Wärmeleitung

Der Prozess, bei dem Wärme vom heißeren Ende auf das kältere Ende eines Objekts übertragen wird, wird als Wärmeleitung bezeichnet. ⓘ

Wärme fließt spontan von einem heißeren zu einem kälteren Körper. So wird beispielsweise Wärme von der Heizplatte eines Elektroherds auf den Boden eines Kochtopfs geleitet, der mit ihr in Berührung kommt. In Abwesenheit einer entgegengesetzten externen Antriebsenergiequelle innerhalb eines Körpers oder zwischen Körpern nehmen die Temperaturunterschiede mit der Zeit ab, und es kommt zu einem thermischen Gleichgewicht, bei dem die Temperatur gleichmäßiger wird. ⓘ

Bei der Wärmeleitung findet der Wärmestrom im und durch den Körper selbst statt. Im Gegensatz dazu findet bei der Wärmeübertragung durch Wärmestrahlung die Übertragung häufig zwischen Körpern statt, die räumlich voneinander getrennt sein können. Wärme kann auch durch eine Kombination von Leitung und Strahlung übertragen werden. In Festkörpern wird die Wärmeleitung durch die Kombination von Schwingungen und Zusammenstößen von Molekülen, Ausbreitung und Zusammenstößen von Phononen sowie Diffusion und Zusammenstößen von freien Elektronen vermittelt. In Gasen und Flüssigkeiten ist die Leitung auf die Kollisionen und die Diffusion von Molekülen während ihrer zufälligen Bewegung zurückzuführen. Da Photonen in diesem Zusammenhang nicht miteinander kollidieren, unterscheidet sich der Wärmetransport durch elektromagnetische Strahlung konzeptionell von der Wärmeleitung durch mikroskopische Diffusion und Kollisionen von Materialteilchen und Phononen. Die Unterscheidung ist jedoch oft nicht leicht zu erkennen, es sei denn, das Material ist halbtransparent. ⓘ

In den Ingenieurwissenschaften umfasst die Wärmeübertragung die Prozesse der Wärmestrahlung, der Konvektion und manchmal des Stofftransports. In der Regel tritt mehr als einer dieser Prozesse in einer bestimmten Situation auf. ⓘ

Das herkömmliche Symbol für die Wärmeleitfähigkeit ist k. ⓘ

Aufgrund der unterschiedlichen Wärmeleitfähigkeit und der unterschiedlichen Wärmekapazität von Pflastersteinen und Gras kann durch diesen schmelzenden Schnee der Pflastersteinumriss gesehen werden. ⓘ

Wärmeleitung – auch Wärmediffusion oder Konduktion genannt – ist ein Mechanismus zum Transport von thermischer Energie. Wärme fließt dabei – gemäß dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik – immer nur in Richtung geringerer Temperatur. Dabei geht keine Wärmeenergie verloren; es gilt der Energieerhaltungssatz. ⓘ

In der Physik wird unter Wärmeleitung der Wärmefluss in oder zwischen einem Feststoff, einem Fluid oder einem Gas infolge eines Temperaturunterschiedes verstanden. Ein Maß für die Wärmeleitung in einem bestimmten Stoff ist die Wärmeleitfähigkeit. Zur Berechnung von Wärmeleitung kann oft die Analogie zum elektrischen Strom verwendet werden, siehe Wärmewiderstand. Dann sind Wärmeleitfähigkeits- und Temperaturberechnungen mit den Methoden der Elektrotechnik möglich. ⓘ

Weitere Mechanismen zum Transport von thermischer Energie sind Konvektion und Wärmestrahlung. ⓘ

