Impuls

Momentum ⓘ
Das Momentum einer Billardkugel wird nach dem Aufprall auf die gestapelten Kugeln übertragen.
Übliche Symbole	p, p
SI-Einheit	kg⋅m/s
Andere Einheiten	Schluck⋅ft/s
Konserviert?	Ja
Abmessung	MLT-1

In der Newtonschen Mechanik ist der lineare Impuls, der Translationsimpuls oder einfach der Impuls das Produkt aus der Masse und der Geschwindigkeit eines Objekts. Er ist eine Vektorgröße, die einen Betrag und eine Richtung besitzt. Wenn m die Masse eines Objekts und v seine Geschwindigkeit ist (ebenfalls eine Vektorgröße), dann ist der Impuls p des Objekts gleich : $\mathbf {p} =m\mathbf {v} .$ ⓘ

Im Internationalen Einheitensystem (SI) ist die Maßeinheit des Impulses das Kilogrammmeter pro Sekunde (kg⋅m/s), das der Newton-Sekunde entspricht. ⓘ

Das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz besagt, dass die Änderungsrate des Impulses eines Körpers gleich der auf ihn wirkenden Nettokraft ist. Der Impuls hängt vom Bezugssystem ab, ist aber in jedem Inertialsystem eine konstante Größe, d. h., wenn ein geschlossenes System nicht von äußeren Kräften beeinflusst wird, ändert sich sein Gesamtimpuls nicht. Der Impuls bleibt auch in der speziellen Relativitätstheorie (mit einer modifizierten Formel) und, in abgewandelter Form, in der Elektrodynamik, der Quantenmechanik, der Quantenfeldtheorie und der allgemeinen Relativitätstheorie erhalten. Sie ist Ausdruck einer der grundlegenden Symmetrien von Raum und Zeit: der Translationssymmetrie. ⓘ

Fortgeschrittene Formulierungen der klassischen Mechanik, die Lagrangesche und die Hamiltonsche Mechanik, erlauben es, Koordinatensysteme zu wählen, die Symmetrien und Beschränkungen enthalten. In diesen Systemen ist die erhaltene Größe der verallgemeinerte Impuls, der sich im Allgemeinen von dem oben definierten kinetischen Impuls unterscheidet. Das Konzept des verallgemeinerten Impulses wird in die Quantenmechanik übertragen, wo er zu einem Operator auf einer Wellenfunktion wird. Der Impuls- und der Positionsoperator sind durch die Heisenbergsche Unschärferelation miteinander verbunden. ⓘ

In kontinuierlichen Systemen wie elektromagnetischen Feldern, Flüssigkeitsdynamik und verformbaren Körpern kann eine Impulsdichte definiert werden, und eine Kontinuumsversion des Impulserhaltungssatzes führt zu Gleichungen wie den Navier-Stokes-Gleichungen für Flüssigkeiten oder der Cauchy-Impulsgleichung für verformbare Festkörper oder Flüssigkeiten. ⓘ

Physikalische Größe ⓘ
Name	Impuls
Formelzeichen	${\vec {p}}$
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI N·s kg·m·s−1 M·L·T−1

Der Impuls ist eine grundlegende physikalische Größe, die den mechanischen Bewegungszustand eines physikalischen Objekts charakterisiert. Der Impuls eines physikalischen Objekts ist umso größer, je schneller es sich bewegt und je massereicher es ist. Damit steht der Impuls für das, was in der Umgangssprache unscharf mit „Schwung“ und „Wucht“ bezeichnet wird. ⓘ

Das Formelzeichen des Impulses ist meist $p$ (von lateinisch pellere ‚stoßen, treiben‘). Die Einheit ist im Internationalen Einheitensystem [p] = 1 kg·m·s⁻¹ = 1 N·s. ⓘ

Der Impuls eines Körpers charakterisiert ausschließlich die Translationsbewegung seines Massenmittelpunkts. Eine eventuell zusätzlich vorhandene Rotation um den Massenmittelpunkt wird durch den Drehimpuls beschrieben. Der Impuls ist eine additive Größe. Der Gesamtimpuls eines Objekts mit mehreren Bestandteilen ist die Vektorsumme der Impulse seiner Teile. ⓘ

Der Impulsbegriff entwickelte sich aus der Suche nach dem Maß für die in einem physikalischen Objekt vorhandene „Menge an Bewegung“, die aller Erfahrung nach bei allen inneren Prozessen erhalten bleibt. Daraus erklären sich die heute veralteten Bezeichnungen „Bewegungsgröße“ oder „Bewegungsmenge“ für den Impuls. Mit diesen Bezeichnungen konnte ursprünglich auch die kinetische Energie gemeint sein; erst Anfang des 19. Jahrhunderts wurden die Begriffe sauber unterschieden. Im Englischen wird der Impuls momentum genannt, während impulse den Impulsübertrag (Kraftstoß) bezeichnet. ⓘ

Newtonsche Gleichungen

Der Impuls ist eine Vektorgröße: Er hat sowohl einen Betrag als auch eine Richtung. Da der Impuls eine Richtung hat, kann er verwendet werden, um die Richtung und Geschwindigkeit der Bewegung von Objekten nach deren Zusammenstoß vorherzusagen. Im Folgenden werden die grundlegenden Eigenschaften des Impulses in einer Dimension beschrieben. Die Vektorgleichungen sind fast identisch mit den Skalargleichungen (siehe mehrere Dimensionen). ⓘ

Einzelnes Teilchen

Der Impuls eines Teilchens wird üblicherweise mit dem Buchstaben p dargestellt. Er ist das Produkt aus zwei Größen, der Masse des Teilchens (dargestellt mit dem Buchstaben m) und seiner Geschwindigkeit (v):

$p=mv.$ ⓘ

Die Einheit des Impulses ist das Produkt aus den Einheiten von Masse und Geschwindigkeit. Wenn in SI-Einheiten die Masse in Kilogramm und die Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde angegeben ist, dann ist der Impuls in Kilogrammmeter pro Sekunde (kg⋅m/s) angegeben. In cgs-Einheiten, wenn die Masse in Gramm und die Geschwindigkeit in Zentimetern pro Sekunde angegeben ist, ist der Impuls in Grammzentimetern pro Sekunde (g⋅cm/s) angegeben. ⓘ

Da es sich um einen Vektor handelt, hat der Impuls einen Betrag und eine Richtung. So hat beispielsweise ein 1 kg schweres Modellflugzeug, das sich mit 1 m/s in gerader Linie nach Norden bewegt, einen Impuls von 1 kg⋅m/s nach Norden, gemessen in Bezug auf den Boden. ⓘ

Viele Teilchen

Der Impuls eines Systems von Teilchen ist die Vektorsumme ihrer Momente. Wenn zwei Teilchen die Massen m₁ und m₂ und die Geschwindigkeiten v₁ und v₂ haben, ist der Gesamtimpuls

${\begin{aligned}p&=p_{1}+p_{2}\\&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\,.\end{aligned}}$

Die Impulse von mehr als zwei Teilchen können allgemeiner wie folgt addiert werden:

$p=\sum _{i}m_{i}v_{i}.$ ⓘ

Ein System von Teilchen hat einen Massenschwerpunkt, einen Punkt, der durch die gewichtete Summe der Positionen der Teilchen bestimmt wird:

$r_{\text{cm}}={\frac {m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+\cdots }{m_{1}+m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum _{i}m_{i}r_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}.$ ⓘ

Wenn sich eines oder mehrere der Teilchen bewegen, bewegt sich im Allgemeinen auch der Massenschwerpunkt des Systems (es sei denn, das System befindet sich in reiner Rotation um ihn). Wenn die Gesamtmasse der Teilchen $m$und der Massenschwerpunkt bewegt sich mit der Geschwindigkeit v_cm, so beträgt der Impuls des Systems:

$p=mv_{\text{cm}}.$

Dies ist als erstes Eulersches Gesetz bekannt. ⓘ

Beziehung zur Kraft

Wenn die Nettokraft F, die auf ein Teilchen wirkt, konstant ist und für ein Zeitintervall Δt wirkt, ändert sich der Impuls des Teilchens um einen Betrag

$\Delta p=F\Delta t\,.$ ⓘ

In differenzierter Form ist dies das zweite Newtonsche Gesetz; die Änderungsrate des Impulses eines Teilchens ist gleich der momentanen Kraft F, die auf es wirkt,

$F={\frac {dp}{dt}}.$ ⓘ

Ändert sich die Nettokraft, die ein Teilchen erfährt, als Funktion der Zeit, F(t), so ist die Änderung des Impulses (oder des Impulses J) zwischen den Zeiten t₁ und t₂

$\Delta p=J=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F(t)\,dt\,.$ ⓘ

Der Impuls wird in den abgeleiteten Einheiten der Newton-Sekunde (1 N⋅s = 1 kg⋅m/s) oder Dyne-Sekunde (1 Dyne⋅s = 1 g⋅cm/s) gemessen. ⓘ

Unter der Annahme einer konstanten Masse m ist es äquivalent, zu schreiben

$F={\frac {d(mv)}{dt}}=m{\frac {dv}{dt}}=ma,$

Die Nettokraft ist also gleich der Masse des Teilchens mal seiner Beschleunigung. ⓘ

Beispiel: Ein Modellflugzeug der Masse 1 kg beschleunigt aus dem Ruhezustand in 2 s auf eine Geschwindigkeit von 6 m/s nach Norden. Die Nettokraft, die zur Erzeugung dieser Beschleunigung erforderlich ist, beträgt 3 Newton nach Norden. Die Änderung des Impulses beträgt 6 kg⋅m/s nach Norden. Die Änderungsrate des Impulses ist 3 (kg⋅m/s)/s nach Norden, was numerisch 3 Newton entspricht. ⓘ

Aus der Kraft auf einen Körper und deren Einwirkungsdauer ergibt sich eine Impulsänderung, die als Kraftstoß bezeichnet wird. Dabei spielen sowohl der Betrag als auch die Richtung der Kraft eine Rolle. Der Kraftstoß wird oft mit dem Formelzeichen ${\vec {I}}$ bezeichnet, seine SI-Einheit ist 1 N·s. ⓘ

Ist ${\vec {F}}$ dagegen nicht konstant, aber dennoch ohne Vorzeichenwechsel (in jeder einzelnen Kraftkomponente), so kann man unter Ausnutzung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung mit einer mittleren Kraft rechnen. ⓘ

Erhaltungssatz

In einem geschlossenen System (das keine Materie mit seiner Umgebung austauscht und auf das keine äußeren Kräfte einwirken) bleibt der Gesamtimpuls konstant. Diese Tatsache, die als Impulserhaltungssatz bekannt ist, wird durch die Newtonschen Bewegungsgesetze impliziert. Nehmen wir zum Beispiel an, dass zwei Teilchen miteinander wechselwirken. Wie aus dem dritten Gesetz hervorgeht, sind die Kräfte zwischen ihnen gleich groß, aber in entgegengesetzter Richtung. Wenn die Teilchen die Nummern 1 und 2 haben, besagt das zweite Gesetz, dass F₁ = dp₁/dt und F₂ = dp₂/dt. Daraus folgt,

${\frac {dp_{1}}{dt}}=-{\frac {dp_{2}}{dt}},$

wobei das negative Vorzeichen anzeigt, dass die Kräfte entgegengesetzt sind. Gleichwertig,

${\frac {d}{dt}}\left(p_{1}+p_{2}\right)=0.$ ⓘ

Wenn die Geschwindigkeiten der Teilchen vor der Wechselwirkung u₁ und u₂ sind und danach v₁ und v₂, dann

$m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$ ⓘ

Dieses Gesetz gilt unabhängig davon, wie kompliziert die Kraft zwischen den Teilchen ist. Auch bei mehreren Teilchen addiert sich der zwischen jedem Teilchenpaar ausgetauschte Impuls zu Null, so dass die gesamte Impulsänderung gleich Null ist. Dieser Erhaltungssatz gilt für alle Wechselwirkungen, einschließlich Kollisionen und Trennungen, die durch Explosionskräfte verursacht werden. Er kann auch auf Situationen verallgemeinert werden, in denen die Newtonschen Gesetze nicht gelten, z. B. in der Relativitätstheorie und in der Elektrodynamik. ⓘ

Abhängigkeit vom Bezugssystem

Der Impuls ist eine messbare Größe, und die Messung hängt vom Bezugssystem ab. Beispiel: Wenn ein Flugzeug der Masse m kg mit einer Geschwindigkeit von 50 m/s durch die Luft fliegt, kann sein Impuls zu 50m kg.m/s berechnet werden. Wenn das Flugzeug gegen einen Gegenwind von 5 m/s fliegt, beträgt seine Geschwindigkeit relativ zur Erdoberfläche nur 45 m/s und sein Impuls kann mit 45m kg.m/s berechnet werden. Beide Berechnungen sind gleichermaßen korrekt. In beiden Bezugssystemen wird jede Änderung des Impulses als mit den einschlägigen physikalischen Gesetzen vereinbar angesehen. ⓘ

Angenommen, ein Teilchen hat die Position x in einem stationären Bezugssystem. Aus der Sicht eines anderen Bezugssystems, das sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit u bewegt, ändert sich die Position (dargestellt durch eine primäre Koordinate) mit der Zeit wie folgt

$x'=x-ut\,.$

Dies nennt man eine Galilei-Transformation. Wenn sich das Teilchen im ersten Bezugssystem mit der Geschwindigkeit dx/dt = v bewegt, bewegt es sich im zweiten Bezugssystem mit der Geschwindigkeit

$v'={\frac {dx'}{dt}}=v-u\,.$

Da sich u nicht ändert, sind die Beschleunigungen identisch:

$a'={\frac {dv'}{dt}}=a\,.$

Der Impuls bleibt also in beiden Bezugssystemen erhalten. Solange die Kraft in beiden Bezugssystemen die gleiche Form hat, bleibt auch das zweite Newtonsche Gesetz unverändert. Kräfte wie die Newtonsche Gravitation, die nur vom skalaren Abstand zwischen den Objekten abhängen, erfüllen dieses Kriterium. Diese Unabhängigkeit von Bezugssystemen wird als Newtonsche Relativitätstheorie oder Galileische Invarianz bezeichnet. ⓘ

Ein Wechsel des Bezugssystems kann die Berechnung von Bewegungen oft vereinfachen. Beispielsweise kann bei einer Kollision zweier Teilchen ein Bezugssystem gewählt werden, bei dem ein Teilchen in Ruhe beginnt. Ein anderes, häufig verwendetes Bezugssystem ist das des Massenschwerpunkts - ein System, das sich mit dem Massenschwerpunkt bewegt. In diesem Rahmen, ist der Gesamtimpuls gleich Null. ⓘ

Anwendung auf Kollisionen

Wenn zwei Teilchen mit bekanntem Impuls zusammenstoßen und verschmelzen, kann der Impulserhaltungssatz zur Bestimmung des Impulses des verschmolzenen Körpers verwendet werden. Wenn der Zusammenstoß dazu führt, dass sich die beiden Teilchen trennen, reicht der Satz nicht aus, um den Impuls jedes Teilchens zu bestimmen. Wenn der Impuls eines Teilchens nach dem Zusammenstoß bekannt ist, kann das Gesetz zur Bestimmung des Impulses des anderen Teilchens verwendet werden. Oder wenn die kombinierte kinetische Energie nach dem Zusammenstoß bekannt ist, kann das Gesetz zur Bestimmung des Impulses jedes Teilchens nach dem Zusammenstoß verwendet werden. Die kinetische Energie ist in der Regel nicht konserviert. Wenn sie erhalten bleibt, spricht man von einer elastischen Kollision, andernfalls von einer inelastischen Kollision. ⓘ

