Biot-Savart-Gesetz

In der Physik, insbesondere im Elektromagnetismus, ist das Biot-Savart-Gesetz (/ˈbiːoʊ səˈvɑːr/ oder /ˈbjoʊ səˈvɑːr/) eine Gleichung, die das durch einen konstanten elektrischen Strom erzeugte Magnetfeld beschreibt. Sie setzt das Magnetfeld mit der Größe, der Richtung, der Länge und der Nähe des elektrischen Stroms in Beziehung. Das Biot-Savart-Gesetz ist für die Magnetostatik von grundlegender Bedeutung und spielt eine ähnliche Rolle wie das Coulombsche Gesetz in der Elektrostatik. Wenn die Magnetostatik nicht anwendbar ist, sollte das Biot-Savart-Gesetz durch die Jefimenko-Gleichungen ersetzt werden. Das Gesetz gilt in der magnetostatischen Näherung und ist sowohl mit dem Ampère'schen Kreislaufgesetz als auch mit dem Gauß'schen Gesetz für den Magnetismus vereinbar. Es ist nach Jean-Baptiste Biot und Félix Savart benannt, die diese Beziehung 1820 entdeckten. ⓘ

Im Vakuum und in magnetisch linearen und isotropen Stoffen besteht zwischen der magnetischen Flussdichte und der magnetischen Feldstärke der Zusammenhang ${\vec {B}}=\mu {\vec {H}}$ mit der magnetischen Leitfähigkeit ${\textstyle \mu }$ als konstantem Proportionalitätsfaktor. Im allgemeinen Fall (z. B. bei Magneten) kann hingegen die magnetische Leitfähigkeit eine Funktion der magnetischen Feldstärke oder der räumlichen Orientierung sein, womit sich deutlich kompliziertere und unter Umständen analytisch nicht mehr darstellbare Zusammenhänge ergeben können. ⓘ

Gleichung

Elektrische Ströme (entlang einer geschlossenen Kurve/Draht)

Dargestellt sind die Richtungen von $Id{\boldsymbol {\ell }}$, $\mathbf {{\hat {r}}'}$und der Wert von $|\mathbf {r'} |$ ⓘ

Das Biot-Savart-Gesetz wird zur Berechnung des resultierenden Magnetfelds B an der Position r im 3D-Raum verwendet, das durch einen flexiblen Strom I (z. B. durch einen Draht) erzeugt wird. Ein stetiger (oder stationärer) Strom ist ein kontinuierlicher Ladungsfluss, der sich mit der Zeit nicht ändert und bei dem die Ladung an keinem Punkt akkumuliert oder verbraucht wird. Das Gesetz ist ein physikalisches Beispiel für ein Linienintegral, das über den Pfad C ausgewertet wird, auf dem die elektrischen Ströme fließen (z. B. der Draht). Die Gleichung in SI-Einheiten lautet ⓘ

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}$ ⓘ

wobei $d{\boldsymbol {\ell }}$ ein Vektor entlang des Pfades ist $C$ dessen Betrag die Länge des Differentialelements des Drahtes in der Richtung des konventionellen Stroms ist. ${\boldsymbol {\ell }}$ ein Punkt auf der Bahn ist $C$. $\mathbf {r'} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\ell }}$ der volle Verschiebungsvektor vom Drahtelement ($d{\boldsymbol {\ell }}$) im Punkt ${\boldsymbol {\ell }}$ bis zu dem Punkt, an dem das Feld berechnet wird ($\mathbf {r}$), und μ₀ ist die magnetische Konstante. Alternativ dazu:

$$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {I\,d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r'} |^{2}}}$$

wobei $\mathbf {{\hat {r}}'}$ ist der Einheitsvektor von $\mathbf {r'}$. Die fettgedruckten Symbole bezeichnen Vektorgrößen. ⓘ

Das Integral verläuft in der Regel um eine geschlossene Kurve, da stationäre elektrische Ströme nur um geschlossene Pfade fließen können, wenn sie begrenzt sind. Das Gesetz gilt jedoch auch für unendlich lange Drähte (dieses Konzept wurde bis zum 20. Mai 2019 bei der Definition der SI-Einheit des elektrischen Stroms - dem Ampere - verwendet). ⓘ

