Logik

Die Logik ist die Lehre vom richtigen Denken oder von guten Argumenten. Sie wird oft in einem engeren Sinne als die Wissenschaft der deduktiv gültigen Schlüsse oder der logischen Wahrheiten definiert. In diesem Sinne ist sie gleichbedeutend mit formaler Logik und stellt eine formale Wissenschaft dar, die untersucht, wie Schlussfolgerungen aus Prämissen auf themenneutrale Weise folgen oder welche Sätze nur aufgrund des in ihnen enthaltenen logischen Vokabulars wahr sind. Als zählbares Substantiv bezeichnet der Begriff "eine Logik" ein logisches formales System. Die formale Logik steht im Gegensatz zur informellen Logik, die im weitesten Sinne ebenfalls zur Logik gehört. Es besteht keine allgemeine Einigkeit darüber, wie die beiden zu unterscheiden sind. Ein prominenter Ansatz verbindet ihren Unterschied mit der Untersuchung von Argumenten, die in formalen oder informellen Sprachen ausgedrückt werden. Ein anderer Ansatz charakterisiert die informelle Logik als die Untersuchung von Amplifikationsschlüssen, im Gegensatz zu den deduktiven Schlüssen, die von der formalen Logik untersucht werden. Es ist aber auch üblich, ihre Unterscheidung mit der Unterscheidung zwischen formalen und informellen Irrtümern zu verbinden. ⓘ

Die Logik stützt sich auf verschiedene Grundbegriffe. Sie befasst sich mit Argumenten, die sich aus einer Reihe von Prämissen und einer Schlussfolgerung zusammensetzen. Prämissen und Schlussfolgerungen werden in der Regel entweder als Sätze oder als Propositionen verstanden und sind durch ihre innere Struktur gekennzeichnet. Komplexe Sätze bestehen aus anderen Sätzen, die durch propositionale Konnektive miteinander verbunden sind. Einfache Sätze haben untergeordnete Satzteile, wie Singularbegriffe und Prädikate. In beiden Fällen hängt die Wahrheit eines Satzes in der Regel von den Bezeichnungen seiner Bestandteile ab. Logisch wahre Sätze stellen einen Sonderfall dar, da ihr Wahrheitsgehalt nur von dem in ihnen verwendeten logischen Vokabular abhängt. ⓘ

Die Argumente oder Schlussfolgerungen, die sich aus diesen Sätzen ergeben, können entweder richtig oder falsch sein. Ein Argument ist richtig, wenn seine Prämissen die Schlussfolgerung unterstützen. Die stärkste Form der Unterstützung findet sich bei deduktiven Argumenten: Es ist unmöglich, dass ihre Prämissen wahr und ihre Schlussfolgerung falsch sind. Dies ist der Fall, wenn sie einer Folgerungsregel folgen, die die Wahrheit der Schlussfolgerung sicherstellt, wenn die Prämissen wahr sind. Dies hat zur Folge, dass deduktive Argumente zu keiner inhaltlich neuen Information führen können, die nicht bereits in ihren Prämissen enthalten ist. In dieser Hinsicht unterscheiden sie sich von amplifizierenden Argumenten, die wirklich neue Informationen liefern können. Dies hat einen großen Nachteil: Es ist möglich, dass alle Prämissen wahr sind, während die Schlussfolgerung falsch ist. Viele Argumente, die man im alltäglichen Sprachgebrauch und in den Wissenschaften findet, sind Amplifikationsargumente. Sie werden manchmal in induktive und abduktive Argumente unterteilt. Induktive Argumente haben in der Regel die Form von statistischen Verallgemeinerungen, während abduktive Argumente Rückschlüsse auf die beste Erklärung sind. Argumente, die nicht den Standards einer korrekten Argumentation entsprechen, werden als Irrtümer bezeichnet. Bei formalen Irrtümern ist die Fehlerquelle in der Form des Arguments zu finden, während informelle Irrtümer in der Regel Fehler auf der Ebene des Inhalts oder des Kontexts enthalten. Neben den definitorischen Regeln der Logik, die bestimmen, ob ein Argument korrekt ist oder nicht, gibt es auch strategische Regeln, die beschreiben, wie eine Kette von korrekten Argumenten verwendet werden kann, um zu der beabsichtigten Schlussfolgerung zu gelangen. In der formalen Logik werden oft formale Systeme verwendet, um eine genaue Definition des korrekten Argumentierens unter Verwendung einer formalen Sprache zu geben. ⓘ

Logische Systeme sind theoretische Rahmen für die Bewertung der Korrektheit von Argumenten und Schlussfolgerungen. Die aristotelische Logik konzentriert sich auf die Argumentation in Form von Syllogismen. Ihre traditionelle Dominanz wurde in der Neuzeit von der klassischen Logik abgelöst. Die klassische Logik ist "klassisch" in dem Sinne, dass sie auf verschiedenen grundlegenden logischen Intuitionen beruht, die von den meisten Logikern geteilt werden. Sie besteht aus der Aussagenlogik und der Logik erster Ordnung. Die Aussagenlogik ignoriert die innere Struktur einfacher Sätze und berücksichtigt nur die logischen Beziehungen auf der Ebene der Sätze. Die Logik erster Ordnung hingegen artikuliert diese innere Struktur mit Hilfe verschiedener sprachlicher Mittel, wie Prädikaten und Quantoren. Die erweiterte Logik übernimmt die grundlegenden Intuitionen der klassischen Logik und erweitert sie auf andere Bereiche wie Metaphysik, Ethik und Erkenntnistheorie. Dies geschieht in der Regel durch die Einführung neuer logischer Symbole, wie z. B. Modaloperatoren. Abweichende Logiken hingegen lehnen bestimmte klassische Intuitionen ab und bieten alternative Erklärungen für die grundlegenden Gesetze der Logik. Während die meisten Logiksysteme zur formalen Logik gehören, sind auch einige Systeme der informellen Logik vorgeschlagen worden. Ein prominenter Ansatz versteht das Argumentieren als dialogisches Überzeugungsspiel, während ein anderer sich auf die epistemische Rolle von Argumenten konzentriert. Die Logik wird in verschiedenen Bereichen wie Philosophie, Mathematik, Informatik und Linguistik untersucht und angewendet. Die Logik wird seit der Antike erforscht. Zu den frühen Ansätzen gehören die aristotelische Logik, die stoische Logik, Anviksiki und die Mohisten. Die moderne formale Logik hat ihre Wurzeln in der Arbeit von Mathematikern des späten 19. Jahrhunderts wie Gottlob Frege. ⓘ

Die beiden Hunde veritas und falsitas jagen den Hasen problema, die Logik eilt mit dem Schwert syllogismus bewaffnet hinterher. Links unten Parmenides, mit dem die logische Argumentation Einzug in die Philosophie hielt, in einer Höhle. ⓘ

Definition

Das Wort "Logik" stammt vom griechischen Wort "logos" ab, für das es eine Reihe von Übersetzungen gibt, z. B. "Vernunft", "Diskurs" oder "Sprache". Die Logik wird traditionell als die Lehre von den Gesetzen des Denkens oder des richtigen Schlussfolgerns definiert. Dies wird in der Regel im Sinne von Schlussfolgerungen oder Argumenten verstanden: Argumentieren kann als die Tätigkeit des Ziehens von Schlussfolgerungen betrachtet werden, die in Argumenten zum Ausdruck kommen. Eine Schlussfolgerung oder ein Argument ist eine Reihe von Prämissen zusammen mit einer Schlussfolgerung. Die Logik interessiert sich dafür, ob Argumente gut oder Schlussfolgerungen gültig sind, d. h. ob die Prämissen ihre Schlussfolgerungen stützen. ⓘ

Diese allgemeinen Charakterisierungen gelten für die Logik im weitesten Sinne, da sie sowohl auf die formale als auch auf die informelle Logik zutreffen. Viele Definitionen der Logik konzentrieren sich jedoch auf die formale Logik, weil sie die paradigmatische Form der Logik ist. In diesem engeren Sinne ist die Logik eine formale Wissenschaft, die untersucht, wie Schlussfolgerungen aus Prämissen in einer themenneutralen Weise folgen. Als formale Wissenschaft steht sie im Gegensatz zu empirischen Wissenschaften wie der Physik oder der Biologie, weil sie versucht, die Schlussfolgerungsbeziehungen zwischen Prämissen und Schlussfolgerungen nur aufgrund ihrer Struktur zu charakterisieren. Das bedeutet, dass der tatsächliche Inhalt dieser Sätze, d. h. ihr spezifisches Thema, für die Gültigkeit der Schlussfolgerung nicht von Bedeutung ist. Dies lässt sich durch die Unterscheidung zwischen logischem und nicht-logischem Vokabular ausdrücken: Schlussfolgerungen sind aufgrund der in ihnen verwendeten logischen Begriffe gültig, unabhängig von den Bedeutungen der nicht-logischen Begriffe. Gültige Schlussfolgerungen zeichnen sich dadurch aus, dass die Wahrheit ihrer Prämissen die Wahrheit ihrer Schlussfolgerung gewährleistet. Das bedeutet, dass es unmöglich ist, dass die Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch ist. Die allgemeinen logischen Strukturen, die gültige Schlussfolgerungen charakterisieren, werden als Schlussfolgerungsregeln bezeichnet. In diesem Sinne wird die Logik häufig als die Lehre von den gültigen Schlussfolgerungen definiert. Dies steht im Gegensatz zu einer anderen bekannten Charakterisierung der Logik als Wissenschaft der logischen Wahrheiten. Ein Satz ist logisch wahr, wenn seine Wahrheit nur von dem in ihm verwendeten logischen Vokabular abhängt. Das bedeutet, dass er in allen möglichen Welten und unter allen Interpretationen seiner nicht-logischen Begriffe wahr ist. Diese beiden Charakterisierungen der Logik sind eng miteinander verbunden: Eine Schlussfolgerung ist gültig, wenn die materielle Bedingung von ihren Prämissen zu ihrer Schlussfolgerung logisch wahr ist. ⓘ

