Pentagramm

Regelmäßiges Pentagramm ⓘ
Ein regelmäßiges Pentagramm
Typ	Regelmäßiges Sternpolygon
Kanten und Scheitelpunkte	5
Schläfli-Symbol	{5/2}
Coxeter-Dynkin-Diagramme
Symmetrie-Gruppe	Zweiflächig (D5)
Innenwinkel (Grad)	36°
Eigenschaften	sternförmig, zyklisch, gleichseitig, isogonal, isotoxal

Ein Pentagramm (manchmal auch als Pentalpha, Fünfeck oder Sternfünfeck bezeichnet) ist die Form eines regelmäßigen fünfzackigen Sternpolygons, das aus den diagonalen Liniensegmenten eines konvexen (oder einfachen oder sich nicht selbst schneidenden) regelmäßigen Fünfecks gebildet wird. Wenn man einen Kreis um die fünf Punkte zieht, entsteht ein ähnliches Symbol, das als Pentagramm bezeichnet wird und von Wiccans, Heiden oder einfach nur als Zeichen des Lebens und der Verbindung verwendet wird. Das Wort "Pentagramm" bezieht sich nur auf den fünfzackigen Stern, nicht auf den Kreis, der ihn in einem Pentagramm umgibt. ⓘ

Pentagramme wurden im antiken Griechenland und Babylonien symbolisch verwendet, heute sind sie bei Wicca, Hexen und Heiden weit verbreitet, ähnlich wie das Kreuz bei den Christen. Das Pentagramm hat magische Assoziationen. Viele Anhänger des modernen Heidentums und heidnischer Religionen tragen Schmuck mit diesem Symbol. Die Christen verwendeten das Pentagramm früher häufig, um die fünf Wunden Jesu darzustellen. ⓘ

Das Wort Pentagramm stammt vom griechischen Wort πεντάγραμμον (pentagrammon), von πέντε (pente), "fünf" + γραμμή (grammē), "Linie". Das Pentagramm bezieht sich nur auf den Stern und das Pentagramm bezieht sich auf den Stern innerhalb des Kreises, obwohl sie oft als dasselbe bezeichnet werden. Das Wort pentalpha ist eine gelehrte moderne (17. Jahrhundert) Wiederbelebung eines nachklassischen griechischen Namens für die Form. ⓘ

Pentagramm,
Schläfli-Symbol {5/2}, {5/3}. ⓘ

Pentagramm (von altgriechisch πέντε pénte „fünf“ und γραμμή grammē „Linie, Strich“; πεντάγραμμος pentágrammos „mit fünf Linien“) bezeichnet eine Form des fünfzackigen Sterns, auch Fünfstern genannt, die sich ergibt, wenn beim Verbinden der fünf Eckpunkte jedes Mal einer bzw. zwei übersprungen werden und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert wird dieser regelmäßige Stern mit dem Schläfli-Symbol $\left\{5/2\right\}$ bzw. $\left\{5/3\right\}$. Verbreitet sind auch die Bezeichnungen Drudenfuß bzw. Drudenstern, Pentakel sowie Pentalpha, da es sich durch fünf ineinander stehende Alphas („Α“) bilden lässt. Da das Pentagramm fünf Spitzen hat, gibt es zwei grundsätzliche Arten seiner Ausrichtung: mit einer Spitze nach oben (dann zeigen zwei Spitzen nach unten und zwei zur Seite), oder mit einer Spitze nach unten (dann zeigen zwei Spitzen nach oben und zwei zur Seite). Letzteres wird auch als „umgekehrtes“ oder „invertiertes“ Pentagramm bezeichnet. ⓘ

Geschichte

Frühe Geschichte

Ein pythagoreisches "Hugieia-Pentagramm" ⓘ

Frühe Pentagramme wurden auf sumerischen Töpferwaren aus Ur (ca. 3500 v. Chr.) gefunden, und der fünfzackige Stern war zu verschiedenen Zeiten das Symbol von Ishtar oder Marduk. ⓘ

