Spin

Spin	Typ	Teilchen (Beispiele) ⓘ
$0$	Boson	Higgs-Boson
${\tfrac {1}{2}}\hbar$	Fermion	Elektron, Neutrino, Quarks
$1\hbar$	Boson	Photon, Gluon, W-Boson und Z-Boson
${\tfrac {3}{2}}\hbar$	Fermion	supersymmetrische Teilchen (hypothetisch)
$2\hbar$	Boson	Graviton (hypothetisch)

Spin (von englisch spin ‚Drehung‘, ‚Drall‘) ist in der Teilchenphysik der Eigendrehimpuls von Teilchen. Bei den fundamentalen Teilchen ist er wie die Masse eine unveränderliche innere Teilcheneigenschaft. Er beträgt ein halb- oder ganzzahliges Vielfaches (Spinquantenzahl) des reduzierten planckschen Wirkungsquantums $\textstyle \hbar$. Abgesehen davon, dass er nicht durch die (Dreh-)Bewegung einer Masse hervorgerufen wird, hat er alle Eigenschaften eines klassisch-mechanischen Eigendrehimpulses, insbesondere bezüglich Drehimpulserhaltung und Koordinatentransformationen, und ist damit auch ein Axialvektor. Der Spin kann nur quantenmechanisch verstanden werden. Das Spin-Statistik-Theorem verbindet den Spin eines Teilchens mit der Art der statistischen Beschreibung mehrerer gleicher Teilchen: Teilchen mit einer halbzahligen Spinquantenzahl befolgen die Fermi-Dirac-Statistik und heißen Fermionen, Teilchen mit einer ganzzahligen Spinquantenzahl befolgen die Bose-Einstein-Statistik und heißen Bosonen. ⓘ

Bisher sind fundamentale Teilchen mit Spins $0\,\hbar ,{\tfrac {1}{2}}\hbar ,1\,\hbar$ bekannt (s. nebenstehende Tabelle). Fundamentale Teilchen mit den Spins ${\tfrac {3}{2}}\hbar ,2\,\hbar$ wurden postuliert, aber bislang nicht nachgewiesen. ⓘ

Bei zusammengesetzten Systemen, z. B. bei Proton, Neutron, Atomkern, Atom, Molekül, Exziton, Hadronen wie $\Omega ^{-}$-Teilchen ergibt sich der Spin durch Addition der Spins und Bahndrehimpulse der Komponenten nach den Regeln der quantenmechanischen Drehimpulsaddition. ⓘ

Erstmals wurde 1925 dem Elektron ein Spin ${\tfrac {1}{2}}\hbar$ zugeschrieben, um eine Reihe unverstandener Details der optischen Spektren von Atomen mit einem einzigen Konzept konsistent erklären zu können (zur Entdeckung und Rezeption des Spin siehe Elektronenspin). Dem Proton wird der Spin ${\tfrac {1}{2}}\hbar$ seit 1928 zugeschrieben, weil eine Anomalie in der spezifischen Wärme von Wasserstoffgas nicht anders zu erklären ist. ⓘ

Der halbzahlige Spin kann weder anschaulich noch halbklassisch durch eine Drehbewegung erklärt werden. Eine formale Begründung wurde 1928 in der relativistischen Quantenmechanik entdeckt. Der halbzahlige Spin der Elektronen und Quarks führt über das Spin-Statistik-Theorem weiter zum Pauli-Prinzip, das grundlegend für den Aufbau der Atomkerne und der Atomhüllen ist. Das Pauli-Prinzip bestimmt damit auch das chemische Verhalten der Atome, wie es sich im Periodensystem der Elemente ausdrückt. Demnach spielt der halbzahlige Spin beim Aufbau der Materie bis hin zu ihren makroskopischen Eigenschaften eine bestimmende Rolle. ⓘ

Stephen Hawking benutzt in seinem Buch Eine kurze Geschichte der Zeit eine Pfeil-Analogie zur Veranschaulichung des Spins: „Ein Teilchen mit dem Spin 0 ist ein Punkt: Es sieht aus allen Richtungen gleich aus. Ein Teilchen mit dem Spin 1 ist dagegen wie ein Pfeil: Es sieht aus verschiedenen Richtungen verschieden aus. Nur bei einer vollständigen Umdrehung (360 Grad) sieht das Teilchen wieder gleich aus. Ein Teilchen mit dem Spin 2 ist wie ein Pfeil mit einer Spitze an jedem Ende. Es sieht nach einer halben Umdrehung (180 Grad) wieder gleich aus. Entsprechend sehen Teilchen mit höherem Spin wieder gleich aus, wenn man Drehungen um kleinere Bruchteile einer vollständigen Umdrehung vollzieht. [Zudem gibt] es Teilchen […], die nach einer Umdrehung noch nicht wieder gleich aussehen: Es sind dazu vielmehr zwei vollständige Umdrehungen erforderlich! Der Spin solcher Teilchen wird mit ½ angegeben.“ ⓘ

Wichtige Experimente zum Spin beruhen meist darauf, dass ein geladenes Teilchen mit Spin auch ein magnetisches Moment besitzt. Beim Einstein-de-Haas-Effekt versetzt die Änderung der Richtung der Elektronenspins in einem Eisenstab diesen in eine makroskopische Drehbewegung. Im Stern-Gerlach-Versuch ermöglichte der Elektronenspin den ersten direkten Nachweis der Richtungsquantelung. Die Effekte der magnetischen Kernspinresonanz bzw. Elektronenspinresonanz werden in Chemie (Kernspinresonanzspektroskopie NMR), Biologie und Medizin (Magnetresonanztomographie MRT) zur detaillierten Untersuchungen von Materialien, Geweben und Prozessen genutzt. ⓘ

Anders als der halbzahlige Spin der Leptonen ergibt sich der ganzzahlige Spin des Photons (Lichtquant) schon aus der lange bekannten Existenz elektromagnetischer Wellen mit zirkulärer Polarisation. Ein direkter experimenteller Nachweis gelang 1936 anhand der Drehbewegung eines makroskopischen Objekts nach der Wechselwirkung mit Photonen. ⓘ

Der Spin ist eine von zwei Arten von Drehimpulsen in der Quantenmechanik, die andere ist der Bahndrehimpuls (Orbitaldrehimpuls). Der Bahndrehimpuls-Operator ist das quantenmechanische Gegenstück zum klassischen Bahndrehimpuls und tritt auf, wenn seine Wellenfunktion eine periodische Struktur aufweist, während sich der Winkel ändert. Für Photonen ist der Spin das quantenmechanische Gegenstück zur Polarisation des Lichts; für Elektronen hat der Spin kein klassisches Gegenstück. ⓘ

Das Vorhandensein eines Elektronenspin-Drehimpulses wird aus Experimenten wie dem Stern-Gerlach-Experiment abgeleitet, bei dem beobachtet wurde, dass Silberatome zwei mögliche diskrete Drehimpulse besitzen, obwohl sie keinen Bahndrehimpuls haben. Die Existenz des Elektronenspins lässt sich auch theoretisch aus dem Spin-Statistik-Theorem und dem Pauli-Ausschlussprinzip ableiten - und umgekehrt kann man bei einem bestimmten Spin des Elektrons das Pauli-Ausschlussprinzip ableiten. ⓘ

Der Spin wird mathematisch als Vektor für einige Teilchen, wie z. B. Photonen, und als Spinoren und Bispinoren für andere Teilchen, wie z. B. Elektronen, beschrieben. Spinoren und Bispinoren verhalten sich ähnlich wie Vektoren: Sie haben eine bestimmte Größe und ändern sich bei Drehungen; allerdings verwenden sie eine unkonventionelle "Richtung". Alle Elementarteilchen einer bestimmten Art haben den gleichen Betrag des Spin-Drehimpulses, obwohl sich seine Richtung ändern kann. Diese werden durch die Zuweisung einer Spin-Quantenzahl an das Teilchen angegeben. ⓘ

Die SI-Einheit des Spins ist die gleiche wie der klassische Drehimpuls (d. h. N-m-s, J-s oder kg-m²-s-1). In der Praxis wird der Spin als dimensionslose Spinquantenzahl angegeben, indem der Spin-Drehimpuls durch die reduzierte Planck-Konstante ħ geteilt wird, die die gleichen Dimensionen wie der Drehimpuls hat, obwohl dies nicht die vollständige Berechnung dieses Wertes ist. Sehr oft wird die "Spin-Quantenzahl" einfach als "Spin" bezeichnet. Die Tatsache, dass es sich um eine Quantenzahl handelt, ist implizit. ⓘ

