Dreiecksungleichung

Drei Beispiele für die Dreiecksungleichung für Dreiecke mit den Seitenlängen x, y, z. Das obere Beispiel zeigt einen Fall, in dem z viel kleiner ist als die Summe x + y der beiden anderen Seiten, und das untere Beispiel zeigt einen Fall, in dem die Seite z nur wenig kleiner ist als x + y. ⓘ

In der Mathematik besagt die Dreiecksungleichung, dass bei einem beliebigen Dreieck die Summe der Längen zweier beliebiger Seiten größer oder gleich der Länge der verbleibenden Seite sein muss. Diese Aussage lässt die Einbeziehung entarteter Dreiecke zu, aber einige Autoren, insbesondere diejenigen, die über elementare Geometrie schreiben, schließen diese Möglichkeit aus und lassen somit die Möglichkeit der Gleichheit aus. Wenn x, y und z die Längen der Seiten des Dreiecks sind, wobei keine Seite größer als z ist, dann besagt die Dreiecksungleichung

$z\leq x+y,$

mit Gleichheit nur im entarteten Fall eines Dreiecks mit Nullfläche. In der euklidischen Geometrie und einigen anderen Geometrien ist die Dreiecksungleichung ein Satz über Abstände, der mit Hilfe von Vektoren und Vektorlängen (Normen) geschrieben wird:

$\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|\leq \|\mathbf {x} \|+\|\mathbf {y} \|,$

Die Länge z der dritten Seite wurde durch die Vektorsumme x + y ersetzt. Wenn x und y reelle Zahlen sind, können sie als Vektoren in R¹ betrachtet werden, und die Dreiecksungleichung drückt eine Beziehung zwischen Absolutwerten aus. ⓘ

In der euklidischen Geometrie ist die Dreiecksungleichung für rechtwinklige Dreiecke eine Folge des Satzes von Pythagoras und für allgemeine Dreiecke eine Folge des Kosinussatzes, obwohl sie auch ohne diese Sätze bewiesen werden kann. Die Ungleichung kann intuitiv entweder in R² oder R³ betrachtet werden. Die Abbildung rechts zeigt drei Beispiele, die mit einer klaren Ungleichheit beginnen (oben) und sich der Gleichheit nähern (unten). Im euklidischen Fall ist die Gleichheit nur dann gegeben, wenn das Dreieck einen 180°-Winkel und zwei 0°-Winkel hat, so dass die drei Eckpunkte kollinear sind, wie im unteren Beispiel gezeigt. In der euklidischen Geometrie ist also die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten eine Gerade. ⓘ

In der sphärischen Geometrie ist der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten ein Bogen eines Großkreises, aber die Dreiecksungleichung gilt, wenn man die Einschränkung macht, dass der Abstand zwischen zwei Punkten auf einer Kugel die Länge eines kleineren sphärischen Liniensegments (d. h. eines mit einem zentralen Winkel in [0, π]) mit diesen Endpunkten ist. ⓘ

Die Dreiecksungleichung ist eine definierende Eigenschaft von Normen und Abstandsmaßen. Diese Eigenschaft muss als Theorem für jede Funktion, die für solche Zwecke vorgeschlagen wird, für jeden bestimmten Raum aufgestellt werden: zum Beispiel für Räume wie die reellen Zahlen, die euklidischen Räume, die Lp-Räume (p ≥ 1) und die Räume des inneren Produkts. ⓘ

Euklidische Geometrie

Euklids Konstruktion zum Beweis der Dreiecksungleichung für die ebene Geometrie. ⓘ

Euklid bewies die Dreiecksungleichung für Abstände in der ebenen Geometrie mit Hilfe der in der Abbildung dargestellten Konstruktion. Ausgehend vom Dreieck ABC wird ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert, bei dem eine Seite BC und die andere gleich dem Schenkel BD in der Verlängerung der Seite AB ist. Es wird dann argumentiert, dass der Winkel β ein größeres Maß hat als der Winkel α, so dass die Seite AD länger ist als die Seite AC. Aber AD = AB + BD = AB + BC, also ist die Summe der Längen der Seiten AB und BC größer als die Länge von AC. Dieser Beweis findet sich in Euklids Elemente, Buch 1, Satz 20. ⓘ

