Wellengleichung

Die Wellengleichung, auch D’Alembert-Gleichung nach Jean-Baptiste le Rond d’Alembert, bestimmt die Ausbreitung von Wellen wie etwa Schall oder Licht. Sie zählt zu den hyperbolischen Differentialgleichungen. ⓘ

Wenn das Medium oder Vakuum die Welle nur durchleitet und nicht selbst Wellen erzeugt, handelt es sich genauer um die homogene Wellengleichung, die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}=0$

für eine reelle Funktion $u(t,x_{1},\dots ,x_{n})$ der Raumzeit. Hierbei ist $n$ die Dimension des Raumes. Der Parameter $c$ ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, also bei Schall (im homogenen und isotropen Medium) die Schallgeschwindigkeit und bei Licht die Lichtgeschwindigkeit. ⓘ

Der Differentialoperator der Wellengleichung wird D’Alembert-Operator genannt und mit dem Formelzeichen $\Box$ notiert.

$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}$, ⓘ

Die Lösungen der Wellengleichung heißen Wellen. Weil die Gleichung linear ist, überlagern sich Wellen, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Da die Koeffizienten der Wellengleichung nicht vom Ort oder der Zeit abhängen, verhalten sich Wellen unabhängig davon, wo oder wann und in welche Richtung man sie anregt. Verschobene, verspätete oder gedrehte Wellen sind ebenfalls Lösungen der Wellengleichung. ⓘ

Unter der inhomogenen Wellengleichung versteht man die inhomogene lineare partielle Differentialgleichung

$\Box u=v\ .$

Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung von Wellen in einem Medium, das selbst Wellen erzeugt. Die Inhomogenität $v$ heißt auch Quelle der Welle $u$. ⓘ

Historisch gesehen wurde das Problem einer schwingenden Saite, wie die eines Musikinstruments, von Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli und Joseph-Louis Lagrange untersucht. Im Jahr 1746 entdeckte d'Alembert die eindimensionale Wellengleichung, und zehn Jahre später entdeckte Euler die dreidimensionale Wellengleichung. ⓘ

Einführung

Die (Zweiweg-)Wellengleichung ist eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung zur Beschreibung von Wellen, einschließlich wandernder und stehender Wellen; letztere können als lineare Überlagerungen von Wellen betrachtet werden, die sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Dieser Artikel befasst sich hauptsächlich mit der skalaren Wellengleichung, die Wellen in Skalaren durch skalare Funktionen u = u (x₁, x₂, ..., xn; t) einer Zeitvariablen t (eine Variable, die die Zeit repräsentiert) und einer oder mehreren räumlichen Variablen x₁, x₂, ..., xn (Variablen, die eine Position in einem betrachteten Raum repräsentieren), während es Vektorwellengleichungen gibt, die Wellen in Vektoren beschreiben, wie z. B. Wellen für ein elektrisches Feld, ein magnetisches Feld und ein magnetisches Vektorpotential sowie elastische Wellen. Im Vergleich zu den Vektorwellengleichungen kann die Skalarwellengleichung als Spezialfall der Vektorwellengleichungen betrachtet werden; im kartesischen Koordinatensystem ist die Skalarwellengleichung die Gleichung, die von jeder Komponente (für jede Koordinatenachse, z. B. die x-Komponente für die x-Achse) einer Vektorwelle ohne Wellenquellen im betrachteten Bereich (d. h. einem Raum und einer Zeit) erfüllt werden muss. Im kartesischen Koordinatensystem kann zum Beispiel für $(E_{x},E_{y},E_{z})$ als Darstellung einer elektrischen Vektorfeldwelle ${\vec {E}}$ in Abwesenheit von Wellenquellen, jede Koordinatenachsenkomponente $E_{i}$ (i = x, y, oder z) die Skalarwellengleichung erfüllen. Andere Lösungen der Skalarwellengleichung u gelten für physikalische Größen in Skalaren, wie z. B. den Druck in einer Flüssigkeit oder einem Gas oder die Verschiebung von Teilchen eines schwingenden Festkörpers aus ihrer Ruheposition (Gleichgewicht) entlang einer bestimmten Richtung. ⓘ

Die skalare Wellengleichung lautet

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\;=\;c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}\right)$$

wobei c ein fester, nichtnegativer reeller Koeffizient ist. ⓘ

Unter Verwendung der Notationen der Newtonschen Mechanik und der Vektorrechnung lässt sich die Wellengleichung kompakter schreiben als

$${\ddot {u}}=c^{2}\nabla ^{2}u$$

wobei der Doppelpunkt die doppelte zeitliche Ableitung von u bezeichnet, ∇ der Nabla-Operator ist und ∇² = ∇ - ∇ der (räumliche) Laplacian-Operator (nicht der Vektor-Laplacian) ist:

$${\ddot {u}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}\qquad \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)\qquad \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}.$$

ⓘ

Eine noch kompaktere Notation, die manchmal in der Physik verwendet wird, lautet einfach

$$\Box u=0,$$

wobei alle Operatoren zum d'Alembert-Operator zusammengefasst werden:

$$\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}.$$

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Eine Lösung dieser (Zweiweg-)Wellengleichung kann recht kompliziert sein, aber sie kann als lineare Kombination einfacher Lösungen analysiert werden, die sinusförmige ebene Wellen mit verschiedenen Ausbreitungsrichtungen und Wellenlängen sind, aber alle die gleiche Ausbreitungsgeschwindigkeit c haben. Diese Analyse ist möglich, weil die Wellengleichung linear und homogen ist, so dass jedes Vielfache einer Lösung auch eine Lösung ist und die Summe zweier Lösungen wiederum eine Lösung ist. Diese Eigenschaft wird in der Physik als Superpositionsprinzip bezeichnet. ⓘ

Die Wellengleichung allein gibt keine physikalische Lösung an; eine eindeutige Lösung erhält man in der Regel, indem man ein Problem mit weiteren Bedingungen, wie z. B. Anfangsbedingungen, die die Amplitude und Phase der Welle vorschreiben, aufstellt. Eine andere wichtige Klasse von Problemen tritt in geschlossenen Räumen auf, die durch Randbedingungen spezifiziert sind, für die die Lösungen stehende Wellen oder Obertöne darstellen, analog zu den Obertönen von Musikinstrumenten. ⓘ

Die Zweiwege-Wellengleichung, die ein stehendes Wellenfeld beschreibt, ist das einfachste Beispiel für eine hyperbolische Differentialgleichung zweiter Ordnung. Sie und ihre Modifikationen spielen eine grundlegende Rolle in der Kontinuumsmechanik, der Quantenmechanik, der Plasmaphysik, der allgemeinen Relativitätstheorie, der Geophysik und vielen anderen wissenschaftlichen und technischen Disziplinen. Wenn nur die Ausbreitung einer einzelnen Welle in einer bestimmten Richtung von Interesse ist, kann eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung - eine Einweg-Wellengleichung - betrachtet werden. ⓘ

Wellengleichung in einer Raumdimension

Der französische Wissenschaftler Jean-Baptiste le Rond d'Alembert entdeckte die Wellengleichung in einer Raumdimension. ⓘ

Die Wellengleichung in einer Raumdimension kann wie folgt geschrieben werden:

