Quantenverschränkung

Ein spontaner parametrischer Abwärtsumwandlungsprozess kann Photonen in Photonenpaare vom Typ II mit zueinander senkrechter Polarisation aufspalten. ⓘ

Quantenverschränkung ist das physikalische Phänomen, das auftritt, wenn eine Gruppe von Teilchen erzeugt wird, miteinander interagiert oder sich in räumlicher Nähe befindet, so dass der Quantenzustand jedes Teilchens der Gruppe nicht unabhängig vom Zustand der anderen Teilchen beschrieben werden kann, auch wenn die Teilchen durch eine große Entfernung getrennt sind. Das Thema der Quantenverschränkung steht im Mittelpunkt der Unterschiede zwischen klassischer und Quantenphysik: Die Verschränkung ist ein Hauptmerkmal der Quantenmechanik, das in der klassischen Mechanik fehlt. ⓘ

Messungen von physikalischen Eigenschaften wie Position, Impuls, Spin und Polarisation, die an verschränkten Teilchen durchgeführt werden, können in einigen Fällen als perfekt korreliert angesehen werden. Wenn beispielsweise ein Paar verschränkter Teilchen so erzeugt wird, dass ihr Gesamtspin bekanntlich gleich Null ist, und ein Teilchen auf einer ersten Achse einen Spin im Uhrzeigersinn aufweist, dann wird der Spin des anderen Teilchens, gemessen auf derselben Achse, als gegen den Uhrzeigersinn gerichtet festgestellt. Dieses Verhalten führt jedoch zu scheinbar paradoxen Effekten: Jede Messung der Eigenschaften eines Teilchens führt zu einem irreversiblen Kollaps der Wellenfunktion dieses Teilchens und verändert den ursprünglichen Quantenzustand. Bei verschränkten Teilchen wirken sich solche Messungen auf das verschränkte System als Ganzes aus. ⓘ

Solche Phänomene waren 1935 Gegenstand einer Arbeit von Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen und kurz darauf mehrerer Arbeiten von Erwin Schrödinger, in denen beschrieben wurde, was als EPR-Paradoxon bekannt wurde. Einstein und andere hielten ein solches Verhalten für unmöglich, da es gegen die Auffassung des lokalen Realismus von Kausalität verstieß (Einstein bezeichnete es als "spukhafte Fernwirkung"), und argumentierten, dass die akzeptierte Formulierung der Quantenmechanik daher unvollständig sein müsse. ⓘ

Später wurden die kontraintuitiven Vorhersagen der Quantenmechanik jedoch in Tests verifiziert, bei denen die Polarisation oder der Spin von verschränkten Teilchen an verschiedenen Orten gemessen wurde, wodurch die Bellsche Ungleichung statistisch verletzt wurde. Bei früheren Tests konnte nicht ausgeschlossen werden, dass das Ergebnis an einem Punkt auf subtile Weise auf den entfernten Punkt übertragen wurde und das Ergebnis am zweiten Ort beeinflusste. Es wurden jedoch so genannte "lückenlose" Bell-Tests durchgeführt, bei denen die Orte so weit voneinander entfernt waren, dass die Kommunikation mit Lichtgeschwindigkeit länger - in einem Fall 10.000-mal länger - gedauert hätte als der Abstand zwischen den Messungen. ⓘ

Nach einigen Interpretationen der Quantenmechanik tritt die Wirkung einer Messung sofort ein. Andere Interpretationen, die den Kollaps der Wellenfunktion nicht anerkennen, bestreiten, dass es überhaupt eine "Wirkung" gibt. Alle Interpretationen stimmen jedoch darin überein, dass die Verschränkung eine Korrelation zwischen den Messungen hervorruft und dass die gegenseitige Information zwischen den verschränkten Teilchen ausgenutzt werden kann, dass aber eine Übertragung von Informationen mit Überlichtgeschwindigkeit unmöglich ist. ⓘ

Die Quantenverschränkung wurde experimentell mit Photonen, Neutrinos, Elektronen, Molekülen von der Größe eines Buckyballs und sogar kleinen Diamanten nachgewiesen. Die Nutzung der Verschränkung in der Kommunikation, bei Berechnungen und im Quantenradar ist ein sehr aktiver Bereich der Forschung und Entwicklung. ⓘ

Von Verschränkung spricht man in der Quantenphysik, wenn ein zusammengesetztes physikalisches System, z. B. ein System mit mehreren Teilchen, als Ganzes betrachtet einen wohldefinierten Zustand einnimmt, ohne dass man auch jedem der Teilsysteme einen eigenen wohldefinierten Zustand zuordnen kann. ⓘ

Im Bereich der klassischen Physik kann es dieses Phänomen nicht geben. Dort sind zusammengesetzte Systeme stets separabel, das heißt, jedes Teilsystem hat zu jeder Zeit einen bestimmten Zustand, der sein jeweiliges Verhalten bestimmt, wobei die Gesamtheit der Zustände der einzelnen Teilsysteme und deren Zusammenwirken das Verhalten des Gesamtsystems vollständig erklärt. In einem quantenphysikalisch verschränkten Zustand des Systems besitzen hingegen die Teilsysteme mehrere ihrer möglichen Zustände nebeneinander, wobei jedem dieser Zustände eines Teilsystems ein anderer Zustand der übrigen Teilsysteme zugeordnet ist. Um das Verhalten des Gesamtsystems richtig erklären zu können, muss man alle diese nebeneinander bestehenden Möglichkeiten zusammen betrachten. Dennoch zeigt jedes Teilsystem, wenn eine Messung an ihm durchgeführt wird, immer nur eine dieser Möglichkeiten, wobei die Wahrscheinlichkeit, dass gerade dieses Ergebnis auftritt, durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmt ist. Messergebnisse an mehreren verschränkten Teilsystemen sind miteinander korreliert, das heißt, je nach dem Ergebnis der Messung an einem Teilsystem liegt für die möglichen Messergebnisse an den anderen Teilsystemen eine veränderte Wahrscheinlichkeitsverteilung vor. Diese durch Quantenverschränkung erzeugten Korrelationen werden auch als Quantenkorrelationen bezeichnet. ⓘ

Geschichte

Artikelüberschrift zum Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon (EPR-Paradoxon) in der Ausgabe der New York Times vom 4. Mai 1935. ⓘ

Die kontraintuitiven Vorhersagen der Quantenmechanik über stark korrelierte Systeme wurden erstmals von Albert Einstein im Jahr 1935 in einer gemeinsamen Arbeit mit Boris Podolsky und Nathan Rosen diskutiert. In dieser Studie formulierten die drei das Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon (EPR-Paradoxon), ein Gedankenexperiment, mit dem sie zu zeigen versuchten, dass "die quantenmechanische Beschreibung der physikalischen Realität durch Wellenfunktionen nicht vollständig ist". Die drei Wissenschaftler prägten jedoch weder das Wort Verschränkung, noch verallgemeinerten sie die besonderen Eigenschaften des von ihnen betrachteten Zustands. Im Anschluss an die EPR-Veröffentlichung schrieb Erwin Schrödinger einen Brief an Einstein, in dem er das Wort Verschränkung (von ihm selbst mit Verschränkung übersetzt) verwendete, "um die Korrelationen zwischen zwei Teilchen zu beschreiben, die miteinander wechselwirken und sich dann trennen, wie im EPR-Experiment". ⓘ

Kurz darauf veröffentlichte Schrödinger eine bahnbrechende Arbeit, in der er den Begriff "Verschränkung" definierte und erörterte. Darin erkannte er die Bedeutung des Konzepts und erklärte: "Ich würde [die Verschränkung] nicht als eine, sondern als die charakteristische Eigenschaft der Quantenmechanik bezeichnen, die ihre gesamte Abkehr von den klassischen Gedankengängen erzwingt." Wie Einstein war auch Schrödinger mit dem Konzept der Verschränkung unzufrieden, da es die in der Relativitätstheorie implizierte Geschwindigkeitsbegrenzung für die Übertragung von Informationen zu verletzen schien. Einstein spottete später über die Verschränkung als "spukhafte Fernwirkung". ⓘ

Das EPR-Papier erregte großes Interesse unter den Physikern und regte viele Diskussionen über die Grundlagen der Quantenmechanik an (am bekanntesten ist vielleicht Bohms Interpretation der Quantenmechanik), führte aber nur zu relativ wenigen weiteren Veröffentlichungen. Trotz des Interesses wurde die Schwachstelle in der EPR-Argumentation erst 1964 entdeckt, als John Stewart Bell nachwies, dass eine ihrer wichtigsten Annahmen, das Lokalitätsprinzip, bei Anwendung auf die von EPR erhoffte Interpretation verborgener Variablen mathematisch nicht mit den Vorhersagen der Quantentheorie vereinbar ist. ⓘ