Mathematischer Ausdruck der Beschränkung auf die Seiten eines Dreiecks

Für ein richtiges Dreieck lässt sich die Dreiecksungleichung, wie sie in Worten ausgedrückt wird, buchstäblich in drei Ungleichungen übersetzen (unter der Voraussetzung, dass ein richtiges Dreieck Seitenlängen a, b, c hat, die alle positiv sind, und den entarteten Fall der Nullfläche ausschließt):

$a+b>c,\quad b+c>a,\quad c+a>b.$

Eine prägnantere Form dieses Ungleichungssystems kann wie folgt dargestellt werden

$|a-b|<c<a+b.$

Eine andere Möglichkeit, es darzustellen, ist

$\max(a,b,c)<a+b+c-\max(a,b,c)$

was bedeutet, dass

$2\max(a,b,c)<a+b+c$

und damit, dass die längste Seitenlänge kleiner als der Halbmesser ist. ⓘ

Eine mathematisch äquivalente Formulierung ist, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks mit den Seiten a, b, c eine reelle Zahl größer als Null sein muss. Die Heronsche Formel für den Flächeninhalt lautet ⓘ

${\begin{aligned}4\cdot {\text{area}}&={\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}.\end{aligned}}$ ⓘ

Bei beiden Flächenausdrücken ist die für alle Seiten geltende Dreiecksungleichung äquivalent zu der Bedingung, dass der Ausdruck unter dem Quadratwurzelzeichen reell und größer als Null sein muss (der Flächenausdruck ist also reell und größer als Null). ⓘ

Die Dreiecksungleichung liefert zwei weitere interessante Bedingungen für Dreiecke, deren Seiten a, b, c sind, wobei a ≥ b ≥ c und $\phi$ der Goldene Schnitt ist, als

$1<{\frac {a+c}{b}}<3$ ⓘ

$1\leq \min \left({\frac {a}{b}},{\frac {b}{c}}\right)<\phi .$ ⓘ

Rechtwinkliges Dreieck

Gleichschenkliges Dreieck mit gleichen Seiten AB = AC, das durch eine von einem der beiden Basiswinkel ausgehende Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt wird. ⓘ

Bei rechtwinkligen Dreiecken ist die Dreiecksungleichung auf die Aussage spezialisiert, dass die Hypotenuse größer als eine der beiden Seiten und kleiner als deren Summe ist. ⓘ

Der zweite Teil dieses Satzes ist bereits oben für jede Seite eines beliebigen Dreiecks aufgestellt worden. Der erste Teil wird anhand der unteren Abbildung ermittelt. In der Abbildung betrachten wir das rechtwinklige Dreieck ADC. Es wird ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit den gleichen Seiten AB = AC konstruiert. Aus dem Dreieckspostulat folgt, dass die Winkel im rechtwinkligen Dreieck ADC gleich sind:

$\alpha +\gamma =\pi /2\ .$

Auch im gleichschenkligen Dreieck ABC erfüllen die Winkel die Bedingung:

$2\beta +\gamma =\pi \ .$

Daraus folgt,

$\alpha =\pi /2-\gamma ,\ \mathrm {while} \ \beta =\pi /2-\gamma /2\ ,$

und so, insbesondere,

$\alpha <\beta \ .$

Das bedeutet, dass die Seite AD gegenüber dem Winkel α kürzer ist als die Seite AB gegenüber dem größeren Winkel β. Aber AB = AC. Daraus folgt:

${\overline {\mathrm {AC} }}>{\overline {\mathrm {AD} }}\ .$

Eine ähnliche Konstruktion zeigt AC > DC, womit der Satz bewiesen ist. ⓘ

Ein alternativer Beweis (ebenfalls auf der Grundlage des Dreieckspostulats) geht von drei Positionen für den Punkt B aus: (i) wie abgebildet (was zu beweisen ist), oder (ii) B fällt mit D zusammen (was bedeuten würde, dass das gleichschenklige Dreieck zwei rechte Winkel als Basiswinkel plus den Scheitelwinkel γ hätte, was das Dreieckspostulat verletzen würde), oder schließlich, (iii) B liegt im Inneren des rechtwinkligen Dreiecks zwischen den Punkten A und D (in diesem Fall ist der Winkel ABC ein Außenwinkel des rechtwinkligen Dreiecks BDC und damit größer als π/2, was bedeutet, dass der andere Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks ebenfalls größer als π/2 ist und ihre Summe π übersteigt, was gegen das Dreieckspostulat verstößt). ⓘ

