Trägheitsmoment

Trägheitsmoment ⓘ
Schwungräder haben große Trägheitsmomente, um die Drehbewegung zu glätten.
Gebräuchliche Symbole	I
SI-Einheit	kg m2
Andere Einheiten	lbf-ft-s2
Ableitungen von anderen Größen	$I={\frac {L}{\omega }}$
Abmessung	M L2

Seiltänzer nutzen das Trägheitsmoment einer langen Stange zum Ausbalancieren, während sie auf dem Seil laufen. Samuel Dixon bei der Überquerung des Niagara-Flusses im Jahr 1890. ⓘ

Um ihre Manövrierfähigkeit zu verbessern, sind Kriegsflugzeuge so konstruiert, dass sie im Vergleich zu kommerziellen Flugzeugen ein geringeres Trägheitsmoment aufweisen. ⓘ

Das Trägheitsmoment, auch bekannt als Massenträgheitsmoment, Winkelträgheitsmoment, zweites Massenträgheitsmoment oder genauer gesagt als Rotationsträgheit eines starren Körpers, ist eine Größe, die das für eine gewünschte Winkelbeschleunigung um eine Rotationsachse erforderliche Drehmoment bestimmt, ähnlich wie die Masse die für eine gewünschte Beschleunigung erforderliche Kraft bestimmt. Sie hängt von der Massenverteilung des Körpers und der gewählten Achse ab, wobei größere Momente mehr Drehmoment erfordern, um die Drehrate des Körpers zu ändern. ⓘ

Es ist eine extensive (additive) Eigenschaft: Für eine Punktmasse ist das Trägheitsmoment einfach die Masse mal das Quadrat des senkrechten Abstands zur Drehachse. Das Trägheitsmoment eines starren Verbundsystems ist die Summe der Trägheitsmomente seiner Teilsysteme (alle um dieselbe Achse). Seine einfachste Definition ist das zweite Moment der Masse in Bezug auf den Abstand von einer Achse. ⓘ

Bei Körpern, die sich nur in einer Ebene drehen können, ist nur ihr Trägheitsmoment um eine Achse senkrecht zur Ebene, ein skalarer Wert, von Bedeutung. Bei Körpern, die sich frei in drei Dimensionen drehen können, können ihre Momente durch eine symmetrische 3 × 3-Matrix beschrieben werden, mit einer Reihe von zueinander senkrechten Hauptachsen, für die diese Matrix diagonal ist und die Drehmomente um die Achsen unabhängig voneinander wirken. ⓘ

Ist die Drehachse nicht fest vorgegeben, so reicht zur Beschreibung des Trägheitsverhaltens eine einzelne Zahl nicht aus. Aus dem Trägheitstensor kann das Trägheitsmoment für jede beliebige Achse durch den Schwerpunkt berechnet werden. ⓘ

Einführung

Wenn sich ein Körper frei um eine Achse drehen kann, muss ein Drehmoment aufgebracht werden, um seinen Drehimpuls zu verändern. Der Betrag des Drehmoments, der erforderlich ist, um eine bestimmte Winkelbeschleunigung (die Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit) zu bewirken, ist proportional zum Trägheitsmoment des Körpers. Trägheitsmomente können in Kilogrammmeter zum Quadrat (kg-m²) in SI-Einheiten und Pfund-Fuß-Sekunden zum Quadrat (lbf-ft-s²) in imperialen oder US-Einheiten ausgedrückt werden. ⓘ

Das Trägheitsmoment spielt in der Rotationskinetik die gleiche Rolle wie die Masse (Trägheit) in der Linearkinetik - beide charakterisieren den Widerstand eines Körpers gegen Änderungen seiner Bewegung. Das Trägheitsmoment hängt davon ab, wie die Masse um eine Drehachse verteilt ist, und variiert je nach gewählter Achse. Für eine punktförmige Masse ist das Trägheitsmoment um eine Achse gegeben durch $mr^{2}$, wobei $r$ der Abstand des Punktes von der Achse ist und $m$ die Masse ist. Für einen ausgedehnten starren Körper ist das Trägheitsmoment einfach die Summe aller kleinen Masseteile multipliziert mit dem Quadrat ihrer Abstände von der Drehachse. Für einen ausgedehnten Körper mit regelmäßiger Form und gleichmäßiger Dichte ergibt diese Summierung manchmal einen einfachen Ausdruck, der von den Abmessungen, der Form und der Gesamtmasse des Objekts abhängt. ⓘ

Im Jahr 1673 führte Christiaan Huygens diesen Parameter in seiner Studie über die Schwingung eines an einem Drehpunkt hängenden Körpers, dem so genannten Verbundpendel, ein. Der Begriff Trägheitsmoment wurde von Leonhard Euler in seinem Buch Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum im Jahr 1765 eingeführt und ist in Eulers zweitem Gesetz enthalten. ⓘ

Die Eigenfrequenz eines zusammengesetzten Pendels ergibt sich aus dem Verhältnis zwischen dem durch die Schwerkraft auf die Masse des Pendels ausgeübten Drehmoment und dem durch das Trägheitsmoment definierten Beschleunigungswiderstand. Der Vergleich dieser Eigenfrequenz mit der eines einfachen Pendels, das aus einem einzigen Massenpunkt besteht, liefert eine mathematische Formulierung für das Trägheitsmoment eines ausgedehnten Körpers. ⓘ

Das Trägheitsmoment taucht auch im Impuls, in der kinetischen Energie und in den Newtonschen Bewegungsgesetzen für einen starren Körper als physikalischer Parameter auf, der seine Form und Masse kombiniert. Es gibt einen interessanten Unterschied in der Art und Weise, wie das Trägheitsmoment bei ebenen und räumlichen Bewegungen auftritt. Bei der ebenen Bewegung gibt es einen einzigen Skalar, der das Trägheitsmoment definiert, während die gleichen Berechnungen bei der räumlichen Bewegung eine 3 × 3 Matrix von Trägheitsmomenten ergeben, die Trägheitsmatrix oder Trägheitstensor genannt wird. ⓘ

Das Trägheitsmoment eines rotierenden Schwungrads wird in einer Maschine verwendet, um Schwankungen des angelegten Drehmoments zu widerstehen und die Rotationsleistung zu glätten. Das Trägheitsmoment eines Flugzeugs um seine Längs-, Horizontal- und Vertikalachse bestimmt, wie sich die Steuerkräfte auf den Steuerflächen der Flügel, Höhen- und Seitenruder auf die Bewegungen des Flugzeugs beim Rollen, Stampfen und Gieren auswirken. ⓘ

Definition

Das Trägheitsmoment ist definiert als das Produkt aus der Masse des Querschnitts und dem Quadrat des Abstands zwischen der Bezugsachse und dem Schwerpunkt des Querschnitts.

Eiskunstläufer, die sich drehen, können ihr Trägheitsmoment verringern, indem sie ihre Arme einziehen, wodurch sie sich aufgrund der Drehimpulserhaltung schneller drehen können. ⓘ

Video eines Experiments mit einem rotierenden Stuhl, das das Trägheitsmoment veranschaulicht. Wenn der sich drehende Professor seine Arme anzieht, nimmt sein Trägheitsmoment ab; um den Drehimpuls zu erhalten, nimmt seine Winkelgeschwindigkeit zu. ⓘ

Das Trägheitsmoment I ist auch definiert als das Verhältnis zwischen dem Nettodrehmoment L eines Systems und seiner Winkelgeschwindigkeit ω um eine Hauptachse, d. h.

$$I={\frac {L}{\omega }}.$$

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Wenn der Drehimpuls eines Systems konstant ist, dann muss die Winkelgeschwindigkeit zunehmen, wenn das Trägheitsmoment kleiner wird. Dies ist der Fall, wenn sich drehende Eiskunstläufer ihre ausgestreckten Arme einziehen oder Taucher ihren Körper während eines Tauchgangs in eine gebückte Position bringen, um sich schneller zu drehen. ⓘ

Wenn sich die Form des Körpers nicht ändert, erscheint sein Trägheitsmoment im Newtonschen Bewegungsgesetz als das Verhältnis zwischen dem auf einen Körper ausgeübten Drehmoment τ und der Winkelbeschleunigung α um eine Hauptachse, d. h.

$$\tau =I\alpha .$$

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Für ein einfaches Pendel ergibt sich aus dieser Definition eine Formel für das Trägheitsmoment I in Abhängigkeit von der Masse m des Pendels und seinem Abstand r vom Drehpunkt als,

$$I=mr^{2}.$$

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Das Trägheitsmoment des Pendels hängt also sowohl von der Masse m eines Körpers als auch von seiner Geometrie bzw. Form ab, die durch den Abstand r zur Drehachse definiert ist. ⓘ

Diese einfache Formel lässt sich verallgemeinern, um das Trägheitsmoment für einen beliebig geformten Körper als die Summe aller elementaren Punktmassen dm zu definieren, die jeweils mit dem Quadrat ihres senkrechten Abstands r zu einer Achse k multipliziert werden. Das Trägheitsmoment eines beliebigen Objekts hängt also von der räumlichen Verteilung seiner Masse ab. ⓘ

Im Allgemeinen kann für ein Objekt der Masse m ein effektiver Radius k definiert werden, der von einer bestimmten Drehachse abhängt und so groß ist, dass sein Trägheitsmoment um die Achse gleich

$$I=mk^{2},$$

wobei k als Kreiselradius um die Achse bezeichnet wird. ⓘ

Ist das Trägheitsmoment $I_{\mathrm {S} }$ für eine Achse durch den Schwerpunkt eines Körpers bekannt, so ist das Trägheitsmoment $I_{\mathrm {P} }$ für eine beliebige parallel verschobene Drehachse

$\left.I_{\mathrm {P} }=I_{\mathrm {S} }+md^{2}\right.$.

Dabei gibt $d$ den Abstand des Schwerpunkts von der parallel verschobenen Drehachse an. ⓘ

Man kann den Steinerschen Satz für zwei beliebige parallele Drehachsen verallgemeinern. Dazu muss der Satz zweimal hintereinander angewendet werden: Zunächst verschiebe man die Drehachse so, dass sie durch den Schwerpunkt des Körpers geht, danach auf den gewünschten Zielort.