Überblick

Auf mikroskopischer Ebene findet die Wärmeleitung innerhalb eines Körpers statt, der als stationär betrachtet wird; das bedeutet, dass die kinetische und die potenzielle Energie der Massenbewegung des Körpers getrennt berücksichtigt werden. Interne Energie diffundiert, wenn sich schnell bewegende oder vibrierende Atome und Moleküle mit benachbarten Teilchen in Wechselwirkung treten und einen Teil ihrer mikroskopischen kinetischen und potenziellen Energie übertragen, wobei diese Größen relativ zur Masse des als stationär betrachteten Körpers definiert sind. Wärme wird durch Wärmeleitung übertragen, wenn benachbarte Atome oder Moleküle zusammenstoßen oder wenn sich mehrere Elektronen ungeordnet von Atom zu Atom hin- und herbewegen, so dass kein makroskopischer elektrischer Strom entsteht, oder wenn Photonen zusammenstoßen und sich streuen. Die Wärmeleitung ist die wichtigste Art der Wärmeübertragung innerhalb eines Festkörpers oder zwischen festen Objekten, die in Wärmekontakt stehen. Die Wärmeleitung ist in Festkörpern größer, weil das Netz relativ enger fester räumlicher Beziehungen zwischen den Atomen dazu beiträgt, die Energie zwischen ihnen durch Vibration zu übertragen. ⓘ

Die thermische Kontaktleitfähigkeit ist die Untersuchung der Wärmeleitung zwischen festen Körpern, die sich berühren. An der Grenzfläche zwischen den beiden sich berührenden Oberflächen wird häufig ein Temperaturabfall beobachtet. Dieses Phänomen wird als Folge eines thermischen Kontaktwiderstands zwischen den sich berührenden Oberflächen angesehen. Der thermische Grenzflächenwiderstand ist ein Maß für den Widerstand einer Grenzfläche gegen den Wärmefluss. Dieser Wärmewiderstand unterscheidet sich vom Kontaktwiderstand, da er auch an atomar perfekten Grenzflächen existiert. Das Verständnis des Wärmewiderstands an der Grenzfläche zwischen zwei Materialien ist für die Untersuchung ihrer thermischen Eigenschaften von größter Bedeutung. Grenzflächen tragen oft erheblich zu den beobachteten Eigenschaften der Materialien bei. ⓘ

Die Energieübertragung zwischen den Molekülen kann in erster Linie durch elastische Stöße, wie bei Flüssigkeiten, durch Diffusion freier Elektronen, wie bei Metallen, oder durch Phononenschwingungen, wie bei Isolatoren, erfolgen. In Isolatoren wird der Wärmestrom fast ausschließlich durch Phononenschwingungen übertragen. ⓘ

Metalle (z. B. Kupfer, Platin, Gold usw.) sind in der Regel gute Leiter von Wärmeenergie. Dies ist auf die Art und Weise zurückzuführen, wie Metalle chemisch gebunden sind: Metallische Bindungen (im Gegensatz zu kovalenten oder ionischen Bindungen) haben frei bewegliche Elektronen, die Wärmeenergie schnell durch das Metall übertragen. Die Elektronenflüssigkeit eines leitfähigen metallischen Festkörpers leitet den größten Teil des Wärmestroms durch den Festkörper. Der Phononenfluss ist immer noch vorhanden, transportiert aber einen geringeren Teil der Energie. Elektronen leiten auch elektrischen Strom durch leitfähige Festkörper, und die Wärme- und elektrischen Leitfähigkeiten der meisten Metalle stehen in etwa im gleichen Verhältnis. Ein guter elektrischer Leiter, wie z. B. Kupfer, leitet auch Wärme gut. Die Thermoelektrizität wird durch die Wechselwirkung von Wärmestrom und elektrischem Strom verursacht. Die Wärmeleitung in einem Festkörper ist direkt vergleichbar mit der Diffusion von Teilchen in einer Flüssigkeit, sofern es keine Flüssigkeitsströme gibt. ⓘ

In Gasen erfolgt die Wärmeübertragung durch Zusammenstöße von Gasmolekülen untereinander. In Abwesenheit von Konvektion, die sich auf eine sich bewegende Flüssigkeits- oder Gasphase bezieht, hängt die Wärmeleitung durch eine Gasphase in hohem Maße von der Zusammensetzung und dem Druck dieser Phase und insbesondere von der mittleren freien Weglänge der Gasmoleküle im Verhältnis zur Größe des Gasspalts ab, die durch die Knudsen-Zahl $K_{n}$. ⓘ

