Planck-Einheiten

In der Teilchenphysik und der physikalischen Kosmologie sind Planck-Einheiten eine Reihe von Maßeinheiten, die ausschließlich durch vier universelle physikalische Konstanten definiert sind, so dass diese physikalischen Konstanten den numerischen Wert 1 annehmen, wenn sie durch diese Einheiten ausgedrückt werden. Diese ursprünglich 1899 von dem deutschen Physiker Max Planck vorgeschlagenen Einheiten sind ein System natürlicher Einheiten, da ihre Definition auf Eigenschaften der Natur, insbesondere den Eigenschaften des freien Raums, und nicht auf der Wahl eines Prototypobjekts beruht. Sie sind für die Erforschung vereinheitlichter Theorien wie der Quantengravitation von Bedeutung. ⓘ

Der Begriff Planck-Skala bezieht sich auf Raum-, Zeit-, Energie- und andere Einheiten, die in der Größenordnung der entsprechenden Planck-Einheiten liegen. Dieser Bereich lässt sich durch Energien von etwa 10¹⁹ GeV, Zeitintervalle von etwa 10-43 s und Längen von etwa 10-35 m charakterisieren (ungefähr das Energieäquivalent der Planck-Masse, der Planck-Zeit bzw. der Planck-Länge). Auf der Planck-Skala dürften die Vorhersagen des Standardmodells, der Quantenfeldtheorie und der allgemeinen Relativitätstheorie nicht zutreffen, und es wird erwartet, dass Quanteneffekte der Gravitation dominieren. Das bekannteste Beispiel sind die Bedingungen in den ersten 10-43 Sekunden unseres Universums nach dem Urknall vor etwa 13,8 Milliarden Jahren. ⓘ

Die vier universellen Konstanten, die per Definition den numerischen Wert 1 haben, wenn sie in diesen Einheiten ausgedrückt werden, sind:

• die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, c,
• die Gravitationskonstante, G,
• die reduzierte Planck-Konstante, ħ,
• die Boltzmann-Konstante, k_B. ⓘ

Die Planck-Einheiten enthalten keine elektromagnetische Dimension. Einige Autoren haben sich dafür entschieden, das System auf den Elektromagnetismus auszudehnen, indem sie beispielsweise entweder die elektrische Konstante ε₀ oder 4πε₀ zu dieser Liste hinzufügen. In ähnlicher Weise verwenden Autoren Varianten des Systems, die einer oder mehreren der vier oben genannten Konstanten andere numerische Werte zuweisen. ⓘ

Zum anderen gilt, wie Planck es ausdrückte, dass die Planck-Einheiten „unabhängig von speziellen Körpern oder Substanzen ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Kulturen notwendig behalten und […] daher als ‚natürliche Maßeinheiten‘ bezeichnet werden können“, d. h., unsere Naturgesetze sind bis hinunter zu den Planck-Einheiten universal im Kosmos anwendbar, verständlich und kommunizierbar. ⓘ

Einführung

Jedem Maßsystem können eine Reihe voneinander unabhängiger Basisgrößen und zugehörige Basiseinheiten zugeordnet werden, von denen alle anderen Größen und Einheiten abgeleitet werden können. Im Internationalen Einheitensystem gehören zu den SI-Basisgrößen zum Beispiel die Länge und die dazugehörige Einheit Meter. Im System der Planck-Einheiten kann ein ähnlicher Satz von Basisgrößen und zugehörigen Einheiten gewählt werden, in denen andere Größen und kohärente Einheiten ausgedrückt werden können. 1215 Die Planck-Einheit der Länge ist als Planck-Länge bekannt geworden, und die Planck-Einheit der Zeit ist als Planck-Zeit bekannt, aber diese Nomenklatur hat sich nicht für alle Größen durchgesetzt. ⓘ

Alle Planck-Einheiten leiten sich von den dimensionalen universellen physikalischen Konstanten ab, die das System definieren, und in einer Konvention, in der diese Einheiten weggelassen werden (d. h. so behandelt werden, als hätten sie den dimensionslosen Wert 1), werden diese Konstanten dann aus den physikalischen Gleichungen eliminiert, in denen sie erscheinen. Zum Beispiel kann das Newtonsche Gesetz der universellen Gravitation, ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

kann wie folgt ausgedrückt werden:

