Differentialgleichung

Visualisierung der Wärmeübertragung in einem Pumpengehäuse, erstellt durch Lösung der Wärmegleichung. Die Wärme wird im Inneren des Gehäuses erzeugt und an der Grenze abgekühlt, wodurch sich eine stationäre Temperaturverteilung ergibt. ⓘ

In der Mathematik ist eine Differentialgleichung eine Gleichung, die eine oder mehrere unbekannte Funktionen und ihre Ableitungen miteinander in Beziehung setzt. In Anwendungen stellen die Funktionen im Allgemeinen physikalische Größen dar, die Ableitungen deren Änderungsraten, und die Differentialgleichung definiert eine Beziehung zwischen den beiden. Solche Beziehungen sind weit verbreitet; daher spielen Differentialgleichungen in vielen Disziplinen wie Technik, Physik, Wirtschaft und Biologie eine wichtige Rolle. ⓘ

Das Studium der Differentialgleichungen besteht im Wesentlichen aus der Untersuchung ihrer Lösungen (die Menge der Funktionen, die jede Gleichung erfüllen) und der Eigenschaften ihrer Lösungen. Nur die einfachsten Differentialgleichungen sind durch explizite Formeln lösbar; viele Eigenschaften der Lösungen einer gegebenen Differentialgleichung können jedoch bestimmt werden, ohne sie genau zu berechnen. ⓘ

Wenn ein geschlossener Ausdruck für die Lösungen nicht verfügbar ist, können die Lösungen oft mit Hilfe von Computern numerisch angenähert werden. In der Theorie der dynamischen Systeme liegt der Schwerpunkt auf der qualitativen Analyse von Systemen, die durch Differentialgleichungen beschrieben werden, während zahlreiche numerische Methoden entwickelt wurden, um Lösungen mit einem bestimmten Genauigkeitsgrad zu bestimmen. ⓘ

Geschichte

Differentialgleichungen kamen erstmals mit der Erfindung der Infinitesimalrechnung durch Newton und Leibniz auf. In Kapitel 2 seines Werks Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum von 1671 führte Isaac Newton drei Arten von Differentialgleichungen auf:

{\begin{aligned}&{\frac {dy}{dx}}=f(x)\\[5pt]&{\frac {dy}{dx}}=f(x,y)\\[5pt]&x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}

In all diesen Fällen ist $y$ eine unbekannte Funktion von x (oder von $x 1$ und $x 2$ ), und f ist eine gegebene Funktion. ⓘ

Er löst diese und andere Beispiele mit Hilfe unendlicher Reihen und erörtert die Nicht-Eindeutigkeit der Lösungen. ⓘ

Jacob Bernoulli schlug 1695 die Bernoulli-Differentialgleichung vor. Dabei handelt es sich um eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form ⓘ

y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,

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für die Leibniz im folgenden Jahr durch Vereinfachung Lösungen fand. ⓘ

Historisch gesehen wurde das Problem einer schwingenden Saite, wie die eines Musikinstruments, von Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli und Joseph-Louis Lagrange untersucht. Im Jahr 1746 entdeckte d'Alembert die eindimensionale Wellengleichung, und zehn Jahre später entdeckte Euler die dreidimensionale Wellengleichung. ⓘ

Die Euler-Lagrange-Gleichung wurde in den 1750er Jahren von Euler und Lagrange im Zusammenhang mit ihren Studien zum Tautochronenproblem entwickelt. Dabei handelt es sich um das Problem der Bestimmung einer Kurve, auf der ein gewichtetes Teilchen in einer bestimmten Zeit zu einem festen Punkt fällt, unabhängig vom Ausgangspunkt. Lagrange löste dieses Problem im Jahr 1755 und schickte die Lösung an Euler. Beide entwickelten Lagranges Methode weiter und wandten sie auf die Mechanik an, was zur Formulierung der Lagrangeschen Mechanik führte. ⓘ

