Jacobi-Matrix

In der Vektorrechnung ist die Jacobimatrix (/dʒəˈkoʊbiən/, /dʒɪ-, jɪ-/) einer vektorwertigen Funktion mit mehreren Variablen die Matrix aller partiellen Ableitungen erster Ordnung. Wenn diese Matrix quadratisch ist, d. h. wenn die Funktion die gleiche Anzahl von Variablen als Eingabe hat wie die Anzahl der Vektorkomponenten ihrer Ausgabe, wird ihre Determinante als Jacobische Determinante bezeichnet. Sowohl die Matrix als auch (falls zutreffend) die Determinante werden in der Literatur oft einfach als Jacobi bezeichnet. ⓘ

Angenommen, f : Rn → Rm ist eine Funktion, bei der jede ihrer partiellen Ableitungen erster Ordnung auf Rn existiert. Diese Funktion nimmt einen Punkt x ∈ Rn als Eingabe und erzeugt den Vektor f(x) ∈ Rm als Ausgabe. Dann ist die Jacobimatrix von f definiert als eine m×n-Matrix, die mit J bezeichnet wird und deren (i,j)-ter Eintrag ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$oder explizit ⓘ

$\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathrm {T} }f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathrm {T} }f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$ ⓘ

wobei $\nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}$ die Transponierte (Zeilenvektor) des Gradienten der $i$ Komponente ist. ⓘ

Die Jacobimatrix, deren Einträge Funktionen von x sind, wird auf verschiedene Weise bezeichnet; gängige Bezeichnungen sind Df, J_f, $\nabla \mathbf {f}$, und ${\frac {\partial (f_{1},..,f_{m})}{\partial (x_{1},..,x_{n})}}$. Einige Autoren definieren die Jacobimatrix als die Transponierte der oben genannten Form. ⓘ

Die Jacobimatrix stellt das Differential von f an jedem Punkt dar, an dem f differenzierbar ist. Wenn h ein Verschiebungsvektor ist, der durch eine Spaltenmatrix dargestellt wird, ist das Matrixprodukt J(x) ⋅ h ein weiterer Verschiebungsvektor, d. h. die beste lineare Approximation der Änderung von f in der Umgebung von x, wenn f(x) in x differenzierbar ist. Das bedeutet, dass die Funktion, die y auf f(x) + J(x) ⋅ (y - x) abbildet, die beste lineare Approximation von f(y) für alle Punkte y in der Nähe von x ist. ⓘ

Wenn m = n ist, ist die Jacobimatrix quadratisch, so dass ihre Determinante eine wohldefinierte Funktion von x ist, die so genannte Jacobi-Determinante von f. Sie enthält wichtige Informationen über das lokale Verhalten von f. Insbesondere hat die Funktion f eine differenzierbare Umkehrfunktion in der Nachbarschaft eines Punktes x nur dann, wenn die Jacobi-Determinante bei x ungleich Null ist (siehe Jacobi-Vermutung für ein verwandtes Problem der globalen Invertierbarkeit). Die Jacobi-Determinante erscheint auch, wenn man die Variablen in Mehrfachintegralen ändert (siehe Substitutionsregel für Mehrfachvariablen). ⓘ

Wenn m = 1, d. h. wenn f : Rn → R eine skalarwertige Funktion ist, reduziert sich die Jacobimatrix auf den Zeilenvektor $\nabla ^{\mathrm {T} }f$Dieser Zeilenvektor aller partiellen Ableitungen erster Ordnung von f ist die Transponierte des Gradienten von f, d. h. $\mathbf {J} _{f}=\nabla ^{T}f$. Weiter spezialisiert, wenn m = n = 1, d.h. wenn f : R → R eine skalarwertige Funktion einer einzigen Variablen ist, hat die Jacobimatrix einen einzigen Eintrag; dieser Eintrag ist die Ableitung der Funktion f. ⓘ

Diese Begriffe sind nach dem Mathematiker Carl Gustav Jacobi (1804-1851) benannt. ⓘ

Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik. ⓘ

Jacobi-Matrix

Die Jacobimatrix einer vektorwertigen Funktion in mehreren Variablen verallgemeinert den Gradienten einer skalarwertigen Funktion in mehreren Variablen, der wiederum die Ableitung einer skalarwertigen Funktion einer einzelnen Variablen verallgemeinert. Mit anderen Worten: Die Jacobimatrix einer skalarwertigen Funktion in mehreren Variablen ist (die Transponierte) ihres Gradienten und der Gradient einer skalarwertigen Funktion einer einzelnen Variablen ist ihre Ableitung. ⓘ

An jedem Punkt, an dem eine Funktion differenzierbar ist, kann ihre Jacobimatrix auch als Beschreibung des Ausmaßes der "Streckung", "Drehung" oder "Transformation" betrachtet werden, die die Funktion lokal in der Nähe dieses Punktes bewirkt. Wenn zum Beispiel (x′, y′) = f(x, y) zur glatten Transformation eines Bildes verwendet wird, beschreibt die Jacobimatrix Jf(x, y), wie das Bild in der Umgebung von (x, y) transformiert wird. ⓘ

Wenn eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist, wird ihr Differential in Koordinaten durch die Jacobimatrix angegeben. Eine Funktion muss jedoch nicht differenzierbar sein, damit ihre Jacobimatrix definiert werden kann, da nur ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung existieren müssen. ⓘ

Wenn f in einem Punkt p in Rn differenzierbar ist, dann wird sein Differential durch Jf(p) dargestellt. In diesem Fall ist die lineare Transformation, die durch Jf(p) dargestellt wird, die beste lineare Approximation von f in der Nähe des Punktes p, in dem Sinne, dass ⓘ

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),$ ⓘ

wobei o(‖x - p‖) eine Größe ist, die viel schneller gegen Null geht als der Abstand zwischen x und p, wenn x sich p nähert. ⓘ

$f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)$. ⓘ

In diesem Sinne kann der Jacobian als eine Art "Ableitung erster Ordnung" einer vektoriellen Funktion mehrerer Variablen betrachtet werden. Dies bedeutet insbesondere, dass der Gradient einer skalarwertigen Funktion mehrerer Variablen ebenfalls als ihre "Ableitung erster Ordnung" betrachtet werden kann. ⓘ

Zusammensetzbare differenzierbare Funktionen f : Rn → Rm und g : Rm → Rk erfüllen die Kettenregel, nämlich $\mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )$ für x in Rn. ⓘ

Die Jacobi des Gradienten einer skalaren Funktion mehrerer Variablen hat einen besonderen Namen: die Hessian-Matrix, die in gewissem Sinne die "zweite Ableitung" der betreffenden Funktion ist. ⓘ

Jacobische Determinante

Eine nichtlineare Abbildung $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ verwandelt ein kleines Quadrat (links, in rot) in ein verzerrtes Parallelogramm (rechts, in rot). Die Jacobi an einem Punkt ergibt die beste lineare Approximation des verzerrten Parallelogramms in der Nähe dieses Punktes (rechts, in durchscheinendem Weiß), und die Jacobi-Determinante gibt das Verhältnis der Fläche des approximierten Parallelogramms zu der des ursprünglichen Quadrats an. ⓘ

Wenn m = n ist, dann ist f eine Funktion von Rn zu sich selbst und die Jacobimatrix ist eine Quadratmatrix. Wir können dann ihre Determinante bilden, die so genannte Jacobi-Determinante. Die Jacobi-Determinante wird manchmal einfach als "Jacobi" bezeichnet. ⓘ

Die Jacobi-Determinante an einem bestimmten Punkt gibt wichtige Informationen über das Verhalten von f in der Nähe dieses Punktes. Zum Beispiel ist die kontinuierlich differenzierbare Funktion f in der Nähe eines Punktes p ∈ Rn invertierbar, wenn die Jacobi-Determinante an p ungleich Null ist. Dies ist der Satz von der inversen Funktion. Wenn die Jacobi-Determinante bei p positiv ist, behält f die Orientierung in der Nähe von p bei; ist sie negativ, kehrt f die Orientierung um. Der Absolutwert der Jacobischen Determinante bei p gibt den Faktor an, um den sich das Volumen der Funktion f in der Nähe von p vergrößert oder verkleinert; deshalb kommt er in der allgemeinen Substitutionsregel vor. ⓘ

