Energieerhaltungssatz

In der Physik und Chemie besagt der Energieerhaltungssatz, dass die Gesamtenergie eines isolierten Systems konstant bleibt; man sagt, dass sie über die Zeit erhalten bleibt. Dieses Gesetz, das erstmals von Émilie du Châtelet vorgeschlagen und getestet wurde, besagt, dass Energie weder erzeugt noch vernichtet werden kann; sie kann lediglich umgewandelt oder von einer Form in eine andere übertragen werden. So wird zum Beispiel chemische Energie in kinetische Energie umgewandelt, wenn eine Dynamitstange explodiert. Zählt man alle Energieformen zusammen, die bei der Explosion freigesetzt wurden, wie die kinetische Energie und die potenzielle Energie der Stücke sowie Wärme und Schall, so erhält man die genaue Abnahme der chemischen Energie bei der Verbrennung des Dynamits. ⓘ

Klassischerweise wurde die Erhaltung der Energie von der Erhaltung der Masse unterschieden. Die spezielle Relativitätstheorie hat jedoch gezeigt, dass Masse und Energie durch E = mc² zusammenhängen und umgekehrt, und die Wissenschaft vertritt nun die Auffassung, dass Masse und Energie als Ganzes erhalten bleiben. Theoretisch bedeutet dies, dass jedes Objekt mit Masse selbst in reine Energie umgewandelt werden kann, und umgekehrt. Man geht jedoch davon aus, dass dies nur unter den extremsten physikalischen Bedingungen möglich ist, wie sie wahrscheinlich im Universum kurz nach dem Urknall herrschten oder wenn schwarze Löcher Hawking-Strahlung aussenden. ⓘ

Die Energieerhaltung kann durch den Noether-Satz als Folge der kontinuierlichen Zeittranslationssymmetrie streng bewiesen werden, d. h. durch die Tatsache, dass sich die physikalischen Gesetze im Laufe der Zeit nicht ändern. ⓘ

Eine Konsequenz des Energieerhaltungssatzes ist, dass es kein Perpetuum mobile erster Art geben kann, d. h. kein System ohne externe Energiezufuhr kann eine unbegrenzte Menge an Energie an seine Umgebung abgeben. Für Systeme, die keine Zeittranslationssymmetrie aufweisen, ist es unter Umständen nicht möglich, den Energieerhaltungssatz zu definieren. Beispiele hierfür sind gekrümmte Raumzeiten in der allgemeinen Relativitätstheorie oder Zeitkristalle in der Physik der kondensierten Materie. ⓘ

Der Energieerhaltungssatz lässt sich theoretisch mit Hilfe des Noether-Theorems aus der Annahme ableiten, dass die für das System gültigen Gesetze der Physik nicht von der Zeit abhängen. ⓘ

Geschichte

Antike Philosophen, die bis zu Thales von Milet (ca. 550 v. Chr.) zurückreichen, hatten eine Ahnung von der Erhaltung einer zugrunde liegenden Substanz, aus der alles besteht. Es gibt jedoch keinen besonderen Grund, ihre Theorien mit dem zu identifizieren, was wir heute als "Masse-Energie" kennen (Thales dachte zum Beispiel, es sei Wasser). Empedokles (490-430 v. Chr.) schrieb, dass in seinem universellen System, das sich aus vier Wurzeln (Erde, Luft, Wasser, Feuer) zusammensetzt, "nichts entsteht oder vergeht", sondern dass sich diese Elemente ständig umgestalten. Epikur (ca. 350 v. Chr.) hingegen glaubte, dass sich alles im Universum aus unteilbaren Materieeinheiten zusammensetzt - dem antiken Vorläufer der "Atome" -, und auch er hatte eine gewisse Vorstellung von der Notwendigkeit der Erhaltung, indem er erklärte, dass "die Summe der Dinge immer so war, wie sie jetzt ist, und so wird sie immer bleiben". ⓘ

Im Jahr 1605 konnte Simon Stevinus eine Reihe von Problemen in der Statik lösen, die auf dem Grundsatz beruhten, dass ein Perpetuum mobile unmöglich sei. ⓘ

Im Jahr 1639 veröffentlichte Galilei seine Analyse mehrerer Situationen - darunter das berühmte "unterbrochene Pendel" -, die (in moderner Sprache) als konservative Umwandlung potenzieller Energie in kinetische Energie und wieder zurück beschrieben werden können. Im Wesentlichen wies er darauf hin, dass die Höhe, aus der ein sich bewegender Körper aufsteigt, gleich der Höhe ist, aus der er fällt, und leitete aus dieser Beobachtung die Idee der Trägheit ab. Das Bemerkenswerte an dieser Beobachtung ist, dass die Höhe, bis zu der ein sich bewegender Körper auf einer reibungsfreien Oberfläche aufsteigt, nicht von der Form der Oberfläche abhängt. ⓘ