$I_{\mathrm {neu} }=I_{\mathrm {alt} }+m\left(d_{\mathrm {neu} }^{2}-d_{\mathrm {alt} }^{2}\right)$. ⓘ

Beispiele

Einfaches Pendel

Mathematisch gesehen ist das Trägheitsmoment eines einfachen Pendels das Verhältnis zwischen dem durch die Schwerkraft verursachten Drehmoment um den Drehpunkt eines Pendels und seiner Winkelbeschleunigung um diesen Drehpunkt. Für ein einfaches Pendel ist dies das Produkt aus der Masse des Teilchens $m$ mit dem Quadrat seines Abstands $r$ zum Drehpunkt, d. h.

$$I=mr^{2}.$$

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Dies kann wie folgt dargestellt werden: Die Schwerkraft, die auf die Masse eines einfachen Pendels wirkt, erzeugt ein Drehmoment ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F}$ um die Achse, die senkrecht zur Ebene der Pendelbewegung steht. Dabei ist $\mathbf {r}$ der Abstandsvektor von der Drehmomentachse zum Massenschwerpunkt des Pendels, und $\mathbf {F}$ ist die Nettokraft auf die Masse. Mit diesem Drehmoment ist eine Winkelbeschleunigung verbunden, ${\boldsymbol {\alpha }}$der Saite und der Masse um diese Achse. Da die Masse auf einen Kreis beschränkt ist, beträgt die tangentiale Beschleunigung der Masse $\mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r}$. Da $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ wird die Drehmomentgleichung zu:

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {r} \times (m{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} )\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\alpha }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\alpha }}=I\alpha \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}$$

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wobei $\mathbf {\hat {k}}$ ein Einheitsvektor ist, der senkrecht zur Ebene des Pendels steht. (Der vorletzte Schritt verwendet die Erweiterung des dreifachen Vektorprodukts mit der Rechtwinkligkeit von ${\boldsymbol {\alpha }}$ und $\mathbf {r}$.) Die Größe $I=mr^{2}$ ist das Trägheitsmoment dieser einzelnen Masse um den Drehpunkt. ⓘ

Die Größe $I=mr^{2}$ erscheint auch im Drehimpuls eines einfachen Pendels, der sich aus der Geschwindigkeit $\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$ der Pendelmasse um den Drehpunkt berechnet, wobei ${\boldsymbol {\omega }}$ die Winkelgeschwindigkeit der Masse um den Drehpunkt ist. Dieser Drehimpuls ist gegeben durch

$${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \left(m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right)\\&=m\left(\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right){\boldsymbol {\omega }}-\left(\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\mathbf {r} \right)\\&=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I\omega \mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}$$

unter Verwendung einer ähnlichen Herleitung wie in der vorherigen Gleichung. ⓘ

In ähnlicher Weise wird die kinetische Energie der Pendelmasse durch die Geschwindigkeit des Pendels um den Drehpunkt definiert und ergibt

$$E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}\right)\omega ^{2}={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}.$$

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Dies zeigt, dass die Größe $I=mr^{2}$ ist die Art und Weise, wie die Masse mit der Form eines Körpers kombiniert wird, um die Rotationsträgheit zu definieren. Das Trägheitsmoment eines beliebig geformten Körpers ist die Summe der Werte $mr^{2}$ für alle Massenelemente des Körpers. ⓘ

Zusammengesetzte Pendel

Im Mendenhall-Gravimeter verwendete Pendel, aus der wissenschaftlichen Zeitschrift von 1897. Das 1890 von Thomas C. Mendenhall entwickelte tragbare Gravimeter lieferte die genauesten relativen Messungen des lokalen Gravitationsfeldes der Erde. ⓘ

Ein zusammengesetztes Pendel ist ein Körper, der aus einer Anordnung von Teilchen mit kontinuierlicher Form besteht und sich starr um einen Drehpunkt dreht. Sein Trägheitsmoment ist die Summe der Trägheitsmomente der einzelnen Teilchen, aus denen es zusammengesetzt ist. Die Eigenfrequenz ($\omega _{\text{n}}$) eines zusammengesetzten Pendels hängt von seinem Trägheitsmoment ab, $I_{P}$,

$$\omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},$$

wobei $m$ ist die Masse des Objekts, $g$ ist die lokale Erdbeschleunigung und $r$ ist der Abstand zwischen dem Drehpunkt und dem Massenschwerpunkt des Objekts. Die Messung dieser Schwingungsfrequenz über kleine Winkelverschiebungen ist eine effektive Methode zur Messung des Trägheitsmoments eines Körpers. ⓘ

Um das Trägheitsmoment eines Körpers zu bestimmen, hängt man ihn einfach an einem geeigneten Drehpunkt auf $P$ aufhängen, so dass er frei in einer Ebene schwingt, die senkrecht zur Richtung des gewünschten Trägheitsmoments liegt, und dann seine Eigenfrequenz oder Schwingungsdauer messen ($t$), um zu erhalten

$$I_{P}={\frac {mgr}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {mgrt^{2}}{4\pi ^{2}}},$$

wobei $t$ ist die Periode (Dauer) der Schwingung (in der Regel gemittelt über mehrere Perioden). ⓘ

Zentrum der Schwingung

Ein einfaches Pendel, das die gleiche Eigenfrequenz wie ein zusammengesetztes Pendel hat, definiert die Länge $L$ vom Drehpunkt bis zu einem Punkt, der als Schwingungszentrum des zusammengesetzten Pendels bezeichnet wird. Dieser Punkt entspricht auch dem Aufschlagpunkt. Die Länge $L$ wird durch die Formel bestimmt,

$$\omega _{\text{n}}={\sqrt {\frac {g}{L}}}={\sqrt {\frac {mgr}{I_{P}}}},$$

oder

$$L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}={\frac {I_{P}}{mr}}.$$

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Das Sekundenpendel, das für das "Ticken" und "Tock" einer Standuhr sorgt, braucht eine Sekunde, um von einer Seite zur anderen zu schwingen. Dies entspricht einer Periode von zwei Sekunden oder einer Eigenfrequenz von $\pi \ \mathrm {rad/s}$ für das Pendel. In diesem Fall kann der Abstand zum Schwingungszentrum berechnet werden, $L$wie folgt berechnet werden

$$L={\frac {g}{\omega _{\text{n}}^{2}}}\approx {\frac {9.81\ \mathrm {m/s^{2}} }{(3.14\ \mathrm {rad/s} )^{2}}}\approx 0.99\ \mathrm {m} .$$

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Beachten Sie, dass der Abstand zum Schwingungszentrum des Sekundenpendels angepasst werden muss, um unterschiedliche Werte für die lokale Erdbeschleunigung zu berücksichtigen. Das Pendel von Kater ist ein zusammengesetztes Pendel, das diese Eigenschaft nutzt, um die lokale Erdbeschleunigung zu messen, und das als Gravimeter bezeichnet wird. ⓘ

Trägheitsmomente von Himmelskörpern

Fast alle größeren Körper im Weltall (Sterne, Planeten) sind annähernd kugelförmig und rotieren mehr oder weniger schnell. Das Trägheitsmoment um die Rotationsachse ist immer das größte des jeweiligen Himmelskörpers. ⓘ

Die Differenz dieses „polaren“ und des äquatorialen Trägheitmoments hängt mit der Abplattung des Körpers zusammen, also seiner Verformung der reinen Kugelgestalt durch die Fliehkraft der Rotation. Bei der Erde liegt die Differenz dieser zwei Hauptträgheitsmomente bei 0,3 Prozent, entspricht also etwa der Erdabplattung von 1:298,24. Beim rasch rotierenden Jupiter ist die Differenz und die Abplattung rund 20-mal größer. ⓘ

Beispielrechnung: Trägheitsmoment der homogenen Vollkugel

Zum Verständnis dieses Abschnittes sind grundlegende Kenntnisse der Integralrechnung und Koordinatentransformation hilfreich. ⓘ

Um das Trägheitsmoment einer massiven homogenen Kugel bezüglich einer Drehachse durch den Kugelmittelpunkt zu berechnen, wird das im Abschnitt „Berechnung“ angegebene Integral verwendet. Der Einfachheit halber soll der Kugelmittelpunkt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems liegen und die Drehachse entlang der $z$-Achse verlaufen. Um das Integral

$I=\rho \int _{V}(x^{2}+y^{2})\,\mathrm {d} V$

auszuwerten, empfiehlt es sich statt kartesischen lieber Kugelkoordinaten zu verwenden. Beim Übergang müssen dabei die kartesischen Koordinaten x, y, z und das Volumenelement dV durch die Kugelkoordinaten $r,\vartheta ,\varphi$ ausgedrückt werden. Das geschieht mithilfe der Ersetzungsregeln

$x=r\sin \vartheta \cos \varphi$

$y=r\sin \vartheta \sin \varphi$

$z=r\cos \vartheta$

und der Funktionaldeterminanten

$\mathrm {d} V=r^{2}\sin \vartheta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi$.

Einsetzen in den Ausdruck für das Trägheitsmoment liefert

$I=\rho \int _{0}^{R}\!\mathrm {d} r\,\int _{0}^{\pi }\!\mathrm {d} \vartheta \,\int _{0}^{2\pi }\!\mathrm {d} \varphi \;\;r^{4}\sin ^{3}\vartheta$.

Hier zeigt sich der Vorteil der Kugelkoordinaten: Die Integralgrenzen hängen nicht voneinander ab. Die beiden Integrationen über r und $\varphi$ lassen sich daher elementar ausführen. Das verbleibende Integral in

$I={\frac {2}{5}}\pi \rho R^{5}\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\vartheta \,\mathrm {d} \vartheta$

kann durch Substitution $u=\cos \vartheta ,~du=-\sin \vartheta d\vartheta$ gelöst werden:

$\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\vartheta \,\mathrm {d} \vartheta ={\frac {4}{3}}$.

Für das Trägheitsmoment ergibt sich schließlich:

$I={\frac {2}{5}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi \rho R^{5}={\frac {2}{5}}\rho VR^{2}={\frac {2}{5}}mR^{2}$. ⓘ

Messung des Trägheitsmoments

Das Trägheitsmoment eines komplexen Systems, z. B. eines Fahrzeugs oder eines Flugzeugs, um seine vertikale Achse kann gemessen werden, indem das System an drei Punkten aufgehängt wird, die ein trifilares Pendel bilden. Ein trifilares Pendel ist eine von drei Drähten getragene Plattform, die so konstruiert ist, dass sie in Torsion um ihre vertikale Schwerpunktsachse schwingt. Aus der Schwingungsdauer des trifilaren Pendels ergibt sich das Trägheitsmoment des Systems. ⓘ

Flächenträgheitsmoment

Das Flächenträgheitsmoment ist auch als zweites Flächenträgheitsmoment bekannt. Diese Berechnungen werden im Bauwesen häufig für die statische Auslegung von Trägern und Stützen verwendet. Querschnittsflächen, die für das vertikale Moment der X-Achse $I_{xx}$ und das horizontale Moment der Y-Achse $I_{yy}$.
Höhe (h) und Breite (b) sind die linearen Maße, außer bei Kreisen, bei denen effektiv die halbe Breite abgeleitet wird, $r$ ⓘ

Das Moment der Querschnittsflächen wird wie folgt berechnet

1. Quadratisch: $I_{xx}=I_{yy}={\frac {b^{4}}{12}}$
   
2. Rechtwinklig: $I_{xx}={\frac {bh^{3}}{12}}$ und; $I_{yy}={\frac {hb^{3}}{12}}$
   
3. Dreieckig: $I_{xx}={\frac {bh^{3}}{36}}$
   
4. Kreisförmig: $I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{4}}{\pi }r^{4}$ ⓘ

Bewegung in einer festen Ebene

Punktmasse

Vier Objekte mit identischen Massen und Radien rasen auf einer Ebene hinunter und rollen dabei ohne zu verrutschen. Von hinten nach vorne:

•   kugelförmige Schale,
•   Vollkugel,
•   zylindrischer Ring, und
•   Vollzylinder.