Elastische Zusammenstöße

Elastische Kollision gleicher Massen ⓘ

Elastische Kollision ungleicher Massen ⓘ

Ein elastischer Stoß ist ein Stoß, bei dem keine kinetische Energie in Wärme oder eine andere Energieform umgewandelt wird. Vollkommen elastische Stöße können auftreten, wenn sich die Objekte nicht berühren, wie z. B. bei der atomaren oder nuklearen Streuung, bei der die Objekte durch elektrische Abstoßung voneinander getrennt werden. Auch das Schleudermanöver eines Satelliten um einen Planeten kann als perfekt elastische Kollision betrachtet werden. Der Zusammenstoß zweier Billardkugeln ist ein gutes Beispiel für einen fast vollständig elastischen Zusammenstoß, da sie sehr steif sind, aber wenn sich Körper berühren, kommt es immer zu einer gewissen Dissipation. ⓘ

Ein elastischer Frontalzusammenstoß zwischen zwei Körpern kann durch die Geschwindigkeiten in einer Dimension, entlang einer durch die Körper verlaufenden Linie, dargestellt werden. Wenn die Geschwindigkeiten u₁ und u₂ vor dem Zusammenstoß und v₁ und v₂ nach dem Zusammenstoß sind, lauten die Gleichungen für die Erhaltung des Impulses und der kinetischen Energie:

${\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\\{\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}&={\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\,.\end{aligned}}$ ⓘ

Ein Wechsel des Bezugssystems kann die Analyse eines Zusammenstoßes vereinfachen. Nehmen wir zum Beispiel an, es gibt zwei Körper gleicher Masse m, von denen einer stationär ist und der andere sich dem anderen mit einer Geschwindigkeit v nähert (wie in der Abbildung). Der Massenschwerpunkt bewegt sich mit der Geschwindigkeit v/2 und beide Körper bewegen sich mit der Geschwindigkeit v/2 auf ihn zu. Aufgrund der Symmetrie müssen sich beide Körper nach dem Zusammenstoß mit der gleichen Geschwindigkeit vom Massenschwerpunkt wegbewegen. Addiert man die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts zu beiden, so stellt man fest, dass der Körper, der sich bewegt hat, nun stillsteht und der andere sich mit der Geschwindigkeit v wegbewegt. Unabhängig von den Geschwindigkeiten der Körper führt ein Wechsel zum Massenschwerpunkt zu demselben Ergebnis. Die Endgeschwindigkeiten sind also gegeben durch

${\begin{aligned}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}\,.\end{aligned}}$ ⓘ

Wenn die Anfangsgeschwindigkeiten bekannt sind, sind die Endgeschwindigkeiten im Allgemeinen gegeben durch

$v_{1}=\left({\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}+\left({\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}\,$

$v_{2}=\left({\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{2}+\left({\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\right)u_{1}\,.$

Wenn ein Körper eine viel größere Masse hat als der andere, wird seine Geschwindigkeit durch einen Zusammenstoß nur wenig beeinflusst, während der andere Körper eine große Änderung erfährt. ⓘ

Unelastische Zusammenstöße

ein vollkommen unelastischer Zusammenstoß zwischen gleichen Massen ⓘ

Bei einem unelastischen Zusammenstoß wird ein Teil der kinetischen Energie der kollidierenden Körper in andere Energieformen (wie Wärme oder Schall) umgewandelt. Beispiele hierfür sind Zusammenstöße im Straßenverkehr, bei denen sich der Verlust an kinetischer Energie in den Schäden an den Fahrzeugen bemerkbar macht, Elektronen, die einen Teil ihrer Energie an Atome verlieren (wie im Franck-Hertz-Experiment), und Teilchenbeschleuniger, bei denen die kinetische Energie in Masse in Form neuer Teilchen umgewandelt wird. ⓘ

Bei einem vollkommen unelastischen Zusammenstoß (z. B. wenn ein Käfer gegen eine Windschutzscheibe prallt) haben beide Körper anschließend die gleiche Bewegung. Ein inelastischer Frontalzusammenstoß zwischen zwei Körpern kann durch die Geschwindigkeiten in einer Dimension, entlang einer durch die Körper verlaufenden Linie, dargestellt werden. Wenn die Geschwindigkeiten vor dem Zusammenstoß u₁ und u₂ sind, bewegen sich beide Körper bei einem vollkommen unelastischen Zusammenstoß nach dem Zusammenstoß mit der Geschwindigkeit v. Die Gleichung für die Impulserhaltung lautet:

${\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,.\end{aligned}}$

Wenn ein Körper zu Beginn unbewegt ist (z. B. $u_{2}=0$), lautet die Gleichung für die Impulserhaltung

$m_{1}u_{1}=\left(m_{1}+m_{2}\right)v\,,$

also

$v={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}\,.$

In einer anderen Situation, wenn sich das Bezugssystem mit der Endgeschwindigkeit bewegt, so dass $v=0$werden die Objekte durch einen vollkommen unelastischen Zusammenstoß zur Ruhe gebracht und 100 % der kinetischen Energie wird in andere Energieformen umgewandelt. In diesem Fall wären die Anfangsgeschwindigkeiten der Körper ungleich Null, oder die Körper müssten masselos sein. ⓘ

Ein Maß für die Unelastizität des Aufpralls ist der Restitutionskoeffizient CR, definiert als das Verhältnis zwischen der relativen Geschwindigkeit der Trennung und der relativen Geschwindigkeit der Annäherung. Bei der Anwendung dieses Maßes auf einen Ball, der von einer festen Oberfläche abprallt, kann dies mit der folgenden Formel leicht gemessen werden:

$C_{\text{R}}={\sqrt {\frac {\text{bounce height}}{\text{drop height}}}}\,.$ ⓘ

Die Impuls- und Energiegleichungen gelten auch für die Bewegungen von Objekten, die sich zunächst zusammen und dann auseinander bewegen. So ist beispielsweise eine Explosion das Ergebnis einer Kettenreaktion, bei der potenzielle Energie, die in chemischer, mechanischer oder nuklearer Form gespeichert ist, in kinetische Energie, Schallenergie und elektromagnetische Strahlung umgewandelt wird. Raketen nutzen auch den Impulserhaltungssatz: Der Treibstoff wird nach außen geschleudert, wodurch er an Schwung gewinnt, und der Rakete wird der gleiche und entgegengesetzte Schwung verliehen. ⓘ

Mehrere Dimensionen

Zweidimensionaler elastischer Aufprall. Es gibt keine Bewegung senkrecht zum Bild, so dass nur zwei Komponenten zur Darstellung der Geschwindigkeiten und Impulse erforderlich sind. Die beiden blauen Vektoren stellen die Geschwindigkeiten nach dem Aufprall dar und addieren sich vektoriell, um die Anfangsgeschwindigkeit (rot) zu erhalten. ⓘ

Eine reale Bewegung hat sowohl Richtung als auch Geschwindigkeit und muss durch einen Vektor dargestellt werden. In einem Koordinatensystem mit den Achsen x, y, z hat die Geschwindigkeit die Komponenten vx in x-Richtung, vy in y-Richtung und v_z in z-Richtung. Der Vektor wird durch ein fettgedrucktes Symbol dargestellt:

$\mathbf {v} =\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right).$

Auch der Impuls ist eine Vektorgröße und wird durch ein fettgedrucktes Symbol dargestellt:

$\mathbf {p} =\left(p_{x},p_{y},p_{z}\right).$ ⓘ

Die Gleichungen in den vorangegangenen Abschnitten funktionieren in Vektorform, wenn die Skalare p und v durch Vektoren p und v ersetzt werden. Jede Vektorgleichung entspricht drei skalaren Gleichungen. Zum Beispiel,

$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

für drei Gleichungen:

${\begin{aligned}p_{x}&=mv_{x}\\p_{y}&=mv_{y}\\p_{z}&=mv_{z}.\end{aligned}}$ ⓘ

Die Gleichungen der kinetischen Energie bilden eine Ausnahme von der obigen Ersetzungsregel. Die Gleichungen sind immer noch eindimensional, aber jeder Skalar steht für den Betrag des Vektors, zum Beispiel,

$v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\,.$

Jede Vektorgleichung steht für drei Skalargleichungen. Oft können die Koordinaten so gewählt werden, dass nur zwei Komponenten benötigt werden, wie in der Abbildung dargestellt. Jede Komponente kann separat ermittelt und die Ergebnisse kombiniert werden, um ein Vektorergebnis zu erhalten. ⓘ

Eine einfache Konstruktion mit dem Schwerpunktsrahmen kann verwendet werden, um zu zeigen, dass, wenn eine stationäre elastische Kugel von einer sich bewegenden Kugel getroffen wird, die beiden nach dem Zusammenstoß im rechten Winkel aufeinander zustoßen (wie in der Abbildung). ⓘ

Objekte mit variabler Masse

Das Konzept des Impulses spielt eine grundlegende Rolle bei der Erklärung des Verhaltens von Objekten mit variabler Masse, wie z. B. einer Rakete, die Treibstoff ausstößt, oder einem Stern, der Gas akkretiert. Bei der Analyse eines solchen Objekts wird die Masse des Objekts als eine Funktion behandelt, die sich mit der Zeit ändert: m(t). Der Impuls des Objekts zum Zeitpunkt t ist daher p(t) = m(t)v(t). Man könnte dann versuchen, sich auf das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz zu berufen, indem man sagt, dass die äußere Kraft F, die auf das Objekt einwirkt, mit seinem Impuls p(t) durch F = dp/dt zusammenhängt, aber das ist falsch, ebenso wie der entsprechende Ausdruck, den man durch Anwendung der Produktregel auf d(mv)/dt erhält:

$F=m(t){\frac {dv}{dt}}+v(t){\frac {dm}{dt}}.$ (falsch)

Diese Gleichung beschreibt die Bewegung von Objekten mit variabler Masse nicht korrekt. Die richtige Gleichung lautet

$F=m(t){\frac {dv}{dt}}-u{\frac {dm}{dt}},$

wobei u die Geschwindigkeit der ausgestoßenen/ausgestoßenen Masse aus der Sicht des Ruhezustandes des Objekts ist. Dies unterscheidet sich von v, der Geschwindigkeit des Objekts selbst, wie sie in einem Inertialsystem gesehen wird. ⓘ

Diese Gleichung wird abgeleitet, indem sowohl der Impuls des Objekts als auch der Impuls der herausgeschleuderten/gestoßenen Masse (dm) berücksichtigt wird. Zusammen betrachtet bilden das Objekt und die Masse (dm) ein geschlossenes System, in dem der Gesamtimpuls erhalten bleibt. ⓘ

$P(t+dt)=(m-dm)(v+dv)+dm(v-u)=mv+mdv-udm=P(t)+mdv-udm$ ⓘ

Relativistische

Lorentz-Invarianz

Die Newtonsche Physik geht davon aus, dass absolute Zeit und absoluter Raum außerhalb eines Beobachters existieren; dies führt zur Galilei-Invarianz. Sie führt auch zu der Vorhersage, dass die Lichtgeschwindigkeit von einem Bezugssystem zum anderen variieren kann. Dies steht im Widerspruch zur Beobachtung. In der speziellen Relativitätstheorie behält Einstein das Postulat bei, dass die Bewegungsgleichungen nicht vom Bezugsrahmen abhängen, nimmt aber an, dass die Lichtgeschwindigkeit c unveränderlich ist. Infolgedessen werden Position und Zeit in zwei Bezugssystemen durch die Lorentz-Transformation anstelle der Galilei-Transformation in Beziehung gesetzt. ⓘ

Betrachten wir zum Beispiel ein Bezugssystem, das sich relativ zu einem anderen mit der Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt. Die Galilei-Transformation ergibt die Koordinaten des bewegten Bezugssystems als

${\begin{aligned}t'&=t\\x'&=x-vt\end{aligned}}$

während die Lorentz-Transformation Folgendes ergibt

${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\,\end{aligned}}$

wobei γ der Lorentz-Faktor ist:

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.$ ⓘ

Das zweite Newtonsche Gesetz ist bei fester Masse nicht invariant unter einer Lorentztransformation. Es kann jedoch invariant gemacht werden, indem man die träge Masse m eines Objekts zu einer Funktion der Geschwindigkeit macht:

$m=\gamma m_{0}\,;$

m₀ ist die invariante Masse des Objekts. ⓘ

Der modifizierte Impuls,

$\mathbf {p} =\gamma m_{0}\mathbf {v} \,,$

gehorcht dem zweiten Newtonschen Gesetz:

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\,.$ ⓘ

Im Bereich der klassischen Mechanik kommt der relativistische Impuls dem Newton'schen Impuls sehr nahe: Bei niedriger Geschwindigkeit ist γm₀v ungefähr gleich m₀v, dem Newton'schen Ausdruck für den Impuls. ⓘ

Vier-Vektor-Formulierung

In der Speziellen Relativitätstheorie werden physikalische Größen in Form von Vierervektoren ausgedrückt, die neben den drei Raumkoordinaten auch die Zeit als vierte Koordinate enthalten. Diese Vektoren werden im Allgemeinen durch Großbuchstaben dargestellt, z. B. R für Position. Der Ausdruck für das Vierfachmoment hängt davon ab, wie die Koordinaten ausgedrückt werden. Die Zeit kann in ihren normalen Einheiten angegeben oder mit der Lichtgeschwindigkeit multipliziert werden, so dass alle Komponenten des Vierervektors die Dimension der Länge haben. Wird die letztere Skalierung verwendet, ist ein Intervall der Eigenzeit τ, definiert durch

$c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}\,,$

ist invariant unter Lorentz-Transformationen (in diesem Ausdruck und im Folgenden wurde die (+ - - -) metrische Signatur verwendet, wobei verschiedene Autoren unterschiedliche Konventionen verwenden). Mathematisch kann diese Invarianz auf zwei Arten gewährleistet werden: indem man die Vierervektoren als euklidische Vektoren behandelt und die Zeit mit √-1 multipliziert; oder indem man die Zeit als reelle Größe betrachtet und die Vektoren in einen Minkowski-Raum einbettet. In einem Minkowski-Raum ist das Skalarprodukt von zwei Vierervektoren U = (U₀, U₁, U₂, U₃) und V = (V₀, V₁, V₂, V₃) definiert als

$\mathbf {U} \cdot \mathbf {V} =U_{0}V_{0}-U_{1}V_{1}-U_{2}V_{2}-U_{3}V_{3}\,.$ ⓘ

In allen Koordinatensystemen ist die (kontravariante) relativistische Vierergeschwindigkeit definiert durch

$\mathbf {U} \equiv {\frac {d\mathbf {R} }{d\tau }}=\gamma {\frac {d\mathbf {R} }{dt}}\,,$

und der (kontravariante) Vierfachimpuls ist

$\mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} \,,$

wobei m₀ die invariante Masse ist. Wenn R = (ct, x, y, z) (im Minkowski-Raum), dann