Die Jacobi-Determinante wird bei einem Variablenwechsel verwendet, wenn ein mehrfaches Integral einer Funktion über eine Region innerhalb ihres Bereichs ausgewertet wird. Um dem Koordinatenwechsel Rechnung zu tragen, tritt der Betrag der Jacobi-Determinante als multiplikativer Faktor im Integral auf. Dies liegt daran, dass das n-dimensionale dV-Element im neuen Koordinatensystem im Allgemeinen ein Parallelepiped ist, und das n-Volumen eines Parallelepipeds ist die Determinante seiner Kantenvektoren. ⓘ

Der Jacobi kann auch zur Bestimmung der Stabilität von Gleichgewichten für Systeme von Differentialgleichungen verwendet werden, indem das Verhalten in der Nähe eines Gleichgewichtspunktes angenähert wird. Zu ihren Anwendungen gehört die Bestimmung der Stabilität des krankheitsfreien Gleichgewichts bei der Modellierung von Krankheiten. ⓘ

Umgekehrt

Nach dem Satz von der inversen Funktion ist die inverse Matrix der Jacobimatrix einer invertierbaren Funktion die Jacobimatrix der inversen Funktion. Das heißt, wenn die Jacobimatrix der Funktion f : Rn → Rn stetig und nichtsingulär im Punkt p in Rn ist, dann ist f invertierbar, wenn es auf eine Nachbarschaft von p beschränkt ist und ⓘ

$\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}={\mathbf {J} _{\mathbf {f} }}^{-1}.$ ⓘ

Mit anderen Worten: Wenn die Jacobi-Determinante in einem Punkt nicht Null ist, dann ist die Funktion in der Nähe dieses Punktes lokal invertierbar, d. h. es gibt eine Umgebung dieses Punktes, in der die Funktion invertierbar ist. ⓘ

Die (unbewiesene) Jacobi-Vermutung bezieht sich auf die globale Invertierbarkeit im Falle einer Polynomfunktion, d. h. einer Funktion, die durch n Polynome in n Variablen definiert ist. Sie besagt, dass die Funktion invertierbar und ihre Inverse eine Polynomfunktion ist, wenn die Jacobi-Determinante eine Konstante ungleich Null ist (oder, äquivalent, wenn sie keine komplexe Nullstelle hat). ⓘ

Kritische Punkte

Wenn f : Rn → R^m eine differenzierbare Funktion ist, ist ein kritischer Punkt von f ein Punkt, an dem der Rang der Jacobimatrix nicht maximal ist. Das bedeutet, dass der Rang am kritischen Punkt niedriger ist als der Rang an einem Nachbarpunkt. Mit anderen Worten, sei k die maximale Dimension der offenen Kugeln, die im Bild von f enthalten sind; dann ist ein Punkt kritisch, wenn alle Minoren des Rangs k von f Null sind. ⓘ

Für den Fall m = n = k ist ein Punkt kritisch, wenn die Jacobi-Determinante Null ist. ⓘ

Beispiele

Beispiel 1

Sei $f\colon U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ eine Funktion, deren Komponentenfunktionen mit $f_{1},\ldots ,f_{m}$ bezeichnet seien und deren partielle Ableitungen alle existieren sollen. Für einen Raumpunkt $x$ im Urbildraum $\mathbb {R} ^{n}$ seien $x_{1},\dots ,x_{n}$ die jeweils zugehörigen Koordinaten. ⓘ

Dann ist für $a\in U$ die Jacobi-Matrix im Punkt $a$ durch

$J_{f}(a):=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right)_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(a)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(a)&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(a)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(a)\end{pmatrix}}$ ⓘ

definiert. ⓘ

In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) Gradienten der Komponentenfunktionen $f_{1},\dots ,f_{m}$ von $f$. ⓘ

Andere übliche Schreibweisen für die Jacobi-Matrix $J_{f}(a)$ von $f$ an der Stelle $a$ sind $Df(a)$, ${\frac {\partial f}{\partial x}}(a)$ und $\textstyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}(a)$. ⓘ

Betrachten wir die Funktion f : R² → R², mit (x, y) ↦ (f₁(x, y), f₂(x, y)), gegeben durch

$\mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.$ ⓘ

Dann haben wir

$f_{1}(x,y)=x^{2}y$

und

$f_{2}(x,y)=5x+\sin y$

und die Jacobimatrix von f ist

$\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}$

und die Jacobische Determinante ist

$\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.$ ⓘ

Beispiel 2: polar-kartesische Transformation

Die Transformation von Polarkoordinaten (r, φ) in kartesische Koordinaten (x, y), ist gegeben durch die Funktion F: R⁺ × [0, 2π) → R² mit Komponenten:

${\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}$

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}$ ⓘ

Die Jacobi-Determinante ist gleich r. Damit lassen sich Integrale zwischen den beiden Koordinatensystemen transformieren:

$\iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .$ ⓘ

Beispiel 3: sphärisch-kartesische Transformation

Die Transformation von Kugelkoordinaten (ρ, φ, θ) in kartesische Koordinaten (x, y, z), ist gegeben durch die Funktion F: R⁺ × [0, π) × [0, 2π) → R³ mit Komponenten:

${\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}$ ⓘ

Die Jacobimatrix für diese Koordinatenänderung ist ⓘ

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.$

Die Determinante ist ρ² sin φ. Da dV = dx dy dz das Volumen für ein rechteckiges Differentialvolumenelement ist (weil das Volumen eines rechteckigen Prismas das Produkt seiner Seiten ist), können wir dV = ρ² sin φ dρ dφ dθ als das Volumen des sphärischen Differentialvolumenelements interpretieren. Im Gegensatz zum Volumen eines rechteckigen Differentialvolumenelements ist das Volumen dieses Differentialvolumenelements nicht konstant, sondern variiert mit den Koordinaten (ρ und φ). Es kann verwendet werden, um Integrale zwischen den beiden Koordinatensystemen zu transformieren:

$\iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .$ ⓘ

Beispiel 4

Die Jacobimatrix der Funktion F : R³ → R⁴ mit den Komponenten ⓘ

${\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}$ ⓘ

ist ⓘ

$\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.$ ⓘ

Dieses Beispiel zeigt, dass die Jacobimatrix keine Quadratmatrix sein muss. ⓘ

Beispiel 5

Die Jacobi-Determinante der Funktion F : R³ → R³ mit den Komponenten ⓘ

${\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}$ ⓘ

ist ⓘ

${\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.$ ⓘ

Daraus geht hervor, dass F in der Nähe der Punkte, an denen x₁ und x₂ das gleiche Vorzeichen haben, die Orientierung umkehrt; die Funktion ist überall lokal invertierbar, außer in der Nähe von Punkten, an denen x₁ = 0 oder x₂ = 0 ist. Wenn man von einem winzigen Objekt um den Punkt (1, 2, 3) ausgeht und F auf dieses Objekt anwendet, erhält man intuitiv ein Objekt mit dem etwa 40 × 1 × 2 = 80-fachen Volumen des ursprünglichen Objekts, wobei die Orientierung umgekehrt ist. ⓘ

Andere Anwendungen

Regression und Anpassung nach der Methode der kleinsten Quadrate

Die Jacobi-Matrix dient als linearisierte Entwurfsmatrix in der statistischen Regression und Kurvenanpassung; siehe nichtlineare kleinste Quadrate. ⓘ

Dynamische Systeme

Man betrachte ein dynamisches System der Form ${\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )$, wobei ${\dot {\mathbf {x} }}$ die (komponentenweise) Ableitung von $\mathbf {x}$ in Bezug auf den Entwicklungsparameter $t$ (Zeit) ist, und $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ differenzierbar ist. Wenn $F(\mathbf {x} _{0})=0$, dann $\mathbf {x} _{0}$ ein stationärer Punkt (auch stationärer Zustand genannt). Nach dem Hartman-Grobman-Theorem ist das Verhalten des Systems in der Nähe eines stationären Punktes mit den Eigenwerten von $\mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)$, der Jacobi von $F$ am stationären Punkt. Wenn die Eigenwerte alle einen negativen Realteil haben, ist das System in der Nähe des stationären Punktes stabil, wenn ein Eigenwert einen positiven Realteil hat, ist der Punkt instabil. Ist der größte Realteil der Eigenwerte gleich Null, lässt die Jacobimatrix keine Bewertung der Stabilität zu. ⓘ

Das Newton-Verfahren

Ein quadratisches System gekoppelter nichtlinearer Gleichungen kann iterativ mit der Newton-Methode gelöst werden. Diese Methode verwendet die Jacobimatrix des Gleichungssystems. ⓘ