Die Zeit, die jedes Objekt benötigt, um die Ziellinie zu erreichen, hängt von seinem Trägheitsmoment ab. (OGV-Version) ⓘ

Das Trägheitsmoment um eine Achse eines Körpers wird berechnet durch Addition $mr^{2}$ für jedes Teilchen des Körpers, wobei $r$ der senkrechte Abstand zur angegebenen Achse ist. Um zu sehen, wie das Trägheitsmoment bei der Untersuchung der Bewegung eines ausgedehnten Körpers entsteht, ist es praktisch, eine starre Anordnung von Punktmassen zu betrachten. (Diese Gleichung kann auch für Achsen verwendet werden, die keine Hauptachsen sind, sofern man sich darüber im Klaren ist, dass damit das Trägheitsmoment nicht vollständig beschrieben wird). ⓘ

Betrachten wir die kinetische Energie einer Anordnung von $N$ Massen $m_{i}$ die sich in den Abständen $r_{i}$ vom Drehpunkt $P$Das Trägheitsmoment ist der nächstgelegene Punkt auf der Drehachse. Es ist die Summe der kinetischen Energie der einzelnen Massen, ⓘ

$$E_{\text{K}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}\,m_{i}\left(\omega r_{i}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\,\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.$$

ⓘ

Dies zeigt, dass das Trägheitsmoment des Körpers die Summe der einzelnen $mr^{2}$ Terme ist, d.h.

$$I_{P}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}r_{i}^{2}.$$

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Das Trägheitsmoment ist also eine physikalische Eigenschaft, die die Masse und die Verteilung der Teilchen um die Rotationsachse zusammenfasst. Beachten Sie, dass die Rotation um verschiedene Achsen desselben Körpers unterschiedliche Trägheitsmomente ergibt. ⓘ

Das Trägheitsmoment eines kontinuierlichen Körpers, der sich um eine bestimmte Achse dreht, wird auf die gleiche Weise berechnet, allerdings mit unendlich vielen Punktteilchen. So werden die Grenzen der Summation aufgehoben, und die Summe wird wie folgt geschrieben:

$$I_{P}=\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}$$

ⓘ

Ein anderer Ausdruck ersetzt die Summation durch ein Integral,

$$I_{P}=\iiint _{Q}\rho (x,y,z)\left\|\mathbf {r} \right\|^{2}dV$$

ⓘ

Hier gibt die Funktion $\rho$ gibt die Massendichte in jedem Punkt an $(x,y,z)$, $\mathbf {r}$ ist ein Vektor, der senkrecht zur Drehachse steht und sich von einem Punkt auf der Drehachse zu einem Punkt $(x,y,z)$ im Körper erstreckt, und die Integration wird über das Volumen $V$ des Körpers $Q$. Das Trägheitsmoment einer ebenen Fläche ist ähnlich, wobei die Massendichte durch die flächenbezogene Massendichte ersetzt wird und das Integral über die Fläche ausgewertet wird. ⓘ

Anmerkung zum zweiten Flächenträgheitsmoment: Das Trägheitsmoment eines Körpers, der sich in einer Ebene bewegt, und das zweite Flächenmoment des Querschnitts eines Trägers werden oft verwechselt. Das Trägheitsmoment eines Körpers mit der Form des Querschnitts ist das zweite Moment dieser Fläche um die $z$-Achse senkrecht zum Querschnitt, gewichtet mit seiner Dichte. Es wird auch als Polarmoment der Fläche bezeichnet und ist die Summe der zweiten Momente um die $x$- und $y$-Achse. Die Spannungen in einem Balken werden anhand des zweiten Moments der Querschnittsfläche um die $x$-Achse oder $y$-Achse in Abhängigkeit von der Belastung. ⓘ

Beispiele

Das Trägheitsmoment eines zusammengesetzten Pendels, das aus einer dünnen Scheibe besteht, die am Ende einer dünnen Stange angebracht ist, die um einen Drehpunkt am anderen Ende der Stange schwingt, beginnt mit der Berechnung des Trägheitsmoments der dünnen Stange und der dünnen Scheibe um ihre jeweiligen Massenschwerpunkte. ⓘ

• Das Trägheitsmoment eines dünnen Stabes mit konstantem Querschnitt $s$ und Dichte $\rho$ und mit der Länge $\ell$ Das Trägheitsmoment eines Körpers um eine senkrechte Achse durch seinen Massenschwerpunkt wird durch Integration bestimmt. Richten Sie die $x$-Achse mit dem Stab aus und lege den Ursprung seines Massenschwerpunktes in den Mittelpunkt des Stabes, dann
  $$I_{C,{\text{rod}}}=\iiint _{Q}\rho \,x^{2}\,dV=\int _{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}\rho \,x^{2}s\,dx=\left.\rho s{\frac {x^{3}}{3}}\right|_{-{\frac {\ell }{2}}}^{\frac {\ell }{2}}={\frac {\rho s}{3}}\left({\frac {\ell ^{3}}{8}}+{\frac {\ell ^{3}}{8}}\right)={\frac {m\ell ^{2}}{12}},$$
  wobei $m=\rho s\ell$ ist die Masse des Stabes.
• Das Trägheitsmoment einer dünnen Scheibe mit konstanter Dicke $s$, Radius $R$und Dichte $\rho$ um eine Achse durch seinen Mittelpunkt und senkrecht zu seiner Fläche (parallel zu seiner Rotationssymmetrieachse) wird durch Integration bestimmt. Ausrichten der $z$-Achse mit der Achse der Scheibe und definiere ein Volumenelement als $dV=sr\,dr\,d\theta$, dann
  $$I_{C,{\text{disc}}}=\iiint _{Q}\rho \,r^{2}\,dV=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\rho r^{2}sr\,dr\,d\theta =2\pi \rho s{\frac {R^{4}}{4}}={\frac {1}{2}}mR^{2},$$
  wobei $m=\pi R^{2}\rho s$ seine Masse ist.
• Das Trägheitsmoment des zusammengesetzten Pendels ergibt sich nun durch Addition der Trägheitsmomente von Stab und Scheibe um den Drehpunkt $P$ als,
  $$I_{P}=I_{C,{\text{rod}}}+M_{\text{rod}}\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+I_{C,{\text{disc}}}+M_{\text{disc}}(L+R)^{2},$$
  wobei $L$ ist die Länge des Pendels. Man beachte, dass der Satz von der parallelen Achse verwendet wird, um das Trägheitsmoment vom Massenschwerpunkt zum Drehpunkt des Pendels zu verschieben. ⓘ

Eine Liste von Trägheitsmomentformeln für Standardkörperformen bietet eine Möglichkeit, das Trägheitsmoment eines komplexen Körpers als Zusammenstellung einfacher geformter Körper zu erhalten. Der Satz von der parallelen Achse wird verwendet, um den Bezugspunkt der einzelnen Körper zum Bezugspunkt der Gesamtheit zu verschieben. ⓘ

Ein weiteres Beispiel ist das Trägheitsmoment einer festen Kugel konstanter Dichte um eine Achse durch ihren Massenschwerpunkt. Dieses wird durch die Summierung der Trägheitsmomente der dünnen Scheiben bestimmt, die die Kugel bilden können und deren Mittelpunkte auf der gewählten Achse liegen. Wenn die Oberfläche der Kugel durch die Gleichung definiert ist

$$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},$$

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dann ist das Quadrat des Radius $r$ der Scheibe im Querschnitt $z$ entlang der $z$-Achse ist

$$r(z)^{2}=x^{2}+y^{2}=R^{2}-z^{2}.$$

ⓘ

Das Trägheitsmoment der Kugel ist also die Summe der Trägheitsmomente der Scheiben entlang der $z$-Achse,

$${\begin{aligned}I_{C,{\text{ball}}}&=\int _{-R}^{R}{\frac {\pi \rho }{2}}r(z)^{4}\,dz=\int _{-R}^{R}{\frac {\pi \rho }{2}}\left(R^{2}-z^{2}\right)^{2}\,dz\\&={\frac {\pi \rho }{2}}\left[R^{4}z-{\frac {2}{3}}R^{2}z^{3}+{\frac {1}{5}}z^{5}\right]_{-R}^{R}\\&=\pi \rho \left(1-{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)R^{5}\\&={\frac {2}{5}}mR^{2},\end{aligned}}$$

wobei ${\textstyle m={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$ ist die Masse der Kugel. ⓘ

Starrer Körper

Die Zylinder mit höherem Trägheitsmoment rollen mit geringerer Beschleunigung einen Abhang hinunter, da mehr von ihrer potentiellen Energie in die kinetische Rotationsenergie umgewandelt werden muss. ⓘ

Wenn ein mechanisches System gezwungen ist, sich parallel zu einer festen Ebene zu bewegen, dann erfolgt die Drehung eines Körpers in diesem System um eine Achse $\mathbf {\hat {k}}$ rechtwinklig zu dieser Ebene. In diesem Fall ist das Trägheitsmoment der Masse in diesem System ein Skalar, der als polares Trägheitsmoment bezeichnet wird. Die Definition des polaren Trägheitsmoments ergibt sich aus der Betrachtung des Impulses, der kinetischen Energie und der Newtonschen Gesetze für die ebene Bewegung eines starren Systems von Teilchen. ⓘ

Wenn ein System von $n$ Teilchen, $P_{i},i=1,\dots ,n$zu einem starren Körper zusammengesetzt, so lässt sich der Impuls des Systems in Form von Positionen relativ zu einem Bezugspunkt $\mathbf {R}$und absoluten Geschwindigkeiten $\mathbf {v} _{i}$:

$${\begin{aligned}\Delta \mathbf {r} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {V} ={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} ,\end{aligned}}$$

wobei ${\boldsymbol {\omega }}$ ist die Winkelgeschwindigkeit des Systems und $\mathbf {V}$ ist die Geschwindigkeit von $\mathbf {R}$. ⓘ