Im Jahr 1669 veröffentlichte Christiaan Huygens seine Kollisionsgesetze. Zu den Größen, die er als unveränderlich vor und nach dem Zusammenstoß von Körpern aufführte, gehörten sowohl die Summe ihrer linearen Impulse als auch die Summe ihrer kinetischen Energien. Der Unterschied zwischen einem elastischen und einem unelastischen Zusammenstoß war damals jedoch noch nicht bekannt. Dies führte dazu, dass spätere Forscher darüber stritten, welche dieser erhaltenen Größen die grundlegendere sei. In seinem Horologium Oscillatorium machte er eine viel klarere Aussage über die Höhe des Aufstiegs eines sich bewegenden Körpers und verknüpfte diese Idee mit der Unmöglichkeit einer immerwährenden Bewegung. Huygens' Studie über die Dynamik der Pendelbewegung basierte auf einem einzigen Prinzip: dass sich der Schwerpunkt eines schweren Objekts nicht selbst heben kann. ⓘ

Gottfried Leibniz ⓘ

Leibniz unternahm in den Jahren 1676-1689 den ersten Versuch einer mathematischen Formulierung der Energie, die mit Bewegung verbunden ist (kinetische Energie). Mit Hilfe von Huygens' Arbeiten über Kollisionen stellte Leibniz fest, dass in vielen mechanischen Systemen (mit mehreren Massen, mi jeweils mit der Geschwindigkeit vi),

$\sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}$ ⓘ

so lange erhalten bleibt, wie die Massen nicht miteinander wechselwirken. Er nannte diese Größe die vis viva oder lebendige Kraft des Systems. Das Prinzip stellt eine genaue Aussage über die ungefähre Erhaltung der kinetischen Energie in Situationen dar, in denen es keine Reibung gibt. Viele Physiker dieser Zeit, wie z. B. Newton, vertraten die Ansicht, dass die Erhaltung des Impulses, die auch in Systemen mit Reibung gilt, wie durch den Impuls definiert ist:

$\sum _{i}m_{i}v_{i}$ ⓘ

war die erhaltene vis viva. Später wurde gezeigt, dass beide Größen gleichzeitig erhalten bleiben, wenn die richtigen Bedingungen gegeben sind, wie z. B. bei einer elastischen Kollision. ⓘ

Im Jahr 1687 veröffentlichte Isaac Newton seine Principia, die sich um das Konzept von Kraft und Impuls gruppierte. Die Forscher erkannten jedoch schnell, dass die in diesem Buch dargelegten Prinzipien zwar für Punktmassen gut geeignet waren, aber nicht ausreichten, um die Bewegungen starrer und flüssiger Körper zu erfassen. Es waren noch einige andere Prinzipien erforderlich. ⓘ

Daniel Bernoulli ⓘ

Der Satz von der Erhaltung der Lebenskraft wurde von dem Vater-Sohn-Duo Johann und Daniel Bernoulli vertreten. Ersterer formulierte 1715 das Prinzip der virtuellen Arbeit, wie es in der Statik verwendet wird, in seiner ganzen Allgemeinheit, während Letzterer seine 1738 veröffentlichte Hydrodynamica auf diesem einzigen Vis-viva-Erhaltungssatz aufbaute. Daniels Studie über den Verlust der vis viva von fließendem Wasser führte ihn zur Formulierung des Bernoulli-Prinzips, das besagt, dass der Verlust proportional zur Änderung des hydrodynamischen Drucks ist. Daniel formulierte auch den Begriff der Arbeit und des Wirkungsgrads für hydraulische Maschinen, und er stellte eine kinetische Theorie der Gase auf und verknüpfte die kinetische Energie der Gasmoleküle mit der Temperatur des Gases. ⓘ

Diese Konzentration der kontinentalen Physiker auf die vis viva führte schließlich zur Entdeckung der stationären Prinzipien der Mechanik, wie dem D'Alembertschen Prinzip, der Lagrangeschen und der Hamiltonschen Formulierung der Mechanik. ⓘ