Der Begriff "Logik" kann auch in einem etwas anderen Sinne als zählbares Substantiv verwendet werden. In diesem Sinne ist eine Logik ein logisches formales System. Die verschiedenen Logiken unterscheiden sich voneinander durch die formalen Sprachen, mit denen sie ausgedrückt werden, und vor allem durch die Schlußfolgerungsregeln, die sie als gültig anerkennen. Seit dem 20. Jahrhundert sind viele neue formale Systeme vorgeschlagen worden. Es gibt eine anhaltende Debatte darüber, welche dieser Systeme als Logik im engeren Sinne und welche als nicht-logische formale Systeme betrachtet werden sollten. Zu den vorgeschlagenen Kriterien für diese Unterscheidung gehören die logische Vollständigkeit und die Nähe zu den Intuitionen, die der klassischen Logik zugrunde liegen. Anhand dieser Kriterien wurde beispielsweise argumentiert, dass Logiken höherer Ordnung und Fuzzy-Logik nicht als Logiken im engeren Sinne betrachtet werden sollten. ⓘ

Formale und informelle Logik

Im weitesten Sinne umfasst die Logik sowohl die formale als auch die informelle Logik. Die formale Logik ist das traditionell dominierende Gebiet. Verschiedene Probleme bei der Anwendung ihrer Erkenntnisse auf konkrete Alltagsargumente haben zu modernen Entwicklungen der informellen Logik geführt. Sie betonen oft ihre Bedeutung für verschiedene praktische Zwecke, die die formale Logik allein nicht erfüllen kann. Beiden ist gemeinsam, dass sie darauf abzielen, Kriterien für die Bewertung der Korrektheit von Argumenten und deren Unterscheidung von Irrtümern bereitzustellen. Es sind verschiedene Vorschläge gemacht worden, wie die Unterscheidung zwischen den beiden getroffen werden kann, aber es gibt keine allgemein akzeptierte Antwort. Diese Schwierigkeiten fallen häufig mit den großen Meinungsverschiedenheiten darüber zusammen, wie die informelle Logik zu definieren ist. ⓘ

Der wörtlichste Ansatz geht davon aus, dass sich die Begriffe "formal" und "informell" auf die Sprache beziehen, die zum Ausdruck von Argumenten verwendet wird. Nach dieser Auffassung untersucht die formale Logik Argumente, die in formalen Sprachen ausgedrückt werden, während die informelle Logik Argumente untersucht, die in informellen oder natürlichen Sprachen ausgedrückt werden. Das bedeutet, dass die Schlussfolgerung aus den Formeln "$P$" und "$Q$" zu der Schlussfolgerung "$P\land Q$" wird von der formalen Logik untersucht, während die Schlussfolgerung aus den englischen Sätzen "Al lit a cigarette" und "Bill stormed out of the room" zu dem Satz "Al lit a cigarette and Bill stormed out of the room" zur informellen Logik gehört. Formale Sprachen zeichnen sich durch ihre Präzision und Einfachheit aus. Sie enthalten in der Regel ein sehr begrenztes Vokabular und genaue Regeln dafür, wie ihre Symbole zur Konstruktion von Sätzen verwendet werden können, die gewöhnlich als wohlgeformte Formeln bezeichnet werden. Diese Einfachheit und Exaktheit ermöglichen es der formalen Logik wiederum, präzise Schlussfolgerungsregeln zu formulieren, die bestimmen, ob ein bestimmtes Argument gültig ist. Dieser Ansatz bringt es mit sich, dass Argumente aus der natürlichen Sprache in die formale Sprache übersetzt werden müssen, bevor ihre Gültigkeit beurteilt werden kann, ein Verfahren, das verschiedene Probleme mit sich bringt. Die informelle Logik umgeht einige dieser Probleme, indem sie Argumente in natürlicher Sprache in ihrer ursprünglichen Form analysiert, ohne sie übersetzen zu müssen. Sie ist jedoch mit eigenen Problemen konfrontiert, die mit der Mehrdeutigkeit, Unbestimmtheit und Kontextabhängigkeit natürlichsprachlicher Ausdrücke zusammenhängen. Ein eng verwandter Ansatz wendet die Begriffe "formal" und "informell" nicht nur auf die verwendete Sprache an, sondern allgemeiner auf die Standards, Kriterien und Verfahren der Argumentation. ⓘ

Ein anderer Ansatz unterscheidet nach den verschiedenen Arten von Schlussfolgerungen, die analysiert werden. Diese Perspektive versteht die formale Logik als das Studium der deduktiven Schlussfolgerungen im Gegensatz zur informellen Logik als das Studium der nicht-deduktiven Schlussfolgerungen, wie induktive oder abduktive Schlussfolgerungen. Das Merkmal deduktiver Schlussfolgerungen ist, dass die Wahrheit ihrer Prämissen die Wahrheit ihrer Schlussfolgerung gewährleistet. Das bedeutet, dass, wenn alle Prämissen wahr sind, die Schlussfolgerung unmöglich falsch sein kann. Aus diesem Grund sind deduktive Schlussfolgerungen in gewisser Weise trivial oder uninteressant, da sie dem Denker keine neuen Informationen liefern, die nicht bereits in den Prämissen enthalten sind. Nicht-deduktive Schlussfolgerungen hingegen sind ampliativ: Sie helfen dem Denker, etwas zu lernen, was über das hinausgeht, was bereits in den Prämissen steht. Sie erreichen dies auf Kosten der Gewissheit: Selbst wenn alle Prämissen wahr sind, kann die Schlussfolgerung eines ampliativen Arguments falsch sein. ⓘ

Ein weiterer Ansatz versucht, den Unterschied zwischen formaler und informeller Logik mit der Unterscheidung zwischen formalen und informellen Irrtümern zu verbinden. Diese Unterscheidung wird häufig in Bezug auf die Form, den Inhalt und den Kontext von Argumenten getroffen. Bei formalen Irrtümern wird der Fehler auf der Ebene der Form des Arguments gefunden, während bei informellen Irrtümern der Inhalt und der Kontext des Arguments verantwortlich sind. Dies hängt damit zusammen, dass die formale Logik vom Inhalt des Arguments abstrahiert und nur an seiner Form interessiert ist, insbesondere daran, ob es einer gültigen Schlussregel folgt. Es geht auch um die Vorstellung, dass es für die Gültigkeit eines formalen Arguments nicht wichtig ist, ob seine Prämissen wahr oder falsch sind. Die informelle Logik hingegen berücksichtigt auch den Inhalt und den Kontext eines Arguments. Ein falsches Dilemma beinhaltet beispielsweise einen inhaltlichen Fehler, indem realisierbare Optionen ausgeschlossen werden, wie in "Du bist entweder für uns oder gegen uns; du bist nicht für uns, also bist du gegen uns". Beim Strohmanntrugschluss hingegen liegt der Fehler auf der Kontextebene: Eine schwache Position wird zunächst beschrieben und dann besiegt, obwohl der Gegner diese Position nicht vertritt. In einem anderen Kontext, gegen einen Gegner, der die Strohmannposition tatsächlich verteidigt, ist das Argument jedoch korrekt. ⓘ

In anderen Darstellungen wird die Unterscheidung auf der Grundlage der Untersuchung allgemeiner Formen von Argumenten im Gegensatz zu besonderen Fällen, der Untersuchung logischer Konstanten anstelle inhaltlicher Konzepte, der Erörterung logischer Themen mit oder ohne formale Hilfsmittel oder der Rolle der Erkenntnistheorie bei der Bewertung von Argumenten getroffen. ⓘ

Grundlegende Begriffe

Prämissen, Schlussfolgerungen und Wahrheit

Prämissen und Schlussfolgerungen

Prämissen und Schlussfolgerungen sind die grundlegenden Bestandteile von Schlussfolgerungen oder Argumenten und spielen daher eine zentrale Rolle in der Logik. Im Falle einer gültigen Schlussfolgerung oder eines korrekten Arguments folgt die Schlussfolgerung aus den Prämissen oder die Prämissen unterstützen die Schlussfolgerung. Zum Beispiel unterstützen die Prämissen "Der Mars ist rot" und "Der Mars ist ein Planet" die Schlussfolgerung "Der Mars ist ein roter Planet". Es ist allgemein anerkannt, dass Prämissen und Schlussfolgerungen Wahrheitsträger sein müssen. Das bedeutet, dass sie einen Wahrheitswert haben, dass sie entweder wahr oder falsch sind. In der zeitgenössischen Philosophie werden sie daher im Allgemeinen entweder als Propositionen oder als Sätze betrachtet. Propositionen sind die Bezeichnungen von Sätzen und werden gewöhnlich als abstrakte Objekte verstanden. ⓘ

Propositionale Theorien über Prämissen und Schlussfolgerungen werden oft kritisiert, weil es schwierig ist, die Identitätskriterien abstrakter Objekte zu spezifizieren, oder wegen naturalistischer Überlegungen. Diese Einwände werden umgangen, indem Prämissen und Schlussfolgerungen nicht als Propositionen, sondern als Sätze betrachtet werden, d. h. als konkrete sprachliche Objekte wie die Symbole auf dem Bildschirm des Lesers. Dieser Ansatz bringt jedoch neue Probleme mit sich: Sätze sind oft kontextabhängig und mehrdeutig, was bedeutet, dass die Gültigkeit eines Arguments nicht nur von seinen Bestandteilen, sondern auch von seinem Kontext und seiner Interpretation abhängt. ⓘ

In früheren Arbeiten wurden Prämissen und Schlussfolgerungen in psychologischer Hinsicht als Gedanken oder Urteile verstanden, ein Ansatz, der als "Psychologismus" bekannt ist. Dieser Ansatz wurde um die Wende zum 20. Jahrhundert heftig kritisiert. ⓘ

Interne Struktur

Ein zentraler Aspekt von Prämissen und Konklusionen für die Logik, unabhängig davon, wie ihre Natur aufgefasst wird, betrifft ihre innere Struktur. Als Propositionen oder Sätze können sie entweder einfach oder komplex sein. Ein komplexer Satz besteht aus anderen Sätzen, die durch propositionale Konnektive wie "und" oder "wenn-dann" miteinander verbunden sind. Einfache Sätze hingegen haben keine Satzteile. Man kann sie aber auch so verstehen, dass sie eine innere Struktur haben: Sie setzen sich aus Teilaussagen zusammen, wie z. B. Singularbegriffe und Prädikate. Zum Beispiel kann der einfache Satz "Der Mars ist rot" gebildet werden, indem man das Prädikat "rot" auf den singulären Begriff "Mars" anwendet. Im Gegensatz dazu besteht der komplexe Satz "Mars ist rot und Venus ist weiß" aus zwei einfachen Sätzen, die durch den Satzkonnektiv "und" verbunden sind. ⓘ

