Mengenlehre

Ein Venn-Diagramm zur Veranschaulichung der Schnittmenge zweier Mengen ⓘ

Die Mengenlehre ist der Zweig der mathematischen Logik, der sich mit Mengen befasst, die informell als Sammlungen von Objekten bezeichnet werden können. Obwohl Objekte jeglicher Art in einer Menge zusammengefasst werden können, befasst sich die Mengenlehre als Teilgebiet der Mathematik hauptsächlich mit denjenigen, die für die Mathematik als Ganzes relevant sind. ⓘ

Das moderne Studium der Mengenlehre wurde in den 1870er Jahren von den deutschen Mathematikern Richard Dedekind und Georg Cantor begründet. Vor allem Georg Cantor gilt gemeinhin als Begründer der Mengenlehre. Die nicht-formalisierten Systeme, die in dieser frühen Phase untersucht wurden, werden als naive Mengenlehre bezeichnet. Nach der Entdeckung von Paradoxien innerhalb der naiven Mengenlehre (wie dem Russell-Paradoxon, dem Cantor-Paradoxon und dem Burali-Forti-Paradoxon) wurden zu Beginn des 20. Jahrhunderts verschiedene axiomatische Systeme vorgeschlagen, von denen die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (mit oder ohne Auswahlaxiom) immer noch das bekannteste und am meisten untersuchte ist. ⓘ

Die Mengenlehre wird häufig als Grundlagensystem für die gesamte Mathematik verwendet, insbesondere in Form der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit dem Auswahlaxiom. Neben ihrer grundlegenden Rolle bietet die Mengenlehre auch den Rahmen für die Entwicklung einer mathematischen Theorie der Unendlichkeit und hat verschiedene Anwendungen in der Informatik (z. B. in der Theorie der relationalen Algebra), der Philosophie und der formalen Semantik. Ihre grundlegende Anziehungskraft, ihre Paradoxien, ihre Implikationen für den Begriff der Unendlichkeit und ihre vielfältigen Anwendungen haben die Mengenlehre zu einem Gebiet von großem Interesse für Logiker und Philosophen der Mathematik gemacht. Die gegenwärtige Forschung auf dem Gebiet der Mengenlehre umfasst ein breites Spektrum von Themen, das von der Struktur der reellen Zahlenreihe bis zur Untersuchung der Konsistenz großer Kardinalzahlen reicht. ⓘ

Geschichte

Georg Cantor ⓘ

Mathematische Themen entstehen und entwickeln sich in der Regel aus dem Zusammenspiel vieler Forscher. Die Mengenlehre jedoch wurde 1874 von Georg Cantor mit einer einzigen Arbeit begründet: "Über eine Eigenschaft der Sammlung aller reellen algebraischen Zahlen". ⓘ

Seit dem 5. Jahrhundert v. Chr., beginnend mit dem griechischen Mathematiker Zeno von Elea im Westen und den frühen indischen Mathematikern im Osten, haben sich die Mathematiker mit dem Konzept der Unendlichkeit auseinandergesetzt. Besonders hervorzuheben ist die Arbeit von Bernard Bolzano in der ersten Hälfte des 19. Das moderne Verständnis der Unendlichkeit begann in den Jahren 1870-1874 und wurde durch Cantors Arbeit in der realen Analysis motiviert. Ein Treffen zwischen Cantor und Richard Dedekind im Jahr 1872 beeinflusste Cantors Denken und gipfelte in Cantors Arbeit von 1874. ⓘ

Cantors Arbeit polarisierte zunächst die Mathematiker seiner Zeit. Während Karl Weierstraß und Dedekind Cantor unterstützten, lehnte Leopold Kronecker, der heute als Begründer des mathematischen Konstruktivismus gilt, dies ab. Die Cantorsche Mengenlehre fand schließlich weite Verbreitung, was auf die Nützlichkeit der Cantorschen Konzepte zurückzuführen ist, z. B. die Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen Mengen, seinen Beweis, dass es mehr reelle Zahlen als ganze Zahlen gibt, und die "Unendlichkeit der Unendlichkeiten" ("Cantors Paradies"), die sich aus der Potenzmengenoperation ergibt. Dieser Nutzen der Mengenlehre führte zu dem Artikel "Mengenlehre", den Arthur Schoenflies 1898 zu Kleins Enzyklopädie beisteuerte. ⓘ

