Paradoxon
Ein Paradoxon ist eine logisch in sich widersprüchliche Aussage oder eine Aussage, die der eigenen Erwartung zuwiderläuft. Es handelt sich um eine Aussage, die trotz scheinbar gültiger Argumentation aus wahren Prämissen zu einer scheinbar selbstwidersprüchlichen oder logisch unannehmbaren Schlussfolgerung führt. Bei einem Paradoxon handelt es sich in der Regel um widersprüchliche, aber miteinander verbundene Elemente, die gleichzeitig existieren und über einen längeren Zeitraum bestehen bleiben. Sie führen zu einem "anhaltenden Widerspruch zwischen voneinander abhängigen Elementen", der zu einer dauerhaften "Einheit von Gegensätzen" führt. ⓘ
In der Logik gibt es viele Paradoxa, die als ungültige Argumente bekannt sind, aber dennoch wertvoll sind, um kritisches Denken zu fördern, während andere Paradoxa Fehler in Definitionen aufgedeckt haben, von denen man annahm, dass sie rigoros sind, und dazu geführt haben, dass Axiome der Mathematik und Logik neu überprüft werden. Ein Beispiel ist das Russell-Paradoxon, das die Frage aufwirft, ob eine "Liste aller Listen, die sich selbst nicht enthalten", sich selbst enthalten würde, und das zeigt, dass die Versuche, die Mengenlehre auf der Identifizierung von Mengen mit Eigenschaften oder Prädikaten zu begründen, fehlerhaft waren. Andere, wie z. B. das Curry-Paradoxon, lassen sich nicht ohne weiteres durch grundlegende Änderungen in einem logischen System lösen. ⓘ
Zu den Beispielen außerhalb der Logik gehört das Schiff des Theseus aus der Philosophie, ein Paradoxon, das die Frage aufwirft, ob ein Schiff, das im Laufe der Zeit repariert wird, indem alle hölzernen Teile nacheinander ausgetauscht werden, noch dasselbe Schiff ist. Paradoxien können auch in Form von Bildern oder anderen Medien auftreten. M.C. Escher zum Beispiel hat in vielen seiner Zeichnungen perspektivische Paradoxien dargestellt, mit Wänden, die aus anderen Blickwinkeln als Boden zu sehen sind, und Treppen, die endlos zu steigen scheinen. ⓘ
Im allgemeinen Sprachgebrauch bezieht sich das Wort "Paradoxon" oft auf ironische oder unerwartete Aussagen, wie z. B. "das Paradoxon, dass Stehen anstrengender ist als Gehen". ⓘ
Ein Paradoxon (sächlich; Plural Paradoxa; auch das Paradox oder die Paradoxie, Plural Paradoxe bzw. Paradoxien; vom altgriechischen Adjektiv παράδοξος parádoxos „wider Erwarten, wider die gewöhnliche Meinung, unerwartet, unglaublich“) ist ein Befund, eine Aussage oder Erscheinung, die dem allgemein Erwarteten, der herrschenden Meinung oder Ähnlichem auf unerwartete Weise zuwiderläuft oder beim üblichen Verständnis der betroffenen Gegenstände bzw. Begriffe zu einem Widerspruch führt. Die Analyse von Paradoxien kann zu einem tieferen Verständnis der betreffenden Gegenstände bzw. Begriffe oder Situationen führen, was den Widerspruch im besten Fall auflöst. Einzelne Paradoxa sind in der Liste von Paradoxa zu finden. ⓘ
Einführung
Häufige Themen in Paradoxien sind Selbstreferenz, unendlicher Regress, zirkuläre Definitionen und Verwirrung oder Äquivokation zwischen verschiedenen Abstraktionsebenen. ⓘ
Patrick Hughes skizziert drei Gesetze des Paradoxons:
- Selbstreferenz
- Ein Beispiel ist die Aussage "Diese Aussage ist falsch", eine Form des Lügnerparadoxons. Die Aussage bezieht sich auf sich selbst. Ein weiteres Beispiel für Selbstreferenz ist die Frage, ob sich der Barbier im Barbierparadoxon selbst rasiert. Ein weiteres Beispiel ist die Frage "Ist die Antwort auf diese Frage 'Nein'?".
- Widerspruch
- "Diese Aussage ist falsch"; die Aussage kann nicht gleichzeitig falsch und wahr sein. Ein weiteres Beispiel für einen Widerspruch ist, wenn ein Mann, der mit einem Flaschengeist spricht, sich wünscht, dass Wünsche nicht in Erfüllung gehen können. Dies ist ein Widerspruch in sich, denn wenn der Geist den Wunsch erfüllt, hat er ihn nicht erfüllt, und wenn der Geist sich weigert, den Wunsch zu erfüllen, hat er ihn tatsächlich erfüllt, so dass es unmöglich ist, den Wunsch zu erfüllen oder nicht zu erfüllen, ohne einen Widerspruch zu erzeugen.
- Bösartiger Zirkelschluss oder unendlicher Regress
- "Diese Aussage ist falsch"; wenn die Aussage wahr ist, dann ist die Aussage falsch, wodurch die Aussage wahr wird. Ein weiteres Beispiel für einen bösartigen Zirkelschluss ist die folgende Gruppe von Aussagen:
- "Der folgende Satz ist wahr."
- "Der vorherige Satz ist falsch." ⓘ
Andere Paradoxien beinhalten falsche Aussagen und Halbwahrheiten ("unmöglich" gehört nicht zu meinem Wortschatz) oder beruhen auf vorschnellen Annahmen. (Ein Vater und sein Sohn haben einen Autounfall; der Vater kommt ums Leben und der Junge wird ins Krankenhaus gebracht. Der Arzt sagt: "Ich kann diesen Jungen nicht operieren. Er ist mein Sohn." Es gibt kein Paradoxon, der Arzt ist die Mutter des Jungen. Dies ist ein Beispiel für einen Heuler.) ⓘ
Paradoxe, die nicht auf einem versteckten Fehler beruhen, treten im Allgemeinen am Rande des Kontextes oder der Sprache auf und erfordern eine Erweiterung des Kontextes oder der Sprache, um ihre paradoxe Qualität zu verlieren. Paradoxien, die sich aus scheinbar verständlichen Sprachverwendungen ergeben, sind für Logiker und Philosophen oft von Interesse. "Dieser Satz ist falsch" ist ein Beispiel für das bekannte Lügner-Paradoxon: Es handelt sich um einen Satz, der nicht konsistent als wahr oder falsch interpretiert werden kann, denn wenn man weiß, dass er falsch ist, kann man daraus schließen, dass er wahr sein muss, und wenn man weiß, dass er wahr ist, kann man daraus schließen, dass er falsch sein muss. Russells Paradoxon, das zeigt, dass der Begriff der Menge all jener Mengen, die sich selbst nicht enthalten, zu einem Widerspruch führt, war für die Entwicklung der modernen Logik und Mengenlehre von entscheidender Bedeutung. ⓘ
Auch Gedankenexperimente können zu interessanten Paradoxien führen. Das Großvater-Paradoxon würde zum Beispiel entstehen, wenn ein Zeitreisender seinen eigenen Großvater tötet, bevor seine Mutter oder sein Vater gezeugt wurden, und dadurch seine eigene Geburt verhindert. Dies ist ein spezifisches Beispiel für die allgemeinere Beobachtung des Schmetterlingseffekts oder dafür, dass die Interaktion eines Zeitreisenden mit der Vergangenheit - wie geringfügig sie auch sein mag - Veränderungen mit sich bringt, die wiederum die Zukunft verändern, in der die Zeitreise noch stattfinden soll, und somit die Umstände der Zeitreise selbst verändern. ⓘ
Häufig ergibt sich eine scheinbar paradoxe Schlussfolgerung aus einer inkonsistenten oder inhärent widersprüchlichen Definition der Ausgangsprämisse. Im Fall des scheinbaren Paradoxons, dass ein Zeitreisender seinen eigenen Großvater tötet, ist es die Inkonsistenz, dass er die Vergangenheit, in die er zurückkehrt, als etwas anderes definiert als die, die zu der Zukunft führt, von der aus er seine Reise beginnt, aber gleichzeitig darauf besteht, dass er in diese Vergangenheit aus derselben Zukunft gekommen sein muss wie die, zu der sie führt. ⓘ
Quines Klassifizierung
W. V. O. Quine (1962) unterscheidet zwischen drei Klassen von Paradoxien: Nach Quines Klassifikation der Paradoxien:
- Ein wahrhaftiges Paradoxon führt zu einem Ergebnis, das absurd erscheint, sich aber dennoch als wahr erweist. Das Paradoxon von Frederics Geburtstag in The Pirates of Penzance stellt die überraschende Tatsache fest, dass ein Einundzwanzigjähriger nur fünf Geburtstage gehabt hätte, wenn er an einem Schalttag geboren worden wäre. Ebenso zeigt das Unmöglichkeitstheorem von Arrow, dass es schwierig ist, Abstimmungsergebnisse auf den Willen des Volkes abzubilden. Das Monty-Hall-Paradoxon (bzw. das Drei-Gefangenen-Problem) zeigt, dass eine Entscheidung, die intuitiv eine Fifty-fifty-Chance hat, in Wirklichkeit stark auf eine Entscheidung ausgerichtet ist, die der Spieler angesichts der intuitiven Schlussfolgerung wahrscheinlich nicht treffen würde. In der Wissenschaft des 20. Jahrhunderts sind Hilberts Paradoxon des Grand Hotel, Schrödingers Katze, Wigners Freund oder das Theorem des hässlichen Entleins berühmte Beispiele dafür, dass eine Theorie zu einem logischen, aber paradoxen Ende geführt wird.
- Ein falsidisches Paradoxon führt zu einem Ergebnis, das nicht nur falsch erscheint, sondern aufgrund eines Fehlers in der Beweisführung tatsächlich falsch ist. Die verschiedenen ungültigen mathematischen Beweise (z. B., dass 1 = 2 ist) sind klassische Beispiele dafür, die sich oft auf eine versteckte Division durch Null stützen. Ein weiteres Beispiel ist die induktive Form des Pferdeparadoxons, bei dem aus wahren Einzelaussagen falsche Verallgemeinerungen abgeleitet werden. Die Paradoxa des Zenon sind "falsidisch", da sie zum Beispiel besagen, dass ein fliegender Pfeil sein Ziel nie erreicht oder dass ein schneller Läufer eine Schildkröte mit geringem Vorsprung nicht einholen kann. Daher können falsidische Paradoxa als trügerische Argumente eingestuft werden.
- Ein Paradoxon, das zu keiner der beiden Klassen gehört, kann eine Antinomie sein, die bei korrekter Anwendung akzeptierter Argumentationsweisen zu einem selbstwidersprüchlichen Ergebnis führt. Das Grelling-Nelson-Paradoxon zum Beispiel weist auf echte Probleme in unserem Verständnis der Begriffe Wahrheit und Beschreibung hin. ⓘ
Eine vierte Art, die alternativ als Spezialfall der dritten Art interpretiert werden kann, ist seit Quines Arbeiten gelegentlich beschrieben worden:
- Ein Paradox, das gleichzeitig und im gleichen Sinne wahr und falsch ist, wird Dialetheia genannt. In der westlichen Logik wird im Anschluss an Aristoteles oft angenommen, dass es keine Dialetheien gibt, aber in östlichen Traditionen (z. B. bei den Mohisten, den Gongsun Longzi und im Zen) und in parakonsistenten Logiken werden sie manchmal akzeptiert. Es wäre zum Beispiel eine bloße Äquivokation oder eine Frage des Grades, zu bejahen und zu verneinen, dass "John ist hier", wenn John auf halbem Weg durch die Tür ist, aber es ist ein Selbstwiderspruch, das Ereignis gleichzeitig zu bejahen und zu verneinen. ⓘ
Ramseys Klassifizierung
Frank Ramsey unterschied zwischen logischen Paradoxien und semantischen Paradoxien, wobei das Russell-Paradoxon zur ersten Kategorie und das Lügner-Paradoxon und die Grelling-Paradoxien zur zweiten Kategorie gehören. Ramsey führte die inzwischen übliche Unterscheidung zwischen logischen und semantischen Widersprüchen ein. Logische Widersprüche beziehen sich auf mathematische oder logische Begriffe wie Klasse und Zahl und zeigen somit, dass unsere Logik oder Mathematik problematisch ist. Semantische Widersprüche betreffen neben rein logischen Begriffen auch Begriffe wie Denken, Sprache und Symbolik, die nach Ramsey empirische (nicht formale) Begriffe sind. Daher sind diese Widersprüche auf fehlerhafte Vorstellungen über das Denken oder die Sprache zurückzuführen und gehören eigentlich zur Erkenntnistheorie. ⓘ
In der Philosophie
Die Vorliebe für das Paradoxe ist von zentraler Bedeutung für die Philosophien von Laozi, Zeno von Elea, Zhuangzi, Heraklit, Bhartrhari, Meister Eckhart, Hegel, Kierkegaard, Nietzsche und G.K. Chesterton, neben vielen anderen. Søren Kierkegaard zum Beispiel schreibt in den Philosophischen Fragmenten, dass:
Aber man darf nicht schlecht über das Paradoxon denken, denn das Paradoxon ist die Leidenschaft des Denkens, und der Denker ohne das Paradoxon ist wie der Liebhaber ohne Leidenschaft: ein mittelmäßiger Mensch. Aber die letzte Potenzierung jeder Leidenschaft ist immer, ihren eigenen Untergang zu wollen, und so ist es auch die letzte Leidenschaft des Verstandes, den Zusammenstoß zu wollen, obwohl der Zusammenstoß auf die eine oder andere Weise sein Untergang werden muss. Das ist also das letzte Paradox des Denkens: etwas entdecken zu wollen, was der Gedanke selbst nicht denken kann. ⓘ
In der Medizin
Eine paradoxe Reaktion auf ein Medikament ist das Gegenteil von dem, was man erwarten würde, z. B. Erregung durch ein Beruhigungsmittel oder Sedierung durch ein Aufputschmittel. Einige sind häufig und werden regelmäßig in der Medizin eingesetzt, wie z. B. die Verwendung von Stimulanzien wie Adderall und Ritalin bei der Behandlung der Aufmerksamkeitsdefizit-Hyperaktivitätsstörung (auch bekannt als ADHS), während andere selten sind und gefährlich sein können, da sie nicht erwartet werden, wie z. B. schwere Erregung durch ein Benzodiazepin. ⓘ
Die Wirkung von Antikörpern auf Antigene kann in seltenen Fällen in gewisser Weise paradoxe Züge annehmen. Ein Beispiel ist die antikörperabhängige Verstärkung (Immunverstärkung) der Virulenz einer Krankheit; ein anderes ist der Hakeneffekt (Prozoneffekt), von dem es mehrere Arten gibt. Beide Probleme treten jedoch nicht häufig auf, und im Großen und Ganzen sind Antikörper für die Gesundheit von entscheidender Bedeutung, da sie ihre Schutzfunktion in den meisten Fällen sehr gut erfüllen. ⓘ
Das Raucherparadoxon besteht darin, dass das Zigarettenrauchen trotz seiner erwiesenen Schädlichkeit in einer erstaunlichen umgekehrten Korrelation mit der epidemiologischen Häufigkeit bestimmter Krankheiten steht. ⓘ
Philosophische Tradition
In der Philosophie wurden Paradoxa, ebenso wie Sophismen seit der Antike diskutiert. Teilweise wurden sie eingesetzt, um bestimmte Positionen in der Kosmologie oder der Theologie zu stützen oder zu widerlegen und waren bereits früh Gegenstand logischer Untersuchungen. Bekannt sind die Paradoxien des Zenon von Elea, oder etwa das Allmachtsparadoxon. Bis in die Moderne waren Paradoxien der Selbstreferenz von besonderem Interesse: Dazu zählen das Lügner-Paradoxon, das Paradoxon des Epimenides und das bekannte Barbier-Paradoxon –, schließlich das durch die Russellsche Antinomie hervorgerufene Mengenparadoxon und die Grelling-Nelson-Antinomie. Auch in der modernen Wissenschaftstheorie stellen Paradoxien, einmal formuliert, eine wichtige Herausforderung dar, da sie Anforderungen an Theorien und Paradigma deutlich machen, die bisher nicht erfüllt wurden, so etwa Hempels Paradox oder Goodmans neues Rätsel der Induktion. ⓘ
Als ästhetisches Motiv in der Wissenschaft
Eine Betrachtung von Paradoxien in den verschiedenen Wissenschaften belegt, dass das Erkennen und Lösen von Paradoxien ein bedeutendes Motiv wissenschaftlicher Arbeit sein kann. Der Mathematiker Roger Penrose drückte es so aus: „Paradoxien empfinde ich als ausgesprochen reizvoll. Sie sehen so etwas und versuchen zu verstehen, wie um Himmels Willen könnte das einen Sinn ergeben?! Selbst das ist paradox: Ich habe viel für Paradoxien übrig, und gleichzeitig will ich sie aus der Welt schaffen!“ (Zitat nach Gábor Paál) ⓘ
Der wissenschafts-ästhetische Reiz von Paradoxien zeigt sich auch daran, dass sich Künstler wie M. C. Escher von den Paradoxien in der Mathematik und Physik inspirieren ließen. So gab es zeitweise einen engen Austausch zwischen ihm und Penrose, der sich als Mathematiker mit geometrisch „unmöglichen“ Formen befasste. Von ihm stammt unter anderem das berühmte Penrose-Dreieck. Escher wiederum hat diese in seinen Grafiken umgesetzt. Auch für andere Wissenschaftler und Denker wie Bertrand Russell, Gregory Bateson oder Arthur Koestler waren Paradoxien in ihren unterschiedlichen Facetten ein zentrales Thema. ⓘ
Formen
Abgrenzung nach Penrose
Der britische Mathematiker und Physiker Roger Penrose schlug für die Physik die Unterscheidung von Paradoxien von Puzzles vor. Bei Puzzles handele es sich um „verblüffende, aber experimentell unmittelbar belegbare Quantenwahrheiten über die Welt, in der wir leben.“ Dazu gehöre unter anderem das sogenannte Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon, das keinen echten Widerspruch, sondern lediglich eine zwar unanschauliche, aber doch belegbare physikalische Wahrheit sei. Die Paradoxien oder „X-Rätsel“, wie Penrose sie auch nennt, seien zwar quantenphysikalisch ebenso ein „wahrer Bestandteil dieser Welt, erscheinen aber so unplausibel und paradox, dass wir uns sträuben, sie als ‚wirklich‘ wahr hinzunehmen“. Das bekannteste X-Rätsel sei das Paradoxon von Schrödingers Katze. ⓘ
Psychologie
In der Psychologie werden als Paradoxa starke Widersprüche in den Anforderungen an das individuelle Denken und Verhalten untersucht. Dazu gehört die sogenannte „Sei-spontan-Paradoxie“, wie es häufig in Beziehungen zum Ausdruck kommt: Die Erwartung, dass mein Gegenüber seine Entscheidungen gefälligst frei und selbständig treffen soll – und genau damit seine Unselbständigkeit unter Beweis stellen würde. Der Wunsch „Sag mir doch öfter mal spontan, dass du mich liebst!“ ist, sobald ausgesprochen, nicht mehr erfüllbar. ⓘ
In den sogenannten paradoxen Interventionen werden psychische Paradoxien wiederum gezielt eingesetzt, insbesondere dann, wenn das Gegenüber (ein Kind zum Beispiel) ein trotziges Verhalten zeigt und auf Aufforderungen bewusst mit dem Gegenteil reagiert. Entsprechend wird in der paradoxen Intervention eine Erwartung geäußert, deren Gegenteil eigentlich erreicht werden soll. ⓘ
Ein weiteres Beispiel für psychische Paradoxien sind Double-Bind-Kommunikationsstrukturen. ⓘ
Paradoxa in der Populärkultur
In Das Leben des Brian von Monty Python wird Brian gegen seinen Willen für den Messias gehalten und fordert in der „Balkonszene“ seine Anhänger auf, Individuen zu sein:
| Brian: | Hört zu. Ihr versteht das alles falsch. Es ist wirklich nicht nötig, dass ihr mir folgt. Es ist völlig unnötig, einem Menschen zu folgen, den ihr nicht mal kennt. Ihr müsst nur an euch selbst denken. Ihr seid doch alle Individuen. ⓘ |
| Menge: | Ja! Wir sind alle Individuen! |
| Brian: | Und ihr seid alle völlig verschieden! |
| Menge: | Ja! Wir sind alle völlig verschieden! |
| Dennis: | Ich nicht! |
| Menge: | Pscht!! |