4D

Das 4D-Äquivalent eines Würfels ist ein sogenannter Tesserakt, der hier im vierdimensionalen Raum rotiert, aber zur Darstellung in zwei Dimensionen projiziert wird. ⓘ

Ein vierdimensionaler Raum (4D) ist eine mathematische Erweiterung des Konzepts des dreidimensionalen oder 3D-Raums. Der dreidimensionale Raum ist die einfachste mögliche Abstraktion der Beobachtung, dass man nur drei Zahlen, die so genannten Dimensionen, benötigt, um die Größe oder Lage von Objekten in der Alltagswelt zu beschreiben. So wird beispielsweise das Volumen eines rechteckigen Kastens durch Messung und Multiplikation seiner Länge, Breite und Höhe (oft mit x, y und z bezeichnet) ermittelt. ⓘ

Die Idee, eine vierte Dimension hinzuzufügen, begann mit Jean le Rond d'Alemberts "Dimensions", das 1754 veröffentlicht wurde, wurde Mitte des 17. Jahrhunderts von Joseph-Louis Lagrange weiterverfolgt und gipfelte 1854 in einer präzisen Formalisierung des Konzepts durch Bernhard Riemann. Im Jahr 1880 machte Charles Howard Hinton diese Erkenntnisse in einem Aufsatz mit dem Titel "What is the Fourth Dimension?" populär, in dem er das Konzept eines "vierdimensionalen Würfels" durch eine schrittweise Verallgemeinerung der Eigenschaften von Linien, Quadraten und Würfeln erklärte. Die einfachste Form von Hintons Methode besteht darin, zwei gewöhnliche 3D-Würfel im 2D-Raum zu zeichnen, wobei der eine den anderen umschließt und durch einen "unsichtbaren" Abstand getrennt ist, und dann Linien zwischen den entsprechenden Scheitelpunkten zu ziehen. Dies ist in der nebenstehenden Animation zu sehen, die einen kleineren inneren Würfel innerhalb eines größeren äußeren Würfels zeigt. Die acht Linien, die die Scheitelpunkte der beiden Würfel verbinden, stellen in diesem Fall eine einzige Richtung in der "unsichtbaren" vierten Dimension dar. ⓘ

Höherdimensionale Räume (d. h. Räume mit mehr als drei Dimensionen) sind inzwischen zu einer der Grundlagen für die formale Darstellung der modernen Mathematik und Physik geworden. Große Teile dieser Themen könnten ohne die Verwendung solcher Räume in ihrer heutigen Form nicht existieren. Einsteins Konzept der Raumzeit verwendet einen solchen 4D-Raum, der allerdings eine Minkowski-Struktur hat, die etwas komplizierter ist als der euklidische 4D-Raum. ⓘ

Einzelne Orte im 4D-Raum können als Vektoren oder n-Tupel angegeben werden, d. h. als geordnete Listen von Zahlen wie (x, y, z, w). Erst wenn solche Orte zu komplizierteren Formen verknüpft werden, kommen der ganze Reichtum und die geometrische Komplexität des höherdimensionalen Raums zum Vorschein. Einen Hinweis auf diese Komplexität gibt die nebenstehende 2D-Animation eines der einfachsten möglichen 4D-Objekte, des Tesserakts (entspricht dem 3D-Würfel; siehe auch Hyperwürfel). ⓘ

Durch Ziehen kommt man vom Punkt, zur Gerade, zur Fläche, zum Würfel und zum 4D-Hyperwürfel. ⓘ

4D oder 4-D ist eine verbreitete Abkürzung für vierdimensional als Angabe einer geometrischen Dimension. ⓘ

4D ist eine Erweiterung der Darstellung von Körpern im 3D-Raum unserer Erfahrungswirklichkeit (Länge-Breite-Höhe, Koordinaten x,y,z) um eine unabhängige Hilfsdimension zur eindeutigen Erfassung der Position und Ausdehnung eines Körpers. Unter Verwendung von kartesischen Koordinaten x, y, z wird üblicherweise eine Achse mit der Bezeichnung w ergänzt. ⓘ

