Wellenzahl

Diagramm zur Veranschaulichung der Beziehung zwischen der Wellenzahl und den anderen Eigenschaften harmonischer Wellen. ⓘ

In den Naturwissenschaften ist die Wellenzahl (auch Wellenzahl oder Wiederholungszahl) die räumliche Frequenz einer Welle, gemessen in Zyklen pro Einheitsabstand (gewöhnliche Wellenzahl) oder in Bogenmaß pro Einheitsabstand (Winkelwellenzahl). Sie ist analog zur zeitlichen Frequenz, die als Anzahl der Wellenzyklen pro Zeiteinheit (gewöhnliche Frequenz) oder als Bogenmaß pro Zeiteinheit (Winkelfrequenz) definiert ist. ⓘ

In mehrdimensionalen Systemen ist die Wellenzahl der Betrag des Wellenvektors. Der Raum der Wellenvektoren wird als reziproker Raum bezeichnet. Wellenzahlen und Wellenvektoren spielen eine wesentliche Rolle in der Optik und der Physik der Wellenstreuung, z. B. bei der Röntgenbeugung, der Neutronenbeugung, der Elektronenbeugung und der Elementarteilchenphysik. Für quantenmechanische Wellen ist die Wellenzahl, multipliziert mit der reduzierten Planckschen Konstante, der kanonische Impuls. ⓘ

Die Wellenzahl kann auch zur Angabe anderer Größen als der Raumfrequenz verwendet werden. In der optischen Spektroskopie wird sie häufig als Einheit der zeitlichen Frequenz unter der Annahme einer bestimmten Lichtgeschwindigkeit verwendet. ⓘ

Physikalische Größe ⓘ
Name	Wellenzahl
Formelzeichen	${\tilde {\nu }}$, $k$
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI m−1, rad·m−1 L−1 cgs cm−1, rad·cm−1 L−1

Je nach Fachgebiet sind zwei unterschiedliche Definitionen verbreitet:

${\tilde {\nu }}={\frac {\nu }{c}}\quad$ bzw. $\quad k={\frac {\omega }{c}}$

Dabei ist $\omega$ die Kreisfrequenz. Die beiden Formen unterscheiden sich nur um den konstanten Faktor $2\pi$. Um eine Verwechslung zu vermeiden, wird $k$ auch Kreiswellenzahl genannt. ⓘ

Definition

Die Wellenzahl, wie sie in der Spektroskopie und den meisten Bereichen der Chemie verwendet wird, ist definiert als die Anzahl der Wellenlängen pro Entfernungseinheit, in der Regel Zentimeter (cm-1):

${\tilde {\nu }}\;=\;{\frac {1}{\lambda }},$ ⓘ

Dabei ist λ die Wellenlänge. Sie wird manchmal auch als "spektroskopische Wellenzahl" bezeichnet. Sie ist gleich der Ortsfrequenz. Eine Wellenzahl in inversen cm kann durch Multiplikation mit 29,9792458 (der Lichtgeschwindigkeit in Zentimetern pro Nanosekunde) in eine Frequenz in GHz umgerechnet werden. Eine elektromagnetische Welle mit 29,9792458 GHz hat im freien Raum eine Wellenlänge von 1 cm. ⓘ

In der theoretischen Physik wird häufiger eine Wellenzahl verwendet, die als die Anzahl der Radianten pro Entfernungseinheit definiert ist und manchmal als "Winkelwellenzahl" bezeichnet wird:

$k\;=\;{\frac {2\pi }{\lambda }}$ ⓘ

Wenn die Wellenzahl durch das Symbol νdargestellt wird, wird immer noch eine Frequenz repräsentiert, wenn auch indirekt. Wie im Abschnitt über Spektroskopie beschrieben, geschieht dies durch die Beziehung ${\textstyle {\frac {\nu _{s}}{c}}\;=\;{\frac {1}{\lambda }}\;\equiv \;{\tilde {\nu }}}$, wobei νs eine Frequenz in Hertz ist. Dies geschieht der Einfachheit halber, da Frequenzen in der Regel sehr groß sind. ⓘ

Die Wellenzahl hat die Dimension der reziproken Länge, daher ist ihre SI-Einheit der Kehrwert von Metern (m-1). In der Spektroskopie ist es üblich, die Wellenzahl in der Einheit cgs (d. h. reziproke Zentimeter; cm-1) anzugeben; in diesem Zusammenhang wurde die Wellenzahl früher als Kayser bezeichnet, nach Heinrich Kayser (in einigen älteren wissenschaftlichen Arbeiten wurde diese Einheit, abgekürzt als K, verwendet, wobei 1 K = 1 cm-1). Die Winkelwellenzahl kann in Bogenmaß pro Meter (rad⋅m-1) ausgedrückt werden, oder wie oben, da das Bogenmaß dimensionslos ist. ⓘ

Bei elektromagnetischer Strahlung im Vakuum ist die Wellenzahl direkt proportional zur Frequenz und zur Photonenenergie. Aus diesem Grund wird die Wellenzahl in der Spektroskopie als praktische Energieeinheit verwendet. ⓘ

Komplexe

Eine komplexwertige Wellenzahl kann für ein Medium mit komplexwertiger relativer Permittivität definiert werden $\varepsilon _{r}$, relativer Permeabilität $\mu _{r}$ und Brechungsindex n wie folgt definiert werden:

$k=k_{0}{\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}=k_{0}n$ ⓘ

wobei k₀ die Wellenzahl des freien Raums ist, wie oben beschrieben. Der Imaginärteil der Wellenzahl drückt die Dämpfung pro Entfernungseinheit aus und ist bei der Untersuchung von exponentiell abklingenden evaneszenten Feldern nützlich. ⓘ

Plane Wellen in linearen Medien

Der Ausbreitungsfaktor einer sinusförmigen ebenen Welle, die sich in x-Richtung in einem linearen Material ausbreitet, ist gegeben durch ⓘ

$P=e^{-jkx}$

wobei

• $k=k'-jk={\sqrt {-\left(\omega \mu +j\omega \mu '\right)\left(\sigma +\omega \varepsilon +j\omega \varepsilon '\right)}}\;$
• $k'=$ Phasenkonstante in der Einheit Bogenmaß/Meter
• $k=$ Dämpfungskonstante in der Einheit Neper/Meter
• $\omega =$ Frequenz in der Einheit Bogenmaß/Meter
• $x=$ zurückgelegter Weg in x-Richtung
• $\sigma =$ Leitfähigkeit in Siemens/Meter
• $\varepsilon =\varepsilon '-j\varepsilon =$ komplexe Dielektrizitätskonstante
• $\mu =\mu '-j\mu =$ komplexe Permeabilität
• $j={\sqrt {-1}}$

Die Vorzeichenkonvention wurde aus Gründen der Konsistenz mit der Ausbreitung in verlustbehafteten Medien gewählt. Wenn die Dämpfungskonstante positiv ist, nimmt die Wellenamplitude mit der Ausbreitung der Welle in x-Richtung ab. ⓘ

Wellenlänge, Phasengeschwindigkeit und Skintiefe stehen in einer einfachen Beziehung zu den Komponenten der Wellenzahl:

$\lambda ={\frac {2\pi }{k'}}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{k'}}\qquad \delta ={\frac {1}{k}}$ ⓘ

In Wellengleichungen

Hier wird davon ausgegangen, dass die Welle in dem Sinne regelmäßig ist, dass die verschiedenen Größen, die die Welle beschreiben, wie die Wellenlänge, die Frequenz und damit die Wellenzahl, Konstanten sind. Siehe Wellenpaket für den Fall, dass diese Größen nicht konstant sind. ⓘ

Im Allgemeinen ist die Winkelwellenzahl k (d. h. die Größe des Wellenvektors) gegeben durch

$k={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_{\mathrm {p} }}}={\frac {\omega }{v_{\mathrm {p} }}}$

wobei ν die Frequenz der Welle, λ die Wellenlänge, ω = 2πν die Winkelfrequenz der Welle und vp die Phasengeschwindigkeit der Welle ist. Die Abhängigkeit der Wellenzahl von der Frequenz (oder allgemeiner: der Frequenz von der Wellenzahl) wird als Dispersionsrelation bezeichnet. ⓘ

Für den speziellen Fall einer elektromagnetischen Welle im Vakuum, in dem sich die Welle mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet, ist k gegeben durch:

$k={\frac {E}{\hbar c}}$

wobei E die Energie der Welle, ħ die reduzierte Planck-Konstante und c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. ⓘ

Für den Spezialfall einer Materiewelle, z. B. einer Elektronenwelle, in nichtrelativistischer Näherung (im Falle eines freien Teilchens, d. h. das Teilchen hat keine potenzielle Energie):

$k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {p}{\hbar }}={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}$

Dabei ist p der Impuls des Teilchens, m die Masse des Teilchens, E die kinetische Energie des Teilchens und ħ die reduzierte Planck-Konstante. ⓘ

Die Wellenzahl wird auch verwendet, um die Gruppengeschwindigkeit zu definieren. ⓘ

In der Spektroskopie

In der Spektroskopie bezeichnet die "Wellenzahl" ${\tilde {\nu }}$ eine Frequenz, die durch die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum geteilt wurde, üblicherweise in Zentimetern pro Sekunde (cm.s-1): :

${\tilde {\nu }}={\frac {\nu }{c}}={\frac {\omega }{2\pi c}}.$

Der historische Grund für die Verwendung dieser spektroskopischen Wellenzahl anstelle der Frequenz ist, dass sie eine praktische Einheit für die Untersuchung von Atomspektren durch Zählen von Streifen pro cm mit einem Interferometer ist: Die spektroskopische Wellenzahl ist der Kehrwert der Wellenlänge des Lichts im Vakuum:

$\lambda _{\rm {vac}}={\frac {1}{\tilde {\nu }}},$

Die spektroskopische Wellenzahl steht also in direktem Zusammenhang mit den Winkeln des an Beugungsgittern gestreuten Lichts und dem Abstand zwischen den Streifen in Interferometern, wenn diese Instrumente an Luft oder im Vakuum betrieben werden. Solche Wellenzahlen wurden erstmals in den Berechnungen von Johannes Rydberg in den 1880er Jahren verwendet. Das Rydberg-Ritz-Kombinationsprinzip von 1908 wurde ebenfalls in Form von Wellenzahlen formuliert. Einige Jahre später konnten Spektrallinien in der Quantentheorie als Unterschiede zwischen Energieniveaus verstanden werden, wobei die Energie proportional zur Wellenzahl oder Frequenz ist. Spektroskopische Daten wurden jedoch weiterhin in Form der spektroskopischen Wellenzahl und nicht als Frequenz oder Energie angegeben. ⓘ

Die spektroskopischen Wellenzahlen des Emissionsspektrums von atomarem Wasserstoff werden zum Beispiel durch die Rydberg-Formel angegeben:

${\tilde {\nu }}=R\left({\frac {1}{{n_{\text{f}}}^{2}}}-{\frac {1}{{n_{\text{i}}}^{2}}}\right),$

wobei R die Rydberg-Konstante ist und ni und n_f die Hauptquantenzahlen des Anfangs- bzw. Endniveaus sind (ni ist größer als nf _für die Emission). ⓘ

Eine spektroskopische Wellenzahl kann mit Hilfe der Planckschen Beziehung in Energie pro Photon E umgerechnet werden:

$E=hc{\tilde {\nu }}.$

Sie kann auch in die Wellenlänge des Lichts umgerechnet werden:

$\lambda ={\frac {1}{n{\tilde {\nu }}}},$

wobei n der Brechungsindex des Mediums ist. Beachten Sie, dass sich die Wellenlänge des Lichts beim Durchgang durch verschiedene Medien ändert, die spektroskopische Wellenzahl (d. h. die Frequenz) jedoch konstant bleibt. ⓘ

Üblicherweise wird die Einheit cm-1 (inverser Zentimeter) für ${\tilde {\nu }}$so häufig verwendet, dass solche Raumfrequenzen von einigen Autoren "in Wellenzahlen" angegeben werden, wobei der Name der Größe fälschlicherweise auf die CGS-Einheit cm-1 selbst übertragen wird. ⓘ

Betrag des Wellenvektors

Die Kreiswellenzahl ist im mehrdimensionalen Fall der Betrag des Wellenvektors $k=|{\vec {k}}|$. Sie berechnet sich zu ⓘ

$k=|{\vec {k}}|={\frac {\omega }{c}}={\frac {2\pi }{\lambda }}=2\pi \cdot {\tilde {\nu }}$. ⓘ

Die Wellenzahl wird gelegentlich auch als Ortsfrequenz bezeichnet. ⓘ