

Eine einfache Möglichkeit, die klassische Mechanik mit der Quantenmechanik zu vergleichen, besteht darin, die zeitliche Entwicklung der erwarteten Position und des erwarteten Impulses zu betrachten, die dann mit der zeitlichen Entwicklung der gewöhnlichen Position und des Impulses in der klassischen Mechanik verglichen werden können. Die Quantenerwartungswerte erfüllen das Ehrenfest-Theorem. Für ein eindimensionales Quanten-Teilchen, das sich in einem Potential $V$besagt das Ehrenfest-Theorem

$$m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ;\quad {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(X)\right\rangle .$$

Obwohl die erste dieser Gleichungen mit dem klassischen Verhalten übereinstimmt, gilt dies nicht für die zweite: Wenn das Paar $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ das zweite Newtonsche Gesetz erfüllen würde, müsste die rechte Seite der zweiten Gleichung lauten

$$-V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$$

was normalerweise nicht dasselbe ist wie $-\left\langle V'(X)\right\rangle$. Für eine allgemeine $V'$kann die Quantenmechanik daher zu Vorhersagen führen, bei denen die Erwartungswerte nicht mit dem klassischen Verhalten übereinstimmen. Im Fall des harmonischen Quantenoszillators ist jedoch $V'$ linear und diese Unterscheidung verschwindet, so dass in diesem sehr speziellen Fall die erwartete Position und der erwartete Impuls genau den klassischen Trajektorien folgen. ⓘ

Für allgemeine Systeme können wir bestenfalls hoffen, dass die erwartete Position und der erwartete Impuls den klassischen Bahnen annähernd folgen. Wenn die Wellenfunktion stark um einen Punkt konzentriert ist $x_{0}$ist, dann $V'\left(\left\langle X\right\rangle \right)$ und $\left\langle V'(X)\right\rangle$ fast gleich sein, da beide ungefähr gleich sind $V'(x_{0})$. In diesem Fall bleiben die erwartete Position und der erwartete Impuls sehr nahe an den klassischen Trajektorien, zumindest solange die Wellenfunktion in ihrer Position stark lokalisiert bleibt. ⓘ

Die Schrödinger-Gleichung in ihrer allgemeinen Form

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)={\hat {H}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)$$

ist eng verwandt mit der Hamilton-Jacobi-Gleichung (HJE)

$$-{\frac {\partial }{\partial t}}S(q_{i},t)=H\left(q_{i},{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}},t\right)$$

wobei $S$ ist die klassische Wirkung und $H$ die Hamilton-Funktion (nicht Operator). Hier sind die verallgemeinerten Koordinaten $q_{i}$ für $i=1,2,3$ (die im Zusammenhang mit der HJE verwendet werden) auf die Position in kartesischen Koordinaten gesetzt werden als $\mathbf {r} =(q_{1},q_{2},q_{3})=(x,y,z)$. ⓘ

Durch Einsetzen von

$$\Psi ={\sqrt {\rho (\mathbf {r} ,t)}}e^{iS(\mathbf {r} ,t)/\hbar }$$

wobei $\rho$ die Wahrscheinlichkeitsdichte ist, in die Schrödinger-Gleichung einsetzen und dann den Grenzwert $\hbar \to 0$ in der resultierenden Gleichung ergibt die Hamilton-Jacobi-Gleichung. ⓘ

Dichtematrizen

Wellenfunktionen sind nicht immer der beste Weg, um Quantensysteme und ihr Verhalten zu beschreiben. Wenn die Präparation eines Systems nur unvollkommen bekannt ist oder wenn das zu untersuchende System ein Teil eines größeren Ganzen ist, können stattdessen Dichtematrizen verwendet werden. Eine Dichtematrix ist ein positiver semidefiniter Operator, dessen Spur gleich 1 ist. (Der Begriff "Dichteoperator" wird auch verwendet, insbesondere wenn der zugrunde liegende Hilbert-Raum unendlich-dimensional ist). Die Menge aller Dichtematrizen ist konvex, und die Extrempunkte sind die Operatoren, die auf Vektoren im Hilbertraum projizieren. Dies sind die Dichtematrix-Darstellungen von Wellenfunktionen; in der Dirac-Notation werden sie geschrieben

$${\hat {\rho }}=|\Psi \rangle \langle \Psi |.$$

ⓘ

Die Dichte-Matrix-Analogie der Schrödinger-Gleichung für Wellenfunktionen lautet

$$i\hbar {\frac {\partial {\hat {\rho }}}{\partial t}}=[{\hat {H}},{\hat {\rho }}],$$

wobei die Klammern einen Kommutator bezeichnen. Diese Gleichung wird auch als von-Neumann-Gleichung, Liouville-von-Neumann-Gleichung oder einfach als Schrödinger-Gleichung für Dichtematrizen bezeichnet. Wenn der Hamiltonian zeitunabhängig ist, kann diese Gleichung leicht gelöst werden und ergibt

$${\hat {\rho }}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }{\hat {\rho }}(0)e^{i{\hat {H}}t/\hbar }.$$

