Kreuzprodukt

In der Mathematik ist das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (gelegentlich auch gerichtetes Flächenprodukt, um seine geometrische Bedeutung zu betonen) eine binäre Operation auf zwei Vektoren in einem dreidimensionalen orientierten euklidischen Vektorraum (hier genannt $E$), und wird mit dem Symbol $\times$. Bei zwei linear unabhängigen Vektoren a und b ist das Kreuzprodukt a × b (a cross b") ein Vektor, der sowohl zu a als auch zu b senkrecht und damit normal auf die sie enthaltende Ebene steht. Es hat viele Anwendungen in Mathematik, Physik, Technik und Computerprogrammierung. Es ist nicht mit dem Punktprodukt (Projektionsprodukt) zu verwechseln. ⓘ

Wenn zwei Vektoren die gleiche Richtung oder die genau entgegengesetzte Richtung haben (d. h. sie sind nicht linear unabhängig) oder wenn einer der beiden Vektoren die Länge Null hat, ist ihr Kreuzprodukt Null. Allgemeiner ausgedrückt ist der Betrag des Produkts gleich der Fläche eines Parallelogramms mit den Vektoren als Seiten; insbesondere ist der Betrag des Produkts zweier senkrecht zueinander stehender Vektoren das Produkt ihrer Längen. ⓘ

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ (d. h. a × b = - b × a) und distributiv über die Addition (d. h. a × (b + c) = a × b + a × c). Der Raum $E$ ist zusammen mit dem Kreuzprodukt eine Algebra über den reellen Zahlen, die weder kommutativ noch assoziativ ist, sondern eine Lie-Algebra, wobei das Kreuzprodukt die Lie-Klammer ist. ⓘ

Wie das Punktprodukt hängt es von der Metrik des euklidischen Raums ab, aber anders als das Punktprodukt hängt es auch von der Wahl der Orientierung (oder "Händigkeit") des Raums ab (deshalb wird ein orientierter Raum benötigt). In Verbindung mit dem Kreuzprodukt kann das Außenprodukt von Vektoren in beliebigen Dimensionen verwendet werden (mit einem Bivektor- oder 2-Form-Ergebnis) und ist unabhängig von der Orientierung des Raums. ⓘ

Das Produkt kann auf verschiedene Weise verallgemeinert werden, wobei die Orientierung und die metrische Struktur genauso wie beim traditionellen dreidimensionalen Kreuzprodukt verwendet werden können: In n Dimensionen kann man das Produkt von n - 1 Vektoren nehmen, um einen Vektor zu erzeugen, der senkrecht zu allen Vektoren steht. Ist das Produkt jedoch auf nicht-triviale binäre Produkte mit Vektorergebnissen beschränkt, existiert es nur in drei und sieben Dimensionen. Das Kreuzprodukt in sieben Dimensionen hat jedoch unerwünschte Eigenschaften, weshalb es in der mathematischen Physik nicht verwendet wird, um Größen wie die mehrdimensionale Raumzeit darzustellen. (Siehe § Verallgemeinerungen, unten, für andere Dimensionen.) ⓘ

Das Kreuzprodukt in Bezug auf ein rechtshändiges Koordinatensystem ⓘ

In der Physik tritt das Kreuzprodukt an vielen Stellen auf, zum Beispiel im Elektromagnetismus bei der Berechnung der Lorentzkraft oder des Poynting-Vektors. In der klassischen Mechanik wird es bei Drehgrößen wie dem Drehmoment und dem Drehimpuls oder bei Scheinkräften wie der Corioliskraft benutzt. ⓘ

Definition

Bestimmung der Richtung des Kreuzprodukts nach der Rechtshänderregel ⓘ

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a und b ist nur im dreidimensionalen Raum definiert und wird mit a × b bezeichnet. In der Physik und der angewandten Mathematik wird häufig die Keilschreibweise a ∧ b (in Verbindung mit dem Namen Vektorprodukt) verwendet, obwohl diese Schreibweise in der reinen Mathematik in der Regel nur dem Außenprodukt vorbehalten ist, einer Abstraktion des Vektorprodukts auf n Dimensionen. ⓘ

Das Kreuzprodukt a × b ist definiert als ein Vektor c, der senkrecht (orthogonal) zu a und b steht, wobei die Richtung durch die Rechte-Hand-Regel gegeben ist und der Betrag gleich der Fläche des Parallelogramms ist, das die Vektoren aufspannen. ⓘ

Das Kreuzprodukt ist definiert durch die Formel ⓘ

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\ \mathbf {n}$ ⓘ

wobei:

• θ ist der Winkel zwischen a und b in der Ebene, in der sie liegen (er liegt also zwischen 0° und 180°)
• ‖a‖ und ‖b‖ die Beträge der Vektoren a und b sind
• und n ist ein Einheitsvektor, der senkrecht zu der Ebene steht, in der a und b liegen, und zwar in der Richtung, die durch die Rechte-Hand-Regel vorgegeben ist (siehe Abbildung). ⓘ

Sind die Vektoren a und b parallel (d. h. der Winkel θ zwischen ihnen beträgt entweder 0° oder 180°), so ist nach der obigen Formel das Kreuzprodukt von a und b der Nullvektor 0. ⓘ

Richtung

Das Kreuzprodukt a × b (senkrecht, in lila) ändert sich mit dem Winkel zwischen den Vektoren a (blau) und b (rot). Das Kreuzprodukt ist immer orthogonal zu beiden Vektoren und hat den Betrag Null, wenn die Vektoren parallel sind, und den maximalen Betrag ‖a‖‖b‖, wenn sie orthogonal sind. ⓘ

Konventionell wird die Richtung des Vektors n durch die Rechte-Hand-Regel angegeben, wobei man einfach den Zeigefinger der rechten Hand in Richtung a und den Mittelfinger in Richtung b zeigt. Die Anwendung dieser Regel bedeutet, dass das Kreuzprodukt antikommutativ ist, d. h. b × a = -(a × b). Indem man den Zeigefinger zuerst auf b und dann den Mittelfinger auf a richtet, wird der Daumen in die entgegengesetzte Richtung gezwungen, wodurch sich das Vorzeichen des Produktvektors umkehrt. ⓘ

Da der Operator des Kreuzprodukts von der Orientierung des Raums abhängt (wie in der obigen Definition angegeben), ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren kein "echter" Vektor, sondern ein Pseudovektor. Siehe § Händigkeit für weitere Einzelheiten. ⓘ

Namen

Nach der Sarrus-Regel beinhaltet die Determinante einer 3×3-Matrix Multiplikationen zwischen Matrixelementen, die durch gekreuzte Diagonalen gekennzeichnet sind. ⓘ

1881 führten Josiah Willard Gibbs und unabhängig davon Oliver Heaviside sowohl das Punkt- als auch das Kreuzprodukt ein, indem sie einen Punkt (a . b) bzw. ein "x" (a x b) zur Kennzeichnung verwendeten. ⓘ

Um zu verdeutlichen, dass das Ergebnis eines Punktprodukts ein Skalarprodukt ist, während das Ergebnis eines Kreuzprodukts ein Vektorprodukt ist, prägte William Kingdon Clifford 1877 die alternativen Bezeichnungen Skalarprodukt und Vektorprodukt für die beiden Operationen. Diese alternativen Bezeichnungen sind in der Literatur noch immer weit verbreitet. ⓘ

Sowohl die Kreuzschreibweise (a × b) als auch der Name Kreuzprodukt wurden möglicherweise durch die Tatsache inspiriert, dass jede Skalarkomponente von a × b durch Multiplikation von nicht korrespondierenden Komponenten von a und b berechnet wird. Umgekehrt beinhaltet ein Punktprodukt a ⋅ b Multiplikationen zwischen korrespondierenden Komponenten von a und b. Wie unten erläutert, kann das Kreuzprodukt in Form einer Determinante einer speziellen 3 × 3-Matrix ausgedrückt werden. Nach der Sarrus'schen Regel handelt es sich dabei um Multiplikationen zwischen Matrixelementen, die durch gekreuzte Diagonalen gekennzeichnet sind. ⓘ

Berechnung von

Koordinatenschreibweise

Standard-Basisvektoren (i, j, k, auch als e₁, e₂, e₃ bezeichnet) und Vektorkomponenten von a (a_x, a_y, az, auch als a₁, a₂, a₃ bezeichnet) ⓘ

Wenn (i, j, k) eine positiv orientierte Orthonormalbasis ist, erfüllen die Basisvektoren die folgenden Gleichungen

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}$ ⓘ

die durch die Antikommutativität des Kreuzprodukts implizieren, dass

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {\color {red}{j}} &\times \mathbf {\color {blue}{i}} &&=-\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {\color {green}{k}} &\times \mathbf {\color {red}{j}} &&=-\mathbf {\color {blue}{i}} \\\mathbf {\color {blue}{i}} &\times \mathbf {\color {green}{k}} &&=-\mathbf {\color {red}{j}} \end{alignedat}}$ ⓘ

Die Antikommutativität des Kreuzprodukts (und der offensichtliche Mangel an linearer Unabhängigkeit) impliziert auch, dass

