Hamiltonoperator

In der Quantenmechanik ist der Hamiltonoperator eines Systems ein Operator, der der Gesamtenergie des Systems entspricht, einschließlich der kinetischen Energie und der potenziellen Energie. Sein Spektrum, das Energiespektrum des Systems oder die Menge der Energieeigenwerte, ist die Menge der möglichen Ergebnisse, die aus einer Messung der Gesamtenergie des Systems resultieren. Aufgrund seiner engen Beziehung zum Energiespektrum und zur zeitlichen Entwicklung eines Systems ist er in den meisten Formulierungen der Quantentheorie von grundlegender Bedeutung. ⓘ

Der Hamiltonian ist nach William Rowan Hamilton benannt, der eine revolutionäre Neuformulierung der Newtonschen Mechanik, die so genannte Hamiltonsche Mechanik, entwickelte, die für die Entwicklung der Quantenphysik von historischer Bedeutung war. Ähnlich wie bei der Vektorschreibweise wird sie in der Regel wie folgt bezeichnet ${\hat {H}}$bezeichnet, wobei der Hut anzeigt, dass es sich um einen Operator handelt. Er kann auch geschrieben werden als $H$ oder ${\check {H}}$. ⓘ

Einführung

Der Hamiltonian eines Systems stellt die Gesamtenergie des Systems dar, d. h. die Summe der kinetischen und potenziellen Energien aller mit dem System verbundenen Teilchen. Der Hamiltonian nimmt verschiedene Formen an und kann in einigen Fällen vereinfacht werden, indem die konkreten Merkmale des untersuchten Systems berücksichtigt werden, z. B. einzelne oder mehrere Teilchen im System, Wechselwirkung zwischen den Teilchen, Art der potenziellen Energie, zeitlich veränderliches oder zeitunabhängiges Potenzial. ⓘ

Schrödinger-Hamiltonsche

Ein Teilchen

In Analogie zur klassischen Mechanik wird der Hamiltonian üblicherweise als Summe von Operatoren ausgedrückt, die den kinetischen und potenziellen Energien eines Systems entsprechen, und zwar in der Form ⓘ

$${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},$$

ⓘ

wobei

$${\hat {V}}=V=V(\mathbf {r} ,t),$$

der potentielle Energieoperator und

$${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},$$

der Operator der kinetischen Energie ist, wobei $m$ die Masse des Teilchens ist, der Punkt das Punktprodukt von Vektoren bezeichnet und

$${\hat {p}}=-i\hbar \nabla ,$$

der Impulsoperator ist, wobei a $\nabla$ der Del-Operator ist. Das Punktprodukt von $\nabla$ mit sich selbst ist der Laplacian $\nabla ^{2}$. In drei Dimensionen mit kartesischen Koordinaten ist der Laplace-Operator

$$\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}$$

ⓘ

Obwohl dies nicht die technische Definition des Hamilton-Operators in der klassischen Mechanik ist, ist dies die Form, die er am häufigsten annimmt. Kombiniert man sie, erhält man die bekannte Form, die in der Schrödinger-Gleichung verwendet wird:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}$$

ⓘ

Damit lässt sich der Hamiltonoperator auf Systeme anwenden, die durch eine Wellenfunktion beschrieben werden $\Psi (\mathbf {r} ,t)$. Dies ist der Ansatz, der üblicherweise in einführenden Abhandlungen zur Quantenmechanik gewählt wird, wobei der Formalismus der Schrödingerschen Wellenmechanik verwendet wird. ⓘ

Man kann auch Substitutionen an bestimmten Variablen vornehmen, um bestimmte Fälle zu berücksichtigen, wie z. B. solche, die elektromagnetische Felder betreffen. ⓘ