ⓘ

Allgemeiner ausgedrückt: Wenn der unitäre Operator ${\hat {U}}(t)$ die Entwicklung der Wellenfunktion über ein bestimmtes Zeitintervall beschreibt, dann ist die zeitliche Entwicklung einer Dichtematrix über dasselbe Intervall gegeben durch

$${\hat {\rho }}(t)={\hat {U}}(t){\hat {\rho }}(0){\hat {U}}(t)^{\dagger }.$$

ⓘ

Bei der unitären Entwicklung einer Dichtematrix bleibt ihre von-Neumann-Entropie erhalten. ⓘ

Relativistische Quantenphysik und Quantenfeldtheorie

Die oben beschriebene Ein-Teilchen-Schrödinger-Gleichung ist im Wesentlichen im nichtrelativistischen Bereich gültig. Zum einen ist sie im Wesentlichen invariant unter Galilei-Transformationen, die die Symmetriegruppe der Newtonschen Dynamik bilden. Außerdem sind Prozesse, die die Anzahl der Teilchen verändern, in der Relativitätstheorie natürlich, so dass eine Gleichung für ein Teilchen (oder eine feste Anzahl davon) nur von begrenztem Nutzen sein kann. Eine allgemeinere Form der Schrödinger-Gleichung, die auch in relativistischen Situationen gilt, kann im Rahmen der Quantenfeldtheorie (QFT) formuliert werden, die die Kombination von Quantenmechanik und Spezieller Relativitätstheorie ermöglicht. Der Bereich, in dem beide gleichzeitig gelten, kann durch die relativistische Quantenmechanik beschrieben werden. Bei solchen Beschreibungen kann die Zeitentwicklung durch einen Hamilton-Operator erzeugt werden, wie bei der Schrödinger-Funktionsmethode. ⓘ

Klein-Gordon- und Dirac-Gleichungen

Versuche, die Quantenphysik mit der Speziellen Relativitätstheorie zu verbinden, begannen damit, relativistische Wellengleichungen aus der relativistischen Energie-Impuls-Relation

$$E^{2}=(pc)^{2}+\left(m_{0}c^{2}\right)^{2},$$

anstelle der nichtrelativistischen Energiegleichungen aufzustellen. Die Klein-Gordon-Gleichung und die Dirac-Gleichung sind zwei solcher Gleichungen. Die Klein-Gordon-Gleichung,

$$-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi +\nabla ^{2}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,$$

war die erste Gleichung dieser Art, die noch vor der nichtrelativistischen Ein-Teilchen-Schrödinger-Gleichung aufgestellt wurde, und gilt für massive spinlose Teilchen. Historisch gesehen suchte Dirac nach einer Differentialgleichung, die sowohl in der Zeit als auch im Raum erster Ordnung ist, eine wünschenswerte Eigenschaft für eine relativistische Theorie. Um die "Quadratwurzel" der linken Seite der Klein-Gordon-Gleichung auf diese Weise zu ziehen, musste sie in ein Produkt aus zwei Operatoren faktorisiert werden, die Dirac mit Hilfe von 4 × 4 Matrizen schrieb $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\beta$. Folglich wurde auch die Wellenfunktion zu einer Vier-Komponenten-Funktion, die durch die Dirac-Gleichung bestimmt wird, die im freien Raum wie folgt lautet

$$\left(\beta mc^{2}+c\left(\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\right)\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}.$$

ⓘ

Diese hat wiederum die Form der Schrödinger-Gleichung, wobei die zeitliche Ableitung der Wellenfunktion durch einen Hamilton-Operator gegeben ist, der auf die Wellenfunktion wirkt. Die Einbeziehung von Einflüssen auf das Teilchen erfordert eine Modifizierung des Hamiltonoperators. Der Dirac-Hamiltonsche Operator für ein Teilchen mit der Masse m und der elektrischen Ladung q in einem elektromagnetischen Feld (beschrieben durch die elektromagnetischen Potentiale φ und A) lautet zum Beispiel

$${\hat {H}}_{\text{Dirac}}=\gamma ^{0}\left[c{\boldsymbol {\gamma }}\cdot \left({\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} \right)+mc^{2}+\gamma ^{0}q\varphi \right],$$

wobei γ = (γ¹, γ², γ³) und γ⁰ die Dirac-Gamma-Matrizen sind, die sich auf den Spin des Teilchens beziehen. Die Dirac-Gleichung gilt für alle Spin-1⁄2-Teilchen, und die Lösungen der Gleichung sind 4-Komponenten-Spinorfelder, wobei zwei Komponenten dem Teilchen und die anderen beiden dem Antiteilchen entsprechen. ⓘ

Für die Klein-Gordon-Gleichung lässt sich die allgemeine Form der Schrödinger-Gleichung nicht verwenden, und in der Praxis wird der Hamiltonian nicht analog zum Dirac-Hamiltonian ausgedrückt. Die Gleichungen für relativistische Quantenfelder, von denen die Klein-Gordon-Gleichung und die Dirac-Gleichung zwei Beispiele sind, können auf andere Weise erhalten werden, z. B. ausgehend von einer Lagrangedichte und unter Verwendung der Euler-Lagrange-Gleichungen für Felder oder unter Verwendung der Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe, in der bestimmte Darstellungen verwendet werden können, um die Gleichung für ein freies Teilchen mit gegebenem Spin (und Masse) festzulegen. ⓘ