Geschichte

Wolfgang Pauli schlug 1924 als Erster eine Verdoppelung der Anzahl der verfügbaren Elektronenzustände aufgrund einer zweiwertigen nichtklassischen "verborgenen Drehung" vor. 1925 schlugen George Uhlenbeck und Samuel Goudsmit an der Universität Leiden die einfache physikalische Interpretation vor, dass sich ein Teilchen um seine eigene Achse dreht, ganz im Sinne der alten Quantentheorie von Bohr und Sommerfeld. Ralph Kronig nahm das Uhlenbeck-Goudsmit-Modell in einer Diskussion mit Hendrik Kramers einige Monate zuvor in Kopenhagen vorweg, veröffentlichte es aber nicht. Die mathematische Theorie wurde von Pauli im Jahr 1927 eingehend ausgearbeitet. Als Paul Dirac 1928 seine relativistische Quantenmechanik ableitete, war der Elektronenspin ein wesentlicher Bestandteil davon. ⓘ

Quantenzahl

Wie der Name schon sagt, wurde der Spin ursprünglich als die Drehung eines Teilchens um eine Achse verstanden. Obwohl die Frage, ob Elementarteilchen tatsächlich rotieren, nicht eindeutig geklärt ist (da sie punktförmig erscheinen), ist dieses Bild insofern korrekt, als der Spin denselben mathematischen Gesetzen gehorcht wie quantisierte Drehimpulse; insbesondere impliziert der Spin, dass sich die Phase des Teilchens mit dem Winkel ändert. Andererseits hat der Spin einige besondere Eigenschaften, die ihn von den Bahndrehimpulsen unterscheiden:

• Spin-Quantenzahlen können halbzahlige Werte annehmen.
• Obwohl die Richtung des Spins geändert werden kann, kann ein Elementarteilchen nicht dazu gebracht werden, schneller oder langsamer zu drehen.
• Der Spin eines geladenen Teilchens ist mit einem magnetischen Dipolmoment verbunden, dessen g-Faktor von 1 abweicht. Dies könnte klassischerweise nur geschehen, wenn die innere Ladung des Teilchens anders verteilt wäre als seine Masse. ⓘ

Die konventionelle Definition der Spin-Quantenzahl lautet s = n/2, wobei n eine beliebige nicht negative ganze Zahl sein kann. Die zulässigen Werte von s sind also 0, 1/2, 1, 3/2, 2, usw. Der Wert von s für ein Elementarteilchen hängt nur von der Art des Teilchens ab und kann auf keine bekannte Weise verändert werden (im Gegensatz zur unten beschriebenen Spinrichtung). Der Spin-Drehimpuls S eines jeden physikalischen Systems ist quantisiert. Die zulässigen Werte von S sind

$$S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}}={\frac {h}{2\pi }}\,{\sqrt {{\frac {n}{2}}{\frac {(n+2)}{2}}}}={\frac {h}{4\pi }}\,{\sqrt {n(n+2)}},$$

wobei h die Planck-Konstante ist und ${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ die reduzierte Planck-Konstante ist. Im Gegensatz dazu kann der Bahndrehimpuls nur ganzzahlige Werte von s annehmen, d. h. geradzahlige Werte von n. ⓘ

Fermionen und Bosonen

Die Teilchen mit halbzahligen Spins, wie 1/2, 3/2, 5/2, werden als Fermionen bezeichnet, während die Teilchen mit ganzzahligen Spins, wie 0, 1, 2, als Bosonen bezeichnet werden. Die beiden Teilchenfamilien gehorchen unterschiedlichen Regeln und spielen in der Welt um uns herum weitgehend unterschiedliche Rollen. Ein wichtiger Unterschied zwischen den beiden Familien besteht darin, dass Fermionen dem Pauli-Ausschlussprinzip gehorchen, d. h. es kann keine zwei identischen Fermionen geben, die gleichzeitig dieselbe Quantenzahl haben (was grob gesagt bedeutet, dass sie dieselbe Position, Geschwindigkeit und Spinrichtung haben). Fermionen gehorchen den Regeln der Fermi-Dirac-Statistik. Bosonen hingegen gehorchen den Regeln der Bose-Einstein-Statistik und unterliegen keiner solchen Beschränkung, so dass sie sich in identischen Zuständen "zusammenballen" können. Außerdem können zusammengesetzte Teilchen Spins haben, die sich von denen ihrer Einzelteilchen unterscheiden. So hat zum Beispiel ein Helium-4-Atom im Grundzustand den Spin 0 und verhält sich wie ein Boson, obwohl die Quarks und Elektronen, aus denen es besteht, alle Fermionen sind. ⓘ

Dies hat einige tiefgreifende Konsequenzen:

• Quarks und Leptonen (einschließlich Elektronen und Neutrinos), aus denen das besteht, was klassischerweise als Materie bezeichnet wird, sind allesamt Fermionen mit Spin 1/2. Die gängige Vorstellung, dass "Materie Raum einnimmt", beruht auf dem Pauli-Ausschlussprinzip, das auf diese Teilchen einwirkt und verhindert, dass sich die Fermionen im selben Quantenzustand befinden. Eine weitere Verdichtung würde voraussetzen, dass die Elektronen dieselben Energiezustände einnehmen, und daher wirkt eine Art Druck (manchmal als Entartungsdruck der Elektronen bezeichnet), der verhindert, dass sich die Fermionen zu nahe kommen. Elementare Fermionen mit anderen Spins (3/2, 5/2, usw.) sind nicht bekannt.
• Elementarteilchen, von denen man annimmt, dass sie Träger von Kräften sind, sind alle Bosonen mit Spin 1. Dazu gehören das Photon, das Träger der elektromagnetischen Kraft ist, das Gluon (starke Kraft) und die W- und Z-Bosonen (schwache Kraft). Die Fähigkeit von Bosonen, denselben Quantenzustand einzunehmen, wird im Laser genutzt, der viele Photonen mit derselben Quantenzahl (dieselbe Richtung und Frequenz) ausrichtet, im supraflüssigen Helium, das aus Helium-4-Atomen besteht, die Bosonen sind, und in der Supraleitung, wo Elektronenpaare (die einzeln Fermionen sind) als einzelne zusammengesetzte Bosonen wirken. Die Existenz von Elementarbosonen mit anderen Spins (0, 2, 3 usw.) ist historisch nicht bekannt, obwohl sie theoretisch ausführlich behandelt wurden und in den jeweiligen Mainstream-Theorien gut etabliert sind. Insbesondere haben Theoretiker das Graviton (dessen Existenz von einigen Theorien der Quantengravitation vorhergesagt wird) mit Spin 2 und das Higgs-Boson (das die elektroschwache Symmetriebrechung erklärt) mit Spin 0 vorgeschlagen. Seit 2013 gilt die Existenz des Higgs-Bosons mit Spin 0 als erwiesen. Es ist das erste skalare Elementarteilchen (Spin 0), dessen Existenz in der Natur bekannt ist.
• Atomkerne haben einen Kernspin, der entweder halb- oder ganzzahlig sein kann, so dass die Kerne entweder Fermionen oder Bosonen sein können. ⓘ

Spin-Statistik-Theorem

Das Spin-Statistik-Theorem unterteilt die Teilchen in zwei Gruppen: Bosonen und Fermionen, wobei Bosonen der Bose-Einstein-Statistik und Fermionen der Fermi-Dirac-Statistik (und damit dem Pauli-Ausschlussprinzip) gehorchen. Konkret besagt die Theorie, dass Teilchen mit einem ganzzahligen Spin Bosonen sind, während alle anderen Teilchen einen halbzahligen Spin haben und Fermionen sind. Ein Beispiel: Elektronen haben einen halbzahligen Spin und sind Fermionen, die dem Pauli-Ausschlussprinzip gehorchen, während Photonen einen ganzzahligen Spin haben und dies nicht tun. Das Theorem stützt sich sowohl auf die Quantenmechanik als auch auf die Spezielle Relativitätstheorie, und diese Verbindung zwischen Spin und Statistik wurde als "eine der wichtigsten Anwendungen der Speziellen Relativitätstheorie" bezeichnet. ⓘ

Beziehung zur klassischen Rotation

Da Elementarteilchen punktförmig sind, ist die Eigenrotation für sie nicht wohldefiniert. Der Spin impliziert jedoch, dass die Phase des Teilchens vom Winkel abhängt als $e^{iS\theta }$Dies entspricht der quantenmechanischen Interpretation des Impulses als Phasenabhängigkeit der Position und des Bahndrehimpulses als Phasenabhängigkeit der Winkellage. ⓘ