${\displaystyle }$ ⓘ

Beide Gleichungen sind dimensional konsistent und in jedem Mengensystem gleichermaßen gültig, aber die zweite Gleichung, in der G fehlt, bezieht sich nur auf dimensionslose Größen, da jedes Verhältnis zwischen zwei gleichdimensionalen Größen eine dimensionslose Größe ist. Wenn man als Abkürzung versteht, dass jede physikalische Größe das entsprechende Verhältnis mit einer kohärenten Planck-Einheit ist (oder "ausgedrückt in Planck-Einheiten"), können die obigen Verhältnisse einfach mit den Symbolen der physikalischen Größe ausgedrückt werden, ohne dass sie explizit durch ihre entsprechende Einheit skaliert werden:

${\displaystyle }$ ⓘ

Diese letzte Gleichung (ohne G) ist gültig, wenn F′, m₁′, m₂′ und r′ die dimensionslosen Verhältnisgrößen sind, die den Standardgrößen entsprechen, z. B. F′ ≘ F oder F′ = F/F_P, aber nicht als direkte Gleichheit der Größen. Dies mag als "Setzen der Konstanten c, G usw. auf 1" erscheinen, wenn die Entsprechung der Größen als Gleichheit betrachtet wird. Aus diesem Grund sollten Planck- oder andere natürliche Einheiten mit Vorsicht verwendet werden. In Bezug auf "G = c = 1" schrieb Paul S. Wesson: "Mathematisch gesehen ist dies ein akzeptabler Trick, der Arbeit spart. Physikalisch gesehen stellt es einen Informationsverlust dar und kann zu Verwirrung führen." ⓘ

Geschichte und Definition

Das Konzept der natürlichen Einheiten wurde 1874 eingeführt, als George Johnstone Stoney feststellte, dass die elektrische Ladung gequantelt ist, und daraus Einheiten für Länge, Zeit und Masse ableitete, die ihm zu Ehren Stoney-Einheiten genannt wurden, indem er G, c, und die Elektronenladung, e, auf 1 normalisierte. 1899, ein Jahr vor dem Aufkommen der Quantentheorie, führte Max Planck das ein, was später als Planck-Konstante bekannt wurde. Am Ende des Papiers schlug er die Basiseinheiten vor, die später ihm zu Ehren benannt wurden. Die Planck-Einheiten basieren auf dem Wirkungsquantum, das heute üblicherweise als Planck-Konstante bezeichnet wird und in der Wienschen Näherung für Schwarzkörperstrahlung auftaucht. Planck unterstrich die Universalität des neuen Einheitensystems, indem er schrieb:

... die Möglichkeit gegeben ist, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Temperatur aufzustellen, welche, unabhängig von speciellen Körpern oder Substanzen, ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen notwendig behalten und welche daher als "natürliche Maßeinheiten" bezeichnet werden können. ... ist es möglich, Einheiten für Länge, Masse, Zeit und Temperatur aufzustellen, die unabhängig von besonderen Körpern oder Substanzen sind und notwendigerweise ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle Zivilisationen, einschließlich außerirdischer und nicht-menschlicher, beibehalten, die als "natürliche Maßeinheiten" bezeichnet werden können.

Planck betrachtete nur die Einheiten, die auf den universellen Konstanten ${\displaystyle }$, ${\displaystyle }$, ${\displaystyle }$und ${\displaystyle }$ um zu natürlichen Einheiten für Länge, Zeit, Masse und Temperatur zu gelangen. Seine Definitionen unterscheiden sich von den modernen Definitionen um einen Faktor von ${\displaystyle }$ab, denn die modernen Definitionen verwenden ${\displaystyle }$ und nicht ${\displaystyle }$. ⓘ

Tabelle 1: Moderne Werte für die von Planck ursprünglich gewählten Größen

Bezeichnung	Dimension	Ausdruck	Wert (SI-Einheiten) ⓘ
Planck-Länge	Länge (L)	${\displaystyle }$	1.616255(18)×10-35 m
Plancksche Masse	Masse (M)	${\displaystyle }$	2,176434(24)×10-8 kg
Planck-Zeit	Zeit (T)	${\displaystyle }$	5.391247(60)×10-44 s
Plancksche Temperatur	Temperatur (Θ)	${\displaystyle }$	1.416784(16)×1032 K

