Summe

In der Mathematik ist die Summation die Addition einer Folge von Zahlen beliebiger Art, die als Summanden bezeichnet werden; das Ergebnis ist ihre Summe oder der Gesamtbetrag. Neben Zahlen können auch andere Arten von Werten summiert werden: Funktionen, Vektoren, Matrizen, Polynome und ganz allgemein Elemente aller Arten von mathematischen Objekten, für die eine mit "+" bezeichnete Operation definiert ist. ⓘ

Die Summierung unendlicher Folgen wird als Reihe bezeichnet. Sie beinhalten den Begriff des Grenzwerts und werden in diesem Artikel nicht behandelt. ⓘ

Die Summierung einer expliziten Folge wird als eine Folge von Additionen bezeichnet. Zum Beispiel wird die Summierung von [1, 2, 4, 2] als 1 + 2 + 4 + 2 bezeichnet und ergibt 9, d. h. 1 + 2 + 4 + 2 = 9. Da die Addition assoziativ und kommutativ ist, werden keine Klammern benötigt, und das Ergebnis ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden dasselbe. Die Summation einer Folge mit nur einem Element ergibt dieses Element selbst. Die Summierung einer leeren Folge (eine Folge ohne Elemente) ergibt vereinbarungsgemäß 0. ⓘ

Sehr oft sind die Elemente einer Folge durch ein regelmäßiges Muster in Abhängigkeit von ihrer Position in der Folge definiert. Bei einfachen Mustern kann die Summation langer Sequenzen so dargestellt werden, dass die meisten Summanden durch Ellipsen ersetzt werden. Zum Beispiel kann die Summation der ersten 100 natürlichen Zahlen als 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100 geschrieben werden. Andernfalls wird die Summation mit der Σ-Schreibweise angegeben, wobei ${\textstyle \sum }$ ein vergrößertes griechisches Großbuchstaben-Sigma ist. Zum Beispiel kann die Summe der ersten n natürlichen Zahlen wie folgt angegeben werden ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}i.}$ ⓘ

Bei langen Summen und Summen mit variabler Länge (die mit Ellipsen oder der Σ-Notation definiert werden) ist es ein häufiges Problem, geschlossene Ausdrücke für das Ergebnis zu finden. Ein Beispiel, ⓘ

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.$ ⓘ

Obwohl es solche Formeln nicht immer gibt, sind viele Summenformeln entdeckt worden - einige der gebräuchlichsten und elementarsten werden im Folgenden aufgeführt. ⓘ

Schreibweise

Großbuchstaben-Sigma-Schreibweise

Das Summationssymbol ⓘ

Die mathematische Notation verwendet ein Symbol, das die Summierung vieler ähnlicher Begriffe kompakt darstellt: das Summensymbol, ${\textstyle \sum }$eine vergrößerte Form des aufrecht stehenden griechischen Großbuchstabens Sigma. Es ist definiert als

$\sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}$

wobei i der Index der Summierung ist; ai ist eine indizierte Variable, die jeden Term der Summe darstellt; m ist die untere Grenze der Summierung und n ist die obere Grenze der Summierung. Das "i = m" unter dem Summationssymbol bedeutet, dass der Index i zunächst gleich m ist. Der Index i wird für jeden nachfolgenden Term um eins erhöht und hört auf, wenn i = n ist. ⓘ

Dies wird als "Summe von ai, von i = m bis n" gelesen. ⓘ

Hier ist ein Beispiel für die Summierung von Quadraten:

$\sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.$ ⓘ

Im Allgemeinen kann zwar jede Variable als Summationsindex verwendet werden (vorausgesetzt, es entsteht keine Mehrdeutigkeit), zu den gebräuchlichsten gehören jedoch Buchstaben wie $i$, $j$, $k$, und $n$Letztere wird auch häufig für die obere Schranke einer Summierung verwendet. ⓘ

Alternativ werden Index und Schranken der Summierung manchmal in der Definition der Summierung weggelassen, wenn der Kontext ausreichend klar ist. Dies gilt insbesondere, wenn der Index von 1 bis n reicht:

$\sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.$ ⓘ

Häufig werden Verallgemeinerungen dieser Notation verwendet, bei denen eine beliebige logische Bedingung angegeben wird und die Summe über alle Werte gebildet werden soll, die diese Bedingung erfüllen. Zum Beispiel:

$\sum _{0\leq k<100}f(k)$

ist eine alternative Schreibweise für ${\textstyle \sum _{k=0}^{99}f(k),}$ die Summe von $f(k)$ über alle (ganzen) Zahlen $k$ in dem angegebenen Bereich. Ähnlich,

$\sum _{x\mathop {\in } S}f(x)$

ist die Summe von $f(x)$ über alle Elemente $x$ in der Menge $S$, und

$\sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)$

ist die Summe von $\mu (d)$ über alle positiven ganzen Zahlen $d$ Dividieren $n$. ⓘ

Es gibt auch Möglichkeiten, die Verwendung von vielen Sigma-Zeichen zu verallgemeinern. Zum Beispiel,

$\sum _{i,j}$

ist dasselbe wie

$\sum _{i}\sum _{j}.$ ⓘ

Eine ähnliche Notation wird für das Produkt einer Folge verwendet, wobei ${\textstyle \prod }$, eine vergrößerte Form des griechischen Großbuchstabens pi, anstelle von ${\textstyle \sum .}$ ⓘ

Die Sigma-Schreibweise ⓘ

Summen über endliche oder unendliche Folgen können statt mit Auslassungspunkten auch mit dem Summenzeichen notiert werden:

$\sum _{k=m}^{n}a_{k}=\sum _{m\leq k\leq n}a_{k}=a_{m}+a_{m+1}+\dotsb +a_{n}.$ ⓘ

Das Summenzeichen besteht aus dem großen griechischen Buchstaben Σ (Sigma), gefolgt von einem Folgenglied, das durch einen zuvor nicht benutzten Index (hier $k$) bezeichnet wird. Dieser Index wird oft als Laufindex oder Summationsvariable bzw. Lauf- oder Zählvariable bezeichnet. Hierfür wird oft einer der Buchstaben $i,j,k,l,m,n$ verwendet. Wenn nicht eindeutig hervorgeht, welche Variable die Zählvariable ist, muss dies im Text angemerkt werden. ⓘ

Welche Werte die Laufvariable annehmen kann, wird an der Unterseite, gegebenenfalls auch der Oberseite des Zeichens Σ angezeigt. Es gibt dafür zwei Möglichkeiten:

1. Entweder wird unten ein Start- und oben ein Endwert angegeben (hier: $m$ und $n$). Der Laufindex wird in der Regel nur unten angeschrieben; ausführlicher, aber recht ungebräuchlich, ist $\textstyle \sum _{k=m}^{k=n}a_{k}.$
2. Oder es werden unten eine oder mehrere Bedingungen für die Zählvariable angegeben. Das obige Beispiel kann also auch durch $\textstyle \sum _{m\leq k\leq n}a_{k}$ notiert werden. ⓘ

Diese Angaben können reduziert oder weggelassen werden, wenn angenommen werden kann, dass der Leser sie aus dem Kontext heraus zu ergänzen vermag. Hiervon wird in bestimmten Zusammenhängen ausführlich Gebrauch gemacht: In der Tensorrechnung vereinbart man häufig die einsteinsche Summenkonvention, der zufolge sogar das Summationszeichen weggelassen werden kann, da aus dem Kontext klar ist, dass über alle doppelt vorkommenden Indizes zu summieren ist. Hier eine Animation zur Sigma-Schreibweise:

Sonderfälle

Es ist möglich, weniger als 2 Zahlen zu summieren:

• Wenn die Summation einen Summanden hat $x$, dann ist die ausgewertete Summe $x$.
• Hat die Summation keine Summanden, dann ist die ausgewertete Summe Null, denn Null ist die Identität der Addition. Dies wird als leere Summe bezeichnet. ⓘ

Diese entarteten Fälle werden normalerweise nur verwendet, wenn die Summationsschreibweise in einem speziellen Fall ein entartetes Ergebnis liefert. Zum Beispiel, wenn $n=m$ in der obigen Definition, dann gibt es nur einen Term in der Summe; wenn $n=m-1$, dann gibt es keinen. ⓘ