Um die Gleichung anzuwenden, wird der Punkt im Raum, an dem das Magnetfeld berechnet werden soll, willkürlich gewählt ($\mathbf {r}$). Wenn man diesen Punkt festhält, wird das Linienintegral über den Weg des elektrischen Stroms berechnet, um das gesamte Magnetfeld an diesem Punkt zu ermitteln. Die Anwendung dieses Gesetzes beruht implizit auf dem Überlagerungsprinzip für Magnetfelder, d. h. auf der Tatsache, dass das Magnetfeld eine Vektorsumme des Feldes ist, das von jedem einzelnen infinitesimalen Abschnitt des Drahtes erzeugt wird. ⓘ

Es gibt auch eine 2D-Version der Biot-Savart-Gleichung, die verwendet wird, wenn die Quellen in einer Richtung invariant sind. Im Allgemeinen muss der Strom nicht nur in einer Ebene senkrecht zur invarianten Richtung fließen und ist gegeben durch $\mathbf {J}$ (Stromdichte). Die resultierende Formel lautet:

$$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\int _{C}\ {\frac {(\mathbf {J} \,d\ell )\times \mathbf {r} '}{|\mathbf {r} '|}}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\int _{C}\ (\mathbf {J} \,d\ell )\times \mathbf {{\hat {r}}'}$$

ⓘ

Elektrische Stromdichte (im gesamten Leitervolumen)

Die oben genannten Formeln funktionieren gut, wenn der Strom näherungsweise durch einen unendlich schmalen Draht fließt. Wenn der Leiter eine gewisse Dicke hat, lautet die richtige Formulierung des Biot-Savart-Gesetzes (wiederum in SI-Einheiten):

$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {(\mathbf {J} \,dV)\times \mathbf {r} '}{|\mathbf {r} '|^{3}}}$ ⓘ

wobei $\mathbf {r'}$ ist der Vektor von dV zum Beobachtungspunkt $\mathbf {r}$, $dV$ ist das Volumenelement, und $\mathbf {J}$ ist der Stromdichtevektor in diesem Volumen (in SI-Einheiten A/m²). ⓘ

In Bezug auf den Einheitsvektor $\mathbf {{\hat {r}}'}$

$$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ dV{\frac {\mathbf {J} \times \mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}$$

ⓘ

Konstanter gleichmäßiger Strom

Im Spezialfall eines gleichmäßigen, konstanten Stroms I ist das Magnetfeld $\mathbf {B}$ ist

$$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int _{C}{\frac {d{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {r'} }{|\mathbf {r'} |^{3}}}$$

d. h., der Strom kann aus dem Integral herausgenommen werden. ⓘ

Punktladung mit konstanter Geschwindigkeit

Im Fall eines punktgeladenen Teilchens q, das sich mit konstanter Geschwindigkeit v bewegt, ergeben die Maxwell-Gleichungen den folgenden Ausdruck für das elektrische und das magnetische Feld:

$${\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}{\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}\theta \right)^{\frac {3}{2}}}}{\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}\\\mathbf {H} &=\mathbf {v} \times \mathbf {D} \\\mathbf {B} &={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \end{aligned}}$$

wobei $\mathbf {\hat {r}} '$ ist der Einheitsvektor, der von der aktuellen (nicht verzögerten) Position des Teilchens zu dem Punkt zeigt, an dem das Feld gemessen wird, und θ ist der Winkel zwischen $\mathbf {v}$ und $\mathbf {r} '$. ⓘ

Wenn v² ≪ c² ist, können das elektrische Feld und das magnetische Feld wie folgt approximiert werden

$$\mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\ {\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}$$

$$\mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q}{4\pi }}\mathbf {v} \times {\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}$$

ⓘ

Diese Gleichungen wurden erstmals von Oliver Heaviside im Jahr 1888 aufgestellt. Einige Autoren nennen die obige Gleichung für $\mathbf {B}$ das "Biot-Savart-Gesetz für eine Punktladung", da sie dem Standard-Biot-Savart-Gesetz sehr ähnlich ist. Diese Bezeichnung ist jedoch irreführend, da das Biot-Savart-Gesetz nur für stetige Ströme gilt und eine Punktladung, die sich im Raum bewegt, keinen stetigen Strom darstellt. ⓘ

Anwendungen für magnetische Reaktionen

Das Biot-Savart-Gesetz kann für die Berechnung magnetischer Reaktionen auch auf atomarer oder molekularer Ebene verwendet werden, z. B. für chemische Abschirmungen oder magnetische Suszeptibilitäten, sofern die Stromdichte aus einer quantenmechanischen Berechnung oder Theorie gewonnen werden kann. ⓘ

