Lorentz-Transformation

In der Physik sind die Lorentz-Transformationen eine Familie von linearen Transformationen mit sechs Parametern von einem Koordinatensystem in der Raumzeit in ein anderes, das sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zum ersten bewegt. Die jeweilige Rücktransformation ist dann durch das Negativ dieser Geschwindigkeit parametrisiert. Die Transformationen sind nach dem niederländischen Physiker Hendrik Lorentz benannt. ⓘ

Die häufigste Form der Transformation, parametrisiert durch die reelle Konstante $v,$ parametrisiert ist und eine auf die x-Richtung beschränkte Geschwindigkeit darstellt, wird ausgedrückt als

$${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$$

wobei (t, x, y, z) und (t′, x′, y′, z′) die Koordinaten eines Ereignisses in zwei Rahmen sind, deren Ursprünge bei t=t′=0 zusammenfallen, wobei sich der primed frame vom unprimed frame aus gesehen mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Achse bewegt, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist, und ${\textstyle \gamma =\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{-1}}$ der Lorentz-Faktor ist. Wenn die Geschwindigkeit v viel kleiner als c ist, unterscheidet sich der Lorentz-Faktor nur unwesentlich von 1, aber wenn v sich c nähert, wächst $\gamma$ wächst unbegrenzt. Der Wert von v muss kleiner als c sein, damit die Transformation einen Sinn ergibt. ⓘ

Drückt man die Geschwindigkeit als ${\textstyle \beta ={\frac {v}{c}},}$ ist eine äquivalente Form der Transformation

$${\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\\y'&=y\\z'&=z.\end{aligned}}$$

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Die Bezugssysteme lassen sich in zwei Gruppen einteilen: Inertialsysteme (Relativbewegung mit konstanter Geschwindigkeit) und Nicht-Inertialsysteme (Beschleunigung, Bewegung auf gekrümmten Bahnen, Rotationsbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit usw.). Der Begriff "Lorentz-Transformationen" bezieht sich nur auf Transformationen zwischen Inertialsystemen, in der Regel im Zusammenhang mit der speziellen Relativitätstheorie. ⓘ

In jedem Bezugssystem kann ein Beobachter ein lokales Koordinatensystem (in diesem Zusammenhang meist kartesische Koordinaten) verwenden, um Längen zu messen, und eine Uhr, um Zeitintervalle zu messen. Ein Ereignis ist etwas, das an einem Punkt im Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt geschieht, genauer gesagt an einem Punkt in der Raumzeit. Die Transformationen verbinden die Raum- und Zeitkoordinaten eines Ereignisses, wie sie von einem Beobachter in jedem Rahmen gemessen werden. ⓘ

Sie lösen die Galilei-Transformation der Newtonschen Physik ab, die von einem absoluten Raum und einer absoluten Zeit ausgeht (siehe Galilei-Relativität). Die Galilei-Transformation ist nur bei Relativgeschwindigkeiten, die weit unter der Lichtgeschwindigkeit liegen, eine gute Annäherung. Lorentz-Transformationen haben eine Reihe von unintuitiven Eigenschaften, die in den Galilei-Transformationen nicht vorkommen. So spiegeln sie beispielsweise die Tatsache wider, dass Beobachter, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, unterschiedliche Entfernungen, verstrichene Zeiten und sogar unterschiedliche Reihenfolgen von Ereignissen messen können, aber immer so, dass die Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen gleich groß ist. Die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit ist eines der Postulate der speziellen Relativitätstheorie. ⓘ

Historisch gesehen waren die Transformationen das Ergebnis der Versuche von Lorentz und anderen, zu erklären, wie die Lichtgeschwindigkeit unabhängig vom Bezugssystem beobachtet wurde, und die Symmetrien der Gesetze des Elektromagnetismus zu verstehen. Die Lorentz-Transformation steht im Einklang mit Albert Einsteins Spezieller Relativitätstheorie, wurde aber zuerst abgeleitet. ⓘ

Die Lorentztransformation ist eine lineare Transformation. Sie kann eine Drehung des Raums beinhalten; eine drehungsfreie Lorentz-Transformation wird als Lorentz-Boost bezeichnet. Im Minkowski-Raum - dem mathematischen Modell der Raumzeit in der Speziellen Relativitätstheorie - bewahren die Lorentz-Transformationen das Raumzeitintervall zwischen zwei beliebigen Ereignissen. Diese Eigenschaft ist die definierende Eigenschaft einer Lorentztransformation. Sie beschreiben nur die Transformationen, bei denen das Raumzeitereignis am Ursprung fixiert bleibt. Sie können als eine hyperbolische Rotation des Minkowski-Raums betrachtet werden. Die allgemeinere Menge der Transformationen, die auch Translationen umfasst, wird als Poincaré-Gruppe bezeichnet. ⓘ

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Die Lorentz-Transformationen, nach Hendrik Antoon Lorentz, sind eine Klasse von Koordinatentransformationen, die in der Physik Beschreibungen von Phänomenen in verschiedenen Bezugssystemen ineinander überführen. Sie verbinden in einer vierdimensionalen Raumzeit die Zeit- und Ortskoordinaten, mit denen verschiedene Beobachter angeben, wann und wo Ereignisse stattfinden. Die Lorentz-Transformationen bilden daher die Grundlage der Speziellen Relativitätstheorie von Albert Einstein. ⓘ

Das Äquivalent zu den Lorentz-Transformationen im dreidimensionalen euklidischen Raum sind die Galilei-Transformationen; genauso wie diese Abstände und Winkel erhalten, erhalten die Lorentz-Transformationen die Abstände in der nichteuklidischen Raumzeit (Minkowskiraum). Winkel werden im Minkowskiraum nicht erhalten, da der Minkowskiraum kein normierter Raum ist. ⓘ

Geschichte

Viele Physiker - darunter Woldemar Voigt, George FitzGerald, Joseph Larmor und Hendrik Lorentz selbst - diskutierten seit 1887 über die Physik, die diese Gleichungen implizieren. Anfang 1889 hatte Oliver Heaviside anhand der Maxwell-Gleichungen gezeigt, dass das elektrische Feld, das eine kugelförmige Ladungsverteilung umgibt, nicht mehr kugelsymmetrisch ist, sobald sich die Ladung relativ zum leuchtenden Äther bewegt. FitzGerald vermutete daraufhin, dass Heavisides Verzerrungsergebnis auf eine Theorie der intermolekularen Kräfte angewendet werden könnte. Einige Monate später veröffentlichte FitzGerald die Vermutung, dass Körper in Bewegung kontrahiert werden, um das verblüffende Ergebnis des Äther-Wind-Experiments von Michelson und Morley aus dem Jahr 1887 zu erklären. Im Jahr 1892 stellte Lorentz unabhängig davon dieselbe Idee in einer detaillierteren Form vor, die später als FitzGerald-Lorentz-Kontraktionshypothese bezeichnet wurde. Ihre Erklärung war vor 1905 weithin bekannt. ⓘ

Lorentz (1892-1904) und Larmor (1897-1900), die an die Hypothese des leuchtenden Äthers glaubten, suchten ebenfalls nach der Transformation, unter der die Maxwellschen Gleichungen invariant sind, wenn sie vom Äther auf ein bewegtes System übertragen werden. Sie erweiterten die FitzGerald-Lorentz-Kontraktionshypothese und fanden heraus, dass auch die Zeitkoordinate verändert werden muss ("lokale Zeit"). Henri Poincaré gab der Ortszeit (erster Ordnung in v/c, der auf die Lichtgeschwindigkeit normierten Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme) eine physikalische Deutung als Folge der Uhrensynchronisation, unter der Annahme, dass die Lichtgeschwindigkeit in bewegten Systemen konstant ist. Larmor gilt als der erste, der die entscheidende Eigenschaft der Zeitdilatation, die seinen Gleichungen innewohnt, verstanden hat. ⓘ

Im Jahr 1905 erkannte Poincaré als Erster, dass die Transformation die Eigenschaften einer mathematischen Gruppe hat, und benannte sie nach Lorentz. Später im selben Jahr veröffentlichte Albert Einstein die so genannte spezielle Relativitätstheorie, indem er die Lorentz-Transformation unter den Annahmen des Relativitätsprinzips und der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in jedem Inertialsystem ableitete und den mechanistischen Äther als unnötig aufgab. ⓘ

Man versuchte damals, die elektromagnetischen Phänomene durch einen hypothetischen Äther, ein Übertragungsmedium für elektromagnetische Wellen, zu erklären. Es stellte sich allerdings heraus, dass sich von ihm keine Spur nachweisen ließ. Voigt stellte 1887 Transformationsformeln vor, welche die Wellengleichung invariant lassen. Die Voigt-Transformation ist jedoch nicht reziprok, bildet also keine Gruppe. Voigt nahm an, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen im Ruhesystem des Äthers und in einem Bezugssystem, das sich relativ zu diesem mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, gleich ist, ohne dafür eine Erklärung anzugeben. In seiner Äthertheorie konnte Lorentz dies dadurch erklären, dass die Längenmaßstäbe sich bei Bewegung in Bewegungsrichtung verkürzen und dass bewegte Uhren eine langsamer verlaufende Zeit anzeigen, die er Ortszeit nannte. Die von Lorentz angegebenen Transformationen der Längen und Zeiten bildeten eine Gruppe und waren damit mathematisch stimmig. Auch wenn in Lorentz’ Äthertheorie eine gleichförmige Bewegung gegenüber dem Äther nicht nachweisbar war, hielt Lorentz an der Vorstellung eines Äthers fest. ⓘ

Einsteins spezielle Relativitätstheorie löste Newtons Mechanik und die Ätherhypothese ab. Er leitete seine Theorie aus dem Relativitätsprinzip ab, dass sich im Vakuum unter Vernachlässigung von gravitativen Effekten Ruhe nicht von gleichförmiger Bewegung unterscheiden lässt. Insbesondere hat Licht im Vakuum für jeden Beobachter dieselbe Geschwindigkeit $c$. Die Zeit- und Ortskoordinaten, mit denen zwei gleichförmig bewegte Beobachter Ereignisse bezeichnen, hängen dann durch eine Lorentz-Transformation miteinander zusammen anstatt wie in Newtons Mechanik durch eine Galilei-Transformation. ⓘ

Herleitung der Gruppe der Lorentz-Transformationen

Ein Ereignis ist etwas, das an einem bestimmten Punkt in der Raumzeit geschieht, oder allgemeiner gesagt, der Punkt in der Raumzeit selbst. In jedem Inertialsystem wird ein Ereignis durch eine Zeitkoordinate ct und eine Reihe von kartesischen Koordinaten x, y, z spezifiziert, um die Position im Raum in diesem System zu bestimmen. Skripte kennzeichnen einzelne Ereignisse. ⓘ

Aus Einsteins zweitem Relativitätspostulat (Invarianz von c) folgt, dass:

$$c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0\quad {\text{(lightlike separated events 1, 2)}}$$

(D1) ⓘ

in allen Inertialsystemen für Ereignisse, die durch Lichtsignale verbunden sind. Die Größe auf der linken Seite wird als das Raumzeitintervall zwischen den Ereignissen a₁ = (t₁, x₁, y₁, z₁) und a₂ = (t₂, x₂, y₂, z₂) bezeichnet. Das Intervall zwischen zwei Ereignissen, die nicht notwendigerweise durch Lichtsignale getrennt sind, ist in der Tat invariant, d. h. unabhängig vom Zustand der relativen Bewegung der Beobachter in verschiedenen Inertialsystemen, wie anhand der Homogenität und Isotropie des Raums gezeigt wird. Die gesuchte Transformation muss also die Eigenschaft besitzen, dass:

$${\begin{aligned}&c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}\\[6pt]={}&c^{2}(t_{2}'-t_{1}')^{2}-(x_{2}'-x_{1}')^{2}-(y_{2}'-y_{1}')^{2}-(z_{2}'-z_{1}')^{2}\quad {\text{(all events 1, 2)}}.\end{aligned}}$$