Bei einer ebenen Bewegung ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor entlang des Einheitsvektors $\mathbf {k}$ gerichtet, der senkrecht zur Bewegungsebene steht. Einführen der Einheitsvektoren $\mathbf {e} _{i}$ vom Bezugspunkt $\mathbf {R}$ zu einem Punkt $\mathbf {r} _{i}$, und den Einheitsvektor $\mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}$ein, so dass

$${\begin{aligned}\mathbf {\hat {e}} _{i}&={\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta r_{i}}},\quad \mathbf {\hat {k}} ={\frac {\boldsymbol {\omega }}{\omega }},\quad \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i},\\\mathbf {v} _{i}&={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} =\omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {V} =\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \end{aligned}}$$

ⓘ

Dies definiert den relativen Positionsvektor und den Geschwindigkeitsvektor für das starre System der Teilchen, die sich in einer Ebene bewegen. ⓘ

Anmerkung zum Kreuzprodukt: Wenn sich ein Körper parallel zu einer Grundfläche bewegt, liegen die Bahnen aller Punkte des Körpers in Ebenen, die parallel zu dieser Grundfläche verlaufen. Das bedeutet, dass jede Drehung, die der Körper erfährt, um eine Achse erfolgen muss, die senkrecht zu dieser Ebene steht. Planare Bewegungen werden häufig als Projektionen auf diese Grundfläche dargestellt, so dass die Drehachse als Punkt erscheint. In diesem Fall sind die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung des Körpers Skalare und die Tatsache, dass sie Vektoren entlang der Rotationsachse sind, wird ignoriert. Dies wird in der Regel für Einführungen in das Thema bevorzugt. Im Fall des Trägheitsmoments profitiert die Kombination von Masse und Geometrie jedoch von den geometrischen Eigenschaften des Kreuzprodukts. Aus diesem Grund werden in diesem Abschnitt über die ebene Bewegung die Winkelgeschwindigkeit und die Beschleunigungen des Körpers als Vektoren senkrecht zur Grundfläche betrachtet, und die Kreuzproduktoperationen sind die gleichen wie bei der Untersuchung der räumlichen Starrkörperbewegung. ⓘ

Drehimpuls

Der Drehimpulsvektor für die ebene Bewegung eines starren Systems von Teilchen ist gegeben durch

$${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\omega \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {V} .\end{aligned}}$$

ⓘ

Verwenden Sie den Massenschwerpunkt $\mathbf {C}$ als Bezugspunkt, so dass

$${\begin{aligned}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ,\\\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}&=0,\end{aligned}}$$

ⓘ

und definieren Sie das Trägheitsmoment relativ zum Massenschwerpunkt $I_{\mathbf {C} }$ als

$$I_{\mathbf {C} }=\sum _{i}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2},$$

ⓘ

definiert ist, dann vereinfacht sich die Gleichung für den Drehimpuls zu

$$\mathbf {L} =I_{\mathbf {C} }\omega \mathbf {\hat {k}} .$$

ⓘ

Das Trägheitsmoment $I_{\mathbf {C} }$ um eine Achse, die senkrecht zur Bewegung des starren Systems und durch den Massenschwerpunkt verläuft, wird als polares Trägheitsmoment bezeichnet. Genauer gesagt, ist es das zweite Moment der Masse in Bezug auf den orthogonalen Abstand von einer Achse (oder einem Pol). ⓘ

Bei einem bestimmten Drehimpuls führt eine Verringerung des Trägheitsmoments zu einer Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit. Eiskunstläufer können ihr Trägheitsmoment ändern, indem sie ihre Arme einziehen. So führt die Winkelgeschwindigkeit, die ein Eiskunstläufer mit ausgestreckten Armen erreicht, zu einer größeren Winkelgeschwindigkeit, wenn die Arme eingezogen werden, weil das Trägheitsmoment geringer ist. Ein Eiskunstläufer ist jedoch kein starrer Körper. ⓘ

Kinetische Energie

Diese Rotationsschere aus dem Jahr 1906 nutzt das Trägheitsmoment zweier Schwungräder, um kinetische Energie zu speichern, die, wenn sie freigesetzt wird, zum Schneiden von Metallmaterial verwendet wird (International Library of Technology, 1906). ⓘ

Die kinetische Energie eines starren Systems von Teilchen, die sich in der Ebene bewegen, ist gegeben durch

$${\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i},\\&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right)\cdot \left(\omega \,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}+\mathbf {V} \right),\\&={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\mathbf {\hat {t}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+\omega \mathbf {V} \cdot \left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .\end{aligned}}$$

ⓘ

Der Bezugspunkt sei der Massenschwerpunkt $\mathbf {C}$ des Systems, so dass der zweite Term Null wird, und führen Sie das Trägheitsmoment $I_{\mathbf {C} }$ und die kinetische Energie ist gegeben durch

$$E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}I_{\mathbf {C} }\omega ^{2}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} .$$

ⓘ

Das Trägheitsmoment $I_{\mathbf {C} }$ ist das polare Trägheitsmoment des Körpers. ⓘ

Die Newtonschen Gesetze

Ein John-Deere-Traktor aus den 1920er Jahren mit dem Speichenschwungrad am Motor. Das große Trägheitsmoment des Schwungrads sorgt für einen ruhigen Lauf des Traktors. ⓘ

Die Newtonschen Gesetze für ein starres System von $n$ Teilchen, $P_{i},i=1,\dots ,n$Die Newtonschen Gesetze für ein starres System können in Form einer resultierenden Kraft und eines Drehmoments an einem Bezugspunkt geschrieben werden $\mathbf {R}$geschrieben werden, so dass sich

$${\begin{aligned}\mathbf {F} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {A} _{i},\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}\Delta \mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {A} _{i},\end{aligned}}$$

wobei $\mathbf {r} _{i}$ bezeichnet die Flugbahn jedes Teilchens. ⓘ

Aus der Kinematik eines starren Körpers ergibt sich die Formel für die Beschleunigung des Teilchens $P_{i}$ in Abhängigkeit von der Position $\mathbf {R}$ und Beschleunigung $\mathbf {A}$ des Referenzteilchens sowie des Vektors der Winkelgeschwindigkeit ${\boldsymbol {\omega }}$ und Winkelbeschleunigungsvektor ${\boldsymbol {\alpha }}$ des starren Systems von Teilchen als,

$$\mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {A} .$$

ⓘ

Für Systeme, die auf eine ebene Bewegung beschränkt sind, sind die Vektoren der Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung entlang $\mathbf {\hat {k}}$ senkrecht zur Bewegungsebene ausgerichtet, was diese Beschleunigungsgleichung vereinfacht. In diesem Fall können die Beschleunigungsvektoren vereinfacht werden, indem man die Einheitsvektoren $\mathbf {\hat {e}} _{i}$ vom Bezugspunkt $\mathbf {R}$ zu einem Punkt $\mathbf {r} _{i}$ und die Einheitsvektoren $\mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {\hat {e}} _{i}$ein, so dass

$${\begin{aligned}\mathbf {A} _{i}&=\alpha \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}-\omega \mathbf {\hat {k}} \times \omega \mathbf {\hat {k}} \times \Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \\&=\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} .\end{aligned}}$$

ⓘ

Daraus ergibt sich das resultierende Drehmoment des Systems als

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \left(\alpha \Delta r_{i}\mathbf {\hat {t}} _{i}-\omega ^{2}\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}+\mathbf {A} \right)\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {\hat {k}} +\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta r_{i}\mathbf {\hat {e}} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}$$

ⓘ

wobei $\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {e}} _{i}=\mathbf {0}$und $\mathbf {\hat {e}} _{i}\times \mathbf {\hat {t}} _{i}=\mathbf {\hat {k}}$ ist der Einheitsvektor senkrecht zur Ebene für alle Teilchen $P_{i}$. ⓘ

Verwenden Sie den Massenschwerpunkt $\mathbf {C}$ als Bezugspunkt und definieren das Trägheitsmoment relativ zum Massenschwerpunkt $I_{\mathbf {C} }$, dann vereinfacht sich die Gleichung für das resultierende Drehmoment zu

$${\boldsymbol {\tau }}=I_{\mathbf {C} }\alpha \mathbf {\hat {k}} .$$

ⓘ

Bewegung eines starren Körpers im Raum und die Trägheitsmatrix

Die skalaren Trägheitsmomente erscheinen als Elemente einer Matrix, wenn ein System von Teilchen zu einem starren Körper zusammengesetzt ist, der sich im dreidimensionalen Raum bewegt. Diese Trägheitsmatrix erscheint bei der Berechnung des Drehimpulses, der kinetischen Energie und des resultierenden Drehmoments des starren Teilchensystems. ⓘ

Das System aus $n$ Teilchen, $P_{i},i=1,\dots ,n$ befinde sich an den Koordinaten $\mathbf {r} _{i}$ mit den Geschwindigkeiten $\mathbf {v} _{i}$ relativ zu einem festen Bezugssystem. Für einen (möglicherweise bewegten) Bezugspunkt $\mathbf {R}$sind die relativen Positionen

$$\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R}$$

und die (absoluten) Geschwindigkeiten sind

$$\mathbf {v} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }$$

wobei ${\boldsymbol {\omega }}$ ist die Winkelgeschwindigkeit des Systems, und $\mathbf {V_{R}}$ ist die Geschwindigkeit von $\mathbf {R}$. ⓘ

Drehimpuls

Man beachte, dass das Kreuzprodukt auch als Matrixmultiplikation geschrieben werden kann, indem man den ersten Operanden und den Operator zu einer schiefsymmetrischen Matrix kombiniert, $\left[\mathbf {b} \right]$die aus den Komponenten von $\mathbf {b} =(b_{x},b_{y},b_{z})$:

$${\begin{aligned}\mathbf {b} \times \mathbf {y} &\equiv \left[\mathbf {b} \right]\mathbf {y} \\\left[\mathbf {b} \right]&\equiv {\begin{bmatrix}0&-b_{z}&b_{y}\\b_{z}&0&-b_{x}\\-b_{y}&b_{x}&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$$

ⓘ

Die Trägheitsmatrix wird unter Berücksichtigung des Drehimpulses konstruiert, wobei der Bezugspunkt $\mathbf {R}$ des Körpers als Massenschwerpunkt gewählt wird $\mathbf {C}$:

$${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {v} _{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right)\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\,\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {V} _{\mathbf {R} }\right),\end{aligned}}$$

wobei die Terme, die $\mathbf {V_{R}}$ ($=\mathbf {C}$) sich durch die Definition des Massenschwerpunkts zu Null summieren. ⓘ

Dann wird die schief-symmetrische Matrix $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ die sich aus dem relativen Positionsvektor $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C}$kann zur Definition verwendet werden,

$$\mathbf {L} =\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},$$

wobei $\mathbf {I_{C}}$ definiert durch

$$\mathbf {I} _{\mathbf {C} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2},$$

ist die symmetrische Trägheitsmatrix des starren Systems von Teilchen, gemessen relativ zum Massenschwerpunkt $\mathbf {C}$. ⓘ