$\mathbf {P} =\gamma m_{0}\left(c,\mathbf {v} \right)=(mc,\mathbf {p} )\,.$

Unter Verwendung von Einsteins Masse-Energie-Äquivalenz, E = mc², kann dies wie folgt umgeschrieben werden

$\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,.$

Die Erhaltung des Vierfachimpulses ist also Lorentz-invariant und impliziert die Erhaltung sowohl der Masse als auch der Energie. ⓘ

Der Betrag des Impuls-Vierervektors ist gleich m₀c:

$\|\mathbf {P} \|^{2}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =\gamma ^{2}m_{0}^{2}\left(c^{2}-v^{2}\right)=(m_{0}c)^{2}\,,$

und ist über alle Bezugssysteme hinweg invariant. ⓘ

Die relativistische Energie-Impuls-Beziehung gilt auch für masselose Teilchen wie Photonen; wenn man m₀ = 0 setzt, folgt daraus, dass

$E=pc\,.$ ⓘ

Wenn in einem relativistischen "Billardspiel" ein stationäres Teilchen von einem bewegten Teilchen in einer elastischen Kollision getroffen wird, bilden die Bahnen der beiden danach einen spitzen Winkel. Dies steht im Gegensatz zum nichtrelativistischen Fall, in dem sie sich im rechten Winkel bewegen. ⓘ

Der Viererimpuls einer ebenen Welle kann mit einem Wellenvierervektor in Beziehung gesetzt werden

$\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)$

Für ein Teilchen ist die Beziehung zwischen den zeitlichen Komponenten, E = ħ ω, die Planck-Einstein-Beziehung, und die Beziehung zwischen den räumlichen Komponenten, p = ħ k, beschreibt eine de Broglie-Materiewelle. ⓘ

Verallgemeinert

Die Newtonschen Gesetze lassen sich auf viele Arten von Bewegungen nur schwer anwenden, da die Bewegung durch Zwänge eingeschränkt ist. So muss sich beispielsweise eine Perle auf einem Abakus entlang ihres Drahtes bewegen, und ein Pendel muss in einem festen Abstand vom Drehpunkt schwingen. Viele dieser Einschränkungen können berücksichtigt werden, indem die normalen kartesischen Koordinaten durch einen Satz verallgemeinerter Koordinaten ersetzt werden, die weniger zahlreich sein können. Es wurden verfeinerte mathematische Methoden entwickelt, um mechanische Probleme in verallgemeinerten Koordinaten zu lösen. Sie führen einen verallgemeinerten Impuls ein, der auch als kanonischer oder konjugierter Impuls bezeichnet wird und die Konzepte des linearen Impulses und des Drehimpulses erweitert. Zur Unterscheidung vom verallgemeinerten Impuls wird das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit auch als mechanischer, kinetischer oder kinematischer Impuls bezeichnet. Die beiden wichtigsten Methoden werden im Folgenden beschrieben. ⓘ

Lagrangesche Mechanik

In der Lagrangeschen Mechanik ist ein Lagrange definiert als die Differenz zwischen der kinetischen Energie T und der potentiellen Energie V:

${\mathcal {L}}=T-V\,.$

Wenn die verallgemeinerten Koordinaten als Vektor q = (q₁, q₂, ... , q_N) dargestellt werden und die zeitliche Differenzierung durch einen Punkt über der Variablen dargestellt wird, dann sind die Bewegungsgleichungen (bekannt als Lagrange- oder Euler-Lagrange-Gleichungen) ein Satz von N Gleichungen:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}=0\,.$

Wenn eine Koordinate qi keine kartesische Koordinate ist, hat die zugehörige verallgemeinerte Impulskomponente pi nicht notwendigerweise die Dimensionen eines linearen Impulses. Selbst wenn qi eine kartesische Koordinate ist, entspricht pi nicht dem mechanischen Impuls, wenn das Potenzial von der Geschwindigkeit abhängt. Einige Quellen stellen den kinematischen Impuls durch das Symbol Π dar. ⓘ

In diesem mathematischen Rahmen ist ein verallgemeinertes Momentum mit den verallgemeinerten Koordinaten verbunden. Seine Komponenten sind definiert als

$p_{j}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\,.$

Jede Komponente p_j wird als konjugierter Impuls für die Koordinate q_j bezeichnet. ⓘ

Wenn nun eine bestimmte Koordinate qi nicht in der Lagrange erscheint (obwohl ihre zeitliche Ableitung erscheinen könnte), dann

$p_{j}={\text{constant}}\,.$

Dies ist die Verallgemeinerung des Impulserhaltungssatzes. ⓘ

Auch wenn die verallgemeinerten Koordinaten nur die gewöhnlichen Raumkoordinaten sind, sind die konjugierten Impulse nicht unbedingt die gewöhnlichen Impulskoordinaten. Ein Beispiel findet sich im Abschnitt über den Elektromagnetismus. ⓘ

Hamiltonsche Mechanik

In der Hamiltonmechanik wird die Lagrange (eine Funktion der verallgemeinerten Koordinaten und ihrer Ableitungen) durch einen Hamiltonian ersetzt, der eine Funktion der verallgemeinerten Koordinaten und des Impulses ist. Der Hamiltonian ist definiert als

${\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t\right)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}\left(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t\right)\,,$

wobei der Impuls durch Differenzierung der Lagrange wie oben beschrieben erhalten wird. Die Hamilton'schen Gleichungen der Bewegung lauten

${\begin{aligned}{\dot {q}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\\-{\dot {p}}_{i}&={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}\\-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}&={\frac {d{\mathcal {H}}}{dt}}\,.\end{aligned}}$

Wie in der Lagrangeschen Mechanik bleibt die konjugierte Impulskomponente einer verallgemeinerten Koordinate erhalten, wenn sie nicht in der Hamiltonformel enthalten ist. ⓘ

Symmetrie und Impulserhaltung

Die Impulserhaltung ist eine mathematische Folge der Homogenität (Verschiebungssymmetrie) des Raums (die Position im Raum ist die kanonische konjugierte Größe zum Impuls). Das heißt, die Impulserhaltung ist eine Folge der Tatsache, dass die physikalischen Gesetze nicht von der Position abhängen; dies ist ein Spezialfall des Noether-Satzes. Für Systeme, die diese Symmetrie nicht aufweisen, ist es unter Umständen nicht möglich, die Impulserhaltung zu definieren. Beispiele, bei denen die Impulserhaltung nicht gilt, sind gekrümmte Raumzeiten in der allgemeinen Relativitätstheorie oder Zeitkristalle in der Physik der kondensierten Materie. ⓘ

Elektromagnetische

Teilchen in einem Feld

In den Maxwellschen Gleichungen werden die Kräfte zwischen Teilchen durch elektrische und magnetische Felder vermittelt. Die elektromagnetische Kraft (Lorentz-Kraft) auf ein Teilchen mit der Ladung q aufgrund einer Kombination aus elektrischem Feld E und magnetischem Feld B ist

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} ).$

(in SI-Einheiten). Es hat ein elektrisches Potential φ(r, t) und ein magnetisches Vektorpotential A(r, t). Im nichtrelativistischen Regime ist der verallgemeinerte Impuls

$\mathbf {P} =m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} ,$ ⓘ

und in der relativistischen Mechanik wird daraus ⓘ

$\mathbf {P} =\gamma m\mathbf {\mathbf {v} } +q\mathbf {A} .$ ⓘ

Die Größe $V=q\mathbf {A}$ wird manchmal als Potentialimpuls bezeichnet. Es handelt sich um den Impuls, der durch die Wechselwirkung des Teilchens mit den elektromagnetischen Feldern entsteht. Der Name ist eine Analogie zur potentiellen Energie $U=q\varphi$die die Energie ist, die durch die Wechselwirkung des Teilchens mit den elektromagnetischen Feldern entsteht. Diese Größen bilden einen Vierervektor, so dass die Analogie stimmig ist; außerdem ist das Konzept des potenziellen Impulses wichtig für die Erklärung des so genannten verborgenen Impulses der elektromagnetischen Felder ⓘ