(D2) ⓘ

wobei (ct, x, y, z) die Raumzeitkoordinaten sind, die zur Definition von Ereignissen in einem Rahmen verwendet werden, und (ct′, x′, y′, z′) die Koordinaten in einem anderen Rahmen sind. Zunächst stellt man fest, dass (D2) erfüllt ist, wenn zu den Ereignissen a₁ und a₂ ein beliebiges 4er-Tupel b von Zahlen hinzugefügt wird. Solche Transformationen werden Raumzeittransformationen genannt und werden hier nicht weiter behandelt. Dann stellt man fest, dass eine lineare Lösung, die den Ursprung des einfacheren Problems bewahrt, auch das allgemeine Problem löst:

$${\begin{aligned}&c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c^{2}t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}\\[6pt]{\text{or}}\quad &c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}=c^{2}t'_{1}t'_{2}-x'_{1}x'_{2}-y'_{1}y'_{2}-z'_{1}z'_{2}\end{aligned}}$$

(D3) ⓘ

(eine Lösung, die die linke Formel erfüllt, erfüllt automatisch auch die rechte Formel; siehe Polarisationsidentität). Um die Lösung des einfacheren Problems zu finden, muss man nur in der Theorie der klassischen Gruppen nachschlagen, die Bilinearformen verschiedener Signatur bewahren. Die erste Gleichung in (D3) kann kompakter geschrieben werden als:

$$(a,a)=(a',a')\quad {\text{or}}\quad a\cdot a=a'\cdot a',$$

(D4) ⓘ

wobei (-, -) sich auf die bilineare Form der Signatur (1, 3) in R⁴ bezieht, die durch die Formel auf der rechten Seite in (D3) aufgedeckt wird. Die alternative Notation auf der rechten Seite wird als relativistisches Punktprodukt bezeichnet. Die mathematisch als R⁴ betrachtete Raumzeit, die mit dieser bilinearen Form ausgestattet ist, wird als Minkowski-Raum M bezeichnet. Die Lorentz-Transformation ist somit ein Element der Gruppe O(1, 3), der Lorentz-Gruppe oder, für diejenigen, die die andere metrische Signatur bevorzugen, O(3, 1) (auch Lorentz-Gruppe genannt). Man hat:

$$(a,a)=(\Lambda a,\Lambda a)=(a',a'),\quad \Lambda \in \mathrm {O} (1,3),\quad a,a'\in M,$$

(D5) ⓘ

was genau die Erhaltung der bilinearen Form (D3) ist, die (durch Linearität von Λ und Bilinearität der Form) impliziert, dass (D2) erfüllt ist. Die Elemente der Lorentz-Gruppe sind Rotationen, Boosts und Mischungen davon. Bezieht man die Translationen der Raumzeit mit ein, so erhält man die inhomogene Lorentzgruppe oder die Poincaré-Gruppe. ⓘ

Allgemeinheiten

Die Beziehungen zwischen den primed und unprimed Raumzeitkoordinaten sind die Lorentz-Transformationen, jede Koordinate in einem Rahmen ist eine lineare Funktion aller Koordinaten im anderen Rahmen, und die inversen Funktionen sind die inverse Transformation. Je nachdem, wie sich die Koordinaten relativ zueinander bewegen und wie sie im Raum zueinander orientiert sind, gehen weitere Parameter, die Richtung, Geschwindigkeit und Orientierung beschreiben, in die Transformationsgleichungen ein. ⓘ

Transformationen, die eine Relativbewegung mit konstanter (gleichförmiger) Geschwindigkeit und ohne Drehung der Raumkoordinatenachsen beschreiben, werden als Boosts bezeichnet, und die Relativgeschwindigkeit zwischen den Rahmen ist der Parameter der Transformation. Die andere Grundform der Lorentz-Transformation ist die Rotation nur in den Raumkoordinaten; diese sind wie die Boosts Trägheitstransformationen, da es keine Relativbewegung gibt, die Rahmen werden einfach gekippt (und nicht kontinuierlich gedreht), und in diesem Fall sind die Größen, die die Rotation definieren, die Parameter der Transformation (z. B. Achsen-Winkel-Darstellung oder Euler-Winkel usw.). Eine Kombination aus Drehung und Verstärkung ist eine homogene Transformation, die den Ursprung zurück zum Ursprung transformiert. ⓘ

Die vollständige Lorentz-Gruppe O(3, 1) enthält auch spezielle Transformationen, die weder Rotationen noch Boosts sind, sondern vielmehr Spiegelungen in einer Ebene durch den Ursprung. Zwei davon können herausgegriffen werden: die räumliche Inversion, bei der die Raumkoordinaten aller Ereignisse das Vorzeichen umkehren, und die zeitliche Inversion, bei der die Zeitkoordinate für jedes Ereignis das Vorzeichen umkehrt. ⓘ

Boosts sollten nicht mit bloßen Verschiebungen in der Raumzeit verwechselt werden; in diesem Fall werden die Koordinatensysteme einfach verschoben und es gibt keine relative Bewegung. Allerdings gelten auch diese als von der Speziellen Relativitätstheorie erzwungene Symmetrien, da sie das Raumzeitintervall invariant lassen. Die Kombination einer Drehung mit einem Boost, gefolgt von einer Verschiebung der Raumzeit, ist eine inhomogene Lorentz-Transformation, ein Element der Poincaré-Gruppe, die auch als inhomogene Lorentz-Gruppe bezeichnet wird. ⓘ

Physikalische Formulierung von Lorentz-Boosts

Eine Größe, die sich bei Lorentz-Transformationen nicht ändert, heißt Lorentz-Invariante oder Lorentz-Skalar. Bei einem physikalischen System oder Vorgang beschreibt eine Lorentz-Invariante eine Eigenschaft, die von allen Inertialsystemen aus mit gleichem Wert beobachtet wird, wie z. B. die Lichtgeschwindigkeit $c$, die Masse $m$, die Teilchenzahl, die elektrische Ladung etc. ⓘ

Bei einem Lorentz-Boost in Richtung $x$ lässt sich zeigen, dass

$c^{2}t'^{2}-x'^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}$

gelten muss. Der Ausdruck $\textstyle c^{2}t^{2}-x^{2}$ ist also eine Invariante der Lorentz-Transformation, d. h. in allen unter Lorentz-Transformationen verbundenen Koordinatensystemen konstant. ⓘ

In drei Raumdimensionen ist die Norm $\textstyle c^{2}t^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ die einzige Möglichkeit, eine Lorentz-Invariante zu bilden. Z. B. ist die Norm des Energie-Impuls-Vektors die mit $c$ multiplizierte Masse $mc$, und die Norm des Drehimpulsvektors ist der lorentzinvariante Betrag des Eigendrehimpulses. Auch der Abstand zweier Ereignisse, also die Norm der Differenz der Vierervektoren der beiden Weltpunkte, ist lorentzinvariant. Bei zwei Vierervektoren ist auch ihr Skalarprodukt lorentzinvariant. Ein Tensor 2. Stufe hat eine lorentzinvariante Spur etc. ⓘ

Koordinatentransformation

Die Raumzeitkoordinaten eines Ereignisses, wie sie von jedem Beobachter in seinem Inertialbezugssystem (in Standardkonfiguration) gemessen werden, sind in den Sprechblasen dargestellt.
Oben: Rahmen F′ bewegt sich mit der Geschwindigkeit v entlang der x-Achse von Rahmen F.
Unten: Rahmen F bewegt sich mit der Geschwindigkeit -v entlang der x′-Achse von Rahmen F′. ⓘ

Ein "stationärer" Beobachter im Rahmen F definiert Ereignisse mit den Koordinaten t, x, y, z. Ein anderer Rahmen F′ bewegt sich mit der Geschwindigkeit v relativ zu F, und ein Beobachter in diesem "bewegten" Rahmen F′ definiert Ereignisse mit den Koordinaten t′, x′, y′, z′. ⓘ

Die Koordinatenachsen in jedem Koordinatensystem sind parallel (die x- und x′-Achsen sind parallel, die y- und y′-Achsen sind parallel, und die z- und z′-Achsen sind parallel), sie stehen senkrecht zueinander, und die relative Bewegung erfolgt entlang der zusammenfallenden xx′-Achsen. Bei t = t′ = 0 sind die Ursprünge beider Koordinatensysteme gleich, (x, y, z) = (x′, y′, z′) = (0, 0, 0). Mit anderen Worten, die Zeiten und Positionen sind bei diesem Ereignis deckungsgleich. Wenn all dies zutrifft, werden die Koordinatensysteme als standardkonfiguriert oder synchronisiert bezeichnet. ⓘ

Wenn ein Beobachter in F ein Ereignis t, x, y, z registriert, dann registriert ein Beobachter in F′ das gleiche Ereignis mit den Koordinaten ⓘ

Lorentz-Verstärkung (x-Richtung)

${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$ ⓘ

wobei v die Relativgeschwindigkeit zwischen Rahmen in x-Richtung ist, c die Lichtgeschwindigkeit und

$$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$

(Kleinbuchstabe gamma) der Lorentz-Faktor ist. ⓘ

Hier ist v der Parameter der Transformation, für einen gegebenen Boost ist er eine konstante Zahl, kann aber einen kontinuierlichen Wertebereich annehmen. In dem hier verwendeten Aufbau bedeutet eine positive Relativgeschwindigkeit v > 0 eine Bewegung entlang der positiven Richtungen der xx′-Achsen, eine Relativgeschwindigkeit v = 0 keine Relativbewegung, während eine negative Relativgeschwindigkeit v < 0 eine Relativbewegung entlang der negativen Richtungen der xx′-Achsen bedeutet. Der Betrag der Relativgeschwindigkeit v kann nicht gleich oder größer als c sein, so dass nur subluminale Geschwindigkeiten -c < v < c zulässig sind. Der entsprechende Bereich von γ ist 1 ≤ γ < ∞. ⓘ

Die Transformationen sind nicht definiert, wenn v außerhalb dieser Grenzen liegt. Bei Lichtgeschwindigkeit (v = c) ist γ unendlich, und bei Überlichtgeschwindigkeit (v > c) ist γ eine komplexe Zahl, wodurch die Transformationen jeweils unphysikalisch werden. Die Raum- und Zeitkoordinaten sind messbare Größen und müssen numerisch reelle Zahlen sein. ⓘ

Als aktive Transformation bemerkt ein Beobachter in F′, dass die Koordinaten des Ereignisses in den negativen Richtungen der xx′-Achsen "angehoben" werden, wegen der -v in den Transformationen. Dies hat den äquivalenten Effekt, dass das Koordinatensystem F′ in den positiven Richtungen der xx′-Achsen angehoben wird, während sich das Ereignis nicht ändert und einfach in einem anderen Koordinatensystem dargestellt wird, eine passive Transformation. ⓘ

Die umgekehrten Beziehungen (t, x, y, z in Form von t′, x′, y′, z′) lassen sich durch algebraische Lösung der ursprünglichen Gleichungen ermitteln. Ein effizienterer Weg ist die Anwendung physikalischer Prinzipien. Dabei ist F′ der "stationäre" Rahmen, während F der "bewegte" Rahmen ist. Nach dem Relativitätsprinzip gibt es keinen privilegierten Bezugsrahmen, so dass die Transformationen von F′ nach F genau die gleiche Form annehmen müssen wie die Transformationen von F nach F′. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sich F mit der Geschwindigkeit -v relativ zu F′ bewegt (d. h. die Relativgeschwindigkeit hat den gleichen Betrag, ist aber entgegengesetzt gerichtet). Wenn also ein Beobachter in F′ ein Ereignis t′, x′, y′, z′ feststellt, dann stellt ein Beobachter in F dasselbe Ereignis mit den Koordinaten ⓘ

Inverser Lorentzschub (x-Richtung)