Die nächste Welle der Aufregung in der Mengenlehre kam um 1900, als entdeckt wurde, dass einige Interpretationen der Cantorschen Mengenlehre zu mehreren Widersprüchen führten, die als Antinomien oder Paradoxien bezeichnet wurden. Bertrand Russell und Ernst Zermelo fanden unabhängig voneinander das einfachste und bekannteste Paradoxon, das heute als Russell-Paradoxon bezeichnet wird: Man betrachte "die Menge aller Mengen, die nicht zu sich selbst gehören", was zu einem Widerspruch führt, da sie zu sich selbst gehören muss und nicht zu sich selbst gehört. Im Jahr 1899 hatte Cantor selbst die Frage "Was ist die Kardinalzahl der Menge aller Mengen?" gestellt und ein ähnliches Paradoxon erhalten. Russell benutzte sein Paradoxon als Thema in seiner 1903 erschienenen Übersicht über die kontinentale Mathematik in seinem Werk The Principles of Mathematics. Statt des Begriffs "Menge" verwendete Russell den Begriff "Klasse", der in der Folgezeit eher technisch verwendet wurde. ⓘ

Im Jahr 1906 erschien der Begriff Menge in dem Buch Theory of Sets of Points der Eheleute William Henry Young und Grace Chisholm Young, das von der Cambridge University Press veröffentlicht wurde. ⓘ

Die Dynamik der Mengenlehre war so groß, dass die Debatte über die Paradoxien nicht zur Aufgabe der Mengenlehre führte. Die Arbeit von Zermelo im Jahr 1908 und die Arbeit von Abraham Fraenkel und Thoralf Skolem im Jahr 1922 führten zum Axiomensatz ZFC, der zum am häufigsten verwendeten Axiomensatz der Mengenlehre wurde. Die Arbeiten von Analytikern wie Henri Lebesgue demonstrierten den großen mathematischen Nutzen der Mengenlehre, die seitdem zum festen Bestandteil der modernen Mathematik geworden ist. Die Mengenlehre wird in der Regel als Grundlagensystem verwendet, obwohl in einigen Bereichen - wie der algebraischen Geometrie und der algebraischen Topologie - die Kategorientheorie als Grundlage bevorzugt wird. ⓘ

Grundlegende Konzepte und Notation

Die Mengenlehre beginnt mit einer grundlegenden binären Beziehung zwischen einem Objekt o und einer Menge A. Wenn o ein Mitglied (oder Element) von A ist, wird die Notation o ∈ A verwendet. Eine Menge wird durch die Auflistung von durch Kommata getrennten Elementen oder durch eine charakterisierende Eigenschaft ihrer Elemente in geschweiften Klammern { } beschrieben. Da Mengen Objekte sind, kann die Zugehörigkeitsrelation auch Mengen miteinander in Beziehung setzen. ⓘ

Eine abgeleitete binäre Relation zwischen zwei Mengen ist die Teilmengenrelation, auch Mengeneinschluss genannt. Wenn alle Mitglieder der Menge A auch Mitglieder der Menge B sind, dann ist A eine Teilmenge von B, bezeichnet als A ⊆ B. Zum Beispiel ist {1, 2} eine Teilmenge von {1, 2, 3}, und {2} ist es auch, aber {1, 4} ist es nicht. Diese Definition besagt, dass eine Menge eine Teilmenge ihrer selbst ist. Für die Fälle, in denen diese Möglichkeit ungeeignet ist oder sinnvollerweise abgelehnt werden sollte, wird der Begriff echte Teilmenge definiert. A heißt dann und nur dann eine echte Teilmenge von B, wenn A eine Teilmenge von B ist, aber A nicht gleich B ist. Auch 1, 2 und 3 sind Mitglieder (Elemente) der Menge {1, 2, 3}, aber keine Teilmengen davon; und umgekehrt sind die Teilmengen, wie {1}, keine Mitglieder der Menge {1, 2, 3}. ⓘ

So wie die Arithmetik binäre Operationen auf Zahlen kennt, kennt die Mengenlehre binäre Operationen auf Mengen. Die folgende Liste enthält einen Teil dieser Operationen:

• Die Vereinigung der Mengen A und B, bezeichnet als A ∪ B, ist die Menge aller Objekte, die entweder zu A oder zu B oder zu beiden gehören. Zum Beispiel ist die Vereinigung von {1, 2, 3} und {2, 3, 4} die Menge {1, 2, 3, 4}.
• Schnittmenge der Mengen A und B, bezeichnet als A ∩ B, ist die Menge aller Objekte, die sowohl zu A als auch zu B gehören. Zum Beispiel ist die Schnittmenge von {1, 2, 3} und {2, 3, 4} die Menge {2, 3}.
• Die Mengendifferenz von U und A, bezeichnet als U \ A, ist die Menge aller Mitglieder von U, die nicht Mitglieder von A sind. Die Mengendifferenz {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} ist {1}, während umgekehrt die Mengendifferenz {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} {4} ist. Wenn A eine Teilmenge von U ist, wird die Mengendifferenz U \ A auch als das Komplement von A in U bezeichnet. In diesem Fall wird, wenn die Wahl von U aus dem Kontext klar ist, manchmal die Schreibweise Ac anstelle von U \ A verwendet, insbesondere wenn U eine universelle Menge ist, wie bei der Untersuchung von Venn-Diagrammen.
• Die symmetrische Differenz der Mengen A und B, bezeichnet als A △ B oder A ⊖ B, ist die Menge aller Objekte, die zu genau einer der Mengen A und B gehören (Elemente, die in einer der Mengen, aber nicht in beiden enthalten sind). Zum Beispiel ist für die Mengen {1, 2, 3} und {2, 3, 4} die symmetrische Differenzmenge {1, 4}. Sie ist die Differenzmenge der Vereinigung und der Schnittmenge, (A ∪ B) \ (A ∩ B) oder (A \ B) ∪ (B \ A).
• Das kartesische Produkt von A und B, bezeichnet als A × B, ist die Menge, deren Mitglieder alle möglichen geordneten Paare (a, b) sind, wobei a ein Mitglied von A und b ein Mitglied von B ist. Zum Beispiel ist das kartesische Produkt von {1, 2} und {rot, weiß} {(1, rot), (1, weiß), (2, rot), (2, weiß)}.
• Die Potenzmenge einer Menge A, bezeichnet als ${\mathcal {P}}(A)$ist die Menge, deren Mitglieder alle möglichen Teilmengen von A sind. Die Potenzmenge von {1, 2} ist beispielsweise { {}, {1}, {2}, {1, 2} }. ⓘ

Einige Grundmengen von zentraler Bedeutung sind die Menge der natürlichen Zahlen, die Menge der reellen Zahlen und die leere Menge - die einzige Menge, die keine Elemente enthält. Die leere Menge wird gelegentlich auch als Nullmenge bezeichnet, obwohl diese Bezeichnung mehrdeutig ist und zu verschiedenen Interpretationen führen kann. ⓘ

Ontologie

Ein erstes Segment der von-Neumann-Hierarchie ⓘ

Eine Menge ist rein, wenn alle ihre Mitglieder Mengen sind, alle Mitglieder ihrer Mitglieder sind Mengen, usw. Zum Beispiel ist die Menge {{}}, die nur die leere Menge enthält, eine nicht leere reine Menge. In der modernen Mengenlehre ist es üblich, sich auf das von-Neumann-Universum der reinen Mengen zu beschränken, und viele Systeme der axiomatischen Mengenlehre sind darauf ausgelegt, nur die reinen Mengen zu axiomatisieren. Diese Einschränkung hat viele technische Vorteile, und es geht nur wenig Allgemeinheit verloren, da im Wesentlichen alle mathematischen Konzepte durch reine Mengen modelliert werden können. Die Mengen im von-Neumann-Universum sind in einer kumulativen Hierarchie organisiert, die darauf basiert, wie tief ihre Mitglieder, Mitglieder von Mitgliedern usw. verschachtelt sind. Jeder Menge in dieser Hierarchie wird (durch transfinite Rekursion) eine Ordnungszahl zugeordnet $\alpha$zugewiesen, die als ihr Rang bezeichnet wird. Der Rang einer reinen Menge $X$ ist definiert als die kleinste Ordnungszahl, die streng größer ist als der Rang eines ihrer Elemente. So wird beispielsweise der leeren Menge der Rang 0 zugewiesen, während die Menge {{}}, die nur die leere Menge enthält, den Rang 1 erhält. Für jede Ordnungszahl $\alpha$wird die Menge $V_{\alpha }$ so definiert, dass sie aus allen reinen Mengen besteht, deren Rang kleiner ist als $\alpha$. Das gesamte von-Neumann-Universum wird bezeichnet als $V$. ⓘ