Insbesondere wies Bell eine Obergrenze für die Stärke von Korrelationen nach, die in jeder Theorie, die dem Lokalitätsprinzip gehorcht, erzeugt werden können, und zeigte, dass die Quantentheorie für bestimmte verschränkte Systeme Verletzungen dieser Obergrenze vorhersagt (siehe Bellsche Ungleichung). Seine Ungleichung ist experimentell überprüfbar, und es wurden zahlreiche einschlägige Experimente durchgeführt, angefangen mit der Pionierarbeit von Stuart Freedman und John Clauser im Jahr 1972 und den Experimenten von Alain Aspect im Jahr 1982. Ein früher experimenteller Durchbruch war Carl Kocher zu verdanken, der bereits 1967 eine Apparatur vorstellte, in der zwei Photonen, die nacheinander von einem Kalziumatom emittiert wurden, als verschränkt nachgewiesen werden konnten - der erste Fall von verschränktem sichtbaren Licht. Die beiden Photonen passierten diametral angeordnete parallele Polarisatoren mit höherer Wahrscheinlichkeit als klassisch vorhergesagt, aber mit Korrelationen in quantitativer Übereinstimmung mit quantenmechanischen Berechnungen. Er zeigte auch, dass die Korrelation nur mit dem Winkel zwischen den Polarisatoren (als Kosinusquadrat) variiert und exponentiell mit dem zeitlichen Abstand zwischen den emittierten Photonen abnimmt. Kochers Apparatur, die mit besseren Polarisatoren ausgestattet war, wurde von Freedman und Clauser verwendet, die die Kosinus-Quadrat-Abhängigkeit bestätigen und damit eine Verletzung der Bell'schen Ungleichung für eine Reihe von festen Winkeln nachweisen konnten. Alle diese Experimente haben eher eine Übereinstimmung mit der Quantenmechanik als mit dem Prinzip des lokalen Realismus gezeigt. ⓘ

Jahrzehntelang hatte jedes dieser Experimente mindestens ein Schlupfloch offen gelassen, durch das man die Gültigkeit der Ergebnisse in Frage stellen konnte. Im Jahr 2015 wurde jedoch ein Experiment durchgeführt, das gleichzeitig die Lücken bei der Detektion und der Lokalität schloss und als "schlupflochfrei" angekündigt wurde; dieses Experiment schloss eine große Klasse von Theorien des lokalen Realismus mit Sicherheit aus. Alain Aspect merkt an, dass das "Schlupfloch der Einstellungsunabhängigkeit" - das er als "weit hergeholt" bezeichnet, aber dennoch ein "Restschlupfloch" ist, das "nicht ignoriert werden kann" - noch geschlossen werden muss, und dass das Schlupfloch des freien Willens/der Überdeterminiertheit nicht geschlossen werden kann; er sagt: "Kein Experiment, so ideal es auch sein mag, kann als völlig schlupflochfrei bezeichnet werden." ⓘ

Bells Arbeit eröffnete die Möglichkeit, diese superstarken Korrelationen als Ressource für die Kommunikation zu nutzen. Sie führte 1984 zur Entdeckung von Quantenschlüsselverteilungsprotokollen, von denen BB84 von Charles H. Bennett und Gilles Brassard und E91 von Artur Ekert am bekanntesten sind. Obwohl BB84 keine Verschränkung verwendet, nutzt Ekerts Protokoll die Verletzung einer Bellschen Ungleichung als Sicherheitsnachweis. ⓘ

Viele Wissenschaftler führten dies irrtümlicherweise auf noch unbekannte, deterministische „verborgene Variablen“ zurück, die sowohl dem lokalen Realismus unterworfen seien als auch alle Quantenphänomene erklären könnten. Doch 1964 zeigte John Stewart Bell theoretisch, dass man diese Frage experimentell entscheiden kann. Nach der Bellschen Ungleichung können die Korrelationen durch Quantenverschränkung stärker sein als mit einer beliebigen lokal-realistischen Theorie mit verborgenen Variablen zu erklären wäre. Dies wurde durch Experimente bestätigt, sodass die Quantenverschränkung heute als physikalisches Phänomen anerkannt ist (bis auf wenige Abweichler). Von Bell stammt auch die Veranschaulichung von Verschränkung und EPR-Effekt anhand des Vergleichs mit „Bertlmanns Socken“. ⓘ

2008 wurde von der Gruppe um Nicolas Gisin in einem Experiment überdies eine untere Grenze für die Geschwindigkeit einer angenommenen „spukhaften Fernwirkung“ gesetzt: Demnach müssten zwei Photonen, die bezüglich der Polarisation verschränkt waren, mit wenigstens 10.000-facher Lichtgeschwindigkeit kommunizieren, wenn sie denn das Messergebnis der Polarisation an einem Photon an das andere senden würden. So eine Kommunikation würde der Relativitätstheorie eklatant widersprechen und unter anderem bedeuten, dass Zeitschleifen möglich sind. ⓘ

Konzept

Bedeutung der Verschränkung

Ein verschränktes System ist definiert als ein System, dessen Quantenzustand nicht als Produkt der Zustände seiner lokalen Bestandteile faktorisiert werden kann, d. h. es handelt sich nicht um einzelne Teilchen, sondern um ein untrennbares Ganzes. Bei der Verschränkung kann eine Komponente nicht vollständig beschrieben werden, ohne die andere(n) zu berücksichtigen. Der Zustand eines zusammengesetzten Systems lässt sich immer als Summe oder Superposition von Produkten der Zustände lokaler Komponenten ausdrücken; es ist verschränkt, wenn diese Summe nicht als einzelner Produktterm geschrieben werden kann. ⓘ

Quantensysteme können durch verschiedene Arten von Wechselwirkungen verschränkt werden. Einige Möglichkeiten, wie die Verschränkung für experimentelle Zwecke erreicht werden kann, sind im Abschnitt über Methoden beschrieben. Die Verschränkung wird gebrochen, wenn die verschränkten Teilchen durch Wechselwirkung mit der Umgebung entkohärent werden, z. B. wenn eine Messung durchgeführt wird. ⓘ

Ein Beispiel für Verschränkung: Ein subatomares Teilchen zerfällt in ein verschränktes Paar anderer Teilchen. Die Zerfallsereignisse gehorchen den verschiedenen Erhaltungsgesetzen, so dass die Messergebnisse des einen Tochterteilchens in hohem Maße mit den Messergebnissen des anderen Tochterteilchens korreliert sein müssen (so dass die Gesamtimpulse, Drehimpulse, Energie usw. vor und nach diesem Prozess in etwa gleich bleiben). Zum Beispiel könnte ein Spin-Null-Teilchen in ein Paar von Spin-1/2-Teilchen zerfallen. Da der Gesamtspin vor und nach diesem Zerfall gleich Null sein muss (Drehimpulserhaltung), wird immer dann, wenn das erste Teilchen mit aufwärts gerichtetem Spin auf einer Achse gemessen wird, das andere Teilchen mit abwärts gerichtetem Spin gefunden, wenn es auf derselben Achse gemessen wird. (Dies wird als antikorrelierter Fall bezeichnet, und wenn die Wahrscheinlichkeiten für die Messung jedes Spins gleich sind, befindet sich das Paar im Singulett-Zustand). ⓘ

Das obige Ergebnis mag als überraschend empfunden werden oder nicht. Ein klassisches System würde die gleiche Eigenschaft aufweisen, und eine Theorie der verborgenen Variablen (siehe unten) wäre sicherlich erforderlich, um dies zu tun, basierend auf der Erhaltung des Drehimpulses sowohl in der klassischen als auch in der Quantenmechanik. Der Unterschied besteht darin, dass ein klassisches System von Anfang an bestimmte Werte für alle Beobachtungsgrößen hat, während dies bei einem Quantensystem nicht der Fall ist. In einem weiter unten zu erörternden Sinne scheint das hier betrachtete Quantensystem eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Ergebnis einer Messung des Spins entlang einer beliebigen Achse des anderen Teilchens nach der Messung des ersten Teilchens zu erhalten. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung unterscheidet sich im Allgemeinen von derjenigen, die sie ohne Messung des ersten Teilchens wäre. Bei räumlich getrennten, verschränkten Teilchen kann dies durchaus als überraschend empfunden werden. ⓘ

