Poisson-Gleichung

Siméon Denis Poisson ⓘ

Die Poisson-Gleichung ist eine elliptische partielle Differentialgleichung von großem Nutzen in der theoretischen Physik. Die Lösung der Poisson-Gleichung ist beispielsweise das Potenzialfeld, das durch eine gegebene elektrische Ladung oder Massendichteverteilung verursacht wird; ist das Potenzialfeld bekannt, kann man das elektrostatische Feld oder das Gravitationsfeld (Kraft) berechnen. Sie ist eine Verallgemeinerung der Laplace-Gleichung, die ebenfalls häufig in der Physik vorkommt. Die Gleichung ist nach dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson benannt. ⓘ

Aussage der Gleichung

Die Poissonsche Gleichung lautet

$$\Delta \varphi =f$$

wobei $\Delta$ der Laplace-Operator ist, und $f$ und $\varphi$ reelle oder komplexwertige Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit sind. Gewöhnlich, $f$ gegeben ist und $\varphi$ gesucht wird. Handelt es sich bei der Mannigfaltigkeit um den euklidischen Raum, so wird der Laplace-Operator häufig als ∇² bezeichnet und die Poisson-Gleichung wird häufig wie folgt geschrieben

$$\nabla ^{2}\varphi =f.$$

ⓘ

In dreidimensionalen kartesischen Koordinaten hat sie die Form

$$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).$$

ⓘ

Wenn $f=0$ identisch ist, erhält man die Laplace-Gleichung. ⓘ

Die Poisson-Gleichung kann mit Hilfe einer Green'schen Funktion gelöst werden:

$$\varphi (\mathbf {r} )=-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\!r',$$

wobei das Integral über den gesamten Raum gilt. Eine allgemeine Darstellung der Green'schen Funktion für die Poisson-Gleichung findet sich in dem Artikel über die gerasterte Poisson-Gleichung. Es gibt verschiedene Methoden zur numerischen Lösung, wie die Relaxationsmethode, ein iterativer Algorithmus. ⓘ

Newtonsche Schwerkraft

Im Falle eines Gravitationsfeldes g, das auf ein anziehendes massives Objekt der Dichte ρ zurückzuführen ist, kann das Gaußsche Gravitationsgesetz in Differentialform verwendet werden, um die entsprechende Poisson-Gleichung für die Gravitation zu erhalten,

$$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ~.$$

ⓘ

Da das Gravitationsfeld konservativ (und nicht rotierend) ist, kann es durch ein skalares Potential Φ ausgedrückt werden,

$$\mathbf {g} =-\nabla \phi ~.$$

ⓘ

Durch Einsetzen in das Gaußsche Gesetz

$$\nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho$$

ergibt die Poissonsche Gleichung für die Schwerkraft,

$$\nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .$$

ⓘ

Wenn die Massendichte gleich Null ist, reduziert sich die Poisson-Gleichung auf die Laplace-Gleichung. Die entsprechende Green'sche Funktion kann zur Berechnung des Potenzials im Abstand r von einer zentralen Punktmasse m (d. h. der Fundamentallösung) verwendet werden. In drei Dimensionen ist das Potential

$$\phi (r)={\dfrac {-Gm}{r}}.$$

was dem Newtonschen Gesetz der universellen Gravitation entspricht. ⓘ

Elektrostatik

Einer der Eckpfeiler der Elektrostatik ist das Aufstellen und Lösen von Problemen, die durch die Poisson-Gleichung beschrieben werden. Bei der Lösung der Poisson-Gleichung geht es darum, das elektrische Potenzial φ für eine bestimmte Ladungsverteilung zu ermitteln. $\rho _{f}$. ⓘ

Die mathematischen Details der Poisson-Gleichung in der Elektrostatik lauten wie folgt (es werden SI-Einheiten verwendet und nicht Gauß-Einheiten, die auch im Elektromagnetismus häufig verwendet werden). ⓘ

