Millennium-Probleme

Die Millennium Prize Problems sind sieben bekannte komplexe mathematische Probleme, die vom Clay Mathematics Institute im Jahr 2000 ausgewählt wurden. Das Clay Institute hat für die erste korrekte Lösung eines jeden Problems einen Preis in Höhe von 1 Million US-Dollar ausgelobt. ⓘ

Bisher wurde nur die Poincaré-Vermutung als einziges Millenniumsproblem gelöst. Das Clay Institute verlieh den Geldpreis 2010 an den russischen Mathematiker Grigori Perelman. Er lehnte die Auszeichnung jedoch ab, da sie nicht auch Richard S. Hamilton angeboten wurde, auf dessen Arbeit Perelman aufbaute. ⓘ

Die verbleibenden sechs ungelösten Probleme sind die Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung, die Hodge-Vermutung, die Existenz und Glätte von Navier-Stokes, das P-versus-NP-Problem, die Riemann-Hypothese und die Existenz und Massenlücke von Yang-Mills. ⓘ

Überblick

Das Clay Institute wurde durch eine Reihe von dreiundzwanzig Problemen inspiriert, die der Mathematiker David Hilbert im Jahr 1900 zusammengestellt hatte und die, obwohl sie keinen Geldwert hatten, den Fortschritt der Mathematik im 20. Die sieben ausgewählten Probleme erstrecken sich über mehrere mathematische Gebiete, nämlich algebraische Geometrie, arithmetische Geometrie, geometrische Topologie, mathematische Physik, Zahlentheorie, partielle Differentialgleichungen und theoretische Computerwissenschaft. Im Gegensatz zu Hilberts Problemen waren die vom Clay Institute ausgewählten Probleme unter den Berufsmathematikern bereits bekannt, und viele arbeiteten aktiv an deren Lösung. ⓘ

Grigori Perelman, der in den 1990er Jahren mit der Arbeit an der Poincaré-Vermutung begonnen hatte, veröffentlichte seinen Beweis in den Jahren 2002 und 2003. Über seine Ablehnung des Geldpreises des Clay-Instituts im Jahr 2010 wurde in den Medien ausführlich berichtet. Die anderen sechs Millenniumspreis-Probleme sind trotz zahlreicher unbefriedigender Beweise sowohl von Amateur- als auch von Berufsmathematikern nach wie vor ungelöst. ⓘ

Andrew Wiles, Mitglied des wissenschaftlichen Beirats des Clay-Instituts, hoffte, dass die Wahl des Preisgelds in Höhe von 1 Million US-Dollar sowohl die ausgewählten Probleme als auch den "Reiz mathematischer Bemühungen" bei einem breiten Publikum popularisieren würde. Ein weiteres Mitglied des Beirats, der Fields-Medaillengewinner Alain Connes, hoffte, dass die öffentliche Aufmerksamkeit für die ungelösten Probleme dazu beitragen würde, die "falsche Vorstellung" in der Öffentlichkeit zu bekämpfen, dass die Mathematik "von Computern überholt" würde. ⓘ

Einige Mathematiker haben sich kritischer geäußert. Anatoly Vershik bezeichnete den Geldpreis als "Showbusiness", das die "schlimmsten Erscheinungsformen der heutigen Massenkultur" repräsentiere, und meinte, dass es sinnvollere Möglichkeiten gebe, in die öffentliche Wertschätzung der Mathematik zu investieren. Die oberflächliche Medienberichterstattung über Perelman und seine Arbeit, bei der dem Preis selbst unverhältnismäßig viel Aufmerksamkeit gewidmet wird, kam für ihn nicht überraschend. Im Gegensatz dazu lobte Vershik die direkte Finanzierung von Forschungskonferenzen und jungen Forschern durch das Clay Institute. Vershiks Äußerungen wurden später vom Fields-Medaillengewinner Shing-Tung Yau aufgegriffen, der sich zusätzlich kritisch zu der Idee äußerte, dass eine Stiftung Maßnahmen ergreift, um sich grundlegende mathematische Fragen "anzueignen" und "ihren Namen daran zu hängen". ⓘ

Gelöstes Problem

Poincaré-Vermutung

In der geometrischen Topologie zeichnet sich eine zweidimensionale Kugel dadurch aus, dass sie die einzige geschlossene und einfach zusammenhängende zweidimensionale Fläche ist. Im Jahr 1904 stellte Henri Poincaré die Frage, ob eine analoge Aussage auch für dreidimensionale Formen gilt. Dies wurde als Poincaré-Vermutung bekannt, deren genaue Formulierung lautet:

Jede dreidimensionale topologische Mannigfaltigkeit, die geschlossen und einfach verbunden ist, muss homöomorph zur 3-Sphäre sein.