$\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} =\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} =\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} =\mathbf {0}$ (der Nullvektor). ⓘ

Diese Gleichheiten sowie die Distributivität und Linearität des Kreuzprodukts (obwohl beides nicht ohne weiteres aus der obigen Definition folgt) reichen aus, um das Kreuzprodukt zweier beliebiger Vektoren a und b zu bestimmen. Jeder Vektor kann als Summe dreier orthogonaler Komponenten definiert werden, die parallel zu den Standardbasisvektoren verlaufen:

${\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &=a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \\\mathbf {b} &=b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} &&+b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} &&+b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} \end{alignedat}}$ ⓘ

Ihr Kreuzprodukt a × b kann mit Hilfe der Distributivität erweitert werden:

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&(a_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +a_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +a_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\times (b_{1}\mathbf {\color {blue}{i}} +b_{2}\mathbf {\color {red}{j}} +b_{3}\mathbf {\color {green}{k}} )\\={}&a_{1}b_{1}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{1}b_{2}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{1}b_{3}(\mathbf {\color {blue}{i}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{2}b_{1}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{2}b_{2}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{2}b_{3}(\mathbf {\color {red}{j}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )+{}\\&a_{3}b_{1}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {blue}{i}} )+a_{3}b_{2}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {red}{j}} )+a_{3}b_{3}(\mathbf {\color {green}{k}} \times \mathbf {\color {green}{k}} )\\\end{aligned}}$ ⓘ

Dies kann als Zerlegung von a × b in die Summe von neun einfacheren Kreuzprodukten mit Vektoren, die mit i, j oder k ausgerichtet sind, interpretiert werden. Jedes dieser neun Kreuzprodukte wirkt auf zwei Vektoren, die einfach zu handhaben sind, da sie entweder parallel oder orthogonal zueinander sind. Aus dieser Zerlegung ergibt sich unter Verwendung der oben erwähnten Gleichungen und der Zusammenfassung ähnlicher Terme:

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={}&\quad \ a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {\color {green}{k}} -a_{1}b_{3}\mathbf {\color {red}{j}} \\&-a_{2}b_{1}\mathbf {\color {green}{k}} +a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {\color {blue}{i}} \\&+a_{3}b_{1}\mathbf {\color {red}{j}} \ -a_{3}b_{2}\mathbf {\color {blue}{i}} \ +a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\={}&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {\color {blue}{i}} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {\color {red}{j}} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {\color {green}{k}} \\\end{aligned}}$ ⓘ

Das bedeutet, dass die drei skalaren Komponenten des resultierenden Vektors s = s₁i + s₂j + s₃k = a × b sind

${\begin{aligned}s_{1}&=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\s_{2}&=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\s_{3}&=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{aligned}}$ ⓘ

Mit Hilfe von Spaltenvektoren können wir das gleiche Ergebnis wie folgt darstellen:

${\begin{bmatrix}s_{1}\\s_{2}\\s_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{bmatrix}}$ ⓘ

Matrixschreibweise

Anwendung der Sarrus'schen Regel zur Ermittlung des Kreuzprodukts von a und b ⓘ

Das Kreuzprodukt kann auch als formale Determinante ausgedrückt werden:

$\mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}$ ⓘ

Diese Determinante kann mit Hilfe der Sarrus'schen Regel oder der Cofaktor-Expansion berechnet werden. Mit Hilfe der Sarrus-Regel wird sie zu

${\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &=(a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} )-(a_{3}b_{2}\mathbf {i} +a_{1}b_{3}\mathbf {j} +a_{2}b_{1}\mathbf {k} )\\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} .\end{aligned}}$ ⓘ

Wird stattdessen die Kofaktor-Expansion entlang der ersten Zeile verwendet, so ergibt sich

${\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} \\&=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} -(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} ,\end{aligned}}$

was direkt die Komponenten des resultierenden Vektors ergibt. ⓘ

Verwendung von Levi-Civita-Tensoren

• In jeder Basis ist das Kreuzprodukt $a\times b$ durch die Tensorformel gegeben $E_{ijk}a^{i}b^{j}$ wobei $E_{ijk}$ der kovariante Levi-Civita-Tensor ist (wir beachten die Position der Indizes). Das entspricht der hier angegebenen inneren Formel.
• In einer orthonormalen Basis, die die gleiche Orientierung wie der Raum hat, $a\times b$ durch die pseudotensorische Formel gegeben $\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}$ wobei $\varepsilon _{ijk}$ ist das Levi-Civita-Symbol (das ein Pseudo-Tensor ist). Diese Formel wird in der Alltagsphysik verwendet, gilt aber nur für diese spezielle Basis.
• In jeder orthonormalen Basis, $a\times b$ durch die pseudotensorische Formel gegeben $(-1)^{B}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}$ wobei $(-1)^{B}=\pm 1$ an, ob die Basis die gleiche Orientierung wie der Raum hat oder nicht. ⓘ

Mit der letztgenannten Formel wird vermieden, dass die Orientierung des Raums bei der Inversion einer orthonormalen Basis geändert werden muss. ⓘ

Eigenschaften

Geometrische Bedeutung

Abbildung 1. Die Fläche eines Parallelogramms als Betrag des Kreuzprodukts ⓘ

Abbildung 2. Drei Vektoren, die ein Parallelepiped definieren ⓘ

Der Betrag des Kreuzprodukts kann als positive Fläche des Parallelogramms mit a und b als Seiten interpretiert werden (siehe Abbildung 1):

$$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|.$$

ⓘ

Man kann auch das Volumen V eines Parallelepipeds mit a, b und c als Kanten berechnen, indem man eine Kombination aus Kreuzprodukt und Punktprodukt verwendet, das so genannte skalare Dreifachprodukt (siehe Abbildung 2):

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$ ⓘ

Da das Ergebnis des skalaren Dreifachprodukts negativ sein kann, ist das Volumen des Quaders durch seinen Absolutwert gegeben:

$V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|.$ ⓘ

Da der Betrag des Kreuzprodukts dem Sinus des Winkels zwischen seinen Argumenten entspricht, kann das Kreuzprodukt als Maß für die Rechtwinkligkeit betrachtet werden, so wie das Punktprodukt ein Maß für die Parallelität ist. Bei zwei Einheitsvektoren hat das Kreuzprodukt den Wert 1, wenn die beiden Vektoren senkrecht zueinander stehen, und den Wert Null, wenn sie parallel zueinander sind. Das Punktprodukt zweier Einheitsvektoren verhält sich genau umgekehrt: Es ist Null, wenn die Einheitsvektoren senkrecht stehen, und 1, wenn die Einheitsvektoren parallel sind. ⓘ

Einheitsvektoren ermöglichen zwei praktische Identitäten: Das Punktprodukt zweier Einheitsvektoren ergibt den Kosinus (der positiv oder negativ sein kann) des Winkels zwischen den beiden Einheitsvektoren. Der Betrag des Kreuzprodukts der beiden Einheitsvektoren ergibt den Sinus (der immer positiv ist). ⓘ

Algebraische Eigenschaften

Kreuzprodukt - Skalarmultiplikation. Links: Zerlegung von b in Komponenten parallel und senkrecht zu a. Rechts: Skalierung der senkrechten Komponenten durch eine positive reelle Zahl r (falls negativ, werden b und das Kreuzprodukt umgekehrt). ⓘ

Kreuzproduktdistributivität über Vektoraddition. Links: Die Vektoren b und c werden in parallele und senkrechte Komponenten zu a zerlegt. Rechts: Die parallelen Komponenten verschwinden im Kreuzprodukt, es bleiben nur die senkrechten Komponenten in der Ebene senkrecht zu a übrig. ⓘ

Die beiden nicht äquivalenten dreifachen Kreuzprodukte von drei Vektoren a, b, c. Jeweils zwei Vektoren definieren eine Ebene, der andere liegt außerhalb der Ebene und kann in parallele und senkrechte Komponenten zum Kreuzprodukt der Vektoren, die die Ebene definieren, zerlegt werden. Diese Komponenten können durch Vektorprojektion und Zurückweisung gefunden werden. Das Dreifachprodukt liegt in der Ebene und wird wie gezeigt gedreht. ⓘ

Wenn das Kreuzprodukt zweier Vektoren der Nullvektor ist (d. h. a × b = 0), dann ist entweder einer oder beide der Eingänge der Nullvektor (a = 0 oder b = 0) oder sie sind parallel oder antiparallel (a ∥ b), so dass der Sinus des Winkels zwischen ihnen Null ist (θ = 0° oder θ = 180° und sin θ = 0). ⓘ

Das eigene Kreuzprodukt eines Vektors ist der Nullvektor:

$\mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} .$

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ,

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \times \mathbf {a} ),$

distributiv über die Addition,

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \times \mathbf {c} ),$

und kompatibel mit der Skalarmultiplikation, so dass

$(r\,\mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (r\,\mathbf {b} )=r\,(\mathbf {a} \times \mathbf {b} ).$ ⓘ