Um die Leichtigkeit, mit der ein bestimmtes Medium leitet, zu quantifizieren, verwenden Ingenieure die Wärmeleitfähigkeit, auch bekannt als Leitfähigkeitskonstante oder Leitungskoeffizient, k. In der Wärmeleitfähigkeit ist k definiert als "die Wärmemenge Q, die in der Zeit (t) durch eine Dicke (L) in einer Richtung senkrecht zu einer Fläche (A) aufgrund einer Temperaturdifferenz (ΔT) übertragen wird [...]". Die Wärmeleitfähigkeit ist eine Materialeigenschaft, die in erster Linie von der Phase des Mediums, der Temperatur, der Dichte und der molekularen Bindung abhängt. Die Wärmeleitfähigkeit ist eine von der Leitfähigkeit abgeleitete Größe, die ein Maß für die Fähigkeit eines Stoffes ist, Wärmeenergie mit seiner Umgebung auszutauschen. ⓘ

In Körpern, an deren Oberflächen konstante thermische Bedingungen 1. Art (Oberflächentemperatur), 2. Art (Wärmestromdichte) oder 3. Art (Fluidtemperatur und Wärmeübergangskoeffizient) vorliegen, bilden sich in der Regel sehr komplizierte Temperaturfelder aus. In Sonderfällen lassen sich diese analytisch durch Lösen der Laplaceschen Differenzialgleichung berechnen. In der Regel werden jedoch numerisch arbeitende Simulationsmodelle verwendet. Mit Kenntnis des Temperaturfeldes sind auch die Wärmeströme bestimmbar. In zahlreichen Fällen interessieren den Anwender ohnehin nur die sich an den Körperoberflächen einstellenden Wärmeströme und/oder die Temperaturen an bestimmten Orten innerhalb des Festkörpers. Ist ein solcher Körper mit den angrenzenden thermischen Bedingungen für solche Zustände, die untereinander keine Linearkombinationen darstellen, untersucht worden, so lässt sich daraus eine Formkoeffizientenmatrix ermitteln. Mit dieser einmalig bestimmten Matrix von Formkoeffizienten können dann beispielsweise für veränderliche Oberflächen- oder angrenzende Fluidtemperaturen oder aber für aufgeprägte Wärmestromdichten mit einfachen Kalkulationsprogrammen die Wärmeströme an den Oberflächen und ausgewählte Ortstemperaturen innerhalb des Festkörpers bestimmt werden. ⓘ

Thermische Leitung im stationären Zustand

Die stationäre Wärmeleitung ist die Form der Wärmeleitung, die auftritt, wenn die Temperaturdifferenz(en), die die Wärmeleitung antreiben, konstant sind, so dass sich (nach einer Gleichgewichtszeit) die räumliche Verteilung der Temperaturen (Temperaturfeld) im leitenden Objekt nicht weiter ändert. Somit können alle partiellen Ableitungen der Temperatur in Bezug auf den Raum entweder Null sein oder Werte ungleich Null haben, aber alle Ableitungen der Temperatur in Bezug auf die Zeit sind in jedem Punkt einheitlich Null. Bei der stationären Wärmeleitung ist die Wärmemenge, die in einen beliebigen Bereich eines Objekts eintritt, gleich der Wärmemenge, die aus diesem Bereich austritt (wäre dies nicht der Fall, würde die Temperatur steigen oder fallen, da Wärmeenergie in einem Bereich abgegriffen oder eingeschlossen wird). ⓘ

Ein Balken beispielsweise kann an einem Ende kalt und am anderen heiß sein, aber nachdem ein Zustand gleichmäßiger Wärmeleitung erreicht ist, ändert sich das räumliche Temperaturgefälle entlang des Balkens mit fortschreitender Zeit nicht mehr. Stattdessen bleibt die Temperatur an jedem beliebigen Querschnitt des Stabs senkrecht zur Richtung der Wärmeübertragung konstant, und diese Temperatur variiert linear im Raum, wenn es keine Wärmeerzeugung im Stab gibt. ⓘ