Geschichte

Lagrange schrieb in seiner Mécanique analytique (veröffentlicht 1788, basierend auf Arbeiten um 1755), dass die Mechanik in einem vierdimensionalen Raum funktioniert - drei Dimensionen des Raums und eine der Zeit. 1827 erkannte Möbius, dass eine vierte Dimension es ermöglichen würde, eine dreidimensionale Form auf ihr Spiegelbild zu drehen, und bis 1853 hatte Ludwig Schläfli alle regelmäßigen Polytope entdeckt, die in höheren Dimensionen existieren, einschließlich der vierdimensionalen Analoga der platonischen Körper, aber seine Arbeit wurde erst nach seinem Tod veröffentlicht. Höhere Dimensionen wurden bald durch Bernhard Riemanns Dissertation von 1854, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, auf eine solide Grundlage gestellt, in der er einen "Punkt" als eine beliebige Folge von Koordinaten (x₁, ..., xn) betrachtete. Die Möglichkeit einer Geometrie in höheren Dimensionen, insbesondere in vier Dimensionen, wurde damit begründet. ⓘ

Eine vierdimensionale Arithmetik, die Quaternionen, wurde 1843 von William Rowan Hamilton definiert. Diese assoziative Algebra war die Quelle der Wissenschaft der Vektoranalyse in drei Dimensionen, wie sie in A History of Vector Analysis beschrieben wird. Bald darauf wurden Tessarine und Coquaternionen als weitere vierdimensionale Algebren über R eingeführt. ⓘ

Einer der ersten bedeutenden Vertreter der vierten Dimension war Charles Howard Hinton, der 1880 mit seinem in der Zeitschrift der Universität Dublin veröffentlichten Aufsatz What is the Fourth Dimension? begann. In seinem Buch A New Era of Thought prägte er die Begriffe Tesserakt, Ana und Kata, und in seinem Buch Fourth Dimension stellte er eine Methode zur Visualisierung der vierten Dimension mit Hilfe von Würfeln vor. ⓘ

Hintons Ideen inspirierten eine Fantasie über eine "Kirche der vierten Dimension", die Martin Gardner im Januar 1962 in seiner Kolumne "Mathematische Spiele" im Scientific American vorstellte. 1886 beschrieb Victor Schlegel seine Methode zur Visualisierung vierdimensionaler Objekte mit Schlegel-Diagrammen. ⓘ

Im Jahr 1908 legte Hermann Minkowski eine Arbeit vor, in der er die Rolle der Zeit als vierte Dimension der Raumzeit untermauerte, was die Grundlage für Einsteins spezielle und allgemeine Relativitätstheorien bildete. Die nicht-euklidische Geometrie der Raumzeit unterscheidet sich jedoch grundlegend von der Geometrie, die von Schläfli erforscht und von Hinton popularisiert wurde. Die Untersuchung des Minkowski-Raums erforderte eine ganz andere Mathematik als die des vierdimensionalen euklidischen Raums und entwickelte sich daher auf ganz anderen Wegen. In der populären Vorstellung war diese Trennung weniger klar, und Werke der Belletristik und der Philosophie verwischten die Unterscheidung, so dass sich H. S. M. Coxeter 1973 gezwungen sah zu schreiben:

Es ist wenig, wenn überhaupt etwas, gewonnen, wenn man die vierte euklidische Dimension als Zeit darstellt. In der Tat hat diese Idee, die von H. G. Wells in Die Zeitmaschine so attraktiv entwickelt wurde, Autoren wie John William Dunne (Ein Experiment mit der Zeit) zu einem ernsthaften Missverständnis der Relativitätstheorie geführt. Minkowskis Geometrie der Raumzeit ist nicht euklidisch und hat folglich nichts mit der vorliegenden Untersuchung zu tun.

