Analysis

Ein seltsamer Attraktor, der sich aus einer Differentialgleichung ergibt. Differentialgleichungen sind ein wichtiges Gebiet der mathematischen Analyse mit vielen Anwendungen in Wissenschaft und Technik. ⓘ

Die Analysis ist der Zweig der Mathematik, der sich mit kontinuierlichen Funktionen, Grenzwerten und verwandten Theorien wie Differenzierung, Integration, Maß, unendlichen Folgen, Reihen und analytischen Funktionen beschäftigt. ⓘ

Diese Theorien werden normalerweise im Zusammenhang mit reellen und komplexen Zahlen und Funktionen untersucht. Die Analysis hat sich aus der Infinitesimalrechnung entwickelt, die die elementaren Konzepte und Techniken der Analysis umfasst. Die Analysis kann von der Geometrie unterschieden werden; sie kann jedoch auf jeden Raum mit mathematischen Objekten angewendet werden, der eine Definition der Nähe (ein topologischer Raum) oder bestimmte Abstände zwischen Objekten (ein metrischer Raum) aufweist. ⓘ

Die Analysis [aˈnaːlyzɪs] (ανάλυσις análysis ‚Auflösung‘, ἀναλύειν analýein ‚auflösen‘) ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton als Infinitesimalrechnung unabhängig voneinander entwickelt wurden. Als eigenständiges Teilgebiet der Mathematik neben den klassischen Teilgebieten der Geometrie und der Algebra existiert die Analysis seit Leonhard Euler. ⓘ

Geschichte

Archimedes verwendete die Methode der Erschöpfung, um die Fläche innerhalb eines Kreises zu berechnen, indem er die Fläche regelmäßiger Polygone mit immer mehr Seiten ermittelte. Dies war ein frühes, aber informelles Beispiel für einen Grenzwert, eines der grundlegendsten Konzepte der mathematischen Analyse. ⓘ

Antike

Die mathematische Analyse wurde im 17. Jahrhundert während der wissenschaftlichen Revolution formell entwickelt, aber viele ihrer Ideen lassen sich auf frühere Mathematiker zurückführen. Frühe Ergebnisse der Analysis waren bereits in den Anfängen der antiken griechischen Mathematik implizit vorhanden. So ist beispielsweise eine unendliche geometrische Summe implizit in Zenos Paradoxon der Dichotomie enthalten. Später machten griechische Mathematiker wie Eudoxus und Archimedes expliziteren, aber informellen Gebrauch von den Konzepten der Grenzen und der Konvergenz, als sie die Methode der Erschöpfung verwendeten, um die Fläche und das Volumen von Regionen und Körpern zu berechnen. Die explizite Verwendung von Infinitesimalzahlen findet sich in Archimedes' The Method of Mechanical Theorems, einem Werk, das im 20. Jahrhundert wiederentdeckt wurde. In Asien verwendete der chinesische Mathematiker Liu Hui im 3. Jahrhundert n. Chr. die Methode der Erschöpfung, um die Fläche eines Kreises zu bestimmen. Aus der Jain-Literatur geht hervor, dass die Hindus bereits im 4. Jahrhundert v. Chr. im Besitz der Formeln für die Summe der arithmetischen und geometrischen Reihen waren. Ācārya Bhadrabāhu verwendet die Summe einer geometrischen Reihe in seinem Kalpasūtra aus dem Jahr 433 v. Chr. In der indischen Mathematik sind bestimmte Beispiele für arithmetische Reihen bereits 2000 v. Chr. in der vedischen Literatur implizit zu finden. ⓘ

Mittelalter

Zu Chongzhi entwickelte im 5. Jahrhundert eine Methode zur Bestimmung des Volumens einer Kugel, die später als Cavalieri-Prinzip bezeichnet wurde. Im 12. Jahrhundert gab der indische Mathematiker Bhāskara II. Beispiele für Ableitungen und wandte das an, was heute als Rolles Theorem bekannt ist. ⓘ