Es ist nicht assoziativ, erfüllt aber die Jacobi-Identität:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0} .$

Distributivität, Linearität und Jacobi-Identität zeigen, dass der R³-Vektorraum zusammen mit der Vektoraddition und dem Kreuzprodukt eine Lie-Algebra bildet, die Lie-Algebra der reellen orthogonalen Gruppe in 3 Dimensionen, SO(3). Das Kreuzprodukt gehorcht nicht dem Aufhebungsgesetz, d. h. a × b = a × c mit a ≠ 0 impliziert nicht b = c, sondern nur das:

${\begin{aligned}\mathbf {0} &=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \times \mathbf {c} )\\&=\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} ).\\\end{aligned}}$ ⓘ

Dies kann der Fall sein, wenn b und c sich aufheben, aber auch, wenn a und b - c parallel sind; das heißt, sie sind durch einen Skalenfaktor t verbunden, was zu:

$\mathbf {c} =\mathbf {b} +t\,\mathbf {a} ,$

für irgendeinen Skalar t. ⓘ

Wenn zusätzlich zu a × b = a × c und a ≠ 0 wie oben der Fall eintritt, dass a ⋅ b = a ⋅ c, dann

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=\mathbf {0} \\\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} -\mathbf {c} )&=0,\end{aligned}}$

Da b - c nicht gleichzeitig parallel (damit das Kreuzprodukt 0 ist) und senkrecht (damit das Punktprodukt 0 ist) zu a sein kann, müssen sich b und c aufheben: b = c. ⓘ

Aus der geometrischen Definition ergibt sich, dass das Kreuzprodukt bei Eigenrotationen um die durch a × b definierte Achse unveränderlich ist:

$(R\mathbf {a} )\times (R\mathbf {b} )=R(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$, wobei $R$ eine Rotationsmatrix ist mit $\det(R)=1$. ⓘ

Allgemeiner ausgedrückt, gilt für das Kreuzprodukt bei Matrixtransformationen die folgende Identität:

$(M\mathbf {a} )\times (M\mathbf {b} )=(\det M)\left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {cof} M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$

wobei $M$ ist eine 3 x 3-Matrix und $\left(M^{-1}\right)^{\mathrm {T} }$ ist die Transponierte der Inversen und $\operatorname {cof}$ ist die Kofaktor-Matrix. Es ist leicht zu erkennen, wie sich diese Formel auf die erste Formel reduziert, wenn $M$ eine Rotationsmatrix ist. Wenn $M$ eine symmetrische 3-by-3-Matrix ist, die auf ein generisches Kreuzprodukt $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ist, gilt die folgende Beziehung:

$M(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\operatorname {Tr} (M)(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )-\mathbf {a} \times M\mathbf {b} +\mathbf {b} \times M\mathbf {a}$

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren liegt im Nullraum der 2 × 3 Matrix mit den Vektoren als Zeilen:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} \in NS\left({\begin{bmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \end{bmatrix}}\right).$

Für die Summe von zwei Kreuzprodukten gilt die folgende Identität:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} .$ ⓘ

Antikommutativität

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ. Das heißt, bei Vertauschung der Argumente wechselt es das Vorzeichen:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-\,{\vec {b}}\times {\vec {a}}\,.$

Dies folgt aus der Eigenschaft, (1) alternierend und (2) bilinear zu sein, da

${\vec {0}}{\mathrel {\stackrel {(1)}{=}}}({\vec {a}}+{\vec {b}})\times ({\vec {a}}+{\vec {b}}){\mathrel {\stackrel {(2)}{=}}}{\vec {a}}\times {\vec {a}}+{\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {b}}\times {\vec {a}}+{\vec {b}}\times {\vec {b}}{\mathrel {\stackrel {(1)}{=}}}{\vec {0}}+{\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {b}}\times {\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {b}}\times {\vec {a}}$

für alle ${\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{3}$ gilt. ⓘ

Die Produktregel der Differentialrechnung gilt für jede bilineare Operation und damit auch für das Kreuzprodukt:

${\frac {d}{dt}}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}\times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times {\frac {d\mathbf {b} }{dt}},$ ⓘ

Dabei sind a und b Vektoren, die von der reellen Variablen t abhängen. ⓘ

Dreifachprodukt-Erweiterung

Das Kreuzprodukt wird in beiden Formen des Tripelprodukts verwendet. Das skalare Dreifachprodukt von drei Vektoren ist definiert als ⓘ

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ),$ ⓘ

Es ist das vorzeichenbehaftete Volumen des Parallelepipeds mit den Kanten a, b und c, und als solches können die Vektoren in jeder beliebigen Reihenfolge verwendet werden, die eine gerade Permutation der obigen Reihenfolge ist. Die folgenden sind also gleich:

$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ),$ ⓘ

Das dreifache Vektorprodukt ist das Kreuzprodukt eines Vektors mit dem Ergebnis eines anderen Kreuzprodukts und ist mit dem Punktprodukt durch die folgende Formel verwandt ⓘ

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )-\mathbf {a} (\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}$ ⓘ

Die Eselsbrücke "BAC minus CAB" wird verwendet, um sich die Reihenfolge der Vektoren im rechten Glied zu merken. Diese Formel wird in der Physik verwendet, um Vektorberechnungen zu vereinfachen. Ein Sonderfall, der Gradienten betrifft und in der Vektorrechnung nützlich ist, ist

${\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} ,\\\end{aligned}}$ ⓘ

wobei ∇² der Vektor-Laplacian-Operator ist. ⓘ

Andere Identitäten beziehen sich auf das Kreuzprodukt und das skalare Dreifachprodukt:

${\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ))\mathbf {a} \\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )&=\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\left(\left(\mathbf {c} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} \right)I-\mathbf {c} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\right)\mathbf {d} \\&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\end{aligned}}$ ⓘ

wobei I die Identitätsmatrix ist. ⓘ

Alternative Formulierung

Das Kreuzprodukt und das Punktprodukt sind durch miteinander verbunden:

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.$ ⓘ

Die rechte Seite ist die Gram-Determinante von a und b, das Quadrat der Fläche des durch die Vektoren definierten Parallelogramms. Diese Bedingung bestimmt die Größe des Kreuzprodukts. Da nämlich das Punktprodukt in Abhängigkeit vom Winkel θ zwischen den beiden Vektoren definiert ist als:

$\mathbf {a\cdot b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,$ ⓘ

kann die oben genannte Beziehung wie folgt umgeschrieben werden:

$\left\|\mathbf {a\times b} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\left(1-\cos ^{2}\theta \right).$ ⓘ

Wenn man die trigonometrische Identität des Pythagoras anwendet, erhält man:

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left|\sin \theta \right|,$ ⓘ

Der Betrag des Kreuzprodukts, ausgedrückt in θ, ist gleich der Fläche des Parallelogramms, das durch a und b definiert wird (siehe Definition oben). ⓘ

Die Kombination aus dieser Anforderung und der Eigenschaft, dass das Kreuzprodukt orthogonal zu seinen Bestandteilen a und b sein muss, liefert eine alternative Definition des Kreuzprodukts. ⓘ

Die Lagrangesche Identität

Die Beziehung:

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}\equiv \det {\begin{bmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{bmatrix}}\equiv \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.$ ⓘ

kann mit einer anderen Beziehung verglichen werden, die die rechte Seite einbezieht, nämlich der Lagrange-Identität, ausgedrückt als:

$\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\equiv \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}\ ,$ ⓘ

wobei a und b n-dimensionale Vektoren sein können. Dies zeigt auch, dass die Riemannsche Volumenform für Flächen genau das Flächenelement aus der Vektorrechnung ist. Für den Fall, dass n = 3 ist, ergibt die Kombination dieser beiden Gleichungen den Ausdruck für den Betrag des Kreuzprodukts in Form seiner Komponenten:

${\begin{aligned}&\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}\equiv \sum _{1\leq i<j\leq 3}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\\\equiv {}&\left(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}\right)^{2}+\left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)^{2}\ .\end{aligned}}$ ⓘ

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man direkt die Komponenten des Kreuzprodukts aus verwendet:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} \equiv \det {\begin{bmatrix}{\hat {\mathbf {i} }}&{\hat {\mathbf {j} }}&{\hat {\mathbf {k} }}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.$ ⓘ

In R³ ist die Lagrangesche Gleichung ein Spezialfall der Multiplikativität |vw| = |v||w| der Norm in der Quaternionenalgebra. ⓘ

Sie ist ein Spezialfall einer anderen Formel, die manchmal auch als Lagrangesche Identität bezeichnet wird und der dreidimensionale Fall der Binet-Cauchy-Identität ist:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )\equiv (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} ).$ ⓘ

Wenn a = c und b = d ist, vereinfacht sich dies zu der obigen Formel. ⓘ

Infinitesimale Generatoren von Rotationen

Das Kreuzprodukt beschreibt die infinitesimalen Generatoren von Rotationen in R³ auf praktische Weise. Wenn n ein Einheitsvektor in R³ ist und R(φ, n) eine Drehung um die durch n spezifizierte Achse durch den Ursprung mit dem Winkel φ (gemessen im Bogenmaß, von der Spitze von n aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn) bezeichnet, dann