- H. S. M. Coxeter, Reguläre Polytope ⓘ

Vektoren

Mathematisch gesehen ist der vierdimensionale Raum ein Raum mit vier räumlichen Dimensionen, d. h. ein Raum, der vier Parameter benötigt, um einen Punkt in ihm zu bestimmen. Ein allgemeiner Punkt könnte zum Beispiel den Positionsvektor a haben, der gleich

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{pmatrix}}.$

Dieser kann in Form der vier Standard-Basisvektoren (e₁, e₂, e₃, e₄) geschrieben werden, die durch

$\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{4}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},$

Der allgemeine Vektor a ist also

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4}.$

Vektoren addieren, subtrahieren und skalieren wie in drei Dimensionen. ⓘ

Das Punktprodukt des dreidimensionalen euklidischen Raums lässt sich auf vier Dimensionen wie folgt verallgemeinern

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}.$

Es kann verwendet werden, um die Norm oder Länge eines Vektors zu berechnen,

$\left|\mathbf {a} \right|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}},$

und den Winkel zwischen zwei Vektoren, die nicht Null sind, berechnen oder definieren als

$\theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}.$ ⓘ

Die Minkowski-Raumzeit ist ein vierdimensionaler Raum, dessen Geometrie durch eine nicht entartete Paarung definiert ist, die sich vom Punktprodukt unterscheidet:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}.$

Beispielsweise ist der quadrierte Abstand zwischen den Punkten (0,0,0,0) und (1,1,1,0) sowohl im euklidischen als auch im Minkowski-4-Raum 3, während der quadrierte Abstand zwischen (0,0,0,0) und (1,1,1,1) im euklidischen Raum 4 und im Minkowski-Raum 2 beträgt; eine Erhöhung $b_{4}$ verringert tatsächlich den metrischen Abstand. Dies führt zu vielen der bekannten scheinbaren "Paradoxien" der Relativitätstheorie. ⓘ

Das Kreuzprodukt ist nicht in vier Dimensionen definiert. Stattdessen wird für einige Anwendungen das Außenprodukt verwendet, das wie folgt definiert ist:

${\begin{aligned}\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {e} _{13}+(a_{1}b_{4}-a_{4}b_{1})\mathbf {e} _{14}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{23}\\+(a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2})\mathbf {e} _{24}+(a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})\mathbf {e} _{34}.\end{aligned}}$

Dieses ist bivektorwertig, wobei Bivektoren in vier Dimensionen einen sechsdimensionalen linearen Raum mit der Basis (e₁₂, e₁₃, e₁₄, e₂₃, e₂₄, e₃₄) bilden. Sie können verwendet werden, um Rotationen in vier Dimensionen zu erzeugen. ⓘ

Orthogonalität und Vokabular

Im vertrauten dreidimensionalen Raum des täglichen Lebens gibt es drei Koordinatenachsen - üblicherweise mit x, y und z bezeichnet -, wobei jede Achse orthogonal (d. h. senkrecht) zu den beiden anderen verläuft. Die sechs Himmelsrichtungen in diesem Raum können als oben, unten, Osten, Westen, Norden und Süden bezeichnet werden. Positionen entlang dieser Achsen können als Höhe, Länge und Breite bezeichnet werden. Längen, die entlang dieser Achsen gemessen werden, können als Höhe, Breite und Tiefe bezeichnet werden. ⓘ

Zum Vergleich: Im vierdimensionalen Raum gibt es eine zusätzliche Koordinatenachse, die orthogonal zu den drei anderen verläuft und üblicherweise mit w bezeichnet wird. Um die beiden zusätzlichen Himmelsrichtungen zu beschreiben, prägte Charles Howard Hinton die Begriffe ana und kata, die aus dem Griechischen stammen und "nach oben hin" bzw. "nach unten hin" bedeuten. ⓘ

Wie bereits erwähnt, nutzte Hermann Minkowski die Idee der vier Dimensionen, um die Kosmologie einschließlich der endlichen Lichtgeschwindigkeit zu diskutieren. Indem er dem dreidimensionalen Raum eine Zeitdimension hinzufügte, legte er eine alternative Rechtwinkligkeit fest, die hyperbolische Orthogonalität. Dieser Begriff verleiht seinem vierdimensionalen Raum eine modifizierte Gleichzeitigkeit, die den elektromagnetischen Beziehungen in seinem Kosmos angemessen ist. Minkowskis Welt überwand die Probleme, die mit der traditionellen absoluten Raum- und Zeitkosmologie verbunden waren, die zuvor in einem Universum mit drei Raumdimensionen und einer Zeitdimension verwendet wurde. ⓘ

Geometrie

Die Geometrie des vierdimensionalen Raums ist aufgrund des zusätzlichen Freiheitsgrads viel komplexer als die des dreidimensionalen Raums. ⓘ

