Welle

Oberflächenwellen im Wasser mit Wasserrippeln ⓘ

In der Physik, Mathematik und verwandten Gebieten ist eine Welle eine sich ausbreitende dynamische Störung (Veränderung des Gleichgewichts) einer oder mehrerer Größen. Wellen können periodisch sein. In diesem Fall schwingen diese Größen wiederholt um einen Gleichgewichtswert (Ruhewert) mit einer bestimmten Frequenz. Bewegt sich die gesamte Wellenform in eine Richtung, spricht man von einer Wanderwelle; ein Paar überlagerter periodischer Wellen, die sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen, ist dagegen eine stehende Welle. Bei einer stehenden Welle hat die Amplitude der Schwingung an einigen Stellen Nullstellen, an denen die Wellenamplitude kleiner oder sogar null erscheint. Wellen werden häufig durch eine Wellengleichung (stehendes Wellenfeld zweier entgegengesetzter Wellen) oder eine Einweg-Wellengleichung für die Ausbreitung einer einzelnen Welle in einer bestimmten Richtung beschrieben. ⓘ

Zwei Arten von Wellen werden in der klassischen Physik am häufigsten untersucht. Bei einer mechanischen Welle oszillieren Spannungs- und Dehnungsfelder um ein mechanisches Gleichgewicht. Eine mechanische Welle ist eine lokale Verformung (Dehnung) in einem physikalischen Medium, die sich von Teilchen zu Teilchen ausbreitet, indem sie lokale Spannungen erzeugt, die auch in benachbarten Teilchen Dehnungen verursachen. So sind beispielsweise Schallwellen Veränderungen des lokalen Drucks und der Teilchenbewegung, die sich durch das Medium ausbreiten. Andere Beispiele für mechanische Wellen sind seismische Wellen, Schwerewellen, Oberflächenwellen, Saitenschwingungen und Wirbel. Bei einer elektromagnetischen Welle (z. B. Licht) sorgt die Kopplung zwischen dem elektrischen und dem magnetischen Feld dafür, dass sich eine Welle ausbreitet, an der diese Felder gemäß den Maxwellschen Gleichungen beteiligt sind. Elektromagnetische Wellen können sich im Vakuum und in einigen dielektrischen Medien ausbreiten (bei Wellenlängen, bei denen sie als transparent gelten). Elektromagnetische Wellen haben je nach ihrer Frequenz (oder Wellenlänge) spezifischere Bezeichnungen wie Radiowellen, Infrarotstrahlung, Terahertz-Wellen, sichtbares Licht, ultraviolette Strahlung, Röntgenstrahlen und Gammastrahlen. ⓘ

Andere Arten von Wellen sind Gravitationswellen, d. h. Störungen der Raumzeit, die sich gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie ausbreiten, Wärmediffusionswellen, Plasmawellen, die mechanische Verformungen und elektromagnetische Felder kombinieren, Reaktions-Diffusionswellen, wie bei der Belousov-Zhabotinsky-Reaktion, und viele andere. Mechanische und elektromagnetische Wellen übertragen Energie, Impuls und Informationen, aber keine Teilchen im Medium. In der Mathematik und Elektronik werden Wellen als Signale untersucht. Andererseits haben einige Wellen Hüllen, die sich überhaupt nicht bewegen, wie z. B. stehende Wellen (die für die Musik grundlegend sind) und hydraulische Sprünge. Einige, wie die Wahrscheinlichkeitswellen der Quantenmechanik, können völlig statisch sein. ⓘ

Beispiel für biologische Wellen, die sich über die Gehirnrinde ausbreiten, ein Beispiel für sich ausbreitende Depolarisationen. ⓘ

Ein physikalisches Wellenfeld ist fast immer auf einen endlichen Bereich des Raums beschränkt, der als seine Domäne bezeichnet wird. So sind beispielsweise die von Erdbeben erzeugten seismischen Wellen nur im Inneren und auf der Oberfläche des Planeten von Bedeutung, so dass sie außerhalb dieses Bereichs vernachlässigt werden können. Wellen mit unendlichem Bereich, die sich über den gesamten Raum erstrecken, werden jedoch häufig in der Mathematik untersucht und sind sehr wertvolle Werkzeuge für das Verständnis physikalischer Wellen in endlichen Bereichen. ⓘ

Eine ebene Welle ist eine wichtige mathematische Idealisierung, bei der die Störung entlang einer beliebigen (unendlichen) Ebene senkrecht zu einer bestimmten Bewegungsrichtung identisch ist. Die mathematisch einfachste Welle ist eine sinusförmige ebene Welle, bei der das Feld an jedem Punkt eine einfache harmonische Bewegung mit einer Frequenz erfährt. In linearen Medien können komplizierte Wellen im Allgemeinen als Summe vieler sinusförmiger ebener Wellen mit unterschiedlichen Ausbreitungsrichtungen und/oder unterschiedlichen Frequenzen zerlegt werden. Eine ebene Welle wird als Transversalwelle klassifiziert, wenn die Feldstörung an jedem Punkt durch einen Vektor senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (auch die Richtung der Energieübertragung) beschrieben wird, oder als Longitudinalwelle, wenn diese Vektoren mit der Ausbreitungsrichtung ausgerichtet sind. Mechanische Wellen umfassen sowohl Transversal- als auch Longitudinalwellen; elektromagnetische ebene Wellen hingegen sind ausschließlich transversal, während Schallwellen in Flüssigkeiten (wie Luft) nur longitudinal sein können. Die physikalische Richtung eines schwingenden Feldes relativ zur Ausbreitungsrichtung wird auch als Polarisation der Welle bezeichnet, die ein wichtiges Merkmal sein kann. ⓘ