Obwohl die Vermutung gewöhnlich in dieser Form formuliert wird, ist es gleichwertig (wie in den 1950er Jahren entdeckt wurde), sie im Zusammenhang mit glatten Mannigfaltigkeiten und Diffeomorphismen zu stellen. ⓘ

Ein Beweis dieser Vermutung, zusammen mit der mächtigeren Geometrisierungsvermutung, wurde von Grigori Perelman in den Jahren 2002 und 2003 gegeben. Perelmans Lösung vervollständigte Richard Hamiltons Programm zur Lösung der Geometrisierungsvermutung, das er im Laufe der letzten zwanzig Jahre entwickelt hatte. Die Arbeit von Hamilton und Perelman drehte sich um Hamiltons Ricci-Fluss, ein kompliziertes System partieller Differentialgleichungen, das im Bereich der Riemannschen Geometrie definiert ist. ⓘ

Für seine Beiträge zur Theorie des Ricci-Flusses wurde Perelman im Jahr 2006 mit der Fields-Medaille ausgezeichnet. Er lehnte es jedoch ab, den Preis anzunehmen. Für seinen Beweis der Poincaré-Vermutung wurde Perelman am 18. März 2010 mit dem Millenniumspreis ausgezeichnet, doch lehnte er die Auszeichnung und das damit verbundene Preisgeld ab. Die Nachrichtenagentur Interfax zitierte Perelman mit den Worten, er halte den Preis für ungerecht, da er seinen Beitrag zur Lösung der Poincaré-Vermutung nicht für größer halte als den von Hamilton. ⓘ

Ungelöste Probleme

Birch und Swinnerton-Dyer-Vermutung

Die Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung befasst sich mit bestimmten Arten von Gleichungen, die elliptische Kurven über den rationalen Zahlen definieren. Die Vermutung besagt, dass es einen einfachen Weg gibt, um festzustellen, ob solche Gleichungen eine endliche oder unendliche Anzahl von rationalen Lösungen haben. Hilberts zehntes Problem befasste sich mit einer allgemeineren Art von Gleichungen, und in diesem Fall wurde bewiesen, dass es keine Möglichkeit gibt, zu entscheiden, ob eine gegebene Gleichung überhaupt Lösungen hat. ⓘ

Die offizielle Erklärung des Problems wurde von Andrew Wiles gegeben. ⓘ

Hodge-Vermutung

Die Hodge-Vermutung besagt, dass für projektive algebraische Varietäten Hodge-Zyklen rationale Linearkombinationen von algebraischen Zyklen sind. ⓘ

$\operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).$ ⓘ

Wir nennen dies die Gruppe der Hodge-Klassen vom Grad 2k auf X. ⓘ

Die moderne Aussage der Hodge-Vermutung lautet:

X sei eine nicht-singuläre komplexe projektive Mannigfaltigkeit. Dann ist jede Hodge-Klasse auf X eine Linearkombination mit rationalen Koeffizienten der Kohomologieklassen komplexer Untervarietäten von X. ⓘ

Die offizielle Erklärung des Problems wurde von Pierre Deligne gegeben. ⓘ

Navier-Stokes-Existenz und Glattheit

$\overbrace {\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Variation}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convection}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}\overbrace {-\underbrace {\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}=\underbrace {-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.$ ⓘ

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung von Flüssigkeiten und sind eine der Säulen der Strömungsmechanik. Das theoretische Verständnis ihrer Lösungen ist jedoch unvollständig, trotz ihrer Bedeutung für Wissenschaft und Technik. Für das dreidimensionale Gleichungssystem haben die Mathematiker noch nicht bewiesen, dass bei bestimmten Anfangsbedingungen immer glatte Lösungen existieren. Dies wird als das Navier-Stokes-Existenz- und Glättungsproblem bezeichnet. ⓘ

Das auf den Fall einer inkompressiblen Flüssigkeit beschränkte Problem besteht darin, entweder zu beweisen, dass glatte, global definierte Lösungen existieren, die bestimmte Bedingungen erfüllen, oder dass sie nicht immer existieren und die Gleichungen zusammenbrechen. Die offizielle Erklärung des Problems wurde von Charles Fefferman gegeben. ⓘ

P gegen NP

Euler-Diagramm für P, NP, NP-komplette und NP-harte Problemmengen (mit Ausnahme der leeren Sprache und ihres Komplements, die zu P gehören, aber nicht NP-komplett sind) ⓘ

Die Frage ist, ob für alle Probleme, für die ein Algorithmus eine gegebene Lösung schnell (d. h. in polynomieller Zeit) verifizieren kann, ein Algorithmus diese Lösung auch schnell finden kann oder nicht. Da Ersteres die Klasse der NP-Probleme beschreibt, während Letzteres P beschreibt, ist die Frage gleichbedeutend mit der Frage, ob alle Probleme in NP auch in P sind. Dies wird allgemein als eine der wichtigsten offenen Fragen in der Mathematik und der theoretischen Informatik angesehen, da sie weitreichende Konsequenzen für andere Probleme in der Mathematik, in der Biologie, der Philosophie und der Kryptographie hat (siehe Konsequenzen von P- versus NP-Problemen). Ein bekanntes Beispiel für ein NP-Problem, von dem man nicht weiß, ob es zu P gehört, ist das Boolesche Erfüllbarkeitsproblem. ⓘ