Dieser Satz, der Ungleichungen festlegt, wird durch den Satz des Pythagoras zu der Gleichheit verschärft, dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist. ⓘ

Beispiele für die Anwendung

Betrachten Sie ein Dreieck, dessen Seiten eine arithmetische Progression aufweisen, und lassen Sie die Seiten a, a + d, a + 2d sein. Die Dreiecksungleichung erfordert dann, dass ⓘ

$0<a<2a+3d$

$0<a+d<2a+2d$

$0<a+2d<2a+d.$ ⓘ

Um alle diese Ungleichungen zu erfüllen, muss ⓘ

$a>0{\text{ and }}-{\frac {a}{3}}<d<a.$ ⓘ

Wenn d so gewählt wird, dass d = a/3 ist, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, das immer dem pythagoreischen Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 ähnelt. ⓘ

Betrachten wir nun ein Dreieck, dessen Seiten eine geometrische Progression aufweisen, und lassen wir die Seiten a, ar, ar² sein. Dann verlangt die Dreiecksungleichung, dass ⓘ

$0<a<ar+ar^{2}$

$0<ar<a+ar^{2}$

$0<ar^{2}<a+ar.$ ⓘ

Die erste Ungleichung setzt a > 0 voraus; sie kann also durchgeteilt und eliminiert werden. Mit a > 0 erfordert die mittlere Ungleichung nur noch r > 0. Damit müssen die erste und die dritte Ungleichung noch folgende Bedingungen erfüllen ⓘ

${\begin{aligned}r^{2}+r-1&{}>0\\r^{2}-r-1&{}<0.\end{aligned}}$ ⓘ

Die erste dieser quadratischen Ungleichungen verlangt, dass r in dem Bereich jenseits des Wertes der positiven Wurzel der quadratischen Gleichung r² + r - 1 = 0 liegt, d. h. r > φ - 1, wobei φ der Goldene Schnitt ist. Die zweite quadratische Ungleichung verlangt, dass r zwischen 0 und der positiven Wurzel der quadratischen Gleichung r² - r - 1 = 0 liegt, d. h. 0 < r < φ. Die kombinierten Anforderungen führen dazu, dass r auf den Bereich begrenzt ist

$\varphi -1<r<\varphi \,{\text{ and }}a>0.$ ⓘ

Wenn r das gemeinsame Verhältnis so gewählt wird, dass r = √φ ist, entsteht ein rechtwinkliges Dreieck, das immer dem Kepler-Dreieck ähnelt. ⓘ

Verallgemeinerung auf beliebige Polygone

Die Dreiecksungleichung kann durch mathematische Induktion auf beliebige polygonale Wege ausgedehnt werden, indem man zeigt, dass die Gesamtlänge eines solchen Weges nicht kleiner ist als die Länge der Geraden zwischen seinen Endpunkten. Folglich ist die Länge einer beliebigen Polygonseite immer kleiner als die Summe der anderen Polygonseitenlängen. ⓘ

Beispiel für die verallgemeinerte Polygonungleichung für ein Viereck

Betrachten wir ein Viereck, dessen Seiten eine geometrische Folge sind, und lassen wir die Seiten a, ar, ar², ar³ sein. Die verallgemeinerte Polygonungleichung besagt dann, dass ⓘ

$0<a<ar+ar^{2}+ar^{3}$

$0<ar<a+ar^{2}+ar^{3}$

$0<ar^{2}<a+ar+ar^{3}$

$0<ar^{3}<a+ar+ar^{2}.$ ⓘ

Diese Ungleichungen für a > 0 reduzieren sich auf Folgendes ⓘ

$r^{3}+r^{2}+r-1>0$

$r^{3}-r^{2}-r-1<0.$

Die Polynome auf der linken Seite dieser beiden Ungleichungen haben Wurzeln, die die Tribonacci-Konstante und ihr Kehrwert sind. Folglich ist r auf den Bereich 1/t < r < t begrenzt, wobei t die Tribonacci-Konstante ist. ⓘ

Beziehung zu kürzesten Wegen

Die Bogenlänge einer Kurve ist definiert als die kleinste obere Schranke der Längen der polygonalen Näherungen. ⓘ