So wie es in drei Dimensionen Polyeder gibt, die aus zweidimensionalen Polygonen bestehen, gibt es in vier Dimensionen 4-Polytope, die aus Polyedern bestehen. In drei Dimensionen gibt es 5 regelmäßige Polyeder, die als platonische Körper bekannt sind. In vier Dimensionen gibt es 6 konvexe regelmäßige 4-Polytope, die Analoga der platonischen Körper. Wenn man die Bedingungen für die Regelmäßigkeit lockert, erhält man weitere 58 konvexe gleichmäßige 4-Polytope, die den 13 halbregelmäßigen archimedischen Körpern in drei Dimensionen entsprechen. Wenn man die Bedingungen für die Konvexität lockert, entstehen weitere 10 nicht-konvexe regelmäßige 4-Polytope. ⓘ

Regelmäßige Polytope in vier Dimensionen
(Dargestellt als orthogonale Projektionen in jeder Coxeter-Symmetrieebene) ⓘ

A4, [3,3,3]	B4, [4,3,3]		F4, [3,4,3]	H4, [5,3,3]
5-Zelle {3,3,3}	Mosaik {4,3,3}	16-zellig {3,3,4}	24-zellig {3,4,3}	600-zellig {3,3,5}	120-zellig {5,3,3}

In drei Dimensionen kann ein Kreis zu einem Zylinder extrudiert werden. In vier Dimensionen gibt es verschiedene zylinderähnliche Objekte. Eine Kugel kann extrudiert werden, um einen kugelförmigen Zylinder zu erhalten (ein Zylinder mit kugelförmigen "Kappen", bekannt als Spherinder), und ein Zylinder kann extrudiert werden, um ein zylindrisches Prisma zu erhalten (ein Cubinder). Aus dem kartesischen Produkt zweier Kreise kann ein Duozylinder gebildet werden. Alle drei können im vierdimensionalen Raum "rollen", jeder mit seinen eigenen Eigenschaften. ⓘ

In drei Dimensionen können Kurven Knoten bilden, Flächen jedoch nicht (es sei denn, sie schneiden sich selbst). Im vierdimensionalen Raum können jedoch Knoten, die mit Kurven gebildet wurden, auf triviale Weise gelöst werden, indem sie in die vierte Richtung verschoben werden - 2D-Flächen können jedoch nicht-triviale, sich nicht selbst schneidende Knoten im 4D-Raum bilden. Da diese Flächen zweidimensional sind, können sie viel komplexere Knoten bilden als Schnüre im 3D-Raum. Die Klein-Flasche ist ein Beispiel für eine solche verknotete Fläche. Eine weitere solche Fläche ist die reelle projektive Ebene. ⓘ

Hypersphäre

Stereografische Projektion eines Clifford-Torus: die Menge der Punkte (cos(a), sin(a), cos(b), sin(b)), die eine Teilmenge der 3-Sphäre ist. ⓘ

Die Menge der Punkte im euklidischen 4-Raum, die den gleichen Abstand R von einem festen Punkt P₀ haben, bildet eine Hyperfläche, die als 3-Sphäre bezeichnet wird. Das Hypervolumen des eingeschlossenen Raums ist:

$\mathbf {V} ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}R^{4}$ ⓘ

Dies ist Teil der Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik der Allgemeinen Relativitätstheorie, bei der R durch die Funktion R(t) ersetzt wird, wobei t das kosmologische Alter des Universums bedeutet. Wenn R mit der Zeit wächst oder schrumpft, bedeutet das, dass das Universum expandiert oder kollabiert, je nach der Massendichte darin. ⓘ