Im 14. Jahrhundert entwickelte Madhava von Sangamagrama unendliche Reihenentwicklungen, die heute als Taylor-Reihen bezeichnet werden, für Funktionen wie Sinus, Kosinus, Tangens und Arkustangens. Neben seiner Entwicklung von Taylor-Reihen trigonometrischer Funktionen schätzte er auch die Größe der Fehlerterme ab, die sich aus der Abschneidung dieser Reihen ergeben, und gab eine rationale Annäherung einiger unendlicher Reihen an. Seine Nachfolger an der Kerala School of Astronomy and Mathematics haben seine Arbeiten bis ins 16. Jahrhundert hinein weiterentwickelt. ⓘ

Moderne

Grundlagen

Die modernen Grundlagen der mathematischen Analyse wurden im 17. Jahrhundert in Europa geschaffen. Jahrhundert gelegt, als Fermat und Descartes die analytische Geometrie entwickelten, die den Vorläufer der modernen Infinitesimalrechnung darstellt. Fermats Methode der Adäquanz ermöglichte es ihm, die Maxima und Minima von Funktionen und die Tangenten von Kurven zu bestimmen. Descartes' Veröffentlichung von La Géométrie im Jahr 1637, mit der das kartesische Koordinatensystem eingeführt wurde, gilt als Grundstein der mathematischen Analyse. Wenige Jahrzehnte später entwickelten Newton und Leibniz unabhängig voneinander die Infinitesimalrechnung, die sich mit den Impulsen der angewandten Arbeit, die bis ins 18. In dieser Zeit wurden Kalkulationstechniken angewandt, um diskrete Probleme durch kontinuierliche Probleme zu approximieren. ⓘ

Modernisierung

Im 18. Jahrhundert führte Euler den Begriff der mathematischen Funktion ein. Die reelle Analysis begann sich als eigenständiges Fach zu entwickeln, als Bernard Bolzano 1816 die moderne Definition der Kontinuität einführte, aber Bolzanos Arbeit wurde erst in den 1870er Jahren allgemein bekannt. 1821 begann Cauchy, die Infinitesimalrechnung auf eine solide logische Grundlage zu stellen, indem er das Prinzip der Allgemeinheit der Algebra, das in früheren Arbeiten, insbesondere von Euler, weit verbreitet war, ablehnte. Stattdessen formulierte Cauchy die Infinitesimalrechnung auf der Grundlage geometrischer Ideen und Infinitesimalzahlen. So verlangte seine Definition der Kontinuität, dass eine infinitesimale Änderung von x einer infinitesimalen Änderung von y entspricht. Er führte auch das Konzept der Cauchy-Folge ein und begründete die formale Theorie der komplexen Analyse. Poisson, Liouville, Fourier und andere untersuchten partielle Differentialgleichungen und die harmonische Analyse. Die Beiträge dieser Mathematiker und anderer, wie z. B. Weierstraß, entwickelten die (ε, δ)-Definition des Grenzwertansatzes und begründeten damit das moderne Gebiet der mathematischen Analyse. ⓘ

In der Mitte des 19. Jahrhunderts führte Riemann seine Integrationstheorie ein. Im letzten Drittel des Jahrhunderts kam es zur Arithmetisierung der Analysis durch Weierstraß, der der Meinung war, dass geometrisches Denken von Natur aus irreführend sei, und der die "Epsilon-Delta"-Definition des Grenzwerts einführte. Daraufhin begannen die Mathematiker zu befürchten, dass sie die Existenz eines Kontinuums reeller Zahlen ohne Beweis annehmen würden. Dedekind konstruierte daraufhin die reellen Zahlen durch Dedekind-Schnitte, in denen irrationale Zahlen formal definiert sind, die dazu dienen, die "Lücken" zwischen den rationalen Zahlen zu füllen und so eine vollständige Menge zu schaffen: das Kontinuum der reellen Zahlen, das bereits von Simon Stevin in Form von Dezimalausdehnungen entwickelt worden war. Zu dieser Zeit führten die Versuche, die Theoreme der Riemannschen Integration zu verfeinern, zur Untersuchung der "Größe" der Menge der Unstetigkeiten reeller Funktionen. ⓘ