Diese Verallgemeinerung kann verwendet werden, um zu beweisen, dass die kürzeste Kurve zwischen zwei Punkten in der euklidischen Geometrie eine gerade Linie ist. ⓘ

Kein polygonaler Weg zwischen zwei Punkten ist kürzer als die Linie zwischen ihnen. Dies bedeutet, dass keine Kurve eine Bogenlänge haben kann, die kleiner ist als der Abstand zwischen ihren Endpunkten. Per Definition ist die Bogenlänge einer Kurve die kleinste obere Schranke der Längen aller polygonalen Annäherungen der Kurve. Das Ergebnis für polygonale Pfade zeigt, dass die gerade Linie zwischen den Endpunkten die kürzeste aller polygonalen Annäherungen ist. Da die Bogenlänge der Kurve größer oder gleich der Länge jeder polygonalen Annäherung ist, kann die Kurve selbst nicht kürzer sein als der geradlinige Weg. ⓘ

Umgekehrt

Die Umkehrung des Satzes der Dreiecksungleichheit ist ebenfalls wahr: Wenn drei reelle Zahlen so beschaffen sind, dass jede kleiner ist als die Summe der anderen, dann gibt es ein Dreieck mit diesen Zahlen als Seitenlängen und mit positivem Flächeninhalt; und wenn eine Zahl gleich der Summe der beiden anderen ist, gibt es ein entartetes Dreieck (d. h. mit dem Flächeninhalt Null) mit diesen Zahlen als Seitenlängen. ⓘ

Wenn die Seitenlängen a, b, c sind, können wir in jedem Fall versuchen, ein Dreieck in die euklidische Ebene zu legen, wie in der Abbildung gezeigt. Wir müssen beweisen, dass es eine reelle Zahl h gibt, die mit den Werten a, b und c übereinstimmt, in diesem Fall existiert das Dreieck. ⓘ

Das Dreieck mit der Höhe h schneidet die Basis c in d + (c - d). ⓘ

Nach dem Satz des Pythagoras ist b² = h² + d² und a² = h² + (c - d)², wie in der Abbildung rechts gezeigt. Subtrahiert man diese Werte, ergibt sich a² - b² = c² - 2cd. Mit dieser Gleichung lässt sich d in Bezug auf die Seiten des Dreiecks ausdrücken:

$d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.$

Für die Höhe des Dreiecks gilt: h² = b² - d². Ersetzt man d durch die oben angegebene Formel, so erhält man ⓘ

$h^{2}=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}.$ ⓘ

Damit eine reelle Zahl h diese Bedingung erfüllt, $h^{2}$ nicht-negativ sein:

$b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\geq 0,$

$\left(b-{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\left(b+{\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)\geq 0,$

$\left(a^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-a^{2}\right)\geq 0,$

$(a+b-c)(a-b+c)(b+c+a)(b+c-a)\geq 0,$

$(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\geq 0,$

Das ist der Fall, wenn die Dreiecksungleichung für alle Seiten erfüllt ist. Es gibt also eine reelle Zahl h, die mit den Seiten a, b, c übereinstimmt, und das Dreieck existiert. Wenn jede Dreiecksungleichung streng gilt, ist h > 0 und das Dreieck ist nicht entartet (hat einen positiven Flächeninhalt); wenn aber eine der Ungleichungen mit Gleichheit gilt, also h = 0, ist das Dreieck entartet. ⓘ

Beweis ⓘ

Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen

Die Fläche einer Dreiecksfläche eines Tetraeders ist kleiner oder gleich der Summe der Flächen der anderen drei Dreiecksflächen. Allgemeiner ausgedrückt: Im euklidischen Raum ist das Hypervolumen einer (n - 1)-Facette eines n-Simplexes kleiner oder gleich der Summe der Hypervolumina der anderen n Facetten. ⓘ

Ähnlich wie die Dreiecksungleichung zu einer Polygonungleichung verallgemeinert werden kann, kann die Ungleichung für ein Simplex beliebiger Dimension zu einem Polytop beliebiger Dimension verallgemeinert werden: Das Hypervolumen einer beliebigen Facette eines Polytops ist kleiner oder gleich der Summe der Hypervolumina der übrigen Facetten. ⓘ

In einigen Fällen ist die tetraedrische Ungleichung stärker als verschiedene Anwendungen der Dreiecksungleichung. Zum Beispiel scheint die Dreiecksungleichung die Möglichkeit von vier Punkten A, B, C und Z im euklidischen Raum zuzulassen, so dass die Abstände

AB = BC = CA = 26

und

AZ = BZ = CZ = 14.