Viele Teilchen

Der Formalismus kann erweitert werden auf $N$ Teilchen erweitert werden:

$${\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}$$

ⓘ

wobei

$${\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t),$$

ist die potentielle Energiefunktion, die nun eine Funktion der räumlichen Konfiguration des Systems und der Zeit ist (ein bestimmter Satz räumlicher Positionen zu einem bestimmten Zeitpunkt definiert eine Konfiguration) und

$${\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{n}}{2m_{n}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{n}}}\nabla _{n}^{2}$$

ist der Operator der kinetischen Energie des Teilchens $n$, $\nabla _{n}$ ist der Gradient für das Teilchen $n$ist, und $\nabla _{n}^{2}$ ist der Laplacian für das Teilchen n:

$$\nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{n}^{2}}},$$

ⓘ

Kombiniert man diese Operatoren, so erhält man den Schrödinger-Hamiltonian für den $N$-Teilchen-Fall:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}$$

ⓘ

Beim Vielteilchenproblem können jedoch Komplikationen auftreten. Da die potentielle Energie von der räumlichen Anordnung der Teilchen abhängt, hängt auch die kinetische Energie von der räumlichen Konfiguration ab, um die Energie zu erhalten. Die von einem Teilchen verursachte Bewegung hängt von der Bewegung aller anderen Teilchen im System ab. Aus diesem Grund können im Hamiltonian Querterme für die kinetische Energie erscheinen; eine Mischung aus den Gradienten für zwei Teilchen:

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}$$

ⓘ

wobei $M$ bezeichnet die Masse der Ansammlung von Teilchen, die zu dieser zusätzlichen kinetischen Energie führt. Terme dieser Form sind als Massenpolarisierungsterme bekannt und kommen in den Hamiltonianen vieler Elektronenatome vor (siehe unten). ⓘ

Für $N$ wechselwirkende Teilchen, d. h. Teilchen, die miteinander wechselwirken und eine Vielteilchensituation bilden, ist die potenzielle Energiefunktion $V$ nicht einfach eine Summe der einzelnen Potenziale (und schon gar nicht ein Produkt, da dies dimensionsmäßig falsch ist). Die potenzielle Energiefunktion kann nur wie oben geschrieben werden: eine Funktion aller räumlichen Positionen jedes Teilchens. ⓘ

Für nicht wechselwirkende Teilchen, d. h. Teilchen, die nicht miteinander wechselwirken und sich unabhängig voneinander bewegen, ist das Potenzial des Systems die Summe der separaten potenziellen Energie für jedes Teilchen, d. h. ⓘ

$$V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)$$

ⓘ

Die allgemeine Form des Hamiltonian ist in diesem Fall:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}$$

ⓘ

wobei die Summe über alle Teilchen und ihre entsprechenden Potenziale genommen wird; das Ergebnis ist, dass der Hamiltonian des Systems die Summe der separaten Hamiltonians für jedes Teilchen ist. Dies ist eine idealisierte Situation - in der Praxis werden die Teilchen fast immer von einem Potenzial beeinflusst, und es gibt Vielkörperwechselwirkungen. Ein anschauliches Beispiel für eine Zweikörper-Wechselwirkung, bei der diese Form nicht gilt, ist das elektrostatische Potenzial geladener Teilchen, da sie durch Coulomb-Wechselwirkung (elektrostatische Kraft) miteinander wechselwirken, wie unten dargestellt. ⓘ

Schrödinger-Gleichung

Die Hamilton-Gleichung erzeugt die zeitliche Entwicklung von Quantenzuständen. Wenn $\left|\psi (t)\right\rangle$ ist der Zustand des Systems zum Zeitpunkt $t$ist, dann ⓘ

$$H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .$$

ⓘ

Diese Gleichung ist die Schrödinger-Gleichung. Sie hat die gleiche Form wie die Hamilton-Jacobi-Gleichung, was einer der Gründe dafür ist, dass $H$ auch Hamilton-Gleichung genannt wird. Wenn man den Zustand zu einem bestimmten Anfangszeitpunkt ($t=0$), können wir sie lösen, um den Zustand zu jedem späteren Zeitpunkt zu erhalten. Insbesondere, wenn $H$ unabhängig von der Zeit ist, dann ⓘ