Kinetische Energie

Die kinetische Energie eines starren Systems von Teilchen kann durch den Massenschwerpunkt und eine Matrix der Massenträgheitsmomente des Systems formuliert werden. Es sei das System aus $n$ Teilchen $P_{i},i=1,\dots ,n$ befinde sich an den Koordinaten $\mathbf {r} _{i}$ mit den Geschwindigkeiten $\mathbf {v} _{i}$dann ist die kinetische Energie

$$E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}+\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right),$$

wobei $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C}$ ist der Positionsvektor eines Teilchens relativ zum Massenschwerpunkt. ⓘ

Diese Gleichung lässt sich in drei Terme auflösen

$$E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\right).$$

ⓘ

Der zweite Term in dieser Gleichung ist Null, weil $\mathbf {C}$ der Massenschwerpunkt ist. Führen Sie die schiefsymmetrische Matrix $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ so wird die kinetische Energie zu

$${\begin{aligned}E_{\text{K}}&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot \left(\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\boldsymbol {\omega }}^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{\mathsf {T}}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]{\boldsymbol {\omega }}\right)\right)+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }\\&={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} _{\mathbf {C} }\cdot \mathbf {V} _{\mathbf {C} }.\end{aligned}}$$

ⓘ

Die kinetische Energie des starren Systems von Teilchen ist also gegeben durch

$$E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }}+{\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{\mathbf {C} }^{2}.$$

wobei $\mathbf {I_{C}}$ ist die Trägheitsmatrix in Bezug auf den Massenschwerpunkt und $M$ ist die Gesamtmasse. ⓘ

Resultierendes Drehmoment

Die Trägheitsmatrix erscheint bei der Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes auf eine starre Anordnung von Teilchen. Das resultierende Drehmoment für dieses System ist,

$${\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} \right)\times m_{i}\mathbf {a} _{i},$$

wobei $\mathbf {a} _{i}$ ist die Beschleunigung des Teilchens $P_{i}$. Aus der Kinematik eines starren Körpers ergibt sich die Formel für die Beschleunigung des Teilchens $P_{i}$ in Abhängigkeit von der Position $\mathbf {R}$ und Beschleunigung $\mathbf {A} _{\mathbf {R} }$ des Bezugspunkts sowie den Winkelgeschwindigkeitsvektor ${\boldsymbol {\omega }}$ und Winkelbeschleunigungsvektor ${\boldsymbol {\alpha }}$ des starren Systems als,

$$\mathbf {a} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\mathbf {A} _{\mathbf {R} }.$$

ⓘ

Verwenden Sie den Massenschwerpunkt $\mathbf {C}$ als Bezugspunkt, und führen Sie die schiefsymmetrische Matrix $\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]=\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right]$ zur Darstellung des Kreuzprodukts $(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} )\times$ein, um zu erhalten

$${\boldsymbol {\tau }}=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}$$

ⓘ

Die Berechnung verwendet die Identität

$$\Delta \mathbf {r} _{i}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\left({\boldsymbol {\omega }}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)=0,$$

die sich aus der Jacobi-Identität für das dreifache Kreuzprodukt ergibt, wie im folgenden Beweis gezeigt:

Beweis

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r_{i}} -\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (m_{i}\mathbf {a} _{i})\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{i}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+\mathbf {A} _{\mathbf {R} })]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times (\mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+\mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}+0)]\\&\;\;\;\;\;\ldots \;\mathbf {R} {\text{ is either at rest or moving at a constant velocity but not accelerated, or }}\\&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{the origin of the fixed (world) coordinate reference system is placed at the center of mass }}\mathbf {C} \\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{tangential}},i}+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {a} _{{\text{centripetal}},i}]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{{\text{tangential}},i})]\\{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\\\end{aligned}}$$

Dann wird die folgende Jacobi-Identität auf den letzten Term angewendet:

$${\begin{aligned}0&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times -({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+-[0]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\0&={\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))+{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\end{aligned}}$$

Das Ergebnis der Anwendung der Jacobi-Identität kann dann wie folgt fortgesetzt werden:

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times (({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}))]\;\ldots {\text{ scalar triple product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot (0))]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=-[({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\\&=-[{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&={\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))&={\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))\;\ldots {\text{ dot-product commutativity}}\\\end{aligned}}$$

Das Endergebnis kann dann wie folgt in den Hauptbeweis eingesetzt werden:

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{0-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})=0\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{[{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})]-{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ addition associativity}}\\\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-{\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})]\;\ldots {\text{ cross-product distributivity over addition}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}-({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})(0)]\;\ldots {\text{ self cross-product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\omega }}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})-{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }})\}]\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\alpha }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i})\}]\;\ldots {\text{ vector triple product}}\\&=\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times -({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product anticommutativity}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})+{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ cross-product scalar multiplication}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\omega }}\times \{{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})\}]\;\ldots {\text{ summation distributivity}}\\{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\;\ldots \;{\boldsymbol {\omega }}{\text{ is not characteristic of particle }}P_{i}\end{aligned}}$$

Beachten Sie, dass für jeden Vektor $\mathbf {u}$das Folgende gilt:

$${\begin{aligned}-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\right)\right)\;\ldots {\text{ cross-product as matrix multiplication}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left({\begin{bmatrix}0&-\Delta r_{3,i}&\Delta r_{2,i}\\\Delta r_{3,i}&0&-\Delta r_{1,i}\\-\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3}\\-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})+\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\+\Delta r_{3,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})-\Delta r_{1,i}(-\Delta r_{2,i}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\,u_{2})\\-\Delta r_{2,i}(-\Delta r_{3,i}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\,u_{3})+\Delta r_{1,i}(+\Delta r_{3,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}\,u_{3})\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}\\-\Delta r_{3,i}^{2}\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{2}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-\Delta r_{2,i}^{2}\,u_{3}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-\Delta r_{1,i}^{2}\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{1}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}+\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})\,u_{2}+\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\,u_{3}\\+\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}\,u_{1}+\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}\,u_{2}-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\,u_{3}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\begin{bmatrix}-(\Delta r_{2,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{1,i}\Delta r_{2,i}&\Delta r_{1,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{2,i}\Delta r_{1,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{3,i}^{2})&\Delta r_{2,i}\Delta r_{3,i}\\\Delta r_{3,i}\Delta r_{1,i}&\Delta r_{3,i}\Delta r_{2,i}&-(\Delta r_{1,i}^{2}+\Delta r_{2,i}^{2})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{bmatrix}}\\&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\mathbf {u} \\[6pt]-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {u} )]&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right)\mathbf {u} \;\ldots \;\mathbf {u} {\text{ is not characteristic of }}P_{i}\end{aligned}}$$

Schließlich wird das Ergebnis verwendet, um den Hauptbeweis wie folgt zu vervollständigen:

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\alpha }})]+{\boldsymbol {\omega }}\times -\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times ({\boldsymbol {\Delta }}\mathbf {r} _{i}\times {\boldsymbol {\omega }})]\\&=\left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\Delta r_{i}]^{2}\right){\boldsymbol {\omega }}\end{aligned}}$$

ⓘ

Das resultierende Drehmoment auf das starre System der Teilchen ist also gegeben durch

$${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {I} _{\mathbf {C} }{\boldsymbol {\omega }},$$

wobei $\mathbf {I_{C}}$ ist die Trägheitsmatrix in Bezug auf den Massenschwerpunkt. ⓘ

Satz von der parallelen Achse

Die Trägheitsmatrix eines Körpers hängt von der Wahl des Bezugspunkts ab. Es gibt eine nützliche Beziehung zwischen der Trägheitsmatrix in Bezug auf den Massenschwerpunkt $\mathbf {C}$ und der Trägheitsmatrix relativ zu einem anderen Punkt $\mathbf {R}$. Diese Beziehung wird als Satz von der parallelen Achse bezeichnet. ⓘ

Betrachten wir die Trägheitsmatrix $\mathbf {I_{R}}$ für ein starres System von Teilchen, gemessen relativ zu einem Bezugspunkt $\mathbf {R}$, gegeben durch

$$\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right]^{2}.$$

ⓘ

Sei $\mathbf {C}$ sei der Massenschwerpunkt des starren Systems, dann

$$\mathbf {R} =(\mathbf {R} -\mathbf {C} )+\mathbf {C} =\mathbf {d} +\mathbf {C} ,$$

wobei $\mathbf {d}$ der Vektor vom Massenschwerpunkt $\mathbf {C}$ zum Referenzpunkt $\mathbf {R}$. Verwenden Sie diese Gleichung, um die Trägheitsmatrix zu berechnen,

$$\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {C} +\mathbf {d} \right)]^{2}=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} \right)-\mathbf {d} ]^{2}.$$

ⓘ

Verteilen Sie über das Kreuzprodukt und Sie erhalten

$$\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]^{2}\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)[\mathbf {d} ]+[\mathbf {d} ]\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}[\mathbf {r} _{i}-\mathbf {C} ]\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)[\mathbf {d} ]^{2}.$$

ⓘ

Der erste Term ist die Trägheitsmatrix $\mathbf {I_{C}}$ bezogen auf den Massenschwerpunkt. Der zweite und dritte Term sind aufgrund der Definition des Massenschwerpunkts Null $\mathbf {C}$. Und der letzte Term ist die Gesamtmasse des Systems multipliziert mit dem Quadrat der schiefsymmetrischen Matrix $[\mathbf {d} ]$ konstruiert aus $\mathbf {d}$. ⓘ

Das Ergebnis ist der Satz von der parallelen Achse,

$$\mathbf {I} _{\mathbf {R} }=\mathbf {I} _{\mathbf {C} }-M[\mathbf {d} ]^{2},$$

wobei $\mathbf {d}$ der Vektor vom Massenschwerpunkt $\mathbf {C}$ zum Referenzpunkt $\mathbf {R}$. ⓘ

Man beachte das Minuszeichen: Durch die Verwendung der schiefsymmetrischen Matrix der Positionsvektoren relativ zum Bezugspunkt hat die Trägheitsmatrix jedes Teilchens die Form $-m\left[\mathbf {r} \right]^{2}$die ähnlich ist wie die $mr^{2}$ die bei einer ebenen Bewegung auftritt. Damit dies korrekt funktioniert, ist jedoch ein Minuszeichen erforderlich. Dieses Minuszeichen kann in den Term $m\left[\mathbf {r} \right]^{\mathsf {T}}\left[\mathbf {r} \right]$absorbiert werden, wenn dies gewünscht wird, indem man die Eigenschaft der Schrägsymmetrie von $[\mathbf {r} ]$. ⓘ