Punkte mit solchen Abständen kann es jedoch nicht geben: Der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks ABC (26-26-26) beträgt 169√3 und ist damit größer als das Dreifache von 39√3, dem Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks 26-14-14 (alles nach der Heronschen Formel), so dass die Anordnung durch die Tetraeder-Ungleichung verboten ist. ⓘ

Normierter Vektorraum

Dreiecksungleichung für Normen von Vektoren. ⓘ

In einem normierten Vektorraum V ist eine der definierenden Eigenschaften der Norm die Dreiecksungleichung:

$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad \forall \,x,y\in V$ ⓘ

Das heißt, die Norm der Summe zweier Vektoren ist höchstens so groß wie die Summe der Normen der beiden Vektoren. Dies wird auch als Subadditivität bezeichnet. Damit sich eine vorgeschlagene Funktion wie eine Norm verhält, muss sie diese Bedingung erfüllen. Wenn der normierte Raum euklidisch oder, allgemeiner, streng konvex ist, dann $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ wenn und nur dann, wenn das durch x, y und x + y gebildete Dreieck degeneriert ist, d. h, x und y liegen auf demselben Strahl, d. h. x = 0 oder y = 0, oder x = α y für ein α > 0. Diese Eigenschaft charakterisiert streng konvex normierte Räume wie die ℓp-Räume mit 1 < p < ∞. Es gibt jedoch genormte Räume, in denen dies nicht wahr ist. Betrachten wir zum Beispiel die Ebene mit der Norm ℓ₁ (der Manhattan-Abstand) und bezeichne x = (1, 0) und y = (0, 1). Dann wird das Dreieck gebildet durch x, y und x + y gebildet wird, ist nicht entartet, sondern ⓘ

$\|x+y\|=\|(1,1)\|=|1|+|1|=2=\|x\|+\|y\|.$ ⓘ

Beispiel-Normen

• Absoluter Wert als Norm für die reelle Linie. Um eine Norm zu sein, verlangt die Dreiecksungleichung, dass der Absolutwert für beliebige reelle Zahlen x und y erfüllt ist:
  $$|x+y|\leq |x|+|y|,$$
  Was er auch tut. ⓘ

Beweis:

$-\left\vert x\right\vert \leq x\leq \left\vert x\right\vert$

$-\left\vert y\right\vert \leq y\leq \left\vert y\right\vert$

Nach dem Addieren,

$-(\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert )\leq x+y\leq \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert$

Verwenden Sie die Tatsache, dass $\left\vert b\right\vert \leq a\Leftrightarrow -a\leq b\leq a$ (mit b ersetzt durch x+y und a durch $\left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert$), haben wir ⓘ

$|x+y|\leq |x|+|y|$ ⓘ

Die Dreiecksungleichung ist in der mathematischen Analyse nützlich, um die beste obere Schätzung für die Größe der Summe zweier Zahlen in Bezug auf die Größe der einzelnen Zahlen zu bestimmen. ⓘ

Es gibt auch einen unteren Schätzwert, der mit Hilfe der umgekehrten Dreiecksungleichung gefunden werden kann, die besagt, dass für beliebige reelle Zahlen x und y:

$|x-y|\geq {\biggl |}|x|-|y|{\biggr |}.$ ⓘ

• Inneres Produkt als Norm in einem inneren Produktraum. Ergibt sich die Norm aus einem inneren Produkt (wie es bei euklidischen Räumen der Fall ist), so folgt die Dreiecksungleichung aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung wie folgt: Gegebene Vektoren $x$ und $y$, und das innere Produkt wird als $\langle x,y\rangle$:

$\|x+y\|^{2}$	$=\langle x+y,x+y\rangle$
	$=\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}$
	$\leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}$
	$\leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}$ (durch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung)
	$=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}$.