Bei der stationären Wärmeleitung können alle Gesetze der elektrischen Gleichstromleitung auf "Wärmeströme" angewendet werden. In solchen Fällen kann man die "thermischen Widerstände" als Analogie zu den elektrischen Widerständen betrachten. In solchen Fällen spielt die Temperatur die Rolle der Spannung, und die pro Zeiteinheit übertragene Wärme (Wärmeleistung) ist das Analogon des elektrischen Stroms. Stationäre Systeme können durch Netzwerke solcher thermischer Widerstände in Reihe und parallel modelliert werden, in exakter Analogie zu elektrischen Netzwerken von Widerständen. Ein Beispiel für ein solches Netzwerk finden Sie unter rein resistive thermische Schaltungen. ⓘ

Vorübergehende Wärmeleitung

Während eines Zeitraums, in dem sich die Temperaturen an einem beliebigen Ort innerhalb eines Objekts zeitlich ändern, wird die Art des Wärmeenergieflusses als instationäre Wärmeleitung bezeichnet. Ein anderer Begriff ist "instationäre" Wärmeleitung, der sich auf die Zeitabhängigkeit der Temperaturfelder in einem Objekt bezieht. Nicht-stationäre Zustände treten nach einer erzwungenen Temperaturänderung an einer Grenze eines Objekts auf. Sie können auch bei Temperaturänderungen innerhalb eines Objekts auftreten, wenn plötzlich eine neue Wärmequelle oder -senke in das Objekt eingeführt wird, wodurch sich die Temperaturen in der Nähe der Quelle oder Senke zeitlich verändern. ⓘ

Wenn eine neue Temperaturstörung dieser Art auftritt, ändern sich die Temperaturen innerhalb des Systems mit der Zeit in Richtung eines neuen Gleichgewichts mit den neuen Bedingungen, vorausgesetzt, diese ändern sich nicht. Nach Erreichen des Gleichgewichts ist der Wärmestrom in das System wieder gleich dem Wärmestrom aus dem System, und die Temperaturen an jedem Punkt im System ändern sich nicht mehr. Sobald dies der Fall ist, ist die instationäre Wärmeleitung beendet, obwohl die stationäre Wärmeleitung fortgesetzt werden kann, wenn der Wärmestrom weitergeht. ⓘ

Wenn sich die Außentemperaturen oder die interne Wärmeerzeugung zu schnell ändern, als dass sich ein Gleichgewicht der Temperaturen im Raum einstellen könnte, erreicht das System nie einen Zustand gleichbleibender Temperaturverteilung, und das System bleibt in einem instationären Zustand. ⓘ

Ein Beispiel für eine neue Wärmequelle, die sich innerhalb eines Objekts "einschaltet" und eine vorübergehende Wärmeleitung verursacht, ist das Anlassen des Motors in einem Auto. In diesem Fall ist die Phase der vorübergehenden Wärmeleitung für die gesamte Maschine vorbei, und die stationäre Phase tritt ein, sobald der Motor seine Betriebstemperatur erreicht hat. In diesem Zustand des stationären Gleichgewichts variieren die Temperaturen zwischen den Motorzylindern und anderen Teilen des Fahrzeugs stark, aber an keinem Punkt des Fahrzeugs nimmt die Temperatur zu oder ab. Nachdem sich dieser Zustand eingestellt hat, ist die vorübergehende Phase der Wärmeübertragung beendet. ⓘ

Auch neue äußere Bedingungen bewirken diesen Prozess: So erfährt der Kupferstab im Beispiel der stationären Wärmeleitung eine instationäre Wärmeleitung, sobald ein Ende einer anderen Temperatur als das andere ausgesetzt wird. Mit der Zeit erreicht das Temperaturfeld im Inneren des Stabes einen neuen stationären Zustand, in dem sich schließlich ein konstantes Temperaturgefälle entlang des Stabes einstellt, das dann im Raum konstant bleibt. Typischerweise nähert sich ein solcher neuer stationärer Gradient exponentiell mit der Zeit, nachdem eine neue Temperatur- oder Wärmequelle oder -senke eingeführt wurde. Wenn die Phase der "vorübergehenden Leitung" vorbei ist, kann der Wärmefluss mit hoher Leistung fortgesetzt werden, solange sich die Temperaturen nicht ändern. ⓘ