${\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z',\end{aligned}}$ ⓘ

und der Wert von γ bleibt unverändert. Dieser "Trick" der einfachen Umkehrung der Richtung der Relativgeschwindigkeit unter Beibehaltung ihres Betrags und des Austauschs von Primed- und Unprimed-Variablen gilt immer, um die inverse Transformation jedes Boosts in jeder Richtung zu finden. ⓘ

Manchmal ist es bequemer, β = v/c (Kleinbuchstabe beta) anstelle von v zu verwenden, so dass

$${\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\,,\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\,,\\\end{aligned}}$$

was die Symmetrie der Transformation viel deutlicher zeigt. Aus den zulässigen Bereichen von v und der Definition von β folgt -1 < β < 1. Die Verwendung von β und γ ist in der Literatur üblich. ⓘ

Die Lorentz-Transformationen können auch auf eine Weise abgeleitet werden, die Kreisdrehungen im 3d-Raum unter Verwendung der hyperbolischen Funktionen ähnelt. Für die Verstärkung in x-Richtung ergeben sich die folgenden Ergebnisse ⓘ

Lorentzverstärkung (x-Richtung mit der Geschwindigkeit ζ)

${\begin{aligned}ct'&=ct\cosh \zeta -x\sinh \zeta \\x'&=x\cosh \zeta -ct\sinh \zeta \\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$ ⓘ

wobei ζ (Kleinbuchstabe Zeta) ein Parameter ist, der Rapidity genannt wird (viele andere Symbole werden verwendet, darunter θ, ϕ, φ, η, ψ, ξ). Angesichts der starken Ähnlichkeit mit Rotationen von Raumkoordinaten im 3d-Raum in den kartesischen Ebenen xy, yz und zx kann man sich einen Lorentz-Boost als hyperbolische Rotation von Raumzeitkoordinaten in den kartesischen Ebenen xt, yt und zt des 4d-Minkowski-Raums vorstellen. Der Parameter ζ ist der hyperbolische Drehwinkel, analog zum gewöhnlichen Winkel für Kreisdrehungen. Diese Transformation kann mit einem Minkowski-Diagramm veranschaulicht werden. ⓘ

Die hyperbolischen Funktionen ergeben sich aus der Differenz zwischen den Quadraten der Zeit- und Raumkoordinaten im Raumzeitintervall und nicht aus einer Summe. Die geometrische Bedeutung der hyperbolischen Funktionen lässt sich veranschaulichen, indem man bei den Transformationen x = 0 oder ct = 0 annimmt. Wenn man die Ergebnisse quadriert und subtrahiert, erhält man hyperbolische Kurven mit konstanten Koordinatenwerten, aber variierendem ζ, das die Kurven gemäß der Identität parametrisiert

$$\cosh ^{2}\zeta -\sinh ^{2}\zeta =1\,.$$

ⓘ

Umgekehrt können die ct- und die x-Achse für variierende Koordinaten, aber konstante ζ-Werte konstruiert werden. Die Definition

$$\tanh \zeta ={\frac {\sinh \zeta }{\cosh \zeta }}\,,$$

stellt die Verbindung zwischen einem konstanten Wert der Geschwindigkeit und der Neigung der ct-Achse in der Raumzeit her. Eine Folge dieser beiden hyperbolischen Formeln ist eine Identität, die mit dem Lorentz-Faktor übereinstimmt

$$\cosh \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\,.$$

ⓘ

Vergleicht man die Lorentz-Transformationen in Bezug auf die Relativgeschwindigkeit und die Geschwindigkeit, oder verwendet man die obigen Formeln, so ergeben sich folgende Verbindungen zwischen β, γ und ζ

$${\begin{aligned}\beta &=\tanh \zeta \,,\\\gamma &=\cosh \zeta \,,\\\beta \gamma &=\sinh \zeta \,.\end{aligned}}$$

ⓘ

Wenn man den inversen hyperbolischen Tangens nimmt, erhält man die Schnelligkeit

$$\zeta =\tanh ^{-1}\beta \,.$$

ⓘ

Da -1 < β < 1 ist, folgt -∞ < ζ < ∞. Aus der Beziehung zwischen ζ und β ergibt sich, dass eine positive Eilgeschwindigkeit ζ > 0 eine Bewegung entlang der positiven Richtungen der xx′-Achsen ist, eine Nullgeschwindigkeit ζ = 0 keine Relativbewegung bedeutet und eine negative Eilgeschwindigkeit ζ < 0 eine Relativbewegung entlang der negativen Richtungen der xx′-Achsen. ⓘ

Die inversen Transformationen erhält man durch den Austausch von primed und unprimed Größen, um die Koordinatensysteme zu vertauschen, und durch die Negierung der Geschwindigkeit ζ → -ζ, da dies der Negierung der Relativgeschwindigkeit entspricht. Daraus folgt, ⓘ

Inverser Lorentzschub (x-Richtung mit Geschwindigkeit ζ)

${\begin{aligned}ct&=ct'\cosh \zeta +x'\sinh \zeta \\x&=x'\cosh \zeta +ct'\sinh \zeta \\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}$ ⓘ

Die inversen Transformationen lassen sich auf ähnliche Weise veranschaulichen, wenn man die Fälle x′ = 0 und ct′ = 0 betrachtet. ⓘ

Bisher wurden die Lorentz-Transformationen auf ein Ereignis angewandt. Bei zwei Ereignissen gibt es einen räumlichen Abstand und ein Zeitintervall zwischen ihnen. Aus der Linearität der Lorentz-Transformationen folgt, dass zwei Werte für die Raum- und Zeitkoordinaten gewählt werden können, die Lorentz-Transformationen auf beide angewendet werden können und dann subtrahiert werden, um die Lorentz-Transformationen der Differenzen zu erhalten; ⓘ

$${\begin{aligned}\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x'&=\gamma \left(\Delta x-v\,\Delta t\right)\,,\end{aligned}}$$

mit inversen Beziehungen

$${\begin{aligned}\Delta t&=\gamma \left(\Delta t'+{\frac {v\,\Delta x'}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x&=\gamma \left(\Delta x'+v\,\Delta t'\right)\,.\end{aligned}}$$

ⓘ

wobei Δ (Delta in Großbuchstaben) eine Differenz von Größen angibt, z. B. Δx = x₂ - x₁ für zwei Werte von x-Koordinaten usw. ⓘ

Diese Transformationen auf der Basis von Differenzen und nicht von Raumpunkten oder Zeitpunkten sind aus mehreren Gründen nützlich:

• In Berechnungen und Experimenten sind es die Längen zwischen zwei Punkten oder Zeitintervallen, die gemessen werden oder von Interesse sind (z. B. die Länge eines sich bewegenden Fahrzeugs oder die Zeitdauer, die es braucht, um von einem Ort zu einem anderen zu gelangen),
• die Transformationen der Geschwindigkeit lassen sich leicht ableiten, indem man die Differenz infinitesimal klein macht und die Gleichungen dividiert; der Vorgang wird für die Transformation der Beschleunigung wiederholt,
• wenn die Koordinatensysteme niemals zusammenfallen (d. h., wenn die Koordinatensysteme niemals zusammenfallen (d.h. nicht in der Standardkonfiguration), und wenn sich beide Beobachter auf ein Ereignis t₀, x₀, y₀, z₀ in F und t₀′, x₀′, y₀′, z₀′ in F′ einigen können, dann können sie dieses Ereignis als Ursprung verwenden, und die Raumzeitkoordinatendifferenzen sind die Differenzen zwischen ihren Koordinaten und diesem Ursprung, z.B., Δx = x - x₀, Δx′ = x′ - x₀′, usw. ⓘ

Physikalische Implikationen

Eine entscheidende Voraussetzung für die Lorentz-Transformationen ist die Invarianz der Lichtgeschwindigkeit, eine Tatsache, die bei ihrer Herleitung verwendet wird und in den Transformationen selbst enthalten ist. Wenn in F die Gleichung für einen Lichtimpuls entlang der x-Richtung x = ct ist, dann ergeben die Lorentz-Transformationen in F′ x′ = ct′ und umgekehrt, für jedes -c < v < c. ⓘ

Für Relativgeschwindigkeiten, die viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind, reduzieren sich die Lorentz-Transformationen auf die Galilei-Transformation

$${\begin{aligned}t'&\approx t\\x'&\approx x-vt\end{aligned}}$$

in Übereinstimmung mit dem Korrespondenzprinzip. Manchmal wird gesagt, dass die nichtrelativistische Physik eine Physik der "unmittelbaren Wirkung in der Ferne" ist. ⓘ

Drei kontraintuitive, aber korrekte Vorhersagen der Transformationen sind:

Relativität der Gleichzeitigkeit

Angenommen, zwei Ereignisse finden in F entlang der x-Achse gleichzeitig statt (Δt = 0), sind aber durch eine Verschiebung Δx ungleich Null getrennt. In F′ finden wir dann, dass $\Delta t'=\gamma {\frac {-v\,\Delta x}{c^{2}}}$Die Ereignisse sind also für einen bewegten Beobachter nicht mehr simultan.

Zeitdilatation

Angenommen, es gibt eine ruhende Uhr in F. Wenn ein Zeitintervall am gleichen Punkt in diesem Rahmen gemessen wird, so dass Δx = 0 ist, dann geben die Transformationen dieses Intervall in F′ durch Δt′ = γΔt. Umgekehrt: Nehmen wir an, es gibt eine ruhende Uhr in F′. Wenn ein Intervall am gleichen Punkt in diesem Rahmen gemessen wird, so dass Δx′ = 0 ist, dann geben die Transformationen dieses Intervall in F durch Δt = γΔt′. In jedem Fall misst jeder Beobachter das Zeitintervall zwischen den Ticks einer sich bewegenden Uhr als um den Faktor γ länger als das Zeitintervall zwischen den Ticks seiner eigenen Uhr.

Längenkontraktion

Angenommen, in F befindet sich ein ruhender Stab mit der Länge Δx, der entlang der x-Achse ausgerichtet ist. In F′ bewegt sich der Stab mit der Geschwindigkeit -v, so dass seine Länge durch zwei gleichzeitige Messungen (Δt′ = 0) an gegenüberliegenden Enden gemessen werden muss. Unter diesen Bedingungen zeigt die inverse Lorentztransformation, dass Δx = γΔx′. In F sind die beiden Messungen nicht mehr simultan, aber das spielt keine Rolle, weil der Stab in F ruht. Jeder Beobachter misst also den Abstand zwischen den Endpunkten eines bewegten Stabes um den Faktor 1/γ kürzer als die Endpunkte eines identischen Stabes, der in seinem eigenen Körper ruht. Die Längenkontraktion wirkt sich auf alle geometrischen Größen aus, die sich auf Längen beziehen, so dass aus der Perspektive eines sich bewegenden Beobachters auch Flächen und Volumina entlang der Bewegungsrichtung zu schrumpfen scheinen. ⓘ

Vektorielle Transformationen

Ein Beobachter im Körper F beobachtet, dass sich F′ mit der Geschwindigkeit v bewegt, während F′ beobachtet, dass sich F mit der Geschwindigkeit -v bewegt. Die Koordinatenachsen der beiden Bilder sind weiterhin parallel und orthogonal. Der in jedem Einzelbild gemessene Positionsvektor wird in Komponenten aufgeteilt, die parallel und senkrecht zum relativen Geschwindigkeitsvektor v verlaufen.
Links: Standardkonfiguration. Rechts: Umgekehrte Konfiguration. ⓘ

Durch die Verwendung von Vektoren lassen sich Positionen und Geschwindigkeiten in beliebige Richtungen kompakt ausdrücken. Ein einzelner Schub in eine beliebige Richtung hängt von dem vollständigen Relativgeschwindigkeitsvektor v ab, dessen Betrag |v| = v nicht gleich oder größer als c sein kann, so dass 0 ≤ v < c. ⓘ