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$$

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Diese Gleichung wird typischerweise als Gleichung mit nur einer Raumdimension x beschrieben, da die einzige andere unabhängige Variable die Zeit t ist. Die abhängige Variable u kann jedoch eine zweite Raumdimension darstellen, wenn z. B. die Verschiebung u in y-Richtung erfolgt, wie im Fall einer Saite, die sich in der xy-Ebene befindet. ⓘ

Herleitung der Wellengleichung

Die Wellengleichung in einer Raumdimension kann in einer Vielzahl verschiedener physikalischer Zusammenhänge abgeleitet werden. Am bekanntesten ist die Herleitung für den Fall einer Saite, die in einer zweidimensionalen Ebene schwingt, wobei jedes ihrer Elemente durch die Zugkraft in entgegengesetzte Richtungen gezogen wird. ⓘ

Eine weitere physikalische Grundlage für die Ableitung der Wellengleichung in einer Raumdimension ist das Hookesche Gesetz. In der Elastizitätstheorie ist das Hooke'sche Gesetz eine Näherung für bestimmte Materialien, die besagt, dass der Betrag, um den ein materieller Körper verformt wird (die Dehnung), linear mit der Kraft zusammenhängt, die die Verformung verursacht (die Spannung). ⓘ

Aus dem Hooke'schen Gesetz

Die Wellengleichung im eindimensionalen Fall lässt sich aus dem Hooke'schen Gesetz folgendermaßen ableiten: Man stelle sich eine Anordnung von kleinen Gewichten der Masse m vor, die mit masselosen Federn der Länge h verbunden sind. Die Federn haben die Federkonstante k:

In diesem Fall misst die abhängige Variable u(x) den Abstand der in x befindlichen Masse vom Gleichgewicht, so dass u(x) im Wesentlichen die Größe einer Störung (d. h. einer Dehnung) misst, die sich in einem elastischen Material ausbreitet. Die auf die Masse m am Ort x + h ausgeübten Kräfte sind:

$${\begin{aligned}F_{\text{Newton}}&=m\,a(t)=m\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)\\F_{\text{Hooke}}&=F_{x+2h}-F_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]-k[u(x+h,t)-u(x,t)]\end{aligned}}$$

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Die Bewegungsgleichung für die Masse am Ort x + h ergibt sich durch Gleichsetzung dieser beiden Kräfte:

$${\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)={k \over m}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]$$

wobei die Zeitabhängigkeit von u(x) explizit gemacht wurde. ⓘ

Wenn die Anordnung der Gewichte aus N gleichmäßig über die Länge L = Nh verteilten Gewichten mit der Gesamtmasse M = Nm besteht und die Gesamtfederkonstante der Anordnung K = k/N ist, können wir die obige Gleichung wie folgt schreiben:

$${\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}.$$

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Wenn man den Grenzwert N → ∞, h → 0 annimmt und Glätte voraussetzt, erhält man:

$${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}},$$

Das ergibt sich aus der Definition der zweiten Ableitung. KL²/M ist das Quadrat der Ausbreitungsgeschwindigkeit in diesem speziellen Fall. ⓘ

Stehende 1-d-Welle als Überlagerung von zwei Wellen, die sich in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten ⓘ

Spannungsimpuls in einem Stab

Bei einem Spannungsimpuls, der sich in Längsrichtung durch einen Balken ausbreitet, verhält sich der Balken wie eine unendliche Anzahl von in Reihe geschalteten Federn und kann als eine Erweiterung der für das Hooke'sche Gesetz abgeleiteten Gleichung betrachtet werden. Ein gleichmäßiger Stab, d. h. mit konstantem Querschnitt, aus einem linear elastischen Material hat eine Steifigkeit K, die durch

$$K={\frac {EA}{L}},$$

wobei A die Querschnittsfläche und E der Elastizitätsmodul des Materials ist. Die Wellengleichung lautet

$${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {EAL}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.$$

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AL ist gleich dem Volumen des Stabes und somit

$${\frac {AL}{M}}={\frac {1}{\rho }},$$

wobei ρ die Dichte des Materials ist. Die Wellengleichung reduziert sich auf

$${\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {E}{\rho }}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}}.$$

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Die Geschwindigkeit einer Spannungswelle in einem Stab ist also √E/ρ. ⓘ

Allgemeine Lösung

Algebraischer Ansatz

Die eindimensionale Wellengleichung ist für eine partielle Differentialgleichung insofern ungewöhnlich, als eine relativ einfache allgemeine Lösung gefunden werden kann. Die Definition neuer Variablen:

$${\begin{aligned}\xi &=x-ct\\\eta &=x+ct\end{aligned}}$$

ändert die Wellengleichung in

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}=0,$$

was zu der allgemeinen Lösung führt

$$u(\xi ,\eta )=F(\xi )+G(\eta )$$

oder gleichwertig:

$$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).$$

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Mit anderen Worten, Lösungen der 1D-Wellengleichung sind Summen einer rechts wandernden Funktion F und einer links wandernden Funktion G. "Wandernd" bedeutet, dass die Form dieser einzelnen beliebigen Funktionen in Bezug auf x konstant bleibt, die Funktionen jedoch mit der Geschwindigkeit c nach links und rechts mit der Zeit übersetzt werden. Dies wurde von Jean le Rond d'Alembert abgeleitet. ⓘ

Eine andere Möglichkeit, zu diesem Ergebnis zu kommen, besteht darin, die Wellengleichung in zwei Einweg-Wellengleichungen zu zerlegen:

$$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.$$

D.h.

$${\frac {\partial u}{\partial t}}-c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$$

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Wenn wir also v so definieren,

$${\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=v,$$

dann

$${\frac {\partial v}{\partial t}}-c{\frac {\partial v}{\partial x}}=0.$$

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Daraus ergibt sich, dass v die Form G(x + ct) haben muss, und daraus lässt sich die richtige Form der vollständigen Lösung u ableiten. Die übliche Wellengleichung zweiter Ordnung wird manchmal als "Zweiweg-Wellengleichung" (Überlagerung von zwei Wellen) bezeichnet, um sie von der Einweg-Wellengleichung erster Ordnung zu unterscheiden, die die Wellenausbreitung einer einzelnen Welle in einer vorgegebenen Richtung beschreibt. ⓘ

Für ein Anfangswertproblem können die willkürlichen Funktionen F und G so bestimmt werden, dass sie die Anfangsbedingungen erfüllen:

$$u(x,0)=f(x)$$

$$u_{t}(x,0)=g(x).$$

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Das Ergebnis ist die d'Alembertsche Formel:

$$u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds$$

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Im klassischen Sinne gilt, wenn f(x) ∈ Ck und g(x) ∈ Ck-1 dann u(t, x) ∈ Ck. Bei den Wellenformen F und G kann es sich jedoch auch um verallgemeinerte Funktionen handeln, wie z. B. die Deltafunktion. In diesem Fall kann die Lösung als ein Impuls interpretiert werden, der sich nach rechts oder links ausbreitet. ⓘ

