Navier-Stokes-Gleichungen

Claude-Louis Navier

George Gabriel Stokes ⓘ

In der Physik sind die Navier-Stokes-Gleichungen (/nævˈjeɪ stoʊks/ nav-YAY STOHKS) bestimmte partielle Differentialgleichungen, die die Bewegung viskoser flüssiger Stoffe beschreiben und nach dem französischen Ingenieur und Physiker Claude-Louis Navier und dem anglo-irischen Physiker und Mathematiker George Gabriel Stokes benannt sind. Sie wurden über mehrere Jahrzehnte entwickelt, in denen die Theorien schrittweise ausgebaut wurden, von 1822 (Navier) bis 1842-1850 (Stokes). ⓘ

Die Navier-Stokes-Gleichungen drücken mathematisch die Impulserhaltung und die Erhaltung der Masse für Newtonsche Flüssigkeiten aus. Sie werden manchmal von einer Zustandsgleichung begleitet, die Druck, Temperatur und Dichte miteinander verbindet. Sie ergeben sich aus der Anwendung des zweiten Gesetzes von Isaac Newton auf die Flüssigkeitsbewegung und der Annahme, dass die Spannung in der Flüssigkeit die Summe eines diffundierenden viskosen Terms (proportional zum Geschwindigkeitsgradienten) und eines Druckterms ist - und somit eine viskose Strömung beschreibt. Der Unterschied zwischen den Navier-Stokes-Gleichungen und den eng verwandten Euler-Gleichungen besteht darin, dass die Navier-Stokes-Gleichungen die Viskosität berücksichtigen, während die Euler-Gleichungen nur eine nicht viskose Strömung beschreiben. Infolgedessen sind die Navier-Stokes-Gleichungen parabolische Gleichungen und haben daher bessere analytische Eigenschaften, allerdings auf Kosten einer geringeren mathematischen Struktur (z. B. sind sie nie vollständig integrierbar). ⓘ

Die Navier-Stokes-Gleichungen sind nützlich, weil sie die Physik vieler Phänomene von wissenschaftlichem und technischem Interesse beschreiben. Sie können zur Modellierung des Wetters, der Meeresströmungen, der Wasserströmung in einem Rohr und der Luftströmung um einen Flügel verwendet werden. Die Navier-Stokes-Gleichungen in ihrer vollständigen und vereinfachten Form helfen bei der Konstruktion von Flugzeugen und Autos, bei der Untersuchung der Blutströmung, bei der Planung von Kraftwerken, bei der Analyse der Umweltverschmutzung und bei vielen anderen Dingen. In Verbindung mit den Maxwellschen Gleichungen können sie zur Modellierung und Untersuchung der Magnetohydrodynamik verwendet werden. ⓘ

Die Navier-Stokes-Gleichungen sind auch aus rein mathematischer Sicht von großem Interesse. Trotz ihres breiten Spektrums an praktischen Anwendungen konnte noch nicht bewiesen werden, ob glatte Lösungen immer in drei Dimensionen existieren, d. h. ob sie an allen Punkten des Gebiets unendlich differenzierbar (oder auch nur begrenzt) sind. Dies wird als das Navier-Stokes-Existenz- und Glättungsproblem bezeichnet. Das Clay Mathematics Institute hat dieses Problem als eines der sieben wichtigsten offenen Probleme der Mathematik bezeichnet und einen Preis in Höhe von 1 Million US-Dollar für eine Lösung oder ein Gegenbeispiel ausgelobt. ⓘ

Im engeren Sinne, insbesondere in der Physik, ist mit Navier-Stokes-Gleichungen die Impulsgleichung für Strömungen gemeint. Im weiteren Sinne, insbesondere in der numerischen Strömungsmechanik, wird diese Impulsgleichung um die Kontinuitätsgleichung und die Energiegleichung erweitert und bildet dann ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Dieses ist das grundlegende mathematische Modell der Strömungsmechanik. Insbesondere bilden die Gleichungen Turbulenz und Grenzschichten ab. Eine Entdimensionalisierung der Navier-Stokes-Gleichungen liefert diverse dimensionslose Kennzahlen wie die Reynolds-Zahl oder die Prandtl-Zahl. ⓘ

Strömungsgeschwindigkeit

Die Lösung der Gleichungen ist eine Strömungsgeschwindigkeit. Es handelt sich dabei um ein Vektorfeld, das für jeden Punkt in einer Flüssigkeit zu jedem Zeitpunkt in einem Zeitintervall einen Vektor liefert, dessen Richtung und Größe der Geschwindigkeit der Flüssigkeit an diesem Punkt im Raum und zu diesem Zeitpunkt entsprechen. Sie wird in der Regel in drei räumlichen Dimensionen und einer zeitlichen Dimension untersucht, obwohl auch zwei (räumliche) Dimensionen und stationäre Fälle oft als Modelle verwendet werden und höherdimensionale Analoga sowohl in der reinen als auch in der angewandten Mathematik untersucht werden. Sobald das Geschwindigkeitsfeld berechnet ist, können andere interessante Größen wie Druck oder Temperatur mit Hilfe dynamischer Gleichungen und Beziehungen ermittelt werden. Dies unterscheidet sich von dem, was man normalerweise in der klassischen Mechanik sieht, wo Lösungen typischerweise Trajektorien der Position eines Teilchens oder der Auslenkung eines Kontinuums sind. Bei einer Flüssigkeit ist es sinnvoller, die Geschwindigkeit anstelle der Position zu untersuchen, obwohl man zur Veranschaulichung verschiedene Trajektorien berechnen kann. Insbesondere sind die Stromlinien eines Vektorfeldes, die als Strömungsgeschwindigkeit interpretiert werden, die Bahnen, auf denen sich ein masseloses Fluidteilchen bewegen würde. Diese Bahnen sind die Integralkurven, deren Ableitung in jedem Punkt gleich dem Vektorfeld ist, und sie können das Verhalten des Vektorfeldes zu einem bestimmten Zeitpunkt visuell darstellen. ⓘ

Allgemeine Kontinuumsgleichungen

Die Navier-Stokes-Impulsgleichung kann als eine besondere Form der Cauchy-Impulsgleichung abgeleitet werden, deren allgemeine konvektive Form lautet

$${\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {g}$$

Setzt man den Cauchy-Spannungstensor σ als Summe eines Viskositätsterms τ (die deviatorische Spannung) und eines Druckterms -pI (volumetrische Spannung), so erhält man ⓘ

Cauchy-Impuls-Gleichung (konvektive Form)

$\rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {g}$ ⓘ

wobei

• D/Dt ist die Materialableitung, definiert als ∂/∂t + u ⋅ ∇,
• ρ ist die Dichte,
• u ist die Strömungsgeschwindigkeit,
• ∇ ⋅ ist die Divergenz,
• p ist der Druck,
• t ist die Zeit,
• τ ist der deviatorische Spannungstensor, der die Ordnung 2 hat,
• g steht für Körperbeschleunigungen, die auf das Kontinuum einwirken, z. B. Schwerkraft, Trägheitsbeschleunigungen, elektrostatische Beschleunigungen usw, ⓘ

In dieser Form ist es offensichtlich, dass sich die Cauchy-Gleichungen unter der Annahme eines nicht viskosen Fluids - keine deviatorische Spannung - auf die Euler-Gleichungen reduzieren. ⓘ

Unter der Annahme der Massenerhaltung können wir die Massenkontinuitätsgleichung (oder einfach die Kontinuitätsgleichung) verwenden,

$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} )=0$$

um zur Erhaltungsform der Bewegungsgleichungen zu gelangen. Dies wird oft geschrieben:

Cauchy-Impuls-Gleichung (Erhaltungsform)

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \,\mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )=-\nabla p+\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}+\rho \,\mathbf {g}$ ⓘ

wobei ⊗ das äußere Produkt ist:

$$\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\mathrm {T} }.$$

ⓘ

Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Beschleunigung und kann sich aus zeitabhängigen und konvektiven Komponenten zusammensetzen (sowie aus den Auswirkungen von Nicht-Inertialkoordinaten, falls vorhanden). Die rechte Seite der Gleichung ist im Grunde eine Summierung von hydrostatischen Effekten, der Divergenz der deviatorischen Spannung und von Körperkräften (wie der Schwerkraft). ⓘ

Alle nichtrelativistischen Gleichgewichtsgleichungen, wie die Navier-Stokes-Gleichungen, lassen sich ableiten, indem man mit den Cauchy-Gleichungen beginnt und den Spannungstensor durch eine konstitutive Beziehung spezifiziert. Indem man den deviatorischen (Scher-)Spannungstensor als Ausdruck der Viskosität und des Geschwindigkeitsgradienten des Fluids ausdrückt und eine konstante Viskosität annimmt, führen die obigen Cauchy-Gleichungen zu den folgenden Navier-Stokes-Gleichungen. ⓘ

Konvektive Beschleunigung

Ein Beispiel für Konvektion. Obwohl die Strömung stetig (zeitunabhängig) sein kann, verlangsamt sich das Fluid auf seinem Weg durch den divergierenden Kanal (unter der Annahme einer inkompressiblen oder subsonischen kompressiblen Strömung), so dass eine Beschleunigung über die Position stattfindet. ⓘ

Ein wesentliches Merkmal der Cauchy-Gleichung und folglich aller anderen Kontinuumsgleichungen (einschließlich der Euler- und Navier-Stokes-Gleichungen) ist das Vorhandensein einer konvektiven Beschleunigung: der Effekt der Beschleunigung einer Strömung in Bezug auf den Raum. Während einzelne Flüssigkeitsteilchen in der Tat eine zeitabhängige Beschleunigung erfahren, ist die konvektive Beschleunigung des Strömungsfeldes ein räumlicher Effekt, ein Beispiel ist die Beschleunigung der Flüssigkeit in einer Düse. ⓘ

Komprimierbare Strömung

Anmerkung: Der Cauchy-Spannungstensor wird hier mit σ bezeichnet (anstelle von τ wie in den allgemeinen Kontinuumsgleichungen und im Abschnitt über inkompressible Strömungen). ⓘ

Die kompressible Impuls-Navier-Stokes-Gleichung ergibt sich aus den folgenden Annahmen über den Cauchy-Spannungstensor:

• Die Spannung ist galileisch invariant: Sie hängt nicht direkt von der Strömungsgeschwindigkeit ab, sondern nur von den räumlichen Ableitungen der Strömungsgeschwindigkeit. Die Spannungsvariable ist also der Tensorgradient ∇u.
• die Spannung ist linear in dieser Variablen: σ(∇u) = C : (∇u), wobei C der Tensor vierter Ordnung ist, der die Proportionalitätskonstante, den sogenannten Viskositäts- oder Elastizitätstensor, darstellt, und : das Doppelpunktprodukt ist.
• Da der Spannungstensor symmetrisch ist, kann er durch Helmholtz-Zerlegung in zwei skalaren Lamé-Parametern ausgedrückt werden, der zweiten Viskosität λ und der dynamischen Viskosität μ, wie es in der linearen Elastizität üblich ist:
  Lineare Spannungskonstitutivgleichung (Ausdruck für elastische Festkörper)