Formalisierte Mengenlehre

Die elementare Mengenlehre lässt sich informell und intuitiv studieren und kann daher in der Grundschule mit Hilfe von Venn-Diagrammen unterrichtet werden. Der intuitive Ansatz geht stillschweigend davon aus, dass eine Menge aus der Klasse aller Objekte gebildet werden kann, die eine bestimmte Definitionsbedingung erfüllen. Diese Annahme führt zu Paradoxien, von denen die einfachsten und bekanntesten das Russell-Paradoxon und das Burali-Forti-Paradoxon sind. Die axiomatische Mengenlehre wurde ursprünglich entwickelt, um die Mengenlehre von solchen Paradoxien zu befreien. ⓘ

Die am häufigsten untersuchten Systeme der axiomatischen Mengenlehre implizieren, dass alle Mengen eine kumulative Hierarchie bilden. Solche Systeme gibt es in zwei Varianten, nämlich solche, deren Ontologie aus:

• Mengen allein. Dazu gehört die am weitesten verbreitete axiomatische Mengenlehre, die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit dem Auswahlaxiom (ZFC). Zu den Fragmenten der ZFC gehören:
  • Zermelo-Mengenlehre, die das Axiomschema der Ersetzung durch das der Trennung ersetzt;
  • Allgemeine Mengenlehre, ein kleines Fragment der Zermelo-Mengenlehre, das für die Peano-Axiome und endliche Mengen ausreicht;
  • Kripke-Platek-Mengentheorie, die die Axiome der Unendlichkeit, der Potenzmenge und der Auswahl weglässt und die Axiomschemata der Trennung und Ersetzung abschwächt.
• Mengen und Eigenklassen. Dazu gehören die Von-Neumann-Bernays-Gödel-Mengentheorie, die die gleiche Stärke wie die ZFC für Theoreme über Mengen allein hat, sowie die Morse-Kelley-Mengentheorie und die Tarski-Grothendieck-Mengentheorie, die beide stärker als die ZFC sind.

Die oben genannten Systeme können so modifiziert werden, dass sie Urelemente zulassen, also Objekte, die Mitglieder von Mengen sein können, aber selbst keine Mengen sind und keine Mitglieder haben. ⓘ

Die New-Foundations-Systeme NFU (mit Urelementen) und NF (ohne Urelemente) basieren nicht auf einer kumulativen Hierarchie. NF und NFU enthalten eine "Menge von allem", zu der jede Menge ein Komplement hat. In diesen Systemen spielen Urelemente eine Rolle, da NF, aber nicht NFU, Mengen erzeugt, für die das Auswahlaxiom nicht gilt. Obwohl die Ontologie der NF nicht die traditionelle kumulative Hierarchie widerspiegelt und gegen die Wohlbegründetheit verstößt, hat Thomas Forster argumentiert, dass sie eine iterative Konzeption der Menge widerspiegelt. ⓘ

Systeme der konstruktiven Mengenlehre, wie CST, CZF und IZF, betten ihre Mengenaxiome in die intuitionistische statt in die klassische Logik ein. Andere Systeme akzeptieren die klassische Logik, weisen aber eine nicht standardisierte Zugehörigkeitsbeziehung auf. Dazu gehören die Theorie der unscharfen Mengen und die Fuzzy-Mengentheorie, in denen der Wert einer atomaren Formel, die die Zugehörigkeitsbeziehung verkörpert, nicht einfach Wahr oder Falsch ist. Die booleschen Wertmodelle der ZFC sind ein verwandtes Thema. ⓘ

Eine Bereicherung der ZFC, die interne Mengenlehre, wurde 1977 von Edward Nelson vorgeschlagen. ⓘ

Anwendungen

Viele mathematische Konzepte können nur mit Hilfe von mengentheoretischen Konzepten genau definiert werden. So können beispielsweise so unterschiedliche mathematische Strukturen wie Graphen, Mannigfaltigkeiten, Ringe, Vektorräume und relationale Algebren als Mengen definiert werden, die verschiedene (axiomatische) Eigenschaften erfüllen. Äquivalenz- und Ordnungsbeziehungen sind in der Mathematik allgegenwärtig, und die Theorie der mathematischen Beziehungen kann in der Mengenlehre beschrieben werden. ⓘ

Die Mengenlehre ist auch ein vielversprechendes Grundlagensystem für einen Großteil der Mathematik. Seit der Veröffentlichung des ersten Bandes der Principia Mathematica wird behauptet, dass sich die meisten (oder sogar alle) mathematischen Theoreme mit Hilfe eines geeignet konzipierten Satzes von Axiomen für die Mengenlehre ableiten lassen, der durch viele Definitionen unter Verwendung der Logik erster oder zweiter Ordnung ergänzt wird. So lassen sich beispielsweise Eigenschaften der natürlichen und reellen Zahlen aus der Mengenlehre ableiten, da jedes Zahlensystem mit einer Menge von Äquivalenzklassen unter einer geeigneten Äquivalenzrelation identifiziert werden kann, deren Feld eine unendliche Menge ist. ⓘ