Im Allgemeinen ist der Hamiltonian, der in die allgemeine Schrödingergleichung eingesetzt werden muss, nicht nur eine Funktion der Positions- und Impulsoperatoren (und möglicherweise der Zeit), sondern auch von Spinmatrizen. Auch die Lösungen einer relativistischen Wellengleichung für ein massives Teilchen mit Spin s sind komplexwertige 2(2s + 1)-Komponenten-Spinorfelder. ⓘ

Hinweis: Elektrodynamische Größen sind hier im CGS-Einheitensystem angegeben ⓘ

Der Hamiltonoperator eines Vielteilchensystems ist die Summe der Ein-Teilchen-Hamiltonoperatoren und der Wechselwirkungsenergien (zum Beispiel der Coulomb-Wechselwirkungen zwischen den Teilchen) ⓘ

Fock-Raum

In ihrer ursprünglichen Formulierung ist die Dirac-Gleichung eine Gleichung für ein einzelnes Quantenteilchen, genau wie die Ein-Teilchen-Schrödinger-Gleichung mit Wellenfunktion $\Psi (x,t)$. Dies ist in der relativistischen Quantenmechanik, in der die Teilchenzahl nicht festgelegt ist, von begrenztem Nutzen. Heuristisch lässt sich diese Komplikation durch die Feststellung begründen, dass die Masse-Energie-Äquivalenz impliziert, dass materielle Teilchen aus Energie erzeugt werden können. Eine gängige Methode, dies in der QFT zu berücksichtigen, besteht darin, einen Hilbert-Raum einzuführen, in dem die Basiszustände durch die Teilchenzahl gekennzeichnet sind, einen so genannten Fock-Raum. Die Schrödinger-Gleichung kann dann für Quantenzustände in diesem Hilbertraum formuliert werden. Da die Schrödinger-Gleichung jedoch eine bevorzugte Zeitachse auswählt, ist die Lorentz-Invarianz der Theorie nicht mehr gegeben, so dass die Theorie oft auf andere Weise formuliert wird. ⓘ

Geschichte

Erwin Schrödinger ⓘ

In Anlehnung an Max Plancks Quantisierung des Lichts (siehe Schwarzkörperstrahlung) interpretierte Albert Einstein Plancks Quanten als Photonen, also Lichtteilchen, und schlug vor, dass die Energie eines Photons proportional zu seiner Frequenz ist - eines der ersten Anzeichen für den Welle-Teilchen-Dualismus. Da Energie und Impuls in der Speziellen Relativitätstheorie auf die gleiche Weise zusammenhängen wie Frequenz und Wellenzahl, folgt daraus, dass der Impuls $p$ eines Photons umgekehrt proportional zu seiner Wellenlänge ist $\lambda$oder proportional zu seiner Wellenzahl $k$:

$$p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k,$$

wobei $h$ ist die Plancksche Konstante und $\hbar ={h}/{2\pi }$ die reduzierte Planck-Konstante ist. Louis de Broglie stellte die Hypothese auf, dass dies für alle Teilchen gilt, auch für Teilchen, die eine Masse haben, wie z. B. Elektronen. Er zeigte, dass unter der Annahme, dass sich die Materiewellen zusammen mit ihren Teilchengegenstücken ausbreiten, Elektronen stehende Wellen bilden, was bedeutet, dass nur bestimmte diskrete Rotationsfrequenzen um den Atomkern zulässig sind. Diese quantisierten Bahnen entsprechen diskreten Energieniveaus, und de Broglie reproduzierte die Formel des Bohr-Modells für die Energieniveaus. Das Bohrsche Modell basierte auf der angenommenen Quantisierung des Drehimpulses $L$ gemäß

$$L=n{\frac {h}{2\pi }}=n\hbar .$$

Nach de Broglie wird das Elektron durch eine Welle beschrieben, und eine ganze Anzahl von Wellenlängen muss entlang des Umfangs der Elektronenbahn passen:

$$n\lambda =2\pi r.$$

ⓘ

Dieser Ansatz beschränkte die Elektronenwelle im Wesentlichen auf eine Dimension, nämlich auf eine Kreisbahn mit dem Radius $r$. ⓘ

Im Jahr 1921, vor de Broglie, hatte Arthur C. Lunn an der Universität von Chicago das gleiche Argument auf der Grundlage der Vervollständigung des relativistischen Energie-Moment-Vier-Vektors verwendet, um das abzuleiten, was wir heute als de Broglie-Relation bezeichnen. Im Gegensatz zu de Broglie formulierte Lunn die heute als Schrödinger-Gleichung bekannte Differentialgleichung und löste ihre Energieeigenwerte für das Wasserstoffatom. Leider wurde die Arbeit von der Physical Review abgelehnt, wie Kamen berichtet. ⓘ