  ${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}$

  wobei I der Identitätstensor, ε(∇u) ≡ 1/2∇u + 1/2(∇u)^T der Dehnungstensor und ∇ ⋅ u die Ausdehnungsrate der Strömung ist. Diese Zerlegung kann also explizit definiert werden als:

  $${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).$$
  ⓘ

Da die Spur des Dehnungstensors in drei Dimensionen ist:

$$\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .$$

ⓘ

Die Spur des Spannungstensors in drei Dimensionen wird zu:

$$\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .$$

ⓘ

Also durch alternative Zerlegung des Spannungstensors in einen isotropen und einen deviatorischen Teil, wie in der Fluiddynamik üblich:

$${\boldsymbol {\sigma }}=\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)$$

ⓘ

Durch die Einführung der Volumenviskosität ζ,

$$\zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,$$

ⓘ

erhalten wir die lineare konstitutive Gleichung in der in der Thermohydraulik üblichen Form:

Lineare Spannungskonstitutivgleichung (für Flüssigkeiten verwendeter Ausdruck)

${\boldsymbol {\sigma }}=\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]$ ⓘ

Sowohl die zweite Viskosität ζ als auch die dynamische Viskosität μ müssen nicht konstant sein - im Allgemeinen hängen sie von zwei thermodynamischen Variablen ab, wenn das Fluid eine einzige chemische Spezies enthält, beispielsweise von Druck und Temperatur. Jede Gleichung, die einen dieser Transportkoeffizienten in den Erhaltungsvariablen explizit macht, wird als Zustandsgleichung bezeichnet. ⓘ

Die allgemeinste der Navier-Stokes-Gleichungen lautet

Navier-Stokes-Impulsgleichung (konvektive Form)

$\rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right\}+\rho \mathbf {g} .$

Abgesehen von seiner Abhängigkeit von Druck und Temperatur ist der zweite Viskositätskoeffizient auch vom Prozess abhängig, d. h. der zweite Viskositätskoeffizient ist nicht nur eine Materialeigenschaft. Im Falle einer Schallwelle mit einer bestimmten Frequenz, die ein flüssiges Element abwechselnd komprimiert und ausdehnt, hängt der zweite Viskositätskoeffizient beispielsweise von der Frequenz der Welle ab. Diese Abhängigkeit wird als Dispersion bezeichnet. In einigen Fällen kann die zweite Viskosität ζ als konstant angenommen werden. In diesem Fall hat die Volumenviskosität ζ zur Folge, dass der mechanische Druck nicht dem thermodynamischen Druck entspricht, wie unten gezeigt wird. Da

$$\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),$$

kann man einen modifizierten Druck einführen

$${\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,$$

wird der Term, der der zweiten Viskosität entspricht, entfernt. Dieser Unterschied wird jedoch in der Regel vernachlässigt (d. h. immer dann, wenn wir uns nicht mit Prozessen wie Schallabsorption und Dämpfung von Stoßwellen befassen, bei denen der zweite Viskositätskoeffizient wichtig wird), indem ausdrücklich ζ = 0 angenommen wird. Die Annahme, dass ζ = 0 ist, wird als Stokes-Hypothese bezeichnet. Die Gültigkeit der Stokes-Hypothese kann für einatomige Gase sowohl experimentell als auch anhand der kinetischen Theorie nachgewiesen werden; für andere Gase und Flüssigkeiten ist die Stokes-Hypothese im Allgemeinen nicht korrekt. Mit der Stokes-Hypothese werden die Navier-Stokes-Gleichungen zu

Navier-Stokes-Impulsgleichung (konvektive Form)

$\rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\nabla \cdot \left\{\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]\right\}+\rho \mathbf {g} .$ ⓘ

Wenn die dynamische Viskosität μ ebenfalls als konstant angenommen wird, können die Gleichungen weiter vereinfacht werden. Durch Berechnung der Divergenz des Spannungstensors, da die Divergenz des Tensors ∇u ∇²u und die Divergenz des Tensors (∇u)T ∇(∇ ⋅ u) ist, gelangt man schließlich zur kompressiblen (allgemeinsten) Navier-Stokes-Impulsgleichung:

Navier-Stokes-Impulsgleichung (konvektive Form)

$\rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\tfrac {1}{3}}\mu \,\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\rho \mathbf {g} .$ ⓘ

wobei D/Dt die materielle Ableitung ist. Die linke Seite geht in die Erhaltungsform der Navier-Stokes-Impulsgleichung über:

Navier-Stokes-Impulsgleichung (Erhaltungsform)

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \,\mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \,\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )=-\nabla p+\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\tfrac {1}{3}}\mu \,\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\rho \mathbf {g} .$

Die Bulk-Viskosität wird als konstant angenommen, andernfalls sollte sie nicht aus der letzten Ableitung herausgenommen werden. Der konvektive Beschleunigungsterm kann auch wie folgt geschrieben werden

$$\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\tfrac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2},$$

wobei der Vektor (∇ × u) × u als Lamb-Vektor bezeichnet wird. ⓘ

Für den Spezialfall einer inkompressiblen Strömung wird die Strömung durch den Druck so eingeschränkt, dass das Volumen der Fluidelemente konstant ist: isochore Strömung, die zu einem solenoidalen Geschwindigkeitsfeld mit ∇ ⋅ u = 0 führt. ⓘ

Inkompressible Strömung

Die inkompressible Impuls-Navier-Stokes-Gleichung ergibt sich aus den folgenden Annahmen über den Cauchy-Spannungstensor:

• Die Spannung ist galileisch invariant: Sie hängt nicht direkt von der Strömungsgeschwindigkeit ab, sondern nur von den räumlichen Ableitungen der Strömungsgeschwindigkeit. Die Spannungsvariable ist also der Tensorgradient ∇u.
• das Fluid wird als isotrop angenommen, wie bei Gasen und einfachen Flüssigkeiten, und folglich ist τ ein isotroper Tensor; außerdem kann der deviatorische Spannungstensor durch die dynamische Viskosität μ ausgedrückt werden:
  Stokes'sche Spannungskonstitutivgleichung (Ausdruck für inkompressible elastische Festkörper)

  ${\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}$

  wobei

  $${\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)$$
  ist der Tensor der Dehnungsrate. Diese Zerlegung kann also explizit gemacht werden als:
  Stokes'sche Spannungskonstitutivgleichung (Ausdruck für inkompressible viskose Flüssigkeiten)

  ${\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\right)$ ⓘ

Die dynamische Viskosität μ muss nicht konstant sein - in inkompressiblen Strömungen kann sie von der Dichte und vom Druck abhängen. Jede Gleichung, die einen dieser Transportkoeffizienten in den konservativen Variablen explizit macht, wird als Zustandsgleichung bezeichnet. ⓘ

Die Divergenz der deviatorischen Spannung ist gegeben durch:

$$\nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u}$$

denn ∇ ⋅ u = 0 für ein inkompressibles Fluid. ⓘ

Inkompressibilität schließt Dichte- und Druckwellen wie Schall oder Stoßwellen aus, so dass diese Vereinfachung nicht sinnvoll ist, wenn diese Phänomene von Interesse sind. Die Annahme der inkompressiblen Strömung gilt in der Regel für alle Flüssigkeiten bei niedrigen Mach-Zahlen (z. B. bis etwa Mach 0,3), z. B. für die Modellierung von Luftwinden bei normalen Temperaturen. Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen lassen sich am besten darstellen, indem man durch die Dichte dividiert:

Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen (konvektive Form)

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {g} .$ ⓘ

Wenn die Dichte im gesamten Flüssigkeitsbereich konstant ist, oder mit anderen Worten, wenn alle Flüssigkeitselemente die gleiche Dichte haben, $\rho =\rho _{0}$dann haben wir ⓘ

Inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen (konvektive Form)

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla \left({\frac {p}{\rho _{0}}}\right)+\mathbf {g} .$ ⓘ

wobei 𝜈 = μ/ρ₀ die kinematische Viskosität ist.

Beispiel für eine laminare Strömung

Geschwindigkeitsprofil (laminare Strömung):

$$u(x)=0,\quad u(y)=u,\quad u(z)=0$$

Vereinfachen Sie für die y-Richtung die Navier-Stokes-Gleichung:

$$0=-{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}+\mu \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}\right)$$

Integrieren Sie zweimal, um das Geschwindigkeitsprofil mit den Randbedingungen y = h, u = 0, y = -h, u = 0 zu erhalten:

$$u={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}y^{2}+Ay+B$$

Setzen Sie in diese Gleichung die beiden Randbedingungen ein, um zwei Gleichungen zu erhalten:

$${\begin{aligned}0&={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}+Ah+B\\0&={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}-Ah+B\end{aligned}}$$

Addieren und lösen für B:

$$B=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}h^{2}$$

Substituieren und lösen Sie für A:

$$A=0$$

Dies ergibt schließlich das Geschwindigkeitsprofil:

$$u={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} x}}\left(y^{2}-h^{2}\right)$$

ⓘ

Es lohnt sich, die Bedeutung der einzelnen Terme zu beachten (vgl. die Cauchy-Impulsgleichung):

$$\overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Variation}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convection}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}\overbrace {-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.$$

ⓘ

Der Term höherer Ordnung, nämlich die Schubspannungsdivergenz ∇ ⋅ τ, hat sich einfach auf den Vektor-Laplacian-Term μ∇²u reduziert. Dieser Laplacian-Term kann als die Differenz zwischen der Geschwindigkeit in einem Punkt und der mittleren Geschwindigkeit in einem kleinen umgebenden Volumen interpretiert werden. Dies bedeutet, dass die Viskosität bei einer Newtonschen Flüssigkeit als Impulsdiffusion wirkt, ähnlich wie die Wärmeleitung. Vernachlässigt man den Konvektionsterm, so führen die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen zu einer Vektor-Diffusionsgleichung (nämlich den Stokes-Gleichungen), aber im Allgemeinen ist der Konvektionsterm vorhanden, so dass die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen zur Klasse der Konvektions-Diffusions-Gleichungen gehören. ⓘ

In dem üblichen Fall, dass ein äußeres Feld ein konservatives Feld ist:

$$\mathbf {g} =-\nabla \varphi$$

durch Definition der hydraulischen Förderhöhe:

$$h\equiv w+\varphi$$

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kann man schließlich die gesamte Quelle in einem Term zusammenfassen und erhält so die inkompressible Navier-Stokes-Gleichung mit konservativem äußerem Feld:

$${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h.$$

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Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen mit konservativem äußerem Feld sind die Grundgleichungen der Hydraulik. Der Bereich für diese Gleichungen ist in der Regel ein dreidimensionaler oder kleiner euklidischer Raum, für den ein orthogonaler Koordinatenreferenzrahmen festgelegt wird, um das System der zu lösenden skalaren partiellen Differentialgleichungen zu explizieren. Im dreidimensionalen Raum gibt es drei orthogonale Koordinatensysteme: kartesische, zylindrische und sphärische. Die Formulierung der Navier-Stokes-Vektorgleichung in kartesischen Koordinaten ist recht einfach und wird durch die Anzahl der Dimensionen des verwendeten euklidischen Raums kaum beeinflusst, und dies gilt auch für die Terme erster Ordnung (wie die Variations- und Konvektionsterme) in nicht-kartesischen orthogonalen Koordinatensystemen. Für die Terme höherer Ordnung (die beiden aus der Divergenz der deviatorischen Spannung stammenden Terme, die die Navier-Stokes-Gleichungen von den Euler-Gleichungen unterscheiden) ist jedoch etwas Tensorkalkül erforderlich, um einen Ausdruck in nichtkartesischen orthogonalen Koordinatensystemen abzuleiten. ⓘ