Der Photonenspin ist die quantenmechanische Beschreibung der Lichtpolarisation, wobei Spin +1 und Spin -1 zwei entgegengesetzte Richtungen der zirkularen Polarisation darstellen. Licht mit einer bestimmten zirkularen Polarisation besteht also aus Photonen mit demselben Spin, entweder alle +1 oder alle -1. Der Spin steht auch bei anderen Vektorbosonen für die Polarisation. ⓘ

Für Fermionen ist das Bild weniger klar. Die Winkelgeschwindigkeit ist nach dem Satz von Ehrenfest gleich der Ableitung des Hamiltonian nach seinem konjugierten Impuls, d. h. dem Gesamtdrehimpulsoperator J = L + S. Wenn also der Hamiltonian H vom Spin S abhängt, ist dH/dS ungleich Null, und der Spin verursacht die Winkelgeschwindigkeit und damit die tatsächliche Drehung, d. h. eine Änderung der Phasen-Winkel-Beziehung über die Zeit. Ob dies für ein freies Elektron gilt, ist jedoch nicht eindeutig, da S² für ein Elektron konstant ist und es daher eine Frage der Interpretation ist, ob der Hamiltonian einen solchen Term enthält. Nichtsdestotrotz taucht der Spin in der Dirac-Gleichung auf, und so kann der relativistische Hamiltonian des Elektrons, der als Dirac-Feld behandelt wird, so interpretiert werden, dass er eine Abhängigkeit vom Spin S enthält. ⓘ

Magnetische Momente

Schematische Darstellung des Spins des Neutrons als schwarzer Pfeil und Magnetfeldlinien, die mit dem magnetischen Moment des Neutrons verbunden sind. Das Neutron hat ein negatives magnetisches Moment. Während der Spin des Neutrons in diesem Diagramm nach oben zeigt, sind die Magnetfeldlinien im Zentrum des Dipols nach unten gerichtet. ⓘ

Teilchen mit Spin können ein magnetisches Dipolmoment besitzen, genau wie ein rotierender elektrisch geladener Körper in der klassischen Elektrodynamik. Diese magnetischen Momente können auf verschiedene Weise experimentell beobachtet werden, z. B. durch die Ablenkung von Teilchen durch inhomogene Magnetfelder in einem Stern-Gerlach-Experiment oder durch die Messung der von den Teilchen selbst erzeugten Magnetfelder. ⓘ

Das intrinsische magnetische Moment μ eines Spin-1/2-Teilchens mit der Ladung q, der Masse m und dem Spin-Drehimpuls S ist ⓘ

${\boldsymbol {\mu }}={\frac {g_{s}q}{2m}}\mathbf {S} ,$ ⓘ

wobei die dimensionslose Größe gs als Spin-G-Faktor bezeichnet wird. Bei ausschließlichen Bahndrehungen wäre er 1 (unter der Annahme, dass die Masse und die Ladung Kugeln mit gleichem Radius einnehmen). ⓘ

Da das Elektron ein geladenes Elementarteilchen ist, besitzt es ein magnetisches Moment, das nicht Null ist. Einer der Triumphe der Theorie der Quantenelektrodynamik ist die genaue Vorhersage des g-Faktors des Elektrons, der experimentell mit dem Wert -2,00231930436256(35) bestimmt wurde, wobei die Ziffern in Klammern die Messunsicherheit der letzten beiden Ziffern mit einer Standardabweichung angeben. Der Wert von 2 ergibt sich aus der Dirac-Gleichung, einer fundamentalen Gleichung, die den Spin des Elektrons mit seinen elektromagnetischen Eigenschaften verbindet, und die Korrektur von 0,002319304... ergibt sich aus der Wechselwirkung des Elektrons mit dem umgebenden elektromagnetischen Feld, einschließlich seines eigenen Feldes. ⓘ

Zusammengesetzte Teilchen besitzen auch magnetische Momente, die mit ihrem Spin verbunden sind. Insbesondere das Neutron besitzt ein magnetisches Moment ungleich Null, obwohl es elektrisch neutral ist. Diese Tatsache war ein früher Hinweis darauf, dass das Neutron kein Elementarteilchen ist. Vielmehr besteht es aus Quarks, also elektrisch geladenen Teilchen. Das magnetische Moment des Neutrons ergibt sich aus den Spins der einzelnen Quarks und deren Bahnbewegungen. ⓘ

Neutrinos sind sowohl elementar als auch elektrisch neutral. Das minimal erweiterte Standardmodell, das Neutrinomassen ungleich Null berücksichtigt, sagt magnetische Momente von Neutrinos voraus:

$\mu _{\nu }\approx 3\times 10^{-19}\mu _{\text{B}}{\frac {m_{\nu }}{\text{eV}}},$ ⓘ

wobei μ_ν die magnetischen Momente der Neutrinos, m_ν die Neutrinomassen und μB das Bohrsche Magneton sind. Neue Physik oberhalb der elektroschwachen Skala könnte jedoch zu deutlich höheren magnetischen Momenten der Neutrinos führen. Es kann modellunabhängig gezeigt werden, dass Neutrino-Magnetmomente größer als etwa 10-14 μB "unnatürlich" sind, weil sie auch zu großen Strahlungsbeiträgen zur Neutrinomasse führen würden. Da die Neutrinomassen bekanntermaßen höchstens etwa 1 eV betragen, müssten die großen Strahlungskorrekturen dann so "fein abgestimmt" werden, dass sie sich gegenseitig weitgehend aufheben und die Neutrinomasse klein bleibt. Die Messung der magnetischen Momente von Neutrinos ist ein aktives Forschungsgebiet. Experimentelle Ergebnisse haben ergeben, dass das magnetische Moment des Neutrinos weniger als das 1,2×10-10-fache des magnetischen Moments des Elektrons beträgt. ⓘ

Elementarteilchen mit Spin, aber ohne elektrische Ladung, wie z. B. ein Photon oder ein Z-Boson, haben dagegen kein magnetisches Moment. ⓘ

Der Gesamtspin kann hier die Werte $\,S=1$ und $\,S=0$ haben. Mit der Bezeichnung $\left|\uparrow \right\rangle \ ,\left|\downarrow \right\rangle$ für die Basiszustände jedes der Teilchen werden die Zweiteilchenzustände mit den Quantenzahlen $S$ und $M_{S}$ so gebildet:

$\{\,\left|{\uparrow \uparrow }\right\rangle \ ,\ {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\left|{\uparrow \downarrow }\right\rangle +\left|{\downarrow \uparrow }\right\rangle )\ ,\ \left|{\downarrow \downarrow }\right\rangle \,\}$ für $\,S=1\;,\ M_{S}=+1,\,0,\,-1$ (Triplett) ⓘ

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle )$ für $\,S=0,\;M_{S}=0$ (Singulett) ⓘ

Die beiden Fälle zu $M_{S}=0$ (d. h. die $z$-Komponente des Gesamtspins ist Null) sind die einfachsten Beispiele für einen verschränkten Zustand aus jeweils zwei Summanden. Hier ergeben schon in jedem einzelnen der beiden Summanden $\left|\uparrow \downarrow \right\rangle$ und $\left|\downarrow \uparrow \right\rangle$ die $z$-Komponenten der beiden einzelnen Spins zusammen Null. Dies gilt nicht mehr, wenn man statt der (gleich großen) Spins andere Vektoroperatoren betrachtet, die für die beiden Teilchen unterschiedliche Größe haben. Z. B. unterscheiden sich die magnetischen Momente von Elektron und Proton im H-Atom um einen Faktor ca. 700. Wenn für das Elektron mit seinem großen magnetischen Moment zur Verdeutlichung $\left|\Uparrow \right\rangle$ bzw. $\left|\Downarrow \right\rangle$ geschrieben wird, heißen die beiden $(M_{S}=0)$-Zustände ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\left|\Uparrow \downarrow \right\rangle \pm \left|\Downarrow \uparrow \right\rangle )$. Während jeder einzelne der Summanden hier ein magnetisches Moment fast von der Größe wie beim Elektron zeigt, ausgerichtet in ($+z$)-Richtung bzw. in ($-z$)-Richtung, hat das gesamte magnetische Moment des Atoms in einem solchen verschränkten Zustand die $z$-Komponente Null. Daran ist zu sehen, dass beide Summanden $\left|\Uparrow \downarrow \right\rangle$ und $\left|\Downarrow \uparrow \right\rangle$ gleichzeitig präsent sein müssen, damit sich dies ergeben kann. ⓘ