Skalares Trägheitsmoment in einer Ebene

Das skalare Trägheitsmoment, $I_{L}$eines Körpers um eine bestimmte Achse, deren Richtung durch den Einheitsvektor $\mathbf {\hat {k}}$ angegeben ist und in einem Punkt durch den Körper geht $\mathbf {R}$ ist wie folgt:

$$I_{L}=\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,$$

wobei $\mathbf {I_{R}}$ ist die Trägheitsmomentmatrix des Systems relativ zum Bezugspunkt $\mathbf {R}$und $[\Delta \mathbf {r} _{i}]$ ist die schiefsymmetrische Matrix, die sich aus dem Vektor $\Delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R}$. ⓘ

Diese wird wie folgt hergeleitet. Ein starrer Aufbau aus $n$ Teilchen, $P_{i},i=1,\dots ,n$mit den Koordinaten $\mathbf {r} _{i}$. Wählen Sie $\mathbf {R}$ als Bezugspunkt und berechne das Trägheitsmoment um eine Linie L, die durch den Einheitsvektor $\mathbf {\hat {k}}$ durch den Bezugspunkt $\mathbf {R}$, $\mathbf {L} (t)=\mathbf {R} +t\mathbf {\hat {k}}$. Der senkrechte Vektor von dieser Linie zum Teilchen $P_{i}$ erhält man aus $\Delta \mathbf {r} _{i}$ durch Entfernen der Komponente, die auf $\mathbf {\hat {k}}$.

$$\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }=\Delta \mathbf {r} _{i}-\left(\mathbf {\hat {k}} \cdot \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\mathbf {\hat {k}} =\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)\Delta \mathbf {r} _{i},$$

wobei $\mathbf {E}$ ist die Identitätsmatrix, um Verwechslungen mit der Trägheitsmatrix zu vermeiden, und $\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}$ ist die äußere Produktmatrix, die aus dem Einheitsvektor $\mathbf {\hat {k}}$ entlang der Linie $L$. ⓘ

Um dieses skalare Trägheitsmoment mit der Trägheitsmatrix des Körpers in Beziehung zu setzen, führt man die schiefsymmetrische Matrix $\left[\mathbf {\hat {k}} \right]$ derart, dass $\left[\mathbf {\hat {k}} \right]\mathbf {y} =\mathbf {\hat {k}} \times \mathbf {y}$ein, dann haben wir die Identität

$$-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\equiv \left|\mathbf {\hat {k}} \right|^{2}\left(\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\right)=\mathbf {E} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}},$$

wobei zu beachten ist, dass $\mathbf {\hat {k}}$ ein Einheitsvektor ist. ⓘ

Der Betrag im Quadrat des senkrechten Vektors ist

$${\begin{aligned}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}&=\left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\left[\mathbf {\hat {k}} \right]^{2}\Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\&=\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\end{aligned}}$$

ⓘ

Zur Vereinfachung dieser Gleichung wird die Identität des dreifachen Skalarprodukts

$$\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\equiv \left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right),$$

wobei das Punkt- und das Kreuzprodukt vertauscht wurden. Durch Vertauschen der Produkte und Vereinfachung, indem man feststellt, dass $\Delta \mathbf {r} _{i}$ und $\mathbf {\hat {k}}$ orthogonal sind:

$${\begin{aligned}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\\={}&\left(\left(\mathbf {\hat {k}} \times \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\right)\times \mathbf {\hat {k}} \right)\cdot \left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\\={}&\left(\mathbf {\hat {k}} \times \Delta \mathbf {r} _{i}\right)\cdot \left(-\Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(\Delta \mathbf {r} _{i}\times \Delta \mathbf {r} _{i}\times \mathbf {\hat {k}} \right)\\={}&-\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} .\end{aligned}}$$

ⓘ

Somit ist das Trägheitsmoment um die Linie $L$ durch $\mathbf {R}$ in der Richtung $\mathbf {\hat {k}}$ ergibt sich aus der Berechnung

$${\begin{aligned}I_{L}&=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left|\Delta \mathbf {r} _{i}^{\perp }\right|^{2}\\&=-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {\hat {k}} \cdot \left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} \cdot \left(-\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left[\Delta \mathbf {r} _{i}\right]^{2}\right)\mathbf {\hat {k}} \\&=\mathbf {\hat {k}} \cdot \mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} =\mathbf {\hat {k}} ^{\mathsf {T}}\mathbf {I} _{\mathbf {R} }\mathbf {\hat {k}} ,\end{aligned}}$$

wobei $\mathbf {I_{R}}$ ist die Trägheitsmomentmatrix des Systems relativ zum Bezugspunkt $\mathbf {R}$. ⓘ

Dies zeigt, dass die Trägheitsmatrix verwendet werden kann, um das Trägheitsmoment eines Körpers um eine beliebige Drehachse im Körper zu berechnen. ⓘ

Trägheitstensor

Für ein und dasselbe Objekt ergeben sich bei verschiedenen Drehachsen unterschiedliche Trägheitsmomente um diese Achsen. Im Allgemeinen sind die Trägheitsmomente nicht gleich, es sei denn, das Objekt ist um alle Achsen symmetrisch. Der Trägheitsmomententensor ist eine bequeme Möglichkeit, alle Trägheitsmomente eines Objekts in einer Größe zusammenzufassen. Er kann in Bezug auf jeden beliebigen Punkt im Raum berechnet werden, obwohl für praktische Zwecke am häufigsten der Massenschwerpunkt verwendet wird. ⓘ

Definition

Für ein starres Objekt mit $N$ Punktmassen $m_{k}$ist der Trägheitstensor gegeben durch

$$\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}.$$

ⓘ

Seine Komponenten sind definiert als

$$I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\left\|\mathbf {r} _{k}\right\|^{2}\delta _{ij}-x_{i}^{(k)}x_{j}^{(k)}\right)$$

ⓘ

wobei

• $i$, $j$ ist gleich 1, 2 oder 3 für $x$, $y$und $z$gleich ist,
• $\mathbf {r} _{k}=\left(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},x_{3}^{(k)}\right)$ ist der Vektor zur Punktmasse $m_{k}$ von dem Punkt, um den der Tensor berechnet wird, und
• $\delta _{ij}$ das Kronecker-Delta ist. ⓘ

Beachten Sie, dass nach der Definition, $\mathbf {I}$ ein symmetrischer Tensor ist. ⓘ

Die Diagonalelemente werden kurz und bündig geschrieben als

$${\begin{aligned}I_{xx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{yy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right),\\I_{zz}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right),\end{aligned}}$$

ⓘ

während die Außendiagonalelemente, die auch als Trägheitsprodukte bezeichnet werden, wie folgt lauten

$${\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ -\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}.\end{aligned}}$$

ⓘ

Hier $I_{xx}$ das Trägheitsmoment um die $x$-Achse, wenn die Objekte um die x-Achse gedreht werden, $I_{xy}$ das Trägheitsmoment um die $y$-Achse, wenn die Objekte um die $x$-Achse und so weiter. ⓘ

Diese Größen können auf ein Objekt mit verteilter Masse, das durch eine Massendichtefunktion beschrieben wird, in ähnlicher Weise wie das skalare Trägheitsmoment verallgemeinert werden. Man hat dann

$$\mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (x,y,z)\left(\|\mathbf {r} \|^{2}\mathbf {E} _{3}-\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} \right)\,dx\,dy\,dz,$$

ⓘ

wobei $\mathbf {r} \otimes \mathbf {r}$ ihr äußeres Produkt, E₃ ist die 3×3-Identitätsmatrix und V ist eine Raumregion, die das Objekt vollständig enthält. ⓘ

Alternativ kann er auch in Form des Drehimpulsoperators geschrieben werden $[\mathbf {r} ]\mathbf {x} =\mathbf {r} \times \mathbf {x}$:

$$\mathbf {I} =\iiint _{V}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{\textsf {T}}[\mathbf {r} ]\,dV=-\iiint _{Q}\rho (\mathbf {r} )[\mathbf {r} ]^{2}\,dV$$

ⓘ

Der Trägheitstensor kann auf die gleiche Weise wie die Trägheitsmatrix verwendet werden, um das skalare Trägheitsmoment um eine beliebige Achse in der Richtung $\mathbf {n}$,

$$I_{n}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {n} ,$$

ⓘ

wobei das Punktprodukt mit den entsprechenden Elementen in den Komponententensoren genommen wird. Ein Produkt des Trägheitsterms wie $I_{12}$ erhält man durch die Berechnung

$$I_{12}=\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {I} \cdot \mathbf {e} _{2},$$

und kann als das Trägheitsmoment um die $x$-Achse interpretiert werden, wenn sich das Objekt um die $y$-Achse. ⓘ

Die Komponenten von Tensoren zweiten Grades können zu einer Matrix zusammengesetzt werden. Für den Trägheitstensor ist diese Matrix gegeben durch,

$$\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.$$

ⓘ

In der Starrkörpermechanik ist es üblich, eine Notation zu verwenden, die explizit die $x$, $y$und $z$-Achsen, wie z. B. $I_{xx}$ und $I_{xy}$für die Komponenten des Trägheitstensors. ⓘ

Eine Achse in beliebiger Raumrichtung wird beschrieben durch den Einheitsvektor ${\vec {e}}$. Man kann diesen z. B. dadurch erhalten, dass man den Einheitsvektor in z-Richtung mittels einer Drehmatrix R dreht:

${\vec {e}}={\underline {R}}\cdot \left({\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}}\right)$

Mit

${\underline {R}}=\left({\begin{matrix}\cos \varphi \cdot \cos \vartheta &-\sin \varphi &\cos \varphi \cdot \sin \vartheta \\\sin \varphi \cdot \cos \vartheta &\cos \varphi &\sin \varphi \cdot \sin \vartheta \\-\sin \vartheta &0&\cos \vartheta \ \end{matrix}}\right)$

erhält man

${\vec {e}}=\left({\begin{matrix}\cos \varphi \cdot \sin \vartheta \\\sin \varphi \cdot \sin \vartheta \\\cos \vartheta \end{matrix}}\right)$. ⓘ

Alternative Trägheitskonvention

Es gibt einige CAD- und CAE-Anwendungen wie SolidWorks, Unigraphics NX/Siemens NX und MSC Adams, die eine alternative Konvention für die Trägheitsprodukte verwenden. Nach dieser Konvention wird das Minuszeichen aus den Formeln für das Trägheitsprodukt entfernt und stattdessen in die Trägheitsmatrix eingefügt:

$${\begin{aligned}I_{xy}=I_{yx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k},\\I_{xz}=I_{zx}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k},\\I_{yz}=I_{zy}\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k},\\[3pt]\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{11}&I_{12}&I_{13}\\I_{21}&I_{22}&I_{23}\\I_{31}&I_{32}&I_{33}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\-I_{yx}&I_{yy}&-I_{yz}\\-I_{zx}&-I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(y_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}\\-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}y_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+z_{k}^{2}\right)&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}\\-\sum _{k=1}^{N}m_{k}x_{k}z_{k}&-\sum _{k=1}^{N}m_{k}y_{k}z_{k}&\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(x_{k}^{2}+y_{k}^{2}\right)\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$$

ⓘ

Bestimmung der Trägheitskonvention (Hauptachsenmethode)

Wenn man die Trägheitsdaten hat $(I_{xx},I_{yy},I_{zz},I_{xy},I_{xz},I_{yz})$ hat, ohne zu wissen, welche Trägheitskonvention verwendet wurde, kann man sie ermitteln, wenn man auch die Hauptachsen hat. Bei der Hauptachsenmethode erstellt man Trägheitsmatrizen aus den folgenden zwei Annahmen: ⓘ

1. Die Standard-Trägheitskonvention wurde verwendet $(I_{12}=I_{xy},I_{13}=I_{xz},I_{23}=I_{yz})$.
2. Die alternative Trägheitskonvention wurde verwendet. $(I_{12}=-I_{xy},I_{13}=-I_{xz},I_{23}=-I_{yz})$.