$$\left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .$$

ⓘ

Der Exponentialoperator auf der rechten Seite der Schrödinger-Gleichung ist normalerweise durch die entsprechende Potenzreihe in $H$. Es könnte auffallen, dass die Annahme von Polynomen oder Potenzreihen von unbeschränkten Operatoren, die nicht überall definiert sind, mathematisch nicht sinnvoll ist. Um Funktionen von unbeschränkten Operatoren zu betrachten, ist eine Funktionsrechnung erforderlich. Im Fall der Exponentialfunktion reicht die stetige oder einfach die holomorphe Funktionsrechnung aus. Es sei jedoch nochmals darauf hingewiesen, dass für gewöhnliche Berechnungen die Formulierung der Physiker völlig ausreichend ist. ⓘ

Durch die *-Homomorphismus-Eigenschaft der Funktionalrechnung ist der Operator ⓘ

$$U=e^{-iHt/\hbar }$$

ⓘ

ein unitärer Operator. Er ist der Zeitentwicklungsoperator oder Propagator eines geschlossenen Quantensystems. Wenn der Hamiltonian zeitunabhängig ist, $\{U(t)\}$ bilden eine einparametrige unitäre Gruppe (mehr als eine Halbgruppe); daraus ergibt sich das physikalische Prinzip des detaillierten Gleichgewichts. ⓘ

Dirac-Formalismus

Im allgemeineren Dirac-Formalismus wird der Hamiltonian jedoch typischerweise als Operator auf einem Hilbert-Raum in folgender Weise implementiert: Die Eigenkreise (Eigenvektoren) von $H$, bezeichnet als $\left|a\right\rangle$bilden eine orthonormale Basis für den Hilbertraum. Das Spektrum der zulässigen Energieniveaus des Systems ist durch die Menge der Eigenwerte, bezeichnet als $\{E_{a}\}$, die die Gleichung lösen:

$$H\left|a\right\rangle =E_{a}\left|a\right\rangle .$$

ⓘ

Da $H$ ein hermitescher Operator ist, ist die Energie immer eine reelle Zahl. ⓘ

Aus mathematisch strenger Sicht müssen die obigen Annahmen mit Vorsicht behandelt werden. Operatoren auf unendlich-dimensionalen Hilbert-Räumen müssen keine Eigenwerte haben (die Menge der Eigenwerte fällt nicht unbedingt mit dem Spektrum eines Operators zusammen). Alle routinemäßigen quantenmechanischen Berechnungen können jedoch mit der physikalischen Formulierung durchgeführt werden. ⓘ

Ausdrücke für den Hamiltonian

Nachfolgend finden Sie Ausdrücke für den Hamiltonianer in einer Reihe von Situationen. Die Ausdrücke lassen sich typischerweise nach der Anzahl der Teilchen, der Anzahl der Dimensionen und der Art der potenziellen Energiefunktion - insbesondere der Abhängigkeit von Raum und Zeit - klassifizieren. Die Massen werden bezeichnet mit $m$und Ladungen durch $q$. ⓘ

Freies Teilchen

Das Teilchen ist durch keine potentielle Energie gebunden, daher ist das Potential gleich Null und dieser Hamiltonian ist der einfachste. Für eine Dimension:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}$$

ⓘ

und in höheren Dimensionen:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$$

ⓘ

Konstantes-Potential-Topf

Für ein Teilchen in einer Region mit konstantem Potential $V=V_{0}$ (keine Abhängigkeit von Raum oder Zeit), in einer Dimension, ist der Hamiltonian:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}$$

ⓘ

in drei Dimensionen ⓘ

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}$$

ⓘ

Dies gilt für das elementare "Teilchen im Kasten"-Problem und für Stufenpotentiale. ⓘ

Einfacher harmonischer Oszillator

Für einen einfachen harmonischen Oszillator in einer Dimension variiert das Potenzial mit der Position (aber nicht mit der Zeit), gemäß:

$$V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}$$

ⓘ

wobei die Winkelfrequenz $\omega$, die effektive Federkonstante $k$und die Masse $m$ des Oszillators erfüllen:

$$\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$$

ⓘ

Der Hamiltonian ist also:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}$$