$\left.{d \over d\phi }\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {x}}$

für jeden Vektor x in R³. Das Kreuzprodukt mit n beschreibt also den infinitesimalen Generator der Drehungen um n. Diese infinitesimalen Generatoren bilden die Lie-Algebra so(3) der Rotationsgruppe SO(3), und wir erhalten das Ergebnis, dass die Lie-Algebra R³ mit Kreuzprodukt isomorph zur Lie-Algebra so(3) ist. ⓘ

Alternative Wege zur Berechnung

Umrechnung in Matrixmultiplikation

Das Vektor-Kreuzprodukt kann auch als Produkt einer schiefsymmetrischen Matrix und eines Vektors ausgedrückt werden:

$${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} &={\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}\\\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={[\mathbf {b} ]_{\times }}^{\mathrm {\!\!T} }\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}\,0&\,\,b_{3}&\!-b_{2}\\-b_{3}&0&\,\,b_{1}\\\,\,b_{2}&\!-b_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}},\end{aligned}}$$

Dabei bezeichnet das hochgestellte T die Transponierungsoperation, und [a]_× ist definiert durch:

$$[\mathbf {a} ]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}.$$

ⓘ

Die Spalten [a]_×,i der schiefsymmetrischen Matrix für einen Vektor a können auch durch Berechnung des Kreuzprodukts mit Einheitsvektoren erhalten werden. Das heißt,

$$[\mathbf {a} ]_{\times ,i}=\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,\;i\in \{1,2,3\}$$

oder

$$[\mathbf {a} ]_{\times }=\sum _{i=1}^{3}\left(\mathbf {a} \times \mathbf {{\hat {e}}_{i}} \right)\otimes \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ,$$

wobei $\otimes$ ist der äußere Produktoperator. ⓘ

Auch wenn a selbst als Kreuzprodukt ausgedrückt wird:

$$\mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d}$$

dann

$$[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }.$$

ⓘ

Beweis durch Substitution

Die Auswertung des Kreuzprodukts ergibt

$$\mathbf {a} =\mathbf {c} \times \mathbf {d} ={\begin{pmatrix}c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}\\c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}\end{pmatrix}}$$

Die linke Seite ist also gleich

$$[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0\end{bmatrix}}$$

Nun zur rechten Seite,

$$\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{1}d_{2}&c_{1}d_{3}\\c_{2}d_{1}&c_{2}d_{2}&c_{2}d_{3}\\c_{3}d_{1}&c_{3}d_{2}&c_{3}d_{3}\end{bmatrix}}$$

Und ihre Transponierung ist

$$\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}c_{1}d_{1}&c_{2}d_{1}&c_{3}d_{1}\\c_{1}d_{2}&c_{2}d_{2}&c_{3}d_{2}\\c_{1}d_{3}&c_{2}d_{3}&c_{3}d_{3}\end{bmatrix}}$$

Die Auswertung der rechten Seite ergibt

$$\mathbf {d} \mathbf {c} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {c} \mathbf {d} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}0&c_{2}d_{1}-c_{1}d_{2}&c_{3}d_{1}-c_{1}d_{3}\\c_{1}d_{2}-c_{2}d_{1}&0&c_{3}d_{2}-c_{2}d_{3}\\c_{1}d_{3}-c_{3}d_{1}&c_{2}d_{3}-c_{3}d_{2}&0\end{bmatrix}}$$

Der Vergleich zeigt, dass die linke Seite gleich der rechten Seite ist. ⓘ

Dieses Ergebnis kann mit Hilfe der geometrischen Algebra auf höhere Dimensionen verallgemeinert werden. Insbesondere können Bivektoren in jeder Dimension mit schiefsymmetrischen Matrizen identifiziert werden, so dass das Produkt zwischen einer schiefsymmetrischen Matrix und einem Vektor dem Grad-1-Teil des Produkts aus einem Bivektor und einem Vektor entspricht. In drei Dimensionen sind Bivektoren dual zu Vektoren, so dass das Produkt dem Kreuzprodukt entspricht, wobei der Bivektor anstelle seines Vektorduals steht. In höheren Dimensionen kann das Produkt immer noch berechnet werden, aber Bivektoren haben mehr Freiheitsgrade und sind nicht mit Vektoren gleichzusetzen. ⓘ

Diese Notation ist auch oft viel einfacher zu handhaben, zum Beispiel in der Epipolargeometrie. ⓘ

Aus den allgemeinen Eigenschaften des Kreuzprodukts folgt unmittelbar, dass

$$[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {a} =\mathbf {0}$$

  und  

$$\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }=\mathbf {0}$$

und aus der Tatsache, dass [a]_× schief-symmetrisch ist, folgt, dass

$$\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\,[\mathbf {a} ]_{\times }\,\mathbf {b} =0.$$

ⓘ

Die oben erwähnte dreifache Produkterweiterung (bac-cab-Regel) lässt sich mit dieser Notation leicht beweisen. ⓘ

Wie bereits erwähnt, ist die Lie-Algebra R³ mit Kreuzprodukt isomorph zur Lie-Algebra so(3), deren Elemente mit den 3×3 schief-symmetrischen Matrizen identifiziert werden können. Die Abbildung a → [a]_× liefert einen Isomorphismus zwischen R³ und so(3). Unter dieser Abbildung entspricht das Kreuzprodukt von 3-Vektoren dem Kommutator von 3x3 schiefsymmetrischen Matrizen. ⓘ

Matrixumwandlung für Kreuzprodukt mit kanonischen Basisvektoren

Denotierung mit $\mathbf {e} _{i}\in \mathbf {R} ^{3\times 1}$ den $i$-ten kanonischen Basisvektor, das Kreuzprodukt eines generischen Vektors $\mathbf {v} \in \mathbf {R} ^{3\times 1}$ mit $\mathbf {e} _{i}$ ist gegeben durch: $\mathbf {v} \times \mathbf {e} _{i}=\mathbf {C} _{i}\mathbf {v}$, wobei ⓘ $$\mathbf {C} _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {C} _{2}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {C} _{3}={\begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$$ ⓘ Diese Matrizen haben die folgenden Eigenschaften: $\mathbf {C} _{i}^{\textrm {T}}=-\mathbf {C} _{i}$ (schief-symmetrisch); Sowohl Spur als auch Determinante sind Null; ${\text{rank}}(\mathbf {C} _{i})=2$; $\mathbf {C} _{i}\mathbf {C} _{i}^{\textrm {T}}=\mathbf {P} _{\mathbf {e} _{i}}^{^{\perp }}$ (siehe unten); ⓘ Die orthogonale Projektionsmatrix eines Vektors $\mathbf {v} \neq \mathbf {0}$ ist gegeben durch $\mathbf {P} _{\mathbf {v} }=\mathbf {v} \left(\mathbf {v} ^{\textrm {T}}\mathbf {v} \right)^{-1}\mathbf {v} ^{T}$. Die Projektionsmatrix auf das orthogonale Komplement ist gegeben durch $\mathbf {P} _{\mathbf {v} }^{^{\perp }}=\mathbf {I} -\mathbf {P} _{\mathbf {v} }$, wobei $\mathbf {I}$ ist die Identitätsmatrix. Für den Spezialfall von $\mathbf {v} =\mathbf {e} _{i}$kann nachgewiesen werden, dass ⓘ $$\mathbf {P} _{\mathbf {e} _{1}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{\mathbf {e} _{2}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{\mathbf {e} _{3}}^{^{\perp }}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$$ ⓘ Für weitere Eigenschaften von orthogonalen Projektionsmatrizen siehe Projektion (lineare Algebra).

ⓘ

Indexschreibweise für Tensoren

Das Kreuzprodukt kann alternativ durch den Levi-Civita-Tensor E_ijk und ein Punktprodukt η^mi definiert werden, die bei der Umwandlung der Vektorschreibweise für Tensoranwendungen nützlich sind:

$\mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}$ ⓘ

wobei die Indizes $i,j,k$ den Vektorkomponenten entsprechen. Diese Charakterisierung des Kreuzprodukts wird oft kompakter ausgedrückt, indem man die Einstein-Summenkonvention verwendet als

$\mathbf {c} =\mathbf {a\times b} \Leftrightarrow \ c^{m}=\eta ^{mi}E_{ijk}a^{j}b^{k}$ ⓘ

wobei wiederholte Indizes über die Werte 1 bis 3 summiert werden. ⓘ

In einer positiv orientierten Orthonormalbasis sind ηmi = δmi (das Kronecker-Delta) und $E_{ijk}=\varepsilon _{ijk}$ (das Levi-Civita-Symbol). In diesem Fall ist diese Darstellung eine andere Form der schief-symmetrischen Darstellung des Kreuzprodukts:

$[\varepsilon _{ijk}a^{j}]=[\mathbf {a} ]_{\times }.$ ⓘ

In der klassischen Mechanik kann die Darstellung des Kreuzprodukts mit Hilfe des Levi-Civita-Symbols dazu führen, dass mechanische Symmetrien offensichtlich werden, wenn physikalische Systeme isotrop sind. (Ein Beispiel: Man betrachte ein Teilchen in einem Potential nach dem Hooke'schen Gesetz im dreidimensionalen Raum, das in drei Dimensionen frei schwingen kann; keine dieser Dimensionen ist in irgendeinem Sinne "speziell", so dass Symmetrien im durch das Kreuzprodukt dargestellten Drehimpuls liegen, die durch die oben erwähnte Levi-Civita-Darstellung deutlich werden). ⓘ

Eselsbrücke

Eselsbrücke zur Berechnung eines Kreuzprodukts in Vektorform ⓘ

Das Wort "xyzzy" kann verwendet werden, um sich die Definition des Kreuzprodukts zu merken. ⓘ

Wenn ⓘ

$\mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c}$ ⓘ

wobei:

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}},\ \mathbf {c} ={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}$ ⓘ

dann:

$a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}$

$a_{y}=b_{z}c_{x}-b_{x}c_{z}$

$a_{z}=b_{x}c_{y}-b_{y}c_{x}.$ ⓘ

Die zweite und dritte Gleichung ergeben sich aus der ersten durch einfaches vertikales Drehen der Indizes, x → y → z → x. Das Problem ist natürlich, wie man sich die erste Gleichung merken kann, und dafür gibt es zwei Möglichkeiten: entweder man merkt sich die beiden relevanten Diagonalen des Schemas von Sarrus (die, die i enthalten), oder man merkt sich die xyzzy-Sequenz. ⓘ

Da die erste Diagonale im Schema von Sarrus nur die Hauptdiagonale der oben erwähnten 3×3-Matrix ist, kann man sich die ersten drei Buchstaben des Wortes xyzzy sehr leicht merken. ⓘ

Kreuzvisualisierung

Ähnlich wie bei der obigen Gedächtnisstütze kann man sich ein "Kreuz" oder X zwischen den beiden Vektoren in der Gleichung vorstellen. Dies kann hilfreich sein, um sich die richtige Formel für das Kreuzprodukt zu merken. ⓘ

Wenn ⓘ

$\mathbf {a} =\mathbf {b} \times \mathbf {c}$ ⓘ

dann:

$\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.$ ⓘ

Wenn wir die Formel für $a_{x}$ erhalten möchten, lassen wir einfach das $b_{x}$ und $c_{x}$ aus der Formel und nehmen die nächsten beiden Komponenten nach unten:

$a_{x}={\begin{bmatrix}b_{y}\\b_{z}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}.$ ⓘ

Wenn wir dies für $a_{y}$ sollten die nächsten beiden Elemente die Matrix "umhüllen", so dass nach der z-Komponente die x-Komponente folgt. Zur Verdeutlichung: Wenn Sie diese Operation für $a_{y}$durchgeführt wird, sollten die nächsten beiden Komponenten z und x sein (in dieser Reihenfolge). Während für $a_{z}$ sollten die nächsten beiden Komponenten x und y sein. ⓘ

$a_{y}={\begin{bmatrix}b_{z}\\b_{x}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{z}\\c_{x}\end{bmatrix}},\ a_{z}={\begin{bmatrix}b_{x}\\b_{y}\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\end{bmatrix}}$ ⓘ

Für $a_{x}$ können wir, wenn wir uns den Kreuzoperator so vorstellen, dass er von einem Element auf der linken Seite zu einem Element auf der rechten Seite zeigt, das erste Element auf der linken Seite nehmen und einfach mit dem Element multiplizieren, auf das das Kreuz in der rechten Matrix zeigt. Dann subtrahieren wir das nächste Element auf der linken Seite, multipliziert mit dem Element, auf das das Kreuz auch hier zeigt. Das Ergebnis ist unsere $a_{x}$ Formel. ⓘ

$a_{x}=b_{y}c_{z}-b_{z}c_{y}.$ ⓘ

Wir können dies auf die gleiche Weise für $a_{y}$ und $a_{z}$ um die zugehörigen Formeln zu konstruieren. ⓘ

Anwendungen

Das Kreuzprodukt findet Anwendung in vielen Bereichen der Mathematik und Physik, unter anderem bei folgenden Themen:

• Berechnung des Drehmoments, des Drehimpulses, der Corioliskraft, der Lorentzkraft
• Abstandsformel für windschiefe Geraden ⓘ

Das Kreuzprodukt findet in verschiedenen Zusammenhängen Anwendung. So wird es beispielsweise in der Computergeometrie, der Physik und den Ingenieurwissenschaften verwendet. Es folgt eine nicht erschöpfende Liste von Beispielen. ⓘ

Rechnerische Geometrie

Das Kreuzprodukt kommt bei der Berechnung des Abstands zweier schräger Linien (Linien, die nicht in derselben Ebene liegen) zueinander im dreidimensionalen Raum zum Einsatz. ⓘ

Das Kreuzprodukt kann zur Berechnung der Normalen eines Dreiecks oder Polygons verwendet werden, eine Operation, die häufig in der Computergrafik durchgeführt wird. Beispielsweise kann die Drehung eines Polygons (im oder gegen den Uhrzeigersinn) um einen Punkt innerhalb des Polygons berechnet werden, indem man das Polygon trianguliert (wie ein Rad mit Speichen) und die Winkel (zwischen den Speichen) mit Hilfe des Kreuzprodukts summiert, um das Vorzeichen jedes Winkels zu ermitteln. ⓘ

In der rechnerischen Geometrie der Ebene wird das Kreuzprodukt verwendet, um das Vorzeichen des spitzen Winkels zu bestimmen, der durch drei Punkte definiert ist $p_{1}=(x_{1},y_{1}),p_{2}=(x_{2},y_{2})$ und $p_{3}=(x_{3},y_{3})$. Es entspricht der Richtung (nach oben oder unten) des Kreuzprodukts der beiden koplanaren Vektoren, die durch die beiden Punktpaare $(p_{1},p_{2})$ und $(p_{1},p_{3})$. Das Vorzeichen des spitzen Winkels ist das Vorzeichen des Ausdrucks

$P=(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{1}),$

der die vorzeichenbehaftete Länge des Kreuzprodukts der beiden Vektoren ist. ⓘ

Im "rechtshändigen" Koordinatensystem sind die Punkte kollinear, wenn das Ergebnis 0 ist; wenn es positiv ist, bilden die drei Punkte einen positiven Drehwinkel um $p_{1}$ von $p_{2}$ zu $p_{3}$, andernfalls einen negativen Winkel. Aus einem anderen Blickwinkel betrachtet, sagt das Vorzeichen von $P$ an, ob $p_{3}$ links oder rechts der Linie liegt $p_{1},p_{2}.$ ⓘ

Das Kreuzprodukt wird bei der Berechnung des Volumens eines Polyeders, z. B. eines Tetraeders oder Parallelepipeds, verwendet. ⓘ

Drehimpuls und Drehmoment

Der Drehimpuls L eines Teilchens um einen gegebenen Ursprung ist definiert als:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,$ ⓘ

Dabei ist r der Positionsvektor des Teilchens relativ zum Ursprung, p ist der lineare Impuls des Teilchens. ⓘ

In gleicher Weise ist das Moment M einer Kraft F_B, die im Punkt B um den Punkt A wirkt, wie folgt definiert:

$\mathbf {M} _{\mathrm {A} }=\mathbf {r} _{\mathrm {AB} }\times \mathbf {F} _{\mathrm {B} }\,$ ⓘ

In der Mechanik wird das Moment einer Kraft auch als Drehmoment bezeichnet und wie folgt geschrieben $\mathbf {\tau }$ ⓘ

Da die Position r, der lineare Impuls p und die Kraft F echte Vektoren sind, sind sowohl der Drehimpuls L als auch das Kraftmoment M Pseudovektoren oder axiale Vektoren. ⓘ

Starrer Körper

Das Kreuzprodukt kommt häufig bei der Beschreibung starrer Bewegungen vor. Zwei Punkte P und Q auf einem starren Körper können wie folgt in Beziehung gesetzt werden:

$\mathbf {v} _{P}-\mathbf {v} _{Q}={\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {r} _{P}-\mathbf {r} _{Q}\right)\,$ ⓘ

wobei $\mathbf {r}$ ist die Position des Punktes, $\mathbf {v}$ ist seine Geschwindigkeit und ${\boldsymbol {\omega }}$ ist die Winkelgeschwindigkeit des Körpers. ⓘ

Da Position $\mathbf {r}$ und Geschwindigkeit $\mathbf {v}$ echte Vektoren sind, ist die Winkelgeschwindigkeit ${\boldsymbol {\omega }}$ ein Pseudovektor oder Axialvektor. ⓘ

Lorentz-Kraft

Das Kreuzprodukt wird verwendet, um die Lorentzkraft zu beschreiben, die eine bewegte elektrische Ladung qe erfährt:

$\mathbf {F} =q_{e}\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$ ⓘ

Da die Geschwindigkeit v, die Kraft F und das elektrische Feld E echte Vektoren sind, ist das magnetische Feld B ein Pseudovektor. ⓘ