Nur die Zeit und die Koordinaten parallel zur Richtung der Relativbewegung ändern sich, während die Koordinaten senkrecht dazu sich nicht ändern. In diesem Sinne zerlege den räumlichen Ortsvektor r, gemessen in F, und r′, gemessen in F′, jeweils in Komponenten senkrecht (⊥) und parallel ( ‖ ) zu v,

$$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}\,,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\perp }'+\mathbf {r} _{\|}'\,,$$

dann lauten die Transformationen

$${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {r} _{\parallel }\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r} _{\|}'&=\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\\\mathbf {r} _{\perp }'&=\mathbf {r} _{\perp }\end{aligned}}$$

wobei - das Punktprodukt ist. Der Lorentzfaktor γ behält seine Definition für einen Schub in beliebiger Richtung bei, da er nur vom Betrag der Relativgeschwindigkeit abhängt. Die Definition β = v/c mit dem Betrag 0 ≤ β < 1 wird auch von einigen Autoren verwendet. ⓘ

Führt man einen Einheitsvektor n = v/v = β/β in der Richtung der Relativbewegung ein, so ist die Relativgeschwindigkeit v = vn mit dem Betrag v und der Richtung n, und die Vektorprojektion und die Zurückweisung ergeben jeweils

$$\mathbf {r} _{\parallel }=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {r} _{\perp }=\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$$

ⓘ

Die Akkumulation der Ergebnisse ergibt die vollständigen Transformationen, ⓘ

Lorentzverstärkung (in Richtung n mit dem Betrag v)

${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \,.\end{aligned}}$ ⓘ

Die Projektion und Verwerfung gilt auch für r′. Für die inversen Transformationen tauscht man r und r′ aus, um die beobachteten Koordinaten zu vertauschen, und negiert die Relativgeschwindigkeit v → -v (oder einfach den Einheitsvektor n → -n, da der Betrag v immer positiv ist), um zu erhalten ⓘ

Inverser Lorentzschub (in Richtung n mit dem Betrag v)

${\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {\mathbf {r} '\cdot v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+(\gamma -1)(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} +\gamma t'v\mathbf {n} \,,\end{aligned}}$ ⓘ

Der Einheitsvektor hat den Vorteil, dass er die Gleichungen für einen einzelnen Boost vereinfacht, dass entweder v oder β wieder eingesetzt werden können, wenn es zweckmäßig ist, und dass die Schnelligkeitsparametrisierung durch Ersetzen von β und βγ sofort erhalten wird. Bei mehreren Boosts ist dies nicht sinnvoll. ⓘ

Die vektorielle Beziehung zwischen Relativgeschwindigkeit und Schnelligkeit ist

$${\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh \zeta \,,$$

und der "Geschwindigkeitsvektor" kann definiert werden als

$${\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta \,,$$

was in manchen Zusammenhängen als nützliche Abkürzung dient. Der Betrag von ζ ist der Absolutwert des Schnelligkeitsskalars, der auf 0 ≤ ζ < ∞ beschränkt ist, was mit dem Bereich 0 ≤ β < 1 übereinstimmt. ⓘ

Transformation der Geschwindigkeiten

Die Transformation der Geschwindigkeiten liefert die Definition der relativistischen Geschwindigkeitsaddition ⊕, die Reihenfolge der Vektoren ist so gewählt, dass sie die Reihenfolge der Addition der Geschwindigkeiten widerspiegelt; zuerst v (die Geschwindigkeit von F′ relativ zu F) dann u′ (die Geschwindigkeit von X relativ zu F′), um u = v ⊕ u′ (die Geschwindigkeit von X relativ zu F) zu erhalten. ⓘ

Definition der Koordinatengeschwindigkeiten und des Lorentzfaktors durch ⓘ

$\mathbf {u} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {u} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt'}}\,,\quad \gamma _{\mathbf {v} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}}$ ⓘ

die Differentiale in den Koordinaten und der Zeit der Vektortransformationen und die Division der Gleichungen führt zu ⓘ

$\mathbf {u} '={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} \right]$ ⓘ

Die Geschwindigkeiten u und u′ sind die Geschwindigkeiten eines massiven Objekts. Sie können auch für ein drittes Inertialsystem (sagen wir F′′) gelten, in diesem Fall müssen sie konstant sein. Dann bewegt sich X mit der Geschwindigkeit u relativ zu F oder mit der Geschwindigkeit u′ relativ zu F′, und F′ bewegt sich mit der Geschwindigkeit v relativ zu F. Die inversen Transformationen können auf ähnliche Weise erhalten werden, oder man tauscht wie bei den Positionskoordinaten u und u′ aus und ändert v in -v. ⓘ

Die Geschwindigkeitstransformation ist nützlich für die stellare Aberration, das Fizeau-Experiment und den relativistischen Dopplereffekt. ⓘ

Die Lorentz-Transformationen der Beschleunigung lassen sich auf ähnliche Weise erhalten, indem man die Differentiale der Geschwindigkeitsvektoren nimmt und durch das Zeitdifferential dividiert. ⓘ

Transformation anderer Größen

Im Allgemeinen gilt für vier Größen A und Z = (Z_x, Z_y, Zz) und ihre Lorentz-verstärkten Gegenstücke A′ und Z′ = (Z′_x, Z′_y, Z′z) eine Beziehung der Form

$$A^{2}-\mathbf {Z} \cdot \mathbf {Z} ={A'}^{2}-\mathbf {Z} '\cdot \mathbf {Z} '$$

impliziert, dass sich die Größen unter Lorentz-Transformationen ähnlich wie bei der Transformation der Raumzeitkoordinaten verändern;

$${\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {Z} }{c}}\right)\,,\\\mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -{\frac {\gamma Av\mathbf {n} }{c}}\,.\end{aligned}}$$

ⓘ

Die Zerlegung von Z (und Z′) in Komponenten, die senkrecht und parallel zu v stehen, ist genau die gleiche wie für den Ortsvektor, ebenso wie der Prozess zur Gewinnung der inversen Transformationen (Austausch von (A, Z) und (A′, Z′), um die beobachteten Größen zu vertauschen, und Umkehrung der Richtung der relativen Bewegung durch die Substitution n ↦ -n). ⓘ

Die Größen (A, Z) bilden zusammen einen Vierervektor, wobei A die "zeitliche Komponente" und Z die "räumliche Komponente" ist. Beispiele für A und Z sind die folgenden:

Vierer-Vektor	A	Z ⓘ
Lage-Vierervektor	Zeit (multipliziert mit c), ct	Ortsvektor, r
Vierer-Impuls	Energie (geteilt durch c), E/c	Impuls, p
Vier-Wellen-Vektor	Winkelfrequenz (geteilt durch c), ω/c	Wellenvektor, k
Vierfacher Spin	(ohne Bezeichnung), st	Spin, s
Vierfacher Strom	Ladungsdichte (multipliziert mit c), ρc	Stromdichte, j
Elektromagnetisches Vier-Potential	Elektrisches Potenzial (geteilt durch c), φ/c	Magnetisches Vektorpotential, A

Wenn A oder Z für ein bestimmtes Objekt (z. B. ein Teilchen, eine Flüssigkeit, ein Feld, eine Materie) objektspezifischen Eigenschaften wie Ladungsdichte, Massendichte, Spin usw. entsprechen, können die Eigenschaften des Objekts im Ruhezustand des Objekts festgelegt werden. Die Lorentz-Transformationen ergeben dann die entsprechenden Eigenschaften in einem Rahmen, der sich relativ zum Objekt mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Dadurch werden einige in der nicht-relativistischen Physik als selbstverständlich angesehene Begriffe durchbrochen. So ist beispielsweise die Energie E eines Objekts in der nichtrelativistischen Mechanik ein Skalar, nicht aber in der relativistischen Mechanik, weil sich die Energie unter Lorentztransformationen ändert; ihr Wert ist für verschiedene Inertialsysteme unterschiedlich. Im Ruhezustand eines Objekts hat es eine Ruheenergie und einen Impuls von Null. In einem beschleunigten System ist seine Energie anders und es scheint einen Impuls zu haben. In ähnlicher Weise ist der Spin eines Teilchens in der nichtrelativistischen Quantenmechanik ein konstanter Vektor, aber in der relativistischen Quantenmechanik hängt der Spin s von der relativen Bewegung ab. Im Ruhezustand des Teilchens kann der Spin-Pseudovektor als sein gewöhnlicher nichtrelativistischer Spin mit einer zeitlichen Komponente st von Null festgelegt werden. ⓘ

Nicht alle Größen sind in der oben gezeigten Form invariant, z. B. hat der Bahndrehimpuls L keine zeitliche Größe, ebenso wenig wie das elektrische Feld E oder das magnetische Feld B. Die Definition des Drehimpulses lautet L = r × p, und in einem verstärkten Rahmen ist der veränderte Drehimpuls L′ = r′ × p′. Die Anwendung dieser Definition unter Verwendung der Transformationen von Koordinaten und Impuls führt zur Transformation des Drehimpulses. Es stellt sich heraus, dass L mit einer anderen Vektorgröße N = (E/c²)r - tp transformiert wird, die mit Boosts zusammenhängt, siehe Relativistischer Drehimpuls für Details. Im Fall der Felder E und B lassen sich die Transformationen nicht direkt mit Hilfe der Vektoralgebra berechnen. Die Lorentz-Kraft ist die Definition dieser Felder, und in F ist sie F = q(E + v × B), während in F′ sie F′ = q(E′ + v′ × B′) ist. Eine Methode zur effizienten Ableitung der EM-Feldtransformationen, die auch die Einheit des elektromagnetischen Feldes veranschaulicht, verwendet die nachfolgend dargestellte Tensoralgebra. ⓘ

Mathematische Formulierung

Kursive, nicht fettgedruckte Großbuchstaben sind 4×4-Matrizen, während nicht-kursive, fettgedruckte Buchstaben 3×3-Matrizen sind. ⓘ

Homogene Lorentz-Gruppe

Schreibt man die Koordinaten in Spaltenvektoren und die Minkowski-Metrik η als Quadratmatrix

$$X'={\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}\,,\quad \eta ={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,,\quad X={\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$$

hat das Raumzeitintervall die Form (hochgestelltes T bezeichnet die Transponierung)

$$X\cdot X=X^{\mathrm {T} }\eta X={X'}^{\mathrm {T} }\eta {X'}$$

und ist invariant unter einer Lorentztransformation

$$X'=\Lambda X$$

wobei Λ eine quadratische Matrix ist, die von Parametern abhängen kann. ⓘ

Die Menge aller Lorentz-Transformationen Λ wird in diesem Artikel mit ${\mathcal {L}}$. Diese Menge bildet zusammen mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe, die in diesem Zusammenhang als Lorentz-Gruppe bezeichnet wird. Außerdem ist der obige Ausdruck X-X eine quadratische Form der Signatur (3,1) auf der Raumzeit, und die Gruppe der Transformationen, die diese quadratische Form invariant lässt, ist die unbestimmte orthogonale Gruppe O(3,1), eine Lie-Gruppe. Mit anderen Worten, die Lorentz-Gruppe ist O(3,1). Wie in diesem Artikel dargestellt, sind alle genannten Lie-Gruppen Matrix-Lie-Gruppen. In diesem Zusammenhang ist die Operation der Komposition gleichbedeutend mit einer Matrixmultiplikation. ⓘ

Aus der Invarianz des Raumzeitintervalls folgt

$$\eta =\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \Lambda$$

und diese Matrixgleichung enthält die allgemeinen Bedingungen für die Lorentztransformation, um die Invarianz des Raumzeitintervalls zu gewährleisten. Nimmt man die Determinante der Gleichung mit Hilfe der Produktregel, so erhält man sofort

$$\left[\det(\Lambda )\right]^{2}=1\quad \Rightarrow \quad \det(\Lambda )=\pm 1$$