Die inkompressible Navier-Stokes-Gleichung ist zusammengesetzt, d. h. sie ist die Summe zweier orthogonaler Gleichungen,

$${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}&=\Pi ^{S}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{S}\\\rho ^{-1}\,\nabla p&=\Pi ^{I}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{I}\end{aligned}}$$

wobei ΠS und Π^I solenoidale und irrotationale Projektionsoperatoren sind, die die Bedingung ΠS + Π^I = 1 erfüllen, und fS und f^I die nicht konservativen und konservativen Teile der Körperkraft sind. Dieses Ergebnis ergibt sich aus dem Helmholtz-Theorem (auch bekannt als der fundamentale Satz der Vektorrechnung). Die erste Gleichung ist eine drucklose Regelgleichung für die Geschwindigkeit, während die zweite Gleichung für den Druck ein Funktional der Geschwindigkeit ist und mit der Druck-Poisson-Gleichung zusammenhängt. ⓘ

Die explizite funktionale Form des Projektionsoperators in 3D ergibt sich aus dem Helmholtz-Theorem:

$$\Pi ^{S}\,\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int {\frac {\nabla ^{\prime }\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V',\quad \Pi ^{I}=1-\Pi ^{S}$$

mit einer ähnlichen Struktur in 2D. Somit ist die herrschende Gleichung eine Integro-Differentialgleichung ähnlich dem Coulomb- und dem Biot-Savart-Gesetz, die für numerische Berechnungen nicht geeignet ist. ⓘ

Eine äquivalente schwache oder Variationsform der Gleichung, die nachweislich die gleiche Geschwindigkeitslösung wie die Navier-Stokes-Gleichung liefert, ist gegeben durch,

$$\left(\mathbf {w} ,{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} ,\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} {\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} :\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\mathbf {w} ,\mathbf {f} ^{S}\right)$$

ⓘ

für divergenzfreie Testfunktionen w, die geeignete Randbedingungen erfüllen. Hier werden die Projektionen durch die Orthogonalität der Solenoid- und Irrotationsfunktionsräume erreicht. Die diskrete Form eignet sich hervorragend für die Finite-Elemente-Berechnung von divergenzfreien Strömungen, wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden. Dort wird man die Frage beantworten können: "Wie spezifiziert man druckgetriebene (Poiseuille-) Probleme mit einer drucklosen Gleichung?". ⓘ

Das Fehlen von Druckkräften in der herrschenden Geschwindigkeitsgleichung zeigt, dass es sich nicht um eine dynamische Gleichung handelt, sondern um eine kinematische Gleichung, bei der die Bedingung der Divergenzfreiheit die Rolle einer Erhaltungsgleichung übernimmt. Dies alles scheint die häufigen Aussagen zu widerlegen, dass der inkompressible Druck die divergenzfreie Bedingung erzwingt. ⓘ

Schwache Form der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

Starke Form

Betrachten wir die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen für ein Newtonsches Fluid mit konstanter Dichte ρ in einem Gebiet

$$\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}\quad (d=2,3)$$

mit der Begrenzung

$$\partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N},$$

wobei Γ_D und Γ_N Teile des Randes sind, auf die eine Dirichlet- bzw. eine Neumann-Randbedingung angewendet wird (Γ_D ∩ Γ_N = ∅):

$${\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}-\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)={\boldsymbol {f}}&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}=0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {g}}&{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\\sigma ({\boldsymbol {u}},p){\boldsymbol {\hat {n}}}={\boldsymbol {h}}&{\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\{\boldsymbol {u}}(0)={\boldsymbol {u}}_{0}&{\text{ in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}$$

u ist die Flüssigkeitsgeschwindigkeit, p der Flüssigkeitsdruck, f ein gegebener Zwangsterm, n̂ der nach außen gerichtete Einheitsnormalvektor zu Γ_N und σ(u, p) der viskose Spannungstensor, definiert als:

$${\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)=-p{\boldsymbol {I}}+2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}}).$$

μ sei die dynamische Viskosität des Fluids, I der Identitätstensor zweiter Ordnung und ε(u) der Tensor der Dehnungsgeschwindigkeit, definiert als:

$${\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})={\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)+\left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)^{\mathrm {T} }\right).$$

Die Funktionen g und h sind gegebene Dirichlet- und Neumann-Randdaten, während u₀ die Anfangsbedingung ist. Die erste Gleichung ist die Impulsbilanzgleichung, während die zweite Gleichung die Massenerhaltung darstellt, nämlich die Kontinuitätsgleichung. Unter der Annahme einer konstanten dynamischen Viskosität wird mit Hilfe der vektoriellen Identität

$$\nabla \cdot \left(\nabla {\boldsymbol {f}}\right)^{\mathrm {T} }=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {f}})$$

und unter Ausnutzung der Massenerhaltung kann die Divergenz des Gesamtspannungstensors in der Impulsgleichung auch wie folgt ausgedrückt werden:

$${\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {u}},p)&=\nabla \cdot {\bigl (}-p{\boldsymbol {I}}+2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}}){\bigr )}\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}})\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot \left[{\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)+\left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)^{\mathrm {T} }\right)\right]\\[5pt]&=-\nabla p+\mu \left(\Delta {\boldsymbol {u}}+\nabla \cdot \left(\nabla {\boldsymbol {u}}\right)^{\mathrm {T} }\right)\\&=-\nabla p+\mu {\bigl (}\Delta {\boldsymbol {u}}+\nabla \underbrace {(\nabla \cdot {\boldsymbol {u}})} _{=0}{\bigr )}=-\nabla p+\mu \,\Delta {\boldsymbol {u}}.\end{aligned}}$$

Außerdem ist zu beachten, dass die Neumann-Randbedingungen umgeordnet werden können als:

$$\sigma ({\boldsymbol {u}},p){\boldsymbol {\hat {n}}}={\bigl (}-p{\boldsymbol {I}}+2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}({\boldsymbol {u}}){\bigr )}{\boldsymbol {\hat {n}}}=-p{\boldsymbol {\hat {n}}}+\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}.$$

ⓘ

Schwache Form

Um die schwache Form der Navier-Stokes-Gleichungen zu finden, betrachten wir zunächst die Impulsgleichung

$$\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}-\mu \Delta {\boldsymbol {u}}+\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}+\nabla p={\boldsymbol {f}}$$

mit einer Testfunktion v, die in einem geeigneten Raum V definiert ist, multiplizieren und beide Glieder in Bezug auf den Bereich Ω integrieren:

$$\int _{\Omega }\rho {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}\cdot {\boldsymbol {v}}-\int _{\Omega }\mu \Delta {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\nabla p\cdot {\boldsymbol {v}}=\int _{\Omega }{\boldsymbol {f}}\cdot {\boldsymbol {v}}$$

Gegenintegration nach Teilen des Diffusions- und des Druckterms und Anwendung des Gaußschen Lehrsatzes:

$${\begin{aligned}-\int _{\Omega }\mu \Delta {\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}&=\int _{\Omega }\mu \nabla {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}-\int _{\partial \Omega }\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}\cdot {\boldsymbol {v}}\\[5pt]\int _{\Omega }\nabla p\cdot {\boldsymbol {v}}&=-\int _{\Omega }p\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\partial \Omega }p{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\hat {n}}}\end{aligned}}$$

ⓘ

Wenn man diese Beziehungen verwendet, erhält man:

$$\int _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\mu \nabla {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}-\int _{\Omega }p\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=\int _{\Omega }{\boldsymbol {f}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}-p{\boldsymbol {\hat {n}}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}\quad \forall {\boldsymbol {v}}\in V.$$

Auf die gleiche Weise wird die Kontinuitätsgleichung für eine Testfunktion q multipliziert, die zu einem Raum Q gehört, und in den Bereich Ω integriert:

$$\int _{\Omega }q\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}=0.\quad \forall q\in Q.$$

Die Raumfunktionen werden wie folgt gewählt:

$${\begin{aligned}V=\left[H_{0}^{1}(\Omega )\right]^{d}&=\left\{{\boldsymbol {v}}\in \left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}:\quad {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}{\text{ on }}\Gamma _{D}\right\},\\[5pt]Q&=L^{2}(\Omega )\end{aligned}}$$

In Anbetracht der Tatsache, dass die Testfunktion v auf der Dirichlet-Grenze verschwindet, und unter Berücksichtigung der Neumann-Bedingung kann das Integral auf der Grenze wie folgt umgeordnet werden:

$$\int _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}-p{\boldsymbol {\hat {n}}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}=\underbrace {\int _{\Gamma _{D}}\left(\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}-p{\boldsymbol {\hat {n}}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}} _{{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}{\text{ on }}\Gamma _{D}\ }+\int _{\Gamma _{N}}\underbrace {\left(\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\boldsymbol {\hat {n}}}}}-p{\boldsymbol {\hat {n}}}\right)} _{={\boldsymbol {h}}{\text{ on }}\Gamma _{N}}\cdot {\boldsymbol {v}}=\int _{\Gamma _{N}}{\boldsymbol {h}}\cdot {\boldsymbol {v}}.$$

Vor diesem Hintergrund lässt sich die schwache Formulierung der Navier-Stokes-Gleichungen wie folgt ausdrücken:

$${\begin{aligned}&{\text{find }}{\boldsymbol {u}}\in L^{2}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}\right)\cap C^{0}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[L^{2}(\Omega )\right]^{d}\right){\text{ such that: }}\\[5pt]&\quad {\begin{cases}\displaystyle \int _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\mu \nabla {\boldsymbol {u}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}+\int _{\Omega }\rho ({\boldsymbol {u}}\cdot \nabla ){\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {v}}-\int _{\Omega }p\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=\int _{\Omega }{\boldsymbol {f}}\cdot {\boldsymbol {v}}+\int _{\Gamma _{N}}{\boldsymbol {h}}\cdot {\boldsymbol {v}}\quad \forall {\boldsymbol {v}}\in V,\\\displaystyle \int _{\Omega }q\nabla \cdot {\boldsymbol {u}}=0\quad \forall q\in Q.\end{cases}}\end{aligned}}$$