Auch "Monster" (nirgendwo kontinuierliche Funktionen, kontinuierliche, aber nirgendwo differenzierbare Funktionen, raumfüllende Kurven) begannen untersucht zu werden. In diesem Zusammenhang entwickelte Jordan seine Maßtheorie, Cantor entwickelte das, was heute als naive Mengenlehre bezeichnet wird, und Baire bewies den Satz von der Baire-Kategorie. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts wurde das Kalkül mit Hilfe einer axiomatischen Mengenlehre formalisiert. Lebesgue löste das Problem der Maße, und Hilbert führte Hilbert-Räume zur Lösung von Integralgleichungen ein. Die Idee des normierten Vektorraums lag in der Luft, und in den 1920er Jahren entwickelte Banach die Funktionalanalysis. ⓘ

Wichtige Konzepte

Metrische Räume

In der Mathematik ist ein metrischer Raum eine Menge, in der ein Abstandsbegriff (eine so genannte Metrik) zwischen den Elementen der Menge definiert ist. ⓘ

Ein Großteil der Analysis findet in einem metrischen Raum statt; die am häufigsten verwendeten Räume sind die reelle Linie, die komplexe Ebene, der euklidische Raum, andere Vektorräume und die ganzen Zahlen. Beispiele für die Analyse ohne eine Metrik sind die Maßtheorie (die eher die Größe als den Abstand beschreibt) und die funktionale Analyse (die topologische Vektorräume untersucht, die keinen Sinn für den Abstand haben müssen). ⓘ

Formal ist ein metrischer Raum ein geordnetes Paar $(M,d)$ wobei $M$ eine Menge ist und $d$ eine Metrik auf $M$ist, d. h., eine Funktion ⓘ

$d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}$ ⓘ

derart, dass für jede $x,y,z\in M$das Folgende gilt:

1. $d(x,y)=0$ wenn und nur wenn $x=y$    (Identität der Ununterscheidbarkeiten),
2. $d(x,y)=d(y,x)$    (Symmetrie), und
3. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$    (Dreiecksungleichung). ⓘ

Nimmt man die dritte Eigenschaft und lässt $z=x$kann gezeigt werden, dass $d(x,y)\geq 0$     (nicht-negativ). ⓘ

Sequenzen und Grenzen

Eine Folge ist eine geordnete Liste. Wie eine Menge enthält sie Glieder (auch Elemente oder Terme genannt). Anders als bei einer Menge spielt die Reihenfolge eine Rolle, und genau dieselben Elemente können mehrfach an verschiedenen Stellen in der Folge erscheinen. Genauer gesagt kann eine Sequenz als eine Funktion definiert werden, deren Bereich eine abzählbare, vollständig geordnete Menge ist, wie z. B. die natürlichen Zahlen. ⓘ

Eine der wichtigsten Eigenschaften einer Sequenz ist die Konvergenz. Informell gesehen konvergiert eine Folge, wenn sie einen Grenzwert hat. Eine (einfach unendliche) Folge hat einen Grenzwert, wenn sie sich einem Punkt x, dem sogenannten Grenzwert, nähert, wenn n sehr groß wird. Das heißt, für eine abstrakte Folge (an) (wobei n von 1 bis unendlich reicht) nähert sich der Abstand zwischen an und x gegen 0, wenn n → ∞, bezeichnet als

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=x.$ ⓘ

Hauptzweige

Reelle Analyse

Die reelle Analysis (traditionell: Theorie der Funktionen einer reellen Variablen) ist ein Teilgebiet der mathematischen Analyse, das sich mit den reellen Zahlen und reellwertigen Funktionen einer reellen Variablen beschäftigt. Sie befasst sich insbesondere mit den analytischen Eigenschaften reeller Funktionen und Folgen, einschließlich der Konvergenz und der Grenzwerte von Folgen reeller Zahlen, der Berechnung der reellen Zahlen sowie der Stetigkeit, der Glätte und verwandter Eigenschaften reellwertiger Funktionen. ⓘ

Komplexe Analyse

Die komplexe Analysis (traditionell bekannt als Theorie der Funktionen einer komplexen Variable) ist der Zweig der mathematischen Analyse, der Funktionen komplexer Zahlen untersucht. Sie ist in vielen Bereichen der Mathematik nützlich, darunter algebraische Geometrie, Zahlentheorie und angewandte Mathematik, sowie in der Physik, einschließlich Hydrodynamik, Thermodynamik, Maschinenbau, Elektrotechnik und insbesondere Quantenfeldtheorie. ⓘ