Die Mengenlehre als Grundlage für die mathematische Analyse, die Topologie, die abstrakte Algebra und die diskrete Mathematik ist ebenfalls unumstritten; Mathematiker akzeptieren (im Prinzip), dass Theoreme in diesen Bereichen aus den entsprechenden Definitionen und den Axiomen der Mengenlehre abgeleitet werden können. Allerdings sind bisher nur wenige vollständige Ableitungen komplexer mathematischer Theoreme aus der Mengenlehre formal verifiziert worden, da solche formalen Ableitungen oft viel länger sind als die Beweise in natürlicher Sprache, die Mathematiker üblicherweise vorlegen. Ein Verifizierungsprojekt, Metamath, umfasst von Menschen geschriebene, computerverifizierte Ableitungen von mehr als 12.000 Theoremen aus der ZFC-Mengentheorie, der Logik erster Ordnung und der Aussagenlogik. ⓘ

Bereiche der Studie

Die Mengenlehre ist ein wichtiges Forschungsgebiet in der Mathematik, das viele miteinander verbundene Teilgebiete umfasst. ⓘ

Kombinatorische Mengenlehre

Die kombinatorische Mengenlehre befasst sich mit der Erweiterung der endlichen Kombinatorik auf unendliche Mengen. Dazu gehören das Studium der Kardinalarithmetik und die Untersuchung von Erweiterungen des Ramsey-Satzes, wie z. B. des Erdős-Rado-Satzes. ⓘ

Beschreibende Mengenlehre

Die deskriptive Mengenlehre ist das Studium von Teilmengen der reellen Linie und, allgemeiner, von Teilmengen polnischer Räume. Sie beginnt mit der Untersuchung von Punktklassen in der Borel-Hierarchie und erstreckt sich auf die Untersuchung komplexerer Hierarchien wie der projektiven Hierarchie und der Wadge-Hierarchie. Viele Eigenschaften von Borel-Mengen können in der ZFC nachgewiesen werden, aber der Nachweis dieser Eigenschaften für kompliziertere Mengen erfordert zusätzliche Axiome in Bezug auf Determiniertheit und große Kardinalzahlen. ⓘ

Das Gebiet der effektiven deskriptiven Mengenlehre liegt zwischen der Mengenlehre und der Rekursionstheorie. Sie umfasst die Untersuchung von Punktklassen mit leichter Oberfläche und ist eng mit der Theorie der Hyperarithmetik verbunden. In vielen Fällen haben Ergebnisse der klassischen deskriptiven Mengenlehre effektive Versionen; in einigen Fällen werden neue Ergebnisse dadurch gewonnen, dass zunächst die effektive Version bewiesen und dann erweitert ("relativiert") wird, um sie breiter anwendbar zu machen. ⓘ

Ein neueres Forschungsgebiet betrifft Borel-Äquivalenzrelationen und kompliziertere definierbare Äquivalenzrelationen. Dies hat wichtige Anwendungen für die Untersuchung von Invarianten in vielen Bereichen der Mathematik. ⓘ

Unscharfe Mengenlehre

In der Mengenlehre, wie sie von Cantor definiert und von Zermelo und Fraenkel axiomatisiert wurde, ist ein Objekt entweder Mitglied einer Menge oder nicht. In der unscharfen Mengenlehre wurde diese Bedingung von Lotfi A. In der Fuzzy-Mengentheorie wurde diese Bedingung von Lotfi A. Zadeh gelockert, so dass ein Objekt einen Grad der Zugehörigkeit zu einer Menge hat, eine Zahl zwischen 0 und 1. Der Grad der Zugehörigkeit einer Person zu der Menge der "großen Menschen" ist beispielsweise flexibler als eine einfache Ja- oder Nein-Antwort und kann eine reelle Zahl wie 0,75 sein. ⓘ

Theorie des inneren Modells

Ein inneres Modell der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie (ZF) ist eine transitive Klasse, die alle Ordinalzahlen enthält und alle Axiome der ZF erfüllt. Das kanonische Beispiel ist das von Gödel entwickelte konstruierbare Universum L. Ein Grund, warum die Untersuchung innerer Modelle von Interesse ist, besteht darin, dass sie zum Nachweis von Konsistenzergebnissen verwendet werden kann. So lässt sich beispielsweise zeigen, dass unabhängig davon, ob ein Modell V von ZF die Kontinuumshypothese oder das Auswahlaxiom erfüllt, das innere Modell L, das innerhalb des ursprünglichen Modells konstruiert wurde, sowohl die verallgemeinerte Kontinuumshypothese als auch das Auswahlaxiom erfüllt. Somit impliziert die Annahme, dass ZF konsistent ist (mindestens ein Modell hat), dass ZF zusammen mit diesen beiden Prinzipien konsistent ist. ⓘ