ⓘ

Für drei Dimensionen wird daraus ⓘ

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}$$

ⓘ

wobei der dreidimensionale Positionsvektor $\mathbf {r}$ in kartesischen Koordinaten ist $(x,y,z)$, sein Betrag ist ⓘ

$$r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$$

ⓘ

Wenn man den Hamiltonian vollständig ausschreibt, ist er einfach die Summe der eindimensionalen Hamiltonians in jeder Richtung:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\[6pt]&=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\end{aligned}}$$

ⓘ

Starrer Rotor

Für einen starren Rotor - d. h. ein System von Teilchen, die sich frei um beliebige Achsen drehen können und nicht durch ein Potential gebunden sind (wie z. B. freie Moleküle mit vernachlässigbaren Schwingungsfreiheitsgraden, z. B. aufgrund von chemischen Doppel- oder Dreifachbindungen) - lautet der Hamiltonian:

$${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{\hat {J}}_{x}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{\hat {J}}_{y}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{\hat {J}}_{z}^{2}$$

ⓘ

wobei $I_{xx}$, $I_{yy}$ist, und $I_{zz}$ sind die Trägheitsmomentkomponenten (technisch gesehen die Diagonalelemente des Trägheitstensors), und ${\hat {J}}_{x}$, ${\hat {J}}_{y}$ist, und ${\hat {J}}_{z}$ sind die Gesamtdrehimpulsoperatoren (Komponenten) um die $x$, $y$ist, und $z$ Achsen. ⓘ

Elektrostatisches oder Coulomb-Potential

Die Coulomb-Potentialenergie für zwei Punktladungen $q_{1}$ und $q_{2}$ (d. h. solche, die keine unabhängige räumliche Ausdehnung haben) in drei Dimensionen ist (in SI-Einheiten - und nicht in Gauß-Einheiten, die im Elektromagnetismus häufig verwendet werden):

$$V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}$$

ⓘ

Dies ist jedoch nur das Potenzial für eine Punktladung in Abhängigkeit von einer anderen. Wenn es viele geladene Teilchen gibt, hat jede Ladung eine potenzielle Energie aufgrund jeder anderen Punktladung (außer sich selbst). Für $N$ Ladungen ist die potenzielle Energie der Ladung $q_{j}$ aufgrund aller anderen Ladungen (siehe auch Elektrostatische potenzielle Energie, die in einer Konfiguration von diskreten Punktladungen gespeichert ist):

$$V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}$$

ⓘ

wobei $\phi (\mathbf {r} _{i})$ ist das elektrostatische Potenzial der Ladung $q_{j}$ auf $\mathbf {r} _{i}$. Das Gesamtpotenzial des Systems ist dann die Summe über $j$:

$$V={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}$$

ⓘ

Der Hamiltonian ist also:

$${\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\&=\sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\right)\\\end{aligned}}$$

ⓘ

Elektrischer Dipol in einem elektrischen Feld

Für ein elektrisches Dipolmoment $\mathbf {d}$ bestehend aus Ladungen der Größenordnung $q$in einem gleichförmigen, elektrostatischen Feld (zeitunabhängig) $\mathbf {E}$, das sich an einem Ort befindet, ist das Potential gleich:

$$V=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E}$$

ⓘ

das Dipolmoment selbst ist der Operator ⓘ

$$\mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}}$$

ⓘ

Da das Teilchen stationär ist, gibt es keine kinetische Translationsenergie des Dipols, so dass der Hamiltonian des Dipols nur die potenzielle Energie ist:

$${\hat {H}}=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} =-q\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {E}$$