Mathematische Beschreibung

Einzelne Wellen

Eine Welle kann genau wie ein Feld beschrieben werden, nämlich als eine Funktion $F(x,t)$ wobei $x$ ein Ort ist und $t$ eine Zeit ist. ⓘ

Der Wert von $x$ ist ein Punkt im Raum, und zwar in der Region, in der die Welle definiert ist. Mathematisch gesehen ist er in der Regel ein Vektor im kartesischen dreidimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ . In vielen Fällen kann man jedoch eine Dimension ignorieren und $x$ ein Punkt der kartesischen Ebene sein $\mathbb {R} ^{2}$ . Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn man die Schwingungen eines Trommelfells untersucht. Man kann sich sogar $x$ auf einen Punkt der kartesischen Linie $\mathbb {R}$ - d.h. die Menge der reellen Zahlen. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn man die Schwingungen einer Geigensaite oder einer Blockflöte untersucht. Die Zeit $t$ wird dagegen immer als Skalar, d. h. als reelle Zahl, angenommen. ⓘ

Der Wert von $F(x,t)$ kann jede physikalische Größe von Interesse sein, die dem Punkt $x$ zugeordnet ist, die sich mit der Zeit ändern kann. Zum Beispiel, wenn $F$ die Schwingungen im Inneren eines elastischen Festkörpers darstellt, ist der Wert von $F(x,t)$ normalerweise ein Vektor, der die aktuelle Verschiebung von $x$ der Materialteilchen angibt, die sich an dem Punkt $x$ bei Abwesenheit von Schwingungen. Bei einer elektromagnetischen Welle ist der Wert von $F$ der elektrische Feldvektor $E$ oder der Magnetfeldvektor $H$ oder eine verwandte Größe wie der Poynting-Vektor $E\times H$ . In der Strömungsdynamik kann der Wert von $F(x,t)$ der Geschwindigkeitsvektor des Fluids im Punkt $x$ sein, oder eine beliebige skalare Eigenschaft wie Druck, Temperatur oder Dichte. In einer chemischen Reaktion, $F(x,t)$ die Konzentration einer Substanz in der Umgebung des Punktes $x$ des Reaktionsmediums sein. ⓘ

Für jede Dimension $d$ (1, 2 oder 3) ist der Bereich der Welle dann eine Teilmenge $D$ von $\mathbb {R} ^{d}$ , so dass der Funktionswert $F(x,t)$ definiert ist für jeden Punkt $x$ in $D$ . Beschreibt man beispielsweise die Bewegung eines Trommelfells, so kann man $D$ als eine Scheibe (Kreis) in der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt im Ursprung $(0,0)$ und sei $F(x,t)$ die vertikale Verschiebung des Fells in dem Punkt $x$ von $D$ und zum Zeitpunkt $t$ . ⓘ

Wellenfamilien

Manchmal ist man an einer einzigen spezifischen Welle interessiert. Häufiger muss man jedoch eine große Menge möglicher Wellen verstehen, wie z. B. alle Arten, wie ein Trommelfell vibrieren kann, nachdem es einmal mit einem Trommelstock angeschlagen wurde, oder alle möglichen Radarechos, die man von einem Flugzeug erhalten könnte, das sich einem Flughafen nähert. ⓘ

In einigen dieser Situationen kann man eine solche Familie von Wellen durch eine Funktion beschreiben $F(A,B,\ldots ;x,t)$ beschreiben, die von bestimmten Parametern abhängt $A,B,\ldots$ abhängt, neben $x$ und $t$ . Dann kann man verschiedene Wellen erhalten - das heißt, verschiedene Funktionen von $x$ und $t$ - erhalten, indem man unterschiedliche Werte für diese Parameter wählt. ⓘ

Stehende Schalldruckwelle in einem halboffenen Rohr, das die 7. Harmonische des Grundtons spielt (n = 4) ⓘ

Zum Beispiel ist der Schalldruck in einer Blockflöte, die einen "reinen" Ton spielt, typischerweise eine stehende Welle, die wie folgt geschrieben werden kann

F(A,L,n,c;x,t)=A\left(\cos 2\pi x{\frac {2n-1}{4L}}\right)\left(\cos 2\pi ct{\frac {2n-1}{4L}}\right)

Der Parameter $A$ definiert die Amplitude der Welle (d. h. den maximalen Schalldruck in der Bohrung, der mit der Lautstärke des Tons zusammenhängt); $c$ ist die Schallgeschwindigkeit; $L$ ist die Länge der Bohrung; und $n$ ist eine positive ganze Zahl (1,2,3,...), die die Anzahl der Knotenpunkte in der stehenden Welle angibt. (Die Position $x$ sollte vom Mundstück aus gemessen werden, und die Zeit $t$ von einem beliebigen Zeitpunkt an, an dem der Druck am Mundstück maximal ist. Die Größe $\lambda =4L/(2n-1)$ ist die Wellenlänge des abgestrahlten Tons, und $f=c/\lambda$ ist seine Frequenz.) Aus dieser allgemeinen Gleichung lassen sich viele allgemeine Eigenschaften dieser Wellen ableiten, ohne dass bestimmte Werte für die Parameter gewählt werden müssen. ⓘ

Ein weiteres Beispiel ist, dass die Schwingungen eines Trommelfells nach einem einzigen Schlag nur von der Entfernung $r$ von der Mitte des Fells zum Schlagpunkt und von der Stärke $s$ des Schlags ab. Dann kann die Schwingung für alle möglichen Schläge durch eine Funktion beschrieben werden $F(r,s;x,t)$ . ⓘ