ⓘ

Schreibweise der Minkowski-Metrik als Blockmatrix und der Lorentz-Transformation in der allgemeinsten Form,

$$\eta ={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}\,,\quad \Lambda ={\begin{bmatrix}\Gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}\,,$$

die Multiplikation der Blockmatrix ergibt allgemeine Bedingungen für Γ, a, b, M, um relativistische Invarianz zu gewährleisten. Aus all diesen Bedingungen lassen sich nicht viele Informationen direkt ableiten, aber eines der Ergebnisse

$$\Gamma ^{2}=1+\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b}$$

ist nützlich; b^Tb ≥ 0 ist immer, daraus folgt, dass

$$\Gamma ^{2}\geq 1\quad \Rightarrow \quad \Gamma \leq -1\,,\quad \Gamma \geq 1$$

ⓘ

Die negative Ungleichung mag unerwartet sein, weil Γ die Zeitkoordinate multipliziert und dies eine Auswirkung auf die Zeitsymmetrie hat. Wenn die positive Gleichheit gilt, dann ist Γ der Lorentz-Faktor. ⓘ

Die Determinante und die Ungleichung bieten vier Möglichkeiten zur Klassifizierung von Lorentz-Transformationen (im Folgenden der Kürze halber LTs genannt). Jede bestimmte LT hat nur ein Determinantenzeichen und nur eine Ungleichung. Es gibt vier Mengen, die jedes mögliche Paar enthalten, das durch die Schnittpunkte ("n"-förmiges Symbol für "und") dieser klassifizierenden Mengen gegeben ist. ⓘ

Schnittpunkt, ∩	Antichrone (oder nicht-orthochrone) LTs ${\mathcal {L}}^{\downarrow }=\{\Lambda \,:\,\Gamma \leq -1\}$	Orthochrone LTs ${\mathcal {L}}^{\uparrow }=\{\Lambda \,:\,\Gamma \geq 1\}$ ⓘ
Richtige LTs ${\mathcal {L}}_{+}=\{\Lambda \,:\,\det(\Lambda )=+1\}$	Richtige antichrone LTs ${\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }={\mathcal {L}}_{+}\cap {\mathcal {L}}^{\downarrow }$	Richtige orthochrone LTs ${\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }={\mathcal {L}}_{+}\cap {\mathcal {L}}^{\uparrow }$
Unzulässige LTs ${\mathcal {L}}_{-}=\{\Lambda \,:\,\det(\Lambda )=-1\}$	Unzulässige antichronische LTs ${\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }={\mathcal {L}}_{-}\cap {\mathcal {L}}^{\downarrow }$	Unzulässige orthochrone LTs ${\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }={\mathcal {L}}_{-}\cap {\mathcal {L}}^{\uparrow }$

wobei "+" und "-" das Determinantenzeichen angeben, während "↑" für ≥ und "↓" für ≤ die Ungleichungen kennzeichnen. ⓘ

Die vollständige Lorentz-Gruppe zerfällt in die Vereinigung ("u"-förmiges Symbol für "oder") von vier disjunkten Mengen

$${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }$$

ⓘ

Eine Untergruppe einer Gruppe muss unter der gleichen Operation der Gruppe (hier Matrixmultiplikation) geschlossen sein. Mit anderen Worten, für zwei Lorentz-Transformationen Λ und L aus einer bestimmten Menge müssen die zusammengesetzten Lorentz-Transformationen ΛL und LΛ in derselben Menge liegen wie Λ und L. Dies ist nicht immer der Fall: Die Zusammensetzung zweier antichroner Lorentz-Transformationen ist orthochron, und die Zusammensetzung zweier unechter Lorentz-Transformationen ist proper. Mit anderen Worten: Während die Mengen ${\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }$, ${\mathcal {L}}_{+}$, ${\mathcal {L}}^{\uparrow }$, und ${\mathcal {L}}_{0}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }$ alle Untergruppen bilden, bilden die Mengen, die unpassende und/oder antichrone Transformationen ohne genügend passende orthochrone Transformationen enthalten (z. B. ${\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }$, ${\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }$, ${\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }$) keine Untergruppen bilden. ⓘ

Proper-Transformationen

Wird ein Lorentz-kovarianter 4-Vektor in einem Inertialsystem gemessen mit dem Ergebnis $X$und die gleiche Messung in einem anderen Inertialsystem (mit derselben Orientierung und demselben Ursprung) ergibt das Ergebnis $X'$ergibt, so werden die beiden Ergebnisse in Beziehung gesetzt durch

$$X'=B(\mathbf {v} )X$$

wobei die Verstärkungsmatrix $B(\mathbf {v} )$ die Lorentz-Transformation zwischen dem ungeprimten und dem geprimten Bezugssystem darstellt und $\mathbf {v}$ die Geschwindigkeit des geprimten Bezugssystems aus Sicht des ungeprimten Bezugssystems ist. Die Matrix ist gegeben durch

$$B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma v_{x}/c&-\gamma v_{y}/c&-\gamma v_{z}/c\\-\gamma v_{x}/c&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{x}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{y}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{y}v_{x}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{y}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{z}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{z}v_{x}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{z}v_{y}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{z}^{2}}{v^{2}}}\end{bmatrix}},$$

ⓘ

wobei ${\textstyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$ der Betrag der Geschwindigkeit ist und ${\textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ der Lorentz-Faktor ist. Diese Formel stellt eine passive Transformation dar, da sie beschreibt, wie sich die Koordinaten der gemessenen Größe vom unprimed frame zum primed frame ändern. Die aktive Transformation ist gegeben durch $B(-\mathbf {v} )$. ⓘ

Wenn ein Einzelbild F′ mit der Geschwindigkeit u relativ zum Einzelbild F und ein anderes Einzelbild F′′ mit der Geschwindigkeit v relativ zu F′ beschleunigt wird, sind die einzelnen Beschleunigungen

$$X=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X$$

und die Zusammensetzung der beiden Boosts verbindet die Koordinaten in F′′ und F,

$$X=B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )X\,.$$

Aufeinanderfolgende Transformationen wirken auf der linken Seite. Wenn u und v kollinear sind (parallel oder antiparallel entlang derselben Linie der Relativbewegung), sind die Boost-Matrizen vertauschbar: B(v)B(u) = B(u)B(v). Diese zusammengesetzte Transformation ist zufällig ein weiterer Boost, B(w), wobei w kollinear mit u und v ist. ⓘ

Wenn u und v nicht kollinear sind, sondern in verschiedenen Richtungen liegen, ist die Situation wesentlich komplizierter. Lorentz-Boosts in verschiedenen Richtungen sind nicht kommutabel: B(v)B(u) und B(u)B(v) sind nicht gleich. Außerdem ist jede dieser Kompositionen keine einzelne Verstärkung, aber sie sind immer noch Lorentztransformationen, die jeweils das Raumzeitintervall erhalten. Es stellt sich heraus, dass die Komposition von zwei beliebigen Lorentz-Transformationen äquivalent zu einer Transformation ist, der eine Drehung der Raumkoordinaten in Form von R(ρ)B(w) oder B(w)R(ρ) vorausgeht oder folgt. w und w sind zusammengesetzte Geschwindigkeiten, während ρ und ρ Rotationsparameter sind (z. B. Achsenwinkelvariablen, Euler-Winkel usw.). Die Rotation in Form einer Blockmatrix ist einfach

$$\quad R({\boldsymbol {\rho }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\rho }})\end{bmatrix}}\,,$$

wobei R(ρ) eine 3D-Rotationsmatrix ist, die jeden 3D-Vektor in eine Richtung dreht (aktive Transformation) oder den Koordinatenrahmen in die entgegengesetzte Richtung (passive Transformation). Es ist nicht einfach, w und ρ (oder w und ρ) mit den ursprünglichen Boost-Parametern u und v zu verbinden. In einer Komposition von Boosts wird die R-Matrix als Wigner-Rotation bezeichnet und führt zur Thomas-Präzession. Diese Artikel enthalten die expliziten Formeln für die zusammengesetzten Transformationsmatrizen, einschließlich der Ausdrücke für w, ρ, w, ρ. ⓘ

In diesem Artikel wird die Achsen-Winkel-Darstellung für ρ verwendet. Die Drehung erfolgt um eine Achse in Richtung eines Einheitsvektors e um den Winkel θ (positiv gegen den Uhrzeigersinn, negativ im Uhrzeigersinn, gemäß der Rechte-Hand-Regel). Der "Achsen-Winkel-Vektor"

$${\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e}$$

wird als nützliche Abkürzung dienen. ⓘ

Räumliche Drehungen allein sind ebenfalls Lorentz-Transformationen, sie lassen das Raumzeitintervall invariant. Wie bei Boosts sind aufeinanderfolgende Drehungen um verschiedene Achsen nicht kommutativ. Im Gegensatz zu den Boosts ist die Komposition zweier beliebiger Drehungen gleichbedeutend mit einer einzigen Drehung. Einige weitere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Boost- und Rotationsmatrizen sind

• Inversionen: B(v)-1 = B(-v) (Relativbewegung in die entgegengesetzte Richtung) und R(θ)-1 = R(-θ) (Drehung in die entgegengesetzte Richtung um dieselbe Achse)
• Identitätstransformation für keine Relativbewegung/Drehung: B(0) = R(0) = I
• Einheitsdeterminante: det(B) = det(R) = +1. Diese Eigenschaft macht sie zu echten Transformationen.
• Symmetrie der Matrix: B ist symmetrisch (gleich der Transponierten), während R unsymmetrisch, aber orthogonal ist (Transponierte ist gleich der Inversen, RT = R-1). ⓘ

Die allgemeinste korrekte Lorentz-Transformation Λ(v, θ) umfasst eine Verstärkung und eine Drehung und ist eine unsymmetrische Matrix. Als Spezialfälle sind Λ(0, θ) = R(θ) und Λ(v, 0) = B(v). Eine explizite Form der allgemeinen Lorentz-Transformation ist umständlich niederzuschreiben und wird hier nicht angegeben. Dennoch werden im Folgenden geschlossene Formausdrücke für die Transformationsmatrizen mit Hilfe gruppentheoretischer Argumente angegeben. Es wird einfacher sein, die Schnelligkeitsparametrisierung für Boosts zu verwenden, in diesem Fall schreibt man Λ(ζ, θ) und B(ζ). ⓘ

Die Lie-Gruppe SO+(3,1)

Die Menge der Transformationen

$$\{B({\boldsymbol {\zeta }}),R({\boldsymbol {\theta }}),\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\}$$

mit Matrixmultiplikation als Kompositionsoperation bildet eine Gruppe, die "eingeschränkte Lorentzgruppe" genannt wird und die spezielle unbestimmte orthogonale Gruppe SO⁺(3,1) ist. (Das Pluszeichen bedeutet, dass die Orientierung der zeitlichen Dimension erhalten bleibt). ⓘ

Der Einfachheit halber betrachten wir den infinitesimalen Lorentz-Boost in x-Richtung (die Untersuchung eines Boosts in jeder anderen Richtung oder einer Drehung um eine beliebige Achse erfolgt auf die gleiche Weise). Der infinitesimale Boost ist ein kleiner Boost weg von der Identität, der sich aus der Taylor-Erweiterung der Boost-Matrix erster Ordnung um ζ = 0 ergibt,

$$B_{x}=I+\zeta \left.{\frac {\partial B_{x}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}+\cdots$$

wobei die nicht dargestellten Terme höherer Ordnung vernachlässigbar sind, weil ζ klein ist, und B_x einfach die Boost-Matrix in x-Richtung ist. Die Ableitung der Matrix ist die Matrix der Ableitungen (der Einträge, in Bezug auf dieselbe Variable), und es versteht sich, dass die Ableitungen zuerst gefunden und dann bei ζ = 0 ausgewertet werden,

$$\left.{\frac {\partial B_{x}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}=-K_{x}\,.$$

ⓘ

Für den Moment ist Kx durch dieses Ergebnis definiert (seine Bedeutung wird in Kürze erläutert). Im Grenzfall einer unendlichen Anzahl von unendlich kleinen Schritten erhält man die endliche Boost-Transformation in Form eines Matrix-Exponentials

$$B_{x}=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {\zeta }{N}}K_{x}\right)^{N}=e^{-\zeta K_{x}}$$

wobei die Grenzwertdefinition des Exponentials verwendet wurde (siehe auch Charakterisierungen der Exponentialfunktion). Allgemeiner ⓘ

$$B({\boldsymbol {\zeta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }\,,\quad R({\boldsymbol {\theta }})=e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\,.$$