Andere

In der Vektorrechnung wird das Kreuzprodukt verwendet, um die Formel für den Vektoroperator curl zu definieren. ⓘ

Der Trick, ein Kreuzprodukt in eine Matrixmultiplikation umzuschreiben, taucht häufig in der Epipolar- und Multiview-Geometrie auf, insbesondere bei der Ableitung von Matching-Constraints. ⓘ

Als äußeres Produkt

Das Kreuzprodukt im Verhältnis zum äußeren Produkt. In Rot sind der orthogonale Einheitsvektor und der "parallele" Einheitsbivektor dargestellt. ⓘ

Das Kreuzprodukt kann in Bezug auf das äußere Produkt definiert werden. Es kann auf ein äußeres Produkt in anderen als drei Dimensionen verallgemeinert werden. Diese Sichtweise ermöglicht eine natürliche geometrische Interpretation des Kreuzprodukts. In der externen Algebra ist das externe Produkt zweier Vektoren ein Bivektor. Ein Bivektor ist ein orientiertes Flächenelement, ähnlich wie ein Vektor ein orientiertes Linienelement ist. Bei zwei Vektoren a und b kann man den Bivektor a ∧ b als das orientierte Parallelogramm betrachten, das von a und b aufgespannt wird. Das Kreuzprodukt erhält man dann, indem man den Hodge-Stern des Bivektors a ∧ b nimmt und 2-Vektoren auf Vektoren abbildet:

$a\times b=\star (a\wedge b)\,.$ ⓘ

Dies kann man sich als das orientierte mehrdimensionale Element vorstellen, das "senkrecht" zum Bivektor steht. Nur in drei Dimensionen ist das Ergebnis ein orientiertes eindimensionales Element - ein Vektor -, während z. B. in vier Dimensionen das Hodge-Dual eines Bivektors zweidimensional ist - ein Bivektor. Nur in drei Dimensionen kann also ein Vektor-Kreuzprodukt von a und b als der zum Bivektor a ∧ b duale Vektor definiert werden: Er steht senkrecht zum Bivektor, wobei seine Orientierung von der Händigkeit des Koordinatensystems abhängt, und hat in Bezug auf den Einheitsnormalenvektor die gleiche Größe wie a ∧ b in Bezug auf den Einheitsbivektor; genau die oben beschriebenen Eigenschaften. ⓘ

Händigkeit

Konsistenz

Wenn physikalische Gesetze in Form von Gleichungen formuliert werden, kann das Koordinatensystem, einschließlich der Händigkeit, willkürlich gewählt werden. Man sollte darauf achten, niemals eine Gleichung aufzuschreiben, bei der sich die beiden Seiten nicht unter allen zu berücksichtigenden Transformationen gleich verhalten. Wenn zum Beispiel eine Seite der Gleichung ein Kreuzprodukt zweier Polarvektoren ist, muss man berücksichtigen, dass das Ergebnis ein Achsenvektor ist. Aus Gründen der Konsistenz muss daher auch die andere Seite ein Axialvektor sein. Allgemeiner ausgedrückt, kann das Ergebnis eines Kreuzprodukts je nach Art der Operanden (Polarvektoren oder Axialvektoren) entweder ein Polar- oder ein Axialvektor sein. Polarvektoren und Axialvektoren sind bei der Anwendung des Kreuzprodukts auf folgende Weise miteinander verknüpft:

• Polarvektor × Polarvektor = Axialvektor
• Axialvektor × Axialvektor = Axialvektor
• Polarvektor × Axialvektor = Polarvektor
• axialer Vektor × polarer Vektor = polarer Vektor

oder symbolisch

• polar × polar = axial
• axial × axial = axial
• polar × axial = polar
• axial × polar = polar ⓘ

Da das Kreuzprodukt auch ein Polarvektor sein kann, darf es bei einer Spiegelbildtransformation die Richtung nicht ändern. Dies ist nach den obigen Beziehungen der Fall, wenn einer der Operanden ein polarer Vektor und der andere ein axialer Vektor ist (z. B. das Kreuzprodukt zweier polarer Vektoren). So ist z. B. ein Vektor-Dreifachprodukt aus drei polaren Vektoren ein Polarvektor. ⓘ

Ein händefreier Ansatz ist mit Hilfe der äußeren Algebra möglich. ⓘ

Das Paradoxon der Orthonormalbasis

Sei (i, j, k) eine orthonormale Basis. Die Vektoren i, j und k hängen nicht von der Orientierung des Raumes ab. Sie können sogar definiert werden, wenn es keine Orientierung gibt. Sie können daher keine axialen Vektoren sein. Wenn aber i und j Polarvektoren sind, dann ist k ein Axialvektor für i × j = k oder j × i = k. Dies ist ein Paradoxon. ⓘ

"Axial" und "polar" sind physikalische Bezeichnungen für physikalische Vektoren, d. h. Vektoren, die physikalische Größen wie die Geschwindigkeit oder das Magnetfeld darstellen. Die Vektoren i, j und k sind mathematische Vektoren, weder axial noch polar. In der Mathematik ist das Kreuzprodukt von zwei Vektoren ein Vektor. Es gibt keinen Widerspruch. ⓘ

Verallgemeinerungen

Es gibt mehrere Möglichkeiten, das Kreuzprodukt auf höhere Dimensionen zu verallgemeinern. ⓘ

Lie-Algebra

Das Kreuzprodukt kann als eines der einfachsten Lie-Produkte betrachtet werden und wird daher durch Lie-Algebren verallgemeinert, die als binäre Produkte axiomatisiert werden, die die Axiome der Multilinearität, der Schiefsymmetrie und der Jacobi-Identität erfüllen. Es gibt viele Lie-Algebren, und ihre Untersuchung ist ein wichtiges Gebiet der Mathematik, die sogenannte Lie-Theorie. ⓘ

Die Heisenberg-Algebra zum Beispiel gibt eine weitere Lie-Algebra-Struktur auf $\mathbf {R} ^{3}.$ In der Basis $\{x,y,z\},$ ist das Produkt $[x,y]=z,[x,z]=[y,z]=0.$ ⓘ

Quaternionen

Das Kreuzprodukt kann auch mit Hilfe von Quaternionen beschrieben werden. Wenn ein Vektor [a₁, a₂, a₃] als Quaternion a₁i + a₂j + a₃k dargestellt wird, erhält man das Kreuzprodukt zweier Vektoren, indem man ihr Produkt als Quaternionen nimmt und den Realteil des Ergebnisses löscht. Der Realteil ist dann das Negativ des Punktprodukts der beiden Vektoren. ⓘ

Oktonionen

Ein Kreuzprodukt für 7-dimensionale Vektoren erhält man auf die gleiche Weise, wenn man statt der Quaternionen Oktonionen verwendet. Die Nichtexistenz nichttrivialer vektorwertiger Kreuzprodukte zweier Vektoren in anderen Dimensionen hängt mit dem Ergebnis des Hurwitz-Theorems zusammen, dass die einzigen normierten Divisionsalgebren die mit den Dimensionen 1, 2, 4 und 8 sind. ⓘ

Äußeres Produkt

In allgemeinen Dimensionen gibt es kein direktes Analogon des binären Kreuzprodukts, das speziell einen Vektor ergibt. Es gibt jedoch das äußere Produkt, das ähnliche Eigenschaften hat, mit dem Unterschied, dass das äußere Produkt zweier Vektoren nun ein 2-Vektor anstelle eines gewöhnlichen Vektors ist. Wie bereits erwähnt, kann das Kreuzprodukt als dreidimensionales äußeres Produkt interpretiert werden, indem der Hodge-Sternoperator verwendet wird, um 2-Vektoren auf Vektoren abzubilden. Das Hodge-Dual des Außenprodukts ergibt einen (n - 2)-Vektor, was eine natürliche Verallgemeinerung des Kreuzprodukts in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen ist. ⓘ

Das äußere Produkt und das Punktprodukt können (durch Summation) kombiniert werden, um das geometrische Produkt in der geometrischen Algebra zu bilden. ⓘ

Äußeres Produkt

Wie bereits erwähnt, kann das Kreuzprodukt in drei Dimensionen als das Hodge-Dual des äußeren Produkts interpretiert werden. In allen endlichen n Dimensionen ist das Hodge-Dual des äußeren Produkts von n - 1 Vektoren ein Vektor. Anstelle einer binären Operation wird das Kreuzprodukt also in beliebig endlichen Dimensionen als Hodge-Dual des äußeren Produkts einiger gegebener n - 1 Vektoren verallgemeinert. Diese Verallgemeinerung wird externes Produkt genannt. ⓘ

Kommutatorprodukt

Interpretiert man den dreidimensionalen Vektorraum der Algebra als die 2-Vektor- (nicht die 1-Vektor-) Unteralgebra der dreidimensionalen geometrischen Algebra, wobei $\mathbf {i} =\mathbf {e_{2}} \mathbf {e_{3}}$, $\mathbf {j} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{3}}$, und $\mathbf {k} =\mathbf {e_{1}} \mathbf {e_{2}}$das Kreuzprodukt genau dem Kommutatorprodukt in der geometrischen Algebra entspricht und beide das gleiche Symbol verwenden $\times$. Das Kommutatorprodukt ist für 2-Vektoren definiert $A$ und $B$ in der geometrischen Algebra als:

$A\times B={\tfrac {1}{2}}(AB-BA)$ ⓘ

wobei $AB$ ist das geometrische Produkt. ⓘ

Das Kommutatorprodukt kann auf beliebige Multivektoren in drei Dimensionen verallgemeinert werden, was zu einem Multivektor führt, der nur aus Elementen der Klassen 1 (1-Vektoren/echte Vektoren) und 2 (2-Vektoren/Pseudovektoren) besteht. Während das Kommutatorprodukt von zwei 1-Vektoren in der Tat dasselbe ist wie das äußere Produkt und einen 2-Vektor ergibt, ergibt der Kommutator eines 1-Vektors und eines 2-Vektors einen echten Vektor, der stattdessen den linken und rechten Kontraktionen in der geometrischen Algebra entspricht. Das Kommutatorprodukt zweier 2-Vektoren hat kein entsprechendes Äquivalenzprodukt, weshalb das Kommutatorprodukt überhaupt erst für 2-Vektoren definiert wurde. Außerdem ist das Kommutator-Dreifachprodukt von drei 2-Vektoren dasselbe wie das Vektor-Dreifachprodukt der gleichen drei Pseudovektoren in der Vektoralgebra. Das Kommutator-Dreifachprodukt dreier 1-Vektoren in der geometrischen Algebra ist dagegen das Negativ des Vektor-Dreifachprodukts derselben drei echten Vektoren in der Vektoralgebra. ⓘ

Die Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen wird durch das gleiche Kommutatorprodukt von 2-Vektoren in höherdimensionalen geometrischen Algebren erreicht, aber die 2-Vektoren sind keine Pseudovektoren mehr. So wie das Kommutatorprodukt/Kreuzprodukt von 2-Vektoren in drei Dimensionen der einfachsten Lie-Algebra entspricht, entsprechen die 2-Vektor-Unteralgebren der höherdimensionalen geometrischen Algebra, die mit dem Kommutatorprodukt ausgestattet sind, ebenfalls den Lie-Algebren. Wie in den drei Dimensionen kann das Kommutatorprodukt auf beliebige Multivektoren verallgemeinert werden. ⓘ

Multilineare Algebra

Im Zusammenhang mit der multilinearen Algebra kann das Kreuzprodukt als der (1,2)-Tensor (ein gemischter Tensor, insbesondere eine bilineare Abbildung) betrachtet werden, der aus der dreidimensionalen Volumenform, einem (0,3)-Tensor, durch Erhöhen eines Indexes gewonnen wird. ⓘ

Im Einzelnen definiert die 3-dimensionale Volumenform ein Produkt $V\times V\times V\to \mathbf {R} ,$ indem man die Determinante der durch diese 3 Vektoren gegebenen Matrix nimmt. Durch Dualität ist dies äquivalent zu einer Funktion $V\times V\to V^{*},$ (das Festlegen zweier beliebiger Eingaben ergibt eine Funktion $V\to \mathbf {R}$ durch Auswertung am dritten Eingang), und bei Vorhandensein eines inneren Produkts (wie das Punktprodukt; allgemeiner gesagt, eine nicht entartete bilineare Form) haben wir einen Isomorphismus $V\to V^{*},$ und somit ergibt sich eine Abbildung $V\times V\to V,$ die das Kreuzprodukt ist: ein (0,3)-Tensor (3 Vektoreingänge, Skalarausgang) wurde durch "Erhöhen eines Index" in einen (1,2)-Tensor (2 Vektoreingänge, 1 Vektorausgang) umgewandelt. ⓘ

Überträgt man die obige Algebra in die Geometrie, so ergibt sich die Funktion "Volumen des Parallelepipeds definiert durch $(a,b,-)$" (wobei die ersten beiden Vektoren fest sind und der letzte ein Eingang ist), die eine Funktion $V\to \mathbf {R}$definiert, kann eindeutig als das Punktprodukt mit einem Vektor dargestellt werden: Dieser Vektor ist das Kreuzprodukt $a\times b.$ Unter diesem Gesichtspunkt ist das Kreuzprodukt durch das skalare Dreifachprodukt definiert, $\mathrm {Vol} (a,b,c)=(a\times b)\cdot c.$ ⓘ

In gleicher Weise kann man in höheren Dimensionen verallgemeinerte Kreuzprodukte definieren, indem man die Indizes der n-dimensionalen Volumenform erhöht, die ein $(0,n)$-Tensor ist. Die direktesten Verallgemeinerungen des Kreuzprodukts sind die Definition von entweder:

• a $(1,n-1)$-Tensor, der als Eingabe $n-1$ Vektoren aufnimmt und als Ausgabe 1 Vektor liefert - ein $(n-1)$-äres vektorwertiges Produkt, oder
• a $(n-2,2)$-Tensor, der als Eingabe 2 Vektoren annimmt und als Ausgabe einen schiefsymmetrischen Tensor vom Rang n - 2 liefert - ein binäres Produkt mit Tensorwerten vom Rang n - 2. Man kann auch definieren $(k,n-k)$-Tensoren für andere k definieren. ⓘ

Diese Produkte sind alle multilinear und schiefsymmetrisch und können durch die Determinante und die Parität definiert werden. ⓘ

Das $(n-1)$-ary Produkt kann wie folgt beschrieben werden: Gegeben sind $n-1$ Vektoren $v_{1},\dots ,v_{n-1}$ in $\mathbf {R} ^{n},$ definieren ihr verallgemeinertes Kreuzprodukt $v_{n}=v_{1}\times \cdots \times v_{n-1}$ als:

• Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf der Hyperebene, die durch die $v_{i},$
• Der Betrag ist das Volumen des Parallelotops, das durch die $v_{i},$ das als die Gram-Determinante des $v_{i},$
• so orientiert, dass $v_{1},\dots ,v_{n}$ ist positiv orientiert.

Dies ist das einzige multilineare, alternierende Produkt, das folgende Werte ergibt $e_{1}\times \cdots \times e_{n-1}=e_{n}$, $e_{2}\times \cdots \times e_{n}=e_{1},$ und so weiter für zyklische Permutationen von Indizes. ⓘ

In Koordinaten kann man eine Formel für dieses Produkt angeben $(n-1)$-Analogon des Kreuzprodukts in Rn durch:

$\bigwedge _{i=0}^{n-1}\mathbf {v} _{i}={\begin{vmatrix}v_{1}{}^{1}&\cdots &v_{1}{}^{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n-1}{}^{1}&\cdots &v_{n-1}{}^{n}\\\mathbf {e} _{1}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{vmatrix}}.$ ⓘ

Diese Formel ist von der Struktur her identisch mit der Determinantenformel für das normale Kreuzprodukt in R³, mit dem Unterschied, dass die Reihe der Basisvektoren die letzte Reihe in der Determinante ist und nicht die erste. Der Grund dafür ist, dass die geordneten Vektoren (v₁, ..., vn-1, Λn-1
_i=0vi) eine positive Orientierung in Bezug auf (e₁, ..., en) haben. Wenn n ungerade ist, lässt diese Modifikation den Wert unverändert, so dass diese Konvention mit der normalen Definition des binären Produkts übereinstimmt. Für den Fall, dass n gerade ist, muss die Unterscheidung jedoch beibehalten werden. Diese $(n-1)$-äre Form hat viele der gleichen Eigenschaften wie das Vektor-Kreuzprodukt: Es ist alternierend und linear in seinen Argumenten, es steht senkrecht zu jedem Argument, und sein Betrag gibt das Hypervolumen der von den Argumenten begrenzten Region an. Und genau wie das Vektor-Kreuzprodukt kann es koordinatenunabhängig als das Hodge-Dual des Keilprodukts der Argumente definiert werden. ⓘ

Geschichte

Im Jahr 1773 verwendete Joseph-Louis Lagrange die Komponentenform des Punkt- und des Kreuzprodukts, um das Tetraeder in drei Dimensionen zu untersuchen. ⓘ

Im Jahr 1843 führte William Rowan Hamilton das Quaternionenprodukt und damit die Begriffe Vektor und Skalar ein. Bei zwei Quaternionen [0, u] und [0, v], wobei u und v Vektoren in R³ sind, lässt sich ihr Quaternionenprodukt als [-u ⋅ v, u × v] zusammenfassen. James Clerk Maxwell benutzte Hamiltons Quaternionenwerkzeuge, um seine berühmten Gleichungen für den Elektromagnetismus zu entwickeln, und aus diesem und anderen Gründen waren Quaternionen eine Zeit lang ein wesentlicher Bestandteil des Physikunterrichts. ⓘ

1844 veröffentlichte Hermann Grassmann eine geometrische Algebra, die nicht an die Dimension zwei oder drei gebunden ist. Grassmann entwickelt mehrere Produkte, darunter ein Kreuzprodukt, das damals durch [uv] dargestellt wurde. (Siehe auch: Äußere Algebra.) ⓘ