Emilie du Chatelet ⓘ

Émilie du Châtelet (1706-1749) schlug die Hypothese der Erhaltung der Gesamtenergie im Gegensatz zum Impuls vor und testete sie. Inspiriert von den Theorien von Gottfried Leibniz wiederholte und veröffentlichte sie ein Experiment, das ursprünglich von Willem 's Gravesande im Jahr 1722 entwickelt worden war und bei dem Kugeln aus verschiedenen Höhen auf eine weiche Tonplatte fallen gelassen wurden. Es zeigte sich, dass die kinetische Energie jeder Kugel - die durch die Menge des verdrängten Materials angezeigt wird - proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit ist. Es wurde festgestellt, dass die Verformung des Tons direkt proportional zur Höhe ist, aus der die Kugeln fallen gelassen wurden, was der anfänglichen potenziellen Energie entspricht. Frühere Forscher, darunter Newton und Voltaire, waren davon ausgegangen, dass "Energie" (soweit sie das Konzept überhaupt verstanden) nicht vom Impuls zu unterscheiden und daher proportional zur Geschwindigkeit war. Nach diesem Verständnis hätte die Verformung des Tons proportional zur Quadratwurzel der Höhe sein müssen, aus der die Kugeln fallen gelassen wurden. In der klassischen Physik lautet die korrekte Formel $E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}$, wobei $E_{k}$ die kinetische Energie eines Objekts ist, $m$ seine Masse und $v$ seine Geschwindigkeit. Auf dieser Grundlage schlug du Châtelet vor, dass die Energie in jeder Form immer die gleichen Dimensionen haben muss, was notwendig ist, um sie in verschiedenen Formen (kinetisch, potentiell, Wärme, ...) betrachten zu können. ⓘ

Ingenieure wie John Smeaton, Peter Ewart, Carl Holtzmann, Gustave-Adolphe Hirn und Marc Seguin erkannten, dass die Impulserhaltung allein für praktische Berechnungen nicht ausreichte, und nutzten das Leibnizsche Prinzip. Das Prinzip wurde auch von einigen Chemikern wie William Hyde Wollaston vertreten. Akademiker wie John Playfair wiesen schon früh darauf hin, dass die kinetische Energie eindeutig nicht erhalten bleibt. Für eine moderne Analyse auf der Grundlage des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik ist dies offensichtlich, aber im 18. und 19. Jahrhundert war das Schicksal der verlorenen Energie noch unbekannt. ⓘ

Allmählich kam der Verdacht auf, dass die Wärme, die durch die Bewegung unter Reibung zwangsläufig entsteht, eine andere Form der vis viva ist. 1783 untersuchten Antoine Lavoisier und Pierre-Simon Laplace die beiden konkurrierenden Theorien der vis viva und der kalorischen Theorie. Die Beobachtungen von Graf Rumford aus dem Jahr 1798 über die Wärmeentwicklung beim Bohren von Kanonen untermauerten die Ansicht, dass mechanische Bewegung in Wärme umgewandelt werden kann und dass diese Umwandlung quantitativ ist und vorhergesagt werden kann (unter Berücksichtigung einer universellen Umwandlungskonstante zwischen kinetischer Energie und Wärme). Vis viva wurde dann als Energie bezeichnet, nachdem der Begriff erstmals 1807 von Thomas Young in diesem Sinne verwendet wurde. ⓘ

Gaspard-Gustave Coriolis ⓘ

Die Rekalibrierung von vis viva zu ⓘ

${\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}$ ⓘ

die als Umwandlung von kinetischer Energie in Arbeit verstanden werden kann, war weitgehend das Ergebnis von Gaspard-Gustave Coriolis und Jean-Victor Poncelet im Zeitraum 1819-1839. Ersterer nannte die Größe quantité de travail (Arbeitsmenge) und letzterer travail mécanique (mechanische Arbeit), und beide setzten sich für ihre Verwendung in technischen Berechnungen ein. ⓘ

In einem 1837 in der Zeitschrift für Physik veröffentlichten Aufsatz Über die Natur der Wärme" gab Karl Friedrich Mohr eine der ersten allgemeinen Erklärungen der Lehre von der Energieerhaltung ab: Außer den 54 bekannten chemischen Elementen gibt es in der physikalischen Welt nur ein einziges Agens, und dieses wird Kraft genannt. Sie kann, je nach den Umständen, als Bewegung, chemische Affinität, Kohäsion, Elektrizität, Licht und Magnetismus erscheinen; und von jeder dieser Formen kann sie in jede der anderen umgewandelt werden." ⓘ