Erkennen

Forschungen mit Hilfe der virtuellen Realität haben ergeben, dass Menschen, obwohl sie in einer dreidimensionalen Welt leben, ohne besondere Übung räumliche Urteile über Liniensegmente, die in den vierdimensionalen Raum eingebettet sind, auf der Grundlage ihrer Länge (eindimensional) und des Winkels (zweidimensional) zwischen ihnen treffen können. Die Forscher stellten fest, dass "die Teilnehmer unserer Studie nur minimale Übung in diesen Aufgaben hatten, und es bleibt eine offene Frage, ob es möglich ist, mit zunehmender Wahrnehmungserfahrung in virtuellen 4D-Umgebungen nachhaltigere, definitivere und reichhaltigere 4D-Repräsentationen zu erhalten". In einer anderen Studie wurde die Fähigkeit von Menschen getestet, sich in 2D-, 3D- und 4D-Labyrinthen zu orientieren. Jedes Labyrinth bestand aus vier Pfadsegmenten von zufälliger Länge, die mit orthogonalen, zufälligen Kurven verbunden waren, aber keine Abzweigungen oder Schleifen enthielten (d. h. eigentlich Labyrinthe). Die grafische Schnittstelle basierte auf dem kostenlosen Spiel 4D Maze von John McIntosh. Die teilnehmenden Personen mussten durch den Pfad navigieren und schließlich die lineare Richtung zurück zum Startpunkt schätzen. Die Forscher stellten fest, dass einige der Teilnehmer nach einiger Übung in 4D in der Lage waren, ihren Weg mental zu integrieren (die niederdimensionalen Fälle dienten zum Vergleich und zum Erlernen der Methode). ⓘ

Dimensionale Analogie

Ein Netz eines Tesserakts ⓘ

Um die Natur des vierdimensionalen Raums zu verstehen, wird häufig die so genannte dimensionale Analogie verwendet. Bei der Dimensionsanalogie wird untersucht, wie sich (n - 1) Dimensionen zu n Dimensionen verhalten, und dann gefolgert, wie sich n Dimensionen zu (n + 1) Dimensionen verhalten würden. ⓘ

Die dimensionale Analogie wurde von Edwin Abbott Abbott in dem Buch Flatland verwendet, das eine Geschichte über ein Quadrat erzählt, das in einer zweidimensionalen Welt lebt, wie die Oberfläche eines Blattes Papier. Aus der Perspektive dieses Quadrats hat ein dreidimensionales Wesen scheinbar gottähnliche Kräfte, wie z. B. die Fähigkeit, Gegenstände aus einem Tresor zu nehmen, ohne ihn aufzubrechen (indem es sie über die dritte Dimension bewegt), alles zu sehen, was aus der zweidimensionalen Perspektive hinter Wänden eingeschlossen ist, und völlig unsichtbar zu bleiben, wenn man ein paar Zentimeter entfernt in der dritten Dimension steht. ⓘ

Wenn man die Dimensionsanalogie anwendet, kann man daraus schließen, dass ein vierdimensionales Wesen aus der dreidimensionalen Perspektive zu ähnlichen Leistungen fähig wäre. Rudy Rucker veranschaulicht dies in seinem Roman Spaceland, in dem der Protagonist auf vierdimensionale Wesen trifft, die solche Kräfte zeigen. ⓘ

Querschnitte

Wenn ein dreidimensionales Objekt durch eine zweidimensionale Ebene hindurchgeht, würden zweidimensionale Wesen in dieser Ebene nur einen Querschnitt des dreidimensionalen Objekts innerhalb dieser Ebene beobachten. Wenn zum Beispiel eine Kugel durch ein Blatt Papier geht, würden die Wesen im Papier zuerst einen einzelnen Punkt sehen, dann einen Kreis, der allmählich größer wird, bis er den Durchmesser des Ballons erreicht, und dann wieder kleiner wird, bis er zu einem Punkt schrumpft und dann verschwindet. Die 2D-Wesen würden einen Kreis nicht auf dieselbe Weise sehen wie wir, sondern nur eine eindimensionale Projektion des Kreises auf ihrer 1D-"Netzhaut". In ähnlicher Weise könnte man einen dreidimensionalen Querschnitt des vierdimensionalen Objekts beobachten, wenn ein vierdimensionales Objekt durch eine dreidimensionale (Hyper-)Oberfläche hindurchgeht. Eine vierdimensionale Kugel würde zum Beispiel zuerst als Punkt erscheinen, dann als wachsender Kreis, der dann zu einem einzigen Punkt schrumpft und dann verschwindet. Diese Art der Visualisierung von Aspekten der vierten Dimension wurde in dem Roman Flatland und auch in mehreren Werken von Charles Howard Hinton verwendet. Und so wie dreidimensionale Wesen (z. B. Menschen mit einer 2D-Netzhaut) alle Seiten einer 2D-Form sehen können, könnte ein 4D-Wesen in der Lage sein, mit seiner soliden 3D-Netzhaut alle Seiten einer 3D-Form auf einmal zu sehen. ⓘ

