Lagrange-Formalismus

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) ⓘ

In der Physik ist die Lagrangesche Mechanik eine Formulierung der klassischen Mechanik, die auf dem Prinzip der stationären Aktion (auch bekannt als Prinzip der geringsten Aktion) beruht. Sie wurde von dem italienisch-französischen Mathematiker und Astronomen Joseph-Louis Lagrange in seinem Werk Mécanique analytique (1788) eingeführt. ⓘ

Die Lagrangesche Mechanik beschreibt ein mechanisches System mit einem Paar ${\textstyle (M,L)}$, bestehend aus einem Konfigurationsraum ${\textstyle M}$ und einer glatten Funktion ${\textstyle L}$ genannt Lagrange. Nach Konvention, ${\textstyle L=T-V,}$ wobei ${\textstyle T}$ und $V$ die kinetische bzw. potentielle Energie des Systems sind. ⓘ

Das Prinzip der stationären Aktion verlangt, dass das Aktionsfunktional des Systems, das aus ${\textstyle L}$ abgeleitete Aktionsfunktion des Systems während der gesamten zeitlichen Entwicklung des Systems in einem stationären Punkt (einem Maximum, Minimum oder Sattel) verharren muss. Diese Einschränkung ermöglicht die Berechnung der Bewegungsgleichungen des Systems mit Hilfe der Lagrange-Gleichungen. ⓘ

Der Lagrange-Formalismus ist in der Physik eine 1788 von Joseph-Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik, in der die Dynamik eines Systems durch eine einzige skalare Funktion, die Lagrange-Funktion, beschrieben wird. Der Formalismus ist (im Gegensatz zur newtonschen Mechanik, die a priori nur in Inertialsystemen gilt) auch in beschleunigten Bezugssystemen gültig. Der Lagrange-Formalismus ist invariant gegen Koordinatentransformationen. Aus der Lagrange-Funktion lassen sich die Bewegungsgleichungen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen der Variationsrechnung aus dem Prinzip der extremalen Wirkung bestimmen. Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, da sich, im Gegensatz zu der newtonschen Formulierung der Bewegungsgesetze, im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch das explizite Ausrechnen der Zwangskräfte oder die geeignete Wahl generalisierter Koordinaten berücksichtigen lassen. Aus diesem Grund wird der Lagrange-Formalismus verbreitet bei Mehrkörpersystemen (MKS) eingesetzt. Er lässt sich auch auf den relativistischen Fall übertragen und ist auch in der relativistischen Quantenfeldtheorie zur Formulierung von Modellen von Elementarteilchen und ihrer Wechselwirkungen weit verbreitet, behandelt dort allerdings eine feldtheoretische Version (Lagrange-Dichte). ⓘ

Für Systeme mit einem generalisierten Potential und holonomen Zwangsbedingungen lautet die Lagrange-Funktion ⓘ

$L=T-V$ ⓘ

Dabei sind $q_{i}$ generalisierte Koordinaten und ${\dot {q}}_{i}$ deren Zeitableitungen. ⓘ

Einführung

Eine Perle bewegt sich zwangsweise auf einem reibungsfreien Draht. Der Draht übt eine Reaktionskraft C auf die Perle aus, um sie auf dem Draht zu halten. Die nicht einschränkende Kraft N ist in diesem Fall die Schwerkraft. Beachten Sie, dass die Ausgangsposition des Drahtes zu unterschiedlichen Bewegungen führen kann. ⓘ

Einfaches Pendel. Da die Stange starr ist, ist die Position der Kugel gemäß der Gleichung f(x, y) = 0 gebunden, die Bindungskraft C ist die Spannung in der Stange. Die nicht-zwingende Kraft N ist in diesem Fall die Schwerkraft. ⓘ

Nehmen wir an, es gäbe eine Perle, die auf einem Draht gleitet, oder ein schwingendes einfaches Pendel, usw. Verfolgt man jedes der massiven Objekte (Perle, Pendelkörper usw.) als Teilchen, so würde die Berechnung der Bewegung des Teilchens mit Hilfe der Newtonschen Mechanik die Lösung der zeitlich veränderlichen Zwangskraft erfordern, die erforderlich ist, um das Teilchen in der erzwungenen Bewegung zu halten (Reaktionskraft, die vom Draht auf die Perle ausgeübt wird, oder Spannung im Pendelstab). Für das gleiche Problem mit Hilfe der Lagrangeschen Mechanik betrachtet man den Weg, den das Teilchen nehmen kann, und wählt einen geeigneten Satz unabhängiger verallgemeinerter Koordinaten, die die mögliche Bewegung des Teilchens vollständig charakterisieren. Durch diese Wahl entfällt die Notwendigkeit, die Zwangskraft in das resultierende Gleichungssystem aufzunehmen. Es gibt weniger Gleichungen, da der Einfluss der Zwangskraft auf das Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht direkt berechnet wird. ⓘ

Wenn Größe und Form eines massiven Objekts vernachlässigbar sind, ist es für eine Vielzahl von physikalischen Systemen eine nützliche Vereinfachung, es als Punktteilchen zu behandeln. Für ein System von N Punktteilchen mit den Massen m₁, m₂, ..., mN hat jedes Teilchen einen Positionsvektor, bezeichnet mit r₁, r₂, ..., rN. Oft reichen kartesische Koordinaten aus, also r₁ = (x₁, y₁, z₁), r₂ = (x₂, y₂, z₂) und so weiter. Im dreidimensionalen Raum sind für jeden Positionsvektor drei Koordinaten erforderlich, um den Ort eines Punktes eindeutig zu definieren, so dass es 3N Koordinaten gibt, um die Konfiguration des Systems eindeutig zu definieren. Dies sind alles spezifische Punkte im Raum, um die Teilchen zu lokalisieren; ein allgemeiner Punkt im Raum wird mit r = (x, y, z) bezeichnet. Die Geschwindigkeit eines jeden Teilchens gibt an, wie schnell sich das Teilchen auf seinem Bewegungspfad bewegt, und ist die zeitliche Ableitung seiner Position, also

$$\mathbf {v} _{1}={\frac {d\mathbf {r} _{1}}{dt}},\mathbf {v} _{2}={\frac {d\mathbf {r} _{2}}{dt}},\ldots ,\mathbf {v} _{N}={\frac {d\mathbf {r} _{N}}{dt}}$$

In der Newtonschen Mechanik sind die Bewegungsgleichungen durch die Newtonschen Gesetze gegeben. Das zweite Gesetz "Nettokraft ist gleich Masse mal Beschleunigung",

$$\sum \mathbf {F} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$$

gilt für jedes Teilchen. Für ein System mit N Teilchen in 3 Dimensionen sind 3N gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung für die Positionen der Teilchen zu lösen. ⓘ

Der Lagrangesche Mechanismus

Anstelle von Kräften werden in der Lagrangeschen Mechanik die Energien im System verwendet. Die zentrale Größe der Lagrangeschen Mechanik ist die Lagrangesche, eine Funktion, die die Dynamik des gesamten Systems zusammenfasst. Insgesamt hat die Lagrangesche Energieeinheiten, aber keinen einheitlichen Ausdruck für alle physikalischen Systeme. Jede Funktion, die die korrekten Bewegungsgleichungen in Übereinstimmung mit den physikalischen Gesetzen erzeugt, kann als Lagrangesche angesehen werden. Es ist jedoch möglich, allgemeine Ausdrücke für große Klassen von Anwendungen zu konstruieren. Die nichtrelativistische Lagrange für ein System von Teilchen kann wie folgt definiert werden ⓘ

$L=T-V$ ⓘ

wobei ⓘ

$T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}$ ⓘ

ist die gesamte kinetische Energie des Systems, gleich der Summe Σ der kinetischen Energien der Teilchen, und V ist die potentielle Energie des Systems. ⓘ

Die kinetische Energie ist die Energie der Bewegung des Systems, und vk² = vk - vk ist das Quadrat der Geschwindigkeit, was dem Punktprodukt der Geschwindigkeit mit sich selbst entspricht. Die kinetische Energie ist nur eine Funktion der Geschwindigkeiten vk, nicht der Positionen rk oder der Zeit t, also T = T(v₁, v₂, ...). ⓘ

Die potenzielle Energie des Systems spiegelt die Energie der Wechselwirkung zwischen den Teilchen wider, d. h. wie viel Energie ein Teilchen aufgrund aller anderen Teilchen und anderer äußerer Einflüsse hat. Bei konservativen Kräften (z. B. der Newtonschen Schwerkraft) ist sie nur eine Funktion der Positionsvektoren der Teilchen, also V = V(r₁, r₂, ...). Bei nicht konservativen Kräften, die sich aus einem geeigneten Potential ableiten lassen (z. B. elektromagnetisches Potential), erscheinen auch die Geschwindigkeiten, V = V(r₁, r₂, ..., v₁, v₂, ...). Wenn es ein äußeres Feld oder eine äußere treibende Kraft gibt, die sich mit der Zeit ändert, ändert sich auch das Potenzial mit der Zeit, so dass im Allgemeinen V = V(r₁, r₂, ..., v₁, v₂, ..., t) gilt. ⓘ

Die obige Form von L ist in der relativistischen Lagrangeschen Mechanik nicht gültig und muss durch eine Funktion ersetzt werden, die der speziellen oder allgemeinen Relativitätstheorie entspricht. Auch für dissipative Kräfte muss neben L eine weitere Funktion eingeführt werden. ⓘ