Die komplexe Analysis befasst sich insbesondere mit den analytischen Funktionen komplexer Variablen (oder, allgemeiner, mit meromorphen Funktionen). Da die getrennten Real- und Imaginärteile jeder analytischen Funktion die Laplace-Gleichung erfüllen müssen, ist die komplexe Analysis in großem Umfang auf zweidimensionale Probleme in der Physik anwendbar. ⓘ

Funktionalanalysis

Die Funktionalanalysis ist ein Teilgebiet der mathematischen Analyse, dessen Kernstück die Untersuchung von Vektorräumen mit einer begrenzten Struktur (z. B. inneres Produkt, Norm, Topologie usw.) und von linearen Operatoren ist, die auf diese Räume einwirken und diese Strukturen in einem geeigneten Sinne berücksichtigen. Die historischen Wurzeln der Funktionalanalysis liegen in der Untersuchung von Funktionsräumen und der Formulierung von Eigenschaften von Funktionstransformationen wie der Fouriertransformation als Transformationen, die kontinuierliche, unitäre usw. Operatoren zwischen Funktionsräumen definieren. Diese Sichtweise erwies sich als besonders nützlich für die Untersuchung von Differential- und Integralgleichungen. ⓘ

Harmonische Analyse

Die harmonische Analyse ist ein Teilgebiet der mathematischen Analyse, das sich mit der Darstellung von Funktionen und Signalen als Überlagerung von Grundwellen beschäftigt. Dazu gehört das Studium der Begriffe Fourier-Reihen und Fourier-Transformationen (Fourier-Analyse) sowie deren Verallgemeinerungen. Die Harmonische Analyse findet Anwendung in so unterschiedlichen Bereichen wie Musiktheorie, Zahlentheorie, Darstellungstheorie, Signalverarbeitung, Quantenmechanik, Gezeitenanalyse und Neurowissenschaften. ⓘ

Differentialgleichungen

Eine Differentialgleichung ist eine mathematische Gleichung für eine unbekannte Funktion einer oder mehrerer Variablen, die die Werte der Funktion selbst und ihrer Ableitungen verschiedener Ordnungen in Beziehung setzt. Differentialgleichungen spielen eine wichtige Rolle in Technik, Physik, Wirtschaft, Biologie und anderen Disziplinen. ⓘ

Differentialgleichungen tauchen in vielen Bereichen der Wissenschaft und Technik auf, und zwar immer dann, wenn eine deterministische Beziehung zwischen einigen kontinuierlich variierenden Größen (modelliert durch Funktionen) und ihren Änderungsraten in Raum oder Zeit (ausgedrückt als Ableitungen) bekannt ist oder postuliert wird. Dies wird in der klassischen Mechanik veranschaulicht, in der die Bewegung eines Körpers durch seine Position und seine Geschwindigkeit beschrieben wird, während der Zeitwert variiert. Mit den Newtonschen Gesetzen kann man (bei gegebener Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung und verschiedenen auf den Körper wirkenden Kräften) diese Variablen dynamisch als Differentialgleichung für die unbekannte Position des Körpers in Abhängigkeit von der Zeit ausdrücken. In einigen Fällen kann diese Differentialgleichung (Bewegungsgleichung genannt) explizit gelöst werden. ⓘ

Maßtheorie

Ein Maß für eine Menge ist eine systematische Methode, um jeder geeigneten Teilmenge dieser Menge eine Zahl zuzuordnen, die intuitiv als ihre Größe interpretiert wird. In diesem Sinne ist ein Maß eine Verallgemeinerung der Konzepte von Länge, Fläche und Volumen. Ein besonders wichtiges Beispiel ist das Lebesgue-Maß auf einem euklidischen Raum, das die konventionellen Längen-, Flächen- und Volumenmaße der euklidischen Geometrie geeigneten Teilmengen des $n$-dimensionalen euklidischen Raums $\mathbb {R} ^{n}$. Zum Beispiel ist das Lebesgue-Maß des Intervalls $\left[0,1\right]$ in den reellen Zahlen seine Länge im alltäglichen Sinn des Wortes - nämlich 1. ⓘ