Paradox

Das Paradoxon besteht darin, dass eine Messung an einem der Teilchen den Zustand des gesamten verschränkten Systems scheinbar kollabieren lässt - und zwar augenblicklich, bevor irgendeine Information über das Messergebnis an das andere Teilchen übermittelt werden konnte (unter der Annahme, dass sich Informationen nicht schneller als das Licht bewegen können) und somit das "richtige" Ergebnis der Messung des anderen Teils des verschränkten Paares gesichert war. In der Kopenhagener Deutung ist das Ergebnis einer Spinmessung an einem der Teilchen ein Zusammenbruch in einen Zustand, in dem jedes Teilchen einen bestimmten Spin (entweder nach oben oder nach unten) entlang der Messachse hat. Das Ergebnis wird als zufällig angesehen, wobei jede Möglichkeit eine Wahrscheinlichkeit von 50 % hat. Werden jedoch beide Spins entlang der gleichen Achse gemessen, so stellt sich heraus, dass sie antikorreliert sind. Das bedeutet, dass das zufällige Ergebnis der Messung des einen Teilchens anscheinend auf das andere übertragen wurde, so dass es die "richtige Wahl" treffen kann, wenn es ebenfalls gemessen wird. ⓘ

Der Abstand und der Zeitpunkt der Messungen können so gewählt werden, dass das Intervall zwischen den beiden Messungen raumähnlich ist, so dass sich jede kausale Wirkung, die die Ereignisse verbindet, schneller als das Licht bewegen müsste. Nach den Grundsätzen der Speziellen Relativitätstheorie ist es nicht möglich, dass sich eine Information zwischen zwei solchen Messereignissen bewegt. Es ist nicht einmal möglich zu sagen, welche der Messungen zuerst erfolgte. Für zwei räumlich getrennte Ereignisse x₁ und x₂ gibt es Inertialsysteme, in denen x₁ das erste ist und andere, in denen x₂ das erste ist. Daher kann die Korrelation zwischen den beiden Messungen nicht so erklärt werden, dass eine Messung die andere bestimmt: Verschiedene Beobachter würden sich über die Rolle von Ursache und Wirkung nicht einig sein. ⓘ

(Tatsächlich können ähnliche Paradoxien auch ohne Verschränkung auftreten: Die Position eines einzelnen Teilchens ist über den Raum verteilt, und zwei weit voneinander entfernte Detektoren, die versuchen, das Teilchen an zwei verschiedenen Orten zu erfassen, müssen augenblicklich eine entsprechende Korrelation herstellen, damit sie das Teilchen nicht beide erfassen). ⓘ

Theorie der verborgenen Variablen

Eine mögliche Lösung des Paradoxons ist die Annahme, dass die Quantentheorie unvollständig ist und das Ergebnis von Messungen von vorher festgelegten "verborgenen Variablen" abhängt. Der Zustand der gemessenen Teilchen enthält einige verborgene Variablen, deren Werte bereits im Moment der Trennung bestimmen, wie die Ergebnisse der Spin-Messungen ausfallen werden. Dies würde bedeuten, dass jedes Teilchen alle erforderlichen Informationen mit sich trägt und zum Zeitpunkt der Messung nichts von einem Teilchen zum anderen übertragen werden muss. Einstein und andere (siehe vorheriger Abschnitt) glaubten ursprünglich, dass dies der einzige Ausweg aus dem Paradoxon sei und dass die akzeptierte quantenmechanische Beschreibung (mit einem zufälligen Messergebnis) unvollständig sein müsse. ⓘ

Verstöße gegen die Bellsche Ungleichung

Die Theorien der lokalen verborgenen Variablen versagen jedoch, wenn Messungen des Spins von verschränkten Teilchen entlang verschiedener Achsen betrachtet werden. Wenn eine große Anzahl von Paaren solcher Messungen durchgeführt wird (an einer großen Anzahl von Paaren verschränkter Teilchen), dann würden die Ergebnisse statistisch gesehen immer die Bellsche Ungleichung erfüllen, wenn die Sichtweise der lokalen Realisten oder der versteckten Variablen korrekt wäre. Eine Reihe von Experimenten hat in der Praxis gezeigt, dass die Bellsche Ungleichung nicht erfüllt ist. Vor 2015 gab es jedoch bei all diesen Experimenten Schlupflöcher, die von der Gemeinschaft der Physiker als die wichtigsten angesehen wurden. Wenn die Messungen der verschränkten Teilchen in sich bewegenden relativistischen Bezugsrahmen durchgeführt werden, in denen jede Messung (in ihrem eigenen relativistischen Zeitrahmen) vor der anderen erfolgt, bleiben die Messergebnisse korreliert. ⓘ

Das grundlegende Problem bei der Messung des Spins entlang verschiedener Achsen besteht darin, dass diese Messungen nicht gleichzeitig bestimmte Werte annehmen können - sie sind inkompatibel in dem Sinne, dass die maximale gleichzeitige Genauigkeit dieser Messungen durch die Unschärferelation eingeschränkt ist. Dies steht im Gegensatz zur klassischen Physik, in der eine beliebige Anzahl von Eigenschaften gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit gemessen werden kann. Es wurde mathematisch bewiesen, dass kompatible Messungen keine die Bellsche Ungleichung verletzenden Korrelationen aufweisen können, so dass die Verschränkung ein grundlegend nichtklassisches Phänomen ist. ⓘ

Bemerkenswerte experimentelle Ergebnisse zum Nachweis der Quantenverschränkung

Das erste Experiment, das Einsteins spukhafte Fernwirkung oder die Verschränkung nachwies, wurde 1949 von Chien-Shiung Wu und einem Kollegen namens I. Shaknov in einem Labor erfolgreich bestätigt und am Neujahrstag 1950 veröffentlicht. Das Ergebnis bewies insbesondere die Quantenkorrelationen eines Photonenpaares. In Experimenten aus den Jahren 2012 und 2013 wurde eine Polarisationskorrelation zwischen Photonen erzeugt, die zeitlich nie zusammen existierten. Die Autoren behaupteten, dass dieses Ergebnis durch Verschränkungstausch zwischen zwei Paaren verschränkter Photonen nach Messung der Polarisation eines Photons des ersten Paares erzielt wurde und dass es beweist, dass Quanten-Nichtlokalität nicht nur für den Raum, sondern auch für die Zeit gilt. ⓘ

In drei unabhängigen Experimenten wurde 2013 gezeigt, dass klassisch kommunizierte trennbare Quantenzustände dazu verwendet werden können, verschränkte Zustände zu übertragen. Der erste lückenlose Bell-Test wurde 2015 an der TU Delft durchgeführt und bestätigte die Verletzung der Bell-Ungleichung. ⓘ

Im August 2014 gelang es der brasilianischen Forscherin Gabriela Barreto Lemos und ihrem Team, mit Photonen, die nicht mit den Objekten wechselwirkten, aber mit Photonen, die mit diesen Objekten wechselwirkten, verschränkt waren, "Bilder" von Objekten zu machen. Lemos von der Universität Wien ist zuversichtlich, dass diese neue Quanten-Bildgebungstechnik überall dort Anwendung finden könnte, wo Bildgebung bei schwachem Licht unerlässlich ist, etwa in der biologischen oder medizinischen Bildgebung. ⓘ

Seit 2016 haben verschiedene Unternehmen wie IBM, Microsoft usw. erfolgreich Quantencomputer entwickelt und es Entwicklern und Technikbegeisterten ermöglicht, offen mit Konzepten der Quantenmechanik einschließlich der Quantenverschränkung zu experimentieren. ⓘ

Das Mysterium der Zeit

Es gibt Vorschläge, das Konzept der Zeit als ein emergentes Phänomen zu betrachten, das eine Nebenwirkung der Quantenverschränkung ist. Mit anderen Worten: Die Zeit ist ein Verschränkungsphänomen, das alle gleichen Uhrenablesungen (von korrekt vorbereiteten Uhren oder von beliebigen Objekten, die als Uhren verwendet werden können) in dieselbe Geschichte einordnet. Dies wurde erstmals 1983 von Don Page und William Wootters vollständig theoretisiert. Die Wheeler-DeWitt-Gleichung, die die allgemeine Relativitätstheorie und die Quantenmechanik miteinander verbindet, indem sie die Zeit ganz weglässt, wurde in den 1960er Jahren eingeführt und 1983 wieder aufgegriffen, als Page und Wootters eine Lösung auf der Grundlage der Quantenverschränkung entwickelten. Page und Wootters argumentierten, dass die Verschränkung zur Messung der Zeit verwendet werden kann. ⓘ

Emergente Schwerkraft

Auf der Grundlage der AdS/CFT-Korrespondenz schlug Mark Van Raamsdonk vor, dass die Raumzeit als ein emergentes Phänomen der Quantenfreiheitsgrade entsteht, die verschränkt sind und an der Grenze der Raumzeit leben. Die induzierte Schwerkraft kann aus dem ersten Gesetz der Verschränkung hervorgehen. ⓘ