Projektionen

Eine nützliche Anwendung der Dimensionsanalogie zur Visualisierung höherer Dimensionen ist die Projektion. Eine Projektion ist eine Möglichkeit, ein n-dimensionales Objekt in n - 1 Dimensionen darzustellen. Computerbildschirme zum Beispiel sind zweidimensional, und alle Fotos von dreidimensionalen Menschen, Orten und Dingen werden zweidimensional dargestellt, indem die Objekte auf eine flache Oberfläche projiziert werden. Auf diese Weise wird die zum Bildschirm orthogonale Dimension (Tiefe) entfernt und durch indirekte Informationen ersetzt. Die Netzhaut des Auges ist ebenfalls eine zweidimensionale Anordnung von Rezeptoren, aber das Gehirn ist in der Lage, die Beschaffenheit dreidimensionaler Objekte durch Rückschlüsse aus indirekten Informationen (wie Schattierungen, Verkürzungen, binokulares Sehen usw.) wahrzunehmen. Künstler verwenden häufig die Perspektive, um zweidimensionalen Bildern die Illusion dreidimensionaler Tiefe zu verleihen. Der Schatten, der von einem fiktiven Gittermodell eines rotierenden Tesserakts auf eine ebene Fläche geworfen wird, wie in den Abbildungen gezeigt, ist ebenfalls das Ergebnis von Projektionen. ⓘ

In ähnlicher Weise können Objekte in der vierten Dimension mathematisch auf die bekannten drei Dimensionen projiziert werden, wo sie bequemer untersucht werden können. In diesem Fall ist die "Netzhaut" des vierdimensionalen Auges eine dreidimensionale Anordnung von Rezeptoren. Ein hypothetisches Wesen mit einem solchen Auge würde die Beschaffenheit von vierdimensionalen Objekten wahrnehmen, indem es aus den indirekten Informationen der dreidimensionalen Bilder auf seiner Netzhaut auf die vierdimensionale Tiefe schließt. ⓘ

Die perspektivische Projektion von dreidimensionalen Objekten auf die Netzhaut des Auges führt zu Artefakten wie z. B. einer Verkürzung, die das Gehirn als Tiefe in der dritten Dimension interpretiert. Auf die gleiche Weise führt die perspektivische Projektion aus vier Dimensionen zu ähnlichen Verkürzungseffekten. Durch Anwendung der Dimensionsanalogie kann man von diesen Effekten auf die vierdimensionale "Tiefe" schließen. ⓘ

Zur Veranschaulichung dieses Prinzips vergleicht die folgende Bildsequenz verschiedene Ansichten des dreidimensionalen Würfels mit analogen Projektionen des vierdimensionalen Tesserakts in den dreidimensionalen Raum. ⓘ