Das Pentagramm war den alten Griechen bekannt, und eine Darstellung auf einer Vase stammt möglicherweise aus dem 7. Der im 6. Jahrhundert v. Chr. entstandene Pythagoräismus verwendete das Pentagramm als Symbol der gegenseitigen Anerkennung und des Wohlergehens. ⓘ

Von etwa 300-150 v. Chr. war das Pentagramm das Symbol Jerusalems, das durch die fünf hebräischen Buchstaben ירשלם gekennzeichnet ist, die den Namen der Stadt bilden. ⓘ

Das Wort Pentemychos (πεντέμυχος wörtlich "fünf Ecken" oder "fünf Nischen") war der Titel der Kosmogonie des Pherecydes von Syros. Die "fünf Ecken" sind die Orte, an denen die Samen des Chronos in die Erde gelegt werden, damit der Kosmos entstehen kann. ⓘ

Im Neuplatonismus soll das Pentagramm als Symbol oder Erkennungszeichen von den Pythagoräern verwendet worden sein, die das Pentagramm ὑγιεία hugieia "Gesundheit" nannten. ⓘ

Pythagoras kannte es als Symbol für Gesundheit. Ihn interessierte daran besonders der mathematische Aspekt des Goldenen Schnitts. Da man es in einem Zug zeichnen kann und am Schluss wieder zum Anfang gelangt, galt es auch als Zeichen für den Kreislauf des Lebens. Abraxas, Gott der Gnostiker, wurde ebenfalls durch ein Pentagramm symbolisiert, weil er fünf Urkräfte in sich vereint. ⓘ

Westliche Symbolik

Mittelalter

Das Pentagramm wurde in der Antike als christliches Symbol für die fünf Sinne oder für die fünf Wunden Christi verwendet. Das Pentagramm spielt eine wichtige symbolische Rolle in dem englischen Gedicht Sir Gawain and the Green Knight aus dem 14. Jahrhundert, in dem das Symbol den Schild des Helden Gawain ziert. Der namenlose Dichter führt den Ursprung des Symbols auf König Salomon zurück und erklärt, dass jeder der fünf miteinander verbundenen Punkte eine Tugend darstellt, die mit einer Fünfergruppe verbunden ist: Gawain ist vollkommen in seinen fünf Sinnen und fünf Fingern, er ist den fünf Wunden Christi treu, er schöpft Mut aus den fünf Freuden, die Maria an Jesus hatte, und er verkörpert die fünf Tugenden des Rittertums: Großzügigkeit, Freundschaft, Keuschheit, Ritterlichkeit und Frömmigkeit. ⓘ

Die Nordrose der Kathedrale von Amiens ⓘ

Die Nordrose der Kathedrale von Amiens (erbaut im 13. Jahrhundert) weist ein Pentagramm-Motiv auf. Einige Quellen interpretieren den ungewöhnlichen, nach unten gerichteten Stern als Symbol für den Heiligen Geist, der auf die Menschen herabkommt. ⓘ

Kirche St. Peter und Paul in Kaarma (13. Jahrhundert) ⓘ

Renaissance

Heinrich Cornelius Agrippa und andere setzten die Popularität des Pentagramms als magisches Symbol fort, indem sie den fünf Punkten die fünf neuplatonischen Elemente zuordneten, wie es für die Renaissance typisch war. ⓘ

Romantik

Drudenfuß als Schutzsymbol an einem Haus in Ahrweiler von 1639 ⓘ

In mittelalterlicher und nachmittelalterlicher Zeit galt das Pentagramm als Bannzeichen gegen das Böse sowie als Zauber- und Abwehrzeichen gegen Dämonen. Der Name Drudenfuß wird zum einen damit erklärt, dass das Zeichen als Schutzzeichen gegen nächtliche Spukgeister, die Druden, angesehen wurde. Es gab aber auch den Glauben, dass Druden selbst einen vogelartigen Fußabdruck hinterlassen, der in etwa dem Pentagramm gleicht. ⓘ

In Goethes Faust I (Vers 1395 f.) hindert das Zeichen den Teufel Mephistopheles daran, Fausts Studierzimmer zu verlassen:

Mephistopheles: „Gesteh’ ich’s nur! daß ich hinausspaziere / Verbietet mir ein kleines Hinderniß, / Der Drudenfuß auf eurer Schwelle –“

Faust: „Das Pentagramma macht dir Pein?“ ⓘ

Das Pentagramme de Faust aus Éliphas Lévis Dogme et rituel de la haute magie ⓘ

Das Sigil of Baphomet der Church of Satan ⓘ

Seit dem französischen Okkultisten Éliphas Lévi wird insbesondere das „umgekehrte“ Pentagramm/Pentakel mit Okkultismus und Satanismus in Verbindung gebracht. In Lévis Dogme et rituel de la haute magie aus der Mitte des 19. Jahrhunderts wird es als „Zeichen der Ziege des Sabbaths“ bezeichnet, wobei die Zacken jeweils für die Hörner, die Ohren und den Bart der Ziege stehen. Umgekehrt wurde das auf zwei Spitzen stehende Pentagramm mit Jesus Christus identifiziert, wobei Jesu eigentlicher Name יְהוֹשׁוּעַ (Jehoschua) beziehungsweise יֵשׁוּעַ (Jeschua) vom Tetragrammaton יהוה (JHWH) ausgehend mit יהשוה (Jahschuah) wiedergegeben und als Pentagrammaton bezeichnet wurde. ⓘ

Darauf bauten zahlreiche spätere Okkultisten auf. Mit einem Ziegenkopf in einem von verzerrten hebräischen Zeichen (LVYThN לִוְיָתָן) umringten invertierten Pentagramm erschien es 1961 auf dem Cover von Maurice Bessys Histoire en 1000 Images de la Magie; Anton Szandor LaVey übernahm dieses unter der Bezeichnung Sigil of Baphomet als Zeichen seiner 1966 gegründeten Church of Satan. LaVey benutzte das Siegel des Baphomet auch für die Cover der Schallplatte The Satanic Mass (1968) und der Satanischen Bibel (1969). ⓘ

In den 1980er Jahren wurde das invertierte Pentagramm in der Metal-Szene, insbesondere im Black- und Death Metal, als Symbol für das Böse oder den Satanismus beliebt, das Siegel des Baphomet erschien z. B. auf Schallplatten wie Jamras The Second Coming (1972) und Venoms Welcome to Hell (1982). Ferner gibt es eine Doom-Metal-Band namens Pentagram. Das Pentakel (Pentagramm mit Kreis) ist auch im Neuheidentum, insbesondere in der neureligiösen Bewegung Wicca, ein wichtiges Symbol. In dem Horrorfilm Pentagram des Regisseurs Steve Lawson von 2019 beschwören vier Jugendliche, die durch schwarze Magie in einem Pentagramm auf dem Dachboden eines verlassenen Hauses gefangen sind, den Dämon Asmodäus. ⓘ

Mitte des 19. Jahrhunderts hatte sich unter den Okkultisten eine weitere Unterscheidung hinsichtlich der Ausrichtung des Pentagramms herausgebildet. Mit einer einzigen Spitze nach oben stellte es den Geist dar, der den Vorsitz über die vier Elemente der Materie innehatte, und war im Wesentlichen "gut". Der einflussreiche Schriftsteller Éliphas Lévi bezeichnete es jedoch als böse, wenn das Symbol in umgekehrter Richtung auftauchte.

• "Ein umgekehrtes Pentagramm, bei dem zwei Spitzen nach oben ragen, ist ein Symbol des Bösen und zieht finstere Kräfte an, weil es die richtige Ordnung der Dinge umstößt und den Triumph der Materie über den Geist demonstriert. Es ist die Ziege der Lust, die mit ihren Hörnern den Himmel angreift, ein Zeichen, das von Eingeweihten verachtet wird."
• "Der flammende Stern, der, wenn er auf den Kopf gestellt wird, das heirolgyphische [sic] Zeichen der Ziege der schwarzen Magie ist, deren Kopf in den Stern gezeichnet werden kann, die beiden Hörner oben, die Ohren rechts und links, der Bart unten. Es ist ein Zeichen des Antagonismus und des Verhängnisses. Es ist die Ziege der Lust, die mit ihren Hörnern den Himmel angreift."
• "Lasst uns die Figur des fünfzackigen Sterns immer aufrecht halten, mit dem obersten Dreieck zum Himmel zeigend, denn er ist der Sitz der Weisheit, und wenn die Figur umgekehrt wird, wird Perversion und Böses die Folge sein." ⓘ

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  In ein Pentagramm eingeschriebener Mensch, aus Heinrich Cornelius Agrippas De occulta philosophia libri tres. Die fünf Zeichen an den Eckpunkten des Pentagramms sind astrologisch.