Ob ein Satz wahr ist, hängt zumindest zum Teil von seinen Bestandteilen ab. Bei komplexen Sätzen, die mit wahrheitsfunktionalen propositionalen Konnektiven gebildet werden, hängt ihr Wahrheitsgehalt nur von den Wahrheitswerten ihrer Teile ab. Bei einfachen Sätzen und ihren Teilaussagen ist diese Beziehung jedoch komplizierter. Diese Teilsätze haben eine eigene Bedeutung, z. B. als Verweis auf Gegenstände oder Klassen von Gegenständen. Ob der einfache Satz, den sie bilden, wahr ist, hängt von ihrem Bezug zur Realität ab, d. h. davon, wie die Objekte, auf die sie sich beziehen, beschaffen sind. Dieses Thema wird in Referenztheorien untersucht. ⓘ

Logische Wahrheit

In manchen Fällen ist ein einfacher oder komplexer Satz unabhängig von der inhaltlichen Bedeutung seiner Teile wahr. Zum Beispiel ist der komplexe Satz "Wenn der Mars rot ist, dann ist der Mars rot" wahr, unabhängig davon, ob seine Teile, d. h. der einfache Satz "Der Mars ist rot", wahr oder falsch sind. In solchen Fällen wird die Wahrheit als logische Wahrheit bezeichnet: Ein Satz ist logisch wahr, wenn seine Wahrheit nur von dem in ihm verwendeten logischen Vokabular abhängt. Das bedeutet, dass er unter allen Interpretationen seiner nicht-logischen Begriffe wahr ist. In einigen Modallogiken kann dieser Begriff gleichbedeutend mit Wahrheit in allen möglichen Welten verstanden werden. Die logische Wahrheit spielt in der Logik eine wichtige Rolle, und einige Theoretiker definieren die Logik sogar als das Studium der logischen Wahrheiten. ⓘ

Argumente und Schlussfolgerungen

Die Logik wird üblicherweise in Bezug auf Argumente oder Schlussfolgerungen als die Untersuchung ihrer Korrektheit definiert. Ein Argument ist eine Reihe von Prämissen zusammen mit einer Schlussfolgerung. Eine Schlussfolgerung ist der Prozess des Schlussfolgerns von diesen Prämissen zur Schlussfolgerung. In der Logik werden diese Begriffe jedoch häufig synonym verwendet. Manchmal wird zwischen einfachen und komplexen Argumenten unterschieden. Ein komplexes Argument besteht aus einer Kette von einfachen Argumenten. Diese einfachen Argumente bilden eine Kette, weil die Schlussfolgerungen der früheren Argumente als Prämissen in den späteren Argumenten verwendet werden. Damit ein komplexes Argument erfolgreich ist, muss jedes Glied der Kette erfolgreich sein. ⓘ

In der Logik verwendete Argumentationsterminologie ⓘ

Ein zentraler Aspekt von Argumenten und Schlussfolgerungen ist, dass sie richtig oder falsch sind. Wenn sie richtig sind, unterstützen die Prämissen die Schlussfolgerung. Im falschen Fall fehlt diese Unterstützung. Sie kann in verschiedenen Formen auftreten, die den verschiedenen Arten der Argumentation entsprechen. Die stärkste Form der Unterstützung entspricht der deduktiven Argumentation. Aber auch Argumente, die nicht deduktiv gültig sind, können immer noch gute Argumente sein, weil ihre Prämissen eine nicht-deduktive Unterstützung für ihre Schlussfolgerungen bieten. In solchen Fällen spricht man von ampliativem oder induktivem Schließen. Deduktive Argumente werden mit der formalen Logik in Verbindung gebracht, im Gegensatz zu der Beziehung zwischen ampliativen Argumenten und der informellen Logik. ⓘ

Deduktiv

Ein deduktiv gültiges Argument ist eines, dessen Prämissen die Wahrheit der Schlussfolgerung garantieren. Zum Beispiel ist das Argument "Victoria ist groß; Victoria hat braunes Haar; also ist Victoria groß und hat braunes Haar" deduktiv gültig. Alfred Tarski vertritt die Auffassung, dass deduktive Argumente drei wesentliche Merkmale aufweisen: (1) sie sind formal, d.h. sie hängen nur von der Form der Prämissen und der Konklusion ab; (2) sie sind a priori, d.h. es ist keine Sinneserfahrung nötig, um festzustellen, ob sie zutreffen; (3) sie sind modal, d.h. sie gelten durch logische Notwendigkeit für die gegebenen Sätze, unabhängig von allen anderen Umständen. ⓘ

Wegen des ersten Merkmals, der Betonung der Formalität, wird die deduktive Schlussfolgerung gewöhnlich mit Schlussfolgerungsregeln gleichgesetzt. Schlussfolgerungsregeln legen fest, wie die Prämissen und die Schlussfolgerung aufgebaut sein müssen, damit die Schlussfolgerung gültig ist. Argumente, die keiner Inferenzregel folgen, sind deduktiv ungültig. Der modus ponens ist eine bekannte Schlussregel. Er hat die Form "wenn A, dann B; A; also B". ⓘ

Das dritte Merkmal lässt sich dadurch ausdrücken, dass deduktiv gültige Schlussfolgerungen wahrheitserhaltend sind: Es ist unmöglich, dass die Prämissen wahr und die Schlussfolgerung falsch sind. Aufgrund dieser Eigenschaft wird oft behauptet, dass deduktive Schlussfolgerungen nicht informativ sind, da die Schlussfolgerung nicht zu neuen Informationen führen kann, die nicht bereits in den Prämissen enthalten sind. Dieser Punkt wird jedoch nicht immer akzeptiert, da dies beispielsweise bedeuten würde, dass der größte Teil der Mathematik nicht informativ ist. Eine andere Charakterisierung unterscheidet zwischen Oberflächen- und Tiefeninformation. Nach dieser Auffassung sind deduktive Schlussfolgerungen auf der Tiefenebene nicht informativ, können aber auf der Oberflächenebene sehr informativ sein, wie dies bei verschiedenen mathematischen Beweisen der Fall sein kann. ⓘ

Ampliative

Ampliative Schlussfolgerungen hingegen sind sogar auf der Tiefenebene informativ. Sie sind in diesem Sinne interessanter, da der Denker aus ihnen substanzielle Informationen gewinnen und dadurch etwas wirklich Neues lernen kann. Diese Eigenschaft ist jedoch mit einem gewissen Preis verbunden: Die Prämissen unterstützen die Schlussfolgerung in dem Sinne, dass sie ihre Wahrheit wahrscheinlicher machen, aber sie garantieren nicht ihre Wahrheit. Das bedeutet, dass die Schlussfolgerung eines Ampliativarguments falsch sein kann, auch wenn alle Prämissen wahr sind. Diese Eigenschaft steht in engem Zusammenhang mit der Nichtmonotonie und der Anfechtbarkeit: Es kann notwendig sein, eine frühere Schlussfolgerung zu widerrufen, wenn neue Informationen oder neue Schlussfolgerungen vorliegen. Amplikatives Argumentieren ist von zentraler Bedeutung, da viele Argumente, die man im alltäglichen Sprachgebrauch und in den Wissenschaften findet, amplikativ sind. Ampliative Argumente sind nicht automatisch falsch. Stattdessen folgen sie lediglich anderen Standards der Korrektheit. Ein wichtiger Aspekt der meisten Ampliativargumente ist, dass sie ihre Schlussfolgerung in verschiedenen Abstufungen stützen. In diesem Sinne ist die Grenze zwischen korrekten und inkorrekten Argumenten in einigen Fällen fließend, z. B. wenn die Prämissen eine schwache, aber nicht vernachlässigbare Unterstützung bieten. Dies steht im Gegensatz zu deduktiven Argumenten, die entweder gültig oder ungültig sind, und nichts dazwischen. ⓘ

Die zur Kategorisierung von Amplifikationsargumenten verwendete Terminologie ist uneinheitlich. Einige Autoren verwenden den Begriff "Induktion", um alle Formen von nicht-deduktiven Argumenten zu erfassen. In einem engeren Sinne ist die Induktion jedoch nur eine Art von Amplifikationsargumenten neben den abduktiven Argumenten. Einige Autoren lassen auch konduktive Argumente als eine weitere Art zu. In diesem engeren Sinne wird die Induktion oft als eine Form der statistischen Verallgemeinerung definiert. In diesem Fall sind die Prämissen eines induktiven Arguments viele einzelne Beobachtungen, die alle ein bestimmtes Muster aufweisen. Die Schlussfolgerung ist dann ein allgemeines Gesetz, das besagt, dass dieses Muster immer zutrifft. In diesem Sinne kann man aus den bisherigen Beobachtungen der Farbe von Elefanten schließen, dass "alle Elefanten grau sind". Eine eng verwandte Form des induktiven Schlusses hat als Schlussfolgerung nicht ein allgemeines Gesetz, sondern einen spezifischeren Fall, z. B. wenn man folgert, dass ein Elefant, den man noch nicht gesehen hat, ebenfalls grau ist. Einige Theoretiker legen fest, dass induktive Schlussfolgerungen nur auf statistischen Überlegungen beruhen, um sie von abduktiven Schlussfolgerungen zu unterscheiden. ⓘ