Die meisten Mathematiker und Informatiker gehen davon aus, dass P ≠ NP ist; es bleibt jedoch unbewiesen. ⓘ

Die offizielle Erklärung des Problems wurde von Stephen Cook gegeben. ⓘ

Riemann-Hypothese

Der Realteil (rot) und der Imaginärteil (blau) der Riemannschen Zeta-Funktion entlang der kritischen Linie Re(s) = 1/2. Die ersten nicht-trivialen Nullstellen sind bei Im(s) = ±14,135, ±21,022 und ±25,011 zu sehen. ⓘ

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots$

Die Riemann-Zeta-Funktion ζ(s) ist eine Funktion, deren Argument s eine beliebige komplexe Zahl außer 1 sein kann und deren Werte ebenfalls komplex sind. Ihre analytische Fortsetzung hat Nullstellen bei den negativen geraden Zahlen, d. h. ζ(s) = 0, wenn s eine der Zahlen -2, -4, -6, .... ist. Diese werden als triviale Nullstellen bezeichnet. Die negativen geraden Zahlen sind jedoch nicht die einzigen Werte, für die die Zeta-Funktion Null ist. Die anderen werden als nicht-triviale Nullstellen bezeichnet. Die Riemannsche Hypothese befasst sich mit der Lage dieser nichttrivialen Nullstellen und besagt Folgendes:

Der Realteil jeder nicht-trivialen Nullstelle der Riemannschen Zeta-Funktion ist 1/2. ⓘ

Die Riemannsche Hypothese besagt, dass alle nichttrivialen Nullstellen der analytischen Fortsetzung der Riemannschen Zetafunktion einen Realteil von ¹/₂ haben. Ein Nachweis oder eine Widerlegung dieser Hypothese hätte weitreichende Auswirkungen auf die Zahlentheorie, insbesondere auf die Verteilung der Primzahlen. Dies war Hilberts achtes Problem, das auch ein Jahrhundert später noch als wichtiges offenes Problem gilt. ⓘ

Das Problem ist bekannt, seit es ursprünglich von Bernhard Riemann im Jahr 1860 gestellt wurde. Enrico Bombieri hat das Problem am Clay Institute dargelegt. ⓘ

Yang-Mills Existenz und Massenlücke

In der Quantenfeldtheorie ist die Massenlücke der Energieunterschied zwischen dem Vakuum und dem nächst niedrigeren Energiezustand. Die Energie des Vakuums ist per Definition gleich Null, und wenn man davon ausgeht, dass alle Energiezustände als Teilchen in ebenen Wellen betrachtet werden können, ist die Massenlücke die Masse des leichtesten Teilchens. ⓘ

Für ein gegebenes reelles Feld $\phi (x)$kann man sagen, dass die Theorie eine Masselücke hat, wenn die Zweipunktfunktion die Eigenschaft hat ⓘ

$\langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)$ ⓘ

mit $\Delta _{0}>0$ den niedrigsten Energiewert im Spektrum des Hamiltonianers und damit die Massenlücke darstellt. Diese Größe, die sich leicht auf andere Felder verallgemeinern lässt, wird im Allgemeinen bei Gitterberechnungen gemessen. ⓘ

Die Yang-Mills-Quantentheorie bildet derzeit die Grundlage für die meisten theoretischen Anwendungen des Denkens über die Realität und die potenziellen Realitäten der Elementarteilchenphysik. Die Theorie ist eine Verallgemeinerung der Maxwell-Theorie des Elektromagnetismus, bei der das chromo-elektromagnetische Feld selbst eine Ladung trägt. Als klassische Feldtheorie hat sie Lösungen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, so dass ihre Quantenversion masselose Teilchen (Gluonen) beschreiben sollte. Das postulierte Phänomen des Farbeinschlusses erlaubt jedoch nur gebundene Zustände von Gluonen, die massive Teilchen bilden. Dies ist die Masselücke. Ein weiterer Aspekt des Confinement ist die asymptotische Freiheit, die es denkbar macht, dass die Quanten-Yang-Mills-Theorie ohne Beschränkung auf niedrige Energieskalen existiert. Das Problem besteht darin, die Existenz der Quanten-Yang-Mills-Theorie und einer Massenlücke rigoros nachzuweisen. ⓘ

Beweisen Sie, dass für jede kompakte einfache Eichgruppe G eine nichttriviale Quanten-Yang-Mills-Theorie existiert auf $\mathbb {R} ^{4}$ existiert und eine Massenlücke Δ > 0 hat. Die Existenz beinhaltet die Feststellung axiomatischer Eigenschaften, die mindestens so stark sind wie die in Streater & Wightman (1964), Osterwalder & Schrader (1973) und Osterwalder & Schrader (1975) genannten. ⓘ

Die offizielle Erklärung des Problems wurde von Arthur Jaffe und Edward Witten abgegeben. ⓘ