Der Physiker Peter Debye knüpfte an die Ideen von de Broglie an und bemerkte beiläufig, dass Teilchen, wenn sie sich wie Wellen verhielten, eine Art Wellengleichung erfüllen müssten. Inspiriert von Debyes Bemerkung beschloss Schrödinger, eine geeignete dreidimensionale Wellengleichung für das Elektron zu finden. Dabei ließ er sich von William Rowan Hamiltons Analogie zwischen Mechanik und Optik leiten, die in der Beobachtung verschlüsselt ist, dass die Null-Wellenlängen-Grenze der Optik einem mechanischen System ähnelt - die Bahnen der Lichtstrahlen werden zu scharfen Bahnen, die dem Fermatschen Prinzip gehorchen, einem Analogon des Prinzips der geringsten Wirkung. ⓘ

Die von ihm gefundene Gleichung lautet

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).$$

ⓘ

Zu diesem Zeitpunkt hatte Arnold Sommerfeld jedoch das Bohrsche Modell mit relativistischen Korrekturen verfeinert. Schrödinger nutzte die relativistische Energie-Impuls-Relation, um das zu finden, was heute als Klein-Gordon-Gleichung in einem Coulomb-Potential (in natürlichen Einheiten) bekannt ist:

$$\left(E+{\frac {e^{2}}{r}}\right)^{2}\psi (x)=-\nabla ^{2}\psi (x)+m^{2}\psi (x).$$

ⓘ

Er fand die stehenden Wellen dieser relativistischen Gleichung, aber die relativistischen Korrekturen stimmten nicht mit Sommerfelds Formel überein. Entmutigt legte er seine Berechnungen beiseite und zog sich im Dezember 1925 mit einer Geliebten in eine Berghütte zurück. ⓘ

In der Hütte entschied Schrödinger, dass seine früheren nichtrelativistischen Berechnungen neu genug waren, um sie zu veröffentlichen, und beschloss, das Problem der relativistischen Korrekturen für die Zukunft aufzuschieben. Trotz der Schwierigkeiten bei der Lösung der Differentialgleichung für Wasserstoff (er hatte die Hilfe seines Freundes, des Mathematikers Hermann Weyl, in Anspruch genommen) zeigte Schrödinger in einer 1926 veröffentlichten Arbeit, dass seine nichtrelativistische Version der Wellengleichung die korrekten Spektralenergien von Wasserstoff ergab. Schrödinger berechnete die Wasserstoff-Spektralserie, indem er das Elektron eines Wasserstoffatoms als Welle behandelte $\Psi (\mathbf {x} ,t)$, die sich in einem Potentialtopf $V$, die durch das Proton erzeugt wird. Diese Berechnung gab die Energieniveaus des Bohrschen Modells genau wieder. ⓘ

Die Schrödinger-Gleichung beschreibt detailliert das Verhalten von $\Psi$ sagt aber nichts über seine Natur aus. Schrödinger versuchte, den Realteil von $\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}$ als Ladungsdichte zu interpretieren, revidierte dann aber diesen Vorschlag und sagte in seinem nächsten Aufsatz, dass der quadrierte Modul von $\Psi$ eine Ladungsdichte ist. Dieser Ansatz war jedoch erfolglos. Im Jahr 1926, nur wenige Tage nach der Veröffentlichung dieser Arbeit, interpretierte Max Born erfolgreich $\Psi$ als die Wahrscheinlichkeitsamplitude, deren Modul zum Quadrat gleich der Wahrscheinlichkeitsdichte ist. Später erläuterte Schrödinger selbst diese Interpretation wie folgt:

Die bereits ... erwähnte Psi-Funktion.... ist nun das Mittel zur Vorhersage der Wahrscheinlichkeit von Messergebnissen. In ihr ist die augenblicklich erreichte Summe der theoretisch begründeten Zukunftserwartung verkörpert, gewissermaßen wie in einem Katalog festgehalten.

- Erwin Schrödinger ⓘ

Deutung

Die Schrödinger-Gleichung bietet eine Möglichkeit zur Berechnung der Wellenfunktion eines Systems und deren dynamischer Veränderung in der Zeit. Allerdings sagt die Schrödinger-Gleichung nicht direkt aus, was genau die Wellenfunktion ist. Die Bedeutung der Schrödinger-Gleichung und die Beziehung zwischen den darin enthaltenen mathematischen Einheiten und der physikalischen Realität hängt von der Interpretation der Quantenmechanik ab, die man sich zu eigen macht. ⓘ