1822 veröffentlichte Fourier seine Arbeit über den Wärmestrom in Théorie analytique de la chaleur (Analytische Theorie der Wärme), in der er seine Überlegungen auf das Newtonsche Gesetz der Abkühlung stützte, wonach der Wärmestrom zwischen zwei benachbarten Molekülen proportional zu dem äußerst geringen Unterschied zwischen ihren Temperaturen ist. In diesem Buch schlug Fourier seine Wärmegleichung für die konduktive Diffusion von Wärme vor. Diese partielle Differentialgleichung wird heute von jedem Studenten der mathematischen Physik gelehrt. ⓘ

Beispiel

In der klassischen Mechanik wird die Bewegung eines Körpers durch seine Position und seine Geschwindigkeit beschrieben, während der Zeitwert variiert. Mit den Newtonschen Gesetzen lassen sich diese Variablen dynamisch (unter Berücksichtigung von Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung und verschiedenen auf den Körper wirkenden Kräften) als Differentialgleichung für die unbekannte Position des Körpers in Abhängigkeit von der Zeit ausdrücken. ⓘ

In einigen Fällen kann diese Differentialgleichung (eine sogenannte Bewegungsgleichung) explizit gelöst werden. ⓘ

Ein Beispiel für die Modellierung eines realen Problems mit Hilfe von Differentialgleichungen ist die Bestimmung der Geschwindigkeit eines Balls, der durch die Luft fällt, wobei nur die Schwerkraft und der Luftwiderstand berücksichtigt werden. Die Beschleunigung des Balls in Richtung Boden ist die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft abzüglich der Verzögerung aufgrund des Luftwiderstands. Die Schwerkraft wird als konstant angesehen, und der Luftwiderstand kann als proportional zur Geschwindigkeit des Balls modelliert werden. Dies bedeutet, dass die Beschleunigung des Balls, die eine Ableitung seiner Geschwindigkeit ist, von der Geschwindigkeit abhängt (und die Geschwindigkeit von der Zeit). Um die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit zu bestimmen, muss eine Differentialgleichung gelöst und ihre Gültigkeit überprüft werden. ⓘ

Arten

Differentialgleichungen lassen sich in mehrere Typen unterteilen. Diese Klassen von Differentialgleichungen beschreiben nicht nur die Eigenschaften der Gleichung selbst, sondern können auch bei der Wahl des Lösungsansatzes helfen. Zu den häufig verwendeten Unterscheidungen gehört, ob es sich um eine gewöhnliche oder partielle, lineare oder nichtlineare, homogene oder heterogene Gleichung handelt. Diese Liste ist bei weitem nicht erschöpfend; es gibt viele weitere Eigenschaften und Unterklassen von Differentialgleichungen, die in bestimmten Zusammenhängen sehr nützlich sein können. ⓘ

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eine gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) ist eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion einer reellen oder komplexen Variablen x, ihre Ableitungen und einige gegebene Funktionen von x enthält. Die unbekannte Funktion wird im Allgemeinen durch eine Variable (oft mit y bezeichnet) dargestellt, die daher von x abhängt. x wird daher oft als unabhängige Variable der Gleichung bezeichnet. Der Begriff "gewöhnliche" Differentialgleichung wird im Gegensatz zum Begriff partielle Differentialgleichung verwendet, die von mehr als einer unabhängigen Variablen abhängen kann. ⓘ

Lineare Differentialgleichungen sind die Differentialgleichungen, die linear in der unbekannten Funktion und ihren Ableitungen sind. Ihre Theorie ist gut entwickelt, und in vielen Fällen kann man ihre Lösungen in Form von Integralen ausdrücken. ⓘ

Die meisten ODEs, die in der Physik vorkommen, sind linear. Daher können die meisten speziellen Funktionen als Lösungen von linearen Differentialgleichungen definiert werden (siehe Holonomische Funktion). ⓘ

Da die Lösungen einer Differentialgleichung im Allgemeinen nicht in geschlossener Form ausgedrückt werden können, werden für die Lösung von Differentialgleichungen am Computer häufig numerische Methoden verwendet. ⓘ