Die Untersuchung innerer Modelle ist bei der Untersuchung der Determiniertheit und großer Kardinalzahlen üblich, insbesondere wenn man Axiome wie das Axiom der Determiniertheit betrachtet, die dem Axiom der Wahl widersprechen. Selbst wenn ein festes Modell der Mengenlehre das Auswahlaxiom erfüllt, ist es möglich, dass ein inneres Modell das Auswahlaxiom nicht erfüllt. So impliziert beispielsweise die Existenz hinreichend großer Kardinalzahlen, dass es ein inneres Modell gibt, das das Bestimmtheitsaxiom erfüllt (und damit nicht das Auswahlaxiom). ⓘ

Große Kardinale

Eine große Kardinalzahl ist eine Kardinalzahl mit einer zusätzlichen Eigenschaft. Es werden viele solcher Eigenschaften untersucht, darunter unzugängliche Kardinalzahlen, messbare Kardinalzahlen und viele mehr. Diese Eigenschaften implizieren in der Regel, dass die Kardinalzahl sehr groß sein muss, wobei die Existenz einer Kardinalzahl mit der angegebenen Eigenschaft in der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie nicht beweisbar ist. ⓘ

Determiniertheit

Determiniertheit bezieht sich auf die Tatsache, dass unter geeigneten Annahmen bestimmte Zwei-Personen-Spiele mit perfekten Informationen von Anfang an in dem Sinne determiniert sind, dass ein Spieler eine Gewinnstrategie haben muss. Die Existenz dieser Strategien hat wichtige Konsequenzen für die deskriptive Mengenlehre, da die Annahme, dass eine breitere Klasse von Spielen determiniert ist, oft impliziert, dass eine breitere Klasse von Mengen eine topologische Eigenschaft hat. Das Axiom der Determiniertheit (AD) ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand; obwohl es mit dem Auswahlaxiom unvereinbar ist, impliziert AD, dass alle Teilmengen der reellen Linie sich gut verhalten (insbesondere messbar sind und die Eigenschaft einer perfekten Menge haben). Mit AD kann man beweisen, dass die Wadge-Grade eine elegante Struktur haben. ⓘ

Erzwingen

Paul Cohen erfand die Methode des Forcierens auf der Suche nach einem Modell der ZFC, in dem die Kontinuumshypothese versagt, oder einem Modell der ZF, in dem das Auswahlaxiom versagt. Beim Forcing werden einem gegebenen Modell der Mengenlehre zusätzliche Mengen hinzugefügt, um ein größeres Modell mit Eigenschaften zu schaffen, die durch die Konstruktion und das ursprüngliche Modell bestimmt (d. h. "erzwungen") werden. Cohens Konstruktion fügt beispielsweise zusätzliche Teilmengen der natürlichen Zahlen hinzu, ohne die Kardinalzahlen des ursprünglichen Modells zu verändern. Forcing ist auch eine von zwei Methoden, um relative Konsistenz mit finitistischen Methoden zu beweisen, die andere Methode sind boolesche Modelle. ⓘ

Kardinale Invarianten

Eine Kardinalinvariante ist eine Eigenschaft der reellen Linie, die durch eine Kardinalzahl gemessen wird. Eine gut untersuchte Invariante ist z. B. die kleinste Kardinalität einer Sammlung von mageren Mengen reeller Zahlen, deren Vereinigung die gesamte reelle Linie ist. Dies sind Invarianten in dem Sinne, dass zwei isomorphe Modelle der Mengenlehre für jede Invariante die gleiche Kardinalzahl liefern müssen. Viele kardinale Invarianten sind untersucht worden, und die Beziehungen zwischen ihnen sind oft komplex und mit Axiomen der Mengenlehre verbunden. ⓘ