Ein Beispiel für eine vorübergehende Wärmeleitung, die nicht mit einer stationären Wärmeleitung, sondern mit keiner Wärmeleitung endet, ist der Fall, wenn eine heiße Kupferkugel bei niedriger Temperatur in Öl getaucht wird. Hier beginnt sich das Temperaturfeld innerhalb des Objekts in Abhängigkeit von der Zeit zu verändern, da dem Metall Wärme entzogen wird, und das Interesse liegt darin, diese räumliche Veränderung der Temperatur innerhalb des Objekts im Laufe der Zeit zu analysieren, bis alle Gradienten vollständig verschwinden (die Kugel hat die gleiche Temperatur wie das Öl erreicht). Mathematisch gesehen nähert man sich auch diesem Zustand exponentiell an; in der Theorie dauert er unendlich lange, in der Praxis ist er jedoch praktisch in einem viel kürzeren Zeitraum abgeschlossen. Am Ende dieses Prozesses, bei dem es außer den inneren Teilen der Kugel (die endlich sind) keine Wärmesenke gibt, ist kein stationärer Zustand der Wärmeleitung zu erreichen. Ein solcher Zustand tritt in dieser Situation nie ein, sondern das Ende des Prozesses ist dann erreicht, wenn überhaupt keine Wärmeleitung mehr stattfindet. ⓘ

Die Analyse von Systemen mit nicht stationärer Wärmeleitung ist komplexer als die von Systemen mit stationärer Wärmeleitung. Wenn der leitende Körper eine einfache Form hat, können exakte analytische mathematische Ausdrücke und Lösungen möglich sein (siehe Wärmegleichung für den analytischen Ansatz). Bei komplizierten Formen mit unterschiedlichen Wärmeleitfähigkeiten innerhalb der Form (d. h. bei den meisten komplexen Objekten, Mechanismen oder Maschinen in der Technik) ist jedoch häufig die Anwendung von Näherungstheorien und/oder die numerische Analyse am Computer erforderlich. Eine beliebte grafische Methode ist die Verwendung von Heisler-Diagrammen. ⓘ

Gelegentlich können instationäre Leitungsprobleme erheblich vereinfacht werden, wenn Bereiche des zu erwärmenden oder zu kühlenden Objekts identifiziert werden können, für die die Wärmeleitfähigkeit sehr viel größer ist als für die in diesen Bereich führenden Wärmepfade. In diesem Fall kann der Bereich mit hoher Leitfähigkeit oft im Modell der pauschalen Kapazität als ein "Klumpen" von Material mit einer einfachen Wärmekapazität behandelt werden, die aus seiner Gesamtwärmekapazität besteht. Solche Regionen erwärmen oder kühlen sich, zeigen aber während des Prozesses keine signifikanten Temperaturschwankungen über ihre Ausdehnung (im Vergleich zum Rest des Systems). Dies ist auf ihren weitaus höheren Leitwert zurückzuführen. Während der vorübergehenden Wärmeleitung ändert sich die Temperatur in den leitfähigen Bereichen daher gleichmäßig im Raum und als einfache Exponentialkurve in der Zeit. Ein Beispiel für solche Systeme sind solche, die bei vorübergehender Abkühlung dem Newtonschen Gesetz der Abkühlung folgen (oder umgekehrt bei Erwärmung). Das thermische Ersatzschaltbild besteht aus einem einfachen Kondensator in Reihe mit einem Widerstand. In solchen Fällen übernimmt der Rest des Systems mit einem hohen Wärmewiderstand (vergleichsweise geringe Leitfähigkeit) die Rolle des Widerstands in der Schaltung. ⓘ

Relativistische Wärmeleitung

Die Theorie der relativistischen Wärmeleitung ist ein Modell, das mit der speziellen Relativitätstheorie vereinbar ist. Während des größten Teils des letzten Jahrhunderts war man sich darüber im Klaren, dass die Fourier-Gleichung im Widerspruch zur Relativitätstheorie steht, weil sie eine unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wärmesignalen zulässt. Nach der Fourier-Gleichung würde zum Beispiel ein Wärmeimpuls am Ursprung sofort im Unendlichen zu spüren sein. Die Geschwindigkeit der Informationsausbreitung ist schneller als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, was im Rahmen der Relativitätstheorie physikalisch unzulässig ist. ⓘ