ⓘ

Magnetischer Dipol in einem Magnetfeld

Für ein magnetisches Dipolmoment ${\boldsymbol {\mu }}$ in einem gleichmäßigen, magnetostatischen Feld (zeitunabhängig) $\mathbf {B}$, das sich an einem Ort befindet, ist das Potential gleich:

$$V=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B}$$

ⓘ

Da das Teilchen stationär ist, gibt es keine kinetische Translationsenergie des Dipols, so dass der Hamiltonian des Dipols nur die potenzielle Energie ist:

$${\hat {H}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B}$$

ⓘ

Für ein Spin-1⁄2-Teilchen ist das entsprechende magnetische Spinmoment:

$${\boldsymbol {\mu }}_{S}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S}$$

ⓘ

wobei $g_{s}$ ist das Spin-Gyromagnet-Verhältnis (auch "Spin-G-Faktor" genannt), $e$ ist die Elektronenladung, $\mathbf {S}$ ist der Spinoperatorvektor, dessen Komponenten die Pauli-Matrizen sind, also ⓘ

$${\hat {H}}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {B}$$

ⓘ

Geladenes Teilchen in einem elektromagnetischen Feld

Für ein Teilchen mit Masse $m$ und Ladung $q$ in einem elektromagnetischen Feld, beschrieben durch das skalare Potential $\phi$ und Vektorpotential $\mathbf {A}$beschrieben werden, sind zwei Teile des Hamiltonoperators zu ersetzen. Der kanonische Impulsoperator $\mathbf {\hat {\Pi }}$, der einen Beitrag aus dem $\mathbf {A}$ Feldes enthält und die kanonische Kommutationsbeziehung erfüllt, muss quantisiert werden; ⓘ

$$\mathbf {\hat {\Pi }} =\mathbf {\hat {P}} +q\mathbf {A} ,$$

ⓘ

wobei $\mathbf {\hat {P}}$ ist der Operator des kinetischen Impulses. Die Quantisierungsvorschrift lautet ⓘ

$$\mathbf {\hat {\Pi }} =-i\hbar \nabla ,$$

ⓘ

Der entsprechende kinetische Energieoperator ist also ⓘ

$${\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {P}} \cdot \mathbf {\hat {P}} }{2m}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\hat {\Pi }} -q\mathbf {A} \right)^{2}$$

ⓘ

und die potentielle Energie, die durch das $\phi$ Feld zurückzuführen ist, ist gegeben durch ⓘ

$${\hat {V}}=q\phi .$$

ⓘ

Setzt man alle diese Operatoren in den Hamilton-Operator ein, erhält man ⓘ

$${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\phi .$$

ⓘ

Entartung von Energieeigenkräften, Symmetrie und Erhaltungssätze

In vielen Systemen haben zwei oder mehr Energieeigenzustände die gleiche Energie. Ein einfaches Beispiel hierfür ist ein freies Teilchen, dessen Energieeigenzustände Wellenfunktionen haben, die sich als ebene Wellen ausbreiten. Die Energie jeder dieser ebenen Wellen ist umgekehrt proportional zum Quadrat ihrer Wellenlänge. Eine Welle, die sich in der Richtung $x$ Richtung ausbreitet, ist ein anderer Zustand als eine Welle, die sich in der $y$ Richtung ausbreitet, aber wenn sie die gleiche Wellenlänge haben, sind ihre Energien gleich. In diesem Fall spricht man von einer Entartung der Zustände. ⓘ

Es stellt sich heraus, dass Entartung immer dann auftritt, wenn ein nichttrivialer unitärer Operator $U$ mit der Hamiltonfunktion kommutiert. Um dies zu sehen, nehmen wir an, dass $|a\rangle$ ein Energieeigenket ist. Dann ist $U|a\rangle$ ein Energieeigenket mit demselben Eigenwert, da ⓘ

$$UH|a\rangle =UE_{a}|a\rangle =E_{a}(U|a\rangle )=H\;(U|a\rangle ).$$

ⓘ

Da $U$ nicht trivial ist, muss mindestens ein Paar von $|a\rangle$ und $U|a\rangle$ unterschiedliche Zustände repräsentieren müssen. Daher $H$ mindestens ein Paar von entarteten Energieeigenketen. Im Fall des freien Teilchens ist der unitäre Operator, der die Symmetrie erzeugt, der Rotationsoperator, der die Wellenfunktionen um einen bestimmten Winkel dreht, während ihre Form ansonsten erhalten bleibt. ⓘ