Anschließend werden die Eigenvektoren der beiden Matrizen berechnet. Die Matrix, deren Eigenvektoren parallel zu den Hauptachsen liegen, entspricht der verwendeten Trägheitskonvention. ⓘ

Ableitung der Tensorkomponenten

Der Abstand $r$ eines Teilchens bei $\mathbf {x}$ von der Drehachse, die durch den Ursprung in der $\mathbf {\hat {n}}$ Richtung ist $\left|\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right|$, wobei $\mathbf {\hat {n}}$ ist der Einheitsvektor. Das Trägheitsmoment auf der Achse ist

$$I=mr^{2}=m\left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)\cdot \left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} \right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-2\mathbf {x} \left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)\mathbf {\hat {n}} +\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\mathbf {\hat {n}} ^{2}\right)=m\left(\mathbf {x} ^{2}-\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {n}} \right)^{2}\right).$$

ⓘ

Schreiben Sie die Gleichung mit Hilfe der Matrixtransposition um:

$$I=m\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} -\mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \right)=m\cdot \mathbf {\hat {n}} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} \cdot \mathbf {E_{3}} -\mathbf {x} \mathbf {x} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {\hat {n}} ,$$

ⓘ

wobei E₃ die 3×3-Identitätsmatrix ist. ⓘ

Dies führt zu einer Tensorformel für das Trägheitsmoment ⓘ

$$I=m{\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-yx&x^{2}+z^{2}&-yz\\-zx&-zy&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{bmatrix}}.$$

ⓘ

Für mehrere Teilchen brauchen wir uns nur daran zu erinnern, dass das Trägheitsmoment additiv ist, um zu sehen, dass diese Formel korrekt ist. ⓘ

Trägheitstensor der Translation

Sei $\mathbf {I} _{0}$ sei der Trägheitstensor eines Körpers, berechnet in seinem Massenschwerpunkt, und $\mathbf {R}$ sei der Verschiebungsvektor des Körpers. Der Trägheitstensor des verschobenen Körpers in Bezug auf seinen ursprünglichen Massenschwerpunkt ist gegeben durch:

$$\mathbf {I} =\mathbf {I} _{0}+m[(\mathbf {R} \cdot \mathbf {R} )\mathbf {E} _{3}-\mathbf {R} \otimes \mathbf {R} ]$$

wobei $m$ ist die Masse des Körpers, E₃ ist die 3 × 3 Identitätsmatrix und $\otimes$ ist das äußere Produkt. ⓘ

Trägheitstensor der Rotation

Sei $\mathbf {R}$ ist die Matrix, die die Rotation eines Körpers darstellt. Der Trägheitstensor des gedrehten Körpers ist gegeben durch:

$$\mathbf {I} =\mathbf {R} \mathbf {I_{0}} \mathbf {R} ^{\textsf {T}}$$

ⓘ

Trägheitsmatrix in verschiedenen Bezugssystemen

Die Verwendung der Trägheitsmatrix im zweiten Newtonschen Gesetz setzt voraus, dass ihre Komponenten relativ zu Achsen berechnet werden, die parallel zum Inertialsystem verlaufen, und nicht relativ zu einem körperfesten Bezugssystem. Das bedeutet, dass sich die Komponenten der Trägheitsmatrix bei der Bewegung des Körpers mit der Zeit ändern. Im Gegensatz dazu sind die Komponenten der Trägheitsmatrix, die in einem körperfesten Rahmen gemessen werden, konstant. ⓘ

Körperrahmen

Die Trägheitsmatrix des Körperrahmens, bezogen auf den Massenschwerpunkt, wird mit $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}$und definieren Sie die Orientierung des Körperrahmens relativ zum Inertialrahmen durch die Rotationsmatrix $\mathbf {A}$, so dass

$$\mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {y} ,$$

wobei die Vektoren $\mathbf {y}$ im festen Körperkoordinatensystem die Koordinaten $\mathbf {x}$ im Inertialsystem haben. Die Trägheitsmatrix des Körpers, gemessen im Inertialsystem, ist dann gegeben durch

$$\mathbf {I} _{\mathbf {C} }=\mathbf {A} \mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}.$$

ⓘ

Beachten Sie, dass $\mathbf {A}$ sich ändert, wenn sich der Körper bewegt, während $\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}$ konstant bleibt. ⓘ

Prinzipielle Achsen

Gemessen im Körperrahmen ist die Trägheitsmatrix eine konstante reelle symmetrische Matrix. Eine reelle symmetrische Matrix hat die Eigendekomposition in das Produkt aus einer Rotationsmatrix $\mathbf {Q}$ und einer Diagonalmatrix ${\boldsymbol {\Lambda }}$, gegeben durch

$$\mathbf {I} _{\mathbf {C} }^{B}=\mathbf {Q} {\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {Q} ^{\mathsf {T}},$$

wobei

$${\boldsymbol {\Lambda }}={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}.$$

ⓘ

Die Spalten der Rotationsmatrix $\mathbf {Q}$ definieren die Richtungen der Hauptachsen des Körpers, und die Konstanten $I_{1}$, $I_{2}$und $I_{3}$ werden die Hauptträgheitsmomente genannt. Dieses Ergebnis wurde erstmals von J. J. Sylvester (1852) gezeigt und ist eine Form des Sylvesterschen Trägheitsgesetzes. Die Hauptachse mit dem größten Trägheitsmoment wird manchmal auch als Figurenachse oder Figurenachse bezeichnet. ⓘ

Ein Spielzeugkreisel ist ein Beispiel für einen rotierenden starren Körper, und das Wort Kreisel wird in den Bezeichnungen für die verschiedenen Arten von starren Körpern verwendet. Wenn alle Hauptträgheitsmomente unterschiedlich sind, sind die Hauptachsen durch den Massenschwerpunkt eindeutig festgelegt und der starre Körper wird als asymmetrischer Kreisel bezeichnet. Wenn zwei Hauptmomente gleich sind, wird der starre Körper als symmetrischer Kreisel bezeichnet und es gibt keine eindeutige Wahl für die beiden entsprechenden Hauptachsen. Wenn alle drei Hauptmomente gleich sind, nennt man den starren Körper einen kugelförmigen Kreisel (obwohl er nicht kugelförmig sein muss) und jede Achse kann als Hauptachse betrachtet werden, was bedeutet, dass das Trägheitsmoment um jede Achse gleich ist. ⓘ

Die Hauptachsen sind oft auf die Symmetrieachsen des Objekts ausgerichtet. Wenn ein starrer Körper eine Symmetrieachse der Ordnung $m$besitzt, d. h. dass er bei Drehungen von 360°/m um die gegebene Achse symmetrisch ist, ist diese Achse eine Hauptachse. Wenn $m>2$hat, ist der starre Körper ein symmetrischer Kreisel. Hat ein starrer Körper mindestens zwei Symmetrieachsen, die nicht parallel oder senkrecht zueinander stehen, so handelt es sich um einen kugelförmigen Körper, zum Beispiel einen Würfel oder einen anderen platonischen Körper. ⓘ

Die Bewegung von Fahrzeugen wird häufig durch Gieren, Nicken und Rollen beschrieben, was in der Regel ungefähr den Drehungen um die drei Hauptachsen entspricht. Wenn das Fahrzeug eine zweiseitige Symmetrie aufweist, entspricht eine der Hauptachsen genau der Querachse (Nicken). ⓘ

Ein praktisches Beispiel für dieses mathematische Phänomen ist die routinemäßige Aufgabe des Auswuchtens eines Reifens, bei der es im Wesentlichen darum geht, die Massenverteilung eines Autorads so einzustellen, dass seine Hauptträgheitsachse mit der Achse ausgerichtet ist, damit das Rad nicht wackelt. ⓘ

Rotierende Moleküle werden auch als asymmetrische, symmetrische oder kugelförmige Spitzen klassifiziert, und die Struktur ihres Rotationsspektrums ist für jeden Typ unterschiedlich. ⓘ

Ellipsoid

Ein Ellipsoid mit den beschrifteten Semi-Hauptdurchmessern $a$, $b$und $c$. ⓘ

Die Trägheitsmomentmatrix in Körperkoordinaten ist eine quadratische Form, die eine Fläche im Körper definiert, die Poinsot-Ellipsoid genannt wird. Sei ${\boldsymbol {\Lambda }}$ die Trägheitsmatrix in Bezug auf den mit den Hauptachsen ausgerichteten Massenschwerpunkt, dann definiert die Fläche

$$\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =1,$$

oder

$$I_{1}x^{2}+I_{2}y^{2}+I_{3}z^{2}=1,$$

ein Ellipsoid im Körperrahmen definiert. Schreiben Sie diese Gleichung in der Form,

$$\left({\frac {x}{1/{\sqrt {I_{1}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{1/{\sqrt {I_{2}}}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{1/{\sqrt {I_{3}}}}}\right)^{2}=1,$$

um zu sehen, dass die Halb-Haupt-Durchmesser dieses Ellipsoids gegeben sind durch

$$a={\frac {1}{\sqrt {I_{1}}}},\quad b={\frac {1}{\sqrt {I_{2}}}},\quad c={\frac {1}{\sqrt {I_{3}}}}.$$