Nach der oft als Kopenhagener Interpretation bezeichneten Auffassung ist die Wellenfunktion eines Systems eine Sammlung statistischer Informationen über dieses System. Die Schrödinger-Gleichung setzt Informationen über das System zu einem bestimmten Zeitpunkt mit Informationen über das System zu einem anderen Zeitpunkt in Beziehung. Während der durch die Schrödinger-Gleichung dargestellte Zeitentwicklungsprozess kontinuierlich und deterministisch ist, d. h. die Kenntnis der Wellenfunktion zu einem bestimmten Zeitpunkt reicht im Prinzip aus, um sie für alle zukünftigen Zeitpunkte zu berechnen, können sich Wellenfunktionen während einer Messung auch diskontinuierlich und stochastisch ändern. Nach dieser Denkschule ändert sich die Wellenfunktion, weil neue Informationen verfügbar sind. Die Wellenfunktion nach der Messung kann im Allgemeinen nicht vor der Messung bekannt sein, aber die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Möglichkeiten können mit Hilfe der Bornschen Regel berechnet werden. Andere, neuere Interpretationen der Quantenmechanik, wie die relationale Quantenmechanik und der QBismus, geben der Schrödinger-Gleichung ebenfalls einen solchen Status. ⓘ

Schrödinger selbst schlug 1952 vor, dass die verschiedenen Terme einer Superposition, die sich unter der Schrödinger-Gleichung entwickeln, "keine Alternativen sind, sondern alle wirklich gleichzeitig auftreten". Dies wurde als eine frühe Version von Everetts Viele-Welten-Interpretation interpretiert. Diese Interpretation, die 1956 unabhängig formuliert wurde, besagt, dass alle von der Quantentheorie beschriebenen Möglichkeiten gleichzeitig in einem Multiversum auftreten, das aus weitgehend unabhängigen Paralleluniversen besteht. Bei dieser Interpretation entfällt das Axiom des Kollapses der Wellenfunktion, so dass nur noch eine kontinuierliche Entwicklung gemäß der Schrödinger-Gleichung übrig bleibt, so dass alle möglichen Zustände des gemessenen Systems und des Messgeräts zusammen mit dem Beobachter in einer echten physikalischen Quantensuperposition vorliegen. Während das Multiversum deterministisch ist, nehmen wir nicht-deterministisches Verhalten wahr, das von Wahrscheinlichkeiten bestimmt wird, da wir nicht das Multiversum als Ganzes, sondern jeweils nur ein Paralleluniversum beobachten. Wie das genau funktionieren soll, ist Gegenstand vieler Debatten. Warum sollten wir den Ergebnissen, die in einigen Welten mit Sicherheit eintreten, überhaupt Wahrscheinlichkeiten zuordnen, und warum sollten die Wahrscheinlichkeiten durch die Bornsche Regel gegeben sein? Es wurden mehrere Möglichkeiten zur Beantwortung dieser Fragen im Rahmen des Viele-Welten-Konzepts vorgeschlagen, aber es besteht kein Konsens darüber, ob sie erfolgreich sind. ⓘ

Die Bohmsche Mechanik formuliert die Quantenmechanik neu, um sie deterministisch zu machen, allerdings um den Preis, dass sie ausdrücklich nichtlokal ist (ein Preis, der durch das Bellsche Theorem gefordert wird). Sie schreibt jedem physikalischen System nicht nur eine Wellenfunktion, sondern auch eine reale Position zu, die sich unter einer nichtlokalen Führungsgleichung deterministisch entwickelt. Die Entwicklung eines physikalischen Systems ist zu jedem Zeitpunkt durch die Schrödingergleichung zusammen mit der Leitgleichung gegeben. ⓘ

Nichtrelativistische Quantenmechanik von Punktteilchen

Mehrere Teilchen

Mehrere Teilchen werden durch eine einzelne Wellenfunktion $\psi$ dargestellt. Diese Wellenfunktion hat als Parameter die Positionen aller Teilchen sowie die Zeit. ⓘ

$\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n},t)$ ⓘ

Bedeutung der Schrödingergleichung und Erläuterungen

Allgemeine Erläuterungen

Mit der Schrödingergleichung wurde die Ad-hoc-Konstruktion des bohrschen Atommodells überwunden (wie zuvor schon mit der umständlicheren Heisenberg'schen Matrizenmechanik). Die diskreten Energieniveaus des Wasserstoffatoms, die im Bohrschen Modell stationären klassischen Bahnen eines Elektrons im Coulombpotential des Atomkerns zugeordnet sind, ergeben sich im Rahmen der Schrödingergleichung als Eigenwerte der Schrödingergleichung für ein Elektron im Potential des Atomkerns. ⓘ

Während die Bahn $\mathbf {r} (t)$ eines Teilchens in der klassischen Mechanik durch die Newtonsche Bewegungsgleichung bestimmt ist, liefert in der Quantenmechanik die Schrödingergleichung stattdessen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $|\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)|^{2}$ für den Aufenthaltsort des Teilchens. Man spricht auch veranschaulichend davon, dass das Teilchen über den Raum delokalisiert sei. Als umfassendere Theorie muss die Quantenmechanik allerdings die klassische Mechanik enthalten. Eine Form dieser Korrespondenz wird durch das Ehrenfest-Theorem hergestellt. Das Theorem besagt u. a., dass der Mittelwert der Teilchenkoordinate die klassische Bewegungsgleichung erfüllt. Relevant und evident wird die Korrespondenz bei lokalisierten kohärenten Wellenpaketen. Solche Wellenpakete lassen sich bei höheren Quantenzahlen, also z. B. bei höheren Anregungszuständen des Wasserstoffatoms konstruieren. ⓘ