Ausgehend vom Gauß'schen Elektrizitätsgesetz (auch eine der Maxwell'schen Gleichungen) in Differentialform, erhält man

$$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}$$

wobei $\mathbf {\nabla } \cdot$ ist der Divergenzoperator, D = elektrisches Verschiebungsfeld und ρf = freie Ladungsvolumendichte (beschreibt die von außen eingebrachten Ladungen). ⓘ

Unter der Annahme, dass das Medium linear, isotrop und homogen ist (siehe Polarisationsdichte), erhalten wir die konstitutive Gleichung,

$$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$$

wobei ε die Dielektrizitätskonstante des Mediums und E das elektrische Feld ist. ⓘ

Setzt man dies in das Gauß'sche Gesetz ein und nimmt an, dass ε in der interessierenden Region räumlich konstant ist, so ergibt sich

$$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon }}~.$$

wobei $\rho$ ist eine Gesamtvolumenladungsdichte. In der Elektrostatik gehen wir davon aus, dass kein Magnetfeld vorhanden ist (das folgende Argument gilt auch bei Vorhandensein eines konstanten Magnetfelds). Dann gilt, dass

$$\nabla \times \mathbf {E} =0,$$

wobei ∇× der Krümmungsoperator ist. Diese Gleichung bedeutet, dass wir das elektrische Feld als Gradient einer Skalarfunktion φ (genannt elektrisches Potenzial) schreiben können, da die Krümmung eines jeden Gradienten Null ist. Wir können also schreiben,

$$\mathbf {E} =-\nabla \varphi ,$$

wobei das Minuszeichen eingeführt wird, damit φ als die elektrische potentielle Energie pro Ladungseinheit identifiziert wird. ⓘ

Die Herleitung der Poisson-Gleichung unter diesen Umständen ist einfach. Setzt man den Potentialgradienten für das elektrische Feld ein,

$$\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=-{\nabla }^{2}\varphi ={\frac {\rho }{\varepsilon }},$$

ergibt direkt die Poissonsche Gleichung für Elektrostatik, die lautet

$$\nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon }}.$$

ⓘ

Die Lösung der Poisson-Gleichung für das Potenzial erfordert die Kenntnis der Ladungsdichteverteilung. Ist die Ladungsdichte gleich Null, so ergibt sich die Laplace-Gleichung. Folgt die Ladungsdichte einer Boltzmann-Verteilung, so ergibt sich die Poisson-Boltzmann-Gleichung. Die Poisson-Boltzmann-Gleichung spielt eine Rolle bei der Entwicklung der Debye-Hückel-Theorie für verdünnte Elektrolytlösungen. ⓘ

Unter Verwendung der Green'schen Funktion beträgt das Potenzial im Abstand r von einer zentralen Punktladung Q (d. h. der Fundamentallösung):

$$\varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}.$$

Das ist das Coulombsche Gesetz der Elektrostatik. (Aus historischen Gründen und im Gegensatz zum obigen Modell der Schwerkraft erscheint der $4\pi$ Faktor hier und nicht im Gauß'schen Gesetz.) ⓘ

Die obige Diskussion geht davon aus, dass das Magnetfeld nicht zeitlich variiert. Dieselbe Poisson-Gleichung ergibt sich auch dann, wenn das Magnetfeld zeitlich variiert, solange die Coulomb-Eichung verwendet wird. In diesem allgemeineren Kontext reicht die Berechnung von φ nicht mehr aus, um E zu berechnen, da E auch vom magnetischen Vektorpotential A abhängt, das unabhängig berechnet werden muss. Weitere Informationen zu φ und A in den Maxwell-Gleichungen und wie man in diesem Fall die Poisson-Gleichung erhält, finden Sie unter Maxwell-Gleichung in Potentialformulierung. ⓘ