ⓘ

Der Achsenwinkelvektor θ und der Geschwindigkeitsvektor ζ sind insgesamt sechs kontinuierliche Variablen, die die Gruppenparameter (in dieser speziellen Darstellung) bilden, und die Generatoren der Gruppe sind K = (Kx, Ky, Kz) und J = (Jx, Jy, Jz), jeweils Vektoren von Matrizen mit den expliziten Formen ⓘ

$$K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}$$

$$J_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad J_{y}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad J_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$$

ⓘ

Diese sind alle analog zu K_x definiert, wobei die Minuszeichen in den Boost-Generatoren konventionell sind. Physikalisch gesehen entsprechen die Generatoren der Lorentz-Gruppe wichtigen Symmetrien in der Raumzeit: J sind die Rotationsgeneratoren, die dem Drehimpuls entsprechen, und K sind die Verstärkungsgeneratoren, die der Bewegung des Systems in der Raumzeit entsprechen. Die Ableitung jeder glatten Kurve C(t) mit C(0) = I in der Gruppe, die von einem Gruppenparameter t abhängt, nach diesem Gruppenparameter, ausgewertet bei t = 0, dient als Definition eines entsprechenden Gruppengenerators G, und dies spiegelt eine infinitesimale Transformation weg von der Identität wider. Die glatte Kurve kann immer als Exponential aufgefasst werden, da das Exponential G für alle t über t → exp(tG) glatt in die Gruppe zurückführt; diese Kurve ergibt wieder G, wenn sie bei t = 0 differenziert wird. ⓘ

Expandiert man die Exponentiale in ihren Taylorreihen, so erhält man

$$B({\boldsymbol {\zeta }})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}$$

$$R({\boldsymbol {\theta }})=I+\sin \theta (\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )^{2}\,.$$

die die Boost- und Rotationsmatrizen, wie im vorherigen Abschnitt angegeben, kompakt wiedergeben. ⓘ

Es wurde festgestellt, dass die allgemeine Lorentz-Transformation ein Produkt aus einer Verstärkung und einer Drehung ist. Auf der infinitesimalen Ebene ist das Produkt

$${\begin{aligned}\Lambda &=(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )\\&=(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )\\&=I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots \end{aligned}}$$

ist kommutativ, da nur lineare Terme erforderlich sind (Produkte wie (θ-J)(ζ-K) und (ζ-K)(θ-J) zählen als Terme höherer Ordnung und sind vernachlässigbar). Nimmt man den Grenzwert wie zuvor, so erhält man die endliche Transformation in Form eines Exponentials

$$\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }.$$

ⓘ

Das Umgekehrte ist auch wahr, aber die Zerlegung einer endlichen allgemeinen Lorentz-Transformation in solche Faktoren ist nicht trivial. Insbesondere, weil

$$e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\neq e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} },$$

denn die Generatoren sind nicht kommutabel. Eine Beschreibung, wie man die Faktoren einer allgemeinen Lorentz-Transformation in Form einer Verstärkung und einer Rotation prinzipiell findet (was normalerweise keinen verständlichen Ausdruck in Form der Generatoren J und K ergibt), findet sich unter Wigner-Rotation. Ist dagegen die Zerlegung in Form der Generatoren gegeben und will man das Produkt in Form der Generatoren finden, so gilt die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel. ⓘ

Die Lie-Algebra so(3,1)

Lorentz-Generatoren können addiert oder mit reellen Zahlen multipliziert werden, um weitere Lorentz-Generatoren zu erhalten. Mit anderen Worten, die Menge aller Lorentz-Generatoren

$$V=\{{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \}$$

bildet zusammen mit den Operationen der gewöhnlichen Matrixaddition und der Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl einen Vektorraum über den reellen Zahlen. Die Generatoren Jx, Jy, Jz, Kx, Ky, Kz bilden eine Basismenge von V, und die Komponenten der Achsenwinkel- und Geschwindigkeitsvektoren, θx, θy, θz, ζx, ζy, ζz, sind die Koordinaten eines Lorentz-Generators in Bezug auf diese Basis. ⓘ

Drei der Kommutationsbeziehungen der Lorentz-Generatoren sind

$$[J_{x},J_{y}]=J_{z}\,,\quad [K_{x},K_{y}]=-J_{z}\,,\quad [J_{x},K_{y}]=K_{z}\,,$$

wobei die Klammer [A, B] = AB - BA als Kommutator bezeichnet wird und die anderen Beziehungen durch zyklische Permutationen der x-, y- und z-Komponenten gefunden werden können (d. h. x wird zu y, y zu z und z zu x, Wiederholung). ⓘ

Diese Kommutationsbeziehungen und der Vektorraum der Generatoren erfüllen die Definition der Lie-Algebra ${\mathfrak {so}}(3,1)$. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass eine Lie-Algebra definiert ist als ein Vektorraum V über einem Zahlenfeld und mit einer binären Operation [ , ] (in diesem Zusammenhang Lie-Klammer genannt) auf den Elementen des Vektorraums, die die Axiome der Bilinearität, der Alternatisierung und der Jacobi-Identität erfüllt. Hier ist die Operation [ , ] der Kommutator, der alle diese Axiome erfüllt, der Vektorraum ist die Menge der Lorentz-Generatoren V, wie zuvor angegeben, und das Feld ist die Menge der reellen Zahlen. ⓘ

Verknüpfung der in der Mathematik und Physik verwendeten Terminologie: Ein Gruppengenerator ist ein beliebiges Element der Lie-Algebra. Ein Gruppenparameter ist eine Komponente eines Koordinatenvektors, der ein beliebiges Element der Lie-Algebra in Bezug auf eine Basis darstellt. Eine Basis ist also eine Menge von Generatoren, die eine Basis der Lie-Algebra im üblichen Sinne des Vektorraums darstellt. ⓘ

Die Exponentialabbildung von der Lie-Algebra zur Lie-Gruppe,

$$\exp \,:\,{\mathfrak {so}}(3,1)\to \mathrm {SO} (3,1),$$

liefert eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen ausreichend kleinen Nachbarschaften des Ursprungs der Lie-Algebra und Nachbarschaften des Identitätselements der Lie-Gruppe. Im Fall der Lorentz-Gruppe ist die Exponentialabbildung einfach die Exponentialmatrix. Im Allgemeinen ist die Exponentialabbildung nicht eineindeutig, aber im Fall der Lorentz-Gruppe ist sie surjektiv (onto). Daher kann jedes Gruppenelement in der verbundenen Komponente der Identität als Exponential eines Elements der Lie-Algebra ausgedrückt werden. ⓘ

Unzulässige Transformationen

Zu den Lorentz-Transformationen gehört auch die Paritätsinversion

$$P={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\mathbf {I} \end{bmatrix}}$$

die nur alle Raumkoordinaten negiert, und die Zeitumkehrung

$$T={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}$$

die nur die Zeitkoordinaten negiert, da diese Transformationen das Raumzeitintervall invariant lassen. Hier ist I die 3d-Identitätsmatrix. Diese sind beide symmetrisch, sie sind ihre eigenen Inversen (siehe Involution (Mathematik)) und haben jeweils die Determinante -1. Diese letzte Eigenschaft macht sie zu unzulässigen Transformationen. ⓘ

Wenn Λ eine orthochrone Lorentz-Transformation ist, dann ist TΛ improper antichronous, PΛ ist improper orthochronous und TPΛ = PTΛ ist proper antichronous. ⓘ

Inhomogene Lorentz-Gruppe

Zwei weitere Symmetrien der Raumzeit wurden nicht berücksichtigt. Damit das Raumzeitintervall invariant ist, kann gezeigt werden, dass es notwendig und hinreichend ist, dass die Koordinatentransformation von der Form ist

$$X'=\Lambda X+C$$

wobei C eine konstante Spalte ist, die Translationen in Zeit und Raum enthält. Ist C ≠ 0, so handelt es sich um eine inhomogene Lorentz- oder Poincaré-Transformation. Ist C = 0, handelt es sich um eine homogene Lorentztransformation. Poincaré-Transformationen werden in diesem Artikel nicht weiter behandelt. ⓘ

Tensor-Formulierung

Kontravariante Vektoren

Schreibt man die allgemeine Matrixtransformation von Koordinaten als Matrixgleichung

$${\begin{bmatrix}{x'}^{0}\\{x'}^{1}\\{x'}^{2}\\{x'}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\Lambda ^{0}}_{0}&{\Lambda ^{0}}_{1}&{\Lambda ^{0}}_{2}&{\Lambda ^{0}}_{3}\\{\Lambda ^{1}}_{0}&{\Lambda ^{1}}_{1}&{\Lambda ^{1}}_{2}&{\Lambda ^{1}}_{3}\\{\Lambda ^{2}}_{0}&{\Lambda ^{2}}_{1}&{\Lambda ^{2}}_{2}&{\Lambda ^{2}}_{3}\\{\Lambda ^{3}}_{0}&{\Lambda ^{3}}_{1}&{\Lambda ^{3}}_{2}&{\Lambda ^{3}}_{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{bmatrix}}$$

lässt sich die Transformation anderer physikalischer Größen definieren, die nicht als Vierervektoren ausgedrückt werden können, z. B. Tensoren oder Spinoren beliebiger Ordnung in der 4d-Raumzeit. In der entsprechenden Tensor-Index-Schreibweise lautet der obige Matrixausdruck

$${x'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }x^{\mu },$$

ⓘ

wobei die unteren und oberen Indizes die kovariante bzw. kontravariante Komponente bezeichnen und die Summationskonvention angewendet wird. Es ist üblich, griechische Indizes zu verwenden, die für die Zeitkomponenten den Wert 0 und für die Raumkomponenten die Werte 1, 2, 3 annehmen, während lateinische Indizes für die Raumkomponenten einfach die Werte 1, 2, 3 annehmen. Beachten Sie, dass der erste Index (von links nach rechts gelesen) in der Matrixnotation einem Zeilenindex entspricht. Der zweite Index entspricht dem Spaltenindex. ⓘ

Die Transformationsmatrix ist universell für alle Vierervektoren, nicht nur für 4-dimensionale Raumzeitkoordinaten. Wenn A ein beliebiger Vierervektor ist, dann ist in der Tensorindexschreibweise

$${A'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }A^{\mu }\,.$$

ⓘ

Alternativ kann man auch schreiben

$$A^{\nu '}={\Lambda ^{\nu '}}_{\mu }A^{\mu }\,.$$

wobei die Primed-Indizes die Indizes von A im Primed-Frame bezeichnen. Für ein allgemeines n-Komponenten-Objekt kann man schreiben

$${X'}^{\alpha }={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }X^{\beta }\,,$$

wobei Π die entsprechende Darstellung der Lorentz-Gruppe ist, eine n×n-Matrix für jedes Λ. In diesem Fall sollten die Indizes nicht als Raumzeit-Indizes (manchmal auch Lorentz-Indizes genannt) betrachtet werden, und sie gehen von 1 bis n. Wenn X z. B. ein Bispinor ist, werden die Indizes Dirac-Indizes genannt. ⓘ

Kovariante Vektoren

Es gibt auch Vektorgrößen mit kovarianten Indizes. Sie werden im Allgemeinen aus den entsprechenden Objekten mit kontravarianten Indizes durch die Operation des Herabsetzens eines Indexes gewonnen; z. B,

$$x_{\nu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu },$$

wobei η der metrische Tensor ist. (Der verlinkte Artikel enthält auch weitere Informationen darüber, was die Operation des Erhöhens und Verringerns von Indizes mathematisch gesehen wirklich bedeutet). Die Umkehrung dieser Transformation ist gegeben durch

$$x^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }x_{\nu },$$

wobei η^μν, als Matrizen betrachtet, die Umkehrung von η_μν ist. Es gilt: η^μν = η_μν. Dies wird als Erhöhung eines Index bezeichnet. Um einen kovarianten Vektor A_μ zu transformieren, erhöht man zunächst seinen Index, transformiert ihn dann nach der gleichen Regel wie für kontravariante 4-Vektoren und senkt schließlich den Index;

$${A'}_{\nu }=\eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }A_{\mu }.$$