Formale Definition

Die Summation kann wie folgt rekursiv definiert werden:

$\sum _{i=a}^{b}g(i)=0$, für b < a;

$\sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)$, für b ≥ a. ⓘ

Maßtheoretische Notation

In der Notation der Maß- und Integrationstheorie kann eine Summe als bestimmtes Integral ausgedrückt werden, ⓘ

$\sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\,d\mu$ ⓘ

wobei $[a,b]$ die Teilmenge der ganzen Zahlen von $a$ bis $b$ist, und wobei $\mu$ das Zählmaß ist. ⓘ

Berechnung der endlichen Differenzen

Für eine Funktion f, die über den ganzen Zahlen des Intervalls [m, n] definiert ist, gilt die folgende Gleichung:

$f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).$ ⓘ

Dies ist das Analogon des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung, der besagt, dass:

$f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,$

wobei

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

ist die Ableitung von f. ⓘ

Ein Beispiel für die Anwendung der obigen Gleichung ist das folgende:

$n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).$

Mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes kann dies umgeschrieben werden als:

$n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}\right).$ ⓘ

Die obige Formel wird üblicherweise für die Umkehrung des Differenzoperators $\Delta$verwendet, der definiert ist durch:

$\Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),$

wobei f eine Funktion ist, die auf den nichtnegativen ganzen Zahlen definiert ist. Bei einer solchen Funktion f besteht das Problem also darin, die Antidifferenz von f zu berechnen, eine Funktion $F=\Delta ^{-1}f$ derart, dass $\Delta F=f$. Das ist, $F(n+1)-F(n)=f(n).$ Diese Funktion ist bis auf die Addition einer Konstanten definiert und kann wie folgt gewählt werden

$F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).$ ⓘ

Es gibt nicht immer einen Ausdruck in geschlossener Form für eine solche Summierung, aber die Faulhaber-Formel liefert eine geschlossene Form für den Fall, dass $f(n)=n^{k}$ und, aufgrund der Linearität, für jede Polynomfunktion von n. ⓘ

Annäherung durch definite Integrale

Viele solcher Näherungen lassen sich durch den folgenden Zusammenhang zwischen Summen und Integralen erhalten, der für jede steigende Funktion f gilt:

$\int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.$ ⓘ

und für jede abnehmende Funktion f:

$\int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.$ ⓘ

Für allgemeinere Näherungen siehe die Euler-Maclaurin-Formel. ⓘ

Für Summationen, bei denen der Summand durch eine integrierbare Funktion des Index gegeben ist (oder interpoliert werden kann), kann die Summation als Riemannsche Summe interpretiert werden, die in der Definition des entsprechenden bestimmten Integrals auftritt. Man kann daher erwarten, dass zum Beispiel ⓘ

${\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,$ ⓘ

da die rechte Seite per Definition der Grenzwert für $n\to \infty$ der linken Seite ist. Für eine gegebene Summation ist n jedoch fest, und über den Fehler in der obigen Näherung lässt sich ohne zusätzliche Annahmen über f wenig sagen: Es ist klar, dass für wild schwingende Funktionen die Riemannsche Summe beliebig weit vom Riemannschen Integral entfernt sein kann. ⓘ

Identitäten

Bei den folgenden Formeln handelt es sich um endliche Summen; für unendliche Summen oder endliche Summen von Ausdrücken, die trigonometrische Funktionen oder andere transzendente Funktionen beinhalten, siehe Liste der mathematischen Reihen. ⓘ

Allgemeine Identitäten

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad$ (Distributivität)

$\sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad$ (Kommutativität und Assoziativität)

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad$ (Indexverschiebung)

$\sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad$ für eine Bijektion σ von einer endlichen Menge A auf eine Menge B (Indexverschiebung); dies verallgemeinert die vorhergehende Formel.