Technisch gesehen ist ein Maß eine Funktion, die (bestimmten) Teilmengen einer Menge eine nichtnegative reelle Zahl oder +∞ zuordnet $X$. Es muss der leeren Menge 0 zuordnen und (abzählbar) additiv sein: Das Maß einer "großen" Teilmenge, die in eine endliche (oder abzählbare) Anzahl "kleinerer" disjunkter Teilmengen zerlegt werden kann, ist die Summe der Maße der "kleineren" Teilmengen. Will man im Allgemeinen jeder Teilmenge einer gegebenen Menge eine konsistente Größe zuordnen und gleichzeitig die anderen Axiome eines Maßes erfüllen, so findet man nur triviale Beispiele wie das Zählmaß. Dieses Problem wurde gelöst, indem das Maß nur für eine Untermenge aller Teilmengen definiert wurde, die so genannten messbaren Teilmengen, die zur Bildung einer $\sigma$-Algebra bilden. Dies bedeutet, dass abzählbare Vereinigungen, abzählbare Schnittmengen und Komplemente von messbaren Teilmengen messbar sind. Nicht messbare Mengen in einem euklidischen Raum, für die das Lebesgue-Maß nicht konsistent definiert werden kann, sind notwendigerweise kompliziert in dem Sinne, dass sie schlecht mit ihrem Komplement verwechselt werden können. Ihre Existenz ist in der Tat eine nicht-triviale Folge des Auswahlaxioms. ⓘ

Numerische Analyse

Numerische Analyse ist die Untersuchung von Algorithmen, die numerische Annäherung (im Gegensatz zu allgemeinen symbolischen Manipulationen) für die Probleme der mathematischen Analyse (im Unterschied zur diskreten Mathematik) verwenden. ⓘ

Die moderne numerische Analyse sucht nicht nach exakten Antworten, da exakte Antworten in der Praxis oft unmöglich sind. Stattdessen befasst sich ein großer Teil der numerischen Analyse mit der Gewinnung von Näherungslösungen unter Beibehaltung vernünftiger Grenzen für Fehler. ⓘ

Die numerische Analyse findet natürlich in allen Bereichen der Ingenieur- und Naturwissenschaften Anwendung, aber im 21. Jahrhundert haben auch die Biowissenschaften und sogar die Kunst Elemente der wissenschaftlichen Berechnungen übernommen. Gewöhnliche Differentialgleichungen kommen in der Himmelsmechanik (Planeten, Sterne und Galaxien) vor; numerische lineare Algebra ist wichtig für die Datenanalyse; stochastische Differentialgleichungen und Markov-Ketten sind für die Simulation lebender Zellen in Medizin und Biologie unerlässlich. ⓘ

Vektorielle Analyse

Die Vektoranalyse ist ein Teilgebiet der mathematischen Analyse, das sich mit Werten befasst, die sowohl eine Größe als auch eine Richtung haben. Einige Beispiele für Vektoren sind Geschwindigkeit, Kraft und Verschiebung. Vektoren werden in der Regel mit Skalaren in Verbindung gebracht, also mit Werten, die eine Größe beschreiben. ⓘ

Skalare Analyse

Die Skalaranalyse ist ein Zweig der mathematischen Analyse, der sich mit Werten befasst, die sich auf den Maßstab und nicht auf die Richtung beziehen. Werte wie z. B. die Temperatur sind skalar, weil sie die Größe eines Wertes beschreiben, ohne Rücksicht auf die Richtung, die Kraft oder die Verschiebung, die dieser Wert haben kann oder nicht. ⓘ