Die Existenz eines Symmetrieoperators impliziert die Existenz einer konservierten Beobachtungsgröße. Sei $G$ sei der hermitesche Generator von $U$:

$$U=I-i\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})$$

ⓘ

Es ist leicht zu zeigen, dass, wenn $U$ kommutiert mit $H$kommutiert, dann gilt auch $G$:

$$[H,G]=0$$

ⓘ

daher, ⓘ

$${\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi (t)|G|\psi (t)\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi (t)|[G,H]|\psi (t)\rangle =0.$$

ⓘ

Um dieses Ergebnis zu erhalten, haben wir die Schrödinger-Gleichung sowie ihr Dual verwendet, ⓘ

$$\langle \psi (t)|H=-i\hbar {\partial \over \partial t}\langle \psi (t)|.$$

ⓘ

Somit ist der Erwartungswert der Beobachtungsgröße $G$ ist für jeden Zustand des Systems erhalten. Im Fall des freien Teilchens ist die erhaltene Größe der Drehimpuls. ⓘ

Die Hamilton-Gleichungen

Die Hamilton-Gleichungen der klassischen Hamiltonschen Mechanik haben eine direkte Entsprechung in der Quantenmechanik. Angenommen, wir haben einen Satz von Basiszuständen $\left\{\left|n\right\rangle \right\}$, die nicht unbedingt Eigenzustände der Energie sein müssen. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass sie diskret und orthonormal sind, d.h., ⓘ

$$\langle n'|n\rangle =\delta _{nn'}$$

ⓘ

Man beachte, dass diese Basiszustände als zeitunabhängig angenommen werden. Wir nehmen an, dass der Hamiltonian ebenfalls zeitunabhängig ist. ⓘ

Der momentane Zustand des Systems zum Zeitpunkt $t$, $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$kann in Form dieser Basiszustände erweitert werden:

$$|\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle$$

ⓘ

wobei ⓘ

$$a_{n}(t)=\langle n|\psi (t)\rangle .$$

ⓘ

Die Koeffizienten $a_{n}(t)$ sind komplexe Variablen. Wir können sie als Koordinaten betrachten, die den Zustand des Systems spezifizieren, wie die Positions- und Impulskoordinaten, die ein klassisches System spezifizieren. Wie die klassischen Koordinaten sind sie im Allgemeinen zeitlich nicht konstant, und aus ihrer Zeitabhängigkeit ergibt sich die Zeitabhängigkeit des Systems als Ganzes. ⓘ

Der Erwartungswert des Hamiltonian dieses Zustands, der auch die mittlere Energie darstellt, ist ⓘ

$$\langle H(t)\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle \psi (t)|H|\psi (t)\rangle =\sum _{nn'}a_{n'}^{*}a_{n}\langle n'|H|n\rangle$$

ⓘ

wobei der letzte Schritt durch Expansion $\left|\psi \left(t\right)\right\rangle$ in Bezug auf die Basiszustände. ⓘ

Jeder $a_{n}(t)$ entspricht eigentlich zwei unabhängigen Freiheitsgraden, da die Variable einen Realteil und einen Imaginärteil hat. Wir wenden nun folgenden Trick an: Anstatt den Real- und den Imaginärteil als unabhängige Variablen zu verwenden, benutzen wir $a_{n}(t)$ und seine komplexe Konjugierte $a_{n}^{*}(t)$. Mit dieser Wahl der unabhängigen Variablen können wir die partielle Ableitung berechnen ⓘ

$${\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=\sum _{n}a_{n}\langle n'|H|n\rangle =\langle n'|H|\psi \rangle$$

ⓘ

Durch Anwendung der Schrödingergleichung und unter Verwendung der Orthonormalität der Basiszustände reduziert sich diese weiter auf ⓘ

$${\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=i\hbar {\frac {\partial a_{n'}}{\partial t}}$$