Beim abduktiven Schlussfolgern können statistische Beobachtungen berücksichtigt werden, müssen aber nicht. In jedem Fall unterstützen die Prämissen die Schlussfolgerung, weil die Schlussfolgerung die beste Erklärung dafür ist, warum die Prämissen zutreffen. In diesem Sinne wird die Abduktion auch als Rückschluss auf die beste Erklärung bezeichnet. Wenn man zum Beispiel von der Prämisse ausgeht, dass am frühen Morgen ein Teller mit Brotkrümeln in der Küche steht, kann man die Schlussfolgerung ziehen, dass der Mitbewohner einen Mitternachtssnack hatte und zu müde war, um den Tisch abzuräumen. Diese Schlussfolgerung ist gerechtfertigt, weil sie die beste Erklärung für den aktuellen Zustand der Küche ist. Für eine Abduktion reicht es nicht aus, dass die Schlussfolgerung die Prämissen erklärt. Zum Beispiel würde die Schlussfolgerung, dass ein Einbrecher letzte Nacht in das Haus eingebrochen ist, bei der Arbeit hungrig wurde und einen Mitternachtssnack zu sich nahm, auch den Zustand der Küche erklären. Aber diese Schlussfolgerung ist nicht gerechtfertigt, weil sie nicht die beste oder wahrscheinlichste Erklärung ist. ⓘ

Irrtümer

Nicht alle Argumente genügen den Anforderungen an eine korrekte Argumentation. Wenn dies nicht der Fall ist, werden sie gewöhnlich als Trugschlüsse bezeichnet. Ihr zentraler Aspekt ist nicht, dass ihre Schlussfolgerung falsch ist, sondern dass die Argumentation, die zu dieser Schlussfolgerung führt, einen Fehler aufweist. So ist das Argument "heute ist es sonnig, deshalb haben Spinnen acht Beine" ein Trugschluss, obwohl die Schlussfolgerung wahr ist. Einige Theoretiker geben eine restriktivere Definition von Irrtümern, indem sie zusätzlich verlangen, dass sie richtig zu sein scheinen. Auf diese Weise lassen sich echte Irrtümer von bloßen Denkfehlern aufgrund von Unachtsamkeit unterscheiden. Dies erklärt, warum Menschen dazu neigen, Irrtümer zu begehen: weil sie ein verlockendes Element haben, das die Menschen dazu verleitet, sie zu begehen und zu akzeptieren. Dieser Hinweis auf den Schein ist jedoch umstritten, weil er in den Bereich der Psychologie und nicht der Logik gehört und weil der Schein für verschiedene Menschen unterschiedlich sein kann. ⓘ

Irrtümer werden gewöhnlich in formelle und informelle Irrtümer unterteilt. Bei formellen Fehlschlüssen liegt die Ursache des Fehlers in der Form des Arguments. Ein formaler Trugschluss ist z. B. die Leugnung des Vorangehenden, z. B. "Wenn Othello ein Junggeselle ist, dann ist er männlich; Othello ist kein Junggeselle, also ist Othello nicht männlich". Die meisten Trugschlüsse fallen jedoch in die Kategorie der informellen Trugschlüsse, die in der wissenschaftlichen Literatur in großer Vielfalt diskutiert werden. Die Quelle ihres Irrtums ist in der Regel im Inhalt oder im Kontext des Arguments zu finden. Informelle Trugschlüsse werden manchmal als Mehrdeutigkeits-, Vermutungs- oder Relevanztrugschlüsse kategorisiert. Bei mehrdeutigen Irrtümern sind die Mehrdeutigkeit und Vagheit der natürlichen Sprache für ihren Fehler verantwortlich, wie z. B. "Federn sind hell; was hell ist, kann nicht dunkel sein; daher können Federn nicht dunkel sein". Vermutungsirrtümer haben eine falsche oder ungerechtfertigte Prämisse, können aber ansonsten gültig sein. Bei Relevanzfehlern stützen die Prämissen die Schlussfolgerung nicht, weil sie für sie nicht relevant sind. ⓘ

Definitorische und strategische Regeln

Das Hauptaugenmerk der meisten Logiker liegt auf der Erforschung der Kriterien, nach denen ein Argument richtig oder falsch ist. Wenn diese Kriterien verletzt werden, liegt ein Trugschluss vor. Im Falle der formalen Logik werden diese Kriterien als Schlussregeln bezeichnet. Es handelt sich um definitorische Regeln, die festlegen, ob ein bestimmter logischer Zug richtig ist oder welche Züge erlaubt sind. Definitorische Regeln stehen im Gegensatz zu strategischen Regeln. Strategische Regeln legen fest, welche Folgerungsschritte notwendig sind, um zu einer bestimmten Schlussfolgerung auf der Grundlage einer bestimmten Menge von Prämissen zu gelangen. Diese Unterscheidung gilt nicht nur für die Logik, sondern auch für verschiedene Spiele. Beim Schachspiel zum Beispiel schreiben die definitorischen Regeln vor, dass Läufer nur diagonal ziehen dürfen, während die strategischen Regeln beschreiben, wie die erlaubten Züge genutzt werden können, um eine Partie zu gewinnen, zum Beispiel durch die Kontrolle des Zentrums und die Verteidigung des eigenen Königs. Eine dritte Art von Regeln betrifft empirische, beschreibende Regeln. Sie stammen aus dem Bereich der Psychologie und verallgemeinern, wie Menschen tatsächlich Schlüsse ziehen. Es wurde argumentiert, dass Logiker den strategischen Regeln mehr Aufmerksamkeit schenken sollten, da sie für eine effektive Argumentation von großer Bedeutung sind. ⓘ

Formale Systeme

Ein formales System der Logik besteht aus einer Sprache, einem Beweissystem und einer Semantik. Die Sprache und das Beweissystem eines Systems werden manchmal als Syntax des Systems zusammengefasst, da sie beide eher die Form als den Inhalt der Systemausdrücke betreffen. ⓘ

Der Begriff "eine Logik" wird oft als zählbares Substantiv verwendet, um ein bestimmtes formales System der Logik zu bezeichnen. Verschiedene Logiken können sich durch ihre Sprache, ihr Beweissystem oder ihre Semantik voneinander unterscheiden. Seit dem 20. Jahrhundert sind viele neue formale Systeme vorgeschlagen worden. ⓘ

Formale Sprache

Eine Sprache ist eine Menge von wohlgeformten Formeln. Zum Beispiel ist in der Aussagenlogik, $P\&Q$ eine Formel, aber $PQ\&\&\&$ ist keine. Sprachen werden in der Regel durch ein Alphabet grundlegender Ausdrücke und rekursive syntaktische Regeln definiert, die sie zu Formeln zusammensetzen. ⓘ

Beweissystem

Ein Beweissystem ist eine Sammlung von formalen Regeln, die festlegen, wann eine Schlussfolgerung aus gegebenen Prämissen folgt. Die klassische Regel der Konjunktionseinleitung besagt zum Beispiel, dass $P\&Q$ folgt aus den Prämissen $P$ und $Q$. Die Regeln in einem Beweissystem werden immer in Bezug auf die syntaktische Form der Formeln definiert, niemals in Bezug auf ihre Bedeutung. Solche Regeln können sequentiell angewandt werden, wodurch ein mechanisches Verfahren zur Erzeugung von Schlussfolgerungen aus Prämissen entsteht. Es gibt eine Reihe verschiedener Arten von Beweissystemen, darunter die natürliche Deduktion und Sequenzialkalküle. Beweissysteme sind eng mit der philosophischen Arbeit verbunden, die die Logik als das Studium gültiger Schlussfolgerungen charakterisiert. ⓘ

Semantik

Eine Semantik ist ein System zur Abbildung von Ausdrücken einer formalen Sprache auf ihre Denotationen. In vielen Systemen der Logik sind die Bezeichnungen Wahrheitswerte. Beispielsweise weist die Semantik der klassischen Aussagenlogik der Formel $P\&Q$ die Denotation "wahr" zu, wenn $P$ wahr ist und $Q$ auch ist. Entailment ist eine semantische Beziehung, die zwischen Formeln besteht, wenn die erste nicht wahr sein kann, ohne dass die zweite ebenfalls wahr ist. Die Semantik ist eng mit der philosophischen Charakterisierung der Logik als Lehre von der logischen Wahrheit verbunden. ⓘ

Korrektheit und Vollständigkeit

Ein logisches System ist solide, wenn sein Beweissystem keine Schlussfolgerung aus einer Menge von Prämissen ableiten kann, es sei denn, sie ist semantisch durch diese Prämissen impliziert. Mit anderen Worten: Sein Beweissystem kann nicht zu falschen Schlussfolgerungen führen, wie sie durch die Semantik definiert sind. Ein System ist vollständig, wenn sein Beweissystem jede Schlussfolgerung ableiten kann, die durch seine Prämissen semantisch impliziert ist. Mit anderen Worten: Sein Beweissystem kann zu jeder wahren Schlussfolgerung führen, wie sie durch die Semantik definiert ist. Somit beschreiben Solidität und Vollständigkeit zusammen ein System, dessen Begriffe von Gültigkeit und Folgerung perfekt übereinstimmen. ⓘ

Die Untersuchung der Eigenschaften formaler Systeme wird als Metalogik bezeichnet. Weitere wichtige metalogische Eigenschaften sind Konsistenz, Entscheidbarkeit und Ausdruckskraft. ⓘ

Systeme der Logik

Logische Systeme sind theoretische Rahmen für die Bewertung der Korrektheit von Argumenten und Begründungen. Über zweitausend Jahre lang galt die aristotelische Logik als der Kanon der Logik. Moderne Entwicklungen auf diesem Gebiet haben jedoch zu einer enormen Verbreitung logischer Systeme geführt. Eine bekannte Kategorisierung unterteilt die modernen formalen logischen Systeme in klassische Logik, erweiterte Logik und abweichende Logik. Die klassische Logik ist von der traditionellen oder aristotelischen Logik zu unterscheiden. Sie umfasst die Aussagenlogik und die Logik erster Ordnung. Sie ist "klassisch" in dem Sinne, dass sie sich auf verschiedene grundlegende logische Intuitionen stützt, die von den meisten Logikern geteilt werden. Zu diesen Intuitionen gehören das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte, der Ausschluss der doppelten Negation, das Explosionsprinzip und die Bivalenz der Wahrheit. Ursprünglich wurde sie entwickelt, um mathematische Argumente zu analysieren, und wurde erst später auch auf andere Bereiche angewendet. Aufgrund dieser Konzentration auf die Mathematik enthält sie kein logisches Vokabular, das für viele andere Themen von philosophischer Bedeutung relevant ist, wie die Unterscheidung zwischen Notwendigkeit und Möglichkeit, das Problem der ethischen Verpflichtung und Erlaubnis oder die Beziehungen zwischen Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft. Solche Themen werden in der erweiterten Logik behandelt. Sie bauen auf den grundlegenden Intuitionen der klassischen Logik auf und erweitern sie durch die Einführung eines neuen logischen Vokabulars. Auf diese Weise wird der exakte logische Ansatz auf Bereiche wie Ethik oder Erkenntnistheorie angewandt, die außerhalb des Bereichs der Mathematik liegen. ⓘ