Andere Themen

• Die Variationsrechnung befasst sich mit der Extremisierung von Funktionen, im Gegensatz zur gewöhnlichen Kalkulation, die sich mit Funktionen befasst.
• Die Harmonische Analyse befasst sich mit der Darstellung von Funktionen oder Signalen als Überlagerung von Grundwellen.
• Geometrische Analyse umfasst die Anwendung geometrischer Methoden bei der Untersuchung partieller Differentialgleichungen und die Anwendung der Theorie partieller Differentialgleichungen auf die Geometrie.
• Clifford-Analyse, die Untersuchung von Clifford-wertigen Funktionen, die durch Dirac- oder Dirac-ähnliche Operatoren annihiliert werden, im Allgemeinen als monogene oder Clifford-analytische Funktionen bezeichnet.
• p-adische Analysis, die Untersuchung der Analysis im Kontext der p-adischen Zahlen, die sich in einigen interessanten und überraschenden Punkten von ihren reellen und komplexen Gegenstücken unterscheidet.
• Nicht-Standard-Analyse, die die hyperrealen Zahlen und ihre Funktionen untersucht und eine strenge Behandlung von Infinitesimalen und unendlich großen Zahlen bietet.
• Berechenbare Analysis, die Untersuchung, welche Teile der Analysis auf berechenbare Weise durchgeführt werden können.
• Stochastisches Kalkül - analytische Begriffe, die für stochastische Prozesse entwickelt wurden.
• Mengenwertige Analyse - wendet Ideen aus der Analyse und Topologie auf mengenwertige Funktionen an.
• Konvexe Analyse, die Untersuchung konvexer Mengen und Funktionen.
• Idempotente Analyse - Analyse im Kontext eines idempotenten Semirings, bei dem das Fehlen einer additiven Inversen durch die idempotente Regel A + A = A etwas kompensiert wird.
  • Tropische Analyse - Analyse des idempotenten Semirings, genannt tropischer Semiring (oder Max-Plus-Algebra/Min-Plus-Algebra).
• Konstruktive Analyse, die auf der Grundlage der konstruktiven und nicht der klassischen Logik und Mengenlehre aufgebaut ist.
• Intuitionistische Analyse, die wie die konstruktive Analyse aus der konstruktiven Logik entwickelt wurde, aber auch Wahlfolgen einbezieht.
• Parakonsistente Analyse, die nicht auf der klassischen Logik und Mengenlehre, sondern auf der parakonsistenten Logik und Mengenlehre aufbaut.
• Glatte Infinitesimalanalyse, die in einem glatten Topos entwickelt wird. ⓘ

Anwendungen

Techniken aus der Analysis finden sich auch in anderen Bereichen wie z. B.: ⓘ

Physikalische Wissenschaften

Der überwiegende Teil der klassischen Mechanik, der Relativitätstheorie und der Quantenmechanik basiert auf angewandter Analysis und insbesondere auf Differentialgleichungen. Beispiele für wichtige Differentialgleichungen sind das zweite Newtonsche Gesetz, die Schrödinger-Gleichung und die Einsteinschen Feldgleichungen. ⓘ

Auch in der Quantenmechanik spielt die Funktionalanalysis eine wichtige Rolle. ⓘ

Signalverarbeitung

Bei der Verarbeitung von Signalen wie Audio, Radiowellen, Lichtwellen, seismischen Wellen und sogar Bildern kann die Fourier-Analyse einzelne Komponenten einer zusammengesetzten Wellenform isolieren und sie zur leichteren Erkennung oder Entfernung konzentrieren. Eine große Familie von Signalverarbeitungstechniken besteht aus der Fourier-Transformation eines Signals, der Manipulation der Fourier-transformierten Daten auf einfache Weise und der Umkehrung der Transformation. ⓘ

Andere Bereiche der Mathematik

Techniken aus der Analyse werden in vielen Bereichen der Mathematik verwendet, darunter:

• Analytische Zahlentheorie
• Analytische Kombinatorik
• Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Differenzielle Entropie in der Informationstheorie
• Differentialspiele
• Differentialgeometrie, die Anwendung der Infinitesimalrechnung auf bestimmte mathematische Räume, so genannte Mannigfaltigkeiten, die eine komplizierte innere Struktur aufweisen, sich aber lokal einfach verhalten.
• Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
• Differenzielle Topologie
• Partielle Differentialgleichungen ⓘ