Anwendungen in der Aerodynamik

Die Abbildung zeigt die Geschwindigkeit ($dV$), die in einem Punkt P durch ein Element eines Wirbelfadens ($dl$) der Stärke $\Gamma$. ⓘ

Das Biot-Savart-Gesetz wird auch in der aerodynamischen Theorie verwendet, um die durch Wirbellinien induzierte Geschwindigkeit zu berechnen. ⓘ

Bei der aerodynamischen Anwendung sind die Rollen von Wirbelstärke und Stromstärke im Vergleich zur magnetischen Anwendung vertauscht. ⓘ

In Maxwells Schrift "On Physical Lines of Force" von 1861 wurde die magnetische Feldstärke H direkt mit der reinen Wirbelstärke (Spin) gleichgesetzt, während B eine gewichtete Wirbelstärke war, die mit der Dichte des Wirbelmeeres gewichtet wurde. Maxwell betrachtete die magnetische Permeabilität μ als ein Maß für die Dichte des Wirbelmeeres. Daraus ergibt sich die Beziehung,

Magnetischer Induktionsstrom

$$\mathbf {B} =\mu \mathbf {H}$$

im Wesentlichen eine Rotationsanalogie zu der linearen elektrischen Strombeziehung,

Elektrischer Konvektionsstrom

$$\mathbf {J} =\rho \mathbf {v}$$

wobei ρ die elektrische Ladungsdichte ist. ⓘ

B wurde als eine Art magnetischer Strom von Wirbeln betrachtet, die in ihren axialen Ebenen ausgerichtet sind, wobei H die Umfangsgeschwindigkeit der Wirbel ist. ⓘ

Die elektrische Stromgleichung kann als Konvektionsstrom elektrischer Ladung betrachtet werden, der eine lineare Bewegung beinhaltet. In Analogie dazu ist die magnetische Gleichung ein induktiver Strom mit Spin. Im induktiven Strom gibt es keine lineare Bewegung entlang der Richtung des B-Vektors. Der magnetische induktive Strom stellt Kraftlinien dar. Insbesondere stellt er Linien der Kraft des inversen Quadratgesetzes dar. ⓘ

In der Aerodynamik bilden die induzierten Luftströme solenoidale Ringe um eine Wirbelachse. In Analogie dazu spielt die Wirbelachse die Rolle, die der elektrische Strom im Magnetismus spielt. Dies versetzt die Luftströme der Aerodynamik (Strömungsgeschwindigkeitsfeld) in die gleiche Rolle wie der magnetische Induktionsvektor B im Elektromagnetismus. ⓘ

Im Elektromagnetismus bilden die B-Linien solenoidale Ringe um die elektrische Stromquelle, während in der Aerodynamik die Luftströme (Geschwindigkeit) solenoidale Ringe um die Wirbelachse der Quelle bilden. ⓘ

Im Elektromagnetismus spielt der Wirbel also die Rolle der "Wirkung", während in der Aerodynamik der Wirbel die Rolle der "Ursache" spielt. Wenn wir jedoch die B-Linien isoliert betrachten, sehen wir genau das aerodynamische Szenario, insofern als B die Wirbelachse und H die Umfangsgeschwindigkeit ist, wie in Maxwells Arbeit von 1861. ⓘ

In zwei Dimensionen, für eine Wirbellinie von unendlicher Länge, ist die induzierte Geschwindigkeit in einem Punkt gegeben durch

$$v={\frac {\Gamma }{2\pi r}}$$

wobei Γ die Stärke des Wirbels und r der senkrechte Abstand zwischen dem Punkt und der Wirbellinie ist. Dies ist vergleichbar mit dem Magnetfeld, das in einer Ebene durch einen unendlich langen geraden dünnen Draht senkrecht zur Ebene erzeugt wird. ⓘ

Dies ist ein Grenzfall der Formel für Wirbelsegmente endlicher Länge (ähnlich wie bei einem endlichen Draht):

$$v={\frac {\Gamma }{4\pi r}}\left[\cos A-\cos B\right]$$

wobei A und B die (vorzeichenbehafteten) Winkel zwischen der Linie und den beiden Enden des Segments sind. ⓘ

Das Biot-Savart-Gesetz, das Ampère'sche Kreislaufgesetz und das Gauß'sche Gesetz für den Magnetismus

In einer magnetostatischen Situation erfüllt das nach dem Biot-Savart-Gesetz berechnete Magnetfeld B immer das Gaußsche Gesetz für Magnetismus und das Ampère'sche Gesetz:

Beweis

Ausgangspunkt ist das Biot-Savart-Gesetz:

$$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J} (\mathbf {l} )\times {\frac {\mathbf {r} -\mathbf {l} }{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |^{3}}}$$

Durch Substitution der Beziehung

$${\frac {\mathbf {r} -\mathbf {l} }{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |^{3}}}=-\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)$$

und unter Verwendung der Produktregel für Krümmungen sowie der Tatsache, dass J nicht abhängig ist von $\mathbf {r}$abhängt, kann diese Gleichung umgeschrieben werden in

$$\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \times \iiint _{V}d^{3}l{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {l} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}$$

Da die Divergenz einer Krümmung immer Null ist, ergibt sich daraus das Gaußsche Gesetz für den Magnetismus. Wenn man nun die Krümmung beider Seiten nimmt, die Formel für die Krümmung einer Krümmung anwendet und wiederum die Tatsache nutzt, dass J nicht von $\mathbf {r}$erhalten wir schließlich das Ergebnis

$$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\nabla \iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J} (\mathbf {l} )\cdot \nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}d^{3}l\mathbf {J} (\mathbf {l} )\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)$$

Schließlich setzt man die folgenden Beziehungen ein

$${\begin{aligned}\nabla \left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)&=-\nabla _{l}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right),\\\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {l} |}}\right)&=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {l} )\end{aligned}}$$

(wobei δ die Dirac-Deltafunktion ist), unter Verwendung der Tatsache, dass die Divergenz von J gleich Null ist (aufgrund der Annahme der Magnetostatik), und der Durchführung einer Integration durch Teile, stellt sich das Ergebnis wie folgt dar

$$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$$

d.h. das Ampère'sche Gesetz. (Aufgrund der Annahme der Magnetostatik, $\partial \mathbf {E} /\partial t=\mathbf {0}$gibt es also keinen zusätzlichen Verschiebungsstromterm im Ampère'schen Gesetz). ⓘ

In einer nicht-magnetostatischen Situation gilt das Biot-Savart-Gesetz nicht mehr (es wird durch die Jefimenko-Gleichungen ersetzt), während das Gaußsche Gesetz für Magnetismus und das Maxwell-Ampère-Gesetz weiterhin gelten. ⓘ

Theoretischer Hintergrund

Das Biot-Savart-Gesetz wurde zunächst experimentell entdeckt und dann auf verschiedene Weise theoretisch abgeleitet. In den Feynman Lectures on Physics wird zunächst die Ähnlichkeit der Ausdrücke für das elektrische Potential außerhalb der statischen Verteilung der Ladungen und das magnetische Vektorpotential außerhalb des Systems kontinuierlich verteilter Ströme hervorgehoben, und dann wird das Magnetfeld durch die Krümmung des Vektorpotentials berechnet. Ein anderer Ansatz besteht in einer allgemeinen Lösung der inhomogenen Wellengleichung für das Vektorpotential im Falle konstanter Ströme. Das Magnetfeld kann auch als Folge der Lorentz-Transformationen für die elektromagnetische Kraft, die von einem geladenen Teilchen auf ein anderes Teilchen wirkt, berechnet werden. Zwei weitere Möglichkeiten zur Ableitung des Biot-Savart-Gesetzes sind: 1) die Lorentz-Transformation der Komponenten des elektromagnetischen Tensors von einem bewegten Bezugssystem, in dem nur ein elektrisches Feld einer bestimmten Ladungsverteilung vorhanden ist, in ein stationäres Bezugssystem, in dem sich diese Ladungen bewegen. 2) die Anwendung der Methode der verzögerten Potentiale. ⓘ

Formulierung

Ein Stromleiter mit dem infinitesimalen Längenelement $\mathrm {d} {\vec {l}}$ am Ort ${\vec {r}}'$, der von einem Strom $I$ durchflossen wird, erzeugt am Ort ${\vec {r}}$ die magnetische Flussdichte $\mathrm {d} {\vec {B}}$ (unter Verwendung des Kreuzprodukts):

$\mathrm {d} {\vec {B}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\,I\,\mathrm {d} {\vec {l}}\times {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}$ ⓘ

Die ganze magnetische Flussdichte ergibt sich durch Aufsummieren aller vorhandenen infinitesimalen Anteile, also durch Integrieren. Das entstehende Wegintegral kann man unter Benutzung von ⓘ