Erhaltungssatz

In der Newtonschen Mechanik lässt sich der Impulserhaltungssatz aus dem Gesetz von Aktion und Reaktion ableiten, das besagt, dass jeder Kraft eine gleich große und entgegengesetzte Kraft gegenübersteht. Unter bestimmten Umständen können sich bewegende geladene Teilchen gegenseitig Kräfte in nicht entgegengesetzter Richtung ausüben. Dennoch bleibt der kombinierte Impuls der Teilchen und des elektromagnetischen Feldes erhalten. ⓘ

Vakuum

Die Lorentz-Kraft verleiht dem Teilchen einen Impuls, so dass das Teilchen nach dem zweiten Newtonschen Gesetz auch dem elektromagnetischen Feld einen Impuls verleihen muss. ⓘ

In einem Vakuum beträgt der Impuls pro Volumeneinheit

$\mathbf {g} ={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,,$

wobei μ₀ die Permeabilität des Vakuums und c die Lichtgeschwindigkeit ist. Die Impulsdichte ist proportional zum Poynting-Vektor S, der die gerichtete Rate der Energieübertragung pro Flächeneinheit angibt:

$\mathbf {g} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,.$ ⓘ

Wenn der Impuls über das Volumen V einer Region Q erhalten bleiben soll, müssen Änderungen des Impulses der Materie durch die Lorentzkraft durch Änderungen des Impulses des elektromagnetischen Feldes und des Impulsabflusses ausgeglichen werden. Wenn P_mech der Impuls aller Teilchen in Q ist und die Teilchen als ein Kontinuum behandelt werden, dann ergibt das zweite Newtonsche Gesetz

${\frac {d\mathbf {P} _{\text{mech}}}{dt}}=\iiint \limits _{Q}\left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)dV\,.$

Der elektromagnetische Impuls ist

$\mathbf {P} _{\text{field}}={\frac {1}{\mu _{0}c^{2}}}\iiint \limits _{Q}\mathbf {E} \times \mathbf {B} \,dV\,,$

und die Erhaltungsgleichung für jede Komponente i des Impulses lautet

${\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {P} _{\text{mech}}+\mathbf {P} _{\text{field}}\right)_{i}=\iint \limits _{\sigma }\left(\sum \limits _{j}T_{ij}n_{j}\right)d\Sigma \,.$

Der Term auf der rechten Seite ist ein Integral über die Oberfläche Σ der Oberfläche σ, das den Impulsfluss in und aus dem Volumen darstellt, und n_j ist eine Komponente der Oberflächennormale von S. Die Größe T_ij wird als Maxwell-Spannungstensor bezeichnet und ist definiert als

$T_{ij}\equiv \epsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right)\,.$ ⓘ

Medien

Die obigen Ergebnisse beziehen sich auf die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen, die für elektromagnetische Kräfte im Vakuum (oder auf einer sehr kleinen Skala in Medien) gelten. Es ist schwieriger, die Impulsdichte in Medien zu definieren, da die Unterteilung in elektromagnetische und mechanische Kräfte willkürlich ist. Die Definition der elektromagnetischen Impulsdichte wird wie folgt geändert

$\mathbf {g} ={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {E} \times \mathbf {H} ={\frac {\mathbf {S} }{c^{2}}}\,,$

wobei das H-Feld H mit dem B-Feld und der Magnetisierung M wie folgt zusammenhängt

$\mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {H} +\mathbf {M} \right)\,.$

Der elektromagnetische Spannungstensor hängt von den Eigenschaften des Mediums ab. ⓘ

Quantenmechanik

In der Quantenmechanik ist der Impuls als ein selbstadjungierter Operator auf der Wellenfunktion definiert. Die Heisenbergsche Unschärferelation definiert Grenzen dafür, wie genau Impuls und Position eines einzelnen beobachtbaren Systems gleichzeitig bekannt sein können. In der Quantenmechanik sind Position und Impuls konjugierte Variablen. ⓘ

Für ein einzelnes Teilchen, das durch die Positionsbasis beschrieben wird, kann der Impulsoperator wie folgt geschrieben werden

$\mathbf {p} ={\hbar \over i}\nabla =-i\hbar \nabla \,,$ ⓘ

wobei ∇ der Gradientenoperator, ħ die reduzierte Planck-Konstante und i die imaginäre Einheit ist. Dies ist eine häufig anzutreffende Form des Impulsoperators, obwohl der Impulsoperator in anderen Basen auch andere Formen annehmen kann. Im Impulsraum wird der Impulsoperator zum Beispiel wie folgt dargestellt

$\mathbf {p} \psi (p)=p\psi (p)\,,$ ⓘ

wobei der Operator p, der auf eine Wellenfunktion ψ(p) einwirkt, diese Wellenfunktion multipliziert mit dem Wert p ergibt, und zwar in analoger Weise, wie der Positionsoperator, der auf eine Wellenfunktion ψ(x) einwirkt, diese Wellenfunktion multipliziert mit dem Wert x ergibt. ⓘ

Sowohl für massive als auch für masselose Objekte ist der relativistische Impuls mit der Phasenkonstante $\beta$ durch

$p=\hbar \beta$

Elektromagnetische Strahlung (einschließlich sichtbares Licht, ultraviolettes Licht und Radiowellen) wird von Photonen getragen. Obwohl Photonen (der Teilchenaspekt des Lichts) keine Masse haben, tragen sie dennoch einen Impuls. Dies führt zu Anwendungen wie dem Sonnensegel. Die Berechnung des Impulses von Licht in dielektrischen Medien ist etwas umstritten (siehe Abraham-Minkowski-Kontroverse). ⓘ

In deformierbaren Körpern und Flüssigkeiten

Impulserhaltung in einem Kontinuum

Bewegung eines materiellen Körpers ⓘ

In Bereichen wie der Strömungsdynamik und der Festkörpermechanik ist es nicht möglich, die Bewegung einzelner Atome oder Moleküle zu verfolgen. Stattdessen müssen die Materialien durch ein Kontinuum angenähert werden, in dem es an jedem Punkt ein Teilchen oder Flüssigkeitspaket gibt, dem der Durchschnitt der Eigenschaften der Atome in einer kleinen Region in der Nähe zugeordnet ist. Insbesondere hat es eine Dichte ρ und eine Geschwindigkeit v, die von der Zeit t und der Position r abhängen. Der Impuls pro Volumeneinheit ist ρv. ⓘ

Betrachten wir eine Wassersäule im hydrostatischen Gleichgewicht. Alle Kräfte, die auf das Wasser einwirken, sind im Gleichgewicht und das Wasser ist unbeweglich. Auf einen bestimmten Wassertropfen wirken zwei Kräfte. Die erste ist die Schwerkraft, die direkt auf jedes Atom und Molekül im Inneren wirkt. Die Gravitationskraft pro Volumeneinheit ist ρg, wobei g die Gravitationsbeschleunigung ist. Die zweite Kraft ist die Summe aller Kräfte, die durch das umgebende Wasser auf die Oberfläche ausgeübt werden. Die Kraft von unten ist um den Betrag größer als die Kraft von oben, der zum Ausgleich der Schwerkraft erforderlich ist. Die Normalkraft pro Flächeneinheit ist der Druck p. Die durchschnittliche Kraft pro Volumeneinheit im Inneren des Tropfens ist der Druckgradient, so dass die Gleichung für das Kräftegleichgewicht lautet

$-\nabla p+\rho \mathbf {g} =0\,.$ ⓘ

Sind die Kräfte nicht ausgeglichen, beschleunigt das Tröpfchen. Diese Beschleunigung ist nicht einfach die partielle Ableitung ∂v/∂t, da sich die Flüssigkeit in einem bestimmten Volumen mit der Zeit verändert. Stattdessen wird die materielle Ableitung benötigt:

${\frac {D}{Dt}}\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,.$

Angewandt auf eine beliebige physikalische Größe, umfasst die materielle Ableitung die Änderungsrate an einem Punkt und die Änderungen aufgrund der Advektion, wenn die Flüssigkeit an dem Punkt vorbeigeführt wird. Pro Volumeneinheit ist die Änderungsrate des Impulses gleich ρDv/Dt. Dies ist gleich der Nettokraft auf den Tropfen. ⓘ

Zu den Kräften, die den Impuls eines Tropfens verändern können, gehören das Druckgefälle und die Schwerkraft, wie oben beschrieben. Darüber hinaus können Oberflächenkräfte das Tröpfchen verformen. Im einfachsten Fall ist eine Scherspannung τ, die durch eine Kraft parallel zur Oberfläche des Tropfens ausgeübt wird, proportional zur Verformungsgeschwindigkeit oder Dehnungsgeschwindigkeit. Eine solche Scherspannung tritt auf, wenn die Flüssigkeit ein Geschwindigkeitsgefälle aufweist, weil sie sich auf einer Seite schneller bewegt als auf der anderen. Wenn die Geschwindigkeit in x-Richtung mit z variiert, beträgt die tangentiale Kraft in x-Richtung pro Flächeneinheit normal zur z-Richtung

$\sigma _{zx}=-\mu {\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\,,$

wobei μ die Viskosität ist. Dies ist auch ein Fluss oder ein Fluss pro Flächeneinheit von x-Impuls durch die Oberfläche. ⓘ

Einschließlich der Wirkung der Viskosität lauten die Impulsbilanzgleichungen für die inkompressible Strömung einer Newtonschen Flüssigkeit

$\rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}=-{\boldsymbol {\nabla }}p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\rho \mathbf {g} .\,$

Diese sind als Navier-Stokes-Gleichungen bekannt. ⓘ

Die Impulsbilanzgleichungen können auf allgemeinere Materialien, einschließlich Festkörpern, ausgedehnt werden. Für jede Oberfläche mit einer Normalen in Richtung i und einer Kraft in Richtung j gibt es eine Spannungskomponente σ_ij. Die neun Komponenten bilden den Cauchy-Spannungstensor σ, der sowohl Druck als auch Scherung enthält. Die lokale Impulserhaltung wird durch die Cauchy-Impulsgleichung ausgedrückt:

$\rho {\frac {D\mathbf {v} }{Dt}}={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {f} \,,$

wobei f die Körperkraft ist. ⓘ

Die Cauchy-Impuls-Gleichung ist allgemein auf Verformungen von Festkörpern und Flüssigkeiten anwendbar. Das Verhältnis zwischen den Spannungen und der Dehnungsgeschwindigkeit hängt von den Materialeigenschaften ab (siehe Arten der Viskosität). ⓘ

Akustische Wellen

Eine Störung in einem Medium führt zu Schwingungen oder Wellen, die sich von ihrer Quelle weg ausbreiten. In einer Flüssigkeit können kleine Druckänderungen p oft durch die Gleichung der akustischen Wellen beschrieben werden:

${\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}p\,,$

wobei c die Schallgeschwindigkeit ist. In einem Festkörper lassen sich ähnliche Gleichungen für die Ausbreitung von Druck- (P-Wellen) und Scherwellen (S-Wellen) aufstellen. ⓘ

Der Fluss bzw. der Transport einer Impulskomponente ρvj pro Flächeneinheit durch eine Geschwindigkeit vi ist gleich ρ vjvj. Bei der linearen Annäherung, die zur obigen akustischen Gleichung führt, ist der zeitliche Mittelwert dieses Flusses gleich Null. Nichtlineare Effekte können jedoch dazu führen, dass der Mittelwert nicht Null ist. Es ist möglich, dass ein Impulsfluss auftritt, obwohl die Welle selbst keinen mittleren Impuls hat. ⓘ

Geschichte des Konzepts

Um 530 n. Chr. entwickelte der in Alexandria tätige byzantinische Philosoph Johannes Philoponus in seinem Kommentar zu Aristoteles' Physik ein Konzept des Impulses. Aristoteles behauptete, dass alles, was sich bewegt, durch irgendetwas in Bewegung gehalten werden muss. So muss beispielsweise ein geworfener Ball durch die Bewegungen der Luft in Bewegung gehalten werden. Die meisten Autoren akzeptierten Aristoteles' Theorie bis zur Zeit von Galilei, aber einige wenige waren skeptisch. Philoponus wies auf die Absurdität von Aristoteles' Behauptung hin, dass die Bewegung eines Objekts durch dieselbe Luft gefördert wird, die dem Durchgang des Objekts widersteht. Er schlug stattdessen vor, dass dem Gegenstand beim Werfen ein Impuls verliehen wird. Ibn Sīnā (auch bekannt unter seinem latinisierten Namen Avicenna) las Philoponus und veröffentlichte seine eigene Bewegungstheorie im Jahr 1020 in The Book of Healing. Er stimmte zu, dass einem Projektil vom Werfer ein Impuls verliehen wird; doch im Gegensatz zu Philoponus, der glaubte, dass es sich um eine vorübergehende Kraft handelte, die auch im Vakuum nachlassen würde, betrachtete er sie als dauerhaft, so dass äußere Kräfte wie der Luftwiderstand erforderlich sind, um sie zu zerstreuen. Die Arbeiten von Philoponus und möglicherweise auch die von Ibn Sīnā wurden von den europäischen Philosophen Peter Olivi und Jean Buridan gelesen und verfeinert. Buridan, der um 1350 zum Rektor der Universität Paris ernannt wurde, wies darauf hin, dass die Antriebskraft proportional zum Gewicht mal der Geschwindigkeit ist. Buridans Theorie unterschied sich von der seines Vorgängers insofern, als er nicht davon ausging, dass sich der Impuls selbst auflöst, sondern dass ein Körper durch die Kräfte des Luftwiderstands und der Schwerkraft, die sich dem Impuls entgegenstellen könnten, aufgehalten wird. ⓘ

René Descartes glaubte, dass die gesamte "Bewegungsmenge" (lateinisch: quantitas motus) im Universum erhalten bleibt, wobei die Bewegungsmenge als das Produkt aus Größe und Geschwindigkeit verstanden wird. Dies sollte nicht als Aussage des modernen Impulsgesetzes verstanden werden, da er keinen Begriff von Masse hatte, der sich von Gewicht und Größe unterscheidet, und, was noch wichtiger ist, er glaubte, dass eher die Geschwindigkeit als die Geschwindigkeit erhalten bleibt. Wenn also ein sich bewegendes Objekt von einer Oberfläche abprallt und dabei zwar seine Richtung, nicht aber seine Geschwindigkeit ändert, ändert sich für Descartes nichts an seiner Bewegungsmenge. Galilei verwendete in seinen Zwei neuen Wissenschaften das italienische Wort impeto, um Descartes' Bewegungsgröße ähnlich zu beschreiben. ⓘ

Leibniz argumentiert in seinem "Diskurs über die Metaphysik" gegen Descartes' Konstruktion der Erhaltung der "Bewegungsmenge", indem er ein Beispiel für das Fallenlassen von Blöcken unterschiedlicher Größe über verschiedene Entfernungen anführt. Er weist darauf hin, dass die Kraft erhalten bleibt, aber die Bewegungsmenge, die als Produkt aus Größe und Geschwindigkeit eines Objekts aufgefasst wird, nicht erhalten bleibt. ⓘ