Nichtlokalität und Verschränkung

In den Medien und in der Populärwissenschaft wird die Nichtlokalität der Quanten oft als gleichwertig mit der Verschränkung dargestellt. Während dies für reine zweiseitige Quantenzustände zutrifft, ist Verschränkung im Allgemeinen nur für nichtlokale Korrelationen notwendig, aber es gibt gemischte verschränkte Zustände, die keine solchen Korrelationen erzeugen. Ein bekanntes Beispiel sind die Werner-Zustände, die für bestimmte Werte von $p_{sym}$verschränkt sind, aber immer mit lokalen verborgenen Variablen beschrieben werden können. Außerdem wurde gezeigt, dass es für eine beliebige Anzahl von Teilchen Zustände gibt, die wirklich verschränkt sind, aber ein lokales Modell zulassen. Die genannten Beweise für die Existenz lokaler Modelle gehen davon aus, dass jeweils nur eine Kopie des Quantenzustands vorhanden ist. Erlaubt man den Teilchen, lokale Messungen an vielen Kopien solcher Zustände durchzuführen, dann können viele scheinbar lokale Zustände (z. B. die Qubit-Werner-Zustände) nicht mehr durch ein lokales Modell beschrieben werden. Dies gilt insbesondere für alle destillierbaren Zustände. Es bleibt jedoch eine offene Frage, ob alle verschränkten Zustände bei ausreichend vielen Kopien nichtlokal werden. ⓘ

Kurz gesagt, die Verschränkung eines von zwei Teilchen geteilten Zustands ist notwendig, aber nicht ausreichend, damit dieser Zustand nichtlokal ist. Es ist wichtig zu erkennen, dass Verschränkung eher als algebraisches Konzept betrachtet wird, das als Voraussetzung für Nichtlokalität sowie für Quantenteleportation und superdichte Kodierung gilt, während Nichtlokalität nach experimenteller Statistik definiert wird und viel mehr mit den Grundlagen und Interpretationen der Quantenmechanik zu tun hat. ⓘ

Quantenmechanischer Rahmen

Die folgenden Unterabschnitte richten sich an diejenigen, die über gute Kenntnisse der formalen, mathematischen Beschreibung der Quantenmechanik verfügen, einschließlich der Vertrautheit mit dem Formalismus und dem theoretischen Rahmen, die in den Artikeln entwickelt werden: Bra-Ket-Notation und mathematische Formulierung der Quantenmechanik. ⓘ

Reine Zustände

Man betrachte zwei beliebige Quantensysteme A und B mit den jeweiligen Hilberträumen H_A und H_B. Der Hilbert-Raum des zusammengesetzten Systems ist das Tensorprodukt ⓘ

$H_{A}\otimes H_{B}.$ ⓘ

Befindet sich das erste System im Zustand $|\psi \rangle _{A}$ und das zweite im Zustand $|\phi \rangle _{B}$so ist der Zustand des zusammengesetzten Systems ⓘ

$|\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}.$ ⓘ

Zustände des zusammengesetzten Systems, die sich in dieser Form darstellen lassen, werden als trennbare Zustände oder Produktzustände bezeichnet. ⓘ

Nicht alle Zustände sind trennbare Zustände (und damit Produktzustände). Legen Sie eine Basis $\{|i\rangle _{A}\}$ für H_A und eine Basis $\{|j\rangle _{B}\}$ für H_B. Der allgemeinste Zustand in H_A ⊗ H_B ist von der Form ⓘ

$|\psi \rangle _{AB}=\sum _{i,j}c_{ij}|i\rangle _{A}\otimes |j\rangle _{B}$. ⓘ

Dieser Zustand ist trennbar, wenn es Vektoren gibt $[c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]$ so dass $c_{ij}=c_{i}^{A}c_{j}^{B},$ die ergeben ${\textstyle |\psi \rangle _{A}=\sum _{i}c_{i}^{A}|i\rangle _{A}}$ und ${\textstyle |\phi \rangle _{B}=\sum _{j}c_{j}^{B}|j\rangle _{B}.}$ Er ist untrennbar, wenn für beliebige Vektoren $[c_{i}^{A}],[c_{j}^{B}]$ mindestens für ein Koordinatenpaar $c_{i}^{A},c_{j}^{B}$ haben wir $c_{ij}\neq c_{i}^{A}c_{j}^{B}.$ Wenn ein Zustand untrennbar ist, nennt man ihn einen "verschränkten Zustand". ⓘ

Zum Beispiel, wenn zwei Basisvektoren $\{|0\rangle _{A},|1\rangle _{A}\}$ von H_A und zwei Basisvektoren $\{|0\rangle _{B},|1\rangle _{B}\}$ von H_B ist der folgende Zustand ein verschränkter Zustand:

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right).$ ⓘ

Wenn sich das zusammengesetzte System in diesem Zustand befindet, ist es unmöglich, entweder dem System A oder dem System B einen bestimmten reinen Zustand zuzuordnen. Anders ausgedrückt: Während die von-Neumann-Entropie des Gesamtzustands gleich Null ist (wie bei jedem reinen Zustand), ist die Entropie der Teilsysteme größer als Null. In diesem Sinne sind die Systeme "verschränkt". Dies hat spezifische empirische Auswirkungen auf die Interferometrie. Das obige Beispiel ist einer von vier Bell-Zuständen, bei denen es sich um (maximal) verschränkte reine Zustände handelt (reine Zustände des HA ⊗ HB-Raums, die jedoch nicht in reine Zustände jedes HA und HB getrennt werden können). ⓘ

Nehmen wir nun an, dass Alice ein Beobachter für das System A ist und Bob ein Beobachter für das System B. Wenn Alice in dem oben angegebenen verschränkten Zustand eine Messung in der $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ Eigenbasis von A, gibt es zwei mögliche Ergebnisse, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten:

1. Alice misst 0, und der Zustand des Systems kollabiert zu $|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}$.
2. Alice misst 1, und der Zustand des Systems kollabiert zu $|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}$. ⓘ

Tritt Ersteres ein, so wird jede nachfolgende Messung von Bob auf derselben Basis immer 1 ergeben. Tritt der zweite Fall ein (Alice misst 1), dann wird Bobs Messung mit Sicherheit 0 ergeben. Das System B wurde also dadurch verändert, dass Alice eine lokale Messung an System A durchführte. Dies gilt auch dann, wenn die Systeme A und B räumlich getrennt sind. Dies ist die Grundlage des EPR-Paradoxons. ⓘ

Das Ergebnis von Alices Messung ist zufällig. Alice kann nicht entscheiden, in welchen Zustand das zusammengesetzte System kollabieren soll, und kann daher keine Informationen an Bob übertragen, indem sie auf ihr System einwirkt. Die Kausalität bleibt also in diesem speziellen Schema erhalten. Für das allgemeine Argument siehe das No-communication-Theorem. ⓘ

Ensembles

Wie bereits erwähnt, ist der Zustand eines Quantensystems durch einen Einheitsvektor in einem Hilbert-Raum gegeben. Allgemeiner ausgedrückt, wenn man weniger Informationen über das System hat, nennt man es ein "Ensemble" und beschreibt es durch eine Dichtematrix, die eine positiv-halbdimensionale Matrix ist, oder eine Spurklasse, wenn der Zustandsraum unendlich-dimensional ist und die Spur 1 hat. Nach dem Spektraltheorem hat eine solche Matrix die allgemeine Form:

$\rho =\sum _{i}w_{i}|\alpha _{i}\rangle \langle \alpha _{i}|,$ ⓘ

wobei die wi positiv bewertete Wahrscheinlichkeiten sind (sie summieren sich zu 1), die Vektoren αi sind Einheitsvektoren, und im unendlich-dimensionalen Fall würden wir die Schließung solcher Zustände in der Spurennorm nehmen. Wir können ρ als Darstellung eines Ensembles interpretieren, wobei wi der Anteil des Ensembles ist, dessen Zustände $|\alpha _{i}\rangle$. Wenn ein gemischter Zustand den Rang 1 hat, beschreibt er also ein "reines Ensemble". Wenn weniger als die Gesamtinformation über den Zustand eines Quantensystems vorhanden ist, benötigen wir Dichtematrizen, um den Zustand darzustellen. ⓘ

Experimentell könnte ein gemischtes Ensemble wie folgt realisiert werden. Betrachten wir eine "Black Box"-Apparatur, die Elektronen in Richtung eines Beobachters spuckt. Die Hilbert-Räume der Elektronen sind identisch. Der Apparat könnte Elektronen erzeugen, die sich alle im gleichen Zustand befinden; in diesem Fall sind die vom Beobachter empfangenen Elektronen ein reines Ensemble. Der Apparat könnte aber auch Elektronen in verschiedenen Zuständen erzeugen. Zum Beispiel könnte sie zwei Populationen von Elektronen erzeugen: eine mit dem Zustand $|\mathbf {z} +\rangle$ mit Spins, die in positiver z-Richtung ausgerichtet sind, und die andere mit Zustand $|\mathbf {y} -\rangle$ mit Spins, die in negativer y-Richtung ausgerichtet sind. Im Allgemeinen handelt es sich um ein gemischtes Ensemble, da es eine beliebige Anzahl von Populationen geben kann, die jeweils einem anderen Zustand entsprechen. ⓘ