In der Schrödingergleichung kommen die Wellenfunktion und die Operatoren im sogenannten Schrödinger-Bild vor, in dem eine Bewegungsgleichung für die Zustände betrachtet wird. Im Heisenberg-Bild werden stattdessen Bewegungsgleichungen für die Operatoren selbst betrachtet. Diese Bewegungsgleichungen werden als Heisenbergsche Bewegungsgleichung bezeichnet. Die beiden Formulierungen sind mathematisch äquivalent. ⓘ

Die Schrödingergleichung ist deterministisch, das heißt, dass ihre Lösungen bei Vorgabe von Anfangsbedingungen eindeutig sind. Andererseits sind die Lösungen der Schrödingergleichung nach der Kopenhagener Deutung statistische Größen, aus denen nur Aussagen über die Mittelwerte von Messergebnissen in gleichartigen Versuchsanordnungen folgen. Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik liegt dies nicht an einem Mangel der Messanordnung, vielmehr ist dies durch die Natur selbst bedingt. ⓘ

Erwartungswerte von Messgrößen

Aus der Wellenfunktion ergeben sich die physikalischen Eigenschaften des Teilchens. Beispielsweise wird der klassische Wert für den Ort des Teilchens $\mathbf {r} (t)$ durch den mittleren Ort des Teilchens zur Zeit $t$, also

$\mathbf {r} (t)\rightarrow \langle \mathbf {\hat {r}} \rangle (t)=\int \mathbf {r} |\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\mathrm {d} ^{3}r$

ersetzt, während der klassische Wert für den Impuls des Teilchens durch folgenden Mittelwert ersetzt wird:

$\mathbf {p} (t)\rightarrow \langle \mathbf {\hat {p}} \rangle (t)=\int \psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)(-\mathrm {i} \hbar \nabla )\psi (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} ^{3}r$ .

Jede klassische Messgröße $f(r,p,t)$ wird so durch eine Mittelung des zugehörigen Operators über den Raum, in dem sich das Teilchen befindet, ersetzt:

$f(\mathbf {r} (t),\mathbf {p} (t),t)\rightarrow \langle {\hat {f}}\rangle (t)=\int \psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)f(\mathbf {\hat {r}} ,\mathbf {\hat {p}} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} ^{3}r$.

Der Ausdruck $\langle {\hat {f}}\rangle$ wird als Erwartungswert von $f$ bezeichnet. Der Erwartungswert der Energie ist gleich $\langle {\hat {H}}\rangle$. ⓘ

Lösungsbeispiele

Eindimensionales freies Teilchen

Im eindimensionalen Fall eines freien Teilchens reduziert sich der Laplace-Operator zu einer doppelten Ableitung und das Potential $V$ verschwindet. ⓘ

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi (x,t)$ ⓘ

Im Fall einer gaussförmigen Amplitudenverteilung ist eine Lösung der eindimensionalen Schrödingergleichung mit verschwindendem Potential:

$\psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {\sigma ^{2}+2\mathrm {i} t{\frac {\hbar }{m}}}}}\cdot \exp \left({\frac {-\pi ^{2}\sigma ^{2}}{\lambda ^{2}}}-{\frac {(x-\mathrm {i} \pi {\frac {\sigma ^{2}}{\lambda }})^{2}}{\sigma ^{2}+2\mathrm {i} t{\frac {\hbar }{m}}}}\right)$ ⓘ

Hier ist $\sigma$ die halbe Breite des Wellenpakets und $\lambda$ die Wellenlänge zum Zeitpunkt $t=0$. Die folgenden Bilder zeigen den räumlichen und zeitlichen Verlauf der Wellenfunktion $\Psi$ für verschiedene Anfangsbedingungen. Im Fall einer reinen Gaussverteilung verbreitert sich die Wellenfunktion zu beiden Seiten. Wird die anfängliche Gaussverteilung mit der komplexen Schwingung $\exp(2\pi \mathrm {i} x/\lambda )$ multipliziert, ergibt sich ein bewegtes Teilchen mit Dispersion. ⓘ

Eindimensionale Wellenfunktion eines Elektrons über x-Koordinate. Zu Anfang Gaussverteilung mit 1 nm Breite und überlagerter komplexer Schwingung. Mitlaufendes Koordinatensystem. ⓘ

Eindimensionale Wellenfunktion eines Elektrons über x-Koordinate. Zu Anfang Gaussverteilung mit 1 nm Breite und überlagerter komplexer Schwingung.