Partielle Differentialgleichungen

Eine partielle Differentialgleichung (PDE) ist eine Differentialgleichung, die unbekannte mehrdimensionale Funktionen und deren partielle Ableitungen enthält. (Dies steht im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sich mit Funktionen einer einzigen Variablen und deren Ableitungen befassen). PDEs werden verwendet, um Probleme zu formulieren, die Funktionen mehrerer Variablen beinhalten, und werden entweder in geschlossener Form gelöst oder zur Erstellung eines entsprechenden Computermodells verwendet. ⓘ

PDEs können zur Beschreibung einer Vielzahl von Phänomenen in der Natur verwendet werden, z. B. Schall, Wärme, Elektrostatik, Elektrodynamik, Flüssigkeitsströmung, Elastizität oder Quantenmechanik. Diese scheinbar unterschiedlichen physikalischen Phänomene können in ähnlicher Weise mit Hilfe von PDEs formalisiert werden. So wie gewöhnliche Differentialgleichungen oft eindimensionale dynamische Systeme modellieren, modellieren partielle Differentialgleichungen oft mehrdimensionale Systeme. Stochastische partielle Differentialgleichungen verallgemeinern partielle Differentialgleichungen zur Modellierung des Zufalls. ⓘ

Nichtlineare Differentialgleichungen

Eine nichtlineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, die keine lineare Gleichung der unbekannten Funktion und ihrer Ableitungen ist (die Linearität oder Nichtlinearität der Argumente der Funktion wird hier nicht berücksichtigt). Es gibt nur sehr wenige Methoden, um nichtlineare Differentialgleichungen exakt zu lösen; die bekannten Verfahren hängen in der Regel davon ab, dass die Gleichung bestimmte Symmetrien aufweist. Nichtlineare Differentialgleichungen können über längere Zeiträume ein sehr kompliziertes Verhalten zeigen, das für Chaos charakteristisch ist. Selbst die grundlegenden Fragen der Existenz, Eindeutigkeit und Erweiterbarkeit von Lösungen für nichtlineare Differentialgleichungen und der Wohlgeformtheit von Anfangs- und Randwertproblemen für nichtlineare PDEs sind schwierige Probleme, und ihre Lösung in speziellen Fällen wird als bedeutender Fortschritt in der mathematischen Theorie angesehen (vgl. Existenz und Glätte von Navier-Stokes). Wenn die Differentialgleichung jedoch eine korrekt formulierte Darstellung eines sinnvollen physikalischen Prozesses ist, dann erwartet man, dass sie eine Lösung hat. ⓘ

Lineare Differentialgleichungen treten häufig als Näherungen für nichtlineare Gleichungen auf. Diese Näherungen sind nur unter eingeschränkten Bedingungen gültig. So ist beispielsweise die harmonische Oszillatorgleichung eine Annäherung an die nichtlineare Pendelgleichung, die für Schwingungen mit kleiner Amplitude gilt (siehe unten). ⓘ

Gleichungsordnung

Differentialgleichungen werden durch ihre Ordnung beschrieben, die durch den Term mit den höchsten Ableitungen bestimmt wird. Eine Gleichung, die nur die erste Ableitung enthält, ist eine Differentialgleichung erster Ordnung, eine Gleichung, die die zweite Ableitung enthält, ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, usw. Differentialgleichungen, die Naturphänomene beschreiben, enthalten fast immer nur Ableitungen erster und zweiter Ordnung. Es gibt jedoch einige Ausnahmen, wie z. B. die Dünnschichtgleichung, die eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung ist. ⓘ

Beispiele

In der ersten Gruppe von Beispielen ist u eine unbekannte Funktion von x, und c und ω sind Konstanten, die als bekannt vorausgesetzt werden. Bei gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen wird zwischen linearen und nichtlinearen Differentialgleichungen sowie zwischen homogenen und heterogenen Differentialgleichungen unterschieden. ⓘ

Heterogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung mit konstantem Koeffizienten:

{\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.

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Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:

{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.

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Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstantem Koeffizienten, die den harmonischen Oszillator beschreibt:

{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.

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Heterogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung:

{\frac {du}{dx}}=u^{2}+4.