Mengentheoretische Topologie

Die mengentheoretische Topologie untersucht Fragen der allgemeinen Topologie, die mengentheoretischer Natur sind oder für deren Lösung fortgeschrittene Methoden der Mengenlehre erforderlich sind. Viele dieser Theoreme sind unabhängig von der ZFC und erfordern stärkere Axiome für ihren Beweis. Ein berühmtes Problem ist die Frage nach dem normalen Mooreschen Raum, eine Frage der allgemeinen Topologie, die Gegenstand intensiver Forschung war. Die Antwort auf die Frage nach dem normalen Moore-Raum wurde schließlich als unabhängig von der ZFC bewiesen. ⓘ

Einwände gegen die Mengenlehre

Seit den Anfängen der Mengenlehre haben einige Mathematiker Einwände gegen sie als Grundlage der Mathematik erhoben. Der häufigste Einwand gegen die Mengenlehre, den Kronecker in den Anfangsjahren der Mengenlehre vorbrachte, geht von der konstruktivistischen Auffassung aus, dass die Mathematik nur lose mit dem Rechnen verbunden ist. Wenn man dieser Ansicht zustimmt, dann führt die Behandlung unendlicher Mengen, sowohl in der naiven als auch in der axiomatischen Mengenlehre, Methoden und Objekte in die Mathematik ein, die nicht einmal im Prinzip berechenbar sind. Die Durchführbarkeit des Konstruktivismus als Ersatzgrundlage für die Mathematik wurde durch das einflussreiche Buch Foundations of Constructive Analysis von Errett Bishop erheblich gesteigert. ⓘ

Ein anderer Einwand, der von Henri Poincaré vorgebracht wurde, lautet, dass die Definition von Mengen unter Verwendung der Axiomschemata der Spezifikation und der Ersetzung sowie des Axioms der Potenzmenge Impredikativität, eine Art Zirkularität, in die Definitionen mathematischer Objekte einführt. Der Umfang der prädikativ begründeten Mathematik ist zwar geringer als der der allgemein akzeptierten Zermelo-Fraenkel-Theorie, aber viel größer als der der konstruktiven Mathematik, so dass Solomon Feferman sagte, dass "die gesamte wissenschaftlich anwendbare Analyse [mit prädikativen Methoden] entwickelt werden kann". ⓘ

Ludwig Wittgenstein verurteilte die Mengenlehre philosophisch, weil sie mit mathematischem Platonismus verbunden ist. Er schrieb, dass "die Mengenlehre falsch" sei, da sie auf dem "Unsinn" einer fiktiven Symbolik aufbaue, "verderbliche Redewendungen" habe und es unsinnig sei, von "allen Zahlen" zu sprechen. Wittgenstein identifizierte Mathematik mit algorithmischer menschlicher Deduktion; die Notwendigkeit einer sicheren Grundlage für die Mathematik erschien ihm unsinnig. Da die menschliche Anstrengung zudem notwendigerweise endlich ist, erforderte Wittgensteins Philosophie ein ontologisches Bekenntnis zu radikalem Konstruktivismus und Finitismus. Metamathematische Aussagen - zu denen für Wittgenstein jede Aussage gehörte, die über unendliche Bereiche quantifiziert, und somit fast die gesamte moderne Mengenlehre - sind keine Mathematik. Nur wenige moderne Philosophen haben sich Wittgensteins Ansichten zu eigen gemacht, nachdem ihm in den Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik ein spektakulärer Fehler unterlaufen war: Wittgenstein versuchte, Gödels Unvollständigkeitssätze zu widerlegen, nachdem er nur die Zusammenfassung gelesen hatte. Wie die Rezensenten Kreisel, Bernays, Dummett und Goodstein feststellten, trafen viele seiner Kritikpunkte nicht auf das gesamte Papier zu. Erst in jüngster Zeit haben Philosophen wie Crispin Wright damit begonnen, Wittgensteins Argumente zu rehabilitieren. ⓘ

Kategorientheoretiker haben die Topostheorie als Alternative zur traditionellen axiomatischen Mengenlehre vorgeschlagen. Die Topos-Theorie kann verschiedene Alternativen zu dieser Theorie interpretieren, wie den Konstruktivismus, die Theorie der endlichen Mengen und die Theorie der berechenbaren Mengen. Topoi bieten auch einen natürlichen Rahmen für die Erzwingung und Diskussion der Unabhängigkeit der Wahl von ZF und bilden den Rahmen für die sinnlose Topologie und Stone-Räume. ⓘ