Curie-Temperatur und Verlust der Ausrichtung

In gewöhnlichen Materialien erzeugen die magnetischen Dipolmomente der einzelnen Atome Magnetfelder, die sich gegenseitig aufheben, da jeder Dipol in eine zufällige Richtung zeigt, wobei der Gesamtdurchschnitt nahe Null liegt. Ferromagnetische Materialien unterhalb ihrer Curie-Temperatur weisen jedoch magnetische Domänen auf, in denen die atomaren Dipolmomente lokal ausgerichtet sind und ein makroskopisches Magnetfeld ungleich Null erzeugen, das von der Domäne ausgeht. Dies sind die gewöhnlichen "Magnete", mit denen wir alle vertraut sind. ⓘ

In paramagnetischen Materialien richten sich die magnetischen Dipolmomente der einzelnen Atome spontan nach einem von außen angelegten Magnetfeld aus. In diamagnetischen Materialien hingegen richten sich die magnetischen Dipolmomente der einzelnen Atome spontan entgegengesetzt zu einem von außen angelegten Magnetfeld aus, auch wenn dies Energie erfordert. ⓘ

Die Untersuchung des Verhaltens solcher "Spinmodelle" ist ein blühendes Forschungsgebiet in der Physik der kondensierten Materie. Das Ising-Modell beispielsweise beschreibt Spins (Dipole), die nur zwei mögliche Zustände haben, nämlich nach oben und nach unten, während im Heisenberg-Modell der Spinvektor in jede Richtung zeigen kann. Diese Modelle haben viele interessante Eigenschaften, die zu interessanten Ergebnissen in der Theorie der Phasenübergänge geführt haben. ⓘ

Richtung

Quantenzahl und Multiplizität der Spinprojektion

In der klassischen Mechanik besitzt der Drehimpuls eines Teilchens nicht nur eine Größe (wie schnell sich der Körper dreht), sondern auch eine Richtung (entweder nach oben oder nach unten auf der Drehachse des Teilchens). Der quantenmechanische Spin enthält ebenfalls Informationen über die Richtung, allerdings in einer subtileren Form. Die Quantenmechanik besagt, dass die Drehimpulskomponente eines Spin-Teilchens, die entlang einer beliebigen Richtung gemessen wird, nur die folgenden Werte annehmen kann ⓘ

$S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},$ ⓘ

wobei Si die Spin-Komponente entlang der i-ten Achse (entweder x, y oder z), si die Quantenzahl der Spin-Projektion entlang der i-ten Achse und s die Hauptspin-Quantenzahl ist (wie im vorigen Abschnitt erläutert). Üblicherweise wird als Richtung die z-Achse gewählt:

$S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},$ ⓘ

Sz ist die Spin-Komponente entlang der z-Achse, sz ist die Spin-Projektionsquantenzahl entlang der z-Achse. ⓘ

Man sieht, dass es 2s + 1 mögliche Werte für sz gibt. Die Zahl "2s + 1" ist die Multiplizität des Spinsystems. Für ein Spin-1/2-Teilchen gibt es zum Beispiel nur zwei mögliche Werte: sz = +1/2 und sz = -1/2. Diese entsprechen Quantenzuständen, in denen die Spin-Komponente in die +z- bzw. -z-Richtung zeigt, und werden oft als "spin up" und "spin down" bezeichnet. Für ein Spin-3/2-Teilchen, wie ein Delta-Baryon, sind die möglichen Werte +3/2, +1/2, -1/2, -3/2. ⓘ

Vektor

Ein einzelner Punkt im Raum kann sich kontinuierlich drehen, ohne sich zu verheddern. Beachten Sie, dass die Spirale nach einer 360-Grad-Drehung zwischen einer Ausrichtung im und einer Ausrichtung gegen den Uhrzeigersinn wechselt. Nach einer Drehung um volle 720° kehrt sie in ihre ursprüngliche Konfiguration zurück. ⓘ

Für einen bestimmten Quantenzustand kann man sich einen Spinvektor vorstellen ${\textstyle \langle S\rangle }$ denken, dessen Komponenten die Erwartungswerte der Spin-Komponenten entlang jeder Achse sind, d.h., ${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$. Dieser Vektor würde dann die "Richtung" beschreiben, in die der Spin zeigt, was dem klassischen Konzept der Drehachse entspricht. Es stellt sich heraus, dass der Spin-Vektor in tatsächlichen quantenmechanischen Berechnungen nicht sehr nützlich ist, da er nicht direkt gemessen werden kann: sx, sy und sz können aufgrund einer Quanten-Unschärferelation zwischen ihnen nicht gleichzeitig bestimmte Werte besitzen. Für statistisch große Ansammlungen von Teilchen, die in denselben reinen Quantenzustand versetzt wurden, z. B. durch die Verwendung einer Stern-Gerlach-Apparatur, hat der Spinvektor jedoch eine wohldefinierte experimentelle Bedeutung: Er gibt die Richtung im gewöhnlichen Raum an, in die ein nachfolgender Detektor ausgerichtet werden muss, um die größtmögliche Wahrscheinlichkeit (100 %) zu erreichen, jedes Teilchen der Sammlung zu entdecken. Für Spin-1/2-Teilchen nimmt diese Wahrscheinlichkeit mit zunehmendem Winkel zwischen dem Spinvektor und dem Detektor gleichmäßig ab, bis bei einem Winkel von 180° - d. h. für Detektoren, die in entgegengesetzter Richtung zum Spinvektor ausgerichtet sind - die Erwartung, Teilchen aus der Sammlung zu entdecken, ein Minimum von 0 % erreicht. ⓘ

Als qualitatives Konzept ist der Spin-Vektor oft praktisch, weil er sich leicht klassisch darstellen lässt. So kann der quantenmechanische Spin beispielsweise Phänomene aufweisen, die den klassischen gyroskopischen Effekten entsprechen. Zum Beispiel kann man auf ein Elektron eine Art "Drehmoment" ausüben, indem man es in ein Magnetfeld bringt (das Feld wirkt auf das dem Elektron innewohnende magnetische Dipolmoment - siehe den folgenden Abschnitt). Das Ergebnis ist, dass der Spinvektor einer Präzession unterliegt, genau wie bei einem klassischen Kreisel. Dieses Phänomen wird als Elektronenspinresonanz (ESR) bezeichnet. Das gleiche Verhalten von Protonen in Atomkernen wird in der kernmagnetischen Resonanzspektroskopie (NMR) und der Bildgebung genutzt. ⓘ

Mathematisch werden quantenmechanische Spinzustände durch vektorähnliche Objekte beschrieben, die als Spinoren bezeichnet werden. Es gibt feine Unterschiede zwischen dem Verhalten von Spinoren und Vektoren bei Koordinatendrehungen. Dreht man zum Beispiel ein Spin-1/2-Teilchen um 360°, so kehrt es nicht in denselben Quantenzustand zurück, sondern in den Zustand mit der entgegengesetzten Quantenphase; dies lässt sich im Prinzip mit Interferenzexperimenten nachweisen. Um das Teilchen in seinen exakten Ausgangszustand zurückzubringen, benötigt man eine Drehung um 720°. (Ein Spin-Null-Teilchen kann nur einen einzigen Quantenzustand einnehmen, auch wenn ein Drehmoment angelegt wird. Dreht man ein Spin-2-Teilchen um 180°, kann man es in denselben Quantenzustand zurückversetzen, und ein Spin-4-Teilchen sollte um 90° gedreht werden, um es in denselben Quantenzustand zurückzubringen. Das Spin-2-Teilchen kann mit einem geraden Stab verglichen werden, der auch nach einer Drehung um 180° gleich aussieht, und ein Spin-0-Teilchen kann man sich als Kugel vorstellen, die nach jeder Drehung um denselben Winkel gleich aussieht. ⓘ