Abweichende Logiken hingegen lehnen einige der grundlegenden Intuitionen der klassischen Logik ab. Aus diesem Grund werden sie in der Regel nicht als Ergänzung, sondern als Konkurrenten der klassischen Logik betrachtet. Abweichende logische Systeme unterscheiden sich voneinander, weil sie entweder verschiedene klassische Intuitionen ablehnen oder weil sie verschiedene Alternativen für dasselbe Problem vorschlagen. ⓘ

Die informelle Logik wird in der Regel weniger systematisch betrieben. Sie konzentriert sich oft auf spezifischere Themen, wie die Untersuchung einer bestimmten Art von Irrtum oder die Untersuchung eines bestimmten Aspekts der Argumentation. Nichtsdestotrotz wurden auch einige Systeme der informellen Logik vorgestellt, die eine systematische Charakterisierung der Korrektheit von Argumenten anstreben. ⓘ

Aristotelisch

Im weitesten Sinne verstanden, umfasst die aristotelische Logik eine Vielzahl von Themen, darunter metaphysische Thesen über ontologische Kategorien und Probleme der wissenschaftlichen Erklärung. In einem engeren Sinn bezieht sie sich jedoch auf die Begriffslogik oder Syllogistik. Ein Syllogismus ist eine bestimmte Form der Argumentation mit drei Sätzen: zwei Prämissen und eine Schlussfolgerung. Jeder Satz hat drei wesentliche Bestandteile: ein Subjekt, ein Prädikat und eine Kopula, die das Subjekt mit dem Prädikat verbindet. Der Satz "Sokrates ist weise" besteht zum Beispiel aus dem Subjekt "Sokrates", dem Prädikat "weise" und der Kopula "ist". Das Subjekt und das Prädikat sind die Terme des Satzes. In diesem Sinne enthält die aristotelische Logik keine komplexen Sätze, die sich aus verschiedenen einfachen Sätzen zusammensetzen. In diesem Punkt unterscheidet sie sich von der Aussagenlogik, in der zwei beliebige Sätze mit einem logischen Konnektiv wie "und" zu einem neuen komplexen Satz verbunden werden können. ⓘ

Die aristotelische Logik unterscheidet sich von der Prädikatenlogik dadurch, dass das Subjekt entweder universal, partikular, unbestimmt oder singulär ist. Zum Beispiel ist der Begriff "alle Menschen" ein universelles Subjekt in dem Satz "alle Menschen sind sterblich". Ein ähnlicher Satz ließe sich bilden, wenn man ihn durch den bestimmten Begriff "einige Menschen", den unbestimmten Begriff "ein Mensch" oder den singulären Begriff "Sokrates" ersetzt. In der Prädikatenlogik hingegen würden universelle und partikuläre Sätze durch einen Quantor und zwei Prädikate ausgedrückt. Ein weiterer wichtiger Unterschied besteht darin, dass die aristotelische Logik nur Prädikate für einfache Eigenschaften von Entitäten enthält, aber keine Prädikate für Beziehungen zwischen Entitäten. Das Prädikat kann auf zwei Arten mit dem Subjekt verknüpft werden: entweder durch Bejahung oder durch Verneinung. Der Satz "Sokrates ist keine Katze" bedeutet zum Beispiel, dass das Prädikat "Katze" mit dem Subjekt "Sokrates" verneint wird. Mit verschiedenen Kombinationen von Subjekten und Prädikaten kann eine große Vielfalt von Sätzen und Syllogismen gebildet werden. Syllogismen zeichnen sich dadurch aus, dass die Prämissen untereinander und mit der Konklusion durch jeweils ein gemeinsames Prädikat verbunden sind. Diese drei Sätze enthalten also drei Prädikate, die als Hauptbegriff, Nebenbegriff und Mittelbegriff bezeichnet werden. Der zentrale Aspekt der aristotelischen Logik besteht darin, alle möglichen Syllogismen in gültige und ungültige Argumente zu unterteilen, je nachdem, wie die Sätze gebildet sind. Zum Beispiel ist der Syllogismus "alle Menschen sind sterblich; Sokrates ist ein Mensch; also ist Sokrates sterblich" gültig. Der Syllogismus "alle Katzen sind sterblich, Sokrates ist sterblich, also ist Sokrates eine Katze" ist dagegen ungültig. ⓘ

Klassisch

Aussagenlogik

Die Aussagenlogik umfasst formale Systeme, in denen Formeln mit Hilfe von logischen Konnektiven aus atomaren Sätzen gebildet werden. So stellt die Aussagenlogik beispielsweise die Konjunktion von zwei atomaren Sätzen $P$ und $Q$ als die komplexe Formel $P\&Q$. Im Gegensatz zur Prädikatenlogik, in der Terme und Prädikate die kleinsten Einheiten sind, sind in der Aussagenlogik vollständige Sätze mit Wahrheitswerten die grundlegendste Komponente. Daher kann die Aussagenlogik nur logische Beziehungen darstellen, die sich aus der Art und Weise ergeben, wie komplexe Sätze aus einfacheren gebildet werden; sie kann keine Schlussfolgerungen darstellen, die sich aus der inneren Struktur eines Satzes ergeben. ⓘ

Logik erster Ordnung

Gottlob Frege führte in seiner Begriffsschrift den Begriff des Quantors in einer graphischen Notation ein, der hier das Urteil darstellt, dass $\forall x.F(x)$ wahr ist. ⓘ

Die Logik erster Ordnung bietet eine Darstellung von Quantoren, die allgemein genug ist, um eine breite Palette von Argumenten auszudrücken, die in der natürlichen Sprache vorkommen. Bertrand Russells berühmtes Barbier-Paradoxon "Es gibt einen Mann, der alle und nur die Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren" lässt sich zum Beispiel durch den Satz $(\exists x)({\text{man}}(x)\wedge (\forall y)({\text{man}}(y)\rightarrow ({\text{shaves}}(x,y)\leftrightarrow \neg {\text{shaves}}(y,y))))$formuliert werden, wobei das nicht-logische Prädikat ${\text{man}}(x)$ um anzuzeigen, dass x ein Mann ist, und die nicht-logische Relation ${\text{shaves}}(x,y)$ um anzuzeigen, dass x sich y rasiert; alle anderen Symbole der Formeln sind logisch und drücken die universellen und existenziellen Quantoren, die Konjunktion, die Implikation, die Negation und das Bikonditional aus. ⓘ

Die Entwicklung der Logik erster Ordnung wird gewöhnlich Gottlob Frege zugeschrieben, der auch als einer der Begründer der analytischen Philosophie gilt. Die heute am häufigsten verwendete Formulierung der Logik erster Ordnung findet sich jedoch in Principles of Mathematical Logic von David Hilbert und Wilhelm Ackermann aus dem Jahr 1928. Die analytische Allgemeinheit der Logik erster Ordnung ermöglichte die Formalisierung der Mathematik, trieb die Untersuchung der Mengenlehre voran und ermöglichte die Entwicklung von Alfred Tarskis Ansatz zur Modelltheorie. Sie bildet die Grundlage der modernen mathematischen Logik. ⓘ

Erweitert

Modallogik

Viele erweiterte Logiken nehmen die Form der Modallogik an, indem sie Modaloperatoren einführen. Die Modallogik wurde ursprünglich entwickelt, um Aussagen über Notwendigkeit und Möglichkeit darzustellen. Zum Beispiel kann die Modalformel $\Diamond P$ kann gelesen werden als "möglicherweise $P$", während $\Box P$ als "unbedingt" gelesen werden kann $P$". Modallogiken können zur Darstellung verschiedener Phänomene verwendet werden, je nachdem, welche Art von Notwendigkeit und Möglichkeit betrachtet wird. Wenn $\Box$ wird verwendet, um epistemische Notwendigkeit darzustellen, $\Box P$ besagt, dass $P$ bekannt ist. Wenn $\Box$ wird verwendet, um eine deontische Notwendigkeit darzustellen, $\Box P$ besagt, dass $P$ handelt es sich um eine moralische oder rechtliche Verpflichtung. In der Philosophie wird die Modallogik häufig in der formalen Erkenntnistheorie, der formalen Ethik und der Metaphysik verwendet. In der linguistischen Semantik werden auf der Modallogik basierende Systeme verwendet, um die sprachliche Modalität in natürlichen Sprachen zu analysieren. Andere Bereiche wie die Informatik und die Mengenlehre haben die relationale Semantik der Modallogik über ihre ursprüngliche konzeptionelle Motivation hinaus angewandt und nutzen sie, um Einblicke in Muster wie das mengentheoretische Multiversum und Übergangssysteme in der Datenverarbeitung zu gewinnen. ⓘ

Logik höherer Ordnung

Logiken höherer Ordnung erweitern die klassische Logik nicht durch die Verwendung von Modaloperatoren, sondern durch die Einführung neuer Formen der Quantifizierung. Quantoren entsprechen Begriffen wie "alle" oder "einige". In der klassischen Logik erster Ordnung werden Quantifizierer nur auf Individuen angewandt. Die Formel "$\exists x(Apple(x)\land Sweet(x))$" (einige Äpfel sind süß) ist ein Beispiel für die Anwendung des Existenzquantors "$\exists$", angewandt auf die individuelle Variable "$x$". In der Logik höherer Ordnung ist die Quantifizierung auch auf Prädikate zulässig. Dies erhöht ihre Ausdruckskraft. Um zum Beispiel auszudrücken, dass Mary und John einige Eigenschaften gemeinsam haben, könnte man die Formel "$\exists Q(Q(mary)\land Q(john))$". In diesem Fall wird der existentielle Quantifizierer auf die Prädikatsvariable "$Q$". Die zusätzliche Ausdruckskraft ist vor allem für die Mathematik nützlich, da sie eine prägnantere Formulierung mathematischer Theorien ermöglicht. Sie hat jedoch verschiedene Nachteile in Bezug auf ihre meta-logischen Eigenschaften und ontologischen Implikationen, weshalb die Logik erster Ordnung immer noch viel weiter verbreitet ist. ⓘ