Gemäß der obigen Definition sind gemischte Zustände für ein zweistufiges zusammengesetztes System einfach Dichtematrizen auf HA ⊗ H_B. Das heißt, sie haben die allgemeine Form ⓘ

$\rho =\sum _{i}w_{i}\left[\sum _{j}{\bar {c}}_{ij}(|\alpha _{ij}\rangle \otimes |\beta _{ij}\rangle )\right]\left[\sum _{k}c_{ik}(\langle \alpha _{ik}|\otimes \langle \beta _{ik}|)\right]$ ⓘ

wobei die wi positiv bewertete Wahrscheinlichkeiten sind, ${\textstyle \sum _{j}|c_{ij}|^{2}=1}$und die Vektoren Einheitsvektoren sind. Sie ist selbstadjungiert und positiv und hat die Spur 1. ⓘ

In Erweiterung der Definition der Trennbarkeit aus dem reinen Fall sagen wir, dass ein gemischter Zustand trennbar ist, wenn er geschrieben werden kann als ⓘ

$\rho =\sum _{i}w_{i}\rho _{i}^{A}\otimes \rho _{i}^{B},$ ⓘ

wobei die wi positiv bewertete Wahrscheinlichkeiten sind und die $\rho _{i}^{A}$'s und $\rho _{i}^{B}$s selbst gemischte Zustände (Dichteoperatoren) in den Teilsystemen A bzw. B sind. Mit anderen Worten: Ein Zustand ist trennbar, wenn er eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über unkorrelierte Zustände oder Produktzustände ist. Indem wir die Dichtematrizen als Summen von reinen Ensembles schreiben und expandieren, können wir ohne Verlust der Allgemeinheit annehmen, dass $\rho _{i}^{A}$ und $\rho _{i}^{B}$ selbst reine Ensembles sind. Ein Zustand wird dann als verschränkt bezeichnet, wenn er nicht trennbar ist. ⓘ

Im Allgemeinen wird es als schwierig angesehen, herauszufinden, ob ein gemischter Zustand verschränkt ist oder nicht. Es hat sich gezeigt, dass der allgemeine zweistufige Fall NP-schwer ist. Für die Fälle 2 × 2 und 2 × 3 ist ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für die Trennbarkeit durch die berühmte Bedingung der positiven partiellen Transposition (PPT) gegeben. ⓘ

Reduzierte Dichtematrizen

Die Idee einer reduzierten Dichtematrix wurde 1930 von Paul Dirac eingeführt. Betrachten wir wie oben Systeme A und B mit jeweils einem Hilbert-Raum H_A, HB. Der Zustand des zusammengesetzten Systems sei ⓘ

$|\Psi \rangle \in H_{A}\otimes H_{B}.$ ⓘ

Wie oben erwähnt, gibt es im Allgemeinen keine Möglichkeit, dem Komponentensystem A einen reinen Zustand zuzuordnen. Sei ⓘ

$\rho _{T}=|\Psi \rangle \;\langle \Psi |$. ⓘ

was der Projektionsoperator auf diesen Zustand ist. Der Zustand von A ist die partielle Spur von ρ_T über die Basis von System B:

$\rho _{A}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}^{N_{B}}\left(I_{A}\otimes \langle j|_{B}\right)\left(|\Psi \rangle \langle \Psi |\right)\left(I_{A}\otimes |j\rangle _{B}\right)={\hbox{Tr}}_{B}\;\rho _{T}.$ ⓘ

Die Summe ergibt sich über $N_{B}:=\dim(H_{B})$ und $I_{A}$ den Identitätsoperator in $H_{A}$ρ_A wird manchmal als reduzierte Dichtematrix von ρ auf dem Teilsystem A bezeichnet. Umgangssprachlich wird das System B "abgeleitet", um die reduzierte Dichtematrix für A zu erhalten. ⓘ

Zum Beispiel ist die reduzierte Dichtematrix von A für den verschränkten Zustand ⓘ

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\right),$ ⓘ

wie oben beschrieben, ist ⓘ

$\rho _{A}={\tfrac {1}{2}}\left(|0\rangle _{A}\langle 0|_{A}+|1\rangle _{A}\langle 1|_{A}\right)$ ⓘ

Dies zeigt, dass die reduzierte Dichtematrix für ein verschränktes reines Ensemble erwartungsgemäß ein gemischtes Ensemble ist. Es ist auch nicht überraschend, dass die Dichtematrix von A für den reinen Produktzustand $|\psi \rangle _{A}\otimes |\phi \rangle _{B}$ wie oben beschrieben, ist ⓘ

$\rho _{A}=|\psi \rangle _{A}\langle \psi |_{A}$. ⓘ

Im Allgemeinen ist ein zweigeteilter reiner Zustand ρ dann und nur dann verschränkt, wenn seine reduzierten Zustände nicht rein, sondern gemischt sind. ⓘ

Zwei Anwendungen, die sie verwenden

Reduzierte Dichtematrizen wurden explizit in verschiedenen Spin-Ketten mit eindeutigem Grundzustand berechnet. Ein Beispiel ist die eindimensionale AKLT-Spinkette: Der Grundzustand kann in einen Block und eine Umgebung unterteilt werden. Die reduzierte Dichtematrix des Blocks ist proportional zu einem Projektor auf einen entarteten Grundzustand eines anderen Hamiltonianers. ⓘ

Die reduzierte Dichtematrix wurde auch für XY-Spinketten ausgewertet, wo sie vollen Rang hat. Es wurde bewiesen, dass im thermodynamischen Limit das Spektrum der reduzierten Dichtematrix eines großen Blocks von Spins in diesem Fall eine exakte geometrische Folge ist. ⓘ

Verschränkung als Ressource

In der Quanteninformationstheorie werden verschränkte Zustände als "Ressource" betrachtet, d. h. als etwas, das kostspielig zu erzeugen ist und die Durchführung wertvoller Transformationen ermöglicht. Am deutlichsten wird diese Sichtweise in "entfernten Labors", d. h. in zwei Quantensystemen mit den Bezeichnungen "A" und "B", an denen beliebige Quantenoperationen durchgeführt werden können, die aber nicht quantenmechanisch miteinander wechselwirken. Die einzige erlaubte Wechselwirkung ist der Austausch klassischer Informationen, der in Verbindung mit den allgemeinsten lokalen Quantenoperationen zu der Klasse von Operationen führt, die als LOCC (local operations and classical communication) bezeichnet wird. Diese Operationen erlauben nicht die Erzeugung verschränkter Zustände zwischen den Systemen A und B. Wenn A und B jedoch einen Vorrat an verschränkten Zuständen haben, dann können diese zusammen mit den LOCC-Operationen eine größere Klasse von Transformationen ermöglichen. Eine Wechselwirkung zwischen einem Qubit von A und einem Qubit von B kann beispielsweise dadurch realisiert werden, dass man zunächst das Qubit von A nach B teleportiert, es dann mit dem Qubit von B wechselwirken lässt (was nun eine LOCC-Operation ist, da sich beide Qubits in Bs Labor befinden) und dann das Qubit zurück nach A teleportiert. Verschränkte Zustände sind also eine Ressource, die die Realisierung von Quantenwechselwirkungen (oder von Quantenkanälen) in einer Umgebung ermöglicht, in der nur LOCC zur Verfügung stehen, aber sie werden bei diesem Prozess verbraucht. Es gibt weitere Anwendungen, bei denen die Verschränkung als Ressource betrachtet werden kann, z. B. bei der privaten Kommunikation oder der Unterscheidung von Quantenzuständen. ⓘ

Klassifizierung der Verschränkung

Nicht alle Quantenzustände sind als Ressource gleich wertvoll. Um diesen Wert zu quantifizieren, können verschiedene Verschränkungsmaße (siehe unten) verwendet werden, die jedem Quantenzustand einen numerischen Wert zuweisen. Oft ist es jedoch interessant, einen gröberen Weg zum Vergleich von Quantenzuständen zu wählen. Dies führt zu verschiedenen Klassifizierungsschemata. Die meisten Verschränkungsklassen werden danach definiert, ob Zustände mit LOCC oder einer Unterklasse dieser Operationen in andere Zustände umgewandelt werden können. Je kleiner die Menge der zulässigen Operationen ist, desto feiner ist die Klassifizierung. Wichtige Beispiele sind:

• Wenn zwei Zustände durch eine lokale unitäre Operation ineinander umgewandelt werden können, sagt man, dass sie zur gleichen LU-Klasse gehören. Dies ist die feinste der üblicherweise betrachteten Klassen. Zwei Zustände in der gleichen LU-Klasse haben den gleichen Wert für Verschränkungsmaße und den gleichen Wert als Ressource in der Fernlaborumgebung. Es gibt eine unendliche Anzahl verschiedener LU-Klassen (selbst im einfachsten Fall von zwei Qubits in einem reinen Zustand).
• Wenn zwei Zustände durch lokale Operationen, einschließlich Messungen, mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 0 ineinander umgewandelt werden können, sagt man, dass sie zur gleichen "SLOCC-Klasse" ("stochastic LOCC") gehören. Qualitativ gesehen, sind zwei Zustände $\rho _{1}$ und $\rho _{2}$ in derselben SLOCC-Klasse gleich mächtig (da ich den einen in den anderen transformieren und dann tun kann, was immer ich damit tun kann), aber da die Transformationen $\rho _{1}\to \rho _{2}$ und $\rho _{2}\to \rho _{1}$ mit unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit gelingen können, sind sie nicht mehr gleichwertig. So gibt es z. B. für zwei reine Qubits nur zwei SLOCC-Klassen: die verschränkten Zustände (die sowohl die (maximal verschränkten) Bell-Zustände als auch schwach verschränkte Zustände wie $|00\rangle +0.01|11\rangle$) und die trennbaren Zustände (d. h. Produktzustände wie $|00\rangle$).
• Anstatt Transformationen einzelner Kopien eines Zustands zu betrachten (wie $\rho _{1}\to \rho _{2}$), kann man Klassen definieren, die auf der Möglichkeit von Transformationen mehrerer Kopien basieren. Es gibt z. B. Beispiele, in denen $\rho _{1}\to \rho _{2}$ durch LOCC unmöglich ist, aber $\rho _{1}\otimes \rho _{1}\to \rho _{2}$ möglich ist. Eine sehr wichtige (und sehr grobe) Klassifizierung basiert auf der Eigenschaft, ob es möglich ist, eine beliebig große Anzahl von Kopien eines Zustands zu transformieren $\rho$ in mindestens einen reinen verschränkten Zustand. Zustände, die diese Eigenschaft besitzen, werden als destillierbar bezeichnet. Diese Zustände sind die nützlichsten Quantenzustände, da sie (mit lokalen Operationen) in jeden beliebigen verschränkten Zustand umgewandelt werden können und somit alle möglichen Anwendungen zulassen. Es war zunächst überraschend, dass nicht alle verschränkten Zustände destillierbar sind; diejenigen, die es nicht sind, werden als "gebunden verschränkt" bezeichnet. ⓘ

Eine andere Klassifizierung der Verschränkung basiert darauf, was die in einem Zustand vorhandenen Quantenkorrelationen A und B ermöglichen: Man unterscheidet drei Untergruppen von verschränkten Zuständen: (1) die nichtlokalen Zustände, die Korrelationen erzeugen, die nicht durch ein lokales Modell mit verborgenen Variablen erklärt werden können und somit eine Bellsche Ungleichung verletzen, (2) die steuerbaren Zustände, die genügend Korrelationen enthalten, damit A durch lokale Messungen den bedingten reduzierten Zustand von B so modifizieren ("steuern") kann, dass A gegenüber B beweisen kann, dass der Zustand, den sie besitzen, tatsächlich verschränkt ist, und schließlich (3) die verschränkten Zustände, die weder nichtlokal noch steuerbar sind. Alle drei Mengen sind nicht leer. ⓘ

Entropie

In diesem Abschnitt wird die Entropie eines gemischten Zustands erörtert und wie sie als Maß für die Quantenverschränkung betrachtet werden kann. ⓘ

Definition

Das Diagramm der von-Neumann-Entropie gegen den Eigenwert für einen zweistufigen reinen Zustand mit 2 Ebenen. Wenn der Eigenwert den Wert 0,5 hat, ist die von-Neumann-Entropie maximal, was einer maximalen Verschränkung entspricht. ⓘ

In der klassischen Informationstheorie wird H, die Shannon-Entropie, mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung assoziiert, $p_{1},\cdots ,p_{n}$auf folgende Weise zugeordnet:

$H(p_{1},\cdots ,p_{n})=-\sum _{i}p_{i}\log _{2}p_{i}.$ ⓘ

Da ein gemischter Zustand ρ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über ein Ensemble ist, führt dies natürlich zur Definition der von-Neumann-Entropie:

$S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right).$ ⓘ

Im Allgemeinen verwendet man den Borel-Funktionskalkül, um eine nicht-polynomiale Funktion wie log₂(ρ) zu berechnen. Wirkt der nichtnegative Operator ρ auf einen endlich-dimensionalen Hilbert-Raum und hat Eigenwerte $\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}$hat, so ist log₂(ρ) nichts anderes als der Operator mit denselben Eigenvektoren, aber den Eigenwerten $\log _{2}(\lambda _{1}),\cdots ,\log _{2}(\lambda _{n})$. Die Shannon-Entropie ist dann:

$S(\rho )=-{\hbox{Tr}}\left(\rho \log _{2}{\rho }\right)=-\sum _{i}\lambda _{i}\log _{2}\lambda _{i}$. ⓘ

Da ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0 nicht zur Entropie beitragen sollte, und angesichts der Tatsache, dass ⓘ

$\lim _{p\to 0}p\log p=0,$ ⓘ

wird die Konvention 0 log(0) = 0 angenommen. Dies gilt auch für den unendlich-dimensionalen Fall: Wenn ρ eine spektrale Auflösung ⓘ

$\rho =\int \lambda dP_{\lambda },$ ⓘ

die gleiche Konvention bei der Berechnung von ⓘ

$\rho \log _{2}\rho =\int \lambda \log _{2}\lambda dP_{\lambda }.$ ⓘ

Wie in der statistischen Mechanik gilt, dass die Entropie umso größer ist, je mehr Unsicherheit (Anzahl der Mikrozustände) das System aufweist. Beispielsweise ist die Entropie eines reinen Zustands gleich Null, was nicht überraschend ist, da ein System in einem reinen Zustand keine Unsicherheit aufweist. Die Entropie eines der beiden Teilsysteme des oben beschriebenen verschränkten Zustands ist log(2) (was sich als maximale Entropie für 2 × 2 gemischte Zustände nachweisen lässt). ⓘ

Als Maß für die Verschränkung

Die Entropie ist ein Instrument, das zur Quantifizierung der Verschränkung verwendet werden kann, obwohl auch andere Verschränkungsmaße existieren. Wenn das Gesamtsystem rein ist, kann die Entropie eines Teilsystems verwendet werden, um den Grad seiner Verschränkung mit den anderen Teilsystemen zu messen. ⓘ

Für zweiseitige reine Zustände ist die von-Neumann-Entropie reduzierter Zustände das einzige Verschränkungsmaß in dem Sinne, dass sie die einzige Funktion auf der Familie von Zuständen ist, die bestimmte Axiome erfüllt, die für ein Verschränkungsmaß erforderlich sind. ⓘ

Es ist ein klassisches Ergebnis, dass die Shannon-Entropie ihr Maximum bei, und nur bei der gleichmäßigen Wahrscheinlichkeitsverteilung {1/n,...,1/n} erreicht. Daher wird ein zweistufiger reiner Zustand ρ ∈ HA ⊗ H_B als maximal verschränkter Zustand bezeichnet, wenn der reduzierte Zustand jedes Teilsystems von ρ die Diagonalmatrix ⓘ

${\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}&&\\&\ddots &\\&&{\frac {1}{n}}\end{bmatrix}}.$ ⓘ

Für gemischte Zustände ist die reduzierte von-Neumann-Entropie nicht das einzig sinnvolle Verschränkungsmaß. ⓘ

Nebenbei bemerkt ist die informationstheoretische Definition eng mit der Entropie im Sinne der statistischen Mechanik verwandt (vergleicht man die beiden Definitionen im vorliegenden Zusammenhang, so ist es üblich, die Boltzmann-Konstante k = 1 zu setzen). Durch die Eigenschaften des Borel-Funktionskalküls sehen wir zum Beispiel, dass für jeden unitären Operator U, ⓘ

$S(\rho )=S\left(U\rho U^{*}\right).$ ⓘ

Ohne diese Eigenschaft wäre die von-Neumann-Entropie in der Tat nicht wohldefiniert. ⓘ

Insbesondere könnte U der Zeitentwicklungsoperator des Systems sein, d.h., ⓘ

$U(t)=\exp \left({\frac {-iHt}{\hbar }}\right),$ ⓘ

wobei H der Hamiltonian des Systems ist. Hier bleibt die Entropie unverändert. ⓘ

Die Umkehrbarkeit eines Prozesses ist mit der daraus resultierenden Entropieänderung verbunden, d. h. ein Prozess ist dann und nur dann umkehrbar, wenn er die Entropie des Systems unveränderlich lässt. Der Pfeil der Zeit in Richtung des thermodynamischen Gleichgewichts ist also einfach die wachsende Ausbreitung der Quantenverschränkung. Dies stellt eine Verbindung zwischen der Quanteninformationstheorie und der Thermodynamik her. ⓘ

Die Rényi-Entropie kann auch als Maß für die Verschränkung verwendet werden. ⓘ

Verschränkungsmaße

Verschränkungsmaße quantifizieren das Ausmaß der Verschränkung in einem (oft als zweiteilig betrachteten) Quantenzustand. Wie bereits erwähnt, ist die Verschränkungsentropie das Standardmaß der Verschränkung für reine Zustände (aber kein Verschränkungsmaß mehr für gemischte Zustände). Für gemischte Zustände gibt es in der Literatur einige Verschränkungsmaße, aber kein einziges ist Standard.