ⓘ

In ähnlicher Weise kann man zeigen, dass ⓘ

$${\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-i\hbar {\frac {\partial a_{n}^{*}}{\partial t}}$$

ⓘ

Wenn wir die Variablen des "konjugierten Impulses" definieren $\pi _{n}$ durch ⓘ

$$\pi _{n}(t)=i\hbar a_{n}^{*}(t)$$

ⓘ

dann werden die obigen Gleichungen zu ⓘ

$${\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial \pi _{n}}}={\frac {\partial a_{n}}{\partial t}},\quad {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-{\frac {\partial \pi _{n}}{\partial t}}$$

ⓘ

was genau die Form der Hamilton-Gleichungen ist, wobei die $a_{n}$s als die verallgemeinerten Koordinaten, die $\pi _{n}$s als die konjugierten Momente und $\langle H\rangle$ an die Stelle der klassischen Hamilton-Gleichung tritt. ⓘ

Zeitentwicklung und Energie

In der Quantenmechanik wird jeder Zustand des betrachteten physikalischen Systems durch einen zugehörigen Vektor $\psi$ im Hilbertraum angegeben. Seine Zeitentwicklung wird nach der Schrödingergleichung durch den Hamiltonoperator ${\hat {H}}$ bestimmt:

$\mathrm {i} \,\hbar {\partial \over \partial t}\,\psi (t)={\hat {H}}\,\psi (t)$ ⓘ

mit ⓘ

• der imaginären Einheit $\mathrm {i}$
• der reduzierten Planckschen Konstante $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}.$ ⓘ

Man erhält den Hamiltonoperator in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion ${\mathcal {H}}(t,x,p)$ des entsprechenden klassischen Systems (mit der generalisierten Koordinate x und dem kanonischen Impuls p) durch kanonische Quantisierung. Dazu wird der algebraische Ausdruck für die Hamilton-Funktion als Funktion von Operatoren gelesen (Ortsoperator ${\hat {x}}$ und Impulsoperator ${\hat {p}}$), die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen. ⓘ

Dies ist allerdings nicht eindeutig, da die Funktion $x\,p-p\,x$ den Wert $0$ hat, die Operatorfunktion ${\hat {x}}\,{\hat {p}}-{\hat {p}}\,{\hat {x}}$ aber den Wert $\mathrm {i} \hbar .$ Zudem ist $x\,p$ reell, aber ${\hat {x}}\,{\hat {p}}$ ist hermitesch. Außerdem gibt es quantenmechanische Größen wie den Spin, die in der klassischen Physik nicht auftreten. Wie sie sich auf die Zeitentwicklung auswirken, folgt nicht aus Analogien mit der klassischen Physik, sondern muss aus den physikalischen Befunden erschlossen werden. ⓘ

Die Eigenwertgleichung ⓘ

${\hat {H}}\,\varphi _{E}=E\,\varphi _{E}$ ⓘ

bestimmt die Eigenvektoren $\varphi _{E}$ des Hamiltonoperators; sie sind bei zeitunabhängigem Hamiltonoperator stationär, d. h. in jeder beobachtbaren Eigenschaft zeitunabhängig. Die Eigenwerte $E$ sind die zugehörigen Energien. ⓘ

Da der Hamiltonoperator hermitesch (genauer wesentlich selbstadjungiert) ist, besagt der Spektralsatz, dass die Energien reell sind und dass die Eigenvektoren eine Orthonormalbasis des Hilbertraums bilden. Je nach System kann das Energiespektrum diskret oder kontinuierlich sein. Manche Systeme, z. B. das Wasserstoffatom oder ein Teilchen im Potentialtopf, haben ein nach unten beschränktes, diskretes Spektrum und darüber ein Kontinuum möglicher Energien. ⓘ

Der Hamiltonoperator erzeugt die unitäre Zeitentwicklung. Falls für alle Zeiten $\tau$ und $\tau '$ zwischen $t_{0}$ und $t$ der Hamiltonoperator $H(\tau )$ mit $H(\tau ')$ kommutiert, so bewirkt ⓘ