Abweichende

Es wurde eine Vielzahl von abweichenden Logiken vorgeschlagen. Ein wichtiges Paradigma ist die intuitionistische Logik, die das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte ablehnt. Der Intuitionismus wurde von den niederländischen Mathematikern L.E.J. Brouwer und Arend Heyting entwickelt, um ihren konstruktiven Ansatz in der Mathematik zu untermauern, bei dem die Existenz eines mathematischen Objekts nur durch dessen Konstruktion bewiesen werden kann. Der Intuitionismus wurde u. a. von Gerhard Gentzen, Kurt Gödel und Michael Dummett weiterverfolgt. Die intuitionistische Logik ist für Informatiker von großem Interesse, da sie eine konstruktive Logik ist und viele Anwendungen findet, wie z. B. die Extraktion von verifizierten Programmen aus Beweisen und die Beeinflussung des Entwurfs von Programmiersprachen durch die Formel-als-Typ-Entsprechung. Sie ist eng mit nichtklassischen Systemen wie der Gödel-Dummett-Logik und der Inquisitionslogik verwandt. ⓘ

Mehrwertige Logiken weichen von der klassischen Logik ab, indem sie das Prinzip der Bivalenz ablehnen, das verlangt, dass alle Sätze entweder wahr oder falsch sind. So haben Jan Łukasiewicz und Stephen Cole Kleene ternäre Logiken vorgeschlagen, die einen dritten Wahrheitswert haben, der bedeutet, dass der Wahrheitswert einer Aussage unbestimmt ist. Diese Logiken wurden u. a. in der Linguistik zur Bestimmung von Voraussetzungen eingesetzt. Fuzzy-Logiken sind mehrwertige Logiken, die eine unendliche Anzahl von "Wahrheitsgraden" haben, die durch eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 dargestellt werden. ⓘ

Informell

Der pragmatische oder dialogische Ansatz der informellen Logik betrachtet Argumente als Sprechakte und nicht nur als eine Reihe von Prämissen zusammen mit einer Schlussfolgerung. Als Sprechakte treten sie in einem bestimmten Kontext auf, etwa in einem Dialog, der die Maßstäbe für richtige und falsche Argumente beeinflusst. Eine prominente Version von Douglas N. Walton begreift einen Dialog als ein Spiel zwischen zwei Spielern. Die Ausgangsposition jedes Spielers ist durch die Thesen, die er vertritt, und die Schlussfolgerung, die er beweisen will, gekennzeichnet. Dialoge sind Überzeugungsspiele: Jeder Spieler hat das Ziel, den Gegner von seiner eigenen Schlussfolgerung zu überzeugen. Dies wird durch Argumente erreicht: Argumente sind die Spielzüge des Spiels. Sie wirken sich darauf aus, auf welche Thesen sich die Spieler einlassen. Ein erfolgreicher Zug ist ein erfolgreiches Argument, das die gegnerischen Behauptungen als Prämissen nimmt und zeigt, wie die eigene Schlussfolgerung daraus folgt. Dies ist in der Regel nicht auf Anhieb möglich. Deshalb ist es in der Regel notwendig, eine Folge von Argumenten als Zwischenschritte zu formulieren, die den Gegner jeweils ein Stück näher an die eigene intendierte Schlussfolgerung heranführen. Neben diesen positiven Argumenten, die einen dem Sieg näher bringen, gibt es auch negative Argumente, die den Sieg des Gegners verhindern, indem sie dessen Schlussfolgerung widerlegen. Ob ein Argument richtig ist, hängt davon ab, ob es den Fortgang des Dialogs fördert. Falschargumente hingegen sind Verstöße gegen die Normen der richtigen Argumentationsregeln. Diese Standards hängen auch von der Art des Dialogs ab: Im Kontext der Wissenschaft sind die Dialogregeln anders als im Kontext von Verhandlungen. ⓘ

Der epistemische Ansatz der informellen Logik hingegen konzentriert sich auf die epistemische Rolle von Argumenten. Er basiert auf der Idee, dass Argumente darauf abzielen, unser Wissen zu erweitern. Sie erreichen dies, indem sie gerechtfertigte Überzeugungen mit noch nicht gerechtfertigten Überzeugungen verknüpfen. Korrekten Argumenten gelingt es, das Wissen zu erweitern, während Irrtümer epistemische Fehlschläge sind: Sie rechtfertigen die Überzeugung in ihrer Schlussfolgerung nicht. In diesem Sinne besteht die logische Normativität im epistemischen Erfolg oder in der Rationalität. So ist z. B. der Trugschluss des "begging the question" ein Trugschluss, weil er keine unabhängige Rechtfertigung für seine Schlussfolgerung liefert, obwohl er deduktiv gültig ist. Der Bayes'sche Ansatz ist ein Beispiel für einen erkenntnistheoretischen Ansatz. Im Mittelpunkt des Bayesianismus steht nicht nur die Frage, ob ein Akteur etwas glaubt, sondern auch der Grad, in dem er es glaubt, die so genannte Überzeugung. Der Grad der Überzeugung wird als subjektive Wahrscheinlichkeit für die geglaubte Aussage verstanden, d. h. als die Gewissheit des Akteurs, dass die Aussage wahr ist. Aus dieser Sicht kann das Argumentieren als ein Prozess der Änderung der eigenen Überzeugungen interpretiert werden, oft als Reaktion auf neue Informationen. Richtiges Argumentieren und die darauf basierenden Argumente folgen den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit, z. B. dem Prinzip der Konditionalisierung. Schlechtes oder irrationales Denken hingegen verstößt gegen diese Gesetze. ⓘ

Bereiche der Forschung

Die Logik wird in verschiedenen Bereichen untersucht. In vielen Fällen geschieht dies durch die Anwendung ihrer formalen Methode auf spezifische Themen, die nicht in ihren Bereich fallen, wie Ethik oder Informatik. In anderen Fällen wird die Logik selbst zum Gegenstand der Forschung in einer anderen Disziplin. Dies kann auf unterschiedliche Weise geschehen, etwa durch die Untersuchung der philosophischen Voraussetzungen grundlegender logischer Konzepte, durch die Interpretation und Analyse der Logik anhand mathematischer Strukturen oder durch die Untersuchung und den Vergleich abstrakter Eigenschaften formaler logischer Systeme. ⓘ

Philosophie der Logik und philosophische Logik

Die Philosophie der Logik ist die philosophische Disziplin, die sich mit dem Umfang und dem Wesen der Logik beschäftigt. Sie untersucht viele Voraussetzungen, die der Logik zugrunde liegen, wie z. B. die Definition ihrer Grundbegriffe oder die mit ihnen verbundenen metaphysischen Annahmen. Sie befasst sich auch mit der Klassifizierung der verschiedenen logischen Systeme und mit den ontologischen Verpflichtungen, die sie eingehen. Die philosophische Logik ist ein wichtiger Bereich innerhalb der Philosophie der Logik. Sie untersucht die Anwendung logischer Methoden auf philosophische Probleme in Bereichen wie Metaphysik, Ethik und Erkenntnistheorie. Diese Anwendung erfolgt in der Regel in Form von erweiterten oder abweichenden logischen Systemen. ⓘ

Mathematische Logik

Die mathematische Logik ist die Lehre von der Logik innerhalb der Mathematik. Zu den wichtigsten Teilbereichen gehören Modelltheorie, Beweistheorie, Mengenlehre und Berechenbarkeitstheorie. ⓘ

Die Forschung im Bereich der mathematischen Logik befasst sich in der Regel mit den mathematischen Eigenschaften formaler Logiksysteme. Sie kann jedoch auch Versuche beinhalten, die Logik zur Analyse mathematischen Denkens oder zur Schaffung logikbasierter Grundlagen der Mathematik zu nutzen. Letzteres war ein Hauptanliegen der mathematischen Logik des frühen 20. Jahrhunderts, die das Programm des Logizismus verfolgte, das von Philosophen-Logikern wie Gottlob Frege und Bertrand Russell entwickelt wurde. Mathematische Theorien sollten logische Tautologien sein, und das Programm bestand darin, dies durch eine Reduktion der Mathematik auf die Logik zu zeigen. Die verschiedenen Versuche, dies zu verwirklichen, scheiterten, von der Lähmung von Freges Projekt in seinen Grundgesetzen durch Russells Paradoxon bis zur Niederlage von Hilberts Programm durch Gödels Unvollständigkeitssätze. ⓘ

Die Mengenlehre hat ihren Ursprung in der Erforschung des Unendlichen durch Georg Cantor und war die Quelle für viele der schwierigsten und wichtigsten Fragen in der mathematischen Logik, vom Cantor-Theorem über den Status des Axioms der Wahl und die Frage der Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese bis hin zur modernen Debatte über große Kardinalaxiome. ⓘ

Die Rekursionstheorie fasst die Idee des Rechnens in logische und arithmetische Begriffe; ihre klassischsten Errungenschaften sind die Unentscheidbarkeit des Entscheidungsproblems durch Alan Turing und seine Darstellung der Church-Turing-These. Heute befasst sich die Rekursionstheorie hauptsächlich mit dem verfeinerten Problem der Komplexitätsklassen - wann ist ein Problem effizient lösbar - und der Klassifizierung der Grade der Unlösbarkeit. ⓘ

Berechnungslogik

Eine einfache Umschaltschaltung wird durch ein logisches Gatter und ein synchrones Register dargestellt. ⓘ

In der Informatik wird die Logik als Teil der Rechentheorie untersucht. Zu den wichtigsten Bereichen der Logik, die für die Informatik relevant sind, gehören die Berechenbarkeitstheorie, die Modallogik und die Kategorientheorie. Frühe Computermaschinen basierten auf Ideen aus der Logik, wie z. B. dem Lambda-Kalkül. Informatiker wenden auch Konzepte aus der Logik auf Probleme in der Informatik an und vice versa. So baut beispielsweise die moderne künstliche Intelligenz auf der Arbeit von Logikern in der Argumentationstheorie auf, während automatisierte Theorembeweise Logikern bei der Suche und Überprüfung von Beweisen helfen können. In logischen Programmiersprachen wie Prolog berechnet ein Programm die Konsequenzen von logischen Axiomen und Regeln, um eine Anfrage zu beantworten. ⓘ

Formale Semantik der natürlichen Sprache

Die formale Semantik ist ein Teilgebiet der Linguistik und der Philosophie, das sich der Logik bedient, um die Bedeutung der natürlichen Sprache zu analysieren. Es handelt sich um ein empirisches Gebiet, das versucht, die Bezeichnungen sprachlicher Ausdrücke zu charakterisieren und zu erklären, wie diese Bezeichnungen aus den Bedeutungen ihrer Teile zusammengesetzt sind. Das Gebiet wurde von Richard Montague und Barbara Partee in den 1970er Jahren entwickelt und ist nach wie vor ein aktives Forschungsgebiet. Zu den zentralen Fragen gehören Umfang, Bindung und sprachliche Modalität. ⓘ

Kontroversen

"Ist die Logik empirisch?"