Manchmal hat die Familie von Wellen, die von Interesse ist, unendlich viele Parameter. So könnte man beispielsweise beschreiben wollen, was mit der Temperatur in einem Metallstab geschieht, wenn man ihn zunächst an verschiedenen Punkten seiner Länge auf unterschiedliche Temperaturen erhitzt und dann im Vakuum abkühlen lässt. In diesem Fall müsste der Parameter anstelle eines Skalars oder Vektors eine Funktion sein $h$ sein, wobei $h(x)$ die Anfangstemperatur an jedem Punkt $x$ des Balkens ist. Dann können die Temperaturen zu späteren Zeitpunkten durch eine Funktion ausgedrückt werden $F$ ausgedrückt werden, die von der Funktion $h$ abhängt (d. h. ein Funktionsoperator), so dass die Temperatur zu einem späteren Zeitpunkt $F(h;x,t)$ ⓘ

Differentiale Wellengleichungen

Eine andere Möglichkeit, eine Wellenfamilie zu beschreiben und zu untersuchen, besteht darin, eine mathematische Gleichung aufzustellen, die nicht ausdrücklich den Wert von $F(x,t)$ angibt, sondern nur einschränkt, wie sich diese Werte mit der Zeit ändern können. Die betreffende Wellenfamilie besteht dann aus allen Funktionen $F$ die diese Bedingungen erfüllen, d. h. alle Lösungen der Gleichung. ⓘ

Dieser Ansatz ist in der Physik äußerst wichtig, da die Einschränkungen in der Regel eine Folge der physikalischen Prozesse sind, die die Entwicklung der Welle verursachen. Zum Beispiel, wenn $F(x,t)$ die Temperatur im Inneren eines Blocks aus einem homogenen und isotropen festen Material ist, wird ihre Entwicklung durch die partielle Differentialgleichung

{\frac {\partial F}{\partial t}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta Q(x,t)

wobei $Q(p,f)$ ist die Wärme, die pro Volumen- und Zeiteinheit in der Umgebung von $x$ zum Zeitpunkt $t$ erzeugt wird (zum Beispiel durch dort stattfindende chemische Reaktionen); $x_{1},x_{2},x_{3}$ sind die kartesischen Koordinaten des Punktes $x$ ; $\partial F/\partial t$ ist die (erste) Ableitung von $F$ in Bezug auf $t$ ; und $\partial ^{2}F/\partial x_{i}^{2}$ ist die zweite Ableitung von $F$ relativ zu $x_{i}$ . (Das Symbol " $\partial$ " bedeutet, dass bei der Ableitung nach einer Variablen alle anderen Variablen als feststehend betrachtet werden müssen.) ⓘ

Diese Gleichung lässt sich aus den physikalischen Gesetzen ableiten, die die Diffusion von Wärme in festen Medien regeln. Aus diesem Grund wird sie in der Mathematik als Wärmegleichung bezeichnet, auch wenn sie neben der Temperatur auch für viele andere physikalische Größen gilt. ⓘ

Ein anderes Beispiel: Wir können alle möglichen Töne, die in einem Gasbehälter widerhallen, durch eine Funktion beschreiben $F(x,t)$ beschreiben, die den Druck an einem Punkt $x$ und Zeit $t$ innerhalb dieses Behälters angibt. Wenn das Gas ursprünglich eine einheitliche Temperatur und Zusammensetzung hatte, wird die Entwicklung von $F$ durch die folgende Formel eingeschränkt

{\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta P(x,t)

Hier ist $P(x,t)$ eine zusätzliche Kompressionskraft ist, die auf das Gas in der Nähe von $x$ durch einen externen Prozess, z. B. einen Lautsprecher oder einen Kolben in unmittelbarer Nähe von $p$ . ⓘ

Dieselbe Differentialgleichung beschreibt das Verhalten von mechanischen Schwingungen und elektromagnetischen Feldern in einem homogenen, isotropen, nichtleitenden Festkörper. Diese Gleichung unterscheidet sich von der Gleichung für den Wärmefluss nur dadurch, dass die linke Seite $\partial ^{2}F/\partial t^{2}$ ist, die zweite Ableitung von $F$ nach der Zeit ist, und nicht die erste Ableitung $\partial F/\partial t$ . Diese kleine Änderung macht jedoch einen großen Unterschied in der Menge der Lösungen $F$ . Diese Differentialgleichung wird in der Mathematik "die" Wellengleichung genannt, obwohl sie nur eine ganz spezielle Art von Wellen beschreibt. ⓘ

Welle in einem elastischen Medium

Betrachten Sie eine sich ausbreitende Transversalwelle (die ein Impuls sein kann) auf einem Faden (dem Medium). Nehmen wir an, dass der Faden eine einzige räumliche Dimension hat. Betrachten Sie diese Welle als wandernd ⓘ

Die Wellenlänge λ kann zwischen zwei beliebigen korrespondierenden Punkten auf einer Wellenform gemessen werden. ⓘ

Animation von zwei Wellen, die grüne Welle bewegt sich nach rechts, die blaue Welle nach links, die Nettoamplitude der roten Welle an jedem Punkt ist die Summe der Amplituden der einzelnen Wellen. Beachten Sie, dass f(x,t) + g(x,t) = u(x,t) ⓘ

in der $x$ Richtung im Raum. Zum Beispiel sei die positive $x$ Richtung nach rechts, und die negative $x$ Richtung nach links sein.
mit konstanter Amplitude $u$
mit konstanter Geschwindigkeit $v$ $v$ , wobei $v$ $v$ ist
- unabhängig von der Wellenlänge (keine Dispersion)
- unabhängig von der Amplitude (lineare Medien, keine nichtlinearen).
mit konstanter Wellenform, oder Form ⓘ

Diese Welle kann dann durch die folgenden zweidimensionalen Funktionen beschrieben werden ⓘ

u(x,t)=F(x-vt)

(Wellenform

F

nach rechts laufend)

u(x,t)=G(x+vt)

(Wellenform

G

nach links wandernd) ⓘ

oder, allgemeiner, durch die d'Alembertsche Formel:

u(x,t)=F(x-vt)+G(x+vt).