ⓘ

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung wird nur dann zu einer Gleichheit, wenn x und y linear abhängig sind. Die Ungleichung $\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle \leq 2\left|\left\langle x,y\right\rangle \right|$ wird zu einer Gleichheit für linear abhängige $x$ und $y$ dann und nur dann, wenn einer der Vektoren x oder y ein nichtnegativer Skalar des anderen ist. ⓘ

Durch Ziehen der Quadratwurzel aus dem Endergebnis erhält man die Dreiecksungleichung.

• p-Norm: Eine häufig verwendete Norm ist die p-Norm:
  $$\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\ ,$$
  Dabei sind die xi die Komponenten des Vektors x. Für p = 2 wird die p-Norm zur euklidischen Norm:
  $$\|x\|_{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\right)^{1/2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{1/2}\ ,$$
  Das ist der Satz des Pythagoras in n-Dimensionen, ein sehr spezieller Fall, der einer inneren Produktnorm entspricht. Mit Ausnahme des Falls p = 2 ist die p-Norm keine innere Produktnorm, da sie das Parallelogrammgesetz nicht erfüllt. Die Dreiecksungleichung für allgemeine Werte von p heißt Minkowski-Ungleichung. Sie hat die Form:
  $$\|x+y\|_{p}\leq \|x\|_{p}+\|y\|_{p}\ .$$
  ⓘ

Ersetzt man $y$ durch $-y,$ so erhält man auch ⓘ

Metrischer Raum

In einem metrischen Raum M mit der Metrik d ist die Dreiecksungleichung eine Bedingung für den Abstand:

$d(x,\ z)\leq d(x,\ y)+d(y,\ z)\ ,$ ⓘ

für alle x, y, z in M. Das heißt, der Abstand von x nach z ist höchstens so groß wie die Summe des Abstands von x nach y und des Abstands von y nach z. ⓘ

Die Dreiecksungleichung ist für den größten Teil der interessanten Struktur eines metrischen Raums verantwortlich, nämlich für die Konvergenz. Dies liegt daran, dass die übrigen Anforderungen an eine Metrik im Vergleich dazu recht einfach sind. Zum Beispiel ist die Tatsache, dass jede konvergente Folge in einem metrischen Raum eine Cauchy-Folge ist, eine direkte Folge der Dreiecksungleichung, denn wenn wir beliebige xn und xm so wählen, dass d(xn, x) < ε/2 und d(xm, x) < ε/2, wobei ε > 0 gegeben und willkürlich ist (wie in der Definition eines Limits in einem metrischen Raum), dann ist durch die Dreiecksungleichung d(xn, xm) ≤ d(xn, x) + d(xm, x) < ε/2 + ε/2 = ε, so dass die Folge {xn} per Definition eine Cauchy-Folge ist. ⓘ

Diese Version der Dreiecksungleichung reduziert sich auf die oben genannte für normierte Vektorräume, in denen eine Metrik durch d(x, y) ≔ ‖x - y‖ induziert wird, wobei x - y der Vektor ist, der vom Punkt y nach x zeigt. ⓘ

Umgekehrte Dreiecksungleichung

Die umgekehrte Dreiecksungleichung ist eine elementare Konsequenz der Dreiecksungleichung, die untere Schranken anstelle von oberen Schranken angibt. Für die ebene Geometrie lautet die Aussage:

Jede Seite eines Dreiecks ist größer als oder gleich der Differenz zwischen den beiden anderen Seiten. ⓘ

Im Falle eines normierten Vektorraums lautet die Aussage:

${\bigg |}\|x\|-\|y\|{\bigg |}\leq \|x-y\|,$

oder für metrische Räume: |d(y, x) - d(x, z)| ≤ d(y, z). Dies impliziert, dass die Norm $\|\cdot \|$ wie auch die Abstandsfunktion $d(x,\cdot )$ Lipschitz-kontinuierlich mit der Lipschitz-Konstante 1 sind und daher insbesondere gleichmäßig kontinuierlich sind. ⓘ

Der Beweis für das umgekehrte Dreieck verwendet die reguläre Dreiecksungleichung, und $\|y-x\|=\|{-}1(x-y)\|=|{-}1|\cdot \|x-y\|=\|x-y\|$:

$\|x\|=\|(x-y)+y\|\leq \|x-y\|+\|y\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|,$

$\|y\|=\|(y-x)+x\|\leq \|y-x\|+\|x\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\geq -\|x-y\|,$ ⓘ