Was ist der erkenntnistheoretische Status der Gesetze der Logik? Welche Art von Argumenten ist für die Kritik an angeblichen Prinzipien der Logik geeignet? In einem einflussreichen Aufsatz mit dem Titel "Is Logic Empirical?" (Ist Logik empirisch?) Hilary Putnam, aufbauend auf einem Vorschlag von W. V. Quine aufbauend, argumentierte Hilary Putnam, dass die Fakten der Aussagenlogik im Allgemeinen einen ähnlichen erkenntnistheoretischen Status haben wie Fakten über das physikalische Universum, beispielsweise die Gesetze der Mechanik oder der allgemeinen Relativitätstheorie, und dass insbesondere das, was Physiker über die Quantenmechanik gelernt haben, ein zwingendes Argument dafür liefert, bestimmte vertraute Prinzipien der klassischen Logik aufzugeben: Wenn wir die physikalischen Phänomene, die von der Quantentheorie beschrieben werden, realistisch betrachten wollen, dann sollten wir das Prinzip der Distributivität aufgeben und die klassische Logik durch die von Garrett Birkhoff und John von Neumann vorgeschlagene Quantenlogik ersetzen. ⓘ

In einem anderen gleichnamigen Aufsatz von Michael Dummett wird argumentiert, dass Putnams Wunsch nach Realismus das Distributivitätsgesetz zwingend erforderlich macht. Die Distributivität der Logik ist für das Verständnis des Realisten über die Wahrhaftigkeit von Sätzen in der Welt genauso wichtig wie das Prinzip der Bivalenz, wie er argumentiert hat. Auf diese Weise führt die Frage "Ist die Logik empirisch?" auf natürliche Weise zu der grundlegenden Kontroverse in der Metaphysik über Realismus und Anti-Realismus. ⓘ

Das Unmögliche zulassen

Georg Wilhelm Friedrich Hegel stand einer vereinfachten Auffassung des Gesetzes vom Nicht-Widerspruch sehr kritisch gegenüber. Er stützte sich auf die Idee von Gottfried Wilhelm Leibniz, dass dieses Gesetz der Logik auch einen hinreichenden Grund erfordert, um zu spezifizieren, von welchem Standpunkt (oder Zeitpunkt) aus man sagt, dass etwas sich nicht widersprechen kann. Ein Gebäude z.B. bewegt sich und bewegt sich nicht; der Grund für das erste ist unser Sonnensystem und für das zweite die Erde. In der Hegelschen Dialektik beruht das Gesetz des Nicht-Widerspruchs, der Identität, selbst auf der Differenz und ist daher nicht unabhängig behauptbar. ⓘ

In engem Zusammenhang mit den Fragen, die sich aus den Paradoxien der Implikation ergeben, steht der Vorschlag, dass die Logik Inkonsistenz tolerieren sollte. Relevanzlogik und parakonsistente Logik sind hier die wichtigsten Ansätze, auch wenn die Anliegen unterschiedlich sind: Eine zentrale Konsequenz der klassischen Logik und einiger ihrer Konkurrenten, wie der intuitionistischen Logik, ist, dass sie das Explosionsprinzip respektieren, was bedeutet, dass die Logik zusammenbricht, wenn sie einen Widerspruch ableiten kann. Graham Priest, der Hauptbefürworter des Dialetheismus, hat mit der Begründung, dass es tatsächlich wahre Widersprüche gibt, für Parakonsistenz argumentiert. ⓘ

Konzeptionen der Logik

Die Logik ist aus der Sorge um die Korrektheit der Argumentation entstanden. Moderne Logiker wollen in der Regel sicherstellen, dass die Logik nur solche Argumente untersucht, die sich aus angemessen allgemeinen Formen der Inferenz ergeben. So schreibt Thomas Hofweber in der Stanford Encyclopedia of Philosophy, dass die Logik "jedoch nicht das gute Argumentieren als Ganzes abdeckt. Das ist die Aufgabe der Theorie der Rationalität. Vielmehr befasst sie sich mit Schlussfolgerungen, deren Gültigkeit auf die formalen Eigenschaften der Repräsentationen zurückgeführt werden kann, die an dieser Schlussfolgerung beteiligt sind, seien es sprachliche, mentale oder andere Repräsentationen." ⓘ

Der Gedanke, dass die Logik spezielle Formen von Argumenten, d. h. deduktive Argumente, und nicht Argumente im Allgemeinen behandelt, hat in der Logik eine Geschichte, die mindestens auf den Logizismus in der Mathematik (19. und 20. Jahrhundert) und den beginnenden Einfluss der mathematischen Logik auf die Philosophie zurückgeht. Eine Folge davon, dass die Logik spezielle Arten von Argumenten behandelt, ist, dass sie zu einer Identifizierung spezieller Arten von Wahrheit, den logischen Wahrheiten, führt (wobei Logik gleichbedeutend mit dem Studium der logischen Wahrheit ist) und viele der ursprünglichen Studienobjekte der Logik ausschließt, die als informelle Logik behandelt werden. Robert Brandom hat sich gegen die Vorstellung gewandt, dass die Logik die Untersuchung einer besonderen Art von logischer Wahrheit ist, und argumentiert, dass man stattdessen von der Logik der materiellen Inferenz (in der Terminologie von Wilfred Sellars) sprechen kann, wobei die Logik die Verpflichtungen explizit macht, die ursprünglich in der informellen Inferenz implizit waren. ⓘ

Ablehnung der logischen Wahrheit

Die philosophische Strömung des Skeptizismus enthält viele Arten des Zweifels und der Ablehnung der verschiedenen Grundlagen, auf denen die Logik beruht, wie etwa die Idee der logischen Form, der korrekten Schlussfolgerung oder der Bedeutung, was manchmal zu der Schlussfolgerung führt, dass es keine logischen Wahrheiten gibt. Dies steht im Gegensatz zu den üblichen Ansichten des philosophischen Skeptizismus, bei dem die Logik die skeptische Untersuchung dazu anleitet, überlieferte Weisheiten anzuzweifeln, wie etwa bei Sextus Empiricus. ⓘ

Friedrich Nietzsche liefert ein starkes Beispiel für die Ablehnung der üblichen Grundlagen der Logik: Seine radikale Ablehnung der Idealisierung führte dazu, dass er die Wahrheit als ein "... bewegliches Heer von Metaphern, Metonymien und Anthropomorphismen - kurz ... Metaphern, die abgenutzt und ohne sinnliche Kraft sind; Münzen, die ihre Bilder verloren haben und nur noch als Metall, nicht mehr als Münzen zählen", ablehnte. Seine Ablehnung der Wahrheit führte ihn nicht dazu, die Idee der Schlussfolgerung oder der Logik vollständig zu verwerfen, sondern er schlug vielmehr vor, dass "die Logik im Kopf des Menschen [aus] der Unlogik entstanden ist, deren Bereich ursprünglich unermesslich gewesen sein muss. Unzählige Wesen, die auf eine andere Art und Weise als wir schlussfolgerten, gingen zugrunde". Es gibt also die Vorstellung, dass die logische Schlussfolgerung als Werkzeug für das menschliche Überleben nützlich ist, dass aber ihre Existenz weder die Existenz der Wahrheit unterstützt, noch eine Realität jenseits des Instrumentellen hat: "Auch die Logik beruht auf Annahmen, die nichts in der realen Welt entsprechen". ⓘ

Diese von Nietzsche vertretene Position ist jedoch aus mehreren Gründen äußerst kritisch betrachtet worden. Einige Philosophen, wie Jürgen Habermas, behaupten, seine Position sei selbstwiderlegend, und werfen Nietzsche vor, er habe nicht einmal eine kohärente Perspektive, geschweige denn eine Erkenntnistheorie. Georg Lukács behauptet in seinem Buch Die Zerstörung der Vernunft: "Würden wir Nietzsches Aussagen auf diesem Gebiet aus einem logisch-philosophischen Blickwinkel untersuchen, stünden wir vor einem schwindelerregenden Chaos der grellsten Behauptungen, die willkürlich und gewaltsam unvereinbar sind." Bertrand Russell beschrieb Nietzsches irrationale Behauptungen in seinem Buch "A History of Western Philosophy" mit den Worten: "Er drückt sich gerne paradox und mit dem Ziel aus, die konventionellen Leser zu schockieren". ⓘ

Geschichte

Aristoteles, 384-322 v. Chr. ⓘ

Die Logik wurde im Altertum in verschiedenen Kulturen unabhängig voneinander entwickelt. Ein wichtiger früher Vertreter war Aristoteles, der die Begriffslogik in seinem Organon und seiner Priorischen Analytik entwickelte. Bei diesem Ansatz werden Urteile in Sätze zerlegt, die aus zwei Begriffen bestehen, die durch eine festgelegte Anzahl von Beziehungen miteinander verbunden sind. Schlussfolgerungen werden durch Syllogismen ausgedrückt, die aus zwei Sätzen bestehen, die einen gemeinsamen Begriff als Prämisse haben, und einer Schlussfolgerung, die ein Satz ist, der die beiden unverbundenen Begriffe aus den Prämissen beinhaltet. Aristoteles' monumentale Einsicht war die Vorstellung, dass Argumente durch ihre Form charakterisiert werden können. Der spätere Logiker Łukasiewicz bezeichnete diese Erkenntnis als "eine der größten Erfindungen des Aristoteles". Aristoteles' System der Logik war auch für die Einführung des hypothetischen Syllogismus, der zeitlichen Modallogik und der induktiven Logik sowie für einflussreiche Begriffe wie Terme, Prädikablen, Syllogismen und Sätze verantwortlich. Die aristotelische Logik war in der Antike und im Mittelalter sowohl in Europa als auch im Nahen Osten hoch angesehen. Im Westen war sie bis ins frühe 19. Jahrhundert hinein weit verbreitet. Heute ist sie durch spätere Werke überholt, obwohl viele ihrer wichtigsten Erkenntnisse in modernen Logiksystemen weiterleben. ⓘ