• Verschränkungskosten
• Destillierbare Verschränkung
• Verschränkung der Bildung
• Gleichzeitigkeit
• Relative Entropie der Verschränkung
• Zerquetschte Verschränkung
• Logarithmische Negativität

Die meisten (aber nicht alle) dieser Verschränkungsmaße reduzieren sich für reine Zustände auf die Verschränkungsentropie und sind schwer (NP-schwer) zu berechnen. ⓘ

Quantenfeldtheorie

Das Reeh-Schlieder-Theorem der Quantenfeldtheorie wird manchmal als Analogon der Quantenverschränkung betrachtet. ⓘ

Anwendungen

• Bei jeder quantenmechanischen Messung wird das Messobjekt mit dem Messapparat verschränkt, um an dessen „Zeigerstellung“ den Zustand des Messobjekts ablesen zu können.
• Beim Quantenradierer und Delayed-Choice-Experiment wird der Anschein erweckt, Informationen könnten retrokausal gelöscht werden.
• Quantenschlüsselaustausch: Sicherer Austausch von Schlüsseln zwischen zwei Kommunikationspartnern zur verschlüsselten Übermittlung von Information. Der Austausch ist sicher, weil es nicht möglich ist, ihn ohne bemerkbare Störung abzuhören. Die austauschenden Partner können daher ein eventuelles „Mithören“ beim Schlüsselaustausch bemerken. Während der gewöhnliche Quantenschlüsselaustausch auch ohne Verschränkung möglich ist (z. B. mit dem BB84-Protokoll), erlaubt die Verwendung verschränkter Zustände einen sicheren Quantenschlüsselaustausch selbst dann, wenn man den verwendeten Geräten nicht vertraut (man spricht von geräteunabhängiger bzw. device-independent Sicherheit).
• Quantencomputer: Bei Berechnungen mittels Qubits auf einem Quantencomputer spielt die Verschränkung der Qubits eine zentrale Rolle. Einerseits beruht der wesentliche Vorteil von Quantencomputern (dass manche Probleme durch Quantenalgorithmen mit sehr viel weniger Rechenschritten gelöst werden können als auf konventionellen Computern) auf der Verschränkung vieler Qubits im Verlauf der Rechnung. Andererseits verwenden auch die Verfahren zur Quantenfehlerkorrektur, die nötig sind, um die Quantenrechnungen vor Dekohärenz zu schützen, verschränkte Zustände.
• In der Quantenmetrologie werden verschränkte Zustände vieler Teilchen verwendet, um die mit begrenzten Ressourcen (Zahl der verwendeten Teilchen) mögliche Messgenauigkeit zu erhöhen. ⓘ

Die Verschränkung hat viele Anwendungen in der Quanteninformationstheorie. Mit Hilfe der Verschränkung können sonst unmögliche Aufgaben gelöst werden. ⓘ

Zu den bekanntesten Anwendungen der Verschränkung gehören die superdichte Kodierung und die Quantenteleportation. ⓘ

Die meisten Forscher glauben, dass die Verschränkung notwendig ist, um Quantencomputer zu realisieren (obwohl dies von einigen bestritten wird). ⓘ

Verschränkung wird in einigen Protokollen der Quantenkryptografie verwendet, aber um die Sicherheit von QKD unter Standardannahmen zu beweisen, ist Verschränkung nicht erforderlich. Die geräteunabhängige Sicherheit von QKD wird jedoch unter Ausnutzung der Verschränkung zwischen den Kommunikationspartnern nachgewiesen. ⓘ

Verschränkte Zustände

Es gibt mehrere kanonische verschränkte Zustände, die in der Theorie und in Experimenten häufig vorkommen. ⓘ

Für zwei Qubits sind die Bell-Zustände ⓘ

$|\Phi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B})$

$|\Psi ^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\pm |1\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}).$ ⓘ

Diese vier reinen Zustände sind alle maximal verschränkt (gemäß der Verschränkungsentropie) und bilden eine Orthonormalbasis (lineare Algebra) des Hilbert-Raums der beiden Qubits. Sie spielen eine grundlegende Rolle im Bell'schen Theorem. ⓘ

Für M>2 Qubits ist der GHZ-Zustand ⓘ

$|\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes M}+|1\rangle ^{\otimes M}}{\sqrt {2}}},$ ⓘ

der sich auf den Bell-Zustand reduziert $|\Phi ^{+}\rangle$ für $M=2$. Der traditionelle GHZ-Zustand wurde definiert für $M=3$. GHZ-Zustände werden gelegentlich auf Qudits ausgedehnt, d. h. auf Systeme mit d statt 2 Dimensionen. ⓘ

Auch für M>2 Qubits gibt es spin-gequetschte Zustände, eine Klasse von gequetschten kohärenten Zuständen, die bestimmte Beschränkungen für die Unsicherheit von Spin-Messungen erfüllen, die notwendigerweise verschränkt sind. Spin-gequetschte Zustände sind gute Kandidaten für die Verbesserung von Präzisionsmessungen durch Quantenverschränkung. ⓘ

Für zwei bosonische Moden ist ein NOON-Zustand ⓘ

$|\psi _{\text{NOON}}\rangle ={\frac {|N\rangle _{a}|0\rangle _{b}+|{0}\rangle _{a}|{N}\rangle _{b}}{\sqrt {2}}},\,$ ⓘ

Dies ist wie der Bell-Zustand $|\Psi ^{+}\rangle$ mit dem Unterschied, dass die Basis-Kets 0 und 1 durch "die N Photonen sind in einem Modus" und "die N Photonen sind im anderen Modus" ersetzt wurden. ⓘ

Schließlich gibt es auch Zwillings-Fock-Zustände für bosonische Moden, die durch Einspeisung eines Fock-Zustands in zwei zu einem Strahlteiler führende Arme erzeugt werden können. Sie sind die Summe mehrerer NOON-Zustände und können dazu verwendet werden, das Heisenberg-Limit zu erreichen. ⓘ

Für die entsprechend gewählten Verschränkungsmaße sind die Bell-, GHZ- und NOON-Zustände maximal verschränkt, während die Spin-Squeezed- und Twin-Fock-Zustände nur teilweise verschränkt sind. Die teilweise verschränkten Zustände lassen sich im Allgemeinen leichter experimentell herstellen. ⓘ

Methoden zur Erzeugung von Verschränkung

Die Verschränkung wird in der Regel durch direkte Wechselwirkungen zwischen subatomaren Teilchen erzeugt. Diese Wechselwirkungen können zahlreiche Formen annehmen. Eine der am häufigsten verwendeten Methoden ist die spontane parametrische Abwärtsumwandlung, um ein in der Polarisation verschränktes Photonenpaar zu erzeugen. Andere Methoden sind die Verwendung eines Faserkopplers, um Photonen einzuschließen und zu mischen, Photonen, die aus der Zerfallskaskade des Bi-Exzitons in einem Quantenpunkt emittiert werden, die Nutzung des Hong-Ou-Mandel-Effekts usw. Bei den ersten Tests des Bellschen Theorems wurden die verschränkten Teilchen mit Hilfe von Atomkaskaden erzeugt. ⓘ

Es ist auch möglich, die Verschränkung zwischen Quantensystemen zu erzeugen, die nie direkt miteinander wechselwirkten, indem man die Verschränkung austauscht. Zwei unabhängig voneinander präparierte, identische Teilchen können auch verschränkt sein, wenn sich ihre Wellenfunktionen zumindest teilweise räumlich überlappen. ⓘ

Prüfung eines Systems auf Verschränkung

Eine Dichtematrix ρ wird als trennbar bezeichnet, wenn sie als konvexe Summe von Produktzuständen geschrieben werden kann, nämlich

$${\rho =\sum _{j}p_{j}\rho _{j}^{(A)}\otimes \rho _{j}^{(B)}}$$

mit $1\geq p_{j}\geq 0$ Wahrscheinlichkeiten. Per Definition ist ein Zustand verschränkt, wenn er nicht trennbar ist. ⓘ