Im Gegensatz zum Internationalen Einheitensystem gibt es keine offizielle Stelle, die eine Definition des Planck-Einheitensystems festlegt. Einige Autoren definieren die Basiseinheiten von Planck als die der Masse, Länge und Zeit und halten eine zusätzliche Einheit für die Temperatur für überflüssig. Andere Tabellen fügen zusätzlich zur Einheit für die Temperatur eine Einheit für die elektrische Ladung hinzu und ersetzen dabei manchmal auch Masse durch Energie. Je nach Wahl des Autors wird diese Ladungseinheit wie folgt angegeben ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

oder ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Die Planck-Ladung sowie andere definierbare elektromagnetische Einheiten wie Widerstand und magnetischer Fluss sind schwieriger zu interpretieren als die ursprünglichen Planck-Einheiten und werden weniger häufig verwendet. ⓘ

In SI-Einheiten sind die Werte von c, h, e und k_B exakt und die Werte von ε₀ und G in SI-Einheiten haben relative Unsicherheiten von 1,5×10-10 bzw. 2,2×10-5. Die Unsicherheiten in den SI-Werten der Planck-Einheiten ergeben sich also fast ausschließlich aus der Unsicherheit im SI-Wert von G. ⓘ

Abgeleitete Einheiten

In jedem Maßsystem können die Einheiten für viele physikalische Größen von den Basiseinheiten abgeleitet werden. Tabelle 2 enthält eine Auswahl abgeleiteter Planck-Einheiten, von denen einige tatsächlich nur selten verwendet werden. Wie bei den Basiseinheiten ist ihre Verwendung meist auf die theoretische Physik beschränkt, da die meisten von ihnen für den empirischen oder praktischen Gebrauch zu groß oder zu klein sind und ihre Werte mit großen Unsicherheiten behaftet sind. ⓘ

Tabelle 2: Kohärente abgeleitete Einheiten der Planck-Einheiten

Abgeleitete Einheit von	Ausdruck	Ungefähres SI-Äquivalent ⓘ
Fläche (L2)	${\displaystyle }$	2.6121×10-70 m2
Volumen (L3)	${\displaystyle }$	4.2217×10-105 m3
Impuls (LMT-1)	${\displaystyle }$	6,5249 kg⋅m/s
Energie (L2MT-2)	${\displaystyle }$	1.9561×109 J
Kraft (LMT-2)	${\displaystyle }$	1.2103×1044 N
Dichte (L-3M)	${\displaystyle }$	5,1550×1096 kg/m3
Beschleunigung (LT-2)	${\displaystyle }$	5,5608×1051 m/s2
Frequenz (T-1)	${\displaystyle }$	1,8549×1043 Hz

Einige Planck-Einheiten, z. B. für Zeit und Länge, sind um viele Größenordnungen zu groß oder zu klein, um von praktischem Nutzen zu sein, so dass Planck-Einheiten als System in der Regel nur für die theoretische Physik relevant sind. In einigen Fällen kann eine Planck-Einheit eine Grenze für den Bereich einer physikalischen Größe angeben, für den die heutigen physikalischen Theorien gelten. Zum Beispiel reicht unser Verständnis des Urknalls nicht bis zur Planck-Epoche, d. h. als das Universum weniger als eine Planck-Zeit alt war. Die Beschreibung des Universums während der Planck-Epoche erfordert eine Theorie der Quantengravitation, die Quanteneffekte in die allgemeine Relativitätstheorie einbeziehen würde. Eine solche Theorie gibt es noch nicht. ⓘ

Mehrere Größen sind nicht "extrem", wie die Planck-Masse, die etwa 22 Mikrogramm beträgt: sehr groß im Vergleich zu subatomaren Teilchen und im Bereich der Masse lebender Organismen: 872 Auch die verwandten Einheiten der Energie und des Impulses liegen im Bereich einiger Alltagsphänomene. ⓘ

Bedeutung

Planck-Einheiten sind wenig anthropozentrisch willkürlich, beinhalten aber dennoch einige willkürliche Entscheidungen in Bezug auf die definierenden Konstanten. Im Gegensatz zum Meter und zur Sekunde, die aus historischen Gründen als Basiseinheiten im SI-System existieren, sind die Planck-Länge und die Planck-Zeit auf einer grundlegenden physikalischen Ebene konzeptionell miteinander verbunden. Folglich helfen die natürlichen Einheiten den Physikern dabei, Fragen neu zu formulieren. Frank Wilczek drückt es kurz und bündig aus:

Wir sehen, dass die Frage nicht lautet: "Warum ist die Schwerkraft so schwach?", sondern vielmehr: "Warum ist die Masse des Protons so klein?" Denn in natürlichen (Planck-)Einheiten ist die Stärke der Schwerkraft einfach das, was sie ist, eine Primärgröße, während die Masse des Protons eine winzige Zahl [1/(13 Quintillion)] ist.