Mathematische Formulierung

Hat ein physikalisches System nur zwei Basiszustände (zumindest in näherungsweiser Betrachtung, z. B. bei zwei benachbarten Energieniveaus, während die anderen, weiter entfernten, vernachlässigt werden), ist es formal ein genaues Abbild des 2-Zustands-Systems für den Spin ${\tfrac {1}{2}}$. Für dieses System können ohne Rücksicht auf ihre physikalische Bedeutung drei Operatoren definiert werden: Ein Aufsteigeoperator und ein Absteigeoperator verwandelt den zweiten Basiszustand in den ersten bzw. umgekehrt, und ergibt sonst Null. Der dritte Operator gibt dem ersten Basiszustand den Eigenwert $+{\tfrac {1}{2}}$ und dem zweiten $-{\tfrac {1}{2}}$. Nennt man diese Operatoren der Reihe nach ${\hat {s}}_{+},\,{\hat {s}}_{-},{\hat {s}}_{z}$, erfüllen sie dieselben Gleichungen wie die gleichnamigen Operatoren für den Spin ${\tfrac {1}{2}}$. Sie können auch in den Vektoroperator ${\hat {\vec {s}}}=({\hat {s}}_{x},\,{\hat {s}}_{y},{\hat {s}}_{z})$ umgeschrieben werden, der wie jeder Drehimpulsoperator aufgrund seiner Vertauschungsrelationen die infinitesimalen Drehungen in einem (abstrakten) dreidimensionalen Raum beschreibt. ⓘ

Mathematischer Hintergrund dieser Äquivalenz ist die Tatsache, dass die Basistransformationen im zweidimensionalen komplexen Hilbertraum eine Darstellung der Gruppe SU(2) bilden, die „doppelt so groß ist“ wie die Gruppe SO(3) der Drehungen im reellen dreidimensionalen Raum. Der Unterschied zu den „normalen“ Drehungen im dreidimensionalen Raum liegt darin, dass die vom Spinoperator erzeugte Drehung mit dem Drehwinkel 360° nicht durch die Einheitsmatrix $\mathbf {1}$ wiedergegeben wird, sondern durch $-\mathbf {1}$. Dabei geht der physikalische Zustand zwar in sich selber über, der Zustandsvektor aber in sein Negatives. Das eine ist mit dem anderen verträglich, weil Zustandsvektoren, die sich nur um einen komplexen Faktor unterscheiden, denselben Zustand beschreiben. Erst eine 720°-Drehung bringt wieder denselben Zustandsvektor hervor. ⓘ

Nimmt man für die zwei Basiszustände verschiedene Elementarteilchen, etwa Proton und Neutron, oder Elektron und Elektron-Neutrino, wird die durch dieses Vorgehen definierte physikalische Größe als Isospin des Teilchens bezeichnet. Dies bewährt sich auch für Mehrteilchensysteme, d. h. ihre Zustände lassen sich danach klassifizieren, wie die Isospins ihrer einzelnen Teilchen sich zum Gesamtisospin addieren, wobei die Regeln der Addition von quantenmechanischen Drehimpulsen volle Gültigkeit haben. In der Entwicklung der Elementarteilchenphysik hat dieses Isospinkonzept eine bedeutende Rolle gespielt. ⓘ

Der Operator

Der Spin gehorcht Kommutationsbeziehungen, die analog zu denen des Bahndrehimpulses sind:

$\left[{\hat {S}}_{j},{\hat {S}}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon _{jkl}{\hat {S}}_{l},$ ⓘ

Dabei ist ε_jkl das Levi-Civita-Symbol. Daraus folgt (wie beim Drehimpuls), dass die Eigenvektoren von ${\hat {S}}^{2}$ und ${\hat {S}}_{z}$ (ausgedrückt als kets in der Gesamt-S-Basis) sind ⓘ

${\begin{aligned}{\hat {S}}^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle ,\\{\hat {S}}_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}$ ⓘ

Die Operatoren zur Erhöhung und Erniedrigung des Spins, die auf diese Eigenvektoren wirken, ergeben ⓘ

${\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle ,$ ⓘ

wobei ${\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}$. ⓘ

Im Gegensatz zum Bahndrehimpuls sind die Eigenvektoren jedoch keine sphärischen Oberschwingungen. Sie sind keine Funktionen von θ und φ. Es gibt auch keinen Grund, halb-ganzzahlige Werte von s und ms auszuschließen. ⓘ

Alle quantenmechanischen Teilchen besitzen einen intrinsischen Spin $s$ (auch wenn dieser Wert gleich Null sein kann). Die Projektion des Spins $s$ auf eine beliebige Achse ist in Einheiten der reduzierten Planck-Konstante quantisiert, so dass die Zustandsfunktion des Teilchens z. B. nicht $\psi =\psi ({\vec {r}})$, sondern $\psi =\psi ({\vec {r}},s_{z})$, wobei $s_{z}$ nur die Werte der folgenden diskreten Menge annehmen kann:

$s_{z}\in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\cdots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.$ ⓘ

Man unterscheidet Bosonen (ganzzahliger Spin) und Fermionen (halbganzzahliger Spin). Der in Wechselwirkungsprozessen erhaltene Gesamtdrehimpuls ist dann die Summe aus Bahndrehimpuls und Spin. ⓘ

Pauli-Matrizen

Die quantenmechanischen Operatoren, die mit Spin-1/2-Observablen verbunden sind, sind ⓘ

${\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }},$ ⓘ

wobei in kartesischen Komponenten ⓘ

$S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}.$ ⓘ

Für den Spezialfall der Spin-1/2-Teilchen sind σ_x, σ_y und σz die drei Pauli-Matrizen:

$\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$ ⓘ

Pauli-Ausschlussprinzip

Für Systeme aus N identischen Teilchen ist dies mit dem Pauli-Ausschlussprinzip verbunden, das besagt, dass sich seine Wellenfunktion $\psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})$ sich beim Austausch zweier beliebiger N Teilchen wie folgt ändern muss ⓘ

$\psi (\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots )=(-1)^{2s}\psi (\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ).$ ⓘ

Für Bosonen reduziert sich der Vorfaktor (-1)^2s also auf +1, für Fermionen auf -1. In der Quantenmechanik sind alle Teilchen entweder Bosonen oder Fermionen. In einigen spekulativen relativistischen Quantenfeldtheorien gibt es auch "supersymmetrische" Teilchen, bei denen lineare Kombinationen aus bosonischen und fermionischen Komponenten auftreten. In zwei Dimensionen kann der Präfaktor (-1)^2s durch eine beliebige komplexe Zahl des Betrags 1 ersetzt werden, wie z. B. beim Anyon. ⓘ

Das obige Permutationspostulat für N-Teilchen-Zustandsfunktionen hat wichtige Konsequenzen für das tägliche Leben, z. B. das Periodensystem der chemischen Elemente. ⓘ

Drehungen

Wie oben beschrieben, besagt die Quantenmechanik, dass die Komponenten des Drehimpulses, die entlang einer beliebigen Richtung gemessen werden, nur eine Anzahl diskreter Werte annehmen können. Die zweckmäßigste quantenmechanische Beschreibung des Spins eines Teilchens ist daher eine Reihe komplexer Zahlen, die den Amplituden entsprechen, mit denen man einen bestimmten Wert der Projektion des Eigendrehimpulses auf eine bestimmte Achse findet. Für ein Teilchen mit Spin 1/2 bräuchten wir zum Beispiel zwei Zahlen a_±1/2, die die Amplituden für die Projektion des Drehimpulses auf +ħ/2 und -ħ/2 angeben und die folgende Bedingung erfüllen ⓘ

$|a_{+1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}=1.$ ⓘ

Für ein allgemeines Teilchen mit Spin s würden wir 2s + 1 solcher Parameter benötigen. Da diese Zahlen von der Wahl der Achse abhängen, transformieren sie sich nicht-trivial ineinander, wenn diese Achse gedreht wird. Es ist klar, dass das Transformationsgesetz linear sein muss, so dass wir es darstellen können, indem wir jeder Rotation eine Matrix zuordnen, und das Produkt zweier Transformationsmatrizen, die den Rotationen A und B entsprechen, muss (bis zur Phase) gleich der Matrix sein, die die Rotation AB darstellt. Außerdem behalten Rotationen das quantenmechanische innere Produkt bei, und das sollten auch unsere Transformationsmatrizen:

$\sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),$

$\sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.$ ⓘ

Mathematisch gesehen stellen diese Matrizen eine unitäre projektive Darstellung der Rotationsgruppe SO(3) dar. Jede dieser Darstellungen entspricht einer Darstellung der Deckungsgruppe von SO(3), nämlich SU(2). Für jede Dimension gibt es eine n-dimensionale irreduzible Darstellung von SU(2), wobei diese Darstellung für ungerades n n-dimensional real und für gerades n n-dimensional komplex ist (also die reale Dimension 2n hat). Für eine Drehung um den Winkel θ in der Ebene mit dem Normalenvektor ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$, ⓘ