Die Kombination dieser beiden Aussagen ergibt:

$-\|x-y\|\leq \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|\Rightarrow {\bigg |}\|x\|-\|y\|{\bigg |}\leq \|x-y\|.$ ⓘ

Dreiecksungleichung für Kosinusähnlichkeit

Wendet man die Kosinusfunktion auf die Dreiecksungleichung und die Ungleichung des umgekehrten Dreiecks für die Bogenlänge an und verwendet die Winkeladditions- und Subtraktionsformeln für Kosinus, so folgt unmittelbar, dass ⓘ

$$\operatorname {sim} (x,z)\geq \operatorname {sim} (x,y)\cdot \operatorname {sim} (y,z)-{\sqrt {\left(1-\operatorname {sim} (x,y)^{2}\right)\cdot \left(1-\operatorname {sim} (y,z)^{2}\right)}}$$

ⓘ

und ⓘ

$$\operatorname {sim} (x,z)\leq \operatorname {sim} (x,y)\cdot \operatorname {sim} (y,z)+{\sqrt {\left(1-\operatorname {sim} (x,y)^{2}\right)\cdot \left(1-\operatorname {sim} (y,z)^{2}\right)}}\,.$$

ⓘ

Mit diesen Formeln muss man für jedes untersuchte Tripel von Vektoren {x, y, z} eine Quadratwurzel berechnen, anstatt arccos(sim(x,y)) für jedes untersuchte Paar von Vektoren {x, y}, was eine Leistungsverbesserung darstellen könnte, wenn die Anzahl der untersuchten Tripel geringer ist als die Anzahl der untersuchten Paare. ⓘ

Umkehrung im Minkowski-Raum

Die Metrik des Minkowski-Raums $\eta _{\mu \nu }$ ist nicht positiv-definit, was bedeutet, dass $\|x\|^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$ ein beliebiges Vorzeichen haben oder verschwinden kann, selbst wenn der Vektor x ungleich Null ist. Wenn x und y beide zeitgleiche Vektoren sind, die im zukünftigen Lichtkegel liegen, kehrt sich die Dreiecksungleichung außerdem um:

$\|x+y\|\geq \|x\|+\|y\|.$ ⓘ

Ein physikalisches Beispiel für diese Ungleichung ist das Zwillingsparadoxon in der speziellen Relativitätstheorie. Die gleiche umgekehrte Form der Ungleichung gilt, wenn beide Vektoren im Lichtkegel der Vergangenheit liegen und wenn einer oder beide Vektoren Null sind. Das Ergebnis gilt in n + 1 Dimensionen für jedes n ≥ 1. Wenn die durch x und y definierte Ebene raumähnlich ist (und damit ein euklidischer Unterraum), dann gilt die übliche Dreiecksungleichung. ⓘ

Formen der Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen

Für komplexe Zahlen gilt:

$|z_{1}{}+z_{2}|\leq |z_{1}|{+}|z_{2}|.$ ⓘ

Beweis ⓘ

Da alle Seiten nichtnegativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung und man erhält

$z_{1}{\overline {z_{1}}}{+}z_{1}{\overline {z_{2}}}{+}{\underbrace {{\overline {z_{1}}}z_{2}} _{={\overline {z_{1}{\overline {z_{2}}}}}}}{+}z_{2}{\overline {z_{2}}}\ \leq \ z_{1}{\overline {z_{1}}}{+}2{\underbrace {|z_{1}z_{2}|} _{=|z_{1}{\overline {z_{2}}}|}}{+}z_{2}{\overline {z_{2}}},$

wobei der Überstrich komplexe Konjugation bedeutet. Streicht man identische Terme und setzt $z{\mathrel {:=\,}}z_{1}{\overline {z_{2}}},$ so bleibt

$z{+}{\bar {z}}\leq 2{|z|}$

zu zeigen. Mit $z=u{+}iv$ erhält man

$(u{+}iv){+}(u{-}iv)=2u\leq 2{\sqrt {u^{2}{+}v^{2}}}$

bzw.