Es stimmt zwar, dass die elektrostatische Abstoßungskraft zwischen zwei Protonen (allein im freien Raum) die Anziehungskraft der Gravitation zwischen denselben beiden Protonen bei weitem übersteigt, aber es geht hier nicht um die relative Stärke der beiden fundamentalen Kräfte. Aus der Sicht der Planck-Einheiten ist dies ein Vergleich von Äpfeln mit Birnen, denn Masse und elektrische Ladung sind inkommensurable Größen. Vielmehr ist die unterschiedliche Größe der Kraft ein Ausdruck der Tatsache, dass die Ladung der Protonen ungefähr der Einheitsladung entspricht, die Masse der Protonen jedoch weit unter der Einheitsmasse liegt. ⓘ

Planck-Skala

In der Teilchenphysik und der physikalischen Kosmologie ist die Planck-Skala eine Energieskala um 1,22×10¹⁹ GeV (die Planck-Energie, die dem Energieäquivalent der Planck-Masse, 2,17645×10-8 kg, entspricht), bei der Quanteneffekte der Gravitation stark werden. Auf dieser Skala brechen die derzeitigen Beschreibungen und Theorien der Wechselwirkungen subatomarer Teilchen im Rahmen der Quantenfeldtheorie zusammen und werden aufgrund der Auswirkungen der offensichtlichen Nicht-Renormierbarkeit der Schwerkraft in den derzeitigen Theorien unzureichend. ⓘ

Beziehung zur Schwerkraft

Es wird erwartet, dass die Stärke der Gravitation bei der Planck-Längenskala mit den anderen Kräften vergleichbar wird, und es wird angenommen, dass alle fundamentalen Kräfte bei dieser Skala vereinigt sind, aber der genaue Mechanismus dieser Vereinigung bleibt unbekannt. Die Planck-Skala ist daher der Punkt, an dem die Auswirkungen der Quantengravitation bei anderen fundamentalen Wechselwirkungen nicht mehr ignoriert werden können, an dem die derzeitigen Berechnungen und Ansätze zusammenbrechen und ein Mittel erforderlich ist, um ihre Auswirkungen zu berücksichtigen. Aus diesem Grund wurde spekuliert, dass es sich um eine ungefähre untere Grenze handeln könnte, bei der ein Schwarzes Loch durch Kollaps entstehen könnte. ⓘ

Während die Physiker die anderen grundlegenden Wechselwirkungen von Kräften auf der Quantenebene recht gut verstehen, ist die Schwerkraft problematisch und kann bei sehr hohen Energien nicht mit der Quantenmechanik im üblichen Rahmen der Quantenfeldtheorie integriert werden. Auf niedrigeren Energieniveaus wird sie in der Regel ignoriert, während für Energien, die sich der Planck-Skala nähern oder diese überschreiten, eine neue Theorie der Quantengravitation erforderlich ist. Zu den Ansätzen für dieses Problem gehören die Stringtheorie und die M-Theorie, die Schleifen-Quantengravitation, die nichtkommutative Geometrie und die Theorie der kausalen Mengen. ⓘ