ⓘ

Aber

$$\eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },$$

ⓘ

Das heißt, es ist die (μ, ν)-Komponente der inversen Lorentz-Transformation. Man definiert (als eine Frage der Notation),

$${\Lambda _{\nu }}^{\mu }\equiv {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },$$

und kann in dieser Notation schreiben

$${A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }.$$

ⓘ

Nun zu einer Spitzfindigkeit. Die implizite Summation auf der rechten Seite von

$${A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }A_{\mu }$$

läuft über einen Zeilenindex der Matrix, die Λ-1 darstellt. In Bezug auf Matrizen sollte man sich diese Transformation also als die inverse Transponierung von Λ vorstellen, die auf den Spaltenvektor A_μ wirkt. Das heißt, in reiner Matrixschreibweise,

$$A'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A.$$

ⓘ

Dies bedeutet genau, dass kovariante Vektoren (als Spaltenmatrizen gedacht) gemäß der dualen Darstellung der Standarddarstellung der Lorentz-Gruppe transformiert werden. Dieser Begriff lässt sich auf allgemeine Darstellungen verallgemeinern, indem man Λ durch Π(Λ) ersetzt. ⓘ

Tensoren

Sind A und B lineare Operatoren auf Vektorräumen U und V, so kann ein linearer Operator A ⊗ B auf dem Tensorprodukt von U und V, bezeichnet als U ⊗ V, definiert werden gemäß ⓘ

$(A\otimes B)(u\otimes v)=Au\otimes Bv,\qquad u\in U,v\in V,u\otimes v\in U\otimes V.$   (T1) ⓘ

Daraus ergibt sich unmittelbar, dass, wenn u und v Vierervektoren in V sind, dann u ⊗ v ∈ T₂V ≡ V ⊗ V transformiert als ⓘ

$u\otimes v\rightarrow \Lambda u\otimes \Lambda v={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }u^{\nu }\otimes {\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }v^{\sigma }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }u^{\nu }\otimes v^{\sigma }\equiv {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }w^{\nu \sigma }.$   (T2) ⓘ

Der zweite Schritt nutzt die Bilinearität des Tensorprodukts und der letzte Schritt definiert einen 2-Tensor in Komponentenform, oder besser gesagt, er benennt einfach den Tensor u ⊗ v um. ⓘ

Diese Beobachtungen lassen sich in offensichtlicher Weise auf weitere Faktoren verallgemeinern, und unter Verwendung der Tatsache, dass ein allgemeiner Tensor auf einem Vektorraum V als Summe eines Koeffizienten (Komponente!) mal Tensorprodukte von Basisvektoren und Basiskovektoren geschrieben werden kann, erhält man das Transformationsgesetz für eine beliebige Tensormenge T. Es ist gegeben durch ⓘ

$T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}={\Lambda ^{\alpha '}}_{\mu }{\Lambda ^{\beta '}}_{\nu }\cdots {\Lambda ^{\zeta '}}_{\rho }{\Lambda _{\theta '}}^{\sigma }{\Lambda _{\iota '}}^{\upsilon }\cdots {\Lambda _{\kappa '}}^{\zeta }T_{\sigma \upsilon \cdots \zeta }^{\mu \nu \cdots \rho },$   (T3) ⓘ

wobei Λ_χ′^ψ wie oben definiert ist. Diese Form kann im Allgemeinen auf die oben angegebene Form für allgemeine n-Komponenten-Objekte mit einer einzigen Matrix (Π(Λ)) reduziert werden, die auf Spaltenvektoren wirkt. Diese letztere Form wird manchmal bevorzugt, z. B. für den elektromagnetischen Feldtensor. ⓘ

Transformation des elektromagnetischen Feldes

Bei der Lorentz-Transformation einer elektrischen Ladung befindet sich die Ladung in dem einen oder anderen Körper in Ruhe. ⓘ

Lorentz-Transformationen können auch dazu verwendet werden, um zu veranschaulichen, dass das magnetische Feld B und das elektrische Feld E einfach verschiedene Aspekte derselben Kraft sind - der elektromagnetischen Kraft, als Folge der relativen Bewegung zwischen elektrischen Ladungen und Beobachtern. Die Tatsache, dass das elektromagnetische Feld relativistische Effekte aufweist, wird durch ein einfaches Gedankenexperiment deutlich.

• Ein Beobachter misst eine ruhende Ladung im Raum F. Der Beobachter wird ein statisches elektrisches Feld feststellen. Da die Ladung in diesem Rahmen stationär ist, gibt es keinen elektrischen Strom, so dass der Beobachter kein magnetisches Feld beobachtet.
• Der andere Beobachter im Rahmen F′ bewegt sich mit der Geschwindigkeit v relativ zu F und der Ladung. Dieser Beobachter sieht ein anderes elektrisches Feld, weil sich die Ladung mit der Geschwindigkeit -v in seinem Ruhezustand bewegt. Die Bewegung der Ladung entspricht einem elektrischen Strom, und daher sieht der Beobachter im Körper F′ auch ein magnetisches Feld. ⓘ

Das elektrische und das magnetische Feld transformieren sich anders als Raum und Zeit, aber genau so wie der relativistische Drehimpuls und der Boost-Vektor. ⓘ

Der Tensor der elektromagnetischen Feldstärke ist gegeben durch

$$F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-{\frac {1}{c}}E_{x}&-{\frac {1}{c}}E_{y}&-{\frac {1}{c}}E_{z}\\{\frac {1}{c}}E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {1}{c}}E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {1}{c}}E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}{\text{(SI units, signature }}(+,-,-,-){\text{)}}.$$

in SI-Einheiten. In der Relativitätstheorie wird das Gaußsche Einheitensystem oft den SI-Einheiten vorgezogen, selbst in Texten, in denen hauptsächlich SI-Einheiten verwendet werden, weil in diesem System das elektrische Feld E und die magnetische Induktion B dieselben Einheiten haben, was die Darstellung des elektromagnetischen Feldtensors natürlicher macht. Betrachten wir eine Lorentz-Verstärkung in x-Richtung. Er ist gegeben durch

$${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},\qquad F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}{\text{(Gaussian units, signature }}(-,+,+,+){\text{)}},$$

wobei der Feldtensor nebeneinander dargestellt ist, damit er bei den folgenden Manipulationen leicht zu finden ist. ⓘ

Das allgemeine Transformationsgesetz (T3) wird zu

$$F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }.$$

ⓘ

Für das magnetische Feld erhält man

$${\begin{aligned}B_{x'}&=F^{2'3'}={\Lambda ^{2}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{2}}_{2}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{23}=1\times 1\times B_{x}\\&=B_{x},\\B_{y'}&=F^{3'1'}={\Lambda ^{3}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{3\nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{30}+{\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{31}\\&=1\times (-\beta \gamma )(-E_{z})+1\times \gamma B_{y}=\gamma B_{y}+\beta \gamma E_{z}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{y}\\B_{z'}&=F^{1'2'}={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{1}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{1}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=(-\gamma \beta )\times 1\times E_{y}+\gamma \times 1\times B_{z}=\gamma B_{z}-\beta \gamma E_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{z}\end{aligned}}$$

ⓘ

Für das elektrische Feld ergibt sich

$${\begin{aligned}E_{x'}&=F^{0'1'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{10}+{\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{01}\\&=(-\gamma \beta )(-\gamma \beta )(-E_{x})+\gamma \gamma E_{x}=-\gamma ^{2}\beta ^{2}(E_{x})+\gamma ^{2}E_{x}=E_{x}(1-\beta ^{2})\gamma ^{2}\\&=E_{x},\\E_{y'}&=F^{0'2'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=\gamma \times 1\times E_{y}+(-\beta \gamma )\times 1\times B_{z}=\gamma E_{y}-\beta \gamma B_{z}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{y}\\E_{z'}&=F^{0'3'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{3}F^{\mu 3}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{03}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{13}\\&=\gamma \times 1\times E_{z}-\beta \gamma \times 1\times (-B_{y})=\gamma E_{z}+\beta \gamma B_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{z}.\end{aligned}}$$

ⓘ

Hier wird β = (β, 0, 0) verwendet. Diese Ergebnisse lassen sich zusammenfassen durch

$${\begin{aligned}\mathbf {E} _{\parallel '}&=\mathbf {E} _{\parallel }\\\mathbf {B} _{\parallel '}&=\mathbf {B} _{\parallel }\\\mathbf {E} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{\bot },\\\mathbf {B} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{\bot },\end{aligned}}$$

und sind unabhängig von der metrischen Signatur. Für SI-Einheiten ersetzen Sie E → E⁄c. Misner, Thorne & Wheeler (1973) bezeichnen diese letzte Form als die 3 + 1-Sichtweise im Gegensatz zur geometrischen Sichtweise, die durch den Tensorausdruck

$$F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu },$$

dargestellten geometrischen Sichtweise und weisen nachdrücklich darauf hin, dass Ergebnisse, die mit der 3+1-Sichtweise nur schwer zu erreichen sind, leicht erzielt und verstanden werden können. Nur Objekte, die gut definierte Lorentz-Transformationseigenschaften haben (in der Tat unter jeder glatten Koordinatentransformation), sind geometrische Objekte. In der geometrischen Sichtweise ist das elektromagnetische Feld ein sechsdimensionales geometrisches Objekt in der Raumzeit, im Gegensatz zu zwei voneinander abhängigen, aber getrennten 3-Vektorfeldern in Raum und Zeit. Die Felder E (allein) und B (allein) haben keine wohldefinierten Lorentztransformationseigenschaften. Die mathematischen Grundlagen sind die Gleichungen (T1) und (T2), die unmittelbar zu (T3) führen. Es ist zu beachten, dass sich die geprimten und ungeprimten Tensoren auf das gleiche Ereignis in der Raumzeit beziehen. Die vollständige Gleichung mit Raumzeitabhängigkeit lautet also

$$F^{\mu '\nu '}\left(x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }\left(\Lambda ^{-1}x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }(x).$$

ⓘ

Die Längenkontraktion wirkt sich auf die Ladungsdichte ρ und die Stromdichte J aus, und die Zeitdilatation wirkt sich auf die Fließgeschwindigkeit der Ladung (des Stroms) aus, so dass sich die Ladungs- und Stromverteilungen unter einem Boost in ähnlicher Weise verändern müssen. Es stellt sich heraus, dass sie sich genau wie die Raum-Zeit- und Energie-Impuls-Vierervektoren transformieren,

$${\begin{aligned}\mathbf {j} '&=\mathbf {j} -\gamma \rho v\mathbf {n} +\left(\gamma -1\right)(\mathbf {j} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -\mathbf {j} \cdot {\frac {v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right),\end{aligned}}$$

ⓘ

oder, in der einfacheren geometrischen Sichtweise,

$$j^{\mu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }j^{\mu }.$$

ⓘ

Die Ladungsdichte transformiert sich als die Zeitkomponente eines Vierervektors. Sie ist ein Rotationsskalar. Die Stromdichte ist ein 3-Vektor. ⓘ

Die Maxwell-Gleichungen sind invariant unter Lorentz-Transformationen. ⓘ

Spinoren

Gleichung (T1) gilt unverändert für jede Darstellung der Lorentz-Gruppe, einschließlich der Bispinor-Darstellung. In (T2) ersetzt man einfach alle Vorkommen von Λ durch die Bispinor-Darstellung Π(Λ), ⓘ