Berühmte Lehrbücher

• Einführung in die Reelle Analysis, von Andrey Kolmogorov, Sergei Fomin
• Differential- und Integralrechnung (3 Bände), von Grigorii Fichtenholz
• The Fundamentals of Mathematical Analysis (2 Bände), von Grigorii Fichtenholz
• A Course Of Mathematical Analysis (2 Bände), von Sergey Nikolsky
• Mathematische Analyse (2 Bände), von Vladimir Zorich
• Ein Kurs der höheren Mathematik (5 Bände, 6 Teile), von Vladimir Smirnov
• Differential- und Integralrechnung, von Nikolai Piskunov
• Ein Kurs der mathematischen Analyse, von Aleksandr Khinchin
• Mathematische Analysis: Ein Spezialkurs, von Georgiy Shilov
• Theorie der Funktionen einer reellen Variable (2 Bände), von Isidor Natanson
• Probleme in der mathematischen Analyse, von Boris Demidovich
• Probleme und Theoreme der Analysis (2 Bände), von George Polya, Gabor Szegö
• Mathematische Analysis: A Modern Approach to Advanced Calculus, von Tom Apostol
• Grundlagen der mathematischen Analyse, von Walter Rudin
• Reelle Analysis: Maßtheorie, Integration, und Hilbert-Räume, von Elias Stein
• Komplexe Analysis, von Elias Stein
• Funktionalanalysis: Einführung in weitere Themen der Analysis, von Elias Stein
• Analysis (2 Bände), von Terence Tao
• Analysis (3 Bände), von Herbert Amann, Joachim Escher
• Reelle und Funktionalanalysis, von Vladimir Bogachev, Oleg Smolyanov
• Reelle und Funktionalanalysis, von Serge Lang ⓘ

Teilgebiete der Analysis

Gottfried Wilhelm Leibniz ⓘ

Isaac Newton ⓘ

Leonhard Euler ⓘ

Augustin-Louis Cauchy ⓘ

Bernhard Riemann ⓘ

Die Analysis hat sich zu einem sehr allgemeinen, nicht klar abgrenzbaren Oberbegriff für vielfältige Gebiete entwickelt. Neben der Differential- und Integralrechnung umfasst die Analysis weitere Gebiete, welche darauf aufbauen. Dazu gehören die Theorie der gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen, die Variationsrechnung, die Vektoranalysis, die Maß- und Integrationstheorie und die Funktionalanalysis. ⓘ

Eine ihrer Wurzeln hat auch die Funktionentheorie in der Analysis. So kann die Fragestellung, welche Funktionen die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen erfüllen, als Fragestellung der Theorie partieller Differentialgleichungen verstanden werden. ⓘ

Je nach Auffassung können auch die Gebiete der harmonischen Analysis, der Differentialgeometrie mit den Teilgebieten Differentialtopologie und Globale Analysis, der analytischen Zahlentheorie, der Nichtstandardanalysis, der Distributionentheorie und der mikrolokalen Analysis ganz oder in Teilen dazu gezählt werden. ⓘ

Eindimensionale reelle Analysis

Differentialrechnung

Bei einer linearen Funktion bzw. einer Geraden ⓘ

$g(x)=mx+c$ ⓘ

heißt m die Steigung und c der y-Achsen-Abschnitt oder Ordinatenabschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte $(x_{0},y_{0})$ und $(x_{1},y_{1})$ auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch ⓘ

$m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}.$ ⓘ

Bei nicht linearen Funktionen wie z. B. $f(x)=x^{2}$ kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da diese Kurven beschreiben und somit keine Geraden sind. Jedoch kann man an einen Punkt $(x_{0},f(x_{0}))$ eine Tangente legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle $x_{0}$ berechnen kann. Wählt man eine Stelle $x_{1}$ ganz nahe bei $x_{0}$ und legt eine Gerade durch die Punkte $(x_{0},f(x_{0}))$ und $(x_{1},f(x_{1}))$, so ist die Steigung dieser Sekante nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist (s. o.) ⓘ

$m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}.$ ⓘ

Diesen Quotienten nennt man den Differenzenquotienten oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle $x_{1}$ immer weiter an $x_{0}$ annähern, so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben ⓘ

$f'(x_{0})=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ ⓘ

und nennen dies die Ableitung oder den Differentialquotienten von f in $x_{0}$. Der Ausdruck $\lim _{x\rightarrow x_{0}}$ bedeutet, dass x immer weiter an $x_{0}$ angenähert wird, bzw. dass der Abstand zwischen x und $x_{0}$ beliebig klein wird. Wir sagen auch: „x geht gegen $x_{0}$“. Die Bezeichnung $\lim$ steht für Limes.