In der Kosmologie

In der Urknallkosmologie ist die Planck-Epoche oder Planck-Ära das früheste Stadium des Urknalls, bevor die verstrichene Zeit der Planck-Zeit, t_P, oder etwa 10-43 Sekunden entspricht. Es gibt derzeit keine physikalische Theorie, die so kurze Zeiten beschreiben könnte, und es ist nicht klar, inwiefern das Konzept der Zeit für Werte kleiner als die Planck-Zeit sinnvoll ist. Es wird allgemein angenommen, dass Quanteneffekte der Schwerkraft die physikalischen Wechselwirkungen auf dieser Zeitskala dominieren. Auf dieser Skala wird angenommen, dass die vereinheitlichte Kraft des Standardmodells mit der Gravitation vereinigt ist. Auf den unermesslich heißen und dichten Zustand der Planck-Epoche folgte die Epoche der großen Vereinheitlichung, in der die Gravitation von der vereinheitlichten Kraft des Standardmodells getrennt wurde, worauf wiederum die Epoche der Inflation folgte, die nach etwa 10-32 Sekunden (oder etwa 10¹¹ t_P) endete. ⓘ

In Tabelle 3 sind die Eigenschaften des heute beobachtbaren Universums, ausgedrückt in Planck-Einheiten, aufgeführt. ⓘ

Tabelle 3: Das heutige Universum in Planck-Einheiten

Eigenschaft des heute beobachtbaren Universums	Ungefähre Anzahl von Planck-Einheiten	Äquivalente ⓘ
Alter	8,08 × 1060 tP	4,35 × 1017 s oder 1,38 × 1010 Jahre
Durchmesser	5,4 × 1061 lP	8,7 × 1026 m oder 9,2 × 1010 Lichtjahre
Masse	ca. 1060 mP	3 × 1052 kg oder 1,5 × 1022 Sonnenmassen (nur Sterne gezählt) 1080 Protonen (manchmal auch als Eddington-Zahl bezeichnet)
Dichte	1,8 × 10-123 mP⋅lP-3	9,9 × 10-27 kg⋅m-3
Temperatur	1,9 × 10-32 TP	2.725 K Temperatur der kosmischen Mikrowellenhintergrundstrahlung
Kosmologische Konstante	2.9 × 10-122 l -2 P	1.1 × 10-52 m-2
Hubble-Konstante	1.18 × 10-61 t -1 P	2,2 × 10-18 s-1 oder 67,8 (km/s)/Mpc

Nach der Messung der kosmologischen Konstante (Λ) im Jahr 1998, die auf 10-122 in Planck-Einheiten geschätzt wurde, wurde festgestellt, dass diese nahe am Kehrwert des Alters des Universums (T) im Quadrat liegt. Barrow und Shaw schlugen eine modifizierte Theorie vor, in der Λ ein Feld ist, das sich so entwickelt, dass sein Wert während der gesamten Geschichte des Universums Λ ~ T-2 bleibt. ⓘ

Analyse der Einheiten

Planck-Länge

Die Planck-Länge, abgekürzt ℓ_P, ist eine Längeneinheit, die wie folgt definiert ist: ${\displaystyle }$ Sie ist gleich 1,616255(18)×10-35 m, wobei die beiden in Klammern gesetzten Ziffern den geschätzten Standardfehler des angegebenen Zahlenwerts angeben, was etwa dem 10-20-fachen Durchmesser eines Protons entspricht. Es kann auf verschiedene Weise motiviert werden, z. B. durch die Betrachtung eines Teilchens, dessen reduzierte Compton-Wellenlänge mit seinem Schwarzschild-Radius vergleichbar ist; ob diese Konzepte jedoch tatsächlich gleichzeitig anwendbar sind, ist umstritten. (Mit demselben heuristischen Argument lässt sich auch die Planck-Masse begründen.) ⓘ

Die Planck-Länge ist eine Entfernungsskala, die bei Spekulationen über die Quantengravitation von Interesse ist. Die Bekenstein-Hawking-Entropie eines Schwarzen Lochs ist ein Viertel der Fläche seines Ereignishorizonts in Einheiten der Planck-Länge zum Quadrat: 370 Seit den 1950er Jahren wird vermutet, dass Quantenfluktuationen der Raumzeitmetrik den bekannten Begriff der Entfernung unterhalb der Planck-Länge unanwendbar machen könnten. Dies wird manchmal mit der Aussage ausgedrückt, dass "die Raumzeit bei der Planck-Skala zu einem Schaum wird". Es ist möglich, dass die Planck-Länge die kürzeste physikalisch messbare Entfernung ist, da jeder Versuch, die mögliche Existenz kürzerer Entfernungen durch Kollisionen mit höherer Energie zu untersuchen, zur Erzeugung Schwarzer Löcher führen würde. Kollisionen mit höherer Energie würden die Materie nicht in feinere Teile aufspalten, sondern lediglich größere Schwarze Löcher erzeugen. ⓘ