${\begin{aligned}u\otimes v\rightarrow \Pi (\Lambda )u\otimes \Pi (\Lambda )v&={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }u^{\beta }\otimes {\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }v^{\sigma }\\&={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }{\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }u^{\beta }\otimes v^{\sigma }\\&\equiv {\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }{\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }w^{\beta \sigma }\end{aligned}}$               (T4) ⓘ

Die obige Gleichung könnte z. B. die Transformation eines Zustands im Fock-Raum sein, der zwei freie Elektronen beschreibt. ⓘ

Transformation von allgemeinen Feldern

Ein allgemeiner nicht wechselwirkender Vielteilchenzustand (Fockraumzustand) in der Quantenfeldtheorie transformiert nach der Regel ⓘ

$${\begin{aligned}&U(\Lambda ,a)\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\\={}&e^{-ia_{\mu }\left[(\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots \right]}{\sqrt {\frac {(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}}\left(\sum _{\sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}}^{(j_{1})}\left[W(\Lambda ,p_{1})\right]D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})}\left[W(\Lambda ,p_{2})\right]\cdots \right)\Psi _{\Lambda p_{1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2};\cdots },\end{aligned}}$$

(1) ⓘ

wobei W(Λ, p) die Wigner-Rotation ist und D^(j) die (2j + 1)-dimensionale Darstellung von SO(3) ist. ⓘ

Eigenschaften

Lorentz-Kontraktion und Invarianz der transversalen Koordinaten

Für einen Lorentz-Boost mit beliebig gerichteter Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ lässt sich der Koordinatenvektor ${\vec {r}}=(x,y,z)$ des Ereignisses in zwei Komponenten $\textstyle {\vec {r}}={\vec {r_{\parallel }}}+{\vec {r_{\bot }}}$ zerlegen. Die Indizes $\parallel$ und $\perp$ bezeichnen dabei die parallele bzw. eine rechtwinklige Richtung zur Geschwindigkeit ${\vec {v}}$. Die transformierten Koordinaten sind dann durch ⓘ

$t'=\gamma \left(t-{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {r}}}{c^{2}}}\right),\qquad {\vec {r}}_{\parallel }'=\gamma \left({\vec {r}}_{\parallel }-{\vec {v}}t\right),\qquad {\vec {r}}_{\bot }'={\vec {r}}_{\bot }$ ⓘ

gegeben. Ein von den Beobachtern im gestrichenen System gemessener Abstand ${\vec {r}}'$ ist nur in Bewegungsrichtung ${\vec {r_{\parallel }}}$ verkürzt. Dieser Effekt wird Lorentz-Kontraktion genannt. Bei Maßstäben ${\vec {r_{\bot }}}$ senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt sich die Relativität der Gleichzeitigkeit nicht aus. Zusammengefasst lauten diese Gleichungen in der Matrixschreibweise mit Vierervektoren (und der Einheitsmatrix $I_{3}$): ${\begin{pmatrix}ct'\\{\vec {r}}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\gamma {\vec {v}}^{T}/c\\-\gamma {\vec {v}}/c&\mathrm {I} _{3}+(\gamma -1){\vec {v}}{\vec {v}}^{T}/v^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\{\vec {r}}\end{pmatrix}}$. ⓘ

Auf gleiche Weise lassen sich elektromagnetische Felder gemäß ${\vec {E}}'={\vec {E}}'_{\parallel }+{\vec {E}}'_{\perp }$ und ${\vec {B}}'={\vec {B}}'_{\parallel }+{\vec {B}}'_{\perp }$ in Komponenten zerlegen. Man erhält die (skalaren) Feldkoordinaten

${\begin{aligned}E'_{\parallel }&=E_{\parallel }\\B'_{\parallel }&=B_{\parallel }\\E'_{\perp }&=\gamma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)_{\perp }\\B'_{\perp }&=\gamma \left({\vec {B}}-{\frac {{\vec {v}}\times {\vec {E}}}{c^{2}}}\right)_{\perp }.\end{aligned}}$ ⓘ

In nichtrelativistischer Näherung, d. h. für Geschwindigkeiten $v\ll c$, gilt $\gamma \approx 1$. In diesem Fall braucht nicht zwischen Orten und Zeiten in verschiedenen Bezugssystemen unterschieden zu werden und für die Feldgrößen gilt:

${\begin{aligned}&{\vec {E}}'={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\\&{\vec {B}}'={\vec {B}}-(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}\\&{\vec {E}}={\vec {E}}'-{\vec {v}}\times {\vec {B}}'\\&{\vec {B}}={\vec {B}}'+(1/{{c}^{2}}){\vec {v}}\times {\vec {E}}'\\\end{aligned}}$ ⓘ

Herleitung

Herleitung aus Linearität und Relativitätsprinzip

Die folgenden Überlegungen klären, wie Koordinaten zusammenhängen, die inertiale Beobachter (Beobachter, die fest mit einem Inertialsystem verbunden sind) zur Benennung der Zeit und des Ortes von Ereignissen verwenden. Die Beobachter sollen hier beispielhaft Anna und Bert sein. Annas Koordinatensystem ist durch $x,y,z,t$ gegeben und Berts durch die gestrichenen Variablen $\textstyle x',y',z',t'$. Es handle sich um rechtwinklige Koordinaten. ⓘ

Linearität

Für alle gleichförmig bewegten Beobachter durchlaufen freie Teilchen gerade Weltlinien. Daher muss die Transformation Geraden auf Geraden abbilden. Mathematisch besagt dies, dass die Transformation linear ist. ⓘ

Stimmen beide Beobachter in der Wahl des Zeitnullpunkts und des räumlichen Ursprungs überein, dann ist die gesuchte Transformation linear und homogen. ⓘ

Bert bewege sich relativ zu Anna mit der Geschwindigkeit $v$. Die Koordinatensysteme werden so orientiert, dass $x,x'$ und $v$ auf einer Gerade in einer Richtung liegen. Dann kann man sich auf die Koordinaten $x,t$ beschränken. ⓘ

Die gesuchte Lorentz-Transformation lautet dann

$t'=at+bx,\quad x'=et+fx.$

Die Unbekannten $a,b,e,f$ sind nun zu bestimmen. ⓘ

Lichtkegel

Ein Lichtimpuls, den Anna zur Zeit $t=0$ am Ort $x=0$ losschickt, wird durch $x=\pm t$ beschrieben. Da die Lichtgeschwindigkeit absolut ist, muss für Bert $x'=\pm t'$ gelten. Die Gleichungen mit dem Pluszeichen erfordern $e+f=a+b$ und die Gleichungen mit dem Minuszeichen $e-f=-a+b$. Daraus folgen $e=b$ und $f=a$, und daraus

$t'=at+bx,\quad x'=bt+ax.$

Dies gilt für alle Lorentz-Transformationen, unabhängig von der Relativgeschwindigkeit der Beobachter. ⓘ

Relativgeschwindigkeit

Anna beschreibt Berts Bewegung durch $x=vt$, Bert seine eigene durch $\textstyle x'=0$. Die Lorentz-Transformation von Annas zu Berts Koordinatensystem muss diese beiden Ausdrücke ineinander überführen. Aus $\textstyle x'=bt+avt=(b+av)t=0$ folgt dann $b=-av$, also

$t'=a(t-vx),\quad x'=a(x-vt).$

Es bleibt noch der Vorfaktor $a$ zu bestimmen. Von den Koordinaten kann er nicht abhängen, sonst wäre die Lorentz-Transformation nichtlinear. Bleibt also eine Abhängigkeit von der Relativgeschwindigkeit. Man schreibt $a=a(v)$. Da die Lorentz-Transformation nicht von der Richtung von $v$ abhängen soll, gilt $a=a(|v|)$. ⓘ

Vorfaktor

Um den Vorfaktor zu bestimmen, führt man eine weitere inertiale Beobachterin Clara mit den Koordinaten $\textstyle t,x$ und der Relativgeschwindigkeit $v'$ in Bezug auf Bert ein. Die Lorentz-Transformation von Berts zu Claras Koordinaten muss wegen des Relativitätsprinzips dieselbe Form wie die obige haben, also

$t=a'(t'-v'x'),\quad x=a'(x'-v't'),$

dabei wurde $a'=a(v')$ abgekürzt. ⓘ

Man kombiniert nun die beiden Transformationen, rechnet also die Koordinaten von Anna in die von Clara um. Es reicht dazu, eine der beiden Koordinaten zu berechnen:

$t=a'(t'-v'x')=a'(a(t-vx)-v'a(x-vt))=a'a(1+vv')\left(t-{\frac {v+v'}{1+vv'}}x\right).$

Sitzt Clara neben Anna, ist $v'=-v$ und die doppelt gestrichenen Koordinaten sind gleich den ungestrichenen. Der Faktor $\textstyle (v+v')/(1+vv')$ verschwindet und der Vorfaktor $\textstyle a'a(1+v'v)=a'a(1-v^{2})$ muss gleich 1 sein. Wegen $\textstyle a(-v)a(v)\cdot (1-v^{2})=1$ und $a(-v)=a(v)$ muss dann

$a(v)={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}$

gelten. Mit der Abkürzung $\gamma =a(v)$ ist

$t'=\gamma (t-vx),\quad x'=\gamma (x-vt).$

Die Lorentz-Transformationen lauten daher

$t'=\gamma \left(t-\left({\frac {v}{c^{2}}}\right)x\right),\qquad x'=\gamma (x-vt),\qquad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}.$ ⓘ

Empirische Herleitung

Howard P. Robertson und andere zeigten, dass die Lorentz-Transformation auch empirisch hergeleitet werden kann. Dazu ist es nötig, allgemeine Transformationsformeln zwischen verschiedenen Inertialsystemen mit experimentell bestimmbaren Parametern zu versehen. Es wird angenommen, dass ein einziges „bevorzugtes“ Inertialsystem $X,Y,Z,T$ existiert, in dem die Lichtgeschwindigkeit konstant, isotrop und unabhängig von der Geschwindigkeit der Quelle ist. Ebenso sollen Einstein-Synchronisation und Synchronisation durch langsamen Uhrentransport in diesem System äquivalent sein. Es sei ein weiteres, zu diesem System kollineares System $x,y,z,t$ gegeben, dessen räumlicher Ursprung zum Zeitpunkt $T=t=0$ mit dem Ursprung des ersten Systems übereinstimmt und in dem die Uhren und Maßstäbe dieselbe interne Konstitution haben wie im ersten System. Dieses zweite System bewegt sich relativ zum ersten System mit konstanter Geschwindigkeit entlang der gemeinsamen $X$-Achse. Folgende Größen bleiben dabei zunächst unbestimmt:

• $a(v)$ Unterschiede in der Zeitmessung,
• $b(v)$ Unterschiede in der Messung longitudinaler Längen,
• $d(v)$ Unterschiede in der Messung transversaler Längen,
• $\varepsilon (v)$ folgt aus der Konvention zur Uhrensynchronisation. ⓘ

Daraus ergeben sich folgende Transformationsformeln:

${\begin{aligned}t&=a(v)T+\varepsilon (v)x\\x&=b(v)(X-vT)\\y&=d(v)Y\\z&=d(v)Z\end{aligned}}$ ⓘ

$\varepsilon (v)$ wird nicht direkt gemessen, sondern folgt aus der Uhrensynchronisationskonvention. Hier ist die Einstein-Synchronisation die einfachste Möglichkeit, woraus sich $\textstyle \varepsilon (v)=-v/c^{2}$ ergibt. Das Verhältnis zwischen $b(v)$ und $d(v)$ wird aus dem Michelson-Morley-Experiment, das Verhältnis zwischen $a(v)$ und $b(v)$ aus dem Kennedy-Thorndike-Experiment und schließlich $a(v)$ allein aus dem Ives-Stilwell-Experiment bestimmt. Die Experimente ergaben $\textstyle 1/a(v)=b(v)=\gamma$ und $d(v)=1$, was obige Transformation in die Lorentz-Transformation überführt. Hingegen wurde die Galilei-Transformation $a(v)=b(v)=d(v)=1$ damit ausgeschlossen. ⓘ