Ein aktives Forschungsgebiet sind die univalenten Grundlagen und die damit verbundene Homotopietypentheorie. Im Rahmen der Homotopietypentheorie kann eine Menge als Homotopie 0-Typ betrachtet werden, wobei sich universelle Eigenschaften von Mengen aus den induktiven und rekursiven Eigenschaften höherer induktiver Typen ergeben. Prinzipien wie das Auswahlaxiom und das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte können auf eine Art und Weise formuliert werden, die der klassischen Formulierung in der Mengenlehre entspricht, oder vielleicht auf eine Reihe von unterschiedlichen Arten, die für die Typentheorie einzigartig sind. Einige dieser Prinzipien können als Folge anderer Prinzipien bewiesen werden. Die Vielfalt der Formulierungen dieser axiomatischen Prinzipien ermöglicht eine detaillierte Analyse der Formulierungen, die für die Ableitung verschiedener mathematischer Ergebnisse erforderlich sind. ⓘ

Die Mengenlehre in der mathematischen Ausbildung

Da die Mengenlehre als Grundlage für die moderne Mathematik an Popularität gewann, wurde die Idee unterstützt, die Grundlagen der naiven Mengenlehre frühzeitig in den Mathematikunterricht einzuführen. ⓘ

In den USA wurde in den 1960er Jahren mit dem New-Math-Experiment versucht, Grundschülern neben anderen abstrakten Konzepten auch die Mengenlehre zu vermitteln, was jedoch auf viel Kritik stieß. Der Lehrplan für Mathematik an europäischen Schulen folgte diesem Trend und umfasst das Thema derzeit auf verschiedenen Ebenen in allen Klassenstufen. Venn-Diagramme sind weit verbreitet, um Grundschülern grundlegende mengentheoretische Beziehungen zu erklären (obwohl John Venn sie ursprünglich als Teil eines Verfahrens zur Bewertung der Gültigkeit von Schlussfolgerungen in der Termlogik entwickelt hat). ⓘ

Die Mengenlehre wird verwendet, um Schüler mit logischen Operatoren (NICHT, UND, ODER) und semantischen oder Regelbeschreibungen (technisch gesehen intensionale Definition) von Mengen vertraut zu machen (z. B. "Monate, die mit dem Buchstaben A beginnen"), was beim Erlernen der Computerprogrammierung nützlich sein kann, da die boolesche Logik in verschiedenen Programmiersprachen verwendet wird. Ebenso sind Mengen und andere sammlungsähnliche Objekte wie Multi[[Menge (Mathematik)|set]]s und Listen gängige Datentypen in der Informatik und Programmierung. ⓘ

Darüber hinaus wird im Mathematikunterricht häufig auf Mengen Bezug genommen, wenn es um verschiedene Arten von Zahlen (N, Z, R, ...) geht, und wenn eine mathematische Funktion als Beziehung von einer Menge (dem Bereich) zu einer anderen Menge (dem Bereich) definiert wird. ⓘ

Gesetzmäßigkeiten

Die Menge ${\mathcal {P}}(X)$ ist bezüglich der Relation $\subseteq$ partiell geordnet, denn für alle $A,B,C\subseteq X$ gilt:

• Reflexivität: $A\subseteq A$
• Antisymmetrie: Aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$ folgt $A=B$
• Transitivität: Aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$ folgt $A\subseteq C$ ⓘ

Die Mengen-Operationen Schnitt $\cap$ und Vereinigung $\cup$ sind kommutativ, assoziativ und zueinander distributiv:

• Assoziativgesetz:
  • $\left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)$ und
  • $\left(A\cap B\right)\cap C=A\cap \left(B\cap C\right)$
• Kommutativgesetz:
  • $A\cup B=B\cup A$ und
  • $A\cap B=B\cap A$
• Distributivgesetz:
  • $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$ und
  • $A\cap \left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$
• De Morgansche Gesetze:
  • $\left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$ und
  • $\left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$
• Absorptionsgesetz:
  • $A\cup \left(A\cap B\right)=A$ und
  • $A\cap \left(A\cup B\right)=A$ ⓘ

Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:

• Assoziativgesetze:
  • $(A\setminus B)\setminus C=A\setminus (B\cup C)$ und
  • $A\setminus (B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)$
• Distributivgesetze:
  • $(A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap (B\setminus C)$ und
  • $(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)$ und
  • $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$ und
  • $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$ ⓘ

Für die symmetrische Differenz gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:

• Assoziativgesetz: $(A\triangle B)\triangle C=A\triangle (B\triangle C)$
• Kommutativgesetz: $A\triangle B=B\triangle A$
• Distributivgesetz: $(A\triangle B)\cap C=(A\cap C)\triangle (B\cap C)$ ⓘ

$A\triangle \emptyset =A\quad A\triangle A=\emptyset$ ⓘ