ⓘ

Diskrete Geschwindigkeit

Mit der Partitionierung des Problembereichs und der Definition von Basisfunktionen auf dem partitionierten Bereich lautet die diskrete Form der herrschenden Gleichung

$$\left(\mathbf {w} _{i},{\frac {\partial \mathbf {u} _{j}}{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {w} _{i},\mathbf {f} ^{S}\right).$$

ⓘ

Es ist wünschenswert, Basisfunktionen zu wählen, die das wesentliche Merkmal der inkompressiblen Strömung widerspiegeln - die Elemente müssen divergenzfrei sein. Während die Geschwindigkeit die Variable von Interesse ist, ist das Vorhandensein der Stromfunktion oder des Vektorpotentials nach dem Helmholtz-Theorem notwendig. Um die Strömung ohne Druckgradient zu bestimmen, kann man die Differenz der Strömungsfunktionswerte über einen 2D-Kanal oder das Linienintegral der tangentialen Komponente des Vektorpotentials um den Kanal in 3D angeben, wobei die Strömung durch das Stokes'sche Theorem gegeben ist. Die Diskussion wird sich im Folgenden auf 2D beschränken. ⓘ

Außerdem beschränken wir die Diskussion auf kontinuierliche finite Hermite-Elemente, die mindestens Freiheitsgrade erster Ordnung besitzen. Damit kann man eine große Anzahl von dreieckigen und rechteckigen Elementen aus der Literatur zur Plattenbiegung heranziehen. Diese Elemente haben Ableitungen als Komponenten des Gradienten. In 2D sind die Steigung und die Krümmung eines Skalars eindeutig orthogonal, gegeben durch die Ausdrücke,

$${\begin{aligned}\nabla \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{\mathrm {T} },\\[5pt]\nabla \times \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}$$

ⓘ

Nimmt man kontinuierliche Plattenbiegeelemente, tauscht die abgeleiteten Freiheitsgrade aus und ändert das Vorzeichen des entsprechenden Elements, erhält man viele Familien von Stromfunktionselementen. ⓘ

Nimmt man die Krümmung der skalaren Stromfunktionselemente, erhält man divergenzfreie Geschwindigkeitselemente. Die Anforderung, dass die Stromfunktionselemente kontinuierlich sein müssen, stellt sicher, dass die Normalkomponente der Geschwindigkeit über die Elementschnittstellen hinweg kontinuierlich ist, was die Voraussetzung für eine verschwindende Divergenz an diesen Schnittstellen ist. ⓘ

Die Randbedingungen sind einfach anzuwenden. Die Strömungsfunktion ist auf Oberflächen ohne Strömung konstant, wobei die Geschwindigkeit auf den Oberflächen nicht rutscht. Strömungsfunktionsunterschiede in offenen Kanälen bestimmen die Strömung. An offenen Grenzen sind keine Randbedingungen erforderlich, obwohl bei einigen Problemen konstante Werte verwendet werden können. Dies sind alles Dirichlet-Bedingungen. ⓘ

Die zu lösenden algebraischen Gleichungen sind einfach aufzustellen, aber natürlich nichtlinear und erfordern eine Iteration der linearisierten Gleichungen. ⓘ

Ähnliche Überlegungen gelten auch für den dreidimensionalen Bereich, doch ist die Übertragung von 2D nicht unmittelbar möglich, da das Potenzial vektoriell ist und es keine einfache Beziehung zwischen dem Gradienten und der Krümmung gibt, wie es in 2D der Fall war. ⓘ

Druckrückgewinnung

Die Wiederherstellung des Drucks aus dem Geschwindigkeitsfeld ist einfach. Die diskrete schwache Gleichung für den Druckgradienten lautet,

$$(\mathbf {g} _{i},\nabla p)=-\left(\mathbf {g} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}\right)-\nu \left(\nabla \mathbf {g} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {g} _{i},\mathbf {f} ^{I}\right)$$

ⓘ

wobei die Test-/Gewichtsfunktionen irrotierend sind. Es kann jedes beliebige skalare finite Element verwendet werden. Allerdings kann auch das Druckgradientenfeld von Interesse sein. In diesem Fall kann man skalare Hermite-Elemente für den Druck verwenden. Für die Test-/Gewichtsfunktionen gi würde man die irrotierenden Vektorelemente wählen, die man aus dem Gradienten des Druckelements erhält. ⓘ

Nichtinertialer Bezugsrahmen

Der rotierende Bezugsrahmen führt über den Term der Materialableitung einige interessante Pseudokräfte in die Gleichungen ein. Man betrachte ein stationäres Inertialsystem K und ein Nicht-Inertialsystem K′, das sich mit der Geschwindigkeit U(t) bewegt und mit der Winkelgeschwindigkeit Ω(t) gegenüber dem stationären System rotiert. Die Navier-Stokes-Gleichung, die vom nicht-inertialen Bezugssystem aus betrachtet wird, lautet dann ⓘ

Navier-Stokes-Impulsgleichung im Nicht-Inertialsystem

$\rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}=-\nabla {\bar {p}}+\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\tfrac {1}{3}}\mu \,\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\rho \mathbf {g} -\rho \left[2\mathbf {\Omega } \times \mathbf {u} +\mathbf {\Omega } \times (\mathbf {\Omega } \times \mathbf {x} )+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {U} }{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {\Omega } }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {x} \right].$ ⓘ

Hier werden x und u im nicht-inertialen System gemessen. Der erste Term in der Klammer steht für die Coriolis-Beschleunigung, der zweite Term für die Zentrifugalbeschleunigung, der dritte Term für die lineare Beschleunigung von K′ in Bezug auf K und der vierte Term für die Winkelbeschleunigung von K′ in Bezug auf K. ⓘ

Andere Gleichungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen sind eine reine Aussage über das Gleichgewicht des Impulses. Um die Flüssigkeitsströmung vollständig zu beschreiben, werden weitere Informationen benötigt, deren Umfang von den getroffenen Annahmen abhängt. Diese zusätzlichen Informationen können Randdaten (kein Schlupf, Kapillarfläche usw.), die Erhaltung der Masse, die Energiebilanz und/oder eine Zustandsgleichung umfassen. ⓘ

Kontinuitätsgleichung für inkompressibles Fluid

Unabhängig von den Strömungsannahmen ist im Allgemeinen eine Aussage über die Erhaltung der Masse erforderlich. Dies wird durch die Massenkontinuitätsgleichung erreicht, die in ihrer allgemeinsten Form wie folgt lautet:

$${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$$

oder, unter Verwendung der substanziellen Ableitung:

$${\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )=0.$$

ⓘ

Bei einer inkompressiblen Flüssigkeit bleibt die Dichte entlang der Strömungslinie über die Zeit konstant,

$${\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}=0.$$

ⓘ

Daher ist die Divergenz der Geschwindigkeit immer Null:

$$\nabla \cdot \mathbf {u} =0.$$

ⓘ

Strömungsfunktion für inkompressible 2D-Flüssigkeit

Wenn man die Krümmung der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichung nimmt, kann man den Druck eliminieren. Dies ist besonders leicht zu erkennen, wenn eine kartesische 2D-Strömung angenommen wird (wie im entarteten 3D-Fall mit uz = 0 und keiner Abhängigkeit von z), wo sich die Gleichungen reduzieren auf:

$${\begin{aligned}\rho \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}\\\rho \left({\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}.\end{aligned}}$$

ⓘ

Differenziert man die erste nach y, die zweite nach x und subtrahiert die resultierenden Gleichungen, so werden Druck und jede konservative Kraft eliminiert. Bei inkompressibler Strömung definiert man die Stromfunktion ψ durch

$$u_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}};\quad u_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$$

führt dazu, dass die Massenkontinuität bedingungslos erfüllt ist (vorausgesetzt, die Stromfunktion ist kontinuierlich), und dann werden die inkompressible Newtonsche 2D-Impuls- und Massenerhaltung zu einer Gleichung verdichtet:

$${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi$$

ⓘ

wobei ∇⁴ der biharmonische 2D-Operator und ν die kinematische Viskosität ist, ν = μ/ρ. Wir können dies auch kompakt durch die Jacobische Determinante ausdrücken:

$${\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \left(\psi ,\nabla ^{2}\psi \right)}{\partial (y,x)}}=\nu \nabla ^{4}\psi .$$

ⓘ

Diese einzige Gleichung beschreibt zusammen mit geeigneten Randbedingungen die 2D-Fluidströmung, wobei nur die kinematische Viskosität als Parameter verwendet wird. Man beachte, dass sich die Gleichung für die schleichende Strömung ergibt, wenn die linke Seite als Null angenommen wird. ⓘ

Bei achsensymmetrischer Strömung kann eine andere Stromfunktionsformulierung, die so genannte Stokes-Stromfunktion, verwendet werden, um die Geschwindigkeitskomponenten einer inkompressiblen Strömung mit einer skalaren Funktion zu beschreiben. ⓘ

Bei der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichung handelt es sich um eine algebraische Differentialgleichung, die den Nachteil hat, dass es keinen expliziten Mechanismus für die zeitliche Fortschreibung des Drucks gibt. Aus diesem Grund wurden große Anstrengungen unternommen, um den Druck ganz oder teilweise aus dem Berechnungsprozess zu entfernen. Bei der Stromfunktionsformulierung wird der Druck eliminiert, allerdings nur in zwei Dimensionen und auf Kosten der Einführung höherer Ableitungen und der Eliminierung der Geschwindigkeit, die die primär interessierende Variable ist. ⓘ

Eigenschaften

Nichtlinearität

Bei den Navier-Stokes-Gleichungen handelt es sich im allgemeinen Fall um nichtlineare partielle Differentialgleichungen, die in fast jeder realen Situation auftreten. In einigen Fällen, wie bei der eindimensionalen Strömung und der Stokes-Strömung (oder Kriechströmung), können die Gleichungen zu linearen Gleichungen vereinfacht werden. Die Nichtlinearität macht die meisten Probleme schwierig oder unmöglich zu lösen und ist die Hauptursache für die Turbulenzen, die die Gleichungen modellieren. ⓘ

Die Nichtlinearität ist auf die konvektive Beschleunigung zurückzuführen, d. h. eine Beschleunigung, die mit der Änderung der Geschwindigkeit über die Position verbunden ist. Daher ist jede konvektive Strömung, ob turbulent oder nicht, mit Nichtlinearität verbunden. Ein Beispiel für eine konvektive, aber laminare (nicht turbulente) Strömung wäre der Durchgang einer viskosen Flüssigkeit (z. B. Öl) durch eine kleine konvergierende Düse. Solche Strömungen, ob exakt lösbar oder nicht, können oft gründlich untersucht und verstanden werden. ⓘ

Turbulenz

Turbulenz ist das zeitabhängige chaotische Verhalten, das in vielen Flüssigkeitsströmungen auftritt. Es wird allgemein angenommen, dass sie auf die Trägheit des Fluids als Ganzes zurückzuführen ist: der Höhepunkt der zeitabhängigen und konvektiven Beschleunigung; daher sind Strömungen, bei denen die Trägheitseffekte gering sind, in der Regel laminar (die Reynolds-Zahl gibt an, wie stark die Strömung durch die Trägheit beeinflusst wird). Man geht davon aus, dass die Navier-Stokes-Gleichungen die Turbulenz richtig beschreiben, auch wenn dies nicht mit Sicherheit feststeht. ⓘ