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Nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung (aufgrund der Sinusfunktion), die die Bewegung eines Pendels der Länge L beschreibt:

L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.

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In der nächsten Gruppe von Beispielen hängt die unbekannte Funktion u von zwei Variablen x und t oder x und y ab. ⓘ

Homogene lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung:

{\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.

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Homogene lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstantem Koeffizienten vom elliptischen Typ, die Laplace-Gleichung:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.

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Homogene nichtlineare partielle Differentialgleichung dritter Ordnung :

{\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.

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Das Vorhandensein von Lösungen

Das Lösen von Differentialgleichungen ist nicht wie das Lösen von algebraischen Gleichungen. Nicht nur sind ihre Lösungen oft unklar, sondern auch die Frage, ob Lösungen eindeutig sind oder überhaupt existieren, ist von großem Interesse. ⓘ

Bei Anfangswertproblemen erster Ordnung gibt das Peano-Existenz-Theorem eine Reihe von Umständen an, unter denen eine Lösung existiert. Bei einem beliebigen Punkt $(a,b)$ in der xy-Ebene, definieren Sie einen rechteckigen Bereich $Z$ , so dass $Z=[l,m]\times [n,p]$ und $(a,b)$ im Inneren von $Z$ . Wenn wir eine Differentialgleichung gegeben sind ${\frac {dy}{dx}}=g(x,y)$ und die Bedingung, dass $y=b$ wenn $x=a$ ist, dann gibt es lokal eine Lösung dieses Problems, wenn $g(x,y)$ und ${\frac {\partial g}{\partial x}}$ beide stetig sind auf $Z$ . Diese Lösung existiert auf einem Intervall, dessen Zentrum bei $a$ . Die Lösung muss nicht eindeutig sein. (Siehe Gewöhnliche Differentialgleichung für weitere Ergebnisse). ⓘ

Dies hilft uns jedoch nur bei Anfangswertproblemen erster Ordnung. Angenommen, wir hätten ein lineares Anfangswertproblem n-ter Ordnung:

f_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)

so dass

y(x_{0})=y_{0},y'(x_{0})=y'_{0},y''(x_{0})=y''_{0},\ldots

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Für jeden Wert ungleich Null $f_{n}(x)$ , wenn $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ und $g$ auf einem Intervall kontinuierlich sind, das $x_{0}$ , $y$ eindeutig ist und existiert. ⓘ

Verbindung zu Differentialgleichungen

Die Theorie der Differentialgleichungen ist eng mit der Theorie der Differenzengleichungen verwandt, bei denen die Koordinaten nur diskrete Werte annehmen und die Beziehung zwischen den Werten der unbekannten Funktion oder Funktionen und den Werten an den benachbarten Koordinaten besteht. Viele Methoden zur Berechnung numerischer Lösungen von Differentialgleichungen oder zur Untersuchung der Eigenschaften von Differentialgleichungen beinhalten die Annäherung der Lösung einer Differentialgleichung durch die Lösung einer entsprechenden Differenzgleichung. ⓘ

Anwendungen

Die Untersuchung von Differentialgleichungen ist ein weites Feld in der reinen und angewandten Mathematik, der Physik und den Ingenieurwissenschaften. Alle diese Disziplinen befassen sich mit den Eigenschaften von Differentialgleichungen unterschiedlicher Art. Die reine Mathematik konzentriert sich auf das Vorhandensein und die Eindeutigkeit von Lösungen, während die angewandte Mathematik den Schwerpunkt auf die strenge Begründung der Methoden zur Annäherung an die Lösungen legt. Differentialgleichungen spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung praktisch aller physikalischen, technischen oder biologischen Prozesse, von der Himmelsbewegung über die Konstruktion von Brücken bis hin zu Interaktionen zwischen Neuronen. Differentialgleichungen, wie sie zur Lösung realer Probleme verwendet werden, sind nicht unbedingt direkt lösbar, d. h. sie haben keine geschlossenen Lösungen. Stattdessen können die Lösungen durch numerische Methoden angenähert werden. ⓘ