Eindimensionale Wellenfunktion eines Elektrons über x-Koordinate. Zu Anfang reine Gaussverteilung mit 1 nm Breite. ⓘ

Ein einfaches Modell für die chemische Bindung

Dieses Beispiel beschreibt ein einfaches Modell für chemische Bindung (siehe Feynman Lectures). Ein Elektron ist an einen Atomkern 1 gebunden und befindet sich im Zustand $|1\rangle$, oder aber an einen Atomkern 2 und befindet sich im Zustand $|2\rangle$. Wenn keine Übergänge möglich sind, gilt jeweils die stationäre Schrödingergleichung. Wenn Übergänge von $|1\rangle$ nach $|2\rangle$ möglich sind, muss der Hamiltonoperator bei Anwendung auf Zustand $|1\rangle$ eine Beimischung von Zustand $|2\rangle$ erzeugen, und analog für Übergänge von $|2\rangle$ nach $|1\rangle$. Ein Parameter $\epsilon$ bestimmt die Übergangsrate. Das System wird dann wie folgt modelliert:

${\begin{aligned}{\hat {H}}|1\rangle =E|1\rangle +\epsilon |2\rangle \\{\hat {H}}|2\rangle =E|2\rangle +\epsilon |1\rangle \end{aligned}}$

Durch Addition und Subtraktion dieser Gleichungen sieht man, dass es neue stationäre Zustände in Form von Superpositionen aus $|1\rangle$ und $|2\rangle$ gibt:

$|+\rangle =|1\rangle +|2\rangle ~~~~~~~~~|-\rangle =|1\rangle -|2\rangle$

denn für diese findet man mit elementarer Algebra

${\hat {H}}|+\rangle =(E+\epsilon )|+\rangle ~~~~~~~~~{\hat {H}}|-\rangle =(E-\epsilon )|-\rangle$

Die Vorfaktoren der stationären Zustände werden wieder als messbare Energien interpretiert. Eine der beiden Energien (je nach Vorzeichen von $\epsilon$) ist kleiner als das ursprüngliche $E$. Der entsprechende Superpositionszustand ist der Bindungszustand des Moleküls. ⓘ

Schrödingergleichung in der Mathematik

Für die Schrödingergleichung in einem Hilbertraum lässt sich mathematisch zeigen, dass der Hamiltonoperator ${\hat {H}}$ selbstadjungiert ist. Dann folgt aus dem Satz von Stone die Existenz einer unitären Gruppe und damit die eindeutige Lösbarkeit des Anfangswertproblems. Dabei ist es aus mathematischer Sicht wichtig, Selbstadjungiertheit ${\hat {H}}={\hat {H}}^{*}$ von der schwächeren Eigenschaft der Symmetrie ${\hat {H}}\subseteq {\hat {H}}^{*}$ zu unterscheiden. Letztere lässt sich in der Regel durch eine partielle Integration zeigen, für die Selbstadjungiertheit ist eine detaillierte Untersuchung des Definitionsbereichs des adjungierten Operators notwendig. Für beschränkte Operatoren fallen beide Begriffe zusammen, aber Schrödingeroperatoren sind in der Regel unbeschränkt und können nach dem Satz von Hellinger-Toeplitz nicht auf dem ganzen Hilbertraum definiert werden. Danach gilt es, das Spektrum von ${\hat {H}}$ zu untersuchen, um die Dynamik zu verstehen. ⓘ

Analytische Verfahren und Untersuchung der Lösungseigenschaften

Schrödingergleichung ohne Potential

Die Schrödingergleichung ohne Potential (freie Schrödingergleichung) ⓘ

${\hat {H}}_{0}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$ ⓘ

kann mittels Fourier-Transformation behandelt werden und der freie Schrödingeroperator ist auf dem Sobolev-Raum $H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\subseteq L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ selbstadjungiert. Das Spektrum ist gleich $\sigma ({\hat {H}}_{0})=[0,\infty )$. ⓘ

Erhaltung der Hs-Normen

Die Normerhaltung

$\|u(\cdot ,t)\|_{H^{s}}=\|u_{0}\|_{H^{s}}$

lässt sich durch Fourier-Transformation zeigen. Sie drückt im Fall $H^{0}=L^{2}$ die Erhaltung der Wahrscheinlichkeiten aus. ⓘ

Dispersion

Es gilt

$\|u(\cdot ,t)\|_{L^{\infty }}\,\leq \,{\frac {c}{|t|^{n/2}}}\,\|u_{0}\|_{L^{1}}\quad \forall u_{0}\in L^{1}$. ⓘ

Diese Eigenschaft drückt das Zerfließen der Wellenpakete aus. ⓘ

Schrödingergleichung mit Potential

Die Schrödingergleichung mit einem Potential ⓘ

${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {V}}$ ⓘ

kann mit Methoden der Störungstheorie behandelt werden. Zum Beispiel folgt aus dem Satz von Kato-Rellich: Gilt in drei (oder weniger) Dimensionen $V(x)=V_{1}(x)+V_{2}(x)$, wobei $V_{1}(x)$ beschränkt ist und im Unendlichen verschwindet und $V_{2}(x)$ quadratintegrierbar ist, dann ist ${\hat {H}}$ auf $H^{2}(\mathbb {R} ^{3})\subseteq L^{2}(\mathbb {R} ^{3})$ selbstadjungiert und das wesentliche Spektrum ist $\sigma _{\text{ess}}({\hat {H}})=[0,\infty )$. Unter dem wesentlichen Spektrum kann es maximal abzählbar viele Eigenwerte geben die sich nur bei Null häufen können. Diese Voraussetzungen decken insbesondere das Coulomb-Potential und damit das Wasserstoffatom ab, ⓘ