Die numerische Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen für turbulente Strömungen ist äußerst schwierig, und aufgrund der deutlich unterschiedlichen Mischungslängenskalen, die bei turbulenten Strömungen eine Rolle spielen, erfordert die stabile Lösung dieser Gleichungen eine so feine Netzauflösung, dass die Rechenzeit für Berechnungen oder direkte numerische Simulationen deutlich zu kurz ist. Versuche, die turbulente Strömung mit einem laminaren Solver zu lösen, führen in der Regel zu einer zeitinstabilen Lösung, die nicht angemessen konvergiert. Um dem entgegenzuwirken, werden bei der Modellierung turbulenter Strömungen in praktischen Anwendungen der numerischen Strömungsmechanik (CFD) zeitgemittelte Gleichungen wie die Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen (RANS) verwendet, die durch Turbulenzmodelle ergänzt werden. Zu diesen Modellen gehören das Spalart-Allmaras-, das k-ω-, das k-ε- und das SST-Modell, die die RANS-Gleichungen durch eine Reihe zusätzlicher Gleichungen ergänzen. Die Large-Eddy-Simulation (LES) kann ebenfalls verwendet werden, um diese Gleichungen numerisch zu lösen. Dieser Ansatz ist rechenaufwändiger - in Bezug auf Zeit und Speicherkapazität - als RANS, liefert aber bessere Ergebnisse, da er die größeren Turbulenzskalen explizit auflöst. ⓘ

Visualisierung der numerischen Berechnung der Windströmung um ein Haus ⓘ

Bei der numerischen Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen kommen Verfahren der numerischen Strömungsmechanik zum Einsatz. Als Diskretisierungen werden Finite-Differenzen-, Finite-Elemente- und Finite-Volumen-Verfahren sowie für spezielle Aufgabenstellungen auch Spektralmethoden und weitere Techniken verwendet. Die Gitter müssen, um die Grenzschicht korrekt auflösen zu können, in Normalenrichtung nahe der Wand extrem fein aufgelöst sein. In Tangentialrichtung wird darauf verzichtet, sodass die Zellen an der Wand extrem große Seitenverhältnisse haben. ⓘ

Die feine Auflösung erzwingt wegen der Einhaltung der CFL-Bedingung bei expliziter Zeitintegration extrem kleine Zeitschritte. Deswegen werden in der Regel implizite Verfahren eingesetzt. Wegen der Nichtlinearität des Gleichungssystems muss das System iterativ (z. B. mit Mehrgitter- oder Newton-Verfahren) gelöst werden. Die Kombination aus Impuls- und Kontinuitätsgleichung bei den inkompressiblen Gleichungen weist eine Sattelpunktstruktur auf, die hierbei ausgenutzt werden kann. ⓘ

Ein einfaches Modell zur Simulation von Flüssigkeiten, das im hydrodynamischen Limit die Navier-Stokes-Gleichung erfüllt, ist das FHP-Modell. Dessen Weiterentwicklung führt auf die Lattice-Boltzmann-Methoden, die besonders im Kontext der Parallelisierung zur Ausführung auf Supercomputern attraktiv sind. ⓘ

Im Bereich der Computergrafik wurden mehrere numerische Lösungsverfahren verwendet, bei denen durch bestimmte Annahmen eine Echtzeit-Darstellung erreicht werden kann, wobei jedoch teilweise die physikalische Korrektheit nicht immer gewahrt ist. Ein Beispiel hierfür ist das von Jos Stam entwickelte „Stable-Fluids“-Verfahren. Hierbei wurde die Chorin’sche Projektionsmethode für den Bereich der Computergrafik verwendet. ⓘ

Anwendbarkeit

Zusammen mit ergänzenden Gleichungen (z. B. der Erhaltung der Masse) und gut formulierten Randbedingungen scheinen die Navier-Stokes-Gleichungen die Flüssigkeitsbewegung genau zu modellieren; selbst turbulente Strömungen scheinen (im Durchschnitt) mit den Beobachtungen in der realen Welt übereinzustimmen. ⓘ

Die Navier-Stokes-Gleichungen gehen davon aus, dass die untersuchte Flüssigkeit ein Kontinuum ist (sie ist unendlich teilbar und besteht nicht aus Teilchen wie Atomen oder Molekülen) und sich nicht mit relativistischen Geschwindigkeiten bewegt. Auf sehr kleinen Skalen oder unter extremen Bedingungen werden reale Flüssigkeiten, die aus diskreten Molekülen bestehen, andere Ergebnisse liefern als die kontinuierlichen Flüssigkeiten, die durch die Navier-Stokes-Gleichungen modelliert werden. So tritt beispielsweise bei Strömungen mit hohen Gradienten Kapillarität in den inneren Schichten von Flüssigkeiten auf. Bei einer großen Knudsenzahl des Problems kann die Boltzmann-Gleichung ein geeigneter Ersatz sein. Andernfalls muss man möglicherweise auf die Molekulardynamik oder verschiedene Hybridmethoden zurückgreifen. ⓘ

Eine weitere Einschränkung ist einfach die komplizierte Natur der Gleichungen. Für gängige Strömungsfamilien gibt es bewährte Formulierungen, aber die Anwendung der Navier-Stokes-Gleichungen auf weniger gängige Familien führt zu sehr komplizierten Formulierungen und oft zu offenen Forschungsproblemen. Aus diesem Grund werden diese Gleichungen in der Regel für Newtonsche Flüssigkeiten geschrieben, bei denen das Viskositätsmodell linear ist; wirklich allgemeine Modelle für die Strömung anderer Arten von Flüssigkeiten (wie Blut) gibt es nicht. ⓘ

Anwendung auf spezifische Probleme

Die Navier-Stokes-Gleichungen sind, selbst wenn sie explizit für bestimmte Flüssigkeiten geschrieben wurden, eher allgemeiner Natur, und ihre Anwendung auf spezifische Probleme kann sehr unterschiedlich sein. Dies liegt zum Teil daran, dass es eine enorme Vielfalt von Problemen gibt, die modelliert werden können, von der einfachen Verteilung des statischen Drucks bis hin zur komplizierten Mehrphasenströmung, die durch die Oberflächenspannung angetrieben wird. ⓘ

Im Allgemeinen beginnt die Anwendung auf spezifische Probleme mit einigen Annahmen zur Strömung und der Formulierung von Anfangs- und Randbedingungen, gefolgt von einer Skalenanalyse zur weiteren Vereinfachung des Problems. ⓘ

Visualisierung von (a) Parallelströmung und (b) radialer Strömung. ⓘ

Parallele Strömung

Unter der Annahme einer stetigen, parallelen, eindimensionalen, nicht-konvektiven, druckgetriebenen Strömung zwischen parallelen Platten ergibt sich das skalierte (dimensionslose) Randwertproblem wie folgt

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-1;\quad u(0)=u(1)=0.$$

ⓘ

Die Randbedingung ist die Schlupffreiheitsbedingung. Dieses Problem lässt sich für das Strömungsfeld leicht lösen:

$$u(y)={\frac {y-y^{2}}{2}}.$$

ⓘ

Von diesem Punkt an können weitere Größen von Interesse, wie die viskose Widerstandskraft oder die Nettostromstärke, leicht ermittelt werden. ⓘ

Radiale Strömung

Schwierigkeiten können auftreten, wenn das Problem etwas komplizierter wird. Eine scheinbar bescheidene Abwandlung der obigen parallelen Strömung wäre die radiale Strömung zwischen parallelen Platten; diese beinhaltet Konvektion und somit Nichtlinearität. Das Geschwindigkeitsfeld kann durch eine Funktion f(z) dargestellt werden, die erfüllt sein muss:

$${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+Rf^{2}=-1;\quad f(-1)=f(1)=0.$$

ⓘ

Diese gewöhnliche Differentialgleichung erhält man, wenn man die Navier-Stokes-Gleichungen aufstellt und die Strömungsannahmen anwendet (zusätzlich wird der Druckgradient gelöst). Der nichtlineare Term macht es sehr schwierig, dieses Problem analytisch zu lösen (es kann eine langwierige implizite Lösung gefunden werden, die elliptische Integrale und Wurzeln von kubischen Polynomen beinhaltet). Probleme mit dem tatsächlichen Vorhandensein von Lösungen ergeben sich für R > 1,41 (näherungsweise; dies ist nicht √2), wobei der Parameter R die Reynoldszahl mit entsprechend gewählten Skalen ist. Dies ist ein Beispiel dafür, dass Strömungsannahmen ihre Anwendbarkeit verlieren, und ein Beispiel für die Schwierigkeiten bei Strömungen mit "hoher" Reynoldszahl. ⓘ

Konvektion

Eine Art der natürlichen Konvektion, die durch die Navier-Stokes-Gleichung beschrieben werden kann, ist die Rayleigh-Bénard-Konvektion. Sie ist eines der am häufigsten untersuchten Konvektionsphänomene, da sie analytisch und experimentell gut zugänglich ist. ⓘ

Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Es gibt einige exakte Lösungen für die Navier-Stokes-Gleichungen. Beispiele für degenerierte Fälle - bei denen die nichtlinearen Terme in den Navier-Stokes-Gleichungen gleich Null sind - sind die Poiseuille-Strömung, die Couette-Strömung und die oszillierende Stokes-Grenzschicht. Es gibt aber auch interessantere Beispiele, Lösungen für die vollständigen nichtlinearen Gleichungen, wie die Jeffery-Hamel-Strömung, die Von-Kármán-Wirbelströmung, die Stagnationspunktströmung, den Landau-Squire-Strahl und den Taylor-Green-Wirbel. Es ist zu beachten, dass das Vorhandensein dieser exakten Lösungen nicht bedeutet, dass sie stabil sind: Bei höheren Reynoldszahlen können sich Turbulenzen entwickeln. ⓘ

Unter zusätzlichen Annahmen können die einzelnen Komponenten getrennt werden. ⓘ

Ein zweidimensionales Beispiel

Im Falle eines unbeschränkten ebenen Gebiets mit einer zweidimensionalen - inkompressiblen und stationären - Strömung in Polarkoordinaten (_r,φ) sind die Geschwindigkeitskomponenten (ur,u_φ) und der Druck p beispielsweise

$${\begin{aligned}u_{r}&={\frac {A}{r}},\\u_{\varphi }&=B\left({\frac {1}{r}}-r^{{\frac {A}{\nu }}+1}\right),\\p&=-{\frac {A^{2}+B^{2}}{2r^{2}}}-{\frac {2B^{2}\nu r^{\frac {A}{\nu }}}{A}}+{\frac {B^{2}r^{\left({\frac {2A}{\nu }}+2\right)}}{{\frac {2A}{\nu }}+2}}\end{aligned}}$$

wobei A und B beliebige Konstanten sind. Diese Lösung ist gültig für den Bereich r ≥ 1 und für A < -2ν.