ⓘ

die zwei Komponenten der Wellenform darstellt $F$ und $G$ die sich in entgegengesetzter Richtung durch das Medium bewegen. Eine verallgemeinerte Darstellung dieser Welle kann als partielle Differentialgleichung erhalten werden ⓘ

{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.

ⓘ

Allgemeine Lösungen beruhen auf dem Duhamelschen Prinzip. ⓘ

Neben den Wellengleichungen zweiter Ordnung, die ein stehendes Wellenfeld beschreiben, beschreibt die Einwegwellengleichung die Ausbreitung einer einzelnen Welle in einer bestimmten Richtung. ⓘ

Wellenformen

Sinus-, Rechteck-, Dreieck- und Sägezahnwellenformen. ⓘ

Die Form von F in d'Alemberts Formel beinhaltet das Argument x - vt. Konstante Werte dieses Arguments entsprechen konstanten Werten von F, und diese konstanten Werte treten auf, wenn x in gleichem Maße wie vt zunimmt. Das heißt, die Welle, die wie die Funktion F geformt ist, bewegt sich in positiver x-Richtung mit der Geschwindigkeit v (und G breitet sich mit der gleichen Geschwindigkeit in negativer x-Richtung aus). ⓘ

Im Falle einer periodischen Funktion F mit der Periode λ, d. h. F(x + λ - vt) = F(x - vt), bedeutet die Periodizität von F im Raum, dass eine Momentaufnahme der Welle zu einem bestimmten Zeitpunkt t zeigt, dass die Welle im Raum periodisch mit der Periode λ (der Wellenlänge der Welle) variiert. In ähnlicher Weise impliziert diese Periodizität von F auch eine Periodizität in der Zeit: F(x - v(t + T)) = F(x - vt) unter der Voraussetzung, dass vT = λ ist, so dass eine Beobachtung der Welle an einem festen Ort x eine periodische Wellenbewegung mit der Periode T = λ/v ergibt. ⓘ

Amplitude und Modulation

Die Amplitudenmodulation kann durch f(x,t) = 1,00×sin(2π/0,10×(x-1,00×t)) und g(x,t) = 1,00×sin(2π/0,11×(x-1,00×t)) erreicht werden, wobei zur besseren Übersichtlichkeit der Wellenform nur die Resultierende sichtbar ist. ⓘ

Veranschaulichung der Hüllkurve (die sich langsam verändernde rote Kurve) einer amplitudenmodulierten Welle. Die sich schnell verändernde blaue Kurve ist die Trägerwelle, die moduliert wird. ⓘ

Die Amplitude einer Welle kann konstant sein (in diesem Fall handelt es sich um eine c.w.-Welle oder eine kontinuierliche Welle) oder sie kann moduliert werden, so dass sie mit der Zeit und/oder der Position variiert. Der Umriss der Amplitudenänderung wird als Hüllkurve der Welle bezeichnet. Mathematisch kann die modulierte Welle in der Form geschrieben werden

u(x,t)=A(x,t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),

ⓘ

wobei $A(x,\ t)$ ist die Amplitudenhüllkurve der Welle, $k$ ist die Wellenzahl und $\phi$ ist die Phase. Wenn die Gruppengeschwindigkeit $v_{g}$ (siehe unten) wellenlängenunabhängig ist, kann diese Gleichung vereinfacht werden als:

u(x,t)=A(x-v_{g}t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),

ⓘ

Dies zeigt, dass sich die Hüllkurve mit der Gruppengeschwindigkeit bewegt und ihre Form beibehält. In anderen Fällen, in denen die Gruppengeschwindigkeit mit der Wellenlänge variiert, ändert sich die Impulsform in einer Weise, die häufig mit einer Hüllkurvengleichung beschrieben wird. ⓘ

Phasendrehzahl und Gruppendrehzahl

Das rote Quadrat bewegt sich mit der Phasengeschwindigkeit, während sich die grünen Kreise mit der Gruppengeschwindigkeit ausbreiten ⓘ

Es gibt zwei Geschwindigkeiten, die mit Wellen verbunden sind: die Phasengeschwindigkeit und die Gruppengeschwindigkeit. ⓘ

Die Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Phase der Welle im Raum ausbreitet: Eine bestimmte Phase der Welle (z. B. der Scheitelpunkt) scheint sich mit der Phasengeschwindigkeit auszubreiten. Die Phasengeschwindigkeit wird in Abhängigkeit von der Wellenlänge $λ$ (Lambda) und der Periode $T$ wie folgt angegeben ⓘ

v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.

ⓘ

Eine Welle, bei der die Gruppen- und Phasengeschwindigkeit in unterschiedliche Richtungen gehen ⓘ

Die Gruppengeschwindigkeit ist eine Eigenschaft von Wellen mit einer definierten Hüllkurve, die die Ausbreitung im Raum (d. h. die Phasengeschwindigkeit) der Gesamtform der Wellenamplituden misst - Modulation oder Hüllkurve der Welle. ⓘ

Bezeichnung

Symbol

Beziehungen ⓘ

Amplitude

\mathbf {A} _{0}

$\mathbf {A} _{0}\perp \mathbf {k}$	Transversalwelle
$\mathbf {A} _{0}\\|\mathbf {k}$	Longitudinalwelle

Wellenvektor

\mathbf {k}

Ausbreitungsrichtung

Kreiswellenzahl

k\,

k=|\mathbf {k} |

Wellenlänge

\mathbf {\lambda }

\mathbf {\lambda } =2\mathbf {\pi } /k

Kreisfrequenz

\mathbf {\omega }

\mathbf {\omega } \left(\mathbf {k} \right)