Ein oder mehrere Teilchen können jeweils einer oder mehreren holonomen Zwangsbedingungen unterliegen; eine solche Bedingung wird durch eine Gleichung der Form f(r, t) = 0 beschrieben. Wenn die Anzahl der Bedingungen im System C ist, dann hat jede Bedingung eine Gleichung, f₁(r, t) = 0, f₂(r, t) = 0, ..., f_C(r, t) = 0, von denen jede für jedes der Teilchen gelten kann. Wenn das Teilchen k der Zwangsbedingung i unterliegt, dann ist fi(rk, t) = 0. Zu jedem Zeitpunkt sind die Koordinaten eines Teilchens mit Zwangsbedingungen miteinander verbunden und nicht unabhängig. Die Zwangsgleichungen bestimmen die zulässigen Pfade, auf denen sich die Teilchen bewegen können, aber nicht, wo sie sich befinden oder wie schnell sie sich zu jedem Zeitpunkt bewegen. Nichtholonomische Zwangsbedingungen hängen von den Teilchengeschwindigkeiten, Beschleunigungen oder höheren Ableitungen der Position ab. Die Lagrangesche Mechanik kann nur auf Systeme angewandt werden, deren Beschränkungen, sofern vorhanden, alle holonom sind. Drei Beispiele für nichtholonomische Zwangsbedingungen sind: wenn die Zwangsgleichungen nicht integrabel sind, wenn die Zwangsbedingungen Ungleichungen enthalten oder wenn komplizierte nichtkonservative Kräfte wie Reibung auftreten. Nichtholonomische Zwangsbedingungen erfordern eine besondere Behandlung, und man muss unter Umständen auf die Newtonsche Mechanik zurückgreifen oder andere Methoden anwenden. ⓘ

Wenn T oder V oder beide explizit von der Zeit abhängen, ist die Lagrangesche L(r₁, r₂, ... v₁, v₂, ... t) explizit zeitabhängig, da sie von zeitlich veränderlichen Bedingungen oder äußeren Einflüssen abhängt. Wenn weder das Potenzial noch die kinetische Energie von der Zeit abhängen, dann ist die Lagrange L(r₁, r₂, ... v₁, v₂, ...) explizit zeitunabhängig. In beiden Fällen ist die Lagrange-Beziehung durch die verallgemeinerten Koordinaten immer implizit zeitabhängig. ⓘ

Mit diesen Definitionen lauten die Lagrange'schen Gleichungen erster Art ⓘ

Lagrangesche Gleichungen (erster Art)

${\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0$ ⓘ

wobei k = 1, 2, ..., N die Teilchen bezeichnet, es einen Lagrange-Multiplikator λi für jede Zwangsgleichung fi gibt und ⓘ

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} _{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}},{\frac {\partial }{\partial y_{k}}},{\frac {\partial }{\partial z_{k}}}\right)\,,\quad {\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}_{k}}},{\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{k}}},{\frac {\partial }{\partial {\dot {z}}_{k}}}\right)$ ⓘ

sind jeweils Abkürzungen für einen Vektor von partiellen Ableitungen ∂/∂ nach den angegebenen Variablen (nicht eine Ableitung nach dem gesamten Vektor). Jeder Überpunkt ist ein Kürzel für eine zeitliche Ableitung. Durch dieses Verfahren erhöht sich die Anzahl der zu lösenden Gleichungen im Vergleich zu den Newtonschen Gesetzen von 3N auf 3N + C, da es 3N gekoppelte Differentialgleichungen zweiter Ordnung in den Positionskoordinaten und Multiplikatoren sowie C Zwangsgleichungen gibt. Die Multiplikatoren können jedoch, wenn sie zusammen mit den Positionskoordinaten der Teilchen gelöst werden, Informationen über die Zwangskräfte liefern. Die Koordinaten müssen bei der Lösung der Zwangsgleichungen nicht eliminiert werden. ⓘ

In der Lagrange sind die Positionskoordinaten und die Geschwindigkeitskomponenten allesamt unabhängige Variablen, und die Ableitungen der Lagrange werden nach diesen getrennt nach den üblichen Differenzierungsregeln vorgenommen (z. B. ist die partielle Ableitung von L nach der z-Geschwindigkeitskomponente von Teilchen 2, definiert durch $v_{z,2}=dz_{2}/dt$definiert, ist einfach $\partial L/\partial v_{z,2}$; es müssen keine umständlichen Kettenregeln oder Gesamtableitungen verwendet werden, um die Geschwindigkeitskomponente mit der entsprechenden Koordinate z₂ in Beziehung zu setzen). ⓘ

In jeder Zwangsgleichung ist eine Koordinate überflüssig, da sie aus den anderen Koordinaten bestimmt wird. Die Anzahl der unabhängigen Koordinaten ist daher n = 3N - C. Wir können jeden Positionsvektor in einen gemeinsamen Satz von n verallgemeinerten Koordinaten umwandeln, die praktischerweise als n-Tupel q = (q₁, q₂, ... qn) geschrieben werden, indem wir jeden Positionsvektor und damit die Positionskoordinaten als Funktionen der verallgemeinerten Koordinaten und der Zeit ausdrücken, ⓘ

$\mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} ,t)=(x_{k}(\mathbf {q} ,t),y_{k}(\mathbf {q} ,t),z_{k}(\mathbf {q} ,t),t)\,.$ ⓘ

Der Vektor q ist ein Punkt im Konfigurationsraum des Systems. Die zeitlichen Ableitungen der verallgemeinerten Koordinaten werden als verallgemeinerte Geschwindigkeiten bezeichnet, und für jedes Teilchen ist die Transformation seines Geschwindigkeitsvektors, die gesamte Ableitung seiner Position nach der Zeit, ⓘ

${\dot {q}}_{j}={\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\,,\quad \mathbf {v} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial t}}\,.$ ⓘ

Mit diesem vk hängt die kinetische Energie in verallgemeinerten Koordinaten von den verallgemeinerten Geschwindigkeiten, den verallgemeinerten Koordinaten und der Zeit ab, wenn die Positionsvektoren aufgrund zeitvariabler Nebenbedingungen explizit von der Zeit abhängen, also $T=T(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$. ⓘ

Mit diesen Definitionen ergeben sich die Euler-Lagrange-Gleichungen bzw. die Lagrange-Gleichungen der zweiten Art ⓘ

Lagrangesche Gleichungen (Zweite Art)

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}$ ⓘ

sind mathematische Ergebnisse aus der Variationsrechnung, die auch in der Mechanik verwendet werden können. Setzt man den Lagrangianer L(q, dq/dt, t) ein, erhält man die Bewegungsgleichungen des Systems. Die Anzahl der Gleichungen hat sich im Vergleich zur Newtonschen Mechanik verringert, von 3N auf n = 3N - C gekoppelte Differentialgleichungen zweiter Ordnung in den verallgemeinerten Koordinaten. Diese Gleichungen enthalten keine Zwangskräfte, nur die nicht zwingenden Kräfte müssen berücksichtigt werden. ⓘ

Obwohl die Bewegungsgleichungen partielle Ableitungen enthalten, sind die Ergebnisse der partiellen Ableitungen immer noch gewöhnliche Differentialgleichungen in den Positionskoordinaten der Teilchen. Die gesamte zeitliche Ableitung d/dt beinhaltet oft eine implizite Differenzierung. Beide Gleichungen sind im Lagrangeschen System linear, in den Koordinaten jedoch in der Regel nichtlineare gekoppelte Gleichungen. ⓘ

Von der Newtonschen zur Lagrangeschen Mechanik

Die Newtonschen Gesetze

Isaac Newton (1642-1727) ⓘ

Der Einfachheit halber können die Newtonschen Gesetze ohne großen Verlust an Allgemeinheit für ein einzelnes Teilchen veranschaulicht werden (für ein System von N Teilchen gelten alle diese Gleichungen für jedes Teilchen im System). Die Bewegungsgleichung für ein Teilchen der Masse m ist das zweite Newtonsche Gesetz von 1687, in moderner Vektorschreibweise ⓘ

$\mathbf {F} =m\mathbf {a} \,,$ ⓘ

wobei a seine Beschleunigung und F die resultierende Kraft ist, die auf es wirkt. In drei Raumdimensionen ist dies ein System von drei gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die zu lösen sind, da diese Vektorgleichung drei Komponenten hat. Die Lösung ist der Positionsvektor r des Teilchens zum Zeitpunkt t, der den Anfangsbedingungen r und v bei t = 0 unterliegt. ⓘ

Die Newtonschen Gesetze sind in kartesischen Koordinaten einfach anzuwenden, aber kartesische Koordinaten sind nicht immer bequem, und für andere Koordinatensysteme können die Bewegungsgleichungen kompliziert werden. In einem Satz gekrümmter Koordinaten ξ = (ξ¹, ξ², ξ³) ist das Gesetz in Tensorindexschreibweise die "Lagrangesche Form" ⓘ

$F^{a}=m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi ^{a}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\Gamma ^{a}{}_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}\right)=g^{ak}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\xi }}^{k}}}-{\frac {\partial T}{\partial \xi ^{k}}}\right)\,,\quad {\dot {\xi }}^{a}\equiv {\frac {\mathrm {d} \xi ^{a}}{\mathrm {d} t}}\,,$ ⓘ

wobei F^a die ath-kontravariante Komponente der resultierenden Kraft ist, die auf das Teilchen wirkt, Γ^a_bc die Christoffel-Symbole der zweiten Art sind, ⓘ

$T={\frac {1}{2}}mg_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}$ ⓘ

ist die kinetische Energie des Teilchens und g_bc die kovarianten Komponenten des metrischen Tensors des gekrümmten Koordinatensystems. Alle Indizes a, b, c nehmen jeweils die Werte 1, 2, 3 an. Krummlinige Koordinaten sind nicht dasselbe wie verallgemeinerte Koordinaten. ⓘ

Es mag wie eine Überkomplizierung erscheinen, das Newtonsche Gesetz in dieser Form zu formulieren, aber es hat Vorteile. Die Beschleunigungskomponenten in Form der Christoffel-Symbole können vermieden werden, indem stattdessen die Ableitungen der kinetischen Energie berechnet werden. Wenn keine resultierende Kraft auf das Teilchen wirkt, F = 0, wird es nicht beschleunigt, sondern bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geraden Linie. Mathematisch gesehen sind die Lösungen der Differentialgleichung Geodäten, d. h. die Kurven mit extremer Länge zwischen zwei Punkten im Raum (diese können am Ende minimal sein, also die kürzesten Wege, aber das ist nicht notwendig). Im flachen realen 3D-Raum sind die Geodäten einfach Geraden. Für ein freies Teilchen stimmt also das zweite Newtonsche Gesetz mit der geodätischen Gleichung überein und besagt, dass freie Teilchen Geodäten folgen, also den extremen Bahnen, auf denen sie sich bewegen können. Wirkt auf das Teilchen eine Kraft F ≠ 0, so wird das Teilchen aufgrund der auf es wirkenden Kräfte beschleunigt und weicht von den Geodäten ab, denen es folgen würde, wenn es frei wäre. Mit entsprechenden Erweiterungen der hier angegebenen Größen im flachen 3D-Raum auf die gekrümmte 4D-Raumzeit lässt sich die obige Form des Newtonschen Gesetzes auch auf Einsteins allgemeine Relativitätstheorie übertragen, in der freie Teilchen in der gekrümmten Raumzeit Geodäten folgen, die nicht mehr "gerade Linien" im gewöhnlichen Sinne sind. ⓘ

Wir müssen jedoch immer noch die gesamte resultierende Kraft F kennen, die auf das Teilchen wirkt, was wiederum die resultierende nicht-zwingende Kraft N plus die resultierende zwingende Kraft C erfordert, ⓘ

$\mathbf {F} =\mathbf {C} +\mathbf {N} \,.$ ⓘ

Die Zwangskräfte können kompliziert sein, da sie im Allgemeinen von der Zeit abhängen. Außerdem sind die gekrümmten Koordinaten bei Zwangskräften nicht unabhängig, sondern durch eine oder mehrere Zwangsgleichungen miteinander verbunden. ⓘ

Die Zwangskräfte können entweder aus den Bewegungsgleichungen eliminiert werden, so dass nur die Nicht-Zwangskräfte verbleiben, oder sie können in die Bewegungsgleichungen einbezogen werden, indem die Zwangskräfte in die Bewegungsgleichungen aufgenommen werden. ⓘ

D'Alembert'sches Prinzip

Jean d'Alembert (1717-1783) ⓘ

Ein Freiheitsgrad.