Für 2-Qubit- und Qubit-Qutrit-Systeme (2 × 2 bzw. 2 × 3) liefert das einfache Peres-Horodecki-Kriterium sowohl ein notwendiges als auch ein hinreichendes Kriterium für die Trennbarkeit und damit - unbeabsichtigt - für den Nachweis der Verschränkung. Für den allgemeinen Fall ist das Kriterium jedoch nur ein notwendiges Kriterium für die Trennbarkeit, da das Problem NP-schwer wird, wenn es verallgemeinert wird. Andere Trennbarkeitskriterien sind u. a. das Bereichskriterium, das Reduktionskriterium und solche, die auf Unschärferelationen basieren. Siehe Ref. für eine Übersicht über Trennbarkeitskriterien in diskret-variablen Systemen und Ref. für eine Übersicht über Techniken und Herausforderungen beim experimentellen Verschränkungsnachweis in diskret-variablen Systemen. ⓘ

Eine numerische Herangehensweise an das Problem wird von Jon Magne Leinaas, Jan Myrheim und Eirik Ovrum in ihrem Beitrag "Geometrical aspects of entanglement" vorgeschlagen. Leinaas et al. bieten einen numerischen Ansatz an, bei dem ein geschätzter trennbarer Zustand iterativ in Richtung des zu testenden Zielzustands verfeinert und überprüft wird, ob der Zielzustand tatsächlich erreicht werden kann. Eine Implementierung des Algorithmus (einschließlich eines integrierten Peres-Horodecki-Kriteriumstests) ist die Web-App "StateSeparator". ⓘ

In Systemen mit kontinuierlichen Variablen gilt das Peres-Horodecki-Kriterium ebenfalls. Simon formulierte insbesondere eine bestimmte Version des Peres-Horodecki-Kriteriums in Bezug auf die Momente zweiter Ordnung kanonischer Operatoren und zeigte, dass es notwendig und ausreichend ist für $1\oplus 1$-Modus Gaußscher Zustände notwendig und ausreichend ist (siehe Ref. für einen scheinbar anderen, aber im Wesentlichen gleichwertigen Ansatz). Später wurde festgestellt, dass Simons Bedingung auch notwendig und hinreichend ist für $1\oplus n$-mode Gaußsche Zustände, aber nicht mehr ausreichend für $2\oplus 2$-mode Gaußsche Zustände. Simons Bedingung kann verallgemeinert werden, indem die Momente höherer Ordnung kanonischer Operatoren berücksichtigt werden oder indem entropische Maße verwendet werden. ⓘ

2016 startete China den ersten Quantenkommunikationssatelliten der Welt. Die 100 Millionen Dollar teure Mission Quantum Experiments at Space Scale (QUESS) wurde am 16. August 2016 um 01:40 Uhr Ortszeit vom Jiuquan Satellite Launch Center in Nordchina gestartet. ⓘ

In den nächsten zwei Jahren wird das Raumschiff - das nach dem antiken chinesischen Philosophen "Micius" benannt ist - die Machbarkeit der Quantenkommunikation zwischen Erde und Weltraum demonstrieren. Kommunikation zwischen Erde und Weltraum demonstrieren und die Quantenverschränkung über noch nie dagewesene Entfernungen testen. ⓘ

In der Ausgabe vom 16. Juni 2017 der Zeitschrift Science berichten Yin et al. über einen neuen Quantenverschränkungs-Entfernungsrekord von 1.203 km, der das Überleben eines Zwei-Photonen-Paares und die Verletzung einer Bell-Ungleichung demonstriert und eine CHSH-Bewertung von 2,37 ± 0,09 unter strengen Einstein-Lokalitätsbedingungen zwischen dem Micius-Satelliten und Basen in Lijian, Yunnan, und Delingha, Quinhai, erreicht, was die Effizienz der Übertragung gegenüber früheren Glasfaserexperimenten um eine Größenordnung erhöht. ⓘ

Natürlich verschränkte Systeme

Die Elektronenschalen von Atomen mit mehreren Elektronen bestehen immer aus verschränkten Elektronen. Die korrekte Ionisierungsenergie kann nur unter Berücksichtigung der Elektronenverschränkung berechnet werden. ⓘ

Photosynthese

Es wurde vermutet, dass bei der Photosynthese die Verschränkung an der Energieübertragung zwischen den Lichtsammelkomplexen und den photosynthetischen Reaktionszentren beteiligt ist, wo die Energie jedes absorbierten Photons in Form von chemischer Energie gewonnen wird. Ohne einen solchen Prozess kann die effiziente Umwandlung von Licht in chemische Energie nicht erklärt werden. Mit Hilfe der Femtosekundenspektroskopie wurde die Kohärenz der Verschränkung im Fenna-Matthews-Olson-Komplex über Hunderte von Femtosekunden (eine relativ lange Zeit in dieser Hinsicht) gemessen, was diese Theorie unterstützt. Kritische Folgestudien stellen jedoch die Interpretation dieser Ergebnisse in Frage und führen die berichteten Signaturen elektronischer Quantenkohärenz auf die Kerndynamik in den Chromophoren oder darauf zurück, dass die Experimente bei kryogenen und nicht bei physiologischen Temperaturen durchgeführt wurden. ⓘ

Verschränkung von makroskopischen Objekten

Im Jahr 2020 berichteten Forscher über die Quantenverschränkung zwischen der Bewegung eines millimetergroßen mechanischen Oszillators und einem weit voneinander entfernten Spinsystem einer Atomwolke. Spätere Arbeiten ergänzten diese Arbeit durch die Quantenverschränkung zweier mechanischer Oszillatoren. ⓘ

Verschränkung von Elementen lebender Systeme

Im Oktober 2018 berichteten Physiker über die Erzeugung von Quantenverschränkung mit lebenden Organismen, insbesondere zwischen photosynthetischen Molekülen in lebenden Bakterien und quantisiertem Licht. ⓘ

Lebende Organismen (grüne Schwefelbakterien) wurden als Vermittler zur Erzeugung von Quantenverschränkung zwischen ansonsten nicht interagierenden Lichtmoden untersucht und zeigten eine hohe Verschränkung zwischen Licht und Bakterienmoden und in gewissem Maße sogar Verschränkung innerhalb der Bakterien. ⓘ

Keine überlichtschnelle Informationsübertragung

Die Korrelationen durch Verschränkung verletzen nicht die Relativitätstheorie. Zwar liegt immer die Interpretation nahe, die Korrelationen könnten nur durch eine überlichtschnelle Wechselwirkung der verschränkten Teilsysteme zustande kommen. Es handelt sich aber nicht um eine Wechselwirkung, denn hierbei kann keine Information übertragen werden. Die Kausalität ist somit nicht verletzt. Dafür gibt es folgende Gründe:

• Quantenmechanische Messungen sind probabilistisch, das heißt nicht streng kausal.
• Das No-Cloning-Theorem verbietet die statistische Überprüfung verschränkter Quantenzustände, ohne dass diese dabei verändert werden.
• Das No-Communication-Theorem besagt, dass Messungen an einem quantenmechanischen Teilsystem nicht benutzt werden können, um Informationen zu einem anderen Teilsystem zu übertragen. ⓘ

Zwar ist Informationsübertragung durch Verschränkung allein nicht möglich, wohl aber mit mehreren verschränkten Systemen in Verbindung mit einem klassischen Informationskanal, siehe Quantenteleportation. Trotz dieses Namens können wegen des benötigten klassischen Informationskanals keine Informationen schneller als das Licht übertragen werden. ⓘ

Besondere verschränkte Systeme

Biologische Systeme

Graham Fleming, Mohan Sarovar und andere (Berkeley) meinten, mit Femtosekunden-Spektroskopie nachgewiesen zu haben, dass im Photosystem-Lichtsammelkomplex der Pflanzen eine über den gesamten Komplex reichende stabile Verschränkung von Photonen stattfindet, was die effiziente Nutzung der Lichtenergie ohne Wärmeverlust erst möglich mache. Bemerkenswert sei daran unter anderem die Temperaturstabilität des Phänomens. Kritik daran äußerten Sandu Popescu, Hans J. Briegel und Markus Tiersch. ⓘ

Stuart Hameroff und Roger Penrose schlagen zur Erklärung der erstaunlichen Leistungsfähigkeit des Gehirns vor, dass diese unter anderem auf Korrelationen und Verschränkung zwischen elektronischen Zuständen der in den Neuronen häufigen Mikrotubuli beruht. Dem wurde mit physikalischer Begründung widersprochen. ⓘ

Sonstiges

Juan Maldacena und Leonard Susskind stellten 2013 die Hypothese der Äquivalenz von quantenverschränkten Teilchenpaaren (EPR) und speziellen Wurmlöchern in der Quantengravitation auf als Möglichkeit der Lösung des Informationsparadoxons Schwarzer Löcher und dessen Verschärfung im firewall-Paradoxon. ⓘ