Mechanisches Äquivalent der Wärme

Eine wichtige Etappe in der Entwicklung des modernen Erhaltungssatzes war der Nachweis des mechanischen Äquivalents der Wärme. Die kalorische Theorie besagte, dass Wärme weder erzeugt noch vernichtet werden kann, während die Energieerhaltung den gegenteiligen Grundsatz beinhaltet, dass Wärme und mechanische Arbeit austauschbar sind. ⓘ

Jahrhunderts postulierte der russische Wissenschaftler Michail Lomonossow seine korpuskulo-kinetische Wärmetheorie, die die Idee der Kalorik verwarf. Anhand der Ergebnisse empirischer Studien kam Lomonosov zu dem Schluss, dass die Wärme nicht durch die Teilchen der kalorischen Flüssigkeit übertragen wird. ⓘ

1798 führte Graf Rumford (Benjamin Thompson) Messungen der Reibungswärme durch, die beim Bohren von Kanonen entsteht, und entwickelte die Idee, dass Wärme eine Form der kinetischen Energie ist; seine Messungen widerlegten die kalorische Theorie, waren aber ungenau genug, um Zweifel zuzulassen. ⓘ

James Prescott Joule ⓘ

Das mechanische Äquivalenzprinzip wurde in seiner modernen Form erstmals von dem deutschen Chirurgen Julius Robert von Mayer im Jahr 1842 formuliert. Mayer kam zu diesem Schluss auf einer Reise nach Niederländisch-Ostindien, wo er feststellte, dass das Blut seiner Patienten eine tiefere Rotfärbung aufwies, weil sie weniger Sauerstoff und damit weniger Energie verbrauchten, um ihre Körpertemperatur in dem heißeren Klima aufrechtzuerhalten. Er entdeckte, dass Wärme und mechanische Arbeit beides Formen von Energie sind, und veröffentlichte 1845, nachdem er seine physikalischen Kenntnisse vertieft hatte, eine Monographie, in der er eine quantitative Beziehung zwischen ihnen herstellte. ⓘ

Joule's Apparat zur Messung des mechanischen Äquivalents von Wärme. Ein an einer Schnur befestigtes, herabfallendes Gewicht versetzt ein in Wasser getauchtes Paddel in Rotation. ⓘ

In der Zwischenzeit entdeckte James Prescott Joule 1843 unabhängig das mechanische Äquivalent in einer Reihe von Experimenten. In dem berühmtesten Experiment, das heute als "Joule-Apparat" bezeichnet wird, brachte ein an einer Schnur befestigtes Gewicht ein in Wasser getauchtes Paddel zum Rotieren. Er zeigte, dass die potenzielle Gravitationsenergie, die das Gewicht beim Absenken verlor, gleich der inneren Energie war, die das Wasser durch Reibung mit dem Paddel gewann. ⓘ

In den Jahren 1840-1843 führte der Ingenieur Ludwig A. Colding ähnliche Arbeiten durch, die jedoch außerhalb seines Heimatlandes Dänemark kaum bekannt waren. ⓘ

Sowohl die Arbeit von Joule als auch die von Mayer stießen auf Widerstand und wurden vernachlässigt, aber es war die Arbeit von Joule, die schließlich eine breitere Anerkennung erfuhr. ⓘ

1844 postulierte William Robert Grove eine Beziehung zwischen Mechanik, Wärme, Licht, Elektrizität und Magnetismus, indem er sie alle als Erscheinungsformen einer einzigen "Kraft" (Energie in modernen Begriffen) betrachtete. Im Jahr 1846 veröffentlichte Grove seine Theorien in seinem Buch The Correlation of Physical Forces. 1847 kam Hermann von Helmholtz auf der Grundlage der früheren Arbeiten von Joule, Sadi Carnot und Émile Clapeyron zu ähnlichen Schlussfolgerungen wie Grove und veröffentlichte seine Theorien in seinem Buch Über die Erhaltung der Kraft (1847). Die allgemeine moderne Akzeptanz des Prinzips geht auf diese Veröffentlichung zurück. ⓘ

1850 verwendete William Rankine zum ersten Mal den Ausdruck Gesetz der Erhaltung der Energie für den Grundsatz. ⓘ

Im Jahr 1877 behauptete Peter Guthrie Tait, dass der Grundsatz auf Sir Isaac Newton zurückgeht, und zwar auf der Grundlage einer kreativen Auslegung der Sätze 40 und 41 der Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Dies wird heute als ein Beispiel für Whig-Geschichte angesehen. ⓘ