Zwei Freiheitsgrade.

Zwangskraft C und virtuelle Verschiebung δr für ein Teilchen der Masse m, das auf eine Kurve beschränkt ist. Die resultierende nicht-zwingende Kraft ist N. ⓘ

Ein grundlegendes Ergebnis der analytischen Mechanik ist das Prinzip von D'Alembert, das 1708 von Jacques Bernoulli zum Verständnis des statischen Gleichgewichts eingeführt und 1743 von D'Alembert zur Lösung dynamischer Probleme weiterentwickelt wurde. Das Prinzip besagt, dass für N Teilchen die virtuelle Arbeit, d. h. die Arbeit entlang einer virtuellen Verschiebung, δr_k, gleich Null ist:

$\sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}+\mathbf {C} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0\,.$ ⓘ

Die virtuellen Verschiebungen, δrk, sind per Definition infinitesimale Änderungen der Konfiguration des Systems, die mit den Zwangskräften, die zu einem bestimmten Zeitpunkt auf das System wirken, vereinbar sind, d. h. so, dass die Zwangskräfte die Zwangsbewegung aufrechterhalten. Sie sind nicht dasselbe wie die tatsächlichen Verschiebungen im System, die durch die resultierenden Zwangs- und Nicht-Zwangskräfte verursacht werden, die auf das Teilchen wirken, um es zu beschleunigen und zu bewegen. Virtuelle Arbeit ist die Arbeit, die entlang einer virtuellen Verschiebung für eine beliebige Kraft (Zwang oder Nicht-Zwang) geleistet wird. ⓘ

Da die Zwangskräfte senkrecht zur Bewegung jedes Teilchens im System wirken, um die Zwänge aufrechtzuerhalten, ist die gesamte virtuelle Arbeit durch die auf das System wirkenden Zwangskräfte gleich Null:

$\sum _{k=1}^{N}\mathbf {C} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0\,,$ ⓘ

so dass ⓘ

$\sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0\,.$ ⓘ

Das Prinzip von D'Alembert erlaubt es uns also, uns nur auf die nicht-zwingenden Kräfte zu konzentrieren und die zwingenden Kräfte in den Bewegungsgleichungen auszuschließen. Die dargestellte Form ist auch unabhängig von der Wahl der Koordinaten. Sie kann jedoch nicht ohne Weiteres zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen in einem beliebigen Koordinatensystem verwendet werden, da die Verschiebungen δrk durch eine Zwangsgleichung verbunden sein könnten, was uns daran hindert, die N einzelnen Summanden auf 0 zu setzen. Wir suchen daher ein System voneinander unabhängiger Koordinaten, für das die Gesamtsumme nur dann 0 ist, wenn die einzelnen Summanden 0 sind. Wenn wir jeden der Summanden auf 0 setzen, erhalten wir schließlich unsere getrennten Bewegungsgleichungen. ⓘ

Bewegungsgleichungen aus dem D'Alembertschen Prinzip

Wenn es für das Teilchen k Zwangsbedingungen gibt, dann sind die Koordinaten der Position rk = (xk, yk, zk) durch eine Zwangsgleichung miteinander verbunden, ebenso wie die der virtuellen Verschiebungen δrk = (δxk, δyk, δzk). Da die verallgemeinerten Koordinaten unabhängig sind, können wir die Komplikationen mit den δrk vermeiden, indem wir sie in virtuelle Verschiebungen in den verallgemeinerten Koordinaten umwandeln. Diese sind in der gleichen Form wie ein Gesamtdifferential verknüpft, ⓘ

$\delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\,.$ ⓘ

Es gibt keine partielle Zeitableitung nach der Zeit, die mit einem Zeitinkrement multipliziert wird, da es sich um eine virtuelle Verschiebung handelt, eine entlang der Randbedingungen in einem Augenblick der Zeit. ⓘ

Der erste Term in D'Alemberts obigem Prinzip ist die virtuelle Arbeit, die von den nicht gebundenen Kräften Nk entlang der virtuellen Verschiebungen δrk verrichtet wird, und kann ohne Verlust der Allgemeinheit durch die Definition der verallgemeinerten Kräfte in die verallgemeinerten Analoga umgewandelt werden ⓘ

$Q_{j}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\,,$ ⓘ

so dass ⓘ

$\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{n}Q_{j}\delta q_{j}\,.$ ⓘ

Dies ist die Hälfte der Umrechnung in verallgemeinerte Koordinaten. Es bleibt noch, den Beschleunigungsterm in verallgemeinerte Koordinaten umzuwandeln, was nicht sofort offensichtlich ist. Unter Rückgriff auf die Lagrange-Form des zweiten Newtonschen Gesetzes können die partiellen Ableitungen der kinetischen Energie nach den verallgemeinerten Koordinaten und Geschwindigkeiten ermittelt werden, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten:

$\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\,.$ ⓘ

Das D'Alembertsche Prinzip gilt nun in den verallgemeinerten Koordinaten wie gewünscht, ⓘ

$\sum _{j=1}^{n}\left[Q_{j}-\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right)\right]\delta q_{j}=0\,,$ ⓘ

und da diese virtuellen Verschiebungen δq_j unabhängig und ungleich Null sind, können die Koeffizienten mit Null gleichgesetzt werden, was zu den Lagrangeschen Gleichungen oder den verallgemeinerten Bewegungsgleichungen führt, ⓘ

$Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}$ ⓘ

Diese Gleichungen sind äquivalent zu den Newtonschen Gesetzen für die nicht zwingenden Kräfte. Die verallgemeinerten Kräfte in dieser Gleichung werden nur von den nicht-zwingenden Kräften abgeleitet - die zwingenden Kräfte wurden vom D'Alembertschen Prinzip ausgeschlossen und müssen nicht gefunden werden. Die verallgemeinerten Kräfte können nicht-konservativ sein, sofern sie das D'Alembertsche Prinzip erfüllen. ⓘ

Euler-Lagrange-Gleichungen und das Hamilton-Prinzip

Wenn sich das System entwickelt, zeichnet q einen Pfad durch den Konfigurationsraum (nur einige sind dargestellt). Der vom System eingeschlagene Weg (rot) hat eine stationäre Wirkung (δS = 0) bei kleinen Änderungen der Konfiguration des Systems (δq). ⓘ

Für eine nicht konservative Kraft, die von der Geschwindigkeit abhängt, kann es möglich sein, eine potenzielle Energiefunktion V zu finden, die von Positionen und Geschwindigkeiten abhängt. Wenn die verallgemeinerten Kräfte Qi aus einem solchen Potential V abgeleitet werden können, dass ⓘ

$Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,,$ ⓘ

erhält man durch Gleichsetzung mit den Lagrange-Gleichungen und Definition der Lagrange-Funktion als L = T - V die Lagrange-Gleichungen der zweiten Art oder die Euler-Lagrange-Bewegungsgleichungen ⓘ

${\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0\,.$ ⓘ

Die Euler-Lagrange-Gleichungen können jedoch nur dann nicht konservativen Kräften Rechnung tragen, wenn wie gezeigt ein Potenzial gefunden werden kann. Dies ist bei nicht-konservativen Kräften nicht immer möglich, und die Lagrange-Gleichungen beinhalten kein Potenzial, sondern nur verallgemeinerte Kräfte; daher sind sie allgemeiner als die Euler-Lagrange-Gleichungen. ⓘ

Die Euler-Lagrange-Gleichungen ergeben sich auch aus der Variationsrechnung. Die Variation der Lagrange-Gleichung ist ⓘ

$\delta L=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta {\dot {q}}_{j}\right)\,,\quad \delta {\dot {q}}_{j}\equiv \delta {\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\equiv {\frac {\mathrm {d} (\delta q_{j})}{\mathrm {d} t}}\,,$ ⓘ

die eine ähnliche Form wie das Gesamtdifferential von L hat, aber die virtuellen Verschiebungen und ihre zeitlichen Ableitungen ersetzen die Differentiale, und es gibt kein Zeitinkrement gemäß der Definition der virtuellen Verschiebungen. Durch eine Integration nach der Zeit kann die zeitliche Ableitung von δq_j in das ∂L/∂(dq_j/dt) überführt werden, wobei d(δq_j)/dt gegen δq_j ausgetauscht wird, so dass die unabhängigen virtuellen Verschiebungen aus den Ableitungen der Lagrange faktorisiert werden können, ⓘ

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)\,\mathrm {d} t\,=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\delta q_{j}\,\mathrm {d} t\,.$ ⓘ

Wenn nun für alle j die Bedingung δqj(t₁) = δqj(t₂) = 0 gilt, sind die nicht integrierten Terme Null. Wenn darüber hinaus das gesamte Zeitintegral von δL Null ist, dann muss, da die δqj unabhängig sind und ein bestimmtes Integral nur dann Null sein kann, wenn der Integrand gleich Null ist, jeder der Koeffizienten von δqj ebenfalls Null sein. Dann erhalten wir die Bewegungsgleichungen. Dies lässt sich durch das Hamilton-Prinzip zusammenfassen:

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=0\,.$ ⓘ

Das Zeitintegral der Lagrange ist eine weitere Größe, die Aktion, definiert als ⓘ

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t\,,$ ⓘ

Sie ist ein Funktional, das die Lagrangesche Funktion für alle Zeiten zwischen t₁ und t₂ aufnimmt und einen skalaren Wert liefert. Ihre Dimensionen sind die gleichen wie [[[Drehimpuls|Drehimpuls]]], [Energie]-[Zeit] oder [Länge]-[Impuls]. Mit dieser Definition lautet das Hamilton-Prinzip ⓘ

$\delta S=0\,.$ ⓘ

Anstatt an Teilchen zu denken, die als Reaktion auf einwirkende Kräfte beschleunigt werden, könnte man sich also vorstellen, dass sie den Weg mit einer stationären Aktion einschlagen, wobei die Endpunkte des Weges im Konfigurationsraum zum Anfangs- und Endzeitpunkt fixiert sind. Das Hamilton-Prinzip wird manchmal auch als Prinzip der kleinsten Wirkung bezeichnet, aber das Wirkungsfunktional muss nur stationär sein und nicht unbedingt einen Maximal- oder Minimalwert haben. Jede Veränderung des Funktionals führt zu einem Anstieg des Funktionsintegrals der Aktion. ⓘ

Historisch gesehen motivierte die Idee, den kürzesten Weg zu finden, den ein Teilchen unter Einwirkung einer Kraft zurücklegen kann, die ersten Anwendungen der Variationsrechnung auf mechanische Probleme, wie z. B. das Brachistochrone-Problem, das von Jean Bernoulli 1696 gelöst wurde, sowie von Leibniz, Daniel Bernoulli, L'Hôpital etwa zur gleichen Zeit und Newton im folgenden Jahr. Newton selbst dachte in die Richtung der Variationsrechnung, veröffentlichte sie aber nicht. Diese Ideen wiederum führten zu den Variationsprinzipien der Mechanik, von Fermat, Maupertuis, Euler, Hamilton und anderen. ⓘ

Das Hamilton-Prinzip kann auf nichtholonomische Zwangsbedingungen angewandt werden, wenn die Zwangsgleichungen in eine bestimmte Form gebracht werden können, nämlich eine lineare Kombination von Differentialen erster Ordnung in den Koordinaten. Die resultierende Zwangsgleichung kann in eine Differentialgleichung erster Ordnung umgewandelt werden. Dies wird hier nicht weiter ausgeführt. ⓘ

Lagrange-Multiplikatoren und Nebenbedingungen

Die Lagrange-Gleichung L kann in den kartesischen rk-Koordinaten für N Teilchen variiert werden, ⓘ

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0\,.$ ⓘ

Das Hamilton-Prinzip gilt auch dann, wenn die Koordinaten, in denen L ausgedrückt wird, nicht unabhängig sind, in diesem Fall rk, aber die Nebenbedingungen werden immer noch als holonomisch angenommen. Wie immer sind die Endpunkte fixiert δrk(t₁) = δrk(t₂) = 0 für alle k. Was nicht möglich ist, ist die Koeffizienten von δrk einfach mit Null gleichzusetzen, da die δrk nicht unabhängig sind. Stattdessen kann die Methode der Lagrange-Multiplikatoren verwendet werden, um die Nebenbedingungen einzubeziehen. Multipliziert man jede Nebenbedingungsgleichung fi(rk, t) = 0 mit einem Lagrange-Multiplikator λi für i = 1, 2, ..., C und addiert die Ergebnisse zur ursprünglichen Lagrange-Formel, so erhält man die neue Lagrange-Formel ⓘ

$L'=L(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,{\dot {\mathbf {r} }}_{1},{\dot {\mathbf {r} }}_{2},\ldots ,t)+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}(t)f_{i}(\mathbf {r} _{k},t)\,.$ ⓘ

Die Lagrange-Multiplikatoren sind beliebige Funktionen der Zeit t, aber keine Funktionen der Koordinaten rk, so dass die Multiplikatoren den Positionskoordinaten gleichgestellt sind. Variiert man diese neue Lagrange-Formel und integriert sie über die Zeit, so erhält man ⓘ

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L'\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0\,.$ ⓘ

Die eingeführten Multiplikatoren können so gefunden werden, dass die Koeffizienten von δrk gleich Null sind, auch wenn die rk nicht unabhängig sind. Es folgen die Bewegungsgleichungen. Nach der vorangegangenen Analyse ist die Lösung dieses Integrals gleichbedeutend mit der Aussage ⓘ

${\frac {\partial L'}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0\,,$ ⓘ

die Lagrange-Gleichungen der ersten Art sind. Auch die λi Euler-Lagrange-Gleichungen für die neue Lagrange-Gleichung liefern die Zwangsgleichungen ⓘ

${\frac {\partial L'}{\partial \lambda _{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {\lambda }}_{i}}}=0\quad \Rightarrow \quad f_{i}(\mathbf {r} _{k},t)=0\,.$ ⓘ

Für den Fall einer konservativen Kraft, die durch den Gradienten einer potentiellen Energie V gegeben ist, die nur von den rk-Koordinaten abhängt, ergibt die Substitution der Lagrange-Gleichung L = T - V ⓘ

$\underbrace {{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}} _{-\mathbf {F} _{k}}+\underbrace {-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{k}}}} _{\mathbf {N} _{k}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0\,,$ ⓘ

und identifiziert die Ableitungen der kinetischen Energie als die (negative der) resultierenden Kraft und die Ableitungen des Potentials als die nicht-zwingende Kraft, so folgt, dass die zwingenden Kräfte sind ⓘ

$\mathbf {C} _{k}=\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}\,,$ ⓘ

Somit ergeben sich die Zwangskräfte explizit aus den Zwangsgleichungen und den Lagrange-Multiplikatoren. ⓘ

Eigenschaften der Lagrange-Gleichung

Nicht-Eindeutigkeit

Die Lagrangesche eines gegebenen Systems ist nicht eindeutig. Eine Lagrange-Kennlinie L kann mit einer Konstante a ungleich Null multipliziert und um eine beliebige Konstante b verschoben werden, und die neue Lagrange-Kennlinie L' = aL + b beschreibt dieselbe Bewegung wie L. Beschränkt man sich wie oben auf Trajektorien $\mathbf {q}$ über ein gegebenes Zeitintervall $[t_{\text{st}},t_{\text{fin}}]$ und feste Endpunkte $P_{\text{st}}=\mathbf {q} (t_{\text{st}})$ und $P_{\text{fin}}=\mathbf {q} (t_{\text{fin}})$einschränkt, dann können sich zwei Lagrangeschen, die dasselbe System beschreiben, durch die "Gesamtzeitableitung" einer Funktion unterscheiden $f(\mathbf {q} ,t)$: ⓘ

$L'(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)+{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}},$ ⓘ

wobei $\textstyle {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}}$ bedeutet $\textstyle {\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}.$ ⓘ

Beide Lagrangeschen $L$ und $L'$ ergeben die gleichen Bewegungsgleichungen, da die entsprechenden Aktionen $S$ und $S'$ miteinander verbunden sind über ⓘ

${\begin{aligned}S'[\mathbf {q} ]=\int \limits _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L'(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt=\int \limits _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt+\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} (t),t)}{\mathrm {d} t}}\,dt\\=S[\mathbf {q} ]+f(P_{\text{fin}},t_{\text{fin}})-f(P_{\text{st}},t_{\text{st}}),\end{aligned}}$ ⓘ

verbunden sind, wobei die letzten beiden Komponenten $f(P_{\text{fin}},t_{\text{fin}})$ und $f(P_{\text{st}},t_{\text{st}})$ unabhängig von $\mathbf {q} .$ ⓘ

Invarianz unter Punkttransformationen

Wenn wir einen Satz verallgemeinerter Koordinaten q geben und diese Variablen gemäß einer Punkttransformation q = q(s, t) in einen neuen Satz verallgemeinerter Koordinaten s ändern, ist die neue Lagrange-Gleichung L′ eine Funktion der neuen Koordinaten ⓘ

$L(\mathbf {q} (\mathbf {s} ,t),{\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {s} ,{\dot {\mathbf {s} }},t),t)=L'(\mathbf {s} ,{\dot {\mathbf {s} }},t)\,,$ ⓘ

und durch die Kettenregel für partielle Differentiation sind die Lagrange-Gleichungen unter dieser Transformation invariant; ⓘ

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {s}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial s_{i}}}\,.$ ⓘ

Dadurch können die Bewegungsgleichungen vereinfacht werden. ⓘ

Zyklische Koordinaten und konservierte Momente

Eine wichtige Eigenschaft der Lagrange-Gleichung besteht darin, dass sich die erhaltenen Größen leicht aus ihr ablesen lassen. Der verallgemeinerte Impuls "kanonisch konjugiert zu" der Koordinate qi ist definiert durch ⓘ

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.$ ⓘ

Wenn der Lagrange-Körper L nicht von einer Koordinate qi abhängt, folgt aus den Euler-Lagrange-Gleichungen unmittelbar, dass ⓘ

${\dot {p}}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0\,$ ⓘ

und die Integration zeigt, dass der entsprechende verallgemeinerte Impuls gleich einer Konstanten ist, einer erhaltenen Größe. Dies ist ein Spezialfall des Noetherschen Satzes. Solche Koordinaten werden als "zyklisch" oder "ignorierbar" bezeichnet. ⓘ

Ein System kann zum Beispiel eine Lagrange haben ⓘ

$L(r,\theta ,{\dot {s}},{\dot {z}},{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {\phi }},t)\,,$ ⓘ

wobei r und z Längen entlang gerader Linien sind, s eine Bogenlänge entlang einer Kurve ist und θ und φ Winkel sind. Beachten Sie, dass z, s und φ in der Lagrange nicht vorkommen, obwohl ihre Geschwindigkeiten es nicht tun. Dann sind die Momente ⓘ

$p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}\,,\quad p_{s}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {s}}}}\,,\quad p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}\,,$ ⓘ

sind alle erhaltene Größen. Die Einheiten und die Art jedes verallgemeinerten Impulses hängen von der entsprechenden Koordinate ab; in diesem Fall ist pz ein Translationsimpuls in _z-Richtung, ps ist ebenfalls ein Translationsimpuls entlang der Kurve, in der s gemessen wird, und p_φ ist ein Drehimpuls in der Ebene, in der der Winkel φ gemessen wird. Wie kompliziert die Bewegung des Systems auch sein mag, alle Koordinaten und Geschwindigkeiten werden so variieren, dass diese Impulse erhalten bleiben. ⓘ

Energie

Definition

Bei einem Lagrangeschen System $L,$ ist die Energie des entsprechenden mechanischen Systems per Definition,

$E=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-L.$ ⓘ

Invarianz unter Koordinatentransformationen

Zu jedem Zeitpunkt $t,$ ist die Energie invariant unter Konfigurationsraum-Koordinatenänderungen $\mathbf {q} \to \mathbf {Q}$d.h.