Würfel	Tesserakt	Beschreibung ⓘ
		Das linke Bild ist ein Würfel in der Frontalansicht. Die analoge Ansicht des Tesserakts im vierdimensionalen Raum ist die rechts gezeigte perspektivische Projektion auf die erste Zelle. Man kann eine Analogie zwischen den beiden ziehen: So wie der Würfel auf ein Quadrat projiziert, projiziert der Tesserakt auf einen Würfel. Man beachte, dass die anderen 5 Seiten des Würfels hier nicht zu sehen sind. Sie werden von der sichtbaren Fläche verdeckt. Ebenso sind die anderen 7 Zellen des Tesserakts hier nicht zu sehen, weil sie von der sichtbaren Zelle verdeckt werden.
		Das Bild auf der linken Seite zeigt denselben Würfel von der Kante aus gesehen. Die analoge Sichtweise eines Tesserakts ist die perspektivische Projektion von vorne nach hinten, die rechts dargestellt ist. So wie die kantenerste Projektion des Würfels aus zwei Trapezen besteht, besteht die flächenerste Projektion des Tesserakts aus zwei Kegelstümpfen. Die nächstgelegene Kante des Würfels ist in dieser Ansicht diejenige, die zwischen der roten und der grünen Fläche liegt. Ebenso ist die nächstgelegene Fläche des Tesserakts diejenige, die zwischen den roten und grünen Zellen liegt.
		Auf der linken Seite ist der Würfel von der Ecke aus gesehen. Dies entspricht der perspektivischen Projektion des Tesserakts auf die Kante, die rechts dargestellt ist. So wie die Scheitelpunkt-Erstprojektion des Würfels aus drei Deltoiden besteht, die einen Scheitelpunkt umgeben, besteht die Kanten-Erstprojektion des Tesserakts aus drei hexaedrischen Volumen, die eine Kante umgeben. So wie der nächstgelegene Scheitelpunkt des Würfels derjenige ist, an dem sich die drei Flächen treffen, so ist die nächstgelegene Kante des Tesserakts diejenige in der Mitte des Projektionsvolumens, an der sich die drei Zellen treffen.
		Eine andere Analogie kann zwischen der Erstkantenprojektion des Tesserakts und der Erstkantenprojektion des Würfels gezogen werden. Die kantenerste Projektion des Würfels hat zwei Trapeze, die eine Kante umgeben, während der Tesserakt drei hexaedrische Volumen hat, die eine Kante umgeben.
		Auf der linken Seite ist der Würfel von der Ecke aus gesehen. Die perspektivische Projektion des Tesserakts in der Scheitelpunktperspektive ist rechts dargestellt. Die Scheitelpunkt-Erstprojektion des Würfels hat drei Tetragone, die einen Scheitelpunkt umgeben, aber die Scheitelpunkt-Erstprojektion des Tesserakts hat vier hexaedrische Volumen, die einen Scheitelpunkt umgeben. So wie die nächstgelegene Ecke des Würfels diejenige ist, die in der Mitte des Bildes liegt, so liegt der nächstgelegene Scheitelpunkt des Tesserakts nicht am Rand des projizierten Volumens, sondern in dessen Mitte, wo sich alle vier Zellen treffen. Man beachte, dass hier nur drei der sechs Flächen des Würfels zu sehen sind, da die anderen drei hinter diesen drei Flächen, auf der gegenüberliegenden Seite des Würfels, liegen. In ähnlicher Weise sind hier nur 4 der 8 Zellen des Tesserakts zu sehen; die übrigen 4 liegen hinter diesen 4 in der vierten Richtung, auf der anderen Seite des Tesserakts.

Schatten

Ein eng mit der Projektion verbundenes Konzept ist der Schattenwurf. ⓘ

Wenn ein Licht auf ein dreidimensionales Objekt fällt, wird ein zweidimensionaler Schatten geworfen. In dimensionaler Analogie würde Licht, das auf ein zweidimensionales Objekt in einer zweidimensionalen Welt fällt, einen eindimensionalen Schatten werfen, und Licht auf ein eindimensionales Objekt in einer eindimensionalen Welt würde einen nulldimensionalen Schatten werfen, d. h. einen Punkt ohne Licht. Umgekehrt kann man folgern, dass Licht, das auf ein vierdimensionales Objekt in einer vierdimensionalen Welt fällt, einen dreidimensionalen Schatten wirft. ⓘ

Wenn das Drahtgitter eines Würfels von oben beleuchtet wird, ist der resultierende Schatten auf einer flachen zweidimensionalen Oberfläche ein Quadrat innerhalb eines Quadrats mit den entsprechenden Ecken verbunden. Würde das Drahtgitter eines Tesserakts von "oben" (in der vierten Dimension) beleuchtet, wäre sein Schatten der eines dreidimensionalen Würfels innerhalb eines anderen dreidimensionalen Würfels, der in der Luft schwebt (eine "flache" Oberfläche aus einer vierdimensionalen Perspektive). (Beachten Sie, dass die hier gezeigte visuelle Darstellung technisch gesehen ein zweidimensionales Bild des dreidimensionalen Schattens der vierdimensionalen Drahtgitterfigur ist). ⓘ