Dispersionsrelation

Frequenz

f\,

f=\mathbf {\omega } /2\mathbf {\pi }

Phasengeschwindigkeit

c\,

c=\mathbf {\omega } /k=\mathbf {\lambda } f

Gruppengeschwindigkeit

v_{G}\,

v_{G}=d\mathbf {\omega } /dk

Phase

\varphi

\varphi =\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t

Zur mathematischen Beschreibung von Wellen sind mehrere Größen nötig. Dazu zählen Amplitude, Phase und Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit. Die nebenstehende Tabelle gibt einen Überblick über die Größen, die zur vollständigen Beschreibung nötig sind. ⓘ

Spezielle Wellen

Plane Wellen

Eine ebene Welle ist eine Art von Welle, deren Wert sich nur in einer Raumrichtung ändert. Das heißt, ihr Wert ist in einer Ebene, die senkrecht zu dieser Richtung liegt, konstant. Planare Wellen können durch einen Vektor mit Einheitslänge beschrieben werden ${\hat {n}}$ spezifiziert werden, der die Richtung angibt, in der sich die Welle ändert, und ein Wellenprofil, das beschreibt, wie sich die Welle in Abhängigkeit von der Verschiebung entlang dieser Richtung ( ${\hat {n}}\cdot {\vec {x}}$ ) und der Zeit ( $t$ ). Da das Wellenprofil nur von der Position ${\vec {x}}$ in der Kombination ${\hat {n}}\cdot {\vec {x}}$ abhängt, kann jede Verschiebung in Richtungen senkrecht zu ${\hat {n}}$ keinen Einfluss auf den Wert des Feldes. ⓘ

Ebenwellen werden häufig verwendet, um elektromagnetische Wellen fern von einer Quelle zu modellieren. Bei elektromagnetischen ebenen Wellen stehen die elektrischen und magnetischen Felder selbst quer zur Ausbreitungsrichtung und auch senkrecht zueinander. ⓘ

Stehende Wellen

Stehende Welle. Die roten Punkte stellen die Wellenknoten dar ⓘ

Eine stehende Welle, auch als stationäre Welle bezeichnet, ist eine Welle, deren Hüllkurve in einer konstanten Position bleibt. Dieses Phänomen entsteht durch die Interferenz zwischen zwei Wellen, die sich in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten. ⓘ

Die Summe zweier sich gegenläufig ausbreitender Wellen (mit gleicher Amplitude und Frequenz) erzeugt eine stehende Welle. Stehende Wellen entstehen in der Regel, wenn eine Grenze die weitere Ausbreitung der Welle blockiert, was zu einer Wellenreflexion und damit zur Entstehung einer sich entgegengesetzt ausbreitenden Welle führt. Wenn zum Beispiel eine Geigensaite verschoben wird, breiten sich Transversalwellen bis zu den Stellen aus, an denen die Saite am Steg und am Sattel gehalten wird, wo die Wellen zurückgeworfen werden. Am Steg und am Sattel sind die beiden entgegengesetzten Wellen gegenphasig und heben sich gegenseitig auf, wodurch ein Knoten entsteht. Auf halbem Weg zwischen zwei Knoten gibt es einen Gegenknoten, an dem sich die beiden gegenläufigen Wellen gegenseitig maximal verstärken. Es findet keine Nettoausbreitung von Energie über die Zeit statt. ⓘ

Eindimensionale stehende Wellen: die Grundschwingung und die ersten 5 Obertöne.
Eine zweidimensionale stehende Welle auf einer Scheibe; dies ist die Grundmode.
Eine stehende Welle auf einer Scheibe mit zwei sich in der Mitte kreuzenden Knotenlinien; dies ist ein Oberton. ⓘ

Physikalische Eigenschaften

Lichtstrahl, der beim Auftreffen auf ein Prisma Reflexion, Brechung, Transmission und Dispersion zeigt ⓘ

Wellen zeigen in einer Reihe von Standardsituationen ein gemeinsames Verhalten, zum Beispiel: ⓘ

Übertragung und Medien

Wellenarten:
1. und 2. Transversalwelle
3. Longitudinalwelle ⓘ

Wellen werden in mehrere Kategorien unterteilt: die „klassischen“ Longitudinal- und Transversalwellen (von denen auch Mischformen wie Torsionswellen auftreten können) sowie Materiewellen (nach der Theorie von Louis de Broglie hat ein sich bewegendes Teilchen auch eine Wellenlänge, die bei entsprechendem Versuchsaufbau auch nachgewiesen werden kann) und Wahrscheinlichkeitswellen, die im Rahmen der Quantenphysik die Zustände von physikalischen Systemen beschreiben. Gravitationswellen stauchen und strecken die Raumzeit quer zu ihrer Ausbreitungsrichtung. ⓘ

Mechanische Longitudinalwellen können sich in jedem Medium, ob fest, flüssig oder gasförmig ausbreiten, wogegen sich mechanische, reine Transversalwellen nur in Festkörpern ausbreiten können. Elektromagnetische Wellen in verlustfreien Medien (z. B. im Vakuum) sind transversal. ⓘ

Absorption

Wellen werden in der Regel in Medien definiert, die es ermöglichen, dass sich die Energie einer Welle größtenteils oder ganz ohne Verluste ausbreitet. Materialien können jedoch als "verlustbehaftet" bezeichnet werden, wenn sie einer Welle Energie entziehen und diese in der Regel in Wärme umwandeln. Dies wird als "Absorption" bezeichnet. Ein Material, das die Energie einer Welle absorbiert, entweder durch Transmission oder durch Reflexion, ist durch einen komplexen Brechungsindex gekennzeichnet. Das Ausmaß der Absorption hängt im Allgemeinen von der Frequenz (Wellenlänge) der Welle ab, was zum Beispiel erklärt, warum Objekte farbig erscheinen können. ⓘ