Als weitere Wissenschaftler, die im 19. Jahrhundert mehr oder weniger allgemein einen Energieerhaltungssatz formulierten, führt Stephen Brush auf: Karl Friedrich Mohr, Sadi Carnot, Marc Seguin, Karl Holtzmann, Gustav Adolphe Hirn, William Robert Grove, Justus von Liebig, Michael Faraday. ⓘ

Der Energieerhaltungssatz ist in der Geschichte der Physik nicht immer unumstritten gewesen. Das berühmteste Beispiel ist Niels Bohr, der bei mehreren Gelegenheiten nur eine statistische (gemittelte) Erhaltung der Energie bei Quantenprozessen befürwortete, so in der sogenannten BKS-Theorie 1924 mit John C. Slater und Hendrik Anthony Kramers. Diese sollte die ältere Quantentheorie mit der klassischen elektromagnetischen Feldvorstellung in Einklang bringen. Wenig später wurde diese Theorie durch Experimente von Compton und auch Hans Geiger und Walther Bothe widerlegt und die Gültigkeit des Energieerhaltungssatzes auch auf Quantenebene bestätigt. Auch später versuchte Bohr, manche zunächst rätselhaften Quantenphänomene mit einer nur statistischen Gültigkeit des Energieerhaltungssatzes zu erklären, so beim Betazerfall; die dort „fehlende“ Energie der beobachteten Zerfallsprodukte wurde jedoch von Wolfgang Pauli durch das Postulat eines neuen, nur schwach wechselwirkenden Teilchens, des Neutrinos, erklärt. ⓘ

Heute gilt der Energieerhaltungssatz als etabliert und wird sogar häufig zur Definition der Energie herangezogen. ⓘ

Masse-Energie-Äquivalenz

Materie besteht aus Atomen und dem, was die Atome ausmacht. Materie hat eine intrinsische oder Ruhemasse. Im begrenzten Bereich der anerkannten Erfahrungen des neunzehnten Jahrhunderts wurde festgestellt, dass diese Ruhemasse erhalten bleibt. Einsteins spezielle Relativitätstheorie von 1905 zeigte, dass die Ruhemasse einer entsprechenden Menge an Ruheenergie entspricht. Das bedeutet, dass die Ruhemasse in oder aus äquivalenten Mengen von (nicht-materiellen) Energieformen umgewandelt werden kann, z. B. kinetische Energie, potenzielle Energie und elektromagnetische Strahlungsenergie. Wenn dies geschieht, bleibt die Ruhemasse, wie die Erfahrung des 20. Jahrhunderts gezeigt hat, im Gegensatz zur Gesamtmasse oder Gesamtenergie nicht erhalten. Alle Formen von Energie tragen zur Gesamtmasse und Gesamtenergie bei. ⓘ

So haben beispielsweise ein Elektron und ein Positron jeweils eine Ruhemasse. Sie können zusammen vergehen, wobei ihre kombinierte Ruheenergie in Photonen umgewandelt wird, die elektromagnetische Strahlungsenergie, aber keine Ruhemasse haben. Geschieht dies in einem isolierten System, das die Photonen oder ihre Energie nicht an die äußere Umgebung abgibt, so ändert sich weder die Gesamtmasse noch die Gesamtenergie des Systems. Die erzeugte elektromagnetische Strahlungsenergie trägt genauso viel zur Trägheit (und zu jeglichem Gewicht) des Systems bei wie die Ruhemasse des Elektrons und Positrons vor ihrem Untergang. Ebenso können nichtmaterielle Energieformen in Materie übergehen, die eine Ruhemasse hat. ⓘ

Somit sind die Erhaltung der Energie (insgesamt, einschließlich der materiellen oder Ruheenergie) und die Erhaltung der Masse (insgesamt, nicht nur in Ruhe) ein (gleichwertiges) Gesetz. Im 18. Jahrhundert traten sie als zwei scheinbar unterschiedliche Gesetze auf. ⓘ

Erhaltung der Energie beim Betazerfall

Die Entdeckung im Jahr 1911, dass die beim Betazerfall emittierten Elektronen ein kontinuierliches und kein diskretes Spektrum aufweisen, schien dem Energieerhaltungssatz zu widersprechen, da man damals davon ausging, dass es sich beim Betazerfall um die einfache Emission eines Elektrons aus einem Atomkern handelt. Dieses Problem wurde schließlich 1933 von Enrico Fermi gelöst, der die korrekte Beschreibung des Betazerfalls als Emission sowohl eines Elektrons als auch eines Antineutrinos vorschlug, das die scheinbar fehlende Energie abtransportiert. ⓘ