Begrenzte Volumen

Die dimensionale Analogie hilft auch dabei, grundlegende Eigenschaften von Objekten in höheren Dimensionen zu erkennen. So werden zum Beispiel zweidimensionale Objekte durch eindimensionale Grenzen begrenzt: ein Quadrat wird durch vier Kanten begrenzt. Dreidimensionale Objekte werden durch zweidimensionale Flächen begrenzt: Ein Würfel wird durch 6 quadratische Flächen begrenzt. Aus der Analogie der Dimensionen kann man ableiten, dass ein vierdimensionaler Würfel, ein so genannter Tesserakt, durch dreidimensionale Volumen begrenzt ist. Und tatsächlich ist dies der Fall: Die Mathematik zeigt, dass der Tesserakt durch 8 Würfel begrenzt ist. Dieses Wissen ist der Schlüssel zum Verständnis einer dreidimensionalen Projektion des Tesserakts. Die Grenzen des Tesserakts projizieren sich auf Volumen im Bild, nicht nur auf zweidimensionale Oberflächen. ⓘ

Visuelle Reichweite

Der Mensch hat eine räumliche Selbstwahrnehmung als Wesen in einem dreidimensionalen Raum, ist aber visuell auf eine Dimension weniger beschränkt: Das Auge sieht die Welt als Projektion auf zwei Dimensionen, auf die Oberfläche der Netzhaut. Angenommen, ein vierdimensionales Wesen wäre in der Lage, die Welt in Projektionen auf eine Hyperfläche zu sehen, ebenfalls nur eine Dimension weniger, d.h. auf drei Dimensionen, dann wäre es in der Lage, z.B. alle sechs Seiten eines undurchsichtigen Kastens gleichzeitig zu sehen, und zwar gleichzeitig das Innere des Kastens, so wie Menschen alle vier Seiten und gleichzeitig das Innere eines Rechtecks auf einem Blatt Papier sehen können. Das Wesen wäre in der Lage, alle Punkte in einem dreidimensionalen Unterraum gleichzeitig zu erkennen, einschließlich der inneren Struktur von festen dreidimensionalen Objekten, Dinge, die dem menschlichen Blick in drei Dimensionen auf zweidimensionalen Projektionen verborgen sind. Das Gehirn empfängt zweidimensionale Bilder und hilft mit Hilfe von Schlussfolgerungen, sich dreidimensionale Objekte vorzustellen. ⓘ

Beschränkungen

Analogieschlüsse aus vertrauten niedrigeren Dimensionen können eine hervorragende intuitive Hilfe sein, aber man muss aufpassen, dass man keine Ergebnisse akzeptiert, die nicht strenger geprüft wurden. Betrachten wir zum Beispiel die Formeln für den Umfang eines Kreises: $C=2\pi r$ und den Flächeninhalt einer Kugel: $A=4\pi r^{2}$. Man könnte vermuten, dass das Volumen der 3-Einheitskugel im vierdimensionalen Raum $V=6\pi r^{3}$oder vielleicht $V=8\pi r^{3}$ist, aber beides wäre falsch. Die tatsächliche Formel lautet $V=2\pi ^{2}r^{3}$. ⓘ

Kosmologische Bedeutung

Unsere erlernte Vorstellung erlaubt den dreidimensionalen Raum. Welche tatsächliche Ausdehnung der uns umgebende Raum in weiteren Richtungen hat, ist das Untersuchungsobjekt der Kosmologie. ⓘ

4-Dimensionale Körper

• Tesserakt, ein vierdimensionaler Hyperwürfel, verwandt mit dem dreidimensionalen Würfel
• Pentachoron, eine vierdimensionale Hyperpyramide, verwandt mit dem dreidimensionalen Tetraeder
• die vierdimensionale Hyperkugel (siehe auch Einheitskugel), verwandt mit der dreidimensionalen Kugel
• das vierdimensionale Kreuzpolytop, verwandt mit dem dreidimensionalen Oktaeder ⓘ

4D-Flugführung

Technik, die Flugverkehr – in der Luft – nicht überwiegend nur räumlich ordnet, sondern zukünftig auch im Zeitablauf samt Fluggeschwindigkeit und Sinken koordiniert. Lotsen und Rechner wirken dann nicht mehr bloß als Separation-Manager, sondern als Verkehrsflussmanager, um dichteren Flugverkehr termingerechter und – etwa dank weniger Warteschleifen – energieeffizienter abzuwickeln. Anlässlich einer Testung im Februar 2012 wurde eine breite Einführung nicht vor 2018 in Aussicht gestellt. ⓘ