Reflexion

Wenn eine Welle auf eine reflektierende Oberfläche trifft, ändert sie ihre Richtung, so dass der Winkel zwischen der einfallenden Welle und der Normalen auf der Oberfläche gleich dem Winkel zwischen der reflektierten Welle und der gleichen Normalen ist. ⓘ

Brechung

Sinusförmige, sich ausbreitende ebene Welle, die unter einem Winkel in einen Bereich mit geringerer Wellengeschwindigkeit eintritt, zur Veranschaulichung der daraus resultierenden Abnahme der Wellenlänge und Richtungsänderung (Brechung). ⓘ

Unter Brechung versteht man das Phänomen, dass eine Welle ihre Geschwindigkeit ändert. Mathematisch gesehen bedeutet dies, dass sich die Größe der Phasengeschwindigkeit ändert. Normalerweise tritt die Brechung auf, wenn eine Welle von einem Medium in ein anderes übergeht. Der Betrag, um den eine Welle durch ein Material gebrochen wird, wird durch den Brechungsindex des Materials bestimmt. Die Richtungen des Einfalls und der Brechung sind durch das Snellsche Gesetz mit den Brechungsindizes der beiden Materialien verbunden. ⓘ

Beugung

Eine Welle wird gebeugt, wenn sie auf ein Hindernis trifft, das die Welle krümmt, oder wenn sie sich nach dem Austritt aus einer Öffnung ausbreitet. Die Beugungseffekte sind ausgeprägter, wenn die Größe des Hindernisses oder der Öffnung mit der Wellenlänge der Welle vergleichbar ist. ⓘ

Interferenz

Identische Wellen aus zwei Quellen, die interferieren. Von unten betrachtet sieht man 5 Positionen, an denen sich die Wellen in Phase addieren, dazwischen sind sie jedoch phasenverschoben und heben sich auf. ⓘ

Wenn sich Wellen in einem linearen Medium (der Normalfall) in einem Bereich des Raums kreuzen, interagieren sie nicht wirklich miteinander, sondern laufen weiter, als ob die andere Welle nicht vorhanden wäre. Allerdings addieren sich an einem beliebigen Punkt in diesem Bereich die Feldgrößen, die diese Wellen beschreiben, gemäß dem Überlagerungsprinzip. Wenn die Wellen die gleiche Frequenz haben und in einem festen Phasenverhältnis zueinander stehen, gibt es im Allgemeinen Positionen, an denen die beiden Wellen in Phase sind und sich ihre Amplituden addieren, und andere Positionen, an denen sie außer Phase sind und sich ihre Amplituden (teilweise oder vollständig) aufheben. Dies wird als Interferenzmuster bezeichnet. ⓘ

Polarisation

Das Phänomen der Polarisation tritt auf, wenn die Wellenbewegung gleichzeitig in zwei orthogonale Richtungen erfolgen kann. Transversalwellen können z. B. polarisiert sein. Wenn der Begriff Polarisation ohne Einschränkung verwendet wird, bezieht er sich in der Regel auf den speziellen, einfachen Fall der linearen Polarisation. Eine Transversalwelle ist linear polarisiert, wenn sie nur in einer Richtung oder Ebene schwingt. Bei linearer Polarisation ist es oft sinnvoll, die relative Ausrichtung der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung, in der die Schwingung auftritt, hinzuzufügen, z. B. "horizontal", wenn die Polarisationsebene parallel zum Boden verläuft. Elektromagnetische Wellen, die sich zum Beispiel im freien Raum ausbreiten, sind transversal; sie können durch die Verwendung eines Polarisationsfilters polarisiert werden. ⓘ

Längswellen, wie z. B. Schallwellen, weisen keine Polarisation auf. Für diese Wellen gibt es nur eine Schwingungsrichtung, nämlich die entlang der Ausbreitungsrichtung. ⓘ

Streuung

Schematische Darstellung der Streuung von Licht durch ein Prisma. Klicken Sie, um die Animation zu sehen. ⓘ

Eine Welle erfährt Dispersion, wenn entweder die Phasengeschwindigkeit oder die Gruppengeschwindigkeit von der Wellenfrequenz abhängt. Die Dispersion ist am einfachsten zu erkennen, wenn man weißes Licht durch ein Prisma laufen lässt, wodurch das Farbspektrum des Regenbogens entsteht. Isaac Newton führte Experimente mit Licht und Prismen durch und stellte in seinen Opticks (1704) fest, dass weißes Licht aus mehreren Farben besteht und dass diese Farben nicht weiter zerlegt werden können. ⓘ

Mechanische Wellen

Wellen auf Saiten

Die Geschwindigkeit einer Transversalwelle, die sich entlang einer schwingenden Saite ausbreitet (v), ist direkt proportional zur Quadratwurzel aus der Spannung der Saite (T) und der linearen Massendichte (μ):

v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}},

ⓘ

Dabei ist die lineare Dichte μ die Masse pro Längeneinheit der Saite. ⓘ

Akustische Wellen

Akustische Wellen oder Schallwellen breiten sich mit der Geschwindigkeit aus, die durch ⓘ

v={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}},

ⓘ

oder die Quadratwurzel aus dem adiabatischen Volumenmodul geteilt durch die Dichte der umgebenden Flüssigkeit (siehe Schallgeschwindigkeit). ⓘ