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Für ein geschlossenes thermodynamisches System kann der erste Hauptsatz der Thermodynamik wie folgt formuliert werden:

$\delta Q=\mathrm {d} U+\delta W$oder äquivalent, $\mathrm {d} U=\delta Q-\delta W,$ ⓘ

wobei $\delta Q$ die Menge an Energie ist, die dem System durch einen Erwärmungsprozess zugeführt wird, $\delta W$ die Energiemenge ist, die dem System durch die vom System an seine Umgebung geleistete Arbeit verloren geht, und $\mathrm {d} U$ die Änderung der inneren Energie des Systems ist. ⓘ

Die δs vor den Begriffen Wärme und Arbeit werden verwendet, um anzuzeigen, dass sie einen Energiezuwachs beschreiben, der etwas anders zu interpretieren ist als der $\mathrm {d} U$ Inkrement der inneren Energie (siehe Ungenaues Differential). Arbeit und Wärme beziehen sich auf Arten von Prozessen, die einem System Energie hinzufügen oder entziehen, während die innere Energie $U$ eine Eigenschaft eines bestimmten Zustands des Systems ist, wenn es sich in einem unveränderlichen thermodynamischen Gleichgewicht befindet. So bedeutet der Begriff "Wärmeenergie" für $\delta Q$ "die durch Erwärmung zugeführte Energiemenge" und bezieht sich nicht auf eine bestimmte Form von Energie. In gleicher Weise bedeutet der Begriff "Arbeitsenergie" für $\delta W$ "die Menge an Energie, die durch Arbeit verloren geht". Man kann also die Menge an innerer Energie angeben, die ein thermodynamisches System besitzt, von dem man weiß, dass es sich gegenwärtig in einem bestimmten Zustand befindet, aber man kann nicht allein aufgrund der Kenntnis des gegenwärtigen Zustands sagen, wie viel Energie in der Vergangenheit in das System hinein- oder aus ihm herausgeflossen ist, weil es erwärmt oder abgekühlt wurde oder weil Arbeit an oder durch das System verrichtet wurde. ⓘ

Die Entropie ist eine Funktion des Zustands eines Systems, die angibt, wie begrenzt die Möglichkeit der Umwandlung von Wärme in Arbeit ist. ⓘ

Für ein einfaches kompressibles System kann die vom System geleistete Arbeit geschrieben werden:

$\delta W=P\,\mathrm {d} V,$ ⓘ

wobei $P$ ist der Druck und $dV$ eine kleine Änderung des Volumens des Systems ist, wobei es sich jeweils um Systemvariablen handelt. In dem fiktiven Fall, in dem der Prozess idealisiert und unendlich langsam ist, so dass er als quasistatisch bezeichnet werden kann, und als reversibel angesehen wird, wobei die Wärme von einer Quelle mit einer Temperatur infinitesimal über der Systemtemperatur übertragen wird, kann die Wärmeenergie wie folgt geschrieben werden ⓘ

$\delta Q=T\,\mathrm {d} S,$ ⓘ

wobei $T$ ist die Temperatur und $\mathrm {d} S$ ist eine kleine Änderung der Entropie des Systems. Temperatur und Entropie sind Variablen für den Zustand eines Systems. ⓘ

Wenn ein offenes System (in dem Masse mit der Umgebung ausgetauscht werden kann) mehrere Wände hat, so dass der Stoffaustausch durch starre Wände getrennt vom Wärme- und Arbeitsaustausch erfolgt, dann kann das erste Gesetz wie folgt geschrieben werden ⓘ

$\mathrm {d} U=\delta Q-\delta W+\sum _{i}h_{i}\,dM_{i},$ ⓘ

wobei $dM_{i}$ ist die hinzugefügte Masse der Spezies $i$ und $h_{i}$ die entsprechende Enthalpie pro Masseneinheit ist. Beachten Sie, dass im Allgemeinen $dS\neq \delta Q/T$ in diesem Fall, da die Materie ihre eigene Entropie mit sich führt. Stattdessen, $dS=\delta Q/T+\textstyle {\sum _{i}}s_{i}\,dM_{i}$, wobei $s_{i}$ die Entropie pro Masseneinheit des Typs $i$, aus der wir die grundlegende thermodynamische Beziehung ⓘ

$\mathrm {d} U=T\,dS-P\,dV+\sum _{i}\mu _{i}\,dN_{i}$ ⓘ

weil das chemische Potenzial $\mu _{i}$ die partielle molare freie Gibbs-Energie der Spezies $i$ und die Gibbs'sche freie Energie $G\equiv H-TS$. ⓘ