1853 veröffentlichte Augustin-Louis Cauchy, ein Zeitgenosse von Grassmann, eine Arbeit über algebraische Schlüssel, die zur Lösung von Gleichungen verwendet wurden und dieselben Multiplikationseigenschaften hatten wie das Kreuzprodukt. ⓘ

Im Jahr 1878 veröffentlichte William Kingdon Clifford Elements of Dynamic, in dem der Begriff Vektorprodukt belegt ist. In dem Buch wird dieses Produkt zweier Vektoren so definiert, dass seine Größe gleich der Fläche des Parallelogramms ist, dessen zwei Seiten sie bilden, und seine Richtung senkrecht zu ihrer Ebene verläuft. (Siehe auch: Clifford-Algebra.) ⓘ

In seinen Vorlesungsaufzeichnungen von 1881 stellt Gibbs das Kreuzprodukt durch $u\times v$ dar und nennt es das Schrägprodukt. Im Jahr 1901 bearbeitete und erweiterte Gibbs Schüler Edwin Bidwell Wilson diese Vorlesungsaufzeichnungen in seinem Lehrbuch Vector Analysis. Wilson behält den Begriff Schrägprodukt bei, stellt aber fest, dass die alternativen Begriffe Kreuzprodukt und Vektorprodukt häufiger verwendet wurden. ⓘ

1908 führen Cesare Burali-Forti und Roberto Marcolongo die Vektorproduktnotation u ∧ v ein. Diese wird in Frankreich und anderen Gebieten bis heute verwendet, da das Symbol $\times$ bereits zur Bezeichnung der Multiplikation und des kartesischen Produkts verwendet wird. ⓘ

Vom Kreuzprodukt abgeleitete Operationen

Rotation

In der Vektoranalysis wird das Kreuzprodukt zusammen mit dem Nabla-Operator $\nabla$ verwendet, um den Differentialoperator „Rotation“ zu bezeichnen. Ist ${\vec {V}}$ ein Vektorfeld im $\mathbb {R} ^{3}$, so ist

$\operatorname {rot} {\vec {V}}=\nabla \times {\vec {V}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}V_{1}\\[.5em]V_{2}\\[.5em]V_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}V_{3}-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}V_{2}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}V_{1}-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}V_{3}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}V_{2}-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}V_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial V_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial V_{2}}{\partial x_{3}}}\\[.5em]{\frac {\partial V_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial V_{3}}{\partial x_{1}}}\\[.5em]{\frac {\partial V_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial V_{1}}{\partial x_{2}}}\end{pmatrix}}$

wieder ein Vektorfeld, die Rotation von ${\vec {V}}$. ⓘ

Formal wird dieses Vektorfeld also als Kreuzprodukt des Nabla-Operators und des Vektorfelds ${\vec {V}}$ berechnet. Die hierbei auftretenden Ausdrücke ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}V_{j}$ sind jedoch keine Produkte, sondern Anwendungen des Differentialoperators ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}$ auf die Funktion $V_{j}$. Deshalb sind die oben angeführten Rechenregeln wie z. B. die Graßmann-Identität in diesem Fall nicht gültig. Stattdessen gelten für doppelte Kreuzprodukte mit dem Nabla-Operator besondere Rechenregeln. ⓘ

Kreuzprodukt im n-dimensionalen Raum

Das Kreuzprodukt lässt sich für beliebige Dimension $n\geq 2$ auf den n-dimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ verallgemeinern. Dabei ist das Kreuzprodukt im $\mathbb {R} ^{n}$ kein Produkt von zwei Faktoren, sondern von $n-1$ Faktoren. ⓘ

Das Kreuzprodukt ${\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \cdots \times {\vec {a}}_{n-1}$ der Vektoren ${\vec {a}}_{1},\dots ,{\vec {a}}_{n-1}\in \mathbb {R} ^{n}$ ist dadurch charakterisiert, dass für jeden Vektor ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ gilt

${\vec {v}}\cdot ({\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \cdots \times {\vec {a}}_{n-1})=\operatorname {det} ({\vec {v}},{\vec {a}}_{1},\dots ,{\vec {a}}_{n-1}).$ ⓘ

In Koordinaten lässt sich das Kreuzprodukt im $\mathbb {R} ^{n}$ wie folgt berechnen. Es sei ${\vec {e}}_{i}$ der zugehörige $i$-te kanonische Einheitsvektor. Für $n-1$ Vektoren

${\vec {a}}_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{n1}\end{pmatrix}},\ {\vec {a}}_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{n2}\end{pmatrix}},\ \dots ,\ {\vec {a}}_{n-1}={\begin{pmatrix}a_{1\,(n-1)}\\a_{2\,(n-1)}\\\vdots \\a_{n\,(n-1)}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}$

gilt

${\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \cdots \times {\vec {a}}_{n-1}=\det {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}&a_{11}&\cdots &a_{1(n-1)}\\{\vec {e}}_{2}&a_{21}&\cdots &a_{2(n-1)}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\vec {e}}_{n}&a_{n1}&\dots &a_{n(n-1)}\end{pmatrix}},$

analog zu der oben erwähnten Berechnung mit Hilfe einer Determinante. ⓘ

Der Vektor ${\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \cdots \times {\vec {a}}_{n-1}$ ist orthogonal zu ${\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},\dotsc ,{\vec {a}}_{n-1}$. Die Orientierung ist so, dass die Vektoren ${\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \cdots \times {\vec {a}}_{n-1},{\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},\dotsc ,{\vec {a}}_{n-1}$ in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Der Betrag von ${\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \cdots \times {\vec {a}}_{n-1}$ ist gleich dem $(n-1)$-dimensionalen Volumen des von ${\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},\dotsc ,{\vec {a}}_{n-1}$ aufgespannten Parallelotops. ⓘ

Für $n=2$ erhält man dabei kein Produkt, sondern nur eine lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2};\ {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a_{2}\\-a_{1}\end{pmatrix}}$,

die Rotation um 90° im Uhrzeigersinn. ⓘ

Hieran ist auch zu erkennen, dass die Komponentenvektoren des Kreuzprodukts inklusive des Ergebnisvektors in dieser Reihenfolge – anders als aus dem $\mathbb {R} ^{3}$ gewohnt – im Allgemeinen kein Rechtssystem bilden; diese entstehen nur in reellen Vektorräumen mit ungeradem $n$, bei geraden $n$ bildet der Ergebnisvektor mit den Komponentenvektoren ein Linkssystem. Dies liegt wiederum daran, dass die Basis $({\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},\dotsc ,{\vec {a}}_{n-1},{\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \dotsb \times {\vec {a}}_{n-1})$ in Räumen geradzahliger Dimension nicht dasselbe ist wie die Basis $({\vec {a}}_{1}\times {\vec {a}}_{2}\times \dotsb \times {\vec {a}}_{n-1},{\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},\dotsc ,{\vec {a}}_{n-1})$, die per Definition (siehe oben) ein Rechtssystem ist. Zwar würde eine kleine Veränderung der Definition dazu führen, dass die Vektoren in der erstgenannten Reihenfolge im $\mathbb {R} ^{n}$ stets ein Rechtssystem bilden, nämlich wenn in der symbolischen Determinante die Spalte der Einheitsvektoren ganz nach rechts gesetzt würde, diese Definition hat sich allerdings nicht durchgesetzt. ⓘ

Eine noch weitergehende Verallgemeinerung führt auf die Graßmann-Algebren. Anwendung finden diese Algebren etwa in Formulierungen der Differentialgeometrie, welche die rigorose Beschreibung der klassischen Mechanik (Symplektische Mannigfaltigkeiten), der Quantengeometrie sowie in allererster Linie der Allgemeinen Relativitätstheorie erlaubt. In der Literatur wird das Kreuzprodukt im höherdimensionalen und ggf. gekrümmten Raum meist indexweise mit Levi-Civita-Symbol ausgeschrieben. ⓘ

Kreuzprodukt in komplexwertigen Vektorräumen

Behandelt man Vektoren aus komplexen Vektorräumen, z. B. in $\mathbb {C} ^{3}$, muss das Kreuzprodukt entsprechend angepasst werden. Die konkrete Realisation hängt dabei von der gewählten Definition des komplexen Skalarprodukts ab. Wählt man das Standardskalarprodukt zweier Vektoren $x,y\in \mathbb {C} ^{3}$, bei dem der erste Vektor als komplexe Konjugation eingeht:

$\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle :={\bar {x}}_{1}y_{1}+{\bar {x}}_{2}y_{2}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}y_{i}={\vec {x}}^{H}{\vec {y}}$,

dann wird das Kreuzprodukt wie im $\mathbb {R} ^{3}$ berechnet und das Ergebnis anschließend komplex konjugiert:

${\vec {x}}\times {\vec {y}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\overline {x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}}}\\{\overline {x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}}}\\{\overline {x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}}\end{pmatrix}}\,.$ ⓘ