Eine Darstellung des Oppositionsquadrats aus dem 15. Jahrhundert, das die grundlegenden Dualitäten der Syllogistik zum Ausdruck bringt. ⓘ

Ibn Sina (Avicenna) (980-1037 n. Chr.) war der Begründer der avicennianischen Logik, die die aristotelische Logik als vorherrschendes System der Logik in der islamischen Welt ablöste und auch einen wichtigen Einfluss auf westliche mittelalterliche Schriftsteller wie Albertus Magnus und Wilhelm von Ockham hatte. Ibn Sina schrieb über den hypothetischen Syllogismus und das Aussagenkalkül. Er entwickelte eine originelle "zeitlich modalisierte" Syllogistiktheorie, die zeitliche Logik und Modallogik umfasst. Er nutzte auch die induktive Logik, wie die Methoden der Übereinstimmung, der Differenz und der begleitenden Variation, die für die wissenschaftliche Methode von entscheidender Bedeutung sind. Fakhr al-Din al-Razi (geb. 1149) kritisierte die "erste Figur" des Aristoteles und formulierte ein frühes System der induktiven Logik, das das von John Stuart Mill (1806-1873) entwickelte System der induktiven Logik vorwegnahm. ⓘ

Im Europa des späteren Mittelalters wurden große Anstrengungen unternommen, um zu zeigen, dass die Ideen des Aristoteles mit dem christlichen Glauben vereinbar waren. Während des Hochmittelalters wurde die Logik zu einem Schwerpunkt der Philosophen, die sich mit der kritischen logischen Analyse philosophischer Argumente beschäftigten und dabei oft Variationen der Methodik der Scholastik verwendeten. Zunächst stützten sich die christlichen Gelehrten des Mittelalters auf die Klassiker, die in lateinischer Sprache durch Kommentare von Persönlichkeiten wie Boethius überliefert worden waren. Später wurden auch die Werke islamischer Philosophen wie Ibn Sina und Ibn Rushd (Averroes 1126-1198 n. Chr.) herangezogen, wodurch sich das Spektrum der antiken Werke, die den christlichen Gelehrten des Mittelalters zur Verfügung standen, erweiterte, da den muslimischen Gelehrten mehr griechische Werke zur Verfügung standen, die in lateinischen Kommentaren überliefert worden waren. Im Jahr 1323 wurde die einflussreiche Summa Logicae von Wilhelm von Ockham veröffentlicht. Im 18. Jahrhundert war die strukturierte Herangehensweise an Argumente degeneriert und in Ungnade gefallen, wie Holberg in seinem satirischen Stück Erasmus Montanus darstellte. Der chinesische Logiker Gongsun Long (ca. 325-250 v. Chr.) schlug das Paradox vor: "Aus eins und eins kann nicht zwei werden, da keines von beiden zu zwei wird". In China wurde die Tradition der wissenschaftlichen Erforschung der Logik jedoch von der Qin-Dynastie im Gefolge der legalistischen Philosophie von Han Feizi unterdrückt. ⓘ

In Indien wurde die Anviksiki-Schule der Logik von Medhātithi (ca. 6. Jahrhundert v. Chr.) gegründet. Innovationen in der scholastischen Schule, die Nyaya genannt wurde, setzten sich von der Antike bis ins frühe 18. Jahrhundert mit der Navya-Nyāya-Schule fort. Bis zum 16. Jahrhundert entwickelte sie Theorien, die der modernen Logik ähneln, wie Gottlob Freges "Unterscheidung zwischen Sinn und Bezug von Eigennamen" und seine "Definition der Zahl" sowie die Theorie der "restriktiven Bedingungen für Universalien", die einige Entwicklungen der modernen Mengenlehre vorwegnimmt. Seit 1824 zog die indische Logik die Aufmerksamkeit vieler westlicher Gelehrter auf sich und beeinflusste wichtige Logiker des 19. Jahrhunderts wie Charles Babbage, Augustus De Morgan und George Boole. Im 20. Jahrhundert haben sich westliche Philosophen wie Stanislaw Schayer und Klaus Glashoff eingehender mit der indischen Logik befasst. ⓘ

Die von Aristoteles entwickelte syllogistische Logik war im Westen bis Mitte des 19. Jahrhunderts vorherrschend, als das Interesse an den Grundlagen der Mathematik die Entwicklung der symbolischen Logik (heute mathematische Logik genannt) anregte. 1854 veröffentlichte George Boole The Laws of Thought (Die Gesetze des Denkens), in dem er die symbolische Logik und die Grundsätze der heute als Boolesche Logik bekannten Logik vorstellte. 1879 veröffentlichte Gottlob Frege die Begriffsschrift, die mit der Erfindung der Quantorenschreibweise die moderne Logik einleitete, die aristotelische und die stoische Logik in einem umfassenderen System vereinte und Probleme löste, für die die aristotelische Logik unfähig war, wie z. B. das Problem der mehrfachen Allgemeinheit. Von 1910 bis 1913 veröffentlichten Alfred North Whitehead und Bertrand Russell die Principia Mathematica über die Grundlagen der Mathematik und versuchten, mathematische Wahrheiten aus Axiomen und Folgerungsregeln der symbolischen Logik abzuleiten. Im Jahr 1931 warf Gödel ernsthafte Probleme mit dem Fundamentalismusprogramm auf, und die Logik hörte auf, sich auf solche Fragen zu konzentrieren. ⓘ

Die Entwicklung der Logik seit Frege, Russell und Wittgenstein hatte einen tief greifenden Einfluss auf die Praxis der Philosophie und die Auffassung von philosophischen Problemen (siehe analytische Philosophie) und die Philosophie der Mathematik. Die Logik, insbesondere die Satzlogik, wird in logischen Schaltkreisen von Computern eingesetzt und ist für die Informatik von grundlegender Bedeutung. Logik wird häufig an Universitäten in den Fächern Philosophie, Soziologie, Werbung und Literatur gelehrt, oft als Pflichtfach. ⓘ

Teilgebiete

Kalkültypen und logische Verfahren

Die moderne formale Logik widmet sich der Aufgabe, exakte Kriterien für die Gültigkeit von Schlüssen und die logische Gültigkeit von Aussagen (semantisch gültige Aussagen heißen Tautologien, syntaktisch gültige Aussagen Theoreme) zu entwickeln. Hierzu wurden verschiedene Verfahren entwickelt. ⓘ

Insbesondere im Bereich der Aussagenlogik (aber nicht nur) sind semantische Verfahren gebräuchlich, also solche Verfahren, die darauf beruhen, dass den Aussagen ein Wahrheitswert zugeschrieben wird. Hierzu zählen einerseits:

• Wahrheitstabellen ⓘ

Während Wahrheitstabellen eine vollständige Auflistung aller Wahrheitswertkombinationen vornehmen (und insofern auch nur im aussagenlogischen Bereich verwendbar sind), gehen die übrigen (auch prädikatenlogisch verwertbaren) Verfahren nach dem Schema einer Reductio ad absurdum vor: Wenn eine Tautologie bewiesen werden soll, geht man von ihrer Negation aus und versucht einen Widerspruch abzuleiten. Hier sind mehrere Varianten gebräuchlich:

• Resolution,
• Baumkalkül oder Beth-Tableaux (nach Evert Willem Beth) ⓘ

Zu den logischen Kalkülen, die ohne semantische Bewertungen auskommen, zählen:

• Axiomatische Logikkalküle
• Systeme natürlichen Schließens
• Sequenzenkalküle
• Dialogische Logiken ⓘ

Nichtklassische Logiken

Mehrwertige Logik und Fuzzylogik

Quer hierzu stehen die mehrwertigen Logiken, in denen das Prinzip der Zweiwertigkeit und oft auch der aristotelische Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht gelten, darunter die dreiwertige und die unendlichwertige Logik von Jan Łukasiewicz („Warschauer Schule“). Zahlreiche Anwendungen in der Steuerungstechnik findet die unendlichwertige Fuzzylogik, während etwa die endlichwertige Logik von Gotthard Günther („Günther-Logik“) auf Probleme der sich selbst erfüllenden Voraussagen in der Soziologie angewandt wurde. ⓘ

Klassische Werke

• Aristoteles: Lehre vom Schluss oder erste Analytik. 3. Auflage. Meiner, Hamburg 1922, ISBN 3-7873-1092-4.
• Gottlob Frege: Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle/Saale 1879. Auszugsweise abgedruckt z. B. in: Karel Berka, Lothar Kreiser, Siegfried Gottwald, Werner Stelzner: Logik-Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik. 4. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1986.
• Gottlob Frege: Logische Untersuchungen. Herausgegeben und eingeleitet von Günther Patzig. 3. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1986, ISBN 3-525-33518-0.
• Giuseppe Peano: Notations de logique mathématique. Turin 1894.
• Charles Sanders Peirce: On the algebra of Logic. A contribution to the philosophy of notation. In: The American Journal of Mathematics. 7, 1885.
• Jan Łukasiewicz: Logika dwuwartościowa. In: Przegląd Filosoficzny. 23, 1921, S. 189ff.
• Jan Łukasiewicz, L. Borkowski (Hrsg.): Selected Works. PWN, Warschau 1970.
• Alfred North Whitehead, Bertrand Russell: Principia Mathematica. Cambridge 1910–1913.
• Alfred Tarski: Einführung in die mathematische Logik. 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1977, ISBN 3-525-40540-5. ⓘ