Quantenleitung

Der zweite Schall ist ein quantenmechanisches Phänomen, bei dem die Wärmeübertragung durch wellenförmige Bewegung und nicht durch den üblichen Mechanismus der Diffusion erfolgt. Die Wärme tritt bei normalen Schallwellen an die Stelle des Drucks. Dies führt zu einer sehr hohen Wärmeleitfähigkeit. Sie wird als "zweiter Schall" bezeichnet, weil die Wellenbewegung der Wärme der Ausbreitung des Schalls in der Luft ähnelt. ⓘ

Das Fouriersche Gesetz

Das Gesetz der Wärmeleitung, auch Fourier-Gesetz genannt, besagt, dass die Geschwindigkeit der Wärmeübertragung durch ein Material proportional zum negativen Temperaturgradienten und zur Fläche ist, die im rechten Winkel zu diesem Gradienten liegt und von der Wärme durchströmt wird. Dieses Gesetz kann in zwei äquivalenten Formen formuliert werden: in der integralen Form, bei der die Energiemenge betrachtet wird, die in einen Körper als Ganzes hinein- oder aus ihm herausfließt, und in der differentiellen Form, bei der die lokalen Energieströme oder -flüsse betrachtet werden. ⓘ

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz ist ein diskretes Analogon des Fourierschen Gesetzes, das Ohmsche Gesetz ist das elektrische Analogon des Fourierschen Gesetzes und das Ficksche Diffusionsgesetz ist sein chemisches Analogon. ⓘ

Differentialform

Die Differentialform des Fourierschen Wärmeleitungsgesetzes zeigt, dass die lokale Wärmestromdichte $\mathbf {q}$ gleich dem Produkt aus der Wärmeleitfähigkeit $k$ und dem negativen lokalen Temperaturgradienten $-\nabla T$. Die Wärmestromdichte ist die Energiemenge, die durch eine Flächeneinheit pro Zeiteinheit fließt.

$$\mathbf {q} =-k\nabla T,$$

wobei (einschließlich der SI-Einheiten)

• $\mathbf {q}$ die lokale Wärmestromdichte, W/m², ist,
• $k$ die Leitfähigkeit des Materials, W/(m-K),
• $\nabla T$ das Temperaturgefälle, K/m. ⓘ

Die Wärmeleitfähigkeit $k$ wird oft als Konstante behandelt, was jedoch nicht immer zutrifft. Während die Wärmeleitfähigkeit eines Materials im Allgemeinen mit der Temperatur schwankt, kann die Abweichung bei einigen gängigen Materialien über einen erheblichen Temperaturbereich hinweg gering sein. Bei anisotropen Materialien variiert die Wärmeleitfähigkeit typischerweise mit der Orientierung; in diesem Fall wird $k$ wird durch einen Tensor zweiter Ordnung dargestellt. In ungleichförmigen Materialien, $k$ mit der räumlichen Lage variieren. ⓘ

Für viele einfache Anwendungen wird das Fouriersche Gesetz in seiner eindimensionalen Form verwendet, zum Beispiel in x-Richtung:

$$q_{x}=-k{\frac {dT}{dx}}.$$

ⓘ

In einem isotropen Medium führt das Fouriersche Gesetz zur Wärmegleichung

$${\frac {\partial T}{\partial t}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial z^{2}}}\right)$$

mit einer fundamentalen Lösung, die als Wärmekern bekannt ist. ⓘ

Integralform

Durch Integration der Differentialform über die gesamte Oberfläche des Materials $S$erhalten wir die Integralform des Fourier-Gesetzes:

${\frac {\partial Q}{\partial t}}=-k$ $\scriptstyle S$ $\nabla T\cdot d\mathbf {S} ,$ ⓘ

wobei (einschließlich der SI-Einheiten):

• ${\frac {\partial Q}{\partial t}}$ ist die pro Zeiteinheit übertragene Wärmemenge (in W),
• $d\mathbf {S}$ ist ein Element mit orientierter Oberfläche (in m²).