Ebenso wie das elektrostatische Feld ⓘ

ist auch das Gravitationsfeld g ein konservatives Feld:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\int \rho _{\mathrm {m} }\left(\mathbf {r} '\right){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}\;dx'\,dy'\,dz'=-\nabla \Phi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )$. ⓘ

Dabei ist

• G die Gravitationskonstante
• $\rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ')$ die Massendichte. ⓘ

Da nur die Ladungen durch Massen und ${\frac {1}{4\pi \varepsilon }}$ durch $-G$ ersetzt werden, gilt analog zur ersten Maxwellgleichung ⓘ

$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )$. ⓘ

$\nabla \mathbf {g} =-\nabla \cdot (\nabla \Phi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} ))=-4\pi \cdot G\cdot \rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )\Leftrightarrow$

$\Delta \Phi _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )=4\pi \cdot G\cdot \rho _{\mathrm {m} }(\mathbf {r} )$. ⓘ

In Worten: jede Ladung $\mathrm {d} ^{3}r'\,f(\mathbf {r} ')$ am Ort $\mathbf {r} '$ im kleinen Gebiet der Größe $\mathrm {d} ^{3}r'$ trägt additiv bei zum Potential $\Phi$ am Ort $\mathbf {r}$ mit ihrem elektrostatischen oder Gravitationspotential:

$-{\frac {\mathrm {d} ^{3}r'\,f(\mathbf {r} ')}{4\,\pi \,|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}$ ⓘ

Potential einer Gaußschen Ladungsdichte

Wenn es eine statische sphärisch symmetrische Gaußsche Ladungsdichte gibt

$$\rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},$$

wobei Q die Gesamtladung ist, dann ist die Lösung φ(r) der Poissonschen Gleichung,

$${\nabla }^{2}\varphi =-{\rho _{f} \over \varepsilon },$$

gegeben durch

$$\varphi (r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}}\,\operatorname {erf} \left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)$$

wobei erf(x) die Fehlerfunktion ist. ⓘ

Diese Lösung kann explizit durch Auswertung von ∇²φ überprüft werden. ⓘ

Man beachte, dass für r, das viel größer als σ ist, die erf-Funktion sich der Einheit nähert und das Potenzial φ(r) sich dem Punktladungspotenzial

$$\varphi \approx {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}},$$

wie man es erwarten würde. Außerdem nähert sich die Fehlerfunktion mit zunehmendem Argument sehr schnell der Zahl 1; in der Praxis ist der relative Fehler für r > 3σ kleiner als ein Teil von tausend. ⓘ

Rekonstruktion der Oberfläche

Die Oberflächenrekonstruktion ist ein inverses Problem. Das Ziel ist die digitale Rekonstruktion einer glatten Oberfläche auf der Grundlage einer großen Anzahl von Punkten pi (einer Punktwolke), wobei jeder Punkt auch eine Schätzung der lokalen Oberflächennormale ni enthält. Die Poisson-Gleichung kann zur Lösung dieses Problems mit einer Technik namens Poisson-Oberflächenrekonstruktion verwendet werden. ⓘ

Ziel dieser Technik ist es, eine implizite Funktion f zu rekonstruieren, deren Wert an den Punkten pi gleich Null ist und deren Steigung an den Punkten pi gleich den Normalenvektoren ni ist. Die Menge (pi, ni) wird somit als kontinuierliches Vektorfeld V modelliert. Die implizite Funktion f wird durch Integration des Vektorfeldes V gefunden. Da nicht jedes Vektorfeld der Gradient einer Funktion ist, kann das Problem eine Lösung haben oder auch nicht: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass ein glattes Vektorfeld V der Gradient einer Funktion f ist, ist, dass die Krümmung von V identisch Null sein muss. Falls diese Bedingung schwer zu erfüllen ist, ist es immer noch möglich, eine Kleinste-Quadrate-Anpassung durchzuführen, um die Differenz zwischen V und dem Gradienten von f zu minimieren. ⓘ