$|u|\leq {\sqrt {u^{2}{+}v^{2}}},$

was wegen $0\leq v^{2}\$ und der Monotonie der (reellen) Wurzelfunktion immer erfüllt ist. ⓘ

Analog wie im reellen Fall folgt aus dieser Ungleichung auch

${\Big |}|z_{1}|{-}|z_{2}|{\Big |}\leq |z_{1}{\pm }z_{2}|\leq |z_{1}|{+}|z_{2}|$ für alle $z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C} .$ ⓘ

Dreiecksungleichung von Betragsfunktionen für Körper

Zusammen mit anderen Forderungen wird eine Betragsfunktion für einen Körper $K$ auch durch die ⓘ

Dreiecksungleichung

$\varphi (x+y)\leq \varphi (x)+\varphi (y)$ ⓘ

etabliert. Sie hat zu gelten für alle $x,y\in K.$ Sind alle Forderungen (s. Artikel Betragsfunktion) erfüllt, dann ist $\varphi$ eine Betragsfunktion für den Körper $K.$ ⓘ

Ist $\varphi (n)\leq 1$ für alle ganzen $n:=\underbrace {1+\dots +1} _{n{\text{-mal}}}$, dann nennt man den Betrag nichtarchimedisch, andernfalls archimedisch. ⓘ

Bei nichtarchimedischen Beträgen gilt die ⓘ

verschärfte Dreiecksungleichung

$\varphi (x+y)\leq \max(\varphi (x),\varphi (y)).$ ⓘ

Sie macht den Betrag zu einem ultrametrischen. Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch. ⓘ

Dreiecksungleichung für Summen und Integrale

Mehrmalige Anwendung der Dreiecksungleichung bzw. vollständige Induktion ergibt

$\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|$

für reelle oder komplexe Zahlen $x_{i}\;$. Diese Ungleichung gilt auch, wenn Integrale anstelle von Summen betrachtet werden: Ist $f\colon I\to \mathbb {R}$, wobei $I=[a,b]\,$ ein Intervall ist, Riemann-integrierbar, dann gilt ⓘ

$\left|\int _{I}f(x)\,dx\right|\leq \int _{I}|f(x)|\,dx$. ⓘ

Dies gilt auch für komplexwertige Funktionen $f\colon I\to \mathbb {C}$, vgl. Dann existiert nämlich eine komplexe Zahl $\alpha \;$ so, dass

$\alpha \int _{I}f(x)\,dx=\left|\int _{I}f(x)\,dx\right|$ und $|\alpha |=1\;$. ⓘ

Da

$\left|\int _{I}f(x)\,dx\right|=\alpha \int _{I}f(x)\,dx=\int _{I}\alpha \,f(x)\,dx=\int _{I}\operatorname {Re} (\alpha f(x))\,dx+i\,\int _{I}\operatorname {Im} (\alpha f(x))\,dx$ ⓘ

reell ist, muss $\int _{I}\operatorname {Im} (\alpha f(x))\,dx$ gleich Null sein. Außerdem gilt

$\operatorname {Re} (\alpha f(x))\leq |\alpha f(x)|=|f(x)|$,

insgesamt also

$\left|\int _{I}f(x)\,dx\right|=\int _{I}\operatorname {Re} (\alpha f(x))\,dx\leq \int _{I}|f(x)|\,dx$. ⓘ

Dreiecksungleichung für Vektoren

Für Vektoren gilt:

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|$. ⓘ

Die Gültigkeit dieser Beziehung sieht man durch Quadrieren

$\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left\langle {\vec {a}}+{\vec {b}},{\vec {a}}+{\vec {b}}\right\rangle =\left|{\vec {a}}\right|^{2}+2\left\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\right\rangle +\left|{\vec {b}}\right|^{2}\leq \left|{\vec {a}}\right|^{2}+2\left|{\vec {a}}\right|\left|{\vec {b}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|^{2}=\left(\left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|\right)^{2}$, ⓘ

unter Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:

$\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle \leq \left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|$. ⓘ

Auch hier folgt wie im reellen Fall ⓘ

${\Big |}\left|{\vec {a}}\right|-\left|{\vec {b}}\right|\,\,{\Big |}\leq \left|{\vec {a}}\pm {\vec {b}}\right|\leq \left|{\vec {a}}\right|+\left|{\vec {b}}\right|$

sowie

$\left|\sum _{i=1}^{n}{\vec {a_{i}}}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}\left|{\vec {a_{i}}}\right|.$ ⓘ