Die obige Differentialgleichung ergibt, wenn sie für ein homogenes Material mit 1-D-Geometrie zwischen zwei Endpunkten bei konstanter Temperatur integriert wird, den Wärmestrom als

$${\frac {Q}{\Delta t}}=-kA{\frac {\Delta T}{\Delta x}},$$

wobei

• $\Delta t$ das Zeitintervall ist, in dem die Wärmemenge $Q$ durch einen Querschnitt des Materials fließt,
• $A$ die Querschnittsfläche ist,
• $\Delta T$ die Temperaturdifferenz zwischen den Enden ist,
• $\Delta x$ ist der Abstand zwischen den Endpunkten.

Dieses Gesetz bildet die Grundlage für die Ableitung der Wärmegleichung. ⓘ

Leitwert

Schreiben Sie

$$U={\frac {k}{\Delta x}},$$

wobei U der Leitwert in W/(m² K) ist. ⓘ

Das Fouriersche Gesetz kann auch wie folgt formuliert werden:

$${\frac {\Delta Q}{\Delta t}}=UA\,(-\Delta T).$$

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Der Kehrwert des Leitwerts ist der Widerstand, ${\big .}R$ ist gegeben durch:

$$R={\frac {1}{U}}={\frac {\Delta x}{k}}={\frac {A\,(-\Delta T)}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}}.$$

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Der Widerstand ist additiv, wenn mehrere leitende Schichten zwischen dem heißen und dem kühlen Bereich liegen, da A und Q für alle Schichten gleich sind. In einer mehrschichtigen Trennwand ist der Gesamtleitwert mit dem Leitwert der einzelnen Schichten wie folgt verknüpft:

$$R=R_{1}+R_{2}+R_{3}+\cdots$$

oder äquivalent

$${\frac {1}{U}}={\frac {1}{U_{1}}}+{\frac {1}{U_{2}}}+{\frac {1}{U_{3}}}+\cdots$$

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Bei einer mehrschichtigen Trennwand wird also in der Regel die folgende Formel verwendet:

$${\frac {\Delta Q}{\Delta t}}={\frac {A\,(-\Delta T)}{{\frac {\Delta x_{1}}{k_{1}}}+{\frac {\Delta x_{2}}{k_{2}}}+{\frac {\Delta x_{3}}{k_{3}}}+\cdots }}.$$

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Bei der Wärmeleitung von einer Flüssigkeit zu einer anderen durch eine Barriere ist es manchmal wichtig, die Leitfähigkeit des dünnen Flüssigkeitsfilms zu berücksichtigen, der neben der Barriere stationär bleibt. Dieser dünne Flüssigkeitsfilm lässt sich nur schwer quantifizieren, da seine Eigenschaften von den komplexen Bedingungen der Turbulenz und Viskosität abhängen - bei dünnen Barrieren mit hohem Leitwert kann er jedoch manchmal recht bedeutend sein. ⓘ

Darstellung intensiver Eigenschaften

Die bisherigen Leitfähigkeitsgleichungen, die in Form von extensiven Eigenschaften geschrieben wurden, können in Form von intensiven Eigenschaften umformuliert werden. Idealerweise sollten die Formeln für den Leitwert eine Größe ergeben, deren Dimensionen unabhängig vom Abstand sind, wie das Ohmsche Gesetz für den elektrischen Widerstand, $R=V/I\,\!$und Leitwert, $G=I/V\,\!$. ⓘ

Aus der elektrischen Formel: $R=\rho x/A$, wobei ρ der spezifische Widerstand, x die Länge und A die Querschnittsfläche ist, ergibt sich $G=kA/x\,\!$wobei G der Leitwert, k die Leitfähigkeit, x die Länge und A die Querschnittsfläche ist. ⓘ

Für Wärme,

$$U={\frac {kA}{\Delta x}},$$

wobei U der Leitwert ist. ⓘ

Das Fouriersche Gesetz kann