Die Strings der Stringtheorie sind in der Größenordnung der Planck-Länge modelliert. In Theorien mit großen zusätzlichen Dimensionen kann die Planck-Länge, die aus dem beobachteten Wert von ${\displaystyle }$ kleiner sein als die wahre, fundamentale Planck-Länge

Planck-Zeit

Die Planck-Zeit t_P ist die Zeit, die das Licht benötigt, um eine Strecke von 1 Planck-Länge im Vakuum zurückzulegen, was einem Zeitintervall von etwa 5,39×10-44 s entspricht. Keine derzeitige physikalische Theorie kann Zeitskalen beschreiben, die kürzer als die Planck-Zeit sind, z. B. die frühesten Ereignisse nach dem Urknall, und es wird vermutet, dass die Struktur der Zeit in Intervallen zusammenbricht, die mit der Planck-Zeit vergleichbar sind. Zwar gibt es derzeit keine bekannte Möglichkeit, Zeitintervalle auf der Skala der Planck-Zeit zu messen, doch haben Forscher im Jahr 2020 herausgefunden, dass die Genauigkeit einer Atomuhr durch Quanteneffekte in der Größenordnung der Planck-Zeit eingeschränkt ist. Für die bisher genauesten Atomuhren haben sie berechnet, dass solche Effekte bis zu 10-33 s, d. h. 10 Größenordnungen oberhalb der Planck-Skala, ausgeschlossen werden können. ⓘ

Planck-Energie

Die meisten Planck-Einheiten sind extrem klein, wie im Fall der Planck-Länge oder Planck-Zeit, oder extrem groß, wie im Fall der Planck-Temperatur oder der Planck-Beschleunigung. Zum Vergleich: Die Planck-Energie EP entspricht ungefähr der Energie, die in einem Autotank gespeichert ist (57,2 l Benzin mit 34,2 MJ/L chemischer Energie). Die 1991 beobachtete ultrahochenergetische kosmische Strahlung hatte eine gemessene Energie von etwa 50 J, was etwa 2,5×10-8 EP entspricht. ⓘ

Vorschläge für Theorien der doppelten speziellen Relativitätstheorie gehen davon aus, dass neben der Lichtgeschwindigkeit auch eine Energieskala für alle Inertialbeobachter invariant ist. In der Regel wird diese Energieskala als Planck-Energie gewählt. ⓘ

Plancksche Krafteinheit

Die Planck-Krafteinheit kann als die abgeleitete Krafteinheit im Planck-System betrachtet werden, wenn die Planck-Einheiten Zeit, Länge und Masse als Basiseinheiten betrachtet werden. ⓘ

${\displaystyle }$ ⓘ

Sie ist die Anziehungskraft von zwei Körpern mit je 1 Planck-Masse, die 1 Planck-Länge voneinander entfernt sind. Eine Konvention für die Planck-Ladung besteht darin, sie so zu wählen, dass die elektrostatische Abstoßung von zwei Objekten mit Planck-Ladung und -Masse, die eine Planck-Länge voneinander entfernt sind, die Newtonsche Anziehung zwischen ihnen genau ausgleicht. ⓘ

Verschiedene Autoren haben argumentiert, dass die Planck-Kraft in der Größenordnung der maximalen Kraft liegt, die in der Natur beobachtet werden kann. Die Gültigkeit dieser Vermutungen ist jedoch umstritten. ⓘ

Plancksche Temperatur

Die Planck-Temperatur T_P beträgt 1,416784(16)×10³² K. Bei dieser Temperatur erreicht die Wellenlänge des von der Wärmestrahlung ausgesandten Lichts die Planck-Länge. Es sind keine physikalischen Modelle bekannt, die in der Lage wären, Temperaturen größer als T_P zu beschreiben; eine Quantentheorie der Gravitation wäre erforderlich, um die erreichten extremen Energien zu modellieren. Hypothetisch könnte ein System im thermischen Gleichgewicht bei der Planck-Temperatur Schwarze Löcher im Planck-Maßstab enthalten, die ständig aus Wärmestrahlung entstehen und durch Hawking-Verdampfung zerfallen. Wenn man einem solchen System Energie zuführt, könnte seine Temperatur sinken, indem man größere Schwarze Löcher erzeugt, deren Hawking-Temperatur niedriger ist. ⓘ