Noethers Theorem

Emmy Noether (1882-1935) war eine einflussreiche Mathematikerin, die für ihre bahnbrechenden Beiträge zur abstrakten Algebra und theoretischen Physik bekannt ist. ⓘ

Die Erhaltung der Energie ist ein gemeinsames Merkmal vieler physikalischer Theorien. Aus mathematischer Sicht wird sie als Folge des Noether-Theorems verstanden, das 1915 von Emmy Noether entwickelt und 1918 erstmals veröffentlicht wurde. Das Theorem besagt, dass jede kontinuierliche Symmetrie einer physikalischen Theorie eine zugehörige Erhaltungsgröße hat; ist die Symmetrie der Theorie zeitinvariant, so heißt die Erhaltungsgröße "Energie". Der Energieerhaltungssatz ist eine Folge der Verschiebungssymmetrie der Zeit; die Energieerhaltung ergibt sich aus der empirischen Tatsache, dass sich die physikalischen Gesetze nicht mit der Zeit selbst ändern. Philosophisch lässt sich dies so ausdrücken: "Nichts hängt von der Zeit an sich ab". Mit anderen Worten: Wenn das physikalische System unter der kontinuierlichen Symmetrie der Zeitverschiebung invariant ist, dann bleibt seine Energie (die die kanonische konjugierte Größe zur Zeit ist) erhalten. Umgekehrt zeigen Systeme, die unter Zeitverschiebungen nicht invariant sind (z. B. Systeme mit zeitabhängiger potenzieller Energie), keine Energieerhaltung - es sei denn, wir betrachten sie als Energieaustausch mit einem anderen, einem externen System, so dass die Theorie des erweiterten Systems wieder zeitinvariant wird. Die Energieerhaltung für endliche Systeme ist in physikalischen Theorien wie der speziellen Relativitätstheorie und der Quantentheorie (einschließlich QED) in der flachen Raumzeit gültig. ⓘ

In der Lagrangeschen Mechanik ergibt sich Energieerhaltung aus dem Noether-Theorem, wenn die Wirkung unter zeitlichen Verschiebungen invariant ist. ⓘ

Relativitätstheorie

Mit der Entdeckung der speziellen Relativitätstheorie durch Henri Poincaré und Albert Einstein wurde die Energie als eine Komponente eines Energie-Impuls-4-Vektors vorgeschlagen. Jede der vier Komponenten (eine Energie- und drei Impulskomponenten) dieses Vektors bleibt in jedem geschlossenen System aus der Sicht eines beliebigen Inertialsystems über die Zeit hinweg erhalten. Ebenfalls erhalten bleibt die Vektorlänge (Minkowski-Norm), die für einzelne Teilchen die Ruhemasse und für Teilchensystemen die invariante Masse ist (wobei Impulse und Energie getrennt summiert werden, bevor die Länge berechnet wird). ⓘ

Die relativistische Energie eines einzelnen massiven Teilchens enthält neben der kinetischen Bewegungsenergie auch einen Term, der sich auf seine Ruhemasse bezieht. Im Grenzfall der kinetischen Energie von Null (oder entsprechend im Ruhezustand) eines massiven Teilchens oder im Impulszentrum von Objekten oder Systemen, die kinetische Energie behalten, ist die Gesamtenergie eines Teilchens oder Objekts (einschließlich der internen kinetischen Energie in Systemen) proportional zur Ruhemasse oder invarianten Masse, wie durch die berühmte Gleichung beschrieben $E=mc^{2}$. ⓘ

Somit gilt der Energieerhaltungssatz der Speziellen Relativitätstheorie über die Zeit weiter, solange das Bezugssystem des Beobachters unverändert bleibt. Dies gilt für die Gesamtenergie von Systemen, auch wenn verschiedene Beobachter über den Energiewert unterschiedlicher Meinung sind. Ebenfalls erhalten und für alle Beobachter unveränderlich ist die invariante Masse, d. h. die minimale Masse und Energie des Systems, die von jedem Beobachter wahrgenommen werden kann und die durch die Energie-Moment-Beziehung definiert ist. ⓘ