Die Grundwellengleichung ist eine lineare Differentialgleichung und unterliegt daher dem Überlagerungsprinzip. Das bedeutet, dass die durch zwei oder mehr Wellen verursachte Nettoverschiebung die Summe der Verschiebungen ist, die durch jede einzelne Welle verursacht worden wären. Darüber hinaus kann das Verhalten einer Welle analysiert werden, indem die Welle in Komponenten zerlegt wird, z. B. die Fourier-Transformation zerlegt eine Welle in sinusförmige Komponenten. ⓘ

Eigenmoden ebener Wellen

Eine andere Möglichkeit, die eindimensionale Wellengleichung zu lösen, besteht darin, zunächst ihre Frequenzeigenmoden zu analysieren. Eine so genannte Eigenform ist eine Lösung, die in der Zeit mit einer wohldefinierten konstanten Kreisfrequenz ω oszilliert, so dass der zeitliche Teil der Wellenfunktion die Form e-iωt = cos(ωt) - i sin(ωt) annimmt und die Amplitude eine Funktion f(x) der räumlichen Variablen x ist, was eine Trennung der Variablen für die Wellenfunktion ergibt:

$$u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}f(x).$$

ⓘ

Daraus ergibt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung für den räumlichen Teil f(x):

$${\frac {\partial ^{2}u_{\omega }}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right)=-\omega ^{2}e^{-i\omega t}f(x)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right),$$

ⓘ

Daher:

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=-\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}f(x),$$

was genau eine Eigenwertgleichung für f(x) ist, daher der Name Eigenmode. Sie hat die bekannten ebenen Wellenlösungen

$$f(x)=Ae^{\pm ikx},$$

mit der Wellenzahl k = ω/c. ⓘ

Die Gesamtwellenfunktion für diese Eigenmode ist dann die Linearkombination

$$u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}\left(Ae^{-ikx}+Be^{ikx}\right)=Ae^{-i(kx+\omega t)}+Be^{i(kx-\omega t)},$$

wobei die komplexen Zahlen A, B im Allgemeinen von beliebigen Anfangs- und Randbedingungen des Problems abhängen. ⓘ

Eigenmoden sind nützlich, um eine vollständige Lösung der Wellengleichung zu konstruieren, da sich jede von ihnen in der Zeit trivial mit dem Phasenfaktor $e^{-i\omega t}$. so dass eine vollständige Lösung in eine Eigenmodenentwicklung zerlegt werden kann

$$u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }s(\omega )u_{\omega }(x,t)\,d\omega$$

oder in Form der ebenen Wellen,

$${\begin{aligned}u(x,t)&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-i(kx+\omega t)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{i(kx-\omega t)}\,d\omega \\&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-ik(x+ct)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{ik(x-ct)}\,d\omega \\&=F(x-ct)+G(x+ct)\end{aligned}}$$

was genau die gleiche Form hat wie beim algebraischen Ansatz. Die Funktionen s_±(ω) sind als Fourier-Komponente bekannt und werden durch Anfangs- und Randbedingungen bestimmt. Es handelt sich um eine so genannte Frequenzbereichsmethode, die eine Alternative zur direkten Ausbreitung des Wellenpakets u(x, t) im Zeitbereich (z. B. FDTD-Methode) darstellt und die für die Darstellung von Wellen ohne Zeitdilatation vollständig ist. Die Vollständigkeit der Fourier-Erweiterung für die Darstellung von Wellen bei Vorhandensein von Zeitdilatationen wurde durch Chirp-Wellenlösungen in Frage gestellt, die eine zeitliche Variation von ω zulassen. Die Chirp-Wellenlösungen scheinen besonders durch sehr große, aber bisher unerklärliche Radarreste in der Vorbeifluganomalie impliziert zu sein und unterscheiden sich von den Sinuswellenlösungen dadurch, dass sie in beliebiger Entfernung nur bei proportional verschobenen Frequenzen und Zeitdilatationen empfangen werden können, die den vergangenen Chirp-Zuständen der Quelle entsprechen. ⓘ

Vektorielle Wellengleichung in drei Raumdimensionen

Die vektorielle Wellengleichung (aus der sich die skalare Wellengleichung direkt ableiten lässt) kann durch Anwendung eines Kräftegleichgewichts auf ein infinitesimales Volumenelement erhalten werden. In einem homogenen Kontinuum (kartesische Koordinaten ${\boldsymbol {x}}$) mit einem konstanten Elastizitätsmodul $E$ [Pa] bewirkt eine vektorielle, elastische Auslenkung ${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)$ [m] bewirkt den Spannungstensor ${\boldsymbol {T}}=E\nabla {\boldsymbol {u}}$ [Pa]. Das lokale Gleichgewicht von a) der Zugkraft $div{\boldsymbol {T}}=\nabla \cdot (E\nabla {\boldsymbol {u}})=E\Delta {\boldsymbol {u}}$ [N/m$^{3}$aufgrund der Durchbiegung ${\boldsymbol {u}}$ [m] und b) der Trägheitskraft $\rho$ $\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}/\partial t^{2}$ [N/m$^{3}$] durch die lokale Beschleunigung $\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}/\partial t^{2}$ [m/s$^{2}$] kann geschrieben werden als

$$\rho {\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}}{\partial t^{2}}}-E\Delta {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}$$

Durch die Zusammenführung von Dichte $\rho$ [kg/m3] und Elastizitätsmodul $E$ ergibt sich die Schallgeschwindigkeit $c={\sqrt {E/\rho }}$ [m/s] resultiert (Materialgesetz). Nach dem Einsetzen folgt die bekannte Wellengleichung für ein homogenes Medium:

$${\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {u}}}{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}$$

[Hinweis: Statt vektoriell ${\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)$ nur skalar $u(x,t)$ verwendet werden, d.h. die Wellen bewegen sich nur entlang der x-Achse, und es folgt die skalare Wellengleichung als ${\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}{u}}{\partial x^{2}}}={0}$]. ⓘ

Die obige vektorielle partielle Differentialgleichung 2. Ordnung liefert zwei voneinander unabhängige Lösungen. Aus dem quadratischen Geschwindigkeitsterm $c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}$ ist ersichtlich, dass es zwei Wellen gibt, die sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen $+c$ und $-c$ möglich sind, woraus sich die Bezeichnung "Zweiweg-Wellengleichung" ergibt. Die "Zwei-Wege-Wellengleichung" kann auch faktorisiert werden:

$$({\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}-{\boldsymbol {c}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}})({\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+{\boldsymbol {c}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {0}}$$

und die vektorielle Einwegwellengleichung 1. Ordnung mit Wellen, die sich in einer vorgegebenen Ausbreitungsrichtung bewegen ${\boldsymbol {c}}$ ergibt:

$${\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}-{\boldsymbol {c}}\cdot \nabla {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}$$

ⓘ

Skalarwellengleichung in drei Raumdimensionen

Der Schweizer Mathematiker und Physiker Leonhard Euler (geb. 1707) entdeckte die Wellengleichung in drei Raumdimensionen.