Liste der physikalischen Gleichungen

Physikalische Größen, die unterschiedliche Dimensionen haben (wie Zeit und Länge), können nicht gleichgesetzt werden, selbst wenn sie numerisch gleich sind (1 Sekunde ist nicht dasselbe wie 1 Meter). In der theoretischen Physik kann dieser Skrupel jedoch durch einen Prozess, der Nichtdimensionalisierung genannt wird, beseitigt werden. Tabelle 4 zeigt, wie die Verwendung von Planck-Einheiten viele fundamentale Gleichungen der Physik vereinfacht, denn dadurch erhält jede der fünf fundamentalen Konstanten und deren Produkte einen einfachen numerischen Wert von 1. In der SI-Form müssen die Einheiten berücksichtigt werden. In der dimensionslosen Form müssen die Einheiten, die jetzt Planck-Einheiten sind, nicht angegeben werden, wenn ihre Verwendung verstanden wird. ⓘ

Tabelle 4: Wie Planck-Einheiten gängige Gleichungen der Physik vereinfachen

	SI-Form	Planck-Einheiten-Form ⓘ
Newtonsches Gesetz der universellen Gravitation	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Einsteinsche Feldgleichungen in der allgemeinen Relativitätstheorie	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Masse-Energie-Äquivalenz in der speziellen Relativitätstheorie	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Energie-Impuls-Beziehung	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Thermische Energie pro Teilchen und Freiheitsgrad	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Boltzmannsche Entropieformel	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Planck-Einstein-Relation für Energie und Winkelfrequenz	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Plancksches Gesetz (Oberflächenintensität pro Raumwinkeleinheit pro Winkelfrequenz) für schwarze Körper bei Temperatur T.	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Definition der Stefan-Boltzmann-Konstante σ	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Bekenstein-Hawking-Entropie des Schwarzen Lochs: 714-17	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Schrödingers Gleichung	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Hamiltonsche Form der Schrödingergleichung	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Kovariante Form der Dirac-Gleichung	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Unruh-Temperatur	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Coulombsches Gesetz	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$
Maxwellsche Gleichungen	${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$	${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle }$
Ideales Gasgesetz	${\displaystyle }$ oder ${\displaystyle }$	${\displaystyle }$

Alternative Wahl der Normierung

Wie bereits erwähnt, werden die Planck-Einheiten abgeleitet, indem die numerischen Werte bestimmter fundamentaler Konstanten auf 1 "normalisiert" werden. Diese Normalisierungen sind weder die einzig möglichen noch unbedingt die besten. Darüber hinaus ist die Wahl der zu normalisierenden Faktoren unter den Faktoren, die in den fundamentalen Gleichungen der Physik vorkommen, nicht offensichtlich, und die Werte der Planck-Einheiten sind empfindlich gegenüber dieser Wahl. ⓘ

Der Faktor 4π ist in der theoretischen Physik allgegenwärtig, da im dreidimensionalen Raum die Oberfläche einer Kugel mit dem Radius r 4πr² beträgt. Zusammen mit dem Konzept des Flusses bildet er die Grundlage für das Gesetz des umgekehrten Quadrats, das Gaußsche Gesetz und den Divergenzoperator, der auf die Flussdichte angewendet wird. Gravitations- und elektrostatische Felder, die von punktförmigen Objekten erzeugt werden, sind beispielsweise kugelsymmetrisch, so dass der elektrische Fluss durch eine Kugel mit dem Radius r um eine Punktladung gleichmäßig über diese Kugel verteilt ist. Daraus folgt, dass ein Faktor von 4πr² im Nenner des Coulomb-Gesetzes in rationalisierter Form erscheint: 214-15 (Sowohl der numerische Faktor als auch die Potenz der Abhängigkeit von r würden sich ändern, wenn der Raum höherdimensional wäre; die korrekten Ausdrücke können aus der Geometrie höherdimensionaler Kugeln abgeleitet werden: 51 ) Ähnlich für das Newtonsche Gesetz der universellen Gravitation: ein Faktor von 4π erscheint natürlich in der Poisson-Gleichung, wenn man das Gravitationspotential mit der Verteilung der Materie in Beziehung setzt.: 56  ⓘ