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  Ein weiteres Pentagramm aus Agrippas Buch. Hier sind die Buchstaben des Pythagoras um den Kreis herum eingeschrieben.

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  Das Pentagramm des Okkultisten und Magiers Éliphas Lévi, das er als Symbol des Mikrokosmos, also des Menschen, betrachtete. ⓘ

Mephistopheles:

Sieh genau hin! Es ist nicht vollendet:

Ein Winkel, wenn du ihn genau betrachtest

ist, wie du siehst, ein wenig offen gelassen worden. ⓘ

Ostasiatische Symbolik

Die fünf Phasen von Wu Xing ⓘ

Wu Xing (chinesisch: 五行; pinyin: Wǔ Xíng) sind die fünf Phasen oder fünf Elemente in der taoistischen chinesischen Tradition. Sie unterscheiden sich von den prägenden alten japanischen oder griechischen Elementen durch ihre Betonung der zyklischen Transformationen und Veränderungen. Die fünf Phasen sind: Feuer (火 huǒ), Erde (土 tǔ), Metall (金 jīn), Wasser (水 shuǐ), und Holz (木 mù). Das Wuxing ist die grundlegende Philosophie und Doktrin der traditionellen chinesischen Medizin und Akupunktur. ⓘ

Verwendungen im modernen Okkultismus

Ausgehend vom Okkultismus der Renaissance fand das Pentagramm Eingang in die Symbolik der modernen Okkultisten. Seine Hauptverwendung ist eine Fortsetzung der alten babylonischen Verwendung des Pentagramms als apotropäischer Zauber zum Schutz vor bösen Mächten. Éliphas Lévi behauptete: "Das Pentagramm drückt die Herrschaft des Geistes über die Elemente aus, und es ist dieses Zeichen, mit dem wir die Dämonen der Luft, die Geister des Feuers, die Gespenster des Wassers und die Geister der Erde binden." In diesem Sinne entwickelte der hermetische Orden des Golden Dawn die Verwendung des Pentagramms im kleineren Bannritual des Pentagramms, das bis heute von denjenigen verwendet wird, die Magie nach Art des Golden Dawn praktizieren. ⓘ

Aleister Crowley nutzte das Pentagramm in seinem thelemischen System der Magie: Ein umgekehrtes oder invertiertes Pentagramm stellt nach der Interpretation von Lon Milo DuQuette den Abstieg des Geistes in die Materie dar. Crowley widersprach damit seinen alten Weggefährten im hermetischen Orden des Golden Dawn, die in Anlehnung an Levi diese Ausrichtung des Symbols als böse betrachteten und es mit dem Triumph der Materie über den Geist assoziierten. ⓘ

Verwendung in neuen religiösen Bewegungen

Baháʼí-Glaube

Der fünfzackige Stern ist ein Symbol des Baháʼí-Glaubens. Im Baháʼí-Glauben ist der Stern als Haykal (arabisch: "Tempel") bekannt, und er wurde vom Báb initiiert und errichtet. Der Báb und Bahá'u'lláh schrieben verschiedene Werke in Form eines Pentagramms. ⓘ

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  Haykal des Báb, geschrieben mit seiner eigenen Hand.

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  Ein nicht identifiziertes Werk des Báb.