$V(x)={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{|x|}}$, ⓘ

das durch Separation in Kugelkoordinaten explizit lösbar ist. Betrachtet man Atome mit mehr als einem Elektron oder Moleküle, so wurde die Selbstadjungiertheit erst später von Tosio Kato bewiesen. Die Struktur des essentiellen Spektrums wird in diesem Fall durch das HVZ-Theorem (nach W. Hunziker, C. van Winter und GM Zhislin) beschrieben. Solche Modelle können in der Regel nur numerisch gelöst werden. ⓘ

Die eindimensionale Schrödingergleichung ist ein Spezialfall einer Sturm-Liouville-Gleichung. ⓘ

Erweiterungen

Pauli- und Dirac-Gleichung

Die Wechselwirkung des Spins oder Eigendrehimpulses des Teilchens mit einem äußeren Magnetfeld wird in obiger Form der Schrödingergleichung nicht berücksichtigt. Wenn diese Wechselwirkung nicht vernachlässigt werden soll, ist für ein Elektron bei Anwesenheit eines äußeren Magnetfeldes die Pauli-Gleichung zu benutzen. ⓘ

Die Pauli-Gleichung ist jedoch nicht lorentzinvariant, sondern „nur“ Galilei-invariant (nicht relativistisch). Die korrekte relativistische Verallgemeinerung der Schrödinger- und auch der allgemeineren Pauli-Gleichung stellt für Fermionen die lorentzinvariante Diracgleichung dar, die im Gegensatz zur Schrödingergleichung eine partielle Differentialgleichung 1. Ordnung ist. ⓘ

Nichtlineare Erweiterungen der Schrödingergleichung

Eine Reihe von Problemen in der Physik führt auf eine Verallgemeinerung, die nichtlineare Schrödingergleichung ⓘ

$\mathrm {i} {\frac {\partial u}{\partial t}}-\Delta u=f(u),\quad u|_{t=0}=u_{0}$, ⓘ

mit einem nichtlinearen Selbstwechselwirkungsterm $f(u)$. Dabei wurde die explizite Abhängigkeit der Lösungsfunktion $u$ von Zeit und Ort weggelassen. Speziell im Fall der kubischen, nichtlinearen Schrödingergleichung $f(u)=g\,u|u|^{2}$, $g\in \mathbb {R}$ und einer Dimension $n=1$ handelt es sich um eine integrable Wellengleichung mit Solitonenlösungen. Sie taucht zum Beispiel bei der Beschreibung von Lichtwellen in Glasfasern und Wasserwellen auf. In Dimension $n=3$ hat man im kubischen Fall die Gross-Pitaevskii-Gleichung, die das Bose-Einstein-Kondensat beschreibt. ⓘ

Nimmt man eine gravitative Selbstwechselwirkung der Teilchen an, enthält man die nichtlineare Schrödinger-Newton-Gleichung. ⓘ

Literatur

Schrödingers Originalarbeiten

• Erwin Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem. In: Annalen der Physik. Bd. 79, 1926, S. 361, 489; Bd. 80, 1926, S. 437; und Bd. 81, 1926, S. 109. (Originalarbeiten)
• Erwin Schrödinger: Die Wellenmechanik. Battenberg, Stuttgart 1963, DNB 454485557. (Dokumente der Naturwissenschaft. Abteilung Physik; Bd. 3) (Schrödingers Arbeiten zur Wellenmechanik) – Die Arbeiten zur Wellenmechanik sind auch nachgedruckt in Günther Ludwig (Hrsg.): Wellenmechanik. Akademie-Verlag, Berlin 1970, DNB 458581941.
• Erwin Schrödinger: Der Grundgedanke der Wellenmechanik. In: Was ist ein Naturgesetz? Beiträge zum naturwissenschaftlichen Weltbild. 5. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 1997, ISBN 3-486-56293-2, S. 86–101 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).  ⓘ

Lehrbücher der Quantenmechanik

Die Schrödingergleichung wird in allen üblichen Lehrbüchern der Quantenmechanik behandelt, zum Beispiel:

• Torsten Fließbach: Quantenmechanik, Spektrum Akademischer Verlag und andere Lehrbücher der Quantenmechanik
• Peter W. Atkins: Molecular Quantum Mechanics und andere Lehrbücher der theoretischen und physikalischen Chemie
• M. Alonso, E. L. Finn: Quantenphysik und Statistische Physik. Oldenbourg, München/ Wien 1998, ISBN 3-486-24836-7. ⓘ

Mathematik:

• Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics. 4 Bände, Academic Press 1978, 1980
• Hans Cycon, Richard G. Froese, Werner Kirsch, Barry Simon: Schrödinger Operators. Springer 1987
• Volker Bach: Schrödinger Operators. In: J.-P. Francoise, Gregory L. Naber, S. T. Tsou (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematical Physics. Bd. 4, Academic Press, 2006, ISBN 0-12-512660-3.
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society, 2009. (Freie Online-Version) ⓘ