$E(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=E(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t).$

Neben diesem Ergebnis zeigt der nachstehende Beweis, dass sich bei einer solchen Änderung der Koordinaten die Ableitungen $\partial L/\partial {\dot {q}}_{i}$ als Koeffizienten einer linearen Form ändern. ⓘ

Beweis ⓘ

Für eine Koordinatentransformation $\mathbf {Q} =F(\mathbf {q} ),$ haben wir

$d\mathbf {Q} =F_{*}(\mathbf {q} )d\mathbf {q} ,$

wobei $F_{*}(\mathbf {q} )$ ist die Tangentialabbildung des Vektorraums

$\left\{\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\cdot \left(\partial /\partial q_{i}{\Bigl |}_{\mathbf {q} }\right)\ {\biggl |}\ {\dot {q}}_{i}\in \mathbb {R} \right\}$

in den Vektorraum

$\left\{\sum _{i=1}^{n}{\dot {Q}}_{i}\cdot \left(\partial /\partial Q_{i}{\Bigl |}_{F(\mathbf {q} )}\right)\ {\biggl |}\ {\dot {Q}}_{i}\in \mathbb {R} \right\},$

und

$\textstyle F_{*}(\mathbf {q} )={\bigl (}\partial F_{i}/\partial q_{j}{\bigl |}_{\mathbf {q} }{\bigr )}_{i,j=1}^{n}$

die Jacobi ist. Für die Koordinaten ${\dot {q}}_{i}$ und ${\dot {Q}}_{i},$ hat die vorherige Formel für $d\mathbf {Q}$ die Form ${\dot {\mathbf {Q} }}=F_{*}(\mathbf {q} ){\dot {\mathbf {q} }}.$ Nach Differenzierung mit der Produktregel,

$d{\dot {\mathbf {Q} }}=G(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})d\mathbf {q} +F_{*}(\mathbf {q} )d{\dot {\mathbf {q} }},$

wobei

${\begin{aligned}G(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})d\mathbf {q} &\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,d(F_{*}(\mathbf {q} )){\dot {\mathbf {q} }}=\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }dq_{k}\right)_{i,j=1}^{n}{\dot {\mathbf {q} }}=\left(\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{j}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }dq_{k}\right)_{i=1,\ldots ,n}^{T}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}dq_{k}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }{\dot {q}}_{j}\right)_{i=1,\ldots ,n}^{T}=\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }{\dot {q}}_{j}\right)_{i,k=1}^{n}d\mathbf {q} .\end{aligned}}$

In der Vektorschreibweise,

${\begin{aligned}dL(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {Q} }}d\mathbf {Q} +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}d{\dot {\mathbf {Q} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\&=\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {Q} }}F_{*}(\mathbf {q} )+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}G(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\right)d\mathbf {q} +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}F_{*}(\mathbf {q} )d{\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}.\end{aligned}}$

Andererseits,

$dL(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}d\mathbf {q} +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}d{\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt.$

Es wurde bereits erwähnt, dass Lagrangs nicht von der Wahl der Konfigurationsraumkoordinaten abhängen, d. h. $L(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)=L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t).$ Daraus folgt unter anderem, dass $dL(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)=dL(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t),$ und

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}F_{*}(\mathbf {q} )={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}.$

Dies zeigt, dass für jede $\mathbf {q} ,$ ${\dot {\mathbf {q} }},$ und $t,$ $\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}$ eine wohldefinierte lineare Form ist, deren Koeffizienten $\textstyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$ kontravariante 1-Tensoren sind. Wendet man beide Seiten der Gleichung auf ${\dot {\mathbf {q} }}$ und unter Verwendung der obigen Formel für ${\dot {\mathbf {Q} }}$ erhält man

${\dot {\mathbf {Q} }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}={\dot {\mathbf {q} }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}.$

Die Invarianz der Energie $E$ folgt.

Erhaltungssatz

In der Lagrangeschen Mechanik ist das System dann und nur dann geschlossen, wenn sein Lagrangescher $L$ nicht explizit von der Zeit abhängt. Der Energieerhaltungssatz besagt, dass die Energie $E$ eines geschlossenen Systems ein Integral der Bewegung ist. ⓘ

Genauer gesagt, sei $\mathbf {q} =\mathbf {q} (t)$ ein Extremum sein. (Mit anderen Worten, $\mathbf {q}$ erfüllt die Euler-Lagrange-Gleichungen). Nimmt man die gesamte Zeitableitung von $L$ entlang dieses Extrems und unter Verwendung der EL-Gleichungen ergibt sich ⓘ

$-{\frac {\partial L}{\partial t}}{\biggl |}_{\mathbf {q} (t)}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[E{\biggl |}_{\mathbf {q} (t)}\right].$ ⓘ

Wenn die Lagrange-Gleichung $L$ nicht explizit von der Zeit abhängig ist, dann $\partial L/\partial t=0,$ also $E$ in der Tat ein Integral der Bewegung, was bedeutet, dass

$E(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)={\text{const}}.$

Folglich ist die Energie erhalten. ⓘ

Kinetische und potentielle Energie

Daraus folgt auch, dass die kinetische Energie eine homogene Funktion vom Grad 2 für die verallgemeinerten Geschwindigkeiten ist. Wenn außerdem das Potential V nur eine Funktion der Koordinaten und unabhängig von den Geschwindigkeiten ist, ergibt sich durch direkte Berechnung oder durch Anwendung des Eulerschen Satzes für homogene Funktionen, dass ⓘ

$\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=2T\,.$ ⓘ

Unter all diesen Umständen ist die Konstante ⓘ

$E=T+V$ ⓘ

die Gesamtenergie des Systems ist. Die kinetische und die potenzielle Energie ändern sich zwar im Laufe der Entwicklung des Systems, aber die Bewegung des Systems ist so beschaffen, dass ihre Summe, die Gesamtenergie, konstant ist. Dies ist eine wertvolle Vereinfachung, da die Energie E eine Integrationskonstante ist, die als beliebige Konstante für das Problem gilt, und es kann möglich sein, die Geschwindigkeiten aus dieser Energiebeziehung zu integrieren, um die Koordinaten zu bestimmen. Wenn die Geschwindigkeit oder die kinetische Energie oder beides von der Zeit abhängt, dann ist die Energie nicht konserviert. ⓘ

Mechanische Ähnlichkeit

Wenn die potentielle Energie eine homogene Funktion der Koordinaten und unabhängig von der Zeit ist und alle Positionsvektoren mit der gleichen Konstante α ungleich Null skaliert sind, ist rk′ = αrk, so dass ⓘ

$V(\alpha \mathbf {r} _{1},\alpha \mathbf {r} _{2},\ldots ,\alpha \mathbf {r} _{N})=\alpha ^{N}V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})$ ⓘ

und die Zeit mit einem Faktor β skaliert wird, t′ = βt, dann werden die Geschwindigkeiten vk mit einem Faktor α/β und die kinetische Energie T mit (α/β)² skaliert. Die gesamte Lagrange ist um denselben Faktor skaliert, wenn ⓘ

${\frac {\alpha ^{2}}{\beta ^{2}}}=\alpha ^{N}\quad \Rightarrow \quad \beta =\alpha ^{1-{\frac {N}{2}}}\,.$ ⓘ

Da die Längen und Zeiten skaliert wurden, folgen die Bahnen der Teilchen im System geometrisch ähnlichen Bahnen, die sich in ihrer Größe unterscheiden. Die Länge l, die in der Zeit t auf der ursprünglichen Bahn zurückgelegt wurde, entspricht einer neuen Länge l′, die in der Zeit t′ auf der neuen Bahn zurückgelegt wurde, gegeben durch die Verhältnisse ⓘ

${\frac {t'}{t}}=\left({\frac {l'}{l}}\right)^{1-{\frac {N}{2}}}\,.$ ⓘ

Wechselwirkende Teilchen

Wenn für ein gegebenes System zwei Teilsysteme A und B nicht miteinander wechselwirken, ist der Lagrangian L des Gesamtsystems die Summe der Lagrangesysteme L_A und L_B der Teilsysteme:

$L=L_{A}+L_{B}\,.$ ⓘ

Wenn sie wechselwirken, ist dies nicht möglich. In manchen Situationen kann es möglich sein, die Lagrange des Systems L in die Summe der nicht wechselwirkenden Lagrangeschen und eine weitere Lagrange L_AB zu zerlegen, die Informationen über die Wechselwirkung enthält, ⓘ

$L=L_{A}+L_{B}+L_{AB}\,.$ ⓘ

Dies kann physikalisch motiviert sein, indem man die nicht-wechselwirkenden Lagrange als rein kinetische Energien betrachtet, während der Wechselwirkungs-Lagrange die gesamte potentielle Energie des Systems darstellt. Im Grenzfall der vernachlässigbaren Wechselwirkung tendiert L_AB gegen Null und reduziert sich auf den obigen Fall der Nicht-Wechselwirkung. ⓘ

Die Erweiterung auf mehr als zwei nicht wechselwirkende Teilsysteme ist einfach - der Gesamt-Lagrangian ist die Summe der separaten Lagranges für jedes Teilsystem. Wenn es Wechselwirkungen gibt, können Wechselwirkungs-Lagrangeschen hinzugefügt werden. ⓘ