${\hat {U}}(t,t_{0})=\exp \left(-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{\hat {H}}(\tau )\,\mathrm {d} \tau \right)$ ⓘ

die unitäre Abbildung jedes anfänglichen Zustandes $\psi (t_{0})$ auf den zugehörigen Zustand $\psi (t)=U(t,t_{0})\,\psi (t_{0})$ zur Zeit $t.$ ⓘ

Falls der Hamiltonoperator nicht von der Zeit abhängt (${\hat {H}}\neq f(t)$), vereinfacht sich dies zu ⓘ

${\hat {U}}(t,t_{0})=\exp \left(-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{0})\right).$ ⓘ

Operatoren, die mit ${\hat {H}}$ vertauschen, sind bei zeitunabhängigem Hamiltonoperator Erhaltungsgrößen des Systems, insbesondere die Energie. ⓘ

Für die Energie gilt auch eine Energie-Zeit-Unschärferelation, nur muss man in der Quantenmechanik bei deren Ableitung anders vorgehen als zum Beispiel bei der Ort-Impuls-Unschärferelation. ⓘ

Beispiele

Eindimensionaler harmonischer Oszillator

Analog erhält man für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator, der sich nur längs einer Linie bewegen kann, den Hamiltonoperator ⓘ

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\,\omega ^{2}\,x^{2}.$ ⓘ

Die Energien lassen sich algebraisch bestimmen. Man erhält ⓘ

$E_{n}=E_{0}+n\,\hbar \omega ,\quad n\in \{0,1,2,\dots \}.$ ⓘ

Es handelt sich dabei um dieselben Energien wie die eines Grundzustandes mit Energie $E_{0}$, dem $n$-fach ein Quant der Energie $\hbar \,\omega$ hinzugefügt wurde. ⓘ

Spin im Magnetfeld

Zum Spin $\mathbf {S}$ eines Elektrons, das an ein Atom gebunden ist und sich in einem ungepaarten Zustand (allein in der Elektronenwolke) im Magnetfeld $\mathbf {B}$ befindet, gehört der Hamiltonoperator

${\hat {H}}=-\gamma \mathbf {S} \cdot \mathbf {B} .$ ⓘ

Dabei ist

• $\gamma$ das gyromagnetische Verhältnis des Elektrons
• $\mathbf {S}$ der Spinoperator.

Da der Spin in Richtung des Magnetfeldes nur die Eigenwerte $\hbar /2$ oder $-\hbar /2$ annehmen kann (Spinpolarisation), sind die möglichen Energien $\pm {\frac {\gamma }{2}}\,|\mathbf {B} |$. Im inhomogenen Magnetfeld des Stern-Gerlach-Versuchs spaltet daher ein Teilchenstrahl aus Silberatomen in zwei Teilstrahlen auf. ⓘ

Geladenes, spinloses Teilchen im elektromagnetischen Feld

Den Hamiltonoperator eines Teilchen mit Ladung $q$ in einem äußeren elektromagnetischen Feld erhält man durch minimale Substitution ⓘ

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}{\bigl (}{\hat {\mathbf {p} }}-q\mathbf {A} (t,{\hat {\mathbf {x} }}){\bigr )}^{2}+q\,\varphi (t,{\hat {\mathbf {x} }}).$ ⓘ

Hier bezeichnet

• $\mathbf {A} (t,{\hat {\mathbf {x} }})$ das Vektorpotential
• $\varphi (t,{\hat {\mathbf {x} }})$ das Skalarpotential. ⓘ

Beim Ausmultiplizieren der Klammer ist zu beachten, dass ${\hat {\bf {p}}}$ und ${\bf {A}}({\hat {\bf {x}}})$ wegen der Ortsabhängigkeit von ${\bf {A}}$ im Allgemeinen nicht kommutieren. Dies ist nur in der Coulomb-Eichung der Fall. ⓘ