Viele grundlegende Gesetze der Physik und Chemie lassen sich als Differentialgleichungen formulieren. In der Biologie und Wirtschaft werden Differentialgleichungen verwendet, um das Verhalten komplexer Systeme zu modellieren. Die mathematische Theorie der Differentialgleichungen entwickelte sich zunächst zusammen mit den Wissenschaften, aus denen die Gleichungen stammen und in denen die Ergebnisse Anwendung fanden. Verschiedene Probleme, die manchmal aus ganz unterschiedlichen wissenschaftlichen Bereichen stammen, können jedoch zu identischen Differentialgleichungen führen. In diesem Fall kann die den Gleichungen zugrunde liegende mathematische Theorie als vereinheitlichendes Prinzip hinter den verschiedenen Phänomenen betrachtet werden. Ein Beispiel ist die Ausbreitung von Licht und Schall in der Atmosphäre oder von Wellen auf der Oberfläche eines Teichs. Alle diese Phänomene können durch dieselbe partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die Wellengleichung, beschrieben werden, die es uns ermöglicht, Licht und Schall als Wellenformen zu betrachten, ähnlich wie die bekannten Wellen im Wasser. Die Wärmeleitung, deren Theorie von Joseph Fourier entwickelt wurde, wird durch eine andere partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung bestimmt, die Wärmegleichung. Es stellt sich heraus, dass viele Diffusionsprozesse, obwohl sie scheinbar unterschiedlich sind, durch dieselbe Gleichung beschrieben werden; die Black-Scholes-Gleichung im Finanzwesen ist beispielsweise mit der Wärmegleichung verwandt. ⓘ

Die Anzahl der Differentialgleichungen, die in verschiedenen wissenschaftlichen Bereichen einen Namen erhalten haben, zeugt von der Bedeutung des Themas. Siehe Liste der benannten Differentialgleichungen. ⓘ

Eine Vielzahl von Phänomenen in Natur und Technik kann durch Differentialgleichungen und darauf aufbauende mathematische Modelle beschrieben werden. Einige typische Beispiele sind:

Vielen physikalischen Theorien liegen Differentialgleichungen zu Grunde: Bewegungsgleichungen oder Schwingungen in der newtonschen Mechanik, das Belastungsverhalten von Bauteilen, die Elektrodynamik wird von den Maxwell-Gleichungen, die Quantenmechanik von der Schrödingergleichung beherrscht.
in der Astronomie die Bahnen der Himmelskörper und die Turbulenzen im Innern der Sonne,
in der Biologie etwa Prozesse bei Wachstum, bei Strömungen oder in Muskeln, oder in der Evolutionstheorie.
in der Chemie die Kinetik von Reaktionen,
in der Elektrotechnik das Verhalten von Netzwerken mit energiespeichernden Elementen,
in der Differentialgeometrie das Verhalten von Flächen,
in der Strömungsmechanik das Verhalten ebendieser Strömungen,
in der Ökonomie die Analyse von wirtschaftlichen Wachstumsprozessen (Wachstumstheorie).
in der Informatik beispielsweise das Image-Inpainting (das Herausrechnen von Schrift oder Logos aus Bildern) ⓘ

Software

Einige CAS-Software kann Differentialgleichungen lösen. Diese CAS-Software und ihre Befehle sind erwähnenswert:

Maple: dsolve
Mathematica: DSolve[]
SageMath: desolve()
Xcas: desolve(y'=k*y,y) ⓘ

Typen von Differentialgleichungen

Man unterscheidet verschiedene Typen von Differentialgleichungen. Ganz grob unterteilen sie sich in die folgenden Teilgebiete. Alle der folgenden Typen können im Wesentlichen unabhängig und gleichzeitig nebeneinander auftreten. ⓘ

Systeme von Differentialgleichungen

Man spricht von einem System von Differentialgleichungen, wenn $y=(y_{1},\ldots ,y_{k})$ eine vektorwertige Abbildung ist und mehrere Gleichungen ⓘ

F_{l}\left(x,y,Dy,\ldots ,D^{n}y\right)=0,\qquad l=1,\ldots ,k.