Beispiele

In den folgenden Beispielen werden die Lagrange-Gleichungen der zweiten Art auf mechanische Probleme angewandt. ⓘ

Konservative Kraft

Ein Teilchen der Masse m bewegt sich unter dem Einfluss einer konservativen Kraft, die sich aus dem Gradienten ∇ eines skalaren Potentials ergibt, ⓘ

$\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V(\mathbf {r} )\,.$ ⓘ

Wenn es mehrere Teilchen gibt, ist gemäß den obigen Ergebnissen die gesamte kinetische Energie eine Summe über alle kinetischen Energien der Teilchen, und das Potenzial ist eine Funktion aller Koordinaten. ⓘ

Kartesische Koordinaten

Die Lagrangesche des Teilchens kann wie folgt geschrieben werden ⓘ

$L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-V(x,y,z)\,.$ ⓘ

Die Bewegungsgleichungen für das Teilchen erhält man durch Anwendung der Euler-Lagrange-Gleichung für die x-Koordinate ⓘ

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial x}}\,,$ ⓘ

mit Ableitungen ⓘ

${\frac {\partial L}{\partial x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}\,,\quad {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}\,,\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=m{\ddot {x}}\,,$ ⓘ

also ⓘ

$m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}\,,$ ⓘ

und in ähnlicher Weise für die y- und z-Koordinaten. Fasst man die Gleichungen in Vektorform zusammen, so erhält man ⓘ

$m{\ddot {\mathbf {r} }}=-{\boldsymbol {\nabla }}V$ ⓘ

das zweite Newtonsche Bewegungsgesetz für ein Teilchen, das einer konservativen Kraft ausgesetzt ist. ⓘ

Polarkoordinaten in 2D und 3D

Die Lagrange für das obige Problem in Kugelkoordinaten (2D-Polarkoordinaten lassen sich durch die folgende Einstellung wiederherstellen $\theta =\pi /2$), mit einem zentralen Potential, ist ⓘ

$L={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})-V(r)\,,$ ⓘ

Die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten also ⓘ

$m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {\partial V}{\partial r}}=0\,,$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta \,{\dot {\varphi }}^{2}=0\,,$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }})=0\,.$ ⓘ

Die φ-Koordinate ist zyklisch, da sie in der Lagrange-Gleichung nicht vorkommt, so dass der erhaltene Impuls im System der Drehimpuls ist ⓘ

$p_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}\,,$ ⓘ

wobei r, θ und dφ/dt alle mit der Zeit variieren können, aber nur so, dass p_φ konstant ist. ⓘ

Pendel auf einer beweglichen Unterlage

Skizze der Situation mit Definition der Koordinaten (zum Vergrößern anklicken) ⓘ

Betrachten wir ein Pendel der Masse m und der Länge ℓ, das an einem Träger der Masse M befestigt ist, der sich entlang einer Linie in der $x$-Richtung bewegen kann. Sei $x$ sei die Koordinate entlang der Linie des Trägers, und wir bezeichnen die Position des Pendels mit dem Winkel $\theta$ von der Vertikalen bezeichnen. Die Koordinaten und Geschwindigkeitskomponenten des Pendelkörpers sind ⓘ

${\begin{array}{rll}&x_{\mathrm {pend} }=x+\ell \sin \theta &\quad \Rightarrow \quad {\dot {x}}_{\mathrm {pend} }={\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \\&y_{\mathrm {pend} }=-\ell \cos \theta &\quad \Rightarrow \quad {\dot {y}}_{\mathrm {pend} }=\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \,.\end{array}}$ ⓘ

Die verallgemeinerten Koordinaten können wie folgt angenommen werden $x$ und $\theta$. Die kinetische Energie des Systems ist dann ⓘ

$T={\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{\mathrm {pend} }^{2}+{\dot {y}}_{\mathrm {pend} }^{2}\right)$ ⓘ

und die potentielle Energie ist ⓘ

$V=mgy_{\mathrm {pend} }$ ⓘ

und es ergibt sich der Lagrangesche ⓘ

${\begin{array}{rcl}L&=&T-V\\&=&{\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mg\ell \cos \theta \\&=&{\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}+m{\dot {x}}\ell {\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mg\ell \cos \theta \,.\end{array}}$ ⓘ

Da $x$ in der Lagrange nicht enthalten ist, handelt es sich um eine zyklische Koordinate. Der Erhaltungsimpuls ist ⓘ

$p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=(M+m){\dot {x}}+m\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \,$ ⓘ

und die Lagrange-Gleichung für die Stützkoordinate $x$ lautet ⓘ

$(M+m){\ddot {x}}+m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta -m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =0\,.$ ⓘ

Die Lagrange-Gleichung für den Winkel $\theta$ lautet ⓘ

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[m({\dot {x}}\ell \cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }})\right]+m\ell ({\dot {x}}{\dot {\theta }}+g)\sin \theta =0;$ ⓘ

und die Vereinfachung ⓘ

${\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {x}}{\ell }}\cos \theta +{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0.$ ⓘ

Diese Gleichungen sehen zwar recht kompliziert aus, aber um sie mit den Newtonschen Gesetzen zu finden, hätte man alle Kräfte sorgfältig bestimmen müssen, was sehr viel mühsamer und fehleranfälliger gewesen wäre. Durch die Betrachtung von Grenzfällen kann die Korrektheit dieses Systems überprüft werden: Zum Beispiel, ${\ddot {x}}\to 0$ die Bewegungsgleichungen für ein einfaches Pendel, das sich in einem Inertialsystem in Ruhe befindet, während ${\ddot {\theta }}\to 0$ die Gleichungen für ein Pendel in einem sich ständig beschleunigenden System liefern soll usw. Außerdem ist es trivial, die Ergebnisse bei geeigneten Ausgangsbedingungen und einem gewählten Zeitschritt numerisch zu erhalten, indem man die Ergebnisse iterativ durchgeht. ⓘ

Zwei-Körper-Zentralkraft-Problem

Zwei Körper der Massen m₁ und m₂ mit den Ortsvektoren r₁ und r₂ kreisen aufgrund eines anziehenden Zentralpotentials V umeinander. Wir können die Lagrange in Form der Ortskoordinaten aufschreiben, wie sie sind, aber es ist ein bewährtes Verfahren, das Zweikörperproblem wie folgt in ein Einkörperproblem umzuwandeln. Man führt die Jacobi-Koordinaten ein: den Abstand der Körper r = r₂ - r₁ und den Ort des Massenschwerpunkts R = (m₁r₁ + m₂r₂)/(m₁ + m₂). Die Lagrange ist dann ⓘ

$L=\underbrace {{\frac {1}{2}}M{\dot {\mathbf {R} }}^{2}} _{L_{\text{cm}}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}-V(|\mathbf {r} |)} _{L_{\text{rel}}}$ ⓘ

wobei M = m₁ + m₂ die Gesamtmasse, μ = m₁m₂/(m₁ + m₂) die reduzierte Masse und V das Potential der Radialkraft ist, das nur von der Größe des Abstands |r| = |r₂ - r₁| abhängt. Die Lagrange-Gleichung teilt sich in einen Massenschwerpunktsterm L_cm und einen Relativbewegungsterm L_rel auf. ⓘ

Die Euler-Lagrange-Gleichung für R lautet einfach ⓘ

$M{\ddot {\mathbf {R} }}=0\,,$ ⓘ

die besagt, dass sich der Massenschwerpunkt auf einer geraden Linie mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. ⓘ

Da die Relativbewegung nur von der Größe des Abstands abhängt, ist es ideal, Polarkoordinaten (r, θ) zu verwenden und r = |r| zu nehmen, ⓘ

$L_{\text{rel}}={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})-V(r)\,,$ ⓘ

θ ist also eine zyklische Koordinate mit dem entsprechenden erhaltenen (Dreh-)Impuls ⓘ

$p_{\theta }={\frac {\partial L_{\text{rel}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=\mu r^{2}{\dot {\theta }}=\ell \,.$ ⓘ

Die Radialkoordinate r und die Winkelgeschwindigkeit dθ/dt können mit der Zeit variieren, aber nur so, dass ℓ konstant ist. Die Lagrange-Gleichung für r lautet ⓘ

$\mu r{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {dV}{dr}}=\mu {\ddot {r}}\,.$ ⓘ

Diese Gleichung ist identisch mit der radialen Gleichung, die man mit den Newtonschen Gesetzen in einem mitrotierenden Bezugssystem erhält, d. h. einem System, das mit der reduzierten Masse rotiert, so dass sie stationär erscheint. Eliminiert man die Winkelgeschwindigkeit dθ/dt aus dieser radialen Gleichung, so erhält man ⓘ

$\mu {\ddot {r}}=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}+{\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}\,.$ ⓘ

die die Bewegungsgleichung für ein eindimensionales Problem darstellt, bei dem ein Teilchen der Masse μ der nach innen gerichteten Zentralkraft - dV/dr - und einer zweiten nach außen gerichteten Kraft, in diesem Zusammenhang Zentrifugalkraft genannt, ausgesetzt ist ⓘ

$F_{\mathrm {cf} }=\mu r{\dot {\theta }}^{2}={\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}\,.$ ⓘ

Bleibt man ganz bei der eindimensionalen Formulierung, so tritt ℓ natürlich nur als ein auferlegter Parameter der nach außen gerichteten Kraft auf, und seine Interpretation als Drehimpuls hängt von dem allgemeineren zweidimensionalen Problem ab, aus dem das eindimensionale Problem entstanden ist. ⓘ

Wenn man diese Gleichung mit Hilfe der Newtonschen Mechanik in einem mitrotierenden Rahmen aufstellt, ist die Interpretation offensichtlich, dass die Zentrifugalkraft in diesem Rahmen auf die Rotation des Rahmens selbst zurückzuführen ist. Gelangt man zu dieser Gleichung, indem man die verallgemeinerten Koordinaten (r, θ) verwendet und einfach der Lagrangeschen Formulierung folgt, ohne überhaupt an Rahmen zu denken, lautet die Interpretation, dass die Zentrifugalkraft eine Folge der Verwendung von Polarkoordinaten ist. Wie Hildebrand sagt: "Da solche Größen keine echten physikalischen Kräfte sind, werden sie oft als Trägheitskräfte bezeichnet. Ihr Vorhandensein oder Nichtvorhandensein hängt nicht von dem jeweiligen Problem ab, sondern von dem gewählten Koordinatensystem". Insbesondere wenn kartesische Koordinaten gewählt werden, verschwindet die Zentrifugalkraft, und die Formulierung beinhaltet nur die Zentralkraft selbst, die die Zentripetalkraft für eine gekrümmte Bewegung liefert. ⓘ