Wasserwellen

Die Wellen auf der Oberfläche eines Teichs sind eine Kombination aus Transversal- und Longitudinalwellen; die Punkte auf der Oberfläche folgen also einer Kreisbahn.
Schall - eine mechanische Welle, die sich in Gasen, Flüssigkeiten, Festkörpern und Plasmen ausbreitet;
Trägheitswellen, die in rotierenden Flüssigkeiten auftreten und durch den Coriolis-Effekt wiederhergestellt werden;
Wellen an der Meeresoberfläche, die sich als Störungen durch das Wasser ausbreiten. ⓘ

Seismische Wellen

Seismische Wellen sind Energiewellen, die sich durch die Erdschichten ausbreiten und das Ergebnis von Erdbeben, Vulkanausbrüchen, Magmabewegungen, großen Erdrutschen und großen, von Menschen verursachten Explosionen sind, die akustische Energie mit niedrigen Frequenzen aussenden. ⓘ

Doppler-Effekt

Der Doppler-Effekt (oder die Doppler-Verschiebung) ist die Änderung der Frequenz einer Welle in Bezug auf einen Beobachter, der sich relativ zur Wellenquelle bewegt. Er ist nach dem österreichischen Physiker Christian Doppler benannt, der das Phänomen 1842 beschrieb. ⓘ

Schockwellen

Bildung einer Schockwelle durch ein Flugzeug. ⓘ

Eine Stoßwelle ist eine Art sich ausbreitende Störung. Bewegt sich eine Welle schneller als die lokale Schallgeschwindigkeit in einer Flüssigkeit, handelt es sich um eine Stoßwelle. Wie eine gewöhnliche Welle ist eine Stoßwelle energiegeladen und kann sich durch ein Medium ausbreiten; sie ist jedoch durch eine abrupte, nahezu diskontinuierliche Änderung von Druck, Temperatur und Dichte des Mediums gekennzeichnet. ⓘ

Andere

Verkehrswellen, d. h. die Ausbreitung unterschiedlicher Dichten von Kraftfahrzeugen usw., die als kinematische Wellen modelliert werden können
Metachronale Welle bezeichnet die Erscheinung einer sich ausbreitenden Welle, die durch koordinierte aufeinanderfolgende Aktionen erzeugt wird. ⓘ

Elektromagnetische Wellen

Eine elektromagnetische Welle besteht aus zwei Wellen, die Schwingungen des elektrischen und des magnetischen Feldes sind. Eine elektromagnetische Welle breitet sich in einer Richtung aus, die im rechten Winkel zur Schwingungsrichtung der beiden Felder steht. Im 19. Jahrhundert zeigte James Clerk Maxwell, dass im Vakuum das elektrische und das magnetische Feld die Wellengleichung erfüllen, und zwar beide mit der gleichen Geschwindigkeit wie die Lichtgeschwindigkeit. Daraus entwickelte sich die Idee, dass Licht eine elektromagnetische Welle ist. Elektromagnetische Wellen können unterschiedliche Frequenzen (und damit Wellenlängen) haben, was zu verschiedenen Arten von Strahlung wie Radiowellen, Mikrowellen, Infrarot, sichtbares Licht, Ultraviolett, Röntgen- und Gammastrahlen führt. ⓘ

Quantenmechanische Wellen

Schrödinger-Gleichung

Die Schrödinger-Gleichung beschreibt das wellenartige Verhalten von Teilchen in der Quantenmechanik. Lösungen dieser Gleichung sind Wellenfunktionen, die zur Beschreibung der Wahrscheinlichkeitsdichte eines Teilchens verwendet werden können. ⓘ

Dirac-Gleichung

Die Dirac-Gleichung ist eine relativistische Wellengleichung, die elektromagnetische Wechselwirkungen beschreibt. Die Dirac-Wellen haben die feinen Details des Wasserstoffspektrums in einer völlig rigorosen Weise erklärt. Die Wellengleichung impliziert auch die Existenz einer neuen Form von Materie, der Antimaterie, die zuvor nicht vermutet und nicht beobachtet wurde und die experimentell bestätigt wurde. Im Rahmen der Quantenfeldtheorie wird die Dirac-Gleichung neu interpretiert, um Quantenfelder zu beschreiben, die den Spin-½-Teilchen entsprechen. ⓘ

Ein sich ausbreitendes Wellenpaket; im Allgemeinen bewegt sich die Hülle des Wellenpakets mit einer anderen Geschwindigkeit als die Wellen, aus denen es besteht. ⓘ

de Broglie-Wellen

Louis de Broglie postulierte, dass alle Teilchen mit Impuls eine Wellenlänge haben ⓘ

\lambda ={\frac {h}{p}},

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haben, wobei h die Plancksche Konstante und p die Größe des Impulses des Teilchens ist. Diese Hypothese bildete die Grundlage der Quantenmechanik. Heutzutage wird diese Wellenlänge als de Broglie-Wellenlänge bezeichnet. Die Elektronen in einem CRT-Bildschirm haben beispielsweise eine de Broglie-Wellenlänge von etwa 10-13 m. ⓘ

Eine Welle, die ein solches Teilchen repräsentiert, das sich in der k-Richtung bewegt, wird durch die folgende Wellenfunktion ausgedrückt:

\psi (\mathbf {r} ,\,t=0)=Ae^{i\mathbf {k\cdot r} },

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wobei die Wellenlänge durch den Wellenvektor k bestimmt wird als:

\lambda ={\frac {2\pi }{k}},

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und der Impuls durch:

\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} .