In kartesischen Koordinaten, wenn die Viskosität Null ist (ν = 0), ist dies der Fall:

$${\begin{aligned}\mathbf {v} (x,y)&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}{\begin{pmatrix}Ax+By\\Ay-Bx\end{pmatrix}},\\p(x,y)&=-{\frac {A^{2}+B^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}}\end{aligned}}$$

ⓘ

Ein dreidimensionales Beispiel

Im Fall eines unbeschränkten euklidischen Gebiets mit dreidimensionaler - inkompressibler, stationärer und viskoser (ν = 0) - Radialströmung in kartesischen Koordinaten (x,y,z) sind beispielsweise der Geschwindigkeitsvektor v und der Druck p:

$${\begin{aligned}\mathbf {v} (x,y,z)&={\frac {A}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}},\\p(x,y,z)&=-{\frac {A^{2}}{2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}}.\end{aligned}}$$

Es gibt eine Singularität bei x = y = z = 0. ⓘ

Eine dreidimensionale stationäre Wirbellösung

Drahtmodell von Strömungslinien entlang einer Hopf-Fibration. ⓘ

Ein Beispiel für einen stationären Zustand ohne Singularitäten ergibt sich, wenn man die Strömung entlang der Linien einer Hopf-Fibration betrachtet. Sei r ein konstanter Radius der inneren Spule. Ein Satz von Lösungen ist gegeben durch:

$${\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {3B}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\\mathbf {u} (x,y,z)&={\frac {A}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}{\begin{pmatrix}2(-ry+xz)\\2(rx+yz)\\r^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{pmatrix}}\\g&=0\\\mu &=0\end{aligned}}$$

ⓘ

für beliebige Konstanten A und B. Dies ist eine Lösung in einem nicht viskosen Gas (kompressibles Fluid), dessen Dichte, Geschwindigkeiten und Druck weit vom Ursprung entfernt gegen Null gehen. (Man beachte, dass dies keine Lösung für das Clay-Millennium-Problem ist, da es sich auf inkompressible Flüssigkeiten bezieht, bei denen ρ eine Konstante ist, und auch nicht die Eindeutigkeit der Navier-Stokes-Gleichungen in Bezug auf Turbulenzeigenschaften behandelt). Es ist auch erwähnenswert, dass die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors genau die der Pythagoras-Vierfach-Parametrisierung sind. Andere Dichte- und Druckwerte sind mit demselben Geschwindigkeitsfeld möglich:

Andere Möglichkeiten der Dichte und des Drucks

Eine andere Wahl von Druck und Dichte mit demselben Geschwindigkeitsvektor wie oben ist eine, bei der Druck und Dichte am Ursprung auf Null fallen und in der zentralen Schleife bei z = 0, x² + y² = r² am höchsten sind:

$${\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {20B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{4}}}+{\frac {-4A^{2}B\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{5}}}.\end{aligned}}$$

In der Tat gibt es im Allgemeinen einfache Lösungen für jede Polynomfunktion f, bei der die Dichte gleich ist:

$$\rho (x,y,z)={\frac {1}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}f\left({\frac {x^{2}+y^{2}}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}\right).$$

ⓘ

Viskose dreidimensionale periodische Lösungen

Zwei Beispiele für periodische, vollständig dreidimensionale viskose Lösungen sind in beschrieben. Diese Lösungen sind auf einem dreidimensionalen Torus definiert $\mathbb {T} ^{3}=[0,L]^{3}$ und sind durch positive bzw. negative Helizität gekennzeichnet. Die Lösung mit positiver Helizität ist gegeben durch:

$${\begin{aligned}u_{x}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kx-\pi /3)\cos(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)-\cos(kz-\pi /3)\sin(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu kt}\\u_{y}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(ky-\pi /3)\cos(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)-\cos(kx-\pi /3)\sin(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu kt}\\u_{z}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kz-\pi /3)\cos(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)-\cos(ky-\pi /3)\sin(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu kt}\end{aligned}}$$

wobei $k=2\pi /L$ ist die Wellenzahl und die Geschwindigkeitskomponenten sind so normiert, dass die durchschnittliche kinetische Energie pro Masseneinheit beträgt $U_{0}^{2}/2$ bei $t=0$. Das Druckfeld ergibt sich aus dem Geschwindigkeitsfeld wie folgt $p=p_{0}-\rho _{0}\|{\boldsymbol {u}}\|^{2}/2$ (wobei $p_{0}$ und $\rho _{0}$ Referenzwerte für die Druck- bzw. Dichtefelder sind). Da beide Lösungen zur Klasse der Beltrami-Strömung gehören, ist das Wirbelfeld parallel zur Geschwindigkeit und für den Fall mit positiver Helizität gegeben durch $\omega ={\sqrt {3}}\,k\,{\boldsymbol {u}}$. Diese Lösungen können als eine dreidimensionale Verallgemeinerung des klassischen zweidimensionalen Taylor-Green-Wirbels betrachtet werden. ⓘ

Wyld-Diagramme

Wyld-Diagramme sind Buchhaltungsgraphen, die den Navier-Stokes-Gleichungen über eine Störungserweiterung der fundamentalen Kontinuumsmechanik entsprechen. Ähnlich wie die Feynman-Diagramme in der Quantenfeldtheorie sind diese Diagramme eine Erweiterung der Keldysch-Technik für Nicht-Gleichgewichtsprozesse in der Strömungsdynamik. Mit anderen Worten, diese Diagramme ordnen den (oft) turbulenten Phänomenen in turbulenten Flüssigkeiten Graphen zu, indem sie korrelierten und interagierenden Flüssigkeitsteilchen erlauben, stochastischen Prozessen zu gehorchen, die mit pseudozufälligen Funktionen in Wahrscheinlichkeitsverteilungen verbunden sind. ⓘ

Darstellungen in 3D

Beachten Sie, dass die Formeln in diesem Abschnitt die einzeilige Notation für partielle Ableitungen verwenden, wobei z. B. $\partial _{x}u$ ist die partielle Ableitung von u nach x, und $\partial _{y}^{2}f_{\theta }$ die partielle Ableitung zweiter Ordnung von f_θ nach y bedeutet. ⓘ

Kartesische Koordinaten

Ausgehend von der allgemeinen Form der Navier-Stokes-Gleichung, bei der der Geschwindigkeitsvektor als u = (ux, u_y, uz), manchmal auch als u, v, w bezeichnet, erweitert wird, können wir die Vektorgleichung explizit schreiben,

$${\begin{aligned}x:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{x}}+u_{x}\,{\partial _{x}u_{x}}+u_{y}\,{\partial _{y}u_{x}}+u_{z}\,{\partial _{z}u_{x}}\right)\\&\quad =-\partial _{x}p+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{x}}+{\partial _{y}^{2}u_{x}}+{\partial _{z}^{2}u_{x}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{x}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{x}\\\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}y:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{y}}+u_{x}{\partial _{x}u_{y}}+u_{y}{\partial _{y}u_{y}}+u_{z}{\partial _{z}u_{y}}\right)\\&\quad =-{\partial _{y}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{y}}+{\partial _{y}^{2}u_{y}}+{\partial _{z}^{2}u_{y}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{y}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{y}\\\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{x}{\partial _{x}u_{z}}+u_{y}{\partial _{y}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{z}}+{\partial _{y}^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{z}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{z}.\end{aligned}}$$

ⓘ

Man beachte, dass die Schwerkraft als eine Körperkraft berücksichtigt wurde und die Werte von g_x, g_y, gz von der Ausrichtung der Schwerkraft in Bezug auf den gewählten Koordinatensatz abhängen. ⓘ

Die Kontinuitätsgleichung lautet:

$$\partial _{t}\rho +\partial _{x}(\rho u_{x})+\partial _{y}(\rho u_{y})+\partial _{z}(\rho u_{z})=0.$$

ⓘ

Wenn die Strömung inkompressibel ist, ändert sich ρ für kein Fluidteilchen, und seine materielle Ableitung verschwindet: Dρ/Dt = 0. Die Kontinuitätsgleichung reduziert sich auf:

$$\partial _{x}u_{x}+\partial _{y}u_{y}+\partial _{z}u_{z}=0.$$

ⓘ

Damit entfällt bei der inkompressiblen Version der Navier-Stokes-Gleichung der zweite Teil der viskosen Terme (siehe Inkompressible Strömung). ⓘ

Dieses System von vier Gleichungen ist die am häufigsten verwendete und untersuchte Form. Obwohl es vergleichsweise kompakter ist als andere Darstellungen, handelt es sich immer noch um ein nichtlineares System partieller Differentialgleichungen, für das Lösungen schwer zu erhalten sind. ⓘ

Zylindrische Koordinaten

Ein Variablenwechsel bei den kartesischen Gleichungen führt zu den folgenden Impulsgleichungen für r, φ und z

$${\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+u_{z}{\partial _{z}u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }}{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\ \partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\partial _{z}^{2}u_{\varphi }}+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }}{r^{2}}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{z}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{z}.\end{aligned}}$$

ⓘ

Die Schwerkraftkomponenten sind im Allgemeinen keine Konstanten, aber für die meisten Anwendungen werden entweder die Koordinaten so gewählt, dass die Schwerkraftkomponenten konstant sind, oder es wird angenommen, dass der Schwerkraft durch ein Druckfeld entgegengewirkt wird (zum Beispiel wird die Strömung in einem horizontalen Rohr normalerweise ohne Schwerkraft und ohne vertikales Druckgefälle behandelt). Die Kontinuitätsgleichung lautet:

$${\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(\rho ru_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }\left(\rho u_{\varphi }\right)}+{\partial _{z}\left(\rho u_{z}\right)}=0.$$

ⓘ

Diese zylindrische Darstellung der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen ist die am zweithäufigsten anzutreffende (die erste ist die kartesische oben). Die zylindrischen Koordinaten werden gewählt, um die Symmetrie auszunutzen, so dass eine Geschwindigkeitskomponente verschwinden kann. Ein sehr häufiger Fall ist die achsensymmetrische Strömung mit der Annahme, dass es keine tangentiale Geschwindigkeit gibt (u_φ = 0), und die übrigen Größen sind unabhängig von φ:

$${\begin{aligned}\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}\right)&=-{\partial _{r}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}\right)+\rho g_{r}\\\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)&=-{\partial _{z}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+\rho g_{z}\\{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(ru_{r}\right)+{\partial _{z}u_{z}}&=0.\end{aligned}}$$

ⓘ

Sphärische Koordinaten

|In Kugelkoordinaten lauten die Impulsgleichungen r, φ und θ (man beachte die verwendete Konvention: θ ist der Polarwinkel bzw. die Kolatitude, 0 ≤ θ ≤ π):

$${\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}+u_{\theta }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{r}}\right)-2{\frac {u_{r}+{\partial _{\theta }u_{\theta }}+u_{\theta }\cot \theta }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }+u_{\varphi }u_{\theta }\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\varphi }}\right)+{\frac {2\sin \theta {\partial _{\varphi }u_{r}}+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\theta }}-u_{\varphi }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}\theta :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\theta }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\theta }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\theta }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\theta }}+{\frac {u_{r}u_{\theta }-u_{\varphi }^{2}\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\theta }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\theta }}\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\theta }+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\varphi }}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\theta }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\theta }.\end{aligned}}$$