$f^{\prime }(x_{0})$ ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. ⓘ

Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle $x_{0}$, wenn der Grenzwert $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ existiert. ⓘ

Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eine Summe von Teilflächen approximiert werden und geht im Grenzwert in das Integral über. ⓘ

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=\lim _{n\to \infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right).$ ⓘ

Die obige Folge konvergiert, falls f gewisse Bedingungen (wie z. B. Stetigkeit) erfüllt. Diese anschauliche Darstellung (Approximation mittels Ober- und Untersummen) entspricht dem sogenannten Riemann-Integral, das in der Schule gelehrt wird. ⓘ

In der sogenannten Höheren Analysis werden darüber hinaus weitere Integralbegriffe, wie z. B. das Lebesgue-Integral betrachtet. ⓘ

Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung

Differentialrechnung und Integralrechnung verhalten sich nach dem Hauptsatz der Analysis in folgender Weise „invers“ zueinander. ⓘ

Wenn f eine auf einem kompakten Intervall $[a,b]$ stetige reelle Funktion ist, so gilt für $x\in (a,b)$:

${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left(\int _{a}^{x}f({\bar {x}})\mathrm {d} {\bar {x}}\right)=f(x)$ ⓘ

und, falls f zusätzlich auf $(a,b)$ gleichmäßig stetig differenzierbar ist, ⓘ

$\int _{a}^{x}\left({\mathrm {d} \over \mathrm {d} {\bar {x}}}f({\bar {x}})\right)\mathrm {d} {\bar {x}}=f(x)-f(a).$ ⓘ

Deshalb wird die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion $f$ auch als unbestimmtes Integral bezeichnet und durch $\textstyle \int f(x)\mathrm {d} x$ symbolisiert. ⓘ

Mehrdimensionale reelle Analysis

Beispiel für eine mehrdimensionale Funktion: $f(x,y)=y\cdot \sin(x^{2})$ ⓘ

Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung berührt die grundlegenden Konzepte nicht, allerdings gibt es in mehreren Dimensionen eine größere mathematische Vielfalt. Die mehrdimensionale Analysis betrachtet Funktionen $\textstyle f\colon D\subseteq \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ mehrerer reeller Variablen, die oft als ein Vektor beziehungsweise n-Tupel dargestellt werden. ⓘ

Die Begriffe der Norm (als Verallgemeinerung des Betrags), der Konvergenz, der Stetigkeit und der Grenzwerte lassen sich einfach von einer in mehrere Dimensionen verallgemeinern. ⓘ

Die Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen unterscheidet sich von der eindimensionalen Differentiation. Wichtige Konzepte sind die Richtungs- und die partielle Ableitung, die Ableitungen in einer Richtung beziehungsweise in einer Variable sind. Der Satz von Schwarz stellt fest, wann partielle beziehungsweise Richtungsableitungen unterschiedlicher Richtungen vertauscht werden dürfen. Außerdem ist der Begriff der totalen Differentiation von Bedeutung. Dieser kann interpretiert werden als die lokale Anpassung einer linearen Abbildung an den Verlauf der mehrdimensionalen Funktion und ist das mehrdimensionale Analogon der (ein-dimensionalen) Ableitung. Der Satz von der impliziten Funktion über die lokale, eindeutige Auflösung impliziter Gleichungen ist eine wichtige Aussage der mehrdimensionalen Analysis und kann als eine Grundlage der Differentialgeometrie verstanden werden. ⓘ

In der mehrdimensionalen Analysis gibt es unterschiedliche Integralbegriffe wie das Kurvenintegral, das Oberflächenintegral und das Raumintegral. Jedoch von einem abstrakteren Standpunkt aus der Vektoranalysis unterscheiden sich diese Begriffe nicht. Zum Lösen dieser Integrale sind der Transformationssatz als Verallgemeinerung der Substitutionsregel und der Satz von Fubini, welcher es erlaubt, Integrale über n-dimensionale Mengen in iterierte Integrale umzuwandeln, von besonderer Bedeutung. Auch die Integralsätze aus der Vektoranalysis von Gauß, Green und Stokes sind in der mehrdimensionalen Analysis von Bedeutung. Sie können als Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Integral- und Differentialrechnung verstanden werden. ⓘ