ⓘ

Es sei ein Punkt $\mathbf {x}$ auf diesem Ellipsoid sei durch seinen Betrag und seine Richtung definiert, $\mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|\mathbf {n}$, wobei $\mathbf {n}$ ist ein Einheitsvektor. Dann ist die oben dargestellte Beziehung zwischen der Trägheitsmatrix und dem skalaren Trägheitsmoment $I_{\mathbf {n} }$ um eine Achse in der Richtung $\mathbf {n}$ergibt

$$\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} =\|\mathbf {x} \|^{2}\mathbf {n} ^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {n} =\|\mathbf {x} \|^{2}I_{\mathbf {n} }=1.$$

ⓘ

Somit ist der Betrag eines Punktes $\mathbf {x}$ in der Richtung $\mathbf {n}$ auf dem Trägheitsellipsoid ist also

$$\|\mathbf {x} \|={\frac {1}{\sqrt {I_{\mathbf {n} }}}}.$$

ⓘ

Anschauliche Beispiele

Balancierhilfe

Hochseilartisten mit Balancierstangen ⓘ

Beim Seiltanz werden als Balancierhilfe bevorzugt lange Stangen verwendet. Im Vergleich zu einem gleich schweren kompakten Körper, etwa einem Sandsack, hat so eine Stange ein sehr großes Trägheitsmoment. Ein Zur-Seite-Kippen wird dadurch nicht verhindert, aber so verlangsamt, dass der Artist genug Zeit für eine ausgleichende Bewegung hat. ⓘ

Den Effekt kann man leicht selbst ausprobieren: Ein 30-cm-Lineal (kürzer ist schwieriger) lässt sich hochkant auf der Handfläche balancieren. Quer jedoch, auf eine seiner langen Kanten gestellt, fällt es komplett um, bevor man reagieren kann. Die Drehachse ist in beiden Fällen die aufliegende Kante, während das mittlere Abstandsquadrat von dieser Achse mit über 900 cm² bzw. rund 16 cm² stark verschieden ist. ⓘ

Dass der Abstand quadratisch in das Trägheitsmoment eingeht, lässt sich leicht einsehen: Eine gegebene Winkelbeschleunigung bedeutet für ein Massenelement in doppeltem Abstand eine doppelt so große tangentiale Beschleunigung und damit eine doppelt so große Trägheitskraft. Das Drehmoment, doppelte Kraft × doppelter Hebelarm, ist damit vierfach so groß. ⓘ

Formelzeichen und Einheit

Die geläufigsten Formelzeichen für das Trägheitsmoment sind $I$ und $J$, zurückgehend auf das lateinische Wort iners, das untätig und träge bedeutet. Da beide Symbole aber auch in der Elektrotechnik Verwendung finden, ist weiterhin ein $\Theta$ (großes Theta) gebräuchlich. In diesem Artikel wird durchgehend $I$ verwendet. ⓘ

Die SI-Einheit des Trägheitsmoments ist kg·m². ⓘ

Allgemeine Definition

Das Massenträgheitsmoment $I$ lässt sich bei bekannter Massenverteilung $\rho ({\vec {r}})$ eines Körpers aus folgendem Volumenintegral berechnen:

$I=\int _{V}{\vec {r}}_{\perp }\!^{2}\rho ({\vec {r}})\mathrm {d} V$.

Dabei ist ${\vec {r}}_{\perp }$ der zur Rotationsachse ${\vec {\omega }}$ (Winkelgeschwindigkeit) senkrechte Vektor von der Achse zum Volumenelement (siehe untenstehende Abbildung). ⓘ

Motivation der Definition

Gezeigt ist eine beliebig geformte Massenverteilung der Dichte $\varrho$, die um die Achse ${\vec {\omega }}$ rotiert. Ein Massenelement $\Delta m_{i}$ dieser Verteilung hat den Abstand ${\vec {r}}_{i,\perp }$ von der Drehachse und die Bahngeschwindigkeit ${\vec {v}}_{i}$. ⓘ

Starrer Körper beschrieben durch Massenverteilung

Die Formel für das Massenträgheitsmoment einer allgemeinen Massenverteilung erhält man, indem man sich die Massenverteilung aus vielen kleinen Massenelementen $\Delta m_{i}$ aufgebaut vorstellt. Die Rotationsenergie ist dann näherungsweise durch ⓘ

$E_{\mathrm {rot} }\approx {\frac {1}{2}}\left(\sum _{i}^{N}\Delta m_{i}r_{i,\perp }^{2}\right)\omega ^{2}$

gegeben. Diese Gleichung wird exakt beim Grenzübergang zu unendlich vielen und unendlich kleinen solchen Massenelementen:

$E_{\mathrm {rot} }=\lim _{N\to \infty ,\,\Delta m_{i}\to 0}{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i}^{N}\Delta m_{i}r_{i,\perp }^{2}\right)\omega ^{2}$,

oder auch, wenn man die Massen $\Delta m_{i}=\varrho ({\vec {r}}_{i})\Delta V_{i}$ durch die Größe $\Delta V_{i}$ des Volumenelements am Ort ${\vec {r}}_{i}$ und die dort herrschende Massendichte $\varrho ({\vec {r}}_{i})$ ausdrückt:

$E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\left(\lim _{N\to \infty ,\,\Delta V_{i}\to 0}\sum _{i}^{N}\varrho ({\vec {r}}_{i})\Delta V_{i}\,r_{i,\perp }^{2}\right)\,\omega ^{2}$ ⓘ

Die eingeklammerte Summe ist das Volumenintegral der Funktion $\varrho ({\vec {r}})\,r_{\perp }^{2}$ über das Volumen $V$ des aus den infinitesimalen Massenelementen $\mathrm {d} m=\varrho ({\vec {r}})\mathrm {d} V$ zusammengesetzten Körpers.

$E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\int _{V}\mathrm {d} V\,\varrho ({\vec {r}})\,r_{\perp }^{2}={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\int _{V}\mathrm {d} m\,r_{\perp }^{2}$

Hieraus ergibt sich die oben angegebene allgemeine Definition des Trägheitsmomentes. Im Falle eines homogenen Körpers, also einer räumlich konstanten Dichte $\rho ({\vec {r}})\equiv \rho$, vereinfacht sich das zu

$E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\varrho \int _{V}\mathrm {d} V\,\,r_{\perp }^{2}$. ⓘ

Zusammenhang zwischen Trägheitsmoment und Drehimpuls

Der Gesamtdrehimpuls ${\vec {L}}$ des starren Körpers zeigt i. d. R. nicht in dieselbe Richtung wie die Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}$. Die achsenparallele Komponente $L_{\parallel }$ jedoch ist durch $L_{\parallel }=I\omega$ gegeben. Dies lässt sich wie folgt einsehen. Der Ortsvektor eines einzelnen Massenelementes $\Delta m_{i}$ wird nach ${\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i,\parallel }+{\vec {r}}_{i,\perp }$ in einen zu ${\vec {\omega }}$ parallelen und einen dazu senkrechten Anteil aufgeteilt. Zur achsenparallelen Komponente des Drehimpulses dieses Massenelements $L_{i,\parallel }$ trägt der parallele Anteil des Ortsvektors nichts bei, es bleibt:

${L}_{i,\parallel }=|{\vec {r}}_{i,\perp }\times (\Delta m_{i}{\vec {v}}_{i})|=r_{i,\perp }^{2}\Delta m_{i}\omega$.

Die achsenparallele Komponente des Gesamtdrehimpulses ergibt sich dann zu

$L_{\parallel }=\sum _{i}L_{i,\parallel }=\omega \sum _{i}r_{i,\perp }^{2}\Delta m_{i}=\omega I$.

Außerdem folgt daraus sofort $E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}={\frac {L_{\parallel }^{2}}{2I}}$. ⓘ

Formeln für wichtige Spezialfälle

Trägheitsmoment eines homogenen rotationssymmetrischen Körpers

Das Trägheitsmoment eines rotationssymmetrischen Körpers, der um seine Symmetrieachse ($z$-Achse) rotiert, kann mit Hilfe von Zylinderkoordinaten berechnet werden. ⓘ

Ist $r(z)$ der Radius des Körpers bei der Höhe $z$, dann ist das Volumenelement durch eine Kreisscheibe der Dicke $\mathrm {d} z$ gegeben: $\mathrm {d} V=\pi r(z)^{2}\,\mathrm {d} z$. Daher gilt für einen Körper, der von $z=0$ bis $z=H$ reicht:

$I={\frac {1}{2}}\pi \rho \int _{0}^{H}r(z)^{4}\,\mathrm {d} z$. ⓘ

Ist die Oberfläche des Körpers stattdessen (wie z. B. bei einem Kegel möglich) durch die beim Radius $r$ erreichte Höhe $h(r)$ gegeben, kann man das Volumenelement als Mantel eines Zylinders mit Radius $r$ so wählen: $\mathrm {d} V=2\pi r\,h(r)\mathrm {d} r$. Zu integrieren ist dann über alle Radien von $r=0$ bis zum maximalen Radius $r=R$ ⓘ

$I=2\pi \rho \int _{0}^{R}r^{3}\,h(r)\,\mathrm {d} r$. ⓘ

Besondere Trägheitsmomente

Trägheitsmoment zur eingespannten Achse

Wenn ein starrer Körper um eine fest eingespannte Achse mit der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}$ rotiert (die Richtung des Vektors ${\vec {\omega }}$ ist die Richtung der Drehachse), so lässt sich der Drehimpuls ${\vec {L}}$ aus der allgemeinen Formel ${\vec {L}}=I{\vec {\omega }}$ berechnen. Dabei ist $I$ im Gegensatz zur oben angegebenen Formel nicht das Trägheitsmoment, sondern der Trägheitstensor. Im Allgemeinen hat der Drehimpuls ${\vec {L}}$ jetzt nicht die Richtung der Drehachse ${\vec {\omega }}$ und ist zeitlich nicht konstant, so dass die Lager ständig Drehmomente aufbringen müssen (dynamische Unwucht). Nur bei Rotation um eine der Hauptträgheitsachsen ist ${\vec {L}}\parallel {\vec {\omega }}$. ⓘ

Für die Drehimpulskomponente $L$ entlang der Drehachse gilt $L=I\omega$, dabei ist $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit und $I$ das Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse ${\vec {\omega }}$. Die kinetische Energie der Rotation, auch kurz als Rotationsenergie bezeichnet, kann durch

$E_{\mathrm {rot} }={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}={\frac {L^{2}}{2I}}$

ausgedrückt werden. Diese Formeln zeigen die Analogie zu den entsprechenden Formeln für Impuls und kinetische Energie der Translationsbewegung. ⓘ

Moment (Integration)

Momente sind in Naturwissenschaften und Technik Kenngrößen einer Verteilung, welche die Lage und Form dieser Verteilung beschreiben. Sie werden durch Integration über die mit einem potenzierten Abstand gewichtete Verteilung berechnet. In diesem Sinne ist das Massenträgheitsmoment mit dem Flächenträgheitsmoment verwandt. ⓘ