ⓘ

Die Massenkontinuität wird lauten:

$${\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(\rho r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }(\rho u_{\varphi })}+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta \rho u_{\theta }\right)=0.$$

ⓘ

Diese Gleichungen könnten (leicht) verdichtet werden, indem beispielsweise 1/r² aus den viskosen Termen herausgerechnet wird. Dies würde jedoch die Struktur der Laplacian und anderer Größen in unerwünschter Weise verändern. ⓘ

Verwendung der Navier-Stokes-Gleichungen in Spielen

Die Navier-Stokes-Gleichungen werden häufig in Videospielen verwendet, um eine Vielzahl von Naturphänomenen zu modellieren. Simulationen von gasförmigen Flüssigkeiten in kleinem Maßstab, wie Feuer und Rauch, basieren häufig auf der bahnbrechenden Arbeit "Real-Time Fluid Dynamics for Games" von Jos Stam, die eine der Methoden aus Stams früherer, berühmterer Arbeit "Stable Fluids" aus dem Jahr 1999 weiterentwickelt. Stam schlägt eine stabile Flüssigkeitssimulation unter Verwendung einer Navier-Stokes-Lösungsmethode aus dem Jahr 1968 vor, die mit einem bedingungslos stabilen semi-Lagrangeschen Advektionsschema gekoppelt ist, wie es erstmals 1992 vorgeschlagen wurde. ⓘ

Neuere Implementierungen, die auf dieser Arbeit beruhen, laufen auf dem Grafikprozessor (GPU) des Spielsystems und nicht auf der Zentraleinheit (CPU) und erreichen ein wesentlich höheres Leistungsniveau. Es wurden viele Verbesserungen an Stams ursprünglicher Arbeit vorgeschlagen, die von Natur aus unter der hohen numerischen Dissipation bei Geschwindigkeit und Masse leidet. ⓘ

Eine Einführung in die interaktive Flüssigkeitssimulation findet sich im ACM SIGGRAPH-Kurs 2007, Fluid Simulation for Computer Animation. ⓘ

Siehe auch

• Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant
• Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon-Hierarchie der Gleichungen
• Boltzmann-Gleichung
• Cauchy-Impuls-Gleichung
• Cauchy-Spannungstensor
• Chapman-Enskog-Theorie
• Churchill-Bernstein-Gleichung
• Coandă-Effekt
• Computergestützte Strömungsdynamik
• Kontinuumsmechanik
• Konvektions-Diffusions-Gleichung
• Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen
• Einstein-Stokes-Gleichung
• Euler-Gleichungen
• Hagen-Poiseuille-Strömung aus den Navier-Stokes-Gleichungen
• Millenniumspreis-Probleme
• Nichtdimensionalisierung und Skalierung der Navier-Stokes-Gleichungen
• Druck-Korrektur-Methode
• Primitive Gleichungen
• Rayleigh-Bénard-Konvektion
• Reynolds-Transport-Theorem
• Stokes-Gleichungen
• Wlassow-Gleichung ⓘ

Allgemeine Referenzen

• Acheson, D. J. (1990), Elementary Fluid Dynamics, Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859679-0
• Batchelor, G. K. (1967), Eine Einführung in die Strömungslehre, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66396-0
• Currie, I. G. (1974), Grundlegende Mechanik der Fluide, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-015000-3
• V. Girault und P. A. Raviart. Finite-Elemente-Methoden für Navier-Stokes-Gleichungen: Theorie und Algorithmen. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1987), Strömungsmechanik, Bd. Kurs der Theoretischen Physik Band 6 (2. überarbeitete Auflage), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-033932-0OCLC 15017127
• Polyanin, A. D.; Kutepov, A. M.; Vyazmin, A. V.; Kazenin, D. A. (2002), Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, ISBN 978-0-415-27237-7
• Rhyming, Inge L. (1991), Dynamique des fluides, Presses polytechniques et universitaires romandes
• Smits, Alexander J. (2014), A Physical Introduction to Fluid Mechanics, Wiley, ISBN 0-47-1253499
• Temam, Roger (1984): Navier-Stokes Equations: Theorie und numerische Analyse, ACM Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2737-6
• White, Frank M. (2006), Viscous Fluid Flow, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-124493-0 ⓘ

Geschichte

Isaac Newton veröffentlichte 1686 seine dreibändige Principia mit den Bewegungsgesetzen und definierte zudem im zweiten Buch die Viskosität einer linear viskosen (heute: newtonschen) Flüssigkeit. 1755 leitete Leonhard Euler aus den Bewegungsgesetzen die Euler-Gleichungen her, mit denen sich das Verhalten viskositätsfreier Fluide (Flüssigkeiten und Gase) berechnen lässt. Voraussetzung dafür war seine bis heute gültige Definition des Drucks in einem Fluid. Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717–1783) führte die eulersche Betrachtungsweise ein, leitete die lokale Massenbilanz her und formulierte das d’Alembertsche Paradoxon, gemäß dem von der Strömung viskositätsfreier Flüssigkeiten auf einen Körper keine Kraft in Richtung der Strömung ausgeübt wird (was Euler schon vorher bewiesen hatte). Wegen dieser und anderer Paradoxien viskositätsfreier Strömungen war klar, dass die Euler’schen Bewegungsgleichungen zu ergänzen sind. ⓘ

Claude Louis Marie Henri Navier, Siméon Denis Poisson, Barré de Saint-Venant und George Gabriel Stokes formulierten unabhängig voneinander in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts den Impulssatz für newtonsche Fluide in differentieller Form. Navier (1827) und Poisson (1831) stellten die Impulsgleichungen nach Betrachtungen über die Wirkung von intermolekularen Kräften auf. 1843 veröffentlichte Barré de Saint-Venant eine Herleitung der Impulsgleichungen aus Newtons linearem Viskositätsansatz, zwei Jahre bevor Stokes dies (1845) tat. Es setzte sich allerdings der Name Navier-Stokes-Gleichungen für die Impulsgleichungen durch. ⓘ

Einen wesentlichen Fortschritt im theoretischen und praktischen Verständnis viskoser Fluide lieferte Ludwig Prandtl 1904 mit seiner Grenzschichttheorie. Ab Mitte des 20. Jahrhunderts entwickelte sich die numerische Strömungsmechanik so weit, dass mit ihrer Hilfe für praktische Probleme Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen gefunden werden können, die – wie sich zeigt – gut mit den realen Strömungsvorgängen übereinstimmen. ⓘ

Formulierung

Impulsgleichung

Impulsgleichung in Komponenten

Die Vektorform der Gleichungen gelten in jedem Koordinatensystem. Hier sollen die Komponentengleichungen der Impulsgleichung speziell für kartesische Koordinaten angegeben werden. ⓘ

${\begin{aligned}&{\frac {\partial (\rho v_{x})}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}^{2})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{z})}{\partial z}}=\dotsm \\&\qquad \dotsm =-{\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu \left(2{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}-{\frac {2}{3}}(\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial z}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\right)\right]+f_{x}\\&{\frac {\partial (\rho v_{y})}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{y})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v_{y}^{2})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho v_{y}v_{z})}{\partial z}}=\dotsm \\&\qquad \dotsm =-{\frac {\partial p}{\partial y}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\mu \left(2{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}-{\frac {2}{3}}(\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial z}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\right)\right]+f_{y}\\&{\frac {\partial (\rho v_{z})}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{z})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v_{y}v_{z})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho v_{z}^{2})}{\partial z}}=\dotsm \\&\qquad \dotsm =-{\frac {\partial p}{\partial z}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial z}}\left[\mu \left(2{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}-{\frac {2}{3}}(\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+f_{z}\end{aligned}}$ ⓘ

Darin sind $v_{x,y,z}$ und $f_{x,y,z}$ die Vektorkomponenten in den räumlichen $x$-, $y$- und $z$-Richtungen. In dieser Form kann eine mögliche Ortsabhängigkeit der Scherviskosität infolge ihrer Temperaturabhängigkeit und Temperaturschwankungen im Fluid berücksichtigt werden. ⓘ

Entdimensionalisierung

Die Navier-Stokes-Gleichungen können mit charakteristischen Maßen des gesamten Strömungsgebiets für die charakteristische Länge $L$, die durchschnittliche Geschwindigkeit $v_{\infty }$ und die durchschnittliche Dichte $\rho _{\infty }$ entdimensionalisiert werden. Damit entstehen die dimensionslosen Größen ⓘ

${\begin{aligned}{\vec {x}}^{\ast }:={\frac {\vec {x}}{L}},\quad \nabla ^{\ast }:=L\nabla ,\quad \Delta ^{\ast }:=L^{2}\Delta ,\quad {\vec {v}}^{\ast }:={\frac {\vec {v}}{v_{\infty }}},\quad \\t^{\ast }:={\frac {v_{\infty }t}{L}},\quad \rho ^{\ast }:={\frac {\rho }{\rho _{\infty }}},\quad p^{\ast }:={\frac {p}{\rho _{\infty }v_{\infty }^{2}}},\quad {\vec {f}}^{\ast }:={\frac {L{\vec {f}}}{\rho _{\infty }v_{\infty }^{2}}},\end{aligned}}$ ⓘ

die zu der dimensionslosen Impulsgleichung führen:

$\rho ^{\ast }\left({\frac {\partial {\vec {v}}^{\ast }}{\partial t^{\ast }}}+({\vec {v}}^{\ast }\cdot \nabla ^{\ast }){\vec {v}}^{\ast }\right)=-\nabla ^{\ast }p^{\ast }+{\frac {1}{\mathrm {Re} }}\Delta ^{\ast }{\vec {v}}^{\ast }+{\frac {1}{3\mathrm {Re} }}\nabla ^{\ast }(\nabla ^{\ast }\cdot {\vec {v}}^{\ast })+{\vec {f}}^{\ast }$ ⓘ

Darin charakterisiert die dimensionslose Reynolds-Zahl ⓘ

$\mathrm {Re} ={\frac {L\rho _{\infty }v_{\infty }}{\mu }}$ ⓘ

die Strömung hinsichtlich des Verhältnisses von Trägheits- zu Scherkräften. ⓘ

Bei Strömungen mit freier Oberfläche enthält die dimensionslose Kraftdichte ${\vec {f}}^{\ast }$ die Froude-Zahl, die das Verhältnis von Trägheits- zu Schwerekräften charakterisiert. ⓘ