Christiaan Huygens kam schon früh zu dem Schluss, dass Descartes' Gesetze für den elastischen Zusammenstoß zweier Körper falsch sein mussten, und er formulierte die richtigen Gesetze. Ein wichtiger Schritt war seine Anerkennung der Galilei-Invarianz der Probleme. Es dauerte viele Jahre, bis seine Ansichten in Umlauf gebracht wurden. Er übermittelte sie 1661 persönlich an William Brouncker und Christopher Wren in London. Was Spinoza 1666, also während des Zweiten Englisch-Niederländischen Krieges, darüber an Henry Oldenburg schrieb, wurde geheim gehalten. Huygens hatte sie tatsächlich in einem Manuskript De motu corporum ex percussione in der Zeit von 1652-6 ausgearbeitet. Der Krieg endete 1667, und Huygens gab seine Ergebnisse 1668 der Royal Society bekannt. Er veröffentlichte sie im Journal des sçavans im Jahr 1669. ⓘ

Die erste korrekte Erklärung des Impulserhaltungssatzes stammt von dem englischen Mathematiker John Wallis in seinem Werk Mechanica sive De Motu, Tractatus Geometricus von 1670: "Der ursprüngliche Zustand des Körpers, entweder in Ruhe oder in Bewegung, bleibt bestehen" und "Wenn die Kraft größer ist als der Widerstand, kommt es zur Bewegung". Wallis verwendete Impuls für die Bewegungsmenge und Vis für die Kraft. Newtons Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, das 1687 zum ersten Mal veröffentlicht wurde, zeigte ein ähnliches Herumwühlen nach Begriffen für den mathematischen Impuls. Seine Definition II definiert quantitas motus, "Bewegungsmenge", als "aus der Geschwindigkeit und der Menge der Materie zusammen entstehend", was sie als Impuls identifiziert. Wenn er in Gesetz II davon spricht, dass die mutatio motus, die "Veränderung der Bewegung", proportional zur eingeprägten Kraft ist, meint er also im Allgemeinen den Impuls und nicht die Bewegung. Es blieb nur noch, der Bewegungsgröße einen einheitlichen Begriff zuzuordnen. Die erste Verwendung des Begriffs "Impuls" in seinem eigentlichen mathematischen Sinn ist nicht klar, aber zur Zeit von Jennings' Miscellanea im Jahr 1721, fünf Jahre vor der endgültigen Ausgabe von Newtons Principia Mathematica, wurde der Impuls M oder die "Bewegungsmenge" für Studenten als "ein Rechteck" definiert, das Produkt aus Q und V, wobei Q die "Materialmenge" und V die "Geschwindigkeit" ist, s/t. ⓘ

Im Jahr 1728 heißt es in der Cyclopedia:

"Das Momentum, der Impetus oder die Quantität der Bewegung eines Körpers ist das Factum [d.h. das Produkt] seiner Geschwindigkeit (oder des Raumes, den er in einer gegebenen Zeit bewegt, siehe Bewegung) multipliziert mit seiner Masse." ⓘ

Impulserhaltung

Anstoß beim Poolbillard: Der Impuls der weißen Kugel verteilt sich auf alle Kugeln. ⓘ

In einem Inertialsystem ist der Impuls eine Erhaltungsgröße. In einem physikalischen System, auf das keine äußeren Kräfte wirken, (in diesem Zusammenhang auch als abgeschlossenes System bezeichnet), bleibt die Summe aller Impulse der zum System gehörenden Bestandteile konstant. ⓘ

Der anfängliche Gesamtimpuls ist dann also auch gleich der Vektorsumme der zu irgendeinem späteren Zeitpunkt vorhandenen Einzelimpulse. Stöße und andere Vorgänge innerhalb des Systems, bei denen sich die Geschwindigkeiten der Bestandteile ändern, enden stets so, dass dieses Prinzip nicht verletzt wird (siehe Kinematik (Teilchenprozesse)). ⓘ

Die Impulserhaltung gilt auch beim unelastischen Stoß. Dabei nimmt durch plastische Verformung oder andere Prozesse die kinetische Energie zwar ab, aber der Impulserhaltungssatz ist vom Energieerhaltungssatz unabhängig und gilt sowohl bei elastischen als auch bei unelastischen Stößen. ⓘ

Impuls im Lagrange- und Hamilton-Formalismus

Im Lagrange- und Hamilton-Formalismus wird der generalisierte Impuls eingeführt; die drei Komponenten des Impulsvektors zählen zum generalisierten Impuls; aber auch beispielsweise der Drehimpuls. ⓘ

Im Hamilton-Formalismus und in der Quantenmechanik ist der Impuls die zum Ort kanonisch konjugierte Variable. Der (generalisierte) Impuls wird in diesem Zusammenhang auch als kanonischer Impuls bezeichnet. Die möglichen Paare $(q,p)$ von generalisierten Ortskoordinaten $q$ und kanonischen Impulsen $p$ eines physikalischen Systems bilden in der hamiltonschen Mechanik den Phasenraum. ⓘ

In Magnetfeldern enthält der kanonische Impuls eines geladenen Teilchens einen zusätzlichen Term, der mit dem Vektorpotential des B-Felds in Zusammenhang steht (siehe Generalisierter Impuls). ⓘ

Impuls in strömenden Medien

Bei kontinuierlich verteilter Masse, wie beispielsweise in der Strömungsmechanik, enthält ein kleines Gebiet um den Punkt ${\vec {x}}$ die Masse $\rho (t,{\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{3}x.$ Dabei ist $\mathrm {d} ^{3}x$ das Volumen des Gebietes. $\rho (t,{\vec {x}})$ ist die Massendichte und ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ der Ortsvektor (Komponenten nummeriert). Sie kann sich mit der Zeit $t$ ändern. ⓘ

Wenn diese Masse sich mit der Geschwindigkeit ${\vec {v}}(t,{\vec {x}})$ bewegt, hat sie den Impuls $\rho (t,{\vec {x}})\,{\vec {v}}(t,{\vec {x}})\,\mathrm {d} ^{3}x$. Dividiert durch das Volumen ergibt sich die Impulsdichte als Massendichte mal Geschwindigkeit: $\rho \,{\vec {v}}$. ⓘ

Wegen der Impulserhaltung gilt für die Impulsdichte an einem festen Ort die Kontinuitätsgleichung

${\frac {\partial (\rho \,{\vec {v}})}{\partial t}}={\vec {f}}-\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(\rho \,{\vec {v}}\,v_{i}),$

die besagt, dass sich die zeitliche Änderung der Impulsdichte zusammensetzt aus der auf das Volumenelement wirkende Kraftdichte (zum Beispiel der Gradient des Drucks oder das Gewicht, ${\vec {f}}_{\text{Gravitation}}=\rho \,{\vec {g}}$) und dem Impulsstrom in das Gebiet hinein und heraus. ⓘ

Die Eulerschen Gleichungen sind das System von partiellen Differentialgleichungen, das zusammen mit Impulserhaltung und Energieerhaltung die Zeitentwicklung eines kontinuierlichen Systems zulässt. Die Navier-Stokes-Gleichungen erweitern diese Gleichungen, indem sie zusätzlich Viskosität beschreiben. ⓘ

Bemerkenswert an der Eulerschen Gleichung ist, dass es für den Impuls eine Erhaltungsgleichung gibt, für die Geschwindigkeit aber nicht. In der klassischen Mechanik spielt das keine besondere Rolle, da es den einfachen skalaren Zusammenhang ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$ gibt. In den relativistischen Eulergleichungen hingegen mischt in jede Vektorkomponente der Lorentzfaktor, der von ${\vec {v}}^{2}$ abhängt. Deswegen ist die Rekonstruktion des Geschwindigkeitsvektors (primitive Variablen) aus dem System von relativistischer Masse, Impuls und Energiedichte (konservierte Variablen) in der Regel mit der Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems verbunden. ⓘ