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  Ein nicht identifiziertes Werk des Báb. ⓘ

Die Kirche Jesu Christi der Heiligen der Letzten Tage

Es wird angenommen, dass die Kirche Jesu Christi der Heiligen der Letzten Tage begann, sowohl aufrechte als auch umgekehrte fünfzackige Sterne in der Tempelarchitektur zu verwenden, und zwar ab dem Tempel in Nauvoo, Illinois, der am 30. April 1846 eingeweiht wurde. Weitere Tempel, die mit fünfzackigen Sternen in beiden Ausrichtungen geschmückt sind, sind der Salt Lake Temple und der Logan Utah Temple. Diese Verwendungen gehen auf die Symbolik in Offenbarung Kapitel 12 zurück: "Und es erschien ein großes Wunder am Himmel: eine Frau, bekleidet mit der Sonne und dem Mond unter ihren Füßen, und auf ihrem Haupt eine Krone von zwölf Sternen." ⓘ

Wicca

Typisches neopaganes Pentagramm (umschrieben)

USVA-Grabsteinemblem 37

Aufgrund einer vermeintlichen Assoziation mit Satanismus und Okkultismus versuchten viele Schulen in den Vereinigten Staaten in den späten 1990er Jahren, Schülern das Tragen des Pentagramms auf Kleidung oder Schmuck zu verbieten. In öffentlichen Schulen wurde im Jahr 2000 festgestellt, dass derartige Maßnahmen der Schulleitung gegen das Recht der Schüler auf freie Religionsausübung nach dem Ersten Verfassungszusatz verstoßen. ⓘ

Das eingekreiste Pentagramm (von den Klägern als Pentagramm bezeichnet) wurde am 24. April 2007 in die Liste der 38 zugelassenen religiösen Symbole aufgenommen, die auf den Grabsteinen der gefallenen Soldaten auf dem Arlington National Cemetery angebracht werden dürfen. Diese Entscheidung wurde aufgrund von zehn Anträgen von Familien gefallener Soldaten getroffen, die Wicca praktizierten. Die Regierung zahlte den Familien 225.000 US-Dollar, um ihre anhängigen Klagen beizulegen. ⓘ

Andere religiöse Verwendung

Serer-Religion

Yoonir, Symbol des Universums in der Religion der Serer und in der Schöpfungsmythologie.

Darstellung der drei Welten in der Kosmogonie der Serer: die unsichtbare Welt, die irdische Welt und die nächtliche Welt. ⓘ

Der fünfzackige Stern ist ein Symbol der Serer-Religion und des Serer-Volkes in Westafrika. In ihrer Sprache Yoonir genannt, symbolisiert er im Schöpfungsmythos der Serer das Universum und steht auch für den Stern Sirius. ⓘ

Judentum

Das Pentagramm wird im Judentum seit mindestens 300 v. Chr. verwendet, als es erstmals als Wahrzeichen Jerusalems verwendet wurde. Es wird verwendet, um Gerechtigkeit, Barmherzigkeit und Weisheit darzustellen. ⓘ

Andere moderne Verwendungen

• Das Pentagramm ist in den Flaggen von Marokko (seit 1915) und Äthiopien (seit 1996 und erneut seit 2009) zu sehen ⓘ

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  Flagge von Marokko

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  Die Flagge Äthiopiens ⓘ

• Der Orden des Eastern Star, eine mit der Freimaurerei verbundene Organisation (gegründet 1850), verwendet ein Pentagramm als Symbol, wobei die fünf gleichschenkligen Dreiecke der Spitzen blau, gelb, weiß, grün und rot gefärbt sind. In den meisten Großkapiteln wird das Pentagramm mit der Spitze nach unten verwendet, in einigen wenigen aber auch mit der Spitze nach oben. Großkapitulare tragen oft ein Fünfeck um den Stern herum (das hier abgebildete Emblem stammt von der Prince Hall Association). ⓘ

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  Emblem des Ordens des Eastern Star ⓘ

• Ein Pentagramm ist auf der Flagge der niederländischen Stadt Haaksbergen sowie auf ihrem Wappen zu sehen. ⓘ

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  Flagge von Haaksbergen ⓘ

• Die Flagge der japanischen Stadt Nagasaki zeigt ein Pentagramm, das auch in ihrem Wappen enthalten ist. ⓘ