$I\,\mathrm {d} {\vec {l}}={\vec {v}}\,\mathrm {d} q={\vec {v}}\rho \,\mathrm {d} V={\vec {\jmath }}\,\mathrm {d} V$ ⓘ

in ein Volumenintegral umformen, wobei ${\vec {\jmath }}$ die elektrische Stromdichte ist. Somit erhält man die integrale Form des biot-savartschen Gesetzes:

${\vec {B}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}{\vec {\jmath }}({\vec {r}}')\times {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{3}}}\;\mathrm {d} {V'}$ ⓘ

Diese beiden Formeln ähneln (mit Strömen statt Ladungen) dem coulombschen Gesetz, das die Gestalt des elektrischen Feldes in Abhängigkeit von einer Ladungsverteilung beschreibt. ⓘ

In den beiden obigen Formeln wurde dabei vernachlässigt, dass die Stromleiter einen endlichen Querschnitt haben. In vielen realen Anwendungen ist dieser im Vergleich zur Ausdehnung des Magnetfeldes aber auch tatsächlich ohne Bedeutung. Eine weitere Ungenauigkeit besteht darin, dass sich der Beitrag einer Ladung an einem Ort zum Magnetfeld an einem anderen Ort mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Der entsprechende Retardierungseffekt wird im Biot-Savart-Gesetz nicht berücksichtigt. Es ist daher nur für stationäre Ströme streng gültig und für Punktladungen in guter Näherung, sofern ihre Geschwindigkeit klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit ist. ⓘ

Ableitung aus den Maxwell-Gleichungen

Im Folgenden werden Retardierungseffekte vernachlässigt und der zeitlich konstante Fall in Form der Magnetostatik betrachtet. Aus den Maxwell-Gleichungen folgt dann die Poisson-Gleichung für das Vektorpotential ${\vec {A}}$ ⓘ

$\Delta {\vec {A}}({\vec {r}})=-\mu _{0}{\vec {\jmath }}({\vec {r}})$ ⓘ

mit folgender Lösung:

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}r'\,{\frac {{\vec {\jmath }}({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}$ ⓘ

Damit folgt für die magnetische Flussdichte:

${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}r'\,\nabla \times \left({\frac {{\vec {\jmath }}({\vec {r}}')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\right)$ ⓘ

Mit Hilfe der Formeln ${\vec {\nabla }}\times (\phi {\vec {\jmath }})=\phi ({\vec {\nabla }}\times {\vec {\jmath }})-{\vec {\jmath }}\times ({\vec {\nabla }}\phi )$ für die Anwendung des Rotationsoperators $\nabla \times$ auf ein Produkt aus skalarer Funktion und Vektorfunktion sowie aus ⓘ

${\vec {\nabla }}\phi ={\vec {\nabla }}\left({\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\right)=-{\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}^{3}}}$ ⓘ

folgt das Endergebnis, wenn man berücksichtigt, dass ${\vec {\nabla }}$ im Integral nur auf die Variable ${\vec {r}}$ und nicht auf ${\vec {r}}'$ wirkt. Häufig ist es vorteilhafter, das Vektorpotential zu berechnen und daraus die magnetische Flussdichte. ⓘ

Zum selben Ergebnis kommt man, indem man die Helmholtz-Zerlegung und die Maxwellgleichungen für den statischen Fall benutzt. ⓘ

Anwendung

Kreisförmige Leiterschleife

Magnetfeld in einer Stromschleife ⓘ

Flussdichte ${\vec {B}}$ in Abhängigkeit vom Abstand $z$ entlang der Achse der Leiterschleife ⓘ

Der Betrag der magnetischen Flussdichte einer kreisförmigen, gegen den Uhrzeigersinn durchflossenen Leiterschleife kann mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes auf der Symmetrieachse senkrecht zur Leiterschleife geschlossen angegeben werden:

$B(z)={\frac {\mu _{0}}{2}}\,{\frac {R^{2}I}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}}$ ⓘ

Dabei ist $R$ der Radius der in der $xy$-Ebene liegenden Leiterschleife. Das Feld ist in ${\vec {e}}_{z}$-Richtung gerichtet. ⓘ

Durch die Substitution

$\tan \alpha ={\frac {R}{z}}$

erhält man daraus

$B\left(\alpha \right)={\frac {I\mu _{0}}{2R}}\sin ^{3}{\alpha }.$ ⓘ

Im Fall $R\ll r$ kann das Feld der Leiterschleife als Dipolfeld behandelt werden: Beispielsweise zeigt es für Punkte auf der $z$-Achse für große Abstände (große $z$) eine ${\tfrac {1}{z^{3}}}$-Abhängigkeit:

$B={\frac {\mu _{0}m}{2\pi \left|z\right|^{3}}}$ ⓘ

mit dem magnetischen (Dipol-)Moment $m=I\pi R^{2}$ (Strom × Fläche der Leiterschleife). ⓘ

Gerader Linienleiter

Zur Berechnung der Flussdichte ${\vec {B}}$ eines geraden Linienleiters der Länge $2L$ eignen sich Zylinderkoordinaten. Dabei legt man den Ursprung des Koordinatensystems mittig in den Linienleiter parallel zur $z$-Achse. Die Stromdichte des Linienleiters ist dann ${\vec {j}}({\vec {r}}')=I{\tfrac {1}{\rho '}}\delta (\rho ')\delta (\varphi ')\Theta (L-|z'|){\vec {e}}_{z}$ mit der Delta-Distribution $\delta$ und der Heaviside-Funktion $\Theta$. Dadurch vereinfacht sich das Volumenintegral des Biot-Savart-Gesetzes auf ein einfaches Integral über $z'$ und das Vektorpotential folgt zu:

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{-L}^{L}\mathrm {d} z'{\frac {{\vec {e}}_{z}}{\sqrt {\rho ^{2}+(z'-z)^{2}}}}$

Im Fall des Linienleiters ist es einfacher, zuerst die Rotation zu bilden und dann zu integrieren. Da das Vektorpotential nur eine $z$-Komponente aufweist und diese nicht von $\varphi$ abhängt, ist diese

${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}=-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}{\vec {e}}_{\varphi }={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{-L}^{L}\mathrm {d} z'\,{\frac {\rho }{{\sqrt {\rho ^{2}+(z'-z)^{2}}}^{3}}}{\vec {e}}_{\varphi }$.

Die Substitution $\tan \xi ={\tfrac {z'-z}{\rho }}$ liefert mit $\mathrm {d} z'=\rho {\tfrac {1}{\cos ^{2}\xi }}\mathrm {d} \xi$ dann

${\vec {B}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{\arctan {\frac {-L+z}{\rho }}}^{\arctan {\frac {L+z}{\rho }}}\mathrm {d} \xi {\frac {\cos \xi }{\rho }}{\vec {e}}_{\varphi }={\frac {\mu _{0}I}{4\pi \rho }}\left(\sin \arctan {\frac {L+z}{\rho }}+\sin \arctan {\frac {L-z}{\rho }}\right){\vec {e}}_{\varphi }$. ⓘ

${\vec {B}}$-Feld eines geraden Leiters ⓘ

Der Fall eines unendlich langen geraden Linienleiters ergibt sich aus dem Grenzfall des geraden Leiters mit $L\to \infty$.

${\vec {B}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}I}{2\pi \rho }}{\vec {e}}_{\varphi }$

Dabei hängt die magnetische Flussdichte nur noch vom radialen Abstand des Punktes zum Leiter ab, da aus der Translationssymmetrie die Abhängigkeit von $z$ verschwinden muss. ⓘ

Rahmenspule

Abhängigkeiten zur Berechnung der Rahmenspule ⓘ

Nach der runden Spule ist die Rahmenspule (mit $N$ Windungen) die am häufigsten verwendete Variante. Die Formel für das Magnetfeld im Zentrum kann aus der Formel für den Linienleiter abgeleitet werden, indem man die geraden Abschnitte der Spule als Linienleiter behandelt.

${\vec {B}}={\frac {\mu _{0}\,N\,I}{4\,\pi }}\,2\,\left({\frac {2\,\sin {\alpha }}{\frac {a}{2}}}+{\frac {2\,\sin {\beta }}{\frac {b}{2}}}\right)\,{\vec {\hat {x}}}$

${\vec {B}}={\frac {\mu _{0}\,N\,I}{\pi }}\,2\,\left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\,{\vec {\hat {x}}}$

mit

$\sin {\alpha }={\frac {b}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}$

$\sin {\beta }={\frac {a}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}$ ⓘ

Für das Magnetfeld auf der $x$-Achse, in großem Abstand von der Spule, ergibt sich ⓘ

$B={\frac {\mu _{0}\,N\,I\,a\,b}{2\,\pi x^{3}}},$ ⓘ

also wieder eine Abhängigkeit wie beim Dipol. Mit magnetischem Moment $m=NIab$ gilt:

$B={\frac {\mu _{0}m}{2\,\pi x^{3}}}$ ⓘ