Eine Lösung des Anfangswertproblems für die Wellengleichung in drei Raumdimensionen kann aus der entsprechenden Lösung für eine Kugelwelle gewonnen werden. Das Ergebnis kann dann auch verwendet werden, um die gleiche Lösung in zwei Raumdimensionen zu erhalten. ⓘ

Sphärische Wellen

Die Wellengleichung kann mit der Technik der Trennung der Variablen gelöst werden. Um eine Lösung mit konstanten Frequenzen zu erhalten, transformieren wir zunächst die Wellengleichung in der Zeit durch Fourier-Transformation zu

$$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi (\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\,d\omega .$$

ⓘ

So erhalten wir,

$$\left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=0.$$

ⓘ

Dies ist die Helmholtz-Gleichung und kann mit Hilfe der Variablentrennung gelöst werden. Werden zur Beschreibung eines Problems Kugelkoordinaten verwendet, so ist die Lösung des Winkelteils der Helmholtz-Gleichung durch sphärische Harmonische gegeben und die radiale Gleichung lautet nun

$$\left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]f_{l}(r)=0$$

ⓘ

Hier ist k ≡ ω/c und die vollständige Lösung ist nun gegeben durch

$$\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=\sum _{lm}\left[A_{lm}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+A_{lm}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]Y_{lm}(\theta ,\phi ),$$

wobei h⁽¹⁾
_l(kr) und h⁽²⁾
l(kr) die sphärischen Hankel-Funktionen sind. ⓘ

Beispiel

Um die Natur dieser sphärischen Wellen besser zu verstehen, gehen wir zurück und betrachten den Fall, in dem l = 0 ist. In diesem Fall gibt es keine Winkelabhängigkeit und die Amplitude hängt nur vom radialen Abstand ab, d. h. Ψ(r, t) → u(r, t). In diesem Fall reduziert sich die Wellengleichung auf

$${\begin{aligned}&{}\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t)=0\\\rightarrow &{}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(r,t)=0\end{aligned}}$$

ⓘ

Diese Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden

$${\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial r^{2}}}=0;$$

wobei die Größe ru die eindimensionale Wellengleichung erfüllt. Daher gibt es Lösungen in der Form

$$u(r,t)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),$$

wobei F und G allgemeine Lösungen der eindimensionalen Wellengleichung sind und als ausgehende bzw. eingehende Kugelwelle interpretiert werden können. Die ausgehende Welle kann von einer Punktquelle erzeugt werden und ermöglicht scharfe Signale, deren Form sich nur durch eine Abnahme der Amplitude mit zunehmendem r ändert (siehe Abbildung einer Kugelwelle oben rechts). Solche Wellen gibt es nur in einem Raum mit ungeraden Dimensionen. ⓘ

Physikalische Beispiele für nicht kugelförmige Wellenlösungen der 3D-Wellengleichung, die eine Winkelabhängigkeit aufweisen, finden Sie unter Dipolstrahlung. ⓘ

Monochromatische Kugelwelle

Schnitt durch kugelförmige Wellenfronten mit einer Wellenlänge von 10 Einheiten, die sich von einer Punktquelle ausbreiten. ⓘ

Obwohl der Begriff "monochromatisch" nicht ganz zutreffend ist, da er sich auf Licht oder elektromagnetische Strahlung mit genau definierter Frequenz bezieht, geht es darum, die Eigenmode der Wellengleichung in drei Dimensionen zu entdecken. In Anlehnung an die Herleitung im vorangegangenen Abschnitt über die Eigenmoden der ebenen Wellen, beschränken wir unsere Lösungen wieder auf Kugelwellen, die in der Zeit mit einer wohldefinierten konstanten Winkelfrequenz ω schwingen, dann hat die transformierte Funktion ru(r, t) einfach ebene Wellenlösungen,

$$ru(r,t)=Ae^{i(\omega t\pm kr)},$$

oder

$$u(r,t)={\frac {A}{r}}e^{i\left(\omega t\pm kr\right)}.$$

ⓘ

Daraus können wir ersehen, dass die Spitzenintensität der Kugelwellenschwingung, charakterisiert als die quadrierte Wellenamplitude

$$I=|u(r,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{r^{2}}}.$$

mit einer Rate abnimmt, die proportional zu 1/r² ist, ein Beispiel für das Gesetz des umgekehrten Quadrats. ⓘ

Lösung eines allgemeinen Anfangswertproblems

Die Wellengleichung ist linear in u und wird durch Translationen in Raum und Zeit nicht verändert. Daher können wir eine Vielzahl von Lösungen durch Translation und Summation von sphärischen Wellen erzeugen. Sei φ(ξ, η, ζ) eine beliebige Funktion dreier unabhängiger Variablen, und sei die Kugelwellenform F eine Deltafunktion, d. h. F sei ein schwacher Grenzwert kontinuierlicher Funktionen, deren Integral gleich Eins ist, deren Stütze (der Bereich, in dem die Funktion ungleich Null ist) jedoch zum Ursprung hin schrumpft. Eine Familie von Kugelwellen habe ihr Zentrum bei (ξ, η, ζ), und r sei der radiale Abstand von diesem Punkt. Also ⓘ

$$r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.$$

ⓘ

Wenn u eine Überlagerung solcher Wellen mit der Wichtungsfunktion φ ist, dann

$$u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta ;$$

ist der Nenner 4πc eine Vereinfachung. ⓘ

Aus der Definition der Deltafunktion ergibt sich, dass u auch geschrieben werden kann als

$$u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )\,d\omega ,$$

wobei α, β und γ Koordinaten auf der Einheitskugel S sind und ω das Flächenelement auf S ist. Dieses Ergebnis lässt sich so interpretieren, dass u(t, x) das t-fache des Mittelwerts von φ auf einer Kugel mit dem Radius ct ist, deren Mittelpunkt x ist:

$$u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\phi ].$$

ⓘ

Es folgt, dass

$$u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\phi (x,y,z).$$

ⓘ

Der Mittelwert ist eine gerade Funktion von t, und wenn ⓘ

$$v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(tM_{ct}[\psi ]\right),$$

ⓘ

dann

$$v(0,x,y,z)=\psi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.$$

ⓘ

Diese Formeln liefern die Lösung für das Anfangswertproblem der Wellengleichung. Sie zeigen, dass die Lösung an einem gegebenen Punkt P bei (t, x, y, z) nur von den Daten auf der Kugel mit dem Radius ct abhängt, die vom Lichtkegel geschnitten wird, der von P aus nach hinten gezogen wird, und nicht von den Daten im Inneren dieser Kugel. Das Innere der Kugel ist also eine Lücke für die Lösung. Dieses Phänomen wird Huygens'sches Prinzip genannt. Es gilt für ungerade Zahlen von Raumdimensionen, bei denen für eine Dimension die Integration über den Rand eines Intervalls in Bezug auf das Dirac-Maß durchgeführt wird. In geraden Raumdimensionen ist es nicht erfüllt. Das Phänomen der Lücken wurde in Atiyah, Bott und Gårding (1970, 1973) eingehend untersucht. ⓘ

Skalarwellengleichung in zwei Raumdimensionen

In zwei Raumdimensionen lautet die Wellengleichung ⓘ

$$u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).$$

ⓘ

Wir können die dreidimensionale Theorie zur Lösung dieses Problems verwenden, wenn wir u als eine Funktion in drei Dimensionen betrachten, die von der dritten Dimension unabhängig ist. Wenn ⓘ

$$u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),$$

ⓘ

dann lautet die dreidimensionale Lösungsformel ⓘ

$$u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )\,d\omega ,$$

ⓘ

wobei α und β die ersten beiden Koordinaten auf der Einheitskugel sind und dω das Flächenelement auf der Kugel ist. Dieses Integral kann als Doppelintegral über die Scheibe D mit Mittelpunkt (x, y) und Radius ct umgeschrieben werden:

$$u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi ct}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .$$

ⓘ

Es ist offensichtlich, dass die Lösung bei (t, x, y) nicht nur von den Daten auf dem Lichtkegel abhängt, wo

$$(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},$$

abhängt, sondern auch von Daten, die innerhalb dieses Kegels liegen. ⓘ

Skalarwellengleichung in allgemeinen Dimensionen und Kirchhoff'sche Formeln

Wir wollen Lösungen für u_tt - Δu = 0 für u : Rn × (0, ∞) → R mit u(x, 0) = g(x) und ut(x, 0) = h(x) finden. Siehe Evans für weitere Einzelheiten. ⓘ

Ungerade Dimensionen

Nehmen wir an, n ≥ 3 sei eine ungerade ganze Zahl und g ∈ C^m+1(Rn), h ∈ C^m(Rn) für m = (n + 1)/2. Sei γn = 1 × 3 × 5 × ⋯ × (n - 2) und sei ⓘ

$$u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}g\,dS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}h\,dS\right)\right]$$

ⓘ

dann

• u ∈ C²(Rⁿ × [0, ∞))
• u_tt - Δu = 0 in Rⁿ × (0, ∞)
• $\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})$
• $\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})$ ⓘ

Gerade Dimensionen

Nehmen wir an, n ≥ 2 sei eine gerade ganze Zahl und g ∈ C^m+1(Rn), h ∈ C^m(Rn), für m = (n + 2)/2. Sei γn = 2 × 4 × ⋯ × n und sei ⓘ

$$u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {g}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {h}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)\right]$$

ⓘ

dann

• u ∈ C²(Rⁿ × [0, ∞))
• u_tt - Δu = 0 in Rⁿ × (0, ∞)
• $\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})$
• $\lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})$ ⓘ

Probleme mit Grenzen

Eine Raumdimension

Reflexion und Transmission an der Grenze zwischen zwei Medien

Bei einer einfallenden Welle, die sich von einem Medium (mit der Wellengeschwindigkeit c₁) in ein anderes Medium (mit der Wellengeschwindigkeit c₂) ausbreitet, wird ein Teil der Welle in das zweite Medium übertragen, während ein anderer Teil in die andere Richtung zurückreflektiert wird und im ersten Medium verbleibt. Die Amplitude der ausgesandten und der reflektierten Welle kann mit Hilfe der Kontinuitätsbedingung an der Grenze berechnet werden. ⓘ

Betrachten wir die Komponente der einfallenden Welle mit der Winkelfrequenz ω, die die folgende Wellenform hat

$$u^{inc}(x,t)=Ae^{i(k_{1}x-\omega t)};\ A\in \mathbb {C}$$

Bei t=0 erreicht die einfallende Welle die Grenze zwischen den beiden Medien bei x=0. Daher haben die entsprechende reflektierte Welle und die transmittierte Welle die Wellenformen

$$u^{ref}(x,t)=Be^{i(-k_{1}x-\omega t)};\ u^{trans}(x,t)=Ce^{i(k_{2}x-\omega t)};\ B,C\in \mathbb {C}$$

Die Kontinuitätsbedingung an der Grenzfläche lautet

$$u^{inc}(0,t)+u^{ref}(0,t)=u^{trans}(0,t);\ u_{x}^{inc}(0,t)+u_{x}^{ref}(0,t)=u_{x}^{trans}(0,t)$$

Daraus ergeben sich die Gleichungen

$$A+B=C;\ A-B={\frac {k_{2}}{k_{1}}}C={\frac {c_{1}}{c_{2}}}C$$

Und wir haben das Reflexionsvermögen und das Transmissionsvermögen

$${\frac {B}{A}}={\frac {c_{2}-c_{1}}{c_{2}+c_{1}}};\ {\frac {C}{A}}={\frac {2c_{2}}{c_{2}+c_{1}}}$$

Wenn c₂ < c₁ ist, hat die reflektierte Welle eine Phasenverschiebung von 180°, da B/A < 0. Die Energieerhaltung kann durch

$${\frac {B^{2}}{c_{1}}}+{\frac {C^{2}}{c_{2}}}={\frac {A^{2}}{c_{1}}}$$

Die obigen Ausführungen gelten für jede Komponente, unabhängig von ihrer Winkelfrequenz ω. ⓘ

Der Grenzfall von c₂ = 0 entspricht einem "festen Ende", das sich nicht bewegt, während der Grenzfall von c₂ → ∞ einem "freien Ende" entspricht. ⓘ

Die Sturm-Liouville-Formel

Ein flexibler Faden, der zwischen zwei Punkten x = 0 und x = L gespannt wird, erfüllt die Wellengleichung für t > 0 und 0 < x < L. An den Randpunkten kann u eine Vielzahl von Randbedingungen erfüllen. Eine allgemeine Form, die für Anwendungen geeignet ist, lautet ⓘ

$$-u_{x}(t,0)+au(t,0)=0,$$

$$u_{x}(t,L)+bu(t,L)=0,$$

ⓘ

wobei a und b nicht-negativ sind. Der Fall, in dem u an einem Endpunkt verschwinden muss (d. h. "festes Ende"), ist der Grenzwert dieser Bedingung, wenn sich das jeweilige a oder b der Unendlichkeit nähert. Die Methode der Variablentrennung besteht in der Suche nach Lösungen dieses Problems in der speziellen Form

$$u(t,x)=T(t)v(x).$$

ⓘ

Daraus ergibt sich, dass

$${\frac {T}{c^{2}T}}={\frac {v}{v}}=-\lambda .$$

ⓘ

Der Eigenwert λ muss so bestimmt werden, dass es eine nichttriviale Lösung des Randwertproblems gibt

$$v+\lambda v=0,$$

$$-v'(0)+av(0)=0,\quad v'(L)+bv(L)=0.$$

ⓘ

Dies ist ein Spezialfall des allgemeinen Problems der Sturm-Liouville-Theorie. Wenn a und b positiv sind, sind die Eigenwerte alle positiv, und die Lösungen sind trigonometrische Funktionen. Eine Lösung, die quadratisch-integrable Anfangsbedingungen für u und ut erfüllt, kann durch Expansion dieser Funktionen in die entsprechenden trigonometrischen Reihen erhalten werden. ⓘ

Untersuchung mit numerischen Methoden

Approximiert man den kontinuierlichen Strang durch eine endliche Anzahl von äquidistanten Massepunkten, so erhält man das folgende physikalische Modell:

Abbildung 1: Drei aufeinanderfolgende Massepunkte des diskreten Modells für einen Strang ⓘ

Wenn jeder Massenpunkt die Masse m hat, die Spannung der Saite f ist, der Abstand zwischen den Massenpunkten Δx ist und ui, i = 1, ..., n der Versatz dieser n Punkte von ihren Gleichgewichtspunkten ist (d. h. ihre Position auf einer Geraden zwischen den beiden Befestigungspunkten der Saite), ist die vertikale Komponente der Kraft zum Punkt i + 1 ⓘ

$${\frac {u_{i+1}-u_{i}}{\Delta x}}f$$

(1) ⓘ

und die vertikale Komponente der Kraft in Richtung des Punktes i - 1 ist ⓘ

$${\frac {u_{i-1}-u_{i}}{\Delta x}}f$$

(2) ⓘ

Wenn man die Summe dieser beiden Kräfte nimmt und durch die Masse m dividiert, erhält man die vertikale Bewegung:

$${\ddot {u}}_{i}=\left({\frac {f}{m\Delta x}}\right)\left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}\right)$$

(3) ⓘ

Da die Massendichte

$$\rho ={\frac {m}{\Delta x}}$$

ⓘ

kann dies geschrieben werden ⓘ

$${\ddot {u}}_{i}=\left({\frac {f}{\rho {\Delta x}^{2}}}\right)\left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}\right)$$

(4) ⓘ

Die Wellengleichung erhält man, indem man Δx → 0 lässt. In diesem Fall nimmt ui(t) die Form u(x, t) an, wobei u(x, t) eine stetige Funktion zweier Variablen ist, die Form ∂²u/∂t² annimmt und

$${\frac {u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}}{{\Delta x}^{2}}}\to {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$$

ⓘ

Aber die diskrete Formulierung (3) der Zustandsgleichung mit einer endlichen Anzahl von Massenpunkten ist gerade die geeignete für eine numerische Ausbreitung der Saitenbewegung. Die Randbedingung

$$u(0,t)=u(L,t)=0$$

wobei L die Länge der Saite ist, nimmt in der diskreten Formulierung die Form an, dass für die äußersten Punkte u₁ und un die Bewegungsgleichungen sind ⓘ

$${\ddot {u}}_{1}={\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)}^{2}\left(u_{2}-2u_{1}\right)$$

(5) ⓘ

und ⓘ

$${\ddot {u}}_{n}={\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)}^{2}\left(u_{n-1}-2u_{n}\right)$$

(6) ⓘ

während für 1 < i < n ⓘ

$${\ddot {u}}_{i}={\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)}^{2}\left(u_{i+1}+u_{i-1}-2u_{i}\right)$$

(7) ⓘ

mit c = √f/ρ. ⓘ

Approximiert man den Strang mit 100 diskreten Massenpunkten, so erhält man die 100 gekoppelten Differentialgleichungen zweiter Ordnung (5), (6) und (7) oder äquivalent 200 gekoppelte Differentialgleichungen erster Ordnung. ⓘ

Propagiert man diese bis zu den Zeiten

$${\frac {L}{c}}k(0.05),\,k=0,\dots ,5$$

ⓘ

mit einer Mehrschrittmethode 8. Ordnung werden die 6 in Abbildung 2 dargestellten Zustände gefunden:

Abbildung 2: Die Saite zu 6 aufeinanderfolgenden Epochen, wobei die erste (rot) dem Anfangszeitpunkt mit der ruhenden Saite entspricht ⓘ

Abbildung 3: Die Zeichenkette zu 6 aufeinanderfolgenden Epochen ⓘ

Abbildung 4: Die Saite zu 6 aufeinanderfolgenden Zeitpunkten ⓘ

Abbildung 5: Die Saite bei 6 aufeinanderfolgenden Epochen ⓘ

Abbildung 6: Die Saite bei 6 aufeinanderfolgenden Epochen ⓘ

Abbildung 7: Die Zeichenkette bei 6 aufeinanderfolgenden Epochen ⓘ

Die rote Kurve ist der Anfangszustand zum Zeitpunkt Null, bei dem die Saite in einer vordefinierten Form "freigelassen" wird, wobei alle ${\dot {u}}_{i}=0$. Die blaue Kurve ist der Zustand zum Zeitpunkt ${\tfrac {L}{c}}(0.25),$ d. h. nach einer Zeit, die der Zeit entspricht, die eine Welle, die sich mit der nominalen Wellengeschwindigkeit c=√ f/ρ bewegt, für ein Viertel der Länge der Saite benötigen würde. ⓘ

Abbildung 3 zeigt die Form der Saite zu den Zeitpunkten ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=6,\dots ,11$. Die Welle bewegt sich in Richtung rechts mit der Geschwindigkeit c=√f/ρ, ohne dass sie durch die Randbedingungen an den beiden Enden der Saite aktiv behindert wird. Die Form der Welle ist konstant, d. h. die Kurve hat tatsächlich die Form f(x - ct). ⓘ

Abbildung 4 zeigt die Form der Saite zu den Zeitpunkten ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=12,\dots ,17$. Die Beschränkung auf der rechten Seite beginnt, die Bewegung zu stören und verhindert, dass die Welle das Ende der Saite anhebt. ⓘ

Abbildung 5 zeigt die Form des Fadens zu den Zeitpunkten ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,23$ wenn die Richtung der Bewegung umgekehrt wird. Die roten, grünen und blauen Kurven sind die Zustände zu den Zeitpunkten ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=18,\dots ,20$ während die 3 schwarzen Kurven den Zuständen zu den Zeiten entsprechen ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=21,\dots ,23$ wenn die Welle beginnt, sich wieder nach links zu bewegen. ⓘ

Abbildung 6 und Abbildung 7 schließlich zeigen die Form der Saite zu den Zeitpunkten ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=24,\dots ,29$ und ${\tfrac {L}{c}}k(0.05),\,k=30,\dots ,35$. Die Welle bewegt sich nun nach links und die Zwänge an den Endpunkten sind nicht mehr aktiv. Am anderen Ende der Kette kehrt sich die Richtung wieder um, ähnlich wie in Abbildung 6 dargestellt. ⓘ

Mehrere Raumdimensionen

Eine Lösung der Wellengleichung in zwei Dimensionen mit einer Nullverschiebungs-Randbedingung entlang des gesamten äußeren Randes. ⓘ

Die eindimensionale Anfangs-Randwerttheorie kann auf eine beliebige Anzahl von Raumdimensionen erweitert werden. Man betrachte ein Gebiet D im m-dimensionalen x-Raum mit dem Rand B. Dann ist die Wellengleichung erfüllt, wenn x in D liegt und t > 0. Auf dem Rand von D muss die Lösung u erfüllen ⓘ

$${\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,$$

ⓘ

wobei n die Einheitsnormale nach außen zu B ist und a eine nicht-negative Funktion ist, die auf B definiert ist. Der Fall, in dem u auf B verschwindet, ist ein Grenzfall für a, der sich der Unendlichkeit nähert. Die Anfangsbedingungen sind ⓘ

$$u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x),$$

ⓘ

wobei f und g in D definiert sind. Dieses Problem kann gelöst werden, indem man f und g in die Eigenfunktionen des Laplacian in D erweitert, die die Randbedingungen erfüllen. So erfüllt die Eigenfunktion v ⓘ

$$\nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0,$$

ⓘ

in D, und ⓘ

$${\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0,$$

ⓘ

auf B. ⓘ

Wenn B ein Kreis ist, dann haben diese Eigenfunktionen eine Winkelkomponente, die eine trigonometrische Funktion des Polarwinkels θ ist, multipliziert mit einer Bessel-Funktion (ganzer Ordnung) der radialen Komponente. Weitere Einzelheiten sind der Helmholtz-Gleichung zu entnehmen. ⓘ

Wenn die Grenze eine Kugel in drei Raumdimensionen ist, sind die Winkelkomponenten der Eigenfunktionen sphärische Harmonische und die radialen Komponenten Besselfunktionen halbganzer Ordnung. ⓘ

Inhomogene Wellengleichung in einer Dimension

Die inhomogene Wellengleichung in einer Dimension ist die folgende:

$$u_{tt}(x,t)-c^{2}u_{xx}(x,t)=s(x,t)$$

mit Anfangsbedingungen gegeben durch

$$u(x,0)=f(x)$$

$$u_{t}(x,0)=g(x)$$

ⓘ

Die Funktion s(x, t) wird häufig als Quellenfunktion bezeichnet, da sie in der Praxis die Auswirkungen der Wellenquellen auf das Medium beschreibt, das sie trägt. Physikalische Beispiele für Quellenfunktionen sind die Kraft, die eine Welle auf einer Schnur antreibt, oder die Ladungs- oder Stromdichte in der Lorenz-Eichung des Elektromagnetismus. ⓘ

Eine Methode zur Lösung des Anfangswertproblems (mit den oben genannten Anfangswerten) besteht darin, eine besondere Eigenschaft der Wellengleichung in einer ungeraden Anzahl von Raumdimensionen auszunutzen, nämlich dass ihre Lösungen die Kausalität beachten. Das heißt, für jeden Punkt (xi, ti) hängt der Wert von u(xi, ti) nur von den Werten von f(xi + cti) und f(xi - cti) und den Werten der Funktion g(x) zwischen (xi - cti) und (xi + cti) ab. Dies zeigt sich in der oben genannten Formel von d'Alembert, in der diese Größen als einzige auftauchen. Wenn die maximale Ausbreitungsgeschwindigkeit c ist, dann kann kein Teil der Welle, der sich nicht bis zu einem bestimmten Punkt in einer bestimmten Zeit ausbreiten kann, die Amplitude an demselben Punkt und zu derselben Zeit beeinflussen. ⓘ

Für die Lösungsfindung bedeutet diese Kausalitätseigenschaft, dass für jeden beliebigen Punkt auf der betrachteten Linie nur die Fläche betrachtet werden muss, die alle Punkte umfasst, die den betrachteten Punkt kausal beeinflussen könnten. Bezeichnen Sie die Fläche, die den Punkt (xi, ti) kausal beeinflusst, als R_C. Angenommen, wir integrieren die inhomogene Wellengleichung über diesen Bereich. ⓘ

$$\iint _{R_{C}}\left(c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t)\right)dx\,dt=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.$$

ⓘ

Um dies stark zu vereinfachen, können wir das Green'sche Theorem anwenden, um die linke Seite zu vereinfachen und folgendes zu erhalten:

$$\int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx\right)=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.$$

ⓘ

Die linke Seite ist nun die Summe von drei Linienintegralen entlang der Grenzen der Kausalitätsregion. Diese sind recht einfach zu berechnen ⓘ

$$\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0)\,dx=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.$$

ⓘ

In der obigen Darstellung verschwindet der Term, der in Bezug auf die Zeit integriert werden muss, da das betreffende Zeitintervall Null ist, also dt = 0. ⓘ

Für die beiden anderen Seiten des Bereichs ist zu beachten, dass x ± ct eine Konstante ist, nämlich xi ± cti, wobei das Vorzeichen entsprechend gewählt wird. Daraus ergibt sich die Beziehung dx ± cdt = 0, wobei auch hier das richtige Vorzeichen gewählt wird:

$${\begin{aligned}\int _{L_{1}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx\right)&=\int _{L_{1}}\left(cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt\right)\\&=c\int _{L_{1}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).\end{aligned}}$$

ⓘ

Das Gleiche gilt für das letzte Randsegment:

$${\begin{aligned}\int _{L_{2}}\left(-c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx\right)&=-\int _{L_{2}}\left(cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt\right)\\&=-c\int _{L_{2}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}).\end{aligned}}$$

ⓘ

Man addiert die drei Ergebnisse und setzt sie wieder in das ursprüngliche Integral ein:

$${\begin{aligned}\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt&=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})\\&=2cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx\end{aligned}}$$

ⓘ

Lösen wir für u(x_i, t_i), so erhalten wir ⓘ

$$u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-c\left(t_{i}-t\right)}^{x_{i}+c\left(t_{i}-t\right)}s(x,t)\,dx\,dt.$$

ⓘ

In der letzten Gleichung der Folge sind die Grenzen des Integrals über die Quellfunktion explizit gemacht worden. Betrachtet man diese Lösung, die für alle mit der Wellengleichung kompatiblen Wahlmöglichkeiten (xi, ti) gilt, so wird deutlich, dass die ersten beiden Terme einfach die d'Alembertsche Formel sind, wie sie oben als Lösung der homogenen Wellengleichung in einer Dimension angegeben wurde. Der Unterschied liegt im dritten Term, dem Integral über die Quelle. ⓘ

Wellengleichung für inhomogene Medien, dreidimensionaler Fall

Bei einseitiger Wellenausbreitung, d. h. bei Wellen, die sich in einer vorgegebenen Wellenrichtung ($+c$ oder $-c$) in inhomogenen Medien kann die Wellenausbreitung auch mit einer tensoriellen Einweg-Wellengleichung (resultierend aus der Faktorisierung der vektoriellen Zweiweg-Wellengleichung) berechnet und eine analytische Lösung abgeleitet werden. ⓘ

Andere Koordinatensysteme

In drei Dimensionen kann die Wellengleichung, wenn sie in elliptischen Zylinderkoordinaten geschrieben ist, durch Trennung der Variablen gelöst werden, was zur Mathieu-Differentialgleichung führt. ⓘ

Weitere Verallgemeinerungen

Elastische Wellen

Die dreidimensionale elastische Wellengleichung (auch bekannt als Navier-Cauchy-Gleichung) beschreibt die Ausbreitung von Wellen in einem isotropen homogenen elastischen Medium. Die meisten festen Materialien sind elastisch, daher beschreibt diese Gleichung Phänomene wie seismische Wellen in der Erde und Ultraschallwellen, die zur Erkennung von Materialfehlern verwendet werden. Diese Gleichung ist zwar linear, hat aber eine komplexere Form als die oben genannten Gleichungen, da sie sowohl die Längs- als auch die Querbewegung berücksichtigen muss:

$$\rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )$$

ⓘ

wobei:

• λ und μ sind die sogenannten Lamé-Parameter, die die elastischen Eigenschaften des Mediums beschreiben,
• ρ die Dichte ist,
• f die Quellenfunktion (treibende Kraft) ist,
• und u der Verschiebungsvektor ist. ⓘ

Unter Verwendung von ∇ × (∇ × u) = ∇(∇ ⋅ u) - ∇ ⋅ ∇ u = ∇(∇ ⋅ u) - ∆u kann die elastische Wellengleichung in die gebräuchlichere Form der Navier-Cauchy-Gleichung umgeschrieben werden. ⓘ

Man beachte, dass in der elastischen Wellengleichung sowohl die Kraft als auch die Verschiebung Vektorgrößen sind. Daher wird diese Gleichung manchmal auch als Vektorwellengleichung bezeichnet. Zum besseren Verständnis wird der Leser feststellen, dass, wenn f und ∇ ⋅ u auf Null gesetzt werden, diese Gleichung (effektiv) zur Maxwellschen Gleichung für die Ausbreitung des elektrischen Feldes E wird, das nur Transversalwellen hat. ⓘ

Dispersionsbeziehung

Bei dispersiven Wellenphänomenen variiert die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung mit der Wellenlänge, was durch eine Dispersionsrelation ausgedrückt wird ⓘ

$$\omega =\omega (\mathbf {k} ),$$

ⓘ

wobei ω die Winkelfrequenz und k der Wellenvektor ist, der ebene Wellenlösungen beschreibt. Für Lichtwellen ist die Dispersionsrelation ω = ±c |k|, aber im Allgemeinen wird die konstante Geschwindigkeit c durch eine variable Phasengeschwindigkeit ersetzt:

$$v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega (k)}{k}}.$$

ⓘ

Die Wellengleichung in drei räumlichen Dimensionen

Die allgemeine Lösung der Wellengleichung lässt sich als Linearkombination von ebenen Wellen

$u({\vec {x}},t)=\int \mathrm {d} \omega \int \mathrm {d} ^{3}{\vec {k}}\,A(\omega ,k)e^{\mathrm {i} ({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)}\delta (\omega -c|{\vec {k}}|)$

schreiben. Die Delta-Distribution trägt dafür Sorge, dass die Dispersionsrelation $\omega =c|{\vec {k}}|$ gewahrt bleibt. Solch eine ebene Welle bewegt sich in Richtung von ${\vec {k}}$. Bei der Superposition solcher Lösungen ist allerdings nicht offensichtlich, wie ihre Anfangswerte mit der späteren Lösung zusammenhängen. ⓘ

In drei Raumdimensionen lässt sich die allgemeine Lösung der homogenen Wellengleichung durch Mittelwerte der Anfangswerte darstellen. Sei die Funktion $u(t,{\vec {x}})$ und ihre Zeitableitung zur Anfangszeit $t=0$ durch Funktionen $\phi$ und $\psi$ gegeben,

$u(0,{\vec {x}})=\phi ({\vec {x}}),\quad {\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}u(0,{\vec {x}})=\psi ({\vec {x}})\,,$

dann ist die Linearkombination von Mittelwerten

$u(t,{\vec {x}})=ct\,M_{t,{\vec {x}}}[\psi ]+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}(ct\,M_{t,{\vec {x}}}[\phi ])$

die zugehörige Lösung der homogenen Wellengleichung. Dabei bezeichnet

$M_{t,{\vec {x}}}[\chi ]={\frac {1}{4\,\pi }}\int _{-1}^{1}\mathrm {d} \cos \theta \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \,\chi ({\vec {x}}+ct{\vec {n}}(\theta ,\varphi ))\quad {\text{mit}}\quad {\vec {n}}(\theta ,\varphi )={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}}$

den Mittelwert der Funktion $\chi \,,$ gemittelt über eine Kugelschale um den Punkt ${\vec {x}}$ mit Radius $c|t|.$ Insbesondere ist $M_{0,{\vec {x}}}[\chi ]=\chi ({\vec {x}}).$ ⓘ

Wie diese Darstellung der Lösung durch die Anfangswerte zeigt, hängt die Lösung stetig von den Anfangswerten ab und hängt zur Zeit $t$ am Ort ${\vec {x}}$ nur von den Anfangswerten an den Orten ${\vec {y}}$ ab, von denen man ${\vec {x}}$ in der Laufzeit $|t|$ mit Geschwindigkeit $c$ erreichen kann. Sie genügt damit dem Huygensschen Prinzip. ⓘ

Für eindimensionale Systeme und in geraden Raumdimensionen gilt dieses Prinzip nicht. Dort hängen die Lösungen zur Zeit $t$ auch von Anfangswerten an näheren Punkten ${\vec {y}}$ ab, von denen aus man ${\vec {x}}$ mit geringerer Geschwindigkeit erreicht. ⓘ

Die Lösung der inhomogenen Wellengleichung in drei Raumdimensionen

$u(t,{\vec {x}})=ct\,M_{t,{\vec {x}}}[\psi ]+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}(ct\,M_{t,{\vec {x}}}[\phi ])+{\frac {1}{4\pi }}\int _{|{\vec {z}}|\leq c|t|}\mathrm {d} ^{3}{\vec {z}}\,{\frac {v(ct-\operatorname {sign} (t)|{\vec {z}}|,{\vec {x}}+{\vec {z}})}{|{\vec {z}}|}}$

hängt am Ort ${\vec {x}}$ zur Zeit $t>0$ nur von der Inhomogenität auf dem Rückwärtslichtkegel von ${\vec {x}}$ ab, zu negativen Zeiten nur von der Inhomogenität auf dem Vorwärtslichtkegel. Die Inhomogenität und die Anfangswerte wirken sich auf die Lösung mit Lichtgeschwindigkeit aus. ⓘ

Retardiertes Potential

Das retardierte Potential

$u_{\text{retardiert}}(t,{\vec {x}})={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\mathrm {d} ^{3}{\vec {z}}\,{\frac {v(ct-|{\vec {z}}|,\,{\vec {x}}+{\vec {z}})}{|{\vec {z}}|}}$

ist eine Lösung der inhomogenen Wellengleichung, die voraussetzt, dass die Inhomogenität $v$ auf allen Rückwärtslichtkegeln schneller als $1/r^{2}$ abfällt. Es ist die Welle, die vollständig vom Medium erzeugt ist ohne eine durchlaufende Welle. ⓘ

In der Elektrodynamik schränkt die Kontinuitätsgleichung die Inhomogenität ein. So kann die Ladungsdichte einer nichtverschwindenden Gesamtladung zu keiner Zeit überall verschwinden. In der Störungstheorie treten Inhomogenitäten auf, die räumlich nicht genügend schnell abfallen. Dann divergiert das zugehörige retardierte Integral und hat eine sogenannte Infrarotdivergenz. ⓘ

Die etwas aufwendigere Darstellung der Lösung durch ihre Anfangswerte zu endlicher Zeit und durch Integrale über endliche Abschnitte des Lichtkegels ist frei von solchen Infrarotdivergenzen. ⓘ

Lorentzinvarianz des D’Alembert-Operators

Der D’Alembert-Operator $\Box$ ist invariant unter Translationen und Lorentztransformationen $\Lambda$ in dem Sinne, dass er angewendet auf Lorentzverkettete Funktionen $f\circ \Lambda ^{-1}$ dasselbe ergibt, wie die lorentzverkettete abgeleitete Funktion

$(\Box f)\circ \Lambda ^{-1}=\Box \,(f\circ \Lambda ^{-1})\ .$

Entsprechend ist der Laplace-Operator invariant unter Translationen und Drehungen. ⓘ

Die homogene Wellengleichung ist sogar unter konformen Transformationen, insbesondere unter Streckungen invariant. ⓘ