Um die Poisson-Gleichung effektiv auf das Problem der Oberflächenrekonstruktion anzuwenden, muss eine gute Diskretisierung des Vektorfeldes V gefunden werden. Der grundlegende Ansatz besteht darin, die Daten mit einem Finite-Differenzen-Gitter zu begrenzen. Für eine Funktion, die an den Knoten eines solchen Gitters bewertet wird, kann ihr Gradient als auf gestaffelten Gittern bewertet dargestellt werden, d. h. auf Gittern, deren Knoten zwischen den Knoten des ursprünglichen Gitters liegen. Es ist zweckmäßig, drei gestaffelte Gitter zu definieren, die jeweils in eine einzige Richtung verschoben sind, die den Komponenten der normalen Daten entspricht. Auf jedem gestaffelten Gitter führen wir eine [trilineare Interpolation] an der Punktmenge durch. Die Interpolationsgewichte werden dann verwendet, um die Größe der zugehörigen Komponente von ni auf die Knoten der jeweiligen gestaffelten Gitterzelle, die pi enthält, zu verteilen. Kazhdan und seine Mitautoren stellen eine genauere Diskretisierungsmethode vor, bei der ein adaptives Finite-Differenzen-Gitter verwendet wird, d. h. die Zellen des Gitters sind kleiner (das Gitter ist feiner unterteilt), wenn es mehr Datenpunkte gibt. Sie schlagen vor, diese Technik mit einem adaptiven Octree zu implementieren. ⓘ

Strömungsdynamik

Für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen, gegeben durch:

$${\begin{aligned}{\partial {\bf {v}} \over {\partial t}}+{\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}&=-{1 \over {\rho }}\nabla p+\nu \Delta {\bf {v}}+{\bf {g}}\\\nabla \cdot {\bf {v}}&=0\end{aligned}}$$

ⓘ

Die Gleichung für das Druckfeld $p$ ist ein Beispiel für eine nichtlineare Poisson-Gleichung:

$${\begin{aligned}\Delta p&=-\rho \nabla \cdot ({\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}})\\&=-\rho \,\mathrm {Tr} {\big (}(\nabla {\bf {v}})(\nabla {\bf {v}}){\big )}.\end{aligned}}$$

Beachten Sie, dass die obige Spur nicht vorzeichen-definit ist. ⓘ

Elektrodynamik stationärer Ströme

Als Beispiel wird hier der Emitter einer Silizium-Solarzelle betrachtet, der in guter Näherung als rein zweidimensional beschrieben werden kann. Der Emitter befinde sich in der x-y-Ebene, die z-Achse zeige in die Basis hinein. Die laterale Flächenstromdichte $\mathbf {j} (x,y)$ im Emitter hängt von der am Emitter auftretenden z-Komponente der (Volumen-)Stromdichte $J_{z}(x,y,z=0)$ der Basis ab, was durch die Kontinuitätsgleichung in der Form ⓘ

$\nabla _{2}\cdot \mathbf {j} (x,y)=-J_{z}(x,y,z=0)$ ⓘ

beschrieben werden kann (mit dem zweidimensionalen Nabla-Operator $\nabla _{2}$). Die Flächenstromdichte hängt über das lokale ohmsche Gesetz mit dem lateralen elektrischen Feld im Emitter zusammen: $\mathbf {j} (x,y)=R_{\Box }^{-1}\mathbf {E} (x,y)$; hier ist $R_{\Box }$ der als homogen angenommene spezifische Flächenwiderstand des Emitters. Schreibt man (wie im Abschnitt zur Elektrostatik diskutiert) das elektrische Feld als Gradient des elektrischen Potentials, $\mathbf {E} (x,y)=-\nabla _{2}\Phi (x,y)$, so erhält man für die Potentialverteilung im Emitter eine Poisson-Gleichung in der Form ⓘ

$\Delta _{2}\Phi (x,y)=R_{\Box }J_{z}(x,y,z=0).$ ⓘ