Navier-Stokes-Gleichungen für kompressible Fluide

Für kompressible Gase werden die obigen Impulsgleichungen um die Energiebilanz und die Zustandsgleichung eines idealen Gases erweitert. Der komplette Satz an Gleichungen besteht also aus der Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung), Impulsbilanz (Impulserhaltung), Energiebilanz (Energieerhaltung) und einer Zustandsgleichung. Die in Klammern angegebenen Gesetze gelten in abgeschlossenen Systemen, aber an einem Fluidteilchen sind die ein- und ausgehenden Flüsse zu bilanzieren, was auf Bilanzgleichungen führt, die unter Strömungsmechanik nachzuschlagen sind. Unter der Annahme, dass die Dichte entlang der Teilchenbahnen konstant ist, entstehen wieder die Gleichungen für inkompressible Fluide. ⓘ

Im Folgenden bedeutet $\partial _{t}$ die Ableitung einer Größe nach der Zeit und $\nabla$ ist der Nabla-Operator, der die Ableitung nach dem Ort bildet, also je nach Verknüpfung die Divergenz oder den Gradient, und $x_{i}~(i=1,2,3)$ sind die drei Ortskoordinaten in einem kartesischen Koordinatensystem. Die angegebenen Bilanzgleichungen führen in abgeschlossenen Systemen zu Erhaltungsgleichungen. ⓘ

Massenerhaltung

Die Kontinuitätsgleichung entspricht der Massenerhaltung und wird hier mit der Impulsdichte ${\vec {m}}=\rho {\vec {v}}$ formuliert:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {m}}=0$ ⓘ

Impulserhaltung

Die Impulsbilanz entspricht der Impulserhaltung und lautet in Indexschreibweise ⓘ

$\rho {\dot {v}}_{i}:=\partial _{t}m_{i}+\sum _{j=1}^{3}\partial _{x_{j}}m_{i}v_{j}=-\partial _{x_{i}}p+\sum _{j=1}^{3}\partial _{x_{j}}S_{ij}+f_{i}\qquad (i=1,2,3),$ ⓘ

wobei $\delta _{ij}$ das Kronecker-Delta und ⓘ

$S_{ij}=\mu (\partial _{x_{j}}v_{i}+\partial _{x_{i}}v_{j})+\lambda \delta _{ij}\sum _{k=1}^{3}\partial _{x_{k}}v_{k}\qquad (i,j=1,2,3)$ ⓘ

der Reibtensor oder viskose Spannungstensor sind. Der Materialparameter $\mu$ ist die dynamische Viskosität, $\lambda$ die erste Lamé-Konstante und $f_{i}$ ist die $i$-te Komponente des Volumenkraftvektors. In der alternativen koordinatenfreien Schreibweise lautet die Impulsbilanz ⓘ

$\rho {\dot {\vec {v}}}={\frac {\partial {\vec {m}}}{\partial t}}+\nabla \cdot ({\vec {v}}\otimes {\vec {m}})=\nabla \cdot \left(-p\mathbf {1} +\mathbf {S} \right)+{\vec {f}},$ ⓘ

wobei ⓘ

$\mathbf {S} =\mu \left[(\nabla \otimes {\vec {v}})^{\top }+\nabla \otimes {\vec {v}}\right]+\lambda (\nabla \cdot {\vec {v}})\mathbf {1} =2\mu \mathbf {d} +\lambda \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {1}$ ⓘ

der viskose Spannungstensor, $\mathbf {d}$ der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor, der der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten $(\nabla \otimes {\vec {v}})^{\top }$ ist und die Spur $\operatorname {Sp} (\mathbf {d} )=\nabla \cdot {\vec {v}}$ besitzt, $-p\mathbf {1} +\mathbf {S} ={\boldsymbol {\sigma }}$ der Spannungstensor, 1 der Einheitstensor und $\otimes$ das dyadische Produkt ist, siehe #Herleitung der Impulsgleichung oben. ⓘ

Energieerhaltung

Die Energiebilanz am Fluidteilchen im Schwerefeld der Erde lautet ⓘ

$\partial _{t}\rho E+\nabla \cdot (H{\vec {m}})=\nabla \cdot (\mathbf {S} \cdot {\vec {v}}-{\vec {W}})+q-\rho {\vec {v}}\cdot {\vec {g}},$ ⓘ

wobei ${\vec {g}}$ die Schwerebeschleunigung und ⓘ

$H=E+{\frac {p}{\rho }}$ ⓘ

die Enthalpie pro Einheitsmasse ist. Das negative Vorzeichen vor der Schwerebeschleunigung resultiert aus dem abwärts gerichteten Vektor ${\vec {g}}$, sodass in einer aufwärts führenden Strömung potentielle Energie hinzu gewonnen wird. Der Wärmefluss ${\vec {W}}$ kann mittels des Wärmeleitkoeffizienten $\kappa$ als ⓘ

${\vec {W}}=-\kappa \nabla T$ ⓘ

geschrieben werden. Mit dem Quellterm $q$ kann beispielsweise die Absorption und Emission von Wärme aus Treibhausgasen infolge von Einstrahlung beschrieben werden. Die totale Energie pro Einheitsmasse $E$ ist die Summe von innerer ($e$), kinetischer und potentieller Energie, sie lässt sich (mit der Höhe $h$) also schreiben als ⓘ

$E=e+{\frac {1}{2}}|{\vec {v}}|^{2}+h|{\vec {g}}|.$ ⓘ

Zustandsgleichung

Nun liegen also vier Gleichungen für fünf Variablen vor und das System wird durch die folgende Zustandsgleichung abgeschlossen:

$p=(\gamma -1)\rho \left(E-{\frac {1}{2}}|{\textbf {v}}|^{2}-h|{\vec {g}}|\right)$ ⓘ

Die thermodynamischen Größen Dichte, Druck und Temperatur sind durch das ideale Gasgesetz verbunden:

$T={\frac {p}{\rho R}}\qquad {\text{und}}\qquad e=\int _{T_{0}}^{\top }c_{v}(\tau )\,\mathrm {d} \tau$ ⓘ

Oft geht man zusätzlich von einem perfekten Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität $c_{v}$ aus. Dann vereinfacht sich das Integral und es gilt:

$e=c_{v}T={\frac {RT}{\gamma -1}}={\frac {p}{\rho \cdot (\gamma -1)}}$ ⓘ

In beiden Fällen hängen der Isentropenexponent $\gamma$ und die Gaskonstante $R$ durch den spezifischen Wärmekoeffizienten für konstanten Druck $c_{p}$ respektive konstantes Volumen $c_{v}$ durch $\gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}$ und $R=c_{p}-c_{v}$ zusammen. ⓘ

Randbedingungen

Ein wesentlicher Punkt bei den Navier-Stokes-Gleichungen ist die experimentell sehr gut nachgewiesene Haftbedingung (No-Slip-Bedingung), bei der an einer Wand sowohl in Normalenrichtung als auch insbesondere in tangentialer Richtung als Relativgeschwindigkeit Null vorgeschrieben werden. Die Fluidteilchen kleben also an der Wand. Dies führt zur Bildung einer Grenzschicht, die für wesentliche, nur durch die Navier-Stokes-Gleichungen modellierte Phänomene verantwortlich ist. Nur wenn die freie Weglänge bewegter Moleküle groß ist zur charakteristischen Länge der Geometrie (z. B. für Gase mit extrem niedrigen Dichten oder Strömungen in extrem engen Spalten) ist diese Bedingung nicht mehr sinnvoll. ⓘ

Durch dynamische (also Kraft-) Randbedingungen auf einer Fläche wird die Fläche im Allgemeinen deformiert und die Strömung folgt ihr. Zum Problem gehört dann die Bestimmung der Fläche dazu. Sie ergibt sich aus der Vorgabe des Flächenkraft- oder Spannungsvektors ${\vec {s}}_{0}$ für alle Punkte auf der Fläche und der Tatsache, dass die Fläche eine materielle Fläche ist, denn Flächenkräfte können nur auf Fluidteilchen aufgebracht werden. Auf der Fläche gilt also ${\vec {s}}_{0}={\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {n}}$, wobei ${\hat {n}}$ der Normaleneinheitsvektor der Fläche ist und sich der Spannungstensor aus der Materialgleichung ${\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {1} +\lambda \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {1} +2\mu \mathbf {d}$ berechnet. Zumeist, vor allem im technischen Bereich wie z. B. am Auslass eines durchströmten Rohres, ist die Fläche bekannt, was die Aufgabenstellung erheblich vereinfacht. ⓘ

Bei entsprechend kleinskaligen Strömungen ist die Oberflächenspannung zu berücksichtigen, die nach der Young-Laplace-Gleichung von der Krümmung der Oberfläche abhängt. Bei schwacher Krümmung entsteht für den Druck an der Oberfläche die Gleichung ⓘ

$p(x,y,z=h)=p_{0}-\gamma \left({\frac {\partial ^{2}h(x,y)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}h(x,y)}{\partial y^{2}}}\right).$ ⓘ

Hier ist $p_{0}$ der vorgegebene Druck auf der Fläche $h$, die hier die Flächenparameter $x$ und $y$ besitzt, und $\gamma$ ist ein Parameter, der die Stärke der Oberflächenspannung skaliert. ⓘ

Zusätzlich muss gegebenenfalls am Rand noch entweder eine Temperatur oder ein Wärmefluss vorgeschrieben werden. ⓘ

Vereinfachungen

Auf Grund der schwierigen Lösbarkeitseigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen wird man in den Anwendungen (soweit dies physikalisch sinnvoll ist) versuchen, vereinfachte Versionen der Navier-Stokes-Gleichungen zu betrachten. ⓘ

Boussinesq-Approximation

Für gravitationsabhängige Strömungen mit kleinen Dichtevariationen und nicht zu großen Temperaturschwankungen wird häufig die Boussinesq-Approximation verwendet. ⓘ

Stochastische Navier-Stokes-Gleichungen

Da es bis heute keinen Existenzbeweis für Lösungen der allgemeinen Navier-Stokes-Gleichungen gibt, ist auch nicht gesichert, dass sie Turbulenz von Fluiden wiedergeben und wenn ja, wie realistisch. Des Weiteren können zufällige äußere Störungen die Strömung beeinflussen (Schmetterlingseffekt) und es ist bekannt, dass Fluidelemente eine zufällige brownsche Bewegung ausführen. Solche zufälligen Fluktuationen können mit einem stochastischen Ansatz erfasst werden. Es wird eine stochastische Differentialgleichung in differentieller Schreibweise ⓘ

$\mathrm {d} {\vec {v}}_{t}=[-\nabla p_{t}+\mu \Delta {\vec {v}}_{t}-({\vec {v}}_{t}\cdot \nabla ){\vec {v}}_{t}+{\vec {f}}_{t}]\mathrm {d} t+b({\vec {v}}_{t},\operatorname {grad} {\vec {v}}_{t})\mathrm {d} W_{t}$ ⓘ

betrachtet. Der Term in der eckigen Klammer repräsentiert die Navier-Stokes-Gleichungen bei Inkompressibilität und der folgende Term einen stochastischen Einfluss wie die brownsche Bewegung. Dieser Ansatz ist zur Jahrtausendwende Gegenstand reger Forschungsaktivität. ⓘ