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gleichzeitig zu erfüllen sind. Lässt sich dieses implizite Differentialgleichungssystem nicht überall lokal in ein explizites System umwandeln, so handelt es sich um eine Algebro-Differentialgleichung. ⓘ

Problemstellungen

Differentialgleichungen sind im Allgemeinen nicht eindeutig lösbar, sondern benötigen dazu Anfangs- oder Randwerte. Im Bereich der partiellen Differentialgleichungen können auch sogenannte Anfangsrandwertprobleme auftreten. ⓘ

Grundsätzlich wird bei Anfangs- oder Anfangsrandwertproblemen eine der Veränderlichen als Zeit interpretiert. Bei diesen Problemen werden gewisse Daten zu einem gewissen Zeitpunkt, nämlich dem Anfangszeitpunkt, vorgeschrieben. ⓘ

Bei den Randwert- oder Anfangsrandwertproblemen wird eine Lösung der Differentialgleichung in einem beschränkten oder unbeschränkten Gebiet gesucht und wir stellen als Daten sogenannte Randwerte, welche eben auf dem Rand des Gebietes gegeben sind. Je nach Art der Randbedingungen unterscheidet man weitere Typen von Differentialgleichungen, etwa Dirichlet-Probleme oder Neumann-Probleme. ⓘ

Lösungsmethoden

Auf Grund der Vielfältigkeiten sowohl bei den eigentlichen Differentialgleichungen als auch bei den Problemstellungen ist es nicht möglich, eine allgemein gültige Lösungsmethodik anzugeben. Lediglich explizite gewöhnliche Differentialgleichungen können mit einer geschlossenen Theorie gelöst werden. Eine Differentialgleichung nennt man integrabel, wenn es möglich ist, sie analytisch zu lösen, also eine Lösungsfunktion (das Integral) anzugeben. Sehr viele mathematische Probleme, insbesondere nichtlineare und partielle Differentialgleichungen, sind nicht integrabel, darunter schon ganz einfach erscheinende wie die des Dreikörperproblems, des Doppelpendels oder der meisten Kreiseltypen. ⓘ

Approximative Methoden

Differentialgleichungen haben als Lösung Funktionen, die Bedingungen an ihre Ableitungen erfüllen. Eine Approximation geschieht meist, indem Raum und Zeit durch ein Rechengitter in endlich viele Teile zerlegt werden (Diskretisierung). Die Ableitungen werden dann nicht mehr durch einen Grenzwert dargestellt, sondern durch Differenzen approximiert. In der numerischen Mathematik wird der dadurch entstandene Fehler analysiert und möglichst gut abgeschätzt. ⓘ

Je nach Art der Gleichung werden unterschiedliche Diskretisierungsansätze gewählt, bei partiellen Differentialgleichungen etwa Finite-Differenzen-Verfahren, Finite-Volumen-Verfahren oder Finite-Elemente-Verfahren. ⓘ

Die diskretisierte Differentialgleichung enthält keine Ableitungen mehr, sondern nur noch rein algebraische Ausdrücke. Damit ergibt sich entweder eine direkte Lösungsvorschrift oder ein lineares oder nichtlineares Gleichungssystem, welches dann mittels numerischer Verfahren gelöst werden kann. ⓘ

Höhere Abstraktionsebenen

Differentialgleichungen oder Differentialgleichungssysteme setzen voraus, dass ein System in algebraischer Form beschrieben und quantifiziert werden kann. Weiterhin, dass die beschreibenden Funktionen zumindest in den interessierenden Bereichen differenzierbar sind. Im naturwissenschaftlich-technischen Umfeld sind diese Voraussetzungen zwar häufig gegeben, in vielen Fällen sind sie aber nicht erfüllt. Dann kann die Struktur eines Systems nur auf einer höheren Abstraktions-Ebene beschrieben werden. Siehe hierzu in der Reihenfolge ansteigender Abstraktion:

Systemtheorie
Ontologie (Informatik)
Ontologie (Philosophie)
Formale Begriffsanalyse (Mathematik)
Ordnungsrelation (Mathematik) ⓘ