Dieser Standpunkt, dass die fiktiven Kräfte ihren Ursprung in der Wahl der Koordinaten haben, wird häufig von Anwendern der Lagrangeschen Methode vertreten. Diese Ansicht ergibt sich ganz natürlich aus dem Lagrangeschen Ansatz, da der Bezugsrahmen (möglicherweise unbewusst) durch die Wahl der Koordinaten gewählt wird. Siehe z. B. den Vergleich der Lagrangeschen Methode in einem inertialen und in einem nichtinertialen Bezugssystem. Siehe auch die Diskussion über "totale" und "aktualisierte" Lagrangesche Formulierungen in. Leider steht diese Verwendung von "Trägheitskraft" im Widerspruch zur Newtonschen Vorstellung von einer Trägheitskraft. Nach der Newtonschen Auffassung entsteht eine Trägheitskraft durch die Beschleunigung des Beobachtungsrahmens (die Tatsache, dass es sich nicht um einen Inertialrahmen handelt), nicht durch die Wahl des Koordinatensystems. Der Klarheit halber ist es am sichersten, die Lagrangeschen Trägheitskräfte als verallgemeinerte Trägheitskräfte zu bezeichnen, um sie von den Newtonschen Vektor-Trägheitskräften zu unterscheiden. Das heißt, man sollte es vermeiden, Hildebrand zu folgen, wenn er sagt (S. 155): "Wir haben es immer mit verallgemeinerten Kräften, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Impulsen zu tun. Der Kürze halber wird das Adjektiv "verallgemeinert" häufig weggelassen." ⓘ

Es ist bekannt, dass die Lagrangesche eines Systems nicht eindeutig ist. Im Lagrangeschen Formalismus können die fiktiven Newtonschen Kräfte durch das Vorhandensein alternativer Lagrangescher, in denen die fiktiven Kräfte verschwinden, identifiziert werden, die manchmal durch Ausnutzung der Symmetrie des Systems gefunden werden. ⓘ

Elektromagnetismus

Ein Testteilchen ist ein Teilchen, dessen Masse und Ladung als so klein angenommen werden, dass seine Wirkung auf das äußere System unbedeutend ist. Oft handelt es sich um ein hypothetisches, vereinfachtes Punktteilchen, das außer Masse und Ladung keine weiteren Eigenschaften besitzt. Reale Teilchen wie Elektronen und Up-Quarks sind komplexer und haben zusätzliche Terme in ihren Lagrangeschen. ⓘ

Die Lagrange für ein geladenes Teilchen mit der elektrischen Ladung q, das mit einem elektromagnetischen Feld wechselwirkt, ist das prototypische Beispiel für ein geschwindigkeitsabhängiges Potenzial. Das elektrische Skalarpotential ϕ = ϕ(r, t) und das magnetische Vektorpotential A = A(r, t) werden aus dem elektrischen Feld E = E(r, t) und dem magnetischen Feld B = B(r, t) wie folgt definiert:

$\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} \,.$ ⓘ

Die Lagrange eines massiven geladenen Testteilchens in einem elektromagnetischen Feld ⓘ

$L={\tfrac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+q\,{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} -q\phi \,,$ ⓘ

wird als minimale Kopplung bezeichnet. Kombiniert mit der Euler-Lagrange-Gleichung ergibt sich das Lorentz-Kraftgesetz ⓘ

$m{\ddot {\mathbf {r} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B}$ ⓘ

Unter Eichtransformation:

$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +{\boldsymbol {\nabla }}f\,,\quad \phi \rightarrow \phi -{\dot {f}}\,,$ ⓘ

wobei f(r,t) eine beliebige skalare Funktion von Raum und Zeit ist, transformiert sich die oben erwähnte Lagrange wie:

$L\rightarrow L+q\left({\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)f=L+q{\frac {df}{dt}}\,,$ ⓘ

was immer noch zu demselben Lorentz-Kraftgesetz führt. ⓘ

Man beachte, dass der kanonische Impuls (konjugiert zur Position r) der kinetische Impuls plus ein Beitrag des A-Feldes (bekannt als potenzieller Impuls) ist:

$\mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} \,.$ ⓘ

Diese Beziehung wird auch in der Quantenmechanik und der Quantenfeldtheorie in der Vorschrift über die minimale Kopplung verwendet. Wenn r jedoch zyklisch ist (d. h. die Lagrange ist unabhängig von der Position r), was der Fall ist, wenn die ϕ- und A-Felder gleichförmig sind, dann ist das hier angegebene kanonische Moment p das erhaltene Moment, während das messbare physikalische kinetische Moment mv nicht erhalten ist. ⓘ

Masse an Trommel (nicht-konservativ)

Schema eines Aufzuges ⓘ

Die Achse einer Aufzugtrommel wird durch ein Drehmoment $M$ angetrieben. Die Masse der Last beträgt $m$, das Massenträgheitsmoment der Trommel ist $J$. Der Radius der Trommel ist $r$. ⓘ

Zwischen den Koordinaten $x$ und $\varphi$ besteht folgende Beziehung:

$x=r\varphi$ ⓘ

$\Rightarrow \;{\dot {x}}=r{\dot {\varphi }}$ ⓘ

$\Rightarrow \;\delta x=r\delta \varphi$ ⓘ

Die kinetische Energie ist:

$T={\frac {1}{2}}\left(m{\dot {x}}^{2}+J{\dot {\varphi }}^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}+J\right)\ {\dot {\varphi }}^{2}$ ⓘ

Die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte ist ⓘ

$\delta W=-mg\,\delta x+M\,\delta \varphi =(-mgr+M)\,\delta \varphi$ ⓘ

$\Rightarrow \;Q=-mgr+M$ ⓘ

Daraus folgt schließlich die Bewegungsgleichung ⓘ

$\left(mr^{2}+J\right){\ddot {\varphi }}=-mgr+M$ ⓘ

Die Auflösung dieser Gleichung nach der Winkelbeschleunigung ergibt ⓘ

${\ddot {\varphi }}={\frac {-mgr+M}{mr^{2}+J}}$ ⓘ

Atwoodsche Fallmaschine (Methode erster Art)

Funktionsschema der Fallmaschine ⓘ

Bei der Atwoodschen Fallmaschine betrachtet man zwei Punktmassen im Gravitationsfeld der Erde, die über eine Rolle in der Höhe h aufgehängt und durch ein Seil der Länge l verbunden seien. Die Zwangsbedingung lautet in diesem Fall:

$\,F:=y_{1}+y_{2}+l-2h=0$

Wird das Seil berücksichtigt, das auf der Rolle (Rollenradius r) liegt, dann ergibt sich:

$F:=y_{1}+y_{2}+l-2h-\pi \ r=0$

Die potentielle Energie V berechnet sich zu:

$V:=m_{1}gy_{1}+m_{2}gy_{2}$

Für die Gradienten erhält man

${\frac {\partial F}{\partial y_{1}}}=1,\qquad {\frac {\partial F}{\partial y_{2}}}=1$

${\frac {\partial V}{\partial y_{1}}}=m_{1}g,\qquad {\frac {\partial V}{\partial y_{2}}}=m_{2}g$ ⓘ

Dies führt auf das System der Lagrange-Gleichungen 1. Art:

${\begin{matrix}m_{1}{\ddot {y}}_{1}&=&-m_{1}g+\lambda \\m_{2}{\ddot {y}}_{2}&=&-m_{2}g+\lambda \\y_{1}+y_{2}+l-2h&=&0\end{matrix}}$ ⓘ

Dies kann man auflösen und erhält z. B. für bekannte Anfangsbedingungen:

${\begin{matrix}y_{1}(t)&=&{\frac {1}{2}}{m_{2}-m_{1} \over {m_{1}+m_{2}}}gt^{2}+{\dot {y}}_{1,0}t+y_{1,0}\\\lambda &=&2g{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\end{matrix}}$ ⓘ

Teilchen im freien Fall (allgemeine Relativitätstheorie)

In der allgemeinen Relativitätstheorie durchlaufen frei fallende Teilchen Weltlinien längster Zeit: Zwischen zwei (genügend nah beieinander liegenden) Ereignissen $A$ und $B$ vergeht auf einer mitgeführten Uhr auf der Weltlinie frei fallender Teilchen mehr Zeit als auf allen anderen Weltlinien durch diese Ereignisse. Sei $s$ ein entlang des Pfades monoton wachsender Laufparameter, so ergibt sich die verstrichene Zeit zu ⓘ

$\tau _{AB}=\int _{\underline {s}}^{\overline {s}}L\left(s,x(s),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}\right)\,\mathrm {d} s\ ,\ x({\underline {s}})=A\,,\ x({\overline {s}})=B\,,$ ⓘ

mit der Lagrange-Funktion ⓘ

$L(s,x,{\dot {x}})={\sqrt {g_{mn}(x)\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}\,.$ ⓘ

Dabei sind $g_{mn}(x)$ die Komponentenfunktionen der Metrik (sowohl Raum- als auch Zeitkomponenten). Wir rechnen einfachheitshalber in Maßsystemen, in denen die Lichtgeschwindigkeit dimensionslos ist und den Wert $c=1$ hat, und verwenden die Einsteinsche Summenkonvention. ⓘ

Der zu $x^{k}$ konjugierte Impuls ist ⓘ

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{k}}}={\frac {g_{kl}\,{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}$ ⓘ

und die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten ⓘ

$0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {g_{kl}\,{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial _{k}g_{rs}\,{\dot {x}}^{r}\,{\dot {x}}^{s}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}$ ⓘ

$\qquad \qquad =g_{kl}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}+{\frac {{\dot {x}}^{r}\,\partial _{r}g_{ks}\,{\dot {x}}^{s}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial _{k}g_{rs}\,{\dot {x}}^{r}\,{\dot {x}}^{s}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}\,.$ ⓘ