$U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },$ ⓘ

wobei ${\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$, und S ist der Vektor der Spinoperatoren. ⓘ

Beweis

Wir arbeiten im Koordinatensystem, in dem ${\textstyle {\hat {\theta }}={\hat {z}}}$arbeiten, möchten wir zeigen, dass S_x und S_y um den Winkel θ ineinander gedreht werden. Wir beginnen mit S_x. Verwendung von Einheiten mit ħ = 1:

${\begin{aligned}S_{x}\rightarrow U^{\dagger }S_{x}U&=e^{i\theta S_{z}}S_{x}e^{-i\theta S_{z}}\\&=S_{x}+(i\theta )\left[S_{z},S_{x}\right]+\left({\frac {1}{2!}}\right)(i\theta )^{2}\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]+\left({\frac {1}{3!}}\right)(i\theta )^{3}\left[S_{z},\left[S_{z},\left[S_{z},S_{x}\right]\right]\right]+\ldots \end{aligned}}$

Anhand der Kommutationsbeziehungen der Spinoperatoren sehen wir, dass die Kommutatoren für die ungeraden Terme der Reihe zu i S_y und für alle geraden Terme zu S_x führen. Somit:

${\begin{aligned}U^{\dagger }S_{x}U&=S_{x}\left[1-{\frac {\theta ^{2}}{2!}}+\ldots \right]-S_{y}\left[\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}\cdots \right]\\&=S_{x}\cos \theta -S_{y}\sin \theta ,\end{aligned}}$

wie erwartet. Da wir uns nur auf die Kommutationsbeziehungen der Spinoperatoren verlassen haben, gilt dieser Beweis für jede Dimension (d.h. für jede Hauptspinquantenzahl s). ⓘ

Eine generische Rotation im 3-dimensionalen Raum kann durch die Verknüpfung von Operatoren dieses Typs mit Euler-Winkeln gebildet werden:

${\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha S_{z}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}}.$ ⓘ

Eine irreduzible Darstellung dieser Gruppe von Operatoren wird durch die Wigner-D-Matrix geliefert:

$D_{m'm}^{s}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle sm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta )e^{-im\gamma },$ ⓘ

wobei ⓘ

$d_{m'm}^{s}(\beta )=\langle sm'|e^{-i\beta s_{y}}|sm\rangle$ ⓘ

ist die kleine d-Matrix von Wigner. Man beachte, dass für γ = 2π und α = β = 0, d. h. für eine vollständige Drehung um die z-Achse, die Elemente der Wigner-D-Matrix zu ⓘ

$D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.$ ⓘ

Wenn wir uns daran erinnern, dass ein allgemeiner Spinzustand als eine Überlagerung von Zuständen mit definiten m geschrieben werden kann, sehen wir, dass, wenn s eine ganze Zahl ist, die Werte von m alle ganze Zahlen sind und diese Matrix dem Identitätsoperator entspricht. Ist s jedoch eine halbe Zahl, so sind auch die Werte von m alle halbzahlig, so dass (-1)^2m = -1 für alle m ist und der Zustand bei einer Drehung um 2π ein Minuszeichen erhält. Diese Tatsache ist ein wesentliches Element des Beweises des Satzes der Spin-Statistik. ⓘ

Lorentz-Transformationen

Wir könnten versuchen, mit dem gleichen Ansatz das Verhalten des Spins bei allgemeinen Lorentz-Transformationen zu bestimmen, würden aber sofort auf ein großes Hindernis stoßen. Im Gegensatz zu SO(3) ist die Gruppe der Lorentztransformationen SO(3,1) nicht kompakt und hat daher keine treuen, unitären, endlich-dimensionalen Darstellungen. ⓘ

Im Falle von Spin-1/2-Teilchen ist es möglich, eine Konstruktion zu finden, die sowohl eine endlich-dimensionale Darstellung als auch ein Skalarprodukt enthält, das durch diese Darstellung erhalten wird. Wir ordnen jedem Teilchen einen 4-Komponenten-Dirac-Spinor ψ zu. Diese Spinoren transformieren unter Lorentz-Transformationen nach dem Gesetz ⓘ

$\psi '=\exp {\left({\tfrac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi ,$ ⓘ

wobei γ_ν Gamma-Matrizen sind und ω_μν eine antisymmetrische 4 × 4 Matrix ist, die die Transformation parametrisiert. Es kann gezeigt werden, dass das Skalarprodukt ⓘ

$\langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi$ ⓘ

erhalten bleibt. Es ist jedoch nicht positiv-definit, so dass die Darstellung nicht unitär ist. ⓘ

Messung des Spins entlang der x-, y- oder z-Achse

Jede der (hermiteschen) Pauli-Matrizen von Spin-1/2-Teilchen hat zwei Eigenwerte, +1 und -1. Die entsprechenden normalisierten Eigenvektoren sind ⓘ

${\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}{1}\\{0}\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix}}.\end{array}}$ ⓘ

(Da jeder Eigenvektor, der mit einer Konstanten multipliziert wird, immer noch ein Eigenvektor ist, ist das Gesamtvorzeichen nicht eindeutig. In diesem Artikel wird die Konvention gewählt, das erste Element imaginär und negativ zu machen, wenn es eine Vorzeichenmehrdeutigkeit gibt. Diese Konvention wird von Software wie SymPy verwendet, während viele Physik-Lehrbücher wie Sakurai und Griffiths es vorziehen, es als reell und positiv darzustellen). ⓘ

Nach den Postulaten der Quantenmechanik kann ein Experiment zur Messung des Elektronenspins auf der x-, y- oder z-Achse nur einen Eigenwert des entsprechenden Spinoperators (Sx, Sy oder Sz) auf dieser Achse ergeben, d. h. ħ/2 oder -ħ/2. Der Quantenzustand eines Teilchens (in Bezug auf den Spin) kann durch einen Zweikomponenten-Spinor dargestellt werden:

$\psi ={\begin{pmatrix}a+bi\\c+di\end{pmatrix}}.$ ⓘ

Wenn der Spin dieses Teilchens in Bezug auf eine bestimmte Achse (in diesem Beispiel die x-Achse) gemessen wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sein Spin als ħ/2 gemessen wird, einfach ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}$. Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, dass sein Spin als -ħ/2 gemessen wird, nur ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}$. Nach der Messung kollabiert der Spinzustand des Teilchens in den entsprechenden Eigenzustand. Wenn also der Spin des Teilchens entlang einer bestimmten Achse mit einem bestimmten Eigenwert gemessen wurde, ergeben alle Messungen denselben Eigenwert (da ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1$usw.), vorausgesetzt, dass keine Messungen des Spins entlang anderer Achsen vorgenommen werden. ⓘ

Messung des Spins entlang einer willkürlichen Achse

Der Operator zur Messung des Spins entlang einer beliebigen Achsenrichtung lässt sich leicht aus den Pauli-Spinmatrizen ableiten. Sei u = (u_x, u_y, uz) ein beliebiger Einheitsvektor. Dann ist der Operator für den Spin in dieser Richtung einfach ⓘ

$S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z}).$ ⓘ

Der Operator Su hat Eigenwerte von ±ħ/2, genau wie die üblichen Spinmatrizen. Diese Methode, den Operator für den Spin in einer beliebigen Richtung zu finden, lässt sich auf höhere Spinzustände verallgemeinern, indem man das Punktprodukt der Richtung mit einem Vektor der drei Operatoren für die drei x-, y-, z-Achsenrichtungen nimmt. ⓘ

Ein normalisierter Spinor für Spin-1/2 in der (ux, uy, uz)-Richtung (der für alle Spin-Zustände außer Spin-down funktioniert, wo er 0/0 ergibt) ist ⓘ

${\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.$ ⓘ

Den obigen Spinor erhält man auf die übliche Weise, indem man die σu-Matrix diagonalisiert und die Eigenzustände findet, die den Eigenwerten entsprechen. In der Quantenmechanik werden Vektoren als "normalisiert" bezeichnet, wenn sie mit einem Normalisierungsfaktor multipliziert werden, der dazu führt, dass der Vektor eine Länge von eins hat. ⓘ

Kompatibilität von Spinmessungen

Da die Pauli-Matrizen nicht kommutieren, sind Messungen des Spins entlang der verschiedenen Achsen nicht kompatibel. Das heißt, wenn wir beispielsweise den Spin entlang der x-Achse kennen und dann den Spin entlang der y-Achse messen, haben wir unser vorheriges Wissen über den Spin entlang der x-Achse ungültig gemacht. Dies geht aus der Eigenschaft der Eigenvektoren (d. h. der Eigenzustände) der Pauli-Matrizen hervor, dass ⓘ