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad$ (Aufspaltung einer Summe, unter Verwendung der Assoziativität)

$\sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad$ (eine Variante der vorangegangenen Formel)

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad$ (die Summe vom ersten bis zum letzten Term ist gleich der Summe vom letzten bis zum ersten Term)

$\sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad$ (ein Sonderfall der obigen Formel)

$\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad$ (Kommutativität und Assoziativität, wieder)

$\sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad$ (eine weitere Anwendung von Kommutativität und Assoziativität)

$\sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad$ (Aufspaltung einer Summe in ihre ungeraden und geraden Teile, für gerade Indizes)

$\sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad$ (Zerlegung einer Summe in ihre ungeraden und geraden Teile, für ungerade Indizes)

$\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad$ (Distributivität)

$\sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\left(\sum _{i=s}^{m}a_{i}\right)\left(\sum _{j=t}^{n}c_{j}\right)\quad$ (Distributivität ermöglicht Faktorisierung)

$\sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad$ (der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren)

$C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad$ (der Exponentialwert einer Summe ist das Produkt der Exponentialwerte der Summanden) ⓘ

Potenzen und Logarithmus der arithmetischen Progression

$\sum _{i=1}^{n}c=nc\quad$ für jedes c, das nicht von i abhängt

$\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad$ (Summe der einfachsten arithmetischen Progression, bestehend aus den ersten n natürlichen Zahlen.)

$\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad$ (Summe der ersten ungeraden natürlichen Zahlen)

$\sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad$ (Summe der ersten geraden natürlichen Zahlen)

$\sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad$ (Eine Summe von Logarithmen ist der Logarithmus des Produkts)

$\sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad$ (Summe der ersten Quadrate, siehe quadratische Pyramidenzahl.)

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad$ (Satz des Nikomachos) ⓘ

Allgemeiner hat man die Faulhabersche Formel für $p>1$

$\sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},$

wobei $B_{k}$ bezeichnet eine Bernoulli-Zahl, und ${\binom {p}{k}}$ ist ein Binomialkoeffizient. ⓘ

Summationsindex in Exponenten

Bei den folgenden Summierungen wird angenommen, dass a von 1 verschieden ist. ⓘ

$\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}$ (Summe einer geometrischen Progression)

$\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}$ (Sonderfall für a = 1/2)

$\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}$ (a mal die Ableitung nach a der geometrischen Progression)

${\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}$

(Summe einer arithmetisch-geometrischen Folge) ⓘ

Binomische Koeffizienten und Fakultäten

Es gibt sehr viele Summationsgleichungen mit Binomialkoeffizienten (ein ganzes Kapitel der Konkreten Mathematik ist nur den grundlegenden Techniken gewidmet). Einige der grundlegendsten sind die folgenden. ⓘ

Mit dem Binomischen Lehrsatz

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},$ der Binomische Lehrsatz

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},$ den Sonderfall a = b = 1

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1$den Sonderfall, in dem p = a = 1 - b ist, was für $0\leq p\leq 1,$ die Summe der Binomialverteilung ausdrückt

$\sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),$ der Wert bei a = b = 1 der Ableitung nach a des Binomialsatzes

$\sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},$ der Wert bei a = b = 1 der Gegenableitung nach a des Binomialtheorems ⓘ

Einbeziehung von Permutationszahlen

In den folgenden Summierungen, ${}_{n}P_{k}$ die Anzahl der k-Permutationen von n.

$\sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})$

$\sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}$

$\sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$, wobei und $\lfloor x\rfloor$ die Floor-Funktion bezeichnet. ⓘ

Andere

Wird das Folgeglied als Summe (oder Differenz) mitgeteilt, so muss es in Klammern geschrieben werden:

$\sum _{k=m}^{n}(a_{k}+b_{k})=\sum _{k=m}^{n}a_{k}+\sum _{k=m}^{n}b_{k}.$ ⓘ

Wird das Folgeglied als Produkt (oder Quotient) mitgeteilt, so ist die Klammer überflüssig:

$\sum _{k=m}^{n}\lambda \cdot a_{k}=\lambda \cdot \sum _{k=m}^{n}a_{k}.$ ⓘ

Vorsicht: Allgemein gilt: $\sum _{k=m}^{n}a_{k}\cdot b_{k}\neq \sum _{k=m}^{n}a_{k}\cdot \sum _{k=m}^{n}b_{k}$. ⓘ