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Eine solche Welle mit definierter Wellenlänge ist jedoch nicht im Raum lokalisiert und kann daher kein im Raum lokalisiertes Teilchen darstellen. Um ein Teilchen zu lokalisieren, schlug de Broglie eine Überlagerung verschiedener Wellenlängen vor, die sich um einen zentralen Wert in einem Wellenpaket bewegen, einer Wellenform, die in der Quantenmechanik häufig zur Beschreibung der Wellenfunktion eines Teilchens verwendet wird. In einem Wellenpaket ist die Wellenlänge des Teilchens nicht genau festgelegt, und die lokale Wellenlänge weicht auf beiden Seiten des Hauptwellenlängenwerts ab. ⓘ

Bei der Darstellung der Wellenfunktion eines lokalisierten Teilchens wird das Wellenpaket oft als gaußförmig angesehen und als Gaußsches Wellenpaket bezeichnet. Gaußsche Wellenpakete werden auch zur Analyse von Wasserwellen verwendet. ⓘ

Eine Gauß'sche Wellenfunktion ψ könnte zum Beispiel die Form haben:

\psi (x,\,t=0)=A\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}+ik_{0}x\right),

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zu einem Anfangszeitpunkt t = 0, wobei die zentrale Wellenlänge mit dem zentralen Wellenvektor k₀ als λ₀ = 2π / k₀ zusammenhängt. Aus der Theorie der Fourier-Analyse oder der Heisenberg'schen Unschärferelation (im Falle der Quantenmechanik) ist bekannt, dass ein enger Bereich von Wellenlängen erforderlich ist, um ein lokalisiertes Wellenpaket zu erzeugen, und dass die Streuung der erforderlichen Wellenlängen umso größer ist, je lokaler die Hüllkurve ist. Die Fourier-Transformation eines Gauß ist selbst ein Gauß. Gegeben sei der Gauß:

f(x)=e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)},

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die Fourier-Transformierte ist:

{\tilde {f}}(k)=\sigma e^{-\sigma ^{2}k^{2}/2}.

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Der Gauß im Raum setzt sich also aus Wellen zusammen:

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\ {\tilde {f}}(k)e^{ikx}\ dk;

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Das heißt, aus einer Anzahl von Wellen der Wellenlänge λ, so dass kλ = 2 π ist. ⓘ

Der Parameter σ bestimmt die räumliche Ausdehnung des Gauß entlang der x-Achse, während die Fourier-Transformation eine Ausdehnung des Wellenvektors k zeigt, die durch 1/σ bestimmt wird. Das heißt, je kleiner die Ausdehnung im Raum, desto größer die Ausdehnung in k und damit in λ = 2π/k. ⓘ

Animation, die die Wirkung einer kreuzpolarisierten Gravitationswelle auf einen Ring von Testteilchen zeigt ⓘ

Gravitationswellen

Schwerewellen sind Wellen, die in einem flüssigen Medium oder an der Grenzfläche zwischen zwei Medien entstehen, wenn die Schwerkraft oder der Auftrieb versucht, das Gleichgewicht wiederherzustellen. Ein Beispiel ist das Plätschern eines Teiches. ⓘ

Gravitationswellen

Auch Gravitationswellen breiten sich im Raum aus. Die erste Beobachtung von Gravitationswellen wurde am 11. Februar 2016 bekannt gegeben. Gravitationswellen sind Störungen der Krümmung der Raumzeit, die durch Einsteins allgemeine Relativitätstheorie vorhergesagt werden. ⓘ

Longitudinalwelle

Wellen, die parallel zur Ausbreitungsrichtung schwingen, werden als Longitudinal- oder Längswelle bezeichnet. Ein wichtiges Beispiel ist der Schall, der sich in Gasen und Flüssigkeiten immer als Longitudinalwelle ausbreitet. ⓘ

Mechanische Longitudinalwellen sind Druckwellen. Das bedeutet, dass sich in einem Medium Zonen mit Überdruck bzw. Druckspannung (bzw. Unterdruck oder Zugspannung) in der Ausbreitungsrichtung fortpflanzen bzw. verschieben oder ausbreiten. Die einzelnen Teilchen im Ausbreitungsmedium, Atome oder Moleküle, schwingen hierbei in Richtung der Ausbreitung um den Betrag der Amplitude hin und her. Nach dem Durchlauf der Schwingung bewegen sich die Teilchen wieder an ihre Ruhestellung, die Gleichgewichtslage, zurück. ⓘ

Die Leistung einer Longitudinalwelle ist proportional zum Quadrat der Amplitude oder der Druckspannung, siehe auch Schalldruck und Schallschnelle. Longitudinalwellen haben im gleichen festen Medium eine höhere Geschwindigkeit als Transversalwellen des gleichen Typs bei ansonsten gleichen Parametern. ⓘ

Amplitude

Die Amplitude $\mathbf {A} _{0}$ ist die maximale mögliche Auslenkung der Welle. Sie ist bei Wellen – im Gegensatz zu Schwingungen – eine vektorielle Größe, da neben der Stärke der Auslenkung auch deren Richtung entscheidend ist. Ist die Ausbreitungsrichtung parallel zur Amplitude, handelt es sich um eine Longitudinalwelle, ist sie senkrecht, um eine Transversalwelle. In beiden Fällen ist die Intensität der Welle proportional zum Quadrat der Amplitude. ⓘ

Beispiele

Die mathematische Formulierung für eine harmonische (auch: homogene, monochromatische) ebene Welle im dreidimensionalen Raum ist in komplexer Schreibweise:

\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\operatorname {Re} \left(\mathbf {A} _{0}e^{i\left(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t\right)}\right)=\operatorname {Re} (\mathbf {A} _{0})\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)-\operatorname {Im} (\mathbf {A} _{0})\sin(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t).

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Eine Kugelwelle lässt sich mit folgender Gleichung beschreiben:

\mathbf {A} (r,t)=\operatorname {Re} \left({\frac {\mathbf {A} _{0}}{r}}e^{i(kr-\omega t)}\right)={\frac {\operatorname {Re} (\mathbf {A} _{0})}{r}}\cos(kr-\omega t)-{\frac {\operatorname {Im} (\mathbf {A} _{0})}{r}}\sin(kr-\omega t).

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