Verwenden wir hier als Abkürzung das Christoffel-Symbol ⓘ

$\Gamma _{rs}^{l}={\frac {1}{2}}g^{lm}{\bigl (}\partial _{r}g_{sm}+\partial _{s}g_{rm}-\partial _{m}g_{rs}{\bigr )}\,,$ ⓘ

so erweist sich die Weltlinie längster Dauer als Gerade: Die Richtung der Tangente an die Weltlinie ⓘ

$u^{l}={\frac {{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}$ ⓘ

ändert sich nicht bei Parallelverschiebung längs der Weltlinie ⓘ

$0=g_{kl}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}u^{l}+{\dot {x}}^{r}\,\Gamma _{rs}^{l}\,u^{s}\right)\,.$ ⓘ

Die Parametrisierung wird nicht festgelegt. Verfügen wir so über sie, dass der Tangentialvektor überall gleich lang ist, dann ist ${\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}$ konstant und der Tangentialvektor geht beim Durchlaufen der Weltlinie in sich über. Sie erfüllt die Geodätengleichung ⓘ

$0={\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{l}}{\mathrm {d} s^{2}}}+\Gamma _{rs}^{l}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x^{r}}{\mathrm {d} s}}\,{\frac {\mathrm {d} x^{s}}{\mathrm {d} s}}\,.$ ⓘ

Dies ist die allgemein-relativistische Form der Bewegungsgleichung eines frei fallenden Teilchens. Die Gravitation ist in den $\Gamma _{rs}^{l}$ voll berücksichtigt. ⓘ

Erweiterungen zur Einbeziehung nichtkonservativer Kräfte

Dissipation (d. h. nicht-konservative Systeme) kann auch mit einem effektiven Lagrangian behandelt werden, der durch eine gewisse Verdoppelung der Freiheitsgrade formuliert wird. ⓘ

In einer allgemeineren Formulierung könnten die Kräfte sowohl konservativ als auch viskos sein. Wenn eine geeignete Transformation aus dem Fi gefunden werden kann, schlägt Rayleigh die Verwendung einer Dissipationsfunktion D der folgenden Form vor:

$D={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{m}C_{jk}{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k}\,$ ⓘ

wobei C_jk Konstanten sind, die mit den Dämpfungskoeffizienten im physikalischen System zusammenhängen, aber nicht unbedingt gleich sind. Wenn D auf diese Weise definiert ist, dann ⓘ

$Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}$ ⓘ

und ⓘ

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0\,.$ ⓘ

Andere Kontexte und Formulierungen

Die Ideen der Lagrangeschen Mechanik haben zahlreiche Anwendungen in anderen Bereichen der Physik und können verallgemeinerte Ergebnisse aus der Variationsrechnung übernehmen. ⓘ

Alternative Formulierungen der klassischen Mechanik

Eine eng verwandte Formulierung der klassischen Mechanik ist die Hamiltonsche Mechanik. Der Hamiltonian ist definiert durch ⓘ

$H=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-L\,$ ⓘ

und kann durch eine Legendre-Transformation der Lagrange erhalten werden, die neue Variablen einführt, die kanonisch zu den ursprünglichen Variablen konjugiert sind. Bei einem Satz verallgemeinerter Koordinaten sind die kanonisch konjugierten Variablen zum Beispiel die verallgemeinerten Momente. Dadurch verdoppelt sich die Anzahl der Variablen, aber die Differentialgleichungen sind nun erster Ordnung. Der Hamiltonian ist eine besonders allgegenwärtige Größe in der Quantenmechanik (siehe Hamiltonian (Quantenmechanik)). ⓘ

Die Routhsche Mechanik ist eine hybride Formulierung von Lagrangescher und Hamiltonscher Mechanik, die in der Praxis nicht oft verwendet wird, aber eine effiziente Formulierung für zyklische Koordinaten darstellt. ⓘ

Impulsraum-Formulierung

Die Euler-Lagrange-Gleichungen können auch in Form von verallgemeinerten Impulsen anstelle von verallgemeinerten Koordinaten formuliert werden. Führt man eine Legendre-Transformation an der verallgemeinerten Koordinaten-Lagrange L(q, dq/dt, t) durch, so erhält man die verallgemeinerte Momenten-Lagrange L′(p, dp/dt, t) in Form der ursprünglichen Lagrange sowie die EL-Gleichungen in Form der verallgemeinerten Momente. Beide Lagrange-Gleichungen enthalten die gleichen Informationen, und beide können zur Lösung der Bewegung des Systems verwendet werden. In der Praxis sind verallgemeinerte Koordinaten bequemer zu verwenden und zu interpretieren als verallgemeinerte Momente. ⓘ

Höhere Ableitungen von verallgemeinerten Koordinaten

Es gibt keinen mathematischen Grund, die Ableitungen verallgemeinerter Koordinaten nur auf die erste Ordnung zu beschränken. Es ist möglich, modifizierte EL-Gleichungen für eine Lagrange-Gleichung abzuleiten, die Ableitungen höherer Ordnung enthalten, siehe Euler-Lagrange-Gleichung für Details. Aus physikalischer Sicht gibt es jedoch ein Hindernis für die Einbeziehung von Zeitableitungen höherer Ordnung, was durch Ostrogradskys Konstruktion eines kanonischen Formalismus für nicht entartete Lagrangeschen höherer Ableitungen impliziert wird, siehe Ostrogradsky_instability ⓘ

Optik

Die Lagrangesche Mechanik kann auf die geometrische Optik angewandt werden, indem Variationsprinzipien auf Lichtstrahlen in einem Medium angewandt werden und die Lösung der EL-Gleichungen die Gleichungen für die Pfade liefert, denen die Lichtstrahlen folgen. ⓘ

Relativistische Formulierung

Die Lagrangesche Mechanik kann in der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie formuliert werden. Einige Merkmale der Lagrangeschen Mechanik werden in den relativistischen Theorien beibehalten, aber in anderer Hinsicht treten schnell Schwierigkeiten auf. Insbesondere haben die Gleichungen der EL die gleiche Form, und die Verbindung zwischen zyklischen Koordinaten und erhaltenen Impulsen gilt nach wie vor, allerdings muss die Lagrange modifiziert werden und ist nicht einfach die kinetische minus die potentielle Energie eines Teilchens. Außerdem ist es nicht einfach, Mehrteilchensystemen in einer offensichtlich kovarianten Weise zu behandeln, es kann jedoch möglich sein, wenn ein bestimmtes Bezugssystem herausgegriffen wird. ⓘ

Quantenmechanik

In der Quantenmechanik sind Aktion und quantenmechanische Phase über die Plancksche Konstante miteinander verbunden, und das Prinzip der stationären Aktion kann als konstruktive Interferenz von Wellenfunktionen verstanden werden. ⓘ

1948 entdeckte Feynman die Pfadintegralformulierung, die das Prinzip der kleinsten Wirkung auf die Quantenmechanik für Elektronen und Photonen ausweitet. Bei dieser Formulierung durchlaufen die Teilchen jeden möglichen Pfad zwischen dem Anfangs- und dem Endzustand; die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Endzustands erhält man durch Summierung aller möglichen Trajektorien, die zu diesem Zustand führen. Im klassischen Regime reproduziert die Pfadintegralformulierung das Hamiltonsche Prinzip und das Fermatsche Prinzip in der Optik sauber. ⓘ

Klassische Feldtheorie

In der Lagrangeschen Mechanik bilden die verallgemeinerten Koordinaten eine diskrete Menge von Variablen, die die Konfiguration eines Systems definieren. In der klassischen Feldtheorie ist das physikalische System nicht eine Menge diskreter Teilchen, sondern ein kontinuierliches Feld ϕ(r, t), das über einen Bereich des 3D-Raums definiert ist. Mit dem Feld ist eine Lagrangesche Dichte verbunden ⓘ

${\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {r} ,t)$ ⓘ

die durch das Feld und seine räumlichen und zeitlichen Ableitungen an einem Ort r und zur Zeit t definiert ist. Analog zum Fall der Teilchen ist die Lagrangesche Dichte für nichtrelativistische Anwendungen auch die kinetische Energiedichte des Feldes abzüglich seiner potentiellen Energiedichte (dies gilt nicht allgemein, und die Lagrangesche Dichte muss "umgekehrt" werden). Die Lagrange ist dann das Volumenintegral der Lagrangeschen Dichte über den 3D-Raum ⓘ

$L(t)=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$ ⓘ

wobei d³r ein 3D-Differentialvolumenelement ist. Die Lagrange ist eine Funktion der Zeit, da die Lagrangedichte über die Felder implizit raumabhängig ist und auch explizit raumabhängig sein kann, aber diese werden im Integral entfernt, so dass nur die Zeit als Variable für die Lagrange übrig bleibt. ⓘ

Noethers Theorem

Das Wirkungsprinzip und der Lagrange-Formalismus sind eng mit dem Noether-Theorem verknüpft, das physikalische Erhaltungsgrößen mit kontinuierlichen Symmetrien eines physikalischen Systems verbindet. ⓘ

Wenn die Lagrange unter einer Symmetrie invariant ist, dann sind auch die resultierenden Bewegungsgleichungen unter dieser Symmetrie invariant. Diese Eigenschaft ist sehr hilfreich, um zu zeigen, dass die Theorien entweder mit der speziellen oder der allgemeinen Relativitätstheorie vereinbar sind. ⓘ

Zusammenhang mit Pfadintegralen in der Quantenmechanik

Richard Feynman hat als Erster diese Herangehensweise auch konsequent für die Herleitung der Gleichungen der Quantenmechanik verwendet. In der klassischen Physik ergeben sich die oben beschriebenen Lagrange-Gleichungen aus der Forderung, dass das Wirkungsintegral stationär wird. In Feynmans Pfadintegral-Formalismus ist die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsamplitude, dass ein System zwischen Anfangs- und Endbedingungen einen bestimmten Pfad einschlägt, proportional zu $e^{\frac {iW}{\hbar }}$ mit dem Wirkungsintegral $W$. Pfade in der Umgebung des klassischen Weges, für den die Variation von $W$ verschwindet, liefern dabei meist die Hauptbeiträge, da sich in ihrer Umgebung die Beiträge mit fast gleichen Phasenfaktoren addieren. ⓘ