Daher schlägt ein wesentlicher Teil der physikalischen Theorie, die seit Plancks Arbeit von 1899 entwickelt wurde, vor, nicht G, sondern 4πG (oder 8πG) auf 1 zu normieren. Dadurch würde ein Faktor von 1/4π (oder 1/8π) in die nichtdimensionale Form des Gesetzes der universellen Gravitation eingeführt, was mit der modernen rationalisierten Formulierung des Coulombschen Gesetzes in Bezug auf die Permittivität des Vakuums übereinstimmt. Tatsächlich wird bei alternativen Normalisierungen der Faktor 1/4π in der dimensionslosen Form des Coulomb-Gesetzes häufig beibehalten, so dass die dimensionslosen Maxwell-Gleichungen für den Elektromagnetismus und den Gravitationselektromagnetismus dieselbe Form haben wie die Gleichungen für den Elektromagnetismus in SI, die keine Faktoren von 4π enthalten. Wenn dies auf die elektromagnetischen Konstanten ε₀ angewandt wird, nennt man dieses Einheitensystem "rationalisiert". Wird es zusätzlich auf die Gravitation und die Planck-Einheiten angewandt, werden diese als rationalisierte Planck-Einheiten bezeichnet und kommen in der Hochenergiephysik zum Einsatz. ⓘ

Die rationalisierten Planck-Einheiten sind so definiert, dass ${\displaystyle }$. ⓘ

Es gibt mehrere mögliche alternative Normalisierungen. ⓘ

Gravitationskonstante

1899 wurde das Newtonsche Gesetz der universellen Gravitation noch als exakt angesehen und nicht als eine bequeme Näherung, die für "kleine" Geschwindigkeiten und Massen gilt (die ungefähre Natur des Newtonschen Gesetzes wurde nach der Entwicklung der allgemeinen Relativitätstheorie im Jahr 1915 nachgewiesen). Daher normalisierte Planck die Gravitationskonstante G im Newtonschen Gesetz auf 1. In den Theorien, die nach 1899 entwickelt wurden, erscheint G fast immer in Formeln, die mit 4π oder einem kleinen ganzzahligen Vielfachen davon multipliziert werden. Bei der Entwicklung eines Systems natürlicher Einheiten muss daher entschieden werden, ob und welche der in den physikalischen Gleichungen vorkommenden 4π-Werte durch die Normalisierung eliminiert werden sollen. ⓘ

• Wenn man 4πG auf 1 normiert (und somit G = 1/4π setzt):
  • Das Gaußsche Gesetz der Schwerkraft wird zu Φ_g = -M (statt Φ_g = -4πM in Planck-Einheiten).
  • Eliminiert 4πG aus der Poisson-Gleichung.
  • Eliminiert 4πG in den gravitoelektromagnetischen (GEM) Gleichungen, die in schwachen Gravitationsfeldern oder lokal flacher Raumzeit gelten. Diese Gleichungen haben die gleiche Form wie die Maxwell-Gleichungen (und die Lorentz-Kraftgleichung) des Elektromagnetismus, wobei die Ladungsdichte durch die Massendichte und ε₀ durch 1/4πG ersetzt wird.
  • Die charakteristische Impedanz Zg der Gravitationsstrahlung im freien Raum wird auf 1 normiert (normalerweise als 4πG/c ausgedrückt).
  • Eliminiert 4πG aus der Bekenstein-Hawking-Formel (für die Entropie eines Schwarzen Lochs in Abhängigkeit von seiner Masse m_BH und der Fläche seines Ereignishorizonts A_BH), die vereinfacht wird zu S_BH = πA_BH = (m_BH)².
• Man setzt 8πG = 1 (und damit G = 1/8π). Damit würde 8πG aus den Einstein-Feldgleichungen, der Einstein-Hilbert-Aktion und den Friedmann-Gleichungen für die Gravitation eliminiert. Planck-Einheiten, die so modifiziert werden, dass 8πG = 1 ist, werden als reduzierte Planck-Einheiten bezeichnet, da die Planck-Masse durch √8π geteilt wird. Auch die Bekenstein-Hawking-Formel für die Entropie eines Schwarzen Lochs vereinfacht sich zu S_BH = (m_BH)²/2 = 2πA_BH. ⓘ