In der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Energie-Impuls-Erhaltung außer in bestimmten Spezialfällen nicht klar definiert. Der Energie-Impuls wird normalerweise mit Hilfe eines Spannungs-Energie-Impuls-Pseudotensors ausgedrückt. Da Pseudotensoren jedoch keine Tensoren sind, lassen sie sich nicht sauber zwischen Bezugsrahmen transformieren. Wenn die betrachtete Metrik statisch (d. h. sie ändert sich nicht mit der Zeit) oder asymptotisch flach ist (d. h. die Raumzeit sieht in unendlicher Entfernung leer aus), dann gilt die Energieerhaltung ohne größere Probleme. In der Praxis erfüllen einige Metriken wie die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik diese Bedingungen nicht und die Energieerhaltung ist nicht gut definiert. Die allgemeine Relativitätstheorie lässt die Frage offen, ob es eine Energieerhaltung für das gesamte Universum gibt. ⓘ

Quantentheorie

In der Quantenmechanik wird die Energie eines Quantensystems durch einen selbstadjunkten (oder hermiteschen) Operator, den so genannten Hamiltonian, beschrieben, der auf den Hilbert-Raum (oder einen Raum von Wellenfunktionen) des Systems wirkt. Wenn der Hamiltonoperator ein zeitunabhängiger Operator ist, ändert sich die Emergenzwahrscheinlichkeit des Messergebnisses nicht mit der Zeit über die Entwicklung des Systems. Somit ist auch der Erwartungswert der Energie zeitunabhängig. Die lokale Energieerhaltung in der Quantenfeldtheorie wird durch den Quanten-Noether-Satz für den Energie-Momententensor-Operator gewährleistet. Aufgrund des Fehlens des (universellen) Zeitoperators in der Quantentheorie sind die Unschärferelationen für Zeit und Energie im Gegensatz zur Orts-Moment-Unschärferelation nicht fundamental und gelten nur in speziellen Fällen (siehe Unschärferelation). Die Energie zu jedem festen Zeitpunkt kann im Prinzip genau gemessen werden, ohne dass die Unschärferelation für Zeit und Energie zu einem Präzisionsverlust führt. Somit ist die Erhaltung der Energie in der Zeit auch in der Quantenmechanik ein klar definiertes Konzept. ⓘ

Umgangssprache

Im physikalischen Sinne des Energieerhaltungssatzes ist ein „Verlust“ von Energie nicht möglich. Trotzdem wird umgangssprachlich von „Energieverbrauch“, „Energieverschwendung“, „Energiesparen“ und „Energieverlust“ gesprochen. Dies ist vertretbar, denn die Erde ist kein abgeschlossenes System und außerdem können der Mensch und andere Lebewesen Energie nur in bestimmten Formen nutzen; die genannten Begriffe beschreiben den Übergang von Energie aus technisch leicht nutzbaren oder biologisch nutzbaren Energieformen (Exergie) in schlechter oder nicht nutzbare Formen (Anergie). Ebenso unmöglich ist es, Energie zu erzeugen. Mit der umgangssprachlichen „Energieerzeugung“ ist vielmehr die Umwandlung vorhandener Energie in eine für den Menschen nutzbare Form, meist elektrische Energie, gemeint. ⓘ

Bei den meisten heute gebräuchlichen Arten von Energieumwandlung werden Energieträger mit einer geringen oder spezifischen Entropie in Formen mit höherer Entropie umgewandelt. Ein Kraftfahrzeug wandelt beispielsweise chemische Energie, die ursprünglich aus Erdöl oder Rapsöl stammt, in kinetische Energie und thermische Energie um. Da Erdöl nicht regenerierbar ist, kann dies als Energieverlust in dem Sinne gesehen werden, dass diese spezielle Form chemischer Energie mit niedriger Entropie für zukünftige Generationen oder für andere Zwecke verloren geht. ⓘ

Bei jeder der Umwandlungsarten, die heute gebräuchlich sind, wird nur ein Teil der im Energieträger vorhandenen Energie in nutzbare Energie umgewandelt. Von Energiesparen spricht man daher, wenn sich der Wirkungsgrad des Energieumwandlungsprozesses oder eines Gerätes durch technischen Fortschritt erhöht, sodass weniger Rohstoff mehr nutzbare Energie liefert oder der jeweilige Zweck mit weniger Energie erzielt wird. ⓘ

Anwendungsgebiete

Energieerhaltungssatz in der Elektrodynamik

Elektromagnetische Felder sind oft nur ein Teilsystem, das an andere Systeme, zum Beispiel geladene Teilchen mit einer gewissen Ladung, Masse und Geschwindigkeit, gekoppelt ist. Die Energiebilanz in der Elektrodynamik, also der Energiestrom in Feldern und der Austausch mit anderen Teilsystemen, wird durch den Satz von Poynting beschrieben. ⓘ