$\sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}$

$\sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}$

$\sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1$

$\sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}$

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}$

$\sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}$ ⓘ

Harmonische Zahlen

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}$ (das ist die n-te harmonische Zahl)

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}$ (das ist eine verallgemeinerte harmonische Zahl) ⓘ

Wachstumsraten

Die folgenden Angaben sind nützliche Näherungen (unter Verwendung der Theta-Notation):

$\sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})$ für reelle c größer als -1

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)$ (siehe Harmonische Zahl)

$\sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})$ für reelles c größer als 1

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})$ für nichtnegatives reelles c

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})$ für nichtnegative reelle c, d

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})$ für nichtnegative reelle b > 1, c, d ⓘ

Geschichte

• 1675 schlägt Gottfried Wilhelm Leibniz in einem Brief an Heinrich Oldenburg das Symbol ∫ vor, um die Summe der Differentiale zu bezeichnen (lateinisch: calculus summatorius), daher die S-Form. Die Umbenennung dieses Symbols in Integral ergab sich später im Austausch mit Johann Bernoulli.
• Im Jahr 1755 ist das Summensymbol Σ in Leonhard Eulers Institutiones calculi differentialis bezeugt. Euler verwendet das Symbol in Ausdrücken wie:

$\Sigma \ (2wx+w^{2})=x^{2}$

• Im Jahr 1772 wird die Verwendung von Σ und Σn von Lagrange bescheinigt.
• 1823 wird der Großbuchstabe S als Summensymbol für Reihen bezeugt. Diese Verwendung war offenbar weit verbreitet.
• 1829 wird das Summensymbol Σ von Fourier und C. G. J. Jacobi bezeugt. Fourier verwendet es z. B. für untere und obere Schranken:

$\sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots$ ⓘ

Wortgeschichte und -bedeutungen

Das Wort Summe wurde im Mittelhochdeutschen von lateinisch summa entlehnt. Summa war bis in das 19. Jahrhundert neben Summe gebräuchlich und geht auf summus zurück, einen der lat. Superlative zu superus „oberhalb befindlich, der/die/das Höhere/Obere“, die folglich „der/die/das Höchste/Oberste“ bedeuten. „Das Oberste“ deshalb, weil die Römer die Summe in der obersten Zeile, also über den Summanden, zu notieren pflegten und nicht, wie heute üblich, „unterm Strich“. ⓘ

In der Alltagssprache bezeichnet Summe einen Geldbetrag, unabhängig davon, ob er durch Addition zustande gekommen ist oder nicht. ⓘ

Gewichtete Summe

In einigen Fällen werden die einzelnen Summanden nicht einfach addiert, sondern zuvor noch mit einem Gewicht multipliziert:

$2\cdot {\text{Gewicht}}_{1}+3\cdot {\text{Gewicht}}_{2}.$ ⓘ

Zum Beispiel:

$2\cdot 3+3\cdot 5.$ ⓘ

In diesem Fall spricht man von einer gewichteten Summe. Teilt man die gewichtete Summe durch die Summe der Gewichte, erhält man das gewichtete arithmetische Mittel. ⓘ

Verwandte Begriffe

• Die disjunkte Vereinigung von Mengen hat eine gewisse formale Ähnlichkeit mit der Addition von Zahlen. Sind beispielsweise $X$ und $Y$ endliche Mengen, so ist die Anzahl der Elemente von $X\sqcup Y$ gleich der Summe der Elementanzahlen von $X$ und $Y$. Das kartesische Produkt ist distributiv über dieser Summenbildung:

$X\times (Y\sqcup Z)\cong (X\times Y)\sqcup (X\times Z)$

• Die aus kategorieller Sicht analoge Konstruktion für Vektorräume oder abelsche Gruppen wird als direkte Summe bezeichnet; allgemein spricht man von einem Koprodukt.
• Eine Teleskopsumme ist in der Mathematik eine endliche Summe von Differenzen, bei der je zwei Nachbarglieder (außer dem ersten und dem letzten) sich gegenseitig aufheben.
• Als Pythagoreische Summe bezeichnet man eine der Addition ähnliche Rechenoperation, bei der die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate mehrerer Größen berechnet wird. ⓘ