${\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{y\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{y\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\tfrac {1}{2}}.$ ⓘ

Wenn Physiker also den Spin eines Teilchens entlang der x-Achse beispielsweise als ħ/2 messen, kollabiert der Spin-Zustand des Teilchens in den Eigenzustand $|\psi _{x+}\rangle$. Wenn wir dann später den Spin des Teilchens entlang der y-Achse messen, kollabiert der Spin-Zustand nun entweder in $|\psi _{y+}\rangle$ oder $|\psi _{y-}\rangle$kollabieren, jeweils mit der Wahrscheinlichkeit 1/2. Nehmen wir in unserem Beispiel an, dass wir -ħ/2 messen. Wenn wir nun zurückkehren, um den Spin des Teilchens entlang der x-Achse erneut zu messen, sind die Wahrscheinlichkeiten, dass wir ħ/2 oder -ħ/2 messen, jeweils 1/2 (d. h. sie sind ${\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}$ und ${\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}$ jeweils). Dies bedeutet, dass die ursprüngliche Messung des Spins entlang der x-Achse nicht mehr gültig ist, da der Spin entlang der x-Achse nun mit gleicher Wahrscheinlichkeit einen der beiden Eigenwerte annimmt. ⓘ

Höhere Spins

Der Spin-1/2-Operator S = ħ/2σ bildet die fundamentale Darstellung von SU(2). Durch wiederholte Bildung von Kronecker-Produkten dieser Darstellung mit sich selbst kann man alle höheren irreduziblen Darstellungen konstruieren. Das heißt, die resultierenden Spinoperatoren für Systeme mit höherem Spin in drei Raumdimensionen können für beliebig große s mit diesem Spinoperator und Leiteroperatoren berechnet werden. Nimmt man beispielsweise das Kronecker-Produkt von zwei Spin-1/2, so erhält man eine vierdimensionale Darstellung, die sich in eine dreidimensionale Spin-1- (Triplett-Zustände) und eine eindimensionale Spin-0-Darstellung (Singulett-Zustand) aufteilen lässt. ⓘ

Die resultierenden irreduziblen Darstellungen ergeben die folgenden Spin-Matrizen und Eigenwerte in der z-Basis:

1. Für Spin 1 sind sie
   $${\begin{aligned}S_{x}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{x}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{x}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1\\{-{\sqrt {2}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}&={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\-i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{y}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{y}&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-1\\i{\sqrt {2}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}&=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},&\left|1,+1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},&\left|1,0\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},&\left|1,-1\right\rangle _{z}&={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$$
2. Für Spin 3/2 lauten sie
   $${\begin{array}{lclc}S_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\{\sqrt {3}}\\{\sqrt {3}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-{\sqrt {3}}}\\-1\\1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}\\-1\\-1\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{x}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}-1\\{\sqrt {3}}\\{-{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{-i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i{\sqrt {3}}}\\1\\{-i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{i{\sqrt {3}}}\\1\\{i}\\{\sqrt {3}}\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{y}=\!\!\!&{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}{-i}\\{-{\sqrt {3}}}\\{i{\sqrt {3}}}\\1\end{pmatrix}}\\S_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}},\!\!\!&\left|{\frac {3}{2}},{\frac {-3}{2}}\right\rangle _{z}=\!\!\!&{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}\\\end{array}}$$
3. Für Spin 5/2 lauten sie
   $${\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}_{x}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\{\sqrt {5}}&0&2{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2{\sqrt {2}}&0&3&0&0\\0&0&3&0&2{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{y}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {5}}&0&0&0&0\\i{\sqrt {5}}&0&-2i{\sqrt {2}}&0&0&0\\0&2i{\sqrt {2}}&0&-3i&0&0\\0&0&3i&0&-2i{\sqrt {2}}&0\\0&0&0&2i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {5}}\\0&0&0&0&i{\sqrt {5}}&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {S}}_{z}&={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}5&0&0&0&0&0\\0&3&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-3&0\\0&0&0&0&0&-5\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$$
4. Die Verallgemeinerung dieser Matrizen für beliebige Spins s lautet
   $${\begin{aligned}\left(S_{x}\right)_{ab}&={\frac {\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}+\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{y}\right)_{ab}&={\frac {i\hbar }{2}}\left(\delta _{a,b+1}-\delta _{a+1,b}\right){\sqrt {(s+1)(a+b-1)-ab}},\\\left(S_{z}\right)_{ab}&=\hbar (s+1-a)\delta _{a,b}=\hbar (s+1-b)\delta _{a,b},\end{aligned}}$$
   wobei die Indizes $a,b$ ganze Zahlen sind, so dass
   $$1\leq a\leq 2s+1,\quad 1\leq b\leq 2s+1.$$
   ⓘ

Für die Quantenmechanik von Vielteilchensystemen ist die allgemeine Pauli-Gruppe Gn definiert, die aus allen n-fachen Tensorprodukten von Pauli-Matrizen besteht. ⓘ

Die analoge Formel der Eulerschen Formel in Form der Pauli-Matrizen

${\hat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})=e^{i{\frac {\theta }{2}}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}=I\cos {\frac {\theta }{2}}+i\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\sin {\frac {\theta }{2}}$ ⓘ

für höhere Spins ist überschaubar, aber weniger einfach. ⓘ

Parität

In Tabellen mit der Spinquantenzahl s für Kerne oder Teilchen wird der Spin oft durch ein "+" oder "-" ergänzt. Dies bezieht sich auf die Parität, wobei "+" für gerade Parität (Wellenfunktion unverändert durch räumliche Inversion) und "-" für ungerade Parität (Wellenfunktion durch räumliche Inversion negiert) steht. Ein Beispiel hierfür sind die Isotope des Bismuts, bei denen die Liste der Isotope die Spalte Kernspin und Parität enthält. Für Bi-209, das einzige stabile Isotop, bedeutet der Eintrag 9/2-, dass der Kernspin 9/2 und die Parität ungerade ist. ⓘ

Anwendungen

Der Spin hat wichtige theoretische Implikationen und praktische Anwendungen. Zu den bekannten direkten Anwendungen des Spins gehören:

• Kernspinresonanzspektroskopie (NMR) in der Chemie;
• Elektronen-Spin-Resonanz-Spektroskopie (ESR oder EPR) in der Chemie und Physik;
• Magnetresonanztomographie (MRI) in der Medizin, eine Art angewandter NMR, die auf der Protonenspindichte beruht;
• Riesenmagnetoresistive (GMR) Laufwerkskopf-Technologie in modernen Festplatten. ⓘ

Der Elektronenspin spielt eine wichtige Rolle im Magnetismus, der beispielsweise in Computerspeichern Anwendung findet. Die Manipulation des Kernspins durch Hochfrequenzwellen (Kernspinresonanz) ist wichtig für die chemische Spektroskopie und die medizinische Bildgebung. ⓘ

Die Spin-Bahn-Kopplung führt zur Feinstruktur von Atomspektren, die in Atomuhren und in der modernen Definition der Sekunde verwendet wird. Präzise Messungen des g-Faktors des Elektrons haben eine wichtige Rolle bei der Entwicklung und Verifizierung der Quantenelektrodynamik gespielt. Der Photonenspin ist mit der Polarisation des Lichts verbunden (Photonenpolarisation). ⓘ

Eine neue Anwendung des Spins ist die Verwendung als binärer Informationsträger in Spintransistoren. Das ursprüngliche Konzept, das 1990 vorgeschlagen wurde, ist als Datta-Das-Spintransistor bekannt. Elektronik, die auf Spintransistoren basiert, wird als Spintronik bezeichnet. Die Manipulation des Spins in verdünnten magnetischen Halbleitermaterialien, wie z. B. metalldotiertem ZnO oder TiO₂, bietet einen weiteren Freiheitsgrad und hat das Potenzial, die Herstellung effizienterer Elektronik zu erleichtern. ⓘ

Es gibt viele indirekte Anwendungen und Erscheinungsformen des Spins und des damit verbundenen Pauli-Ausschlussprinzips, angefangen mit dem Periodensystem der Chemie. ⓘ

Geschichte

Wolfgang Pauli bei einer Vorlesung ⓘ

Der Spin wurde erstmals im Zusammenhang mit dem Emissionsspektrum von Alkalimetallen entdeckt. Im Jahr 1924 führte Wolfgang Pauli eine, wie er es nannte, "nicht klassisch beschreibbare Zweiwertigkeit" in Verbindung mit dem Elektron in der äußersten Schale ein. Dies ermöglichte ihm die Formulierung des Pauli-Ausschlussprinzips, das besagt, dass keine zwei Elektronen im selben Quantensystem denselben Quantenzustand haben können. ⓘ

Die physikalische Interpretation von Paulis "Freiheitsgrad" war zunächst unbekannt. Ralph Kronig, einer der Assistenten von Landé, schlug Anfang 1925 vor, dass er durch die Selbstrotation des Elektrons erzeugt wird. Als Pauli von dieser Idee erfuhr, kritisierte er sie heftig: Die hypothetische Oberfläche des Elektrons müsste sich schneller als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, damit sie schnell genug rotieren könnte, um den notwendigen Drehimpuls zu erzeugen. Dies würde gegen die Relativitätstheorie verstoßen. Vor allem wegen Paulis Kritik beschloss Kronig, seine Idee nicht zu veröffentlichen. ⓘ

Im Herbst 1925 kam der gleiche Gedanke den niederländischen Physikern George Uhlenbeck und Samuel Goudsmit an der Universität Leiden. Auf Anraten von Paul Ehrenfest veröffentlichten sie ihre Ergebnisse. Sie stießen auf ein positives Echo, vor allem nachdem es Llewellyn Thomas gelungen war, eine Diskrepanz um den Faktor zwei zwischen den experimentellen Ergebnissen und den Berechnungen von Uhlenbeck und Goudsmit (sowie den unveröffentlichten Ergebnissen von Kronig) zu beseitigen. Diese Diskrepanz war nicht nur auf die Position des Elektrons, sondern auch auf die Ausrichtung seines Tangentenrahmens zurückzuführen. ⓘ

Mathematisch gesehen ist eine Faserbündelbeschreibung erforderlich. Der Tangentenbündeleffekt ist additiv und relativistisch, d. h. er verschwindet, wenn c ins Unendliche geht. Er ist die Hälfte des Wertes, den man ohne Berücksichtigung der Tangentenraumorientierung erhält, allerdings mit umgekehrtem Vorzeichen. Der kombinierte Effekt unterscheidet sich also um den Faktor zwei vom letzteren (Thomas-Präzession, 1914 von Ludwik Silberstein bekannt). ⓘ

Trotz seiner anfänglichen Einwände formalisierte Pauli 1927 die Theorie des Spins unter Verwendung der von Schrödinger und Heisenberg erfundenen modernen Theorie der Quantenmechanik. Er leistete Pionierarbeit bei der Verwendung von Pauli-Matrizen als Darstellung der Spinoperatoren und führte eine Zweikomponenten-Spinor-Wellenfunktion ein. Uhlenbeck und Goudsmit behandelten den Spin als Folge der klassischen Rotation, während Pauli betonte, dass der Spin eine nicht-klassische und intrinsische Eigenschaft ist. ⓘ

Paulis Theorie des Spins war nicht-relativistisch. Im Jahr 1928 veröffentlichte Paul Dirac jedoch die Dirac-Gleichung, die das relativistische Elektron beschrieb. In der Dirac-Gleichung wurde ein Vier-Komponenten-Spinor (bekannt als "Dirac-Spinor") für die Wellenfunktion des Elektrons verwendet. Der relativistische Spin erklärt die gyromagnetische Anomalie, die (rückblickend) erstmals 1914 von Samuel Jackson Barnett beobachtet wurde (siehe Einstein-de Haas-Effekt). 1940 bewies Pauli das Spin-Statistik-Theorem, das besagt, dass Fermionen einen halbzahligen Spin und Bosonen einen ganzzahligen Spin haben. ⓘ

Rückblickend betrachtet war der erste direkte experimentelle Nachweis des Elektronenspins das Stern-Gerlach-Experiment von 1922. Die korrekte Erklärung für dieses Experiment wurde jedoch erst 1927 gegeben. ⓘ

Zwei gleiche Teilchen mit Spin ½

Vertauschungssymmetrie in Spin- und Orts-Koordinaten

Der Triplettzustand ist symmetrisch, der Singulettzustand antisymmetrisch hinsichtlich der Spins, denn die Vertauschung der zwei Teilchen bedeutet hier, die beiden Pfeile für ihren Spinzustand in den obigen Formeln in umgekehrter Reihenfolge zu schreiben. Da der vollständige Zustandsvektor zweier gleicher Fermionen bei der Vertauschung aller ihrer Koordinaten das Vorzeichen wechselt, muss der neben dem Spinanteil existierende ortsabhängige Teil $|\psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})\rangle$ auch eine definierte Symmetrie haben, antisymmetrisch im Triplett, symmetrisch im Singulett. Bei Vertauschung der räumlichen Koordinaten werden die Ladungsverteilungen beider Elektronen einfach ausgetauscht, bleiben der Form nach aber exakt dieselben wie vorher. Dennoch ergeben sich, wenn sich die Ladungsverteilungen überlappen, für die elektrostatische Abstoßungsenergie zwei verschiedene Werte: Im antisymmetrisch verschränkten Ortszustand ist der Energiebetrag kleiner als im symmetrischen, weil die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beider Elektronen am gleichen Ort im antisymmetrischen Ortszustand sicher Null ist, im symmetrischen nicht (im Überlappbereich). Dieser rein quantenmechanische Effekt wird Austauschwechselwirkung genannt. Er begründet den starken Einfluss des Gesamtspins der Elektronen auf die Energieniveaus ihres Atoms, obwohl von den Spins selbst überhaupt keine elektrostatische und nur geringfügige magnetische Wechselwirkung ausgeht. ⓘ

Der kugelsymmetrische Singulett-Zustand

Bildet man den Zustandsvektor für den Singulettzustand nicht mit den in $z$-Richtung ausgerichteten Spinzuständen $\left|\uparrow \right\rangle \ ,\left|\downarrow \right\rangle$ sondern mit den in $x$-Richtung ausgerichteten $\left|\leftarrow \right\rangle \ ,\left|\rightarrow \right\rangle$, so ist der Zustand trotzdem ein und derselbe (denn es gibt ja nur einen):

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\;(\,\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle \,)\quad \equiv \quad {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\;(\,\left|\leftarrow \,\rightarrow \right\rangle -\left|\rightarrow \,\leftarrow \right\rangle \,)\cdot$ ⓘ

Formal ist das eine Folge von $\left|{\rightarrow }\right\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\,\left|{\uparrow }\right\rangle +\left|{\downarrow }\right\rangle \,)$ und $\left|{\leftarrow }\right\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\,\left|{\uparrow }\right\rangle -\left|{\downarrow }\right\rangle \,)$. ⓘ

Hierzu gibt es ein Gedankenexperiment, das die Schwierigkeiten der Anschauung beim Verstehen der Superposition unteilbarer Teilchen beleuchtet:

1. In einem He⁺-Ion mit dem einen 1s-Elektron im Zustand $\left|{\leftarrow }\right\rangle$ wird die Ausbeute gemessen, mit der ein Elektron im Zustand $\left|{\uparrow }\right\rangle$ extrahiert werden kann. Antwort: 50 %.
2. Das He⁺-Ion fängt nun ein zweites Elektron in den 1s-Zustand ein. Wegen gleicher Ortswellenfunktionen beider Elektronen ist der Zustand hinsichtlich des Orts symmetrisch, hinsichtlich des Spins antisymmetrisch. Das neue Elektron stellt seinen Spin nicht einfach nur entgegengesetzt zum vorhandenen ($\left|{\leftarrow \,\rightarrow }\right\rangle$), sondern es bildet sich automatisch die richtige Verschränkung für das Singulett (lt. Formel oben). Dieser Singulettzustand ist (obwohl der Vektor anders aussieht) derselbe, der sich aus zwei Elektronen in den Zuständen $\left|\uparrow \right\rangle ,\left|\downarrow \right\rangle$ gebildet hätte.
3. Infolgedessen zeigt nun (d. h. nach Schritt 2.) die gleiche Messung wie in Nr. 1 (Extraktion von $\left|{\uparrow }\right\rangle$) eine Ausbeute von 100 %. Dieser scheinbare Widerspruch „per se“ ist mit der an makroskopischen Verhältnissen geschulten Anschauung nur verträglich, wenn beide Elektronen sich „aufgeteilt“ und mit den jeweils richtigen Hälften über Kreuz neu zusammengefügt haben könnten. ⓘ