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  Flagge von Nagasaki ⓘ

Geometrie

Fraktales Pentagramm, gezeichnet mit einem Vektor-Iterationsprogramm ⓘ

Schneeflocken von Koch, gezeichnet mit MSWLogo (in Tartapelago) ⓘ

Das Pentagramm ist das einfachste regelmäßige Sternpolygon. Das Pentagramm enthält zehn Punkte (die fünf Punkte des Sterns und die fünf Eckpunkte des inneren Fünfecks) und fünfzehn Liniensegmente. Es wird durch das Schläfli-Symbol {5/2} dargestellt. Wie ein reguläres Fünfeck und ein reguläres Fünfeck, in dem ein Pentagramm konstruiert ist, hat das reguläre Pentagramm als Symmetriegruppe die Flächengruppe der Ordnung 10. ⓘ

Es kann als ein Netz einer fünfeckigen Pyramide gesehen werden, allerdings mit gleichschenkligen Dreiecken. ⓘ

Konstruktion

Das Pentagramm kann konstruiert werden, indem man abwechselnde Eckpunkte eines Fünfecks miteinander verbindet; siehe Einzelheiten der Konstruktion. Es kann auch als Stellation eines Fünfecks konstruiert werden, indem man die Kanten eines Fünfecks verlängert, bis sich die Linien schneiden. ⓘ

Abgeschnitten

Ein gleichmäßig abgeschnittenes Pentagramm t{5/2} ergibt ein doppelt gewickeltes Fünfeck mit überlappenden Ecken und Kanten, {10/2}. Ein flacherer Abschlag ergibt eine isogonale Figur, wie diese mit gleichmäßig verteilten Scheitelpunkten. Ein abgeschnittenes Retro-Pentagramm t{5/3} oder eine Quasitrunkierung ergibt ein Dekagramm, {10/3}. ⓘ

flach t{5/2}

t{5/3} = {10/3} ⓘ

Goldener Schnitt

Ein regelmäßiges Pentagramm, das gefärbt ist, um seine Liniensegmente unterschiedlicher Länge zu unterscheiden. Die vier Längen stehen im Goldenen Schnitt zueinander. ⓘ

Der Goldene Schnitt, φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618, erfüllt

$\varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }\,$

$\varphi =1/(2\sin(\pi /10))=1/(2\sin 18^{\circ })\,$

$\varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }\,$

spielt in regelmäßigen Fünfecken und Pentagrammen eine wichtige Rolle. Jeder Schnittpunkt von Kanten schneidet die Kanten im Goldenen Schnitt: Das Verhältnis der Länge der Kante zum längeren Segment ist φ, ebenso wie das Verhältnis der Länge des längeren Segments zum kürzeren. Auch das Verhältnis der Länge des kürzeren Segments zu dem durch die beiden sich schneidenden Kanten begrenzten Segment (eine Seite des Fünfecks in der Mitte des Pentagramms) ist φ. Wie die vierfarbige Illustration zeigt:

${\frac {\mathrm {red} }{\mathrm {green} }}={\frac {\mathrm {green} }{\mathrm {blue} }}={\frac {\mathrm {blue} }{\mathrm {magenta} }}=\varphi .$ ⓘ

Das Fünfeck enthält zehn gleichschenklige Dreiecke: fünf spitze und fünf stumpfe gleichschenklige Dreiecke. Bei allen ist das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren Seite φ. Die spitzen Dreiecke sind goldene Dreiecke. Das stumpfwinklige gleichschenklige Dreieck, das in der Abbildung durch die farbigen Linien hervorgehoben ist, ist ein goldener Gnomon. ⓘ

Formeln

Mathematische Formeln zum Pentagramm ⓘ

Flächeninhalt	$A={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {250+110\cdot {\sqrt {5}}}}\cdot s^{2}\approx 5{,}568\cdot s^{2}$
	$A={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {25-10\cdot {\sqrt {5}}}}\cdot a^{2}\approx 0{,}812\cdot a^{2}$
Umfang	$U=5\cdot l={\frac {5+5\cdot {\sqrt {5}}}{2}}\cdot a=(10+5\cdot {\sqrt {5}})\cdot s$
Länge der Sehne	$l=\Phi \cdot a={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot a\approx 1{,}618\cdot a$
	$l=\Phi ^{3}\cdot s=(2+{\sqrt {5}})\cdot s\approx 4{,}236\cdot s$
	$l={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {10+2\cdot {\sqrt {5}}}}\cdot r\approx 1{,}902\cdot r$
Seitenlänge des inneren Fünfecks	$s={\frac {a}{\Phi ^{2}}}={\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\cdot a\approx 0{,}382\cdot a$
	$s={\frac {l}{\Phi ^{3}}}=({\sqrt {5}}-2)\cdot l\approx 0{,}236\cdot l$
	$s={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {50-22\cdot {\sqrt {5}}}}\cdot r\approx 0{,}449\cdot r$
Seitenlänge des äußeren Fünfecks	$a=(\Phi +1)\cdot s=\Phi ^{2}\cdot s={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot s\approx 2{,}618\cdot s$
	$a=(\Phi -1)\cdot l={\frac {l}{\Phi }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\cdot l\approx 0{,}618\cdot l$
	$a={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {10-2\cdot {\sqrt {5}}}}\cdot r\approx 1{,}176\cdot r$
Umkreisradius	$r={\frac {1}{10}}\cdot {\sqrt {50-10\cdot {\sqrt {5}}}}\cdot l\approx 0{,}526\cdot l$
	$r={\frac {1}{10}}\cdot {\sqrt {50+10\cdot {\sqrt {5}}}}\cdot a\approx 0{,}851\cdot a$
	$r={\frac {1}{10}}\cdot {\sqrt {250+110\cdot {\sqrt {5}}}}\cdot s\approx 2{,}227\cdot s$

${\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{10}}&=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi -1}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}\\[5pt]\cos {\frac {\pi }{10}}&=\cos 18^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}{4}}\\[5pt]\tan {\frac {\pi }{10}}&=\tan 18^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}})}}{5}}\\[5pt]\cot {\frac {\pi }{10}}&=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}&=\sin 36^{\circ }={\frac {\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}{4}}\\[5pt]\cos {\frac {\pi }{5}}&=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}}\\[5pt]\tan {\frac {\pi }{5}}&=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\[5pt]\cot {\frac {\pi }{5}}&=\cot 36^{\circ }={\frac {\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}{5}}\end{aligned}}$ ⓘ

In einem gleichschenkligen Dreieck mit einem oder zwei Winkeln von 36° ist also die längere der beiden Seitenlängen φ-mal so lang wie die kürzere, sowohl im Falle des spitzen als auch des stumpfen Dreiecks. ⓘ

Sphärisches Pentagramm

Ein Pentagramm kann als sternförmiges Polygon auf einer Kugel gezeichnet werden, das aus fünf Großkreisbögen besteht, deren Innenwinkel alle rechtwinklig sind. Diese Form wurde 1614 von John Napier in seinem Buch Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Beschreibung der wunderbaren Regel der Logarithmen) beschrieben, zusammen mit Regeln, die die Werte der trigonometrischen Funktionen von fünf Teilen eines rechtwinkligen sphärischen Dreiecks (zwei Winkel und drei Seiten) miteinander verbinden. Sie wurde später von Carl Friedrich Gauß untersucht. ⓘ

Dreidimensionale Figuren

In mehreren Polyedern sind Pentagramme enthalten:

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  Pentagrammisches Prisma

• 

  Pentagrammatisches Antiprisma

• 

  Pentagrammisches Kreuz-Antiprisma

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  Kleines sternförmiges Dodekaeder

• 

  Großes sternförmiges Dodekaeder

• 

  Kleines ditrigonales Ikosidodekaeder

• 

  Dodekadodekaeder ⓘ

Höhere Dimensionen

Orthogonale Projektionen von höherdimensionalen Polytopen können ebenfalls pentagrammartige Figuren ergeben:

4D		5D ⓘ
Die reguläre 5-Zelle (4-Simplex) hat fünf Eckpunkte und 10 Kanten.	Die rektifizierte 5-Zelle hat 10 Eckpunkte und 30 Kanten.	Das rektifizierte 5-Simplex hat 15 Eckpunkte, die in dieser orthogonalen Projektion als drei verschachtelte Pentagramme zu sehen sind.	Das birektifizierte 5-Simplex hat 20 Scheitelpunkte, die in dieser orthogonalen Projektion als vier überlappende Pentagramme zu sehen sind.

Alle zehn 4-dimensionalen Schläfli-Hess 4-Polytope haben entweder Pentagrammflächen oder Scheitelfigurenelemente. ⓘ

Polyeder mit Pentagrammen

Einige Polyeder haben Pentagramme als Seitenflächen, zum Beispiel der Dodekaederstern und der Ikosaederstern. Diese zwei Polyeder sind Kepler-Poinsot-Körper. ⓘ

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  Dodekaederstern

• 

  Ikosaederstern ⓘ

Pentagramm der Venus

Das Pentagramm der Venus ⓘ

Das Pentagramm der Venus ist die scheinbare Bahn des Planeten Venus, wie sie von der Erde aus beobachtet wird. Aufeinanderfolgende untere Konjunktionen der Venus wiederholen sich mit einer Bahnresonanz von etwa 13:8, d. h. die Venus umkreist die Sonne etwa 13 Mal pro acht Erdumläufe und verschiebt sich bei jeder unteren Konjunktion um 144°. Die Spitzen der fünf Schleifen im Zentrum der Figur stehen in der gleichen geometrischen Beziehung zueinander wie die fünf Spitzen oder Punkte eines Pentagramms, und jede Gruppe von fünf Schnittpunkten in gleichem Abstand vom Zentrum der Figur hat die gleiche geometrische Beziehung. ⓘ

In Computersystemen

Das Pentagramm hat diese Unicode-Codepunkte, die es ermöglichen, es in Dokumente aufzunehmen:

• U+26E4 ⛤ PENTAGRAMM
• U+26E5 ⛥ RECHTSHÄNDIGES VERSCHACHTELTES PENTAGRAMM
• U+26E6 ⛦ LINKSHÄNDIGES VERSCHACHTELTES PENTAGRAMM
• U+26E7 ⛧ UMGEKEHRTES PENTAGRAMM ⓘ

Flora

Stern der Alcea rosea ⓘ

Das Fünfeck taucht in verschiedenen Zusammenhängen in der Natur auf, so ist es ein Kennzeichen der Gewöhnlichen Stockrose. ⓘ

Geschichte und kulturelle Bedeutung

Freimaurer-Symbol

Von den Dombauhütten kam das Pentagramm zu den Freimaurern und wurde das übergeordnete Symbol auf ihren Arbeitsteppichen. Seine fünf Spitzen weisen auf die Tugenden der Klugheit, der Gerechtigkeit, der Stärke, der Mäßigung und des Fleißes hin. ⓘ

Weitere symbolische Deutungen der fünf Ecken des Pentagramms sind der Geist und die vier Elemente Feuer, Wasser, Erde und Luft; oder auch Äther und die vier Himmelsrichtungen Norden, Süden, Westen und Osten. ⓘ

Der Flammende Stern ist ein freimaurerisches Pentagramm, das von einer Gloriole umgeben ist und zentral den Buchstaben G enthält (identische Bedeutung). ⓘ

Numismatik

Als Symbol auf Münzen ist das Pentagramm bereits seit dem Frühmittelalter auf merowingischen Münzen nachweisbar. Auch auf den Münzen und Geldscheinen Französisch-Marokkos ist es vielfach zu finden. Beispiele:

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  Tanger, 0,50 Francs, Datum unbekannt

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  10 Francs, 1943

• 

  50 Centimes, 1945

• 

  1 Franc, Datum unbekannt ⓘ

Pentakel

Das Pentagramm, insbesondere wenn es von einem Kreis umschlossen ist, wird auch als Symbol für Amulette verwendet und Pentakel genannt. Das Wort kann aber auch allgemein Amulette zur magischen Beschwörung bezeichnen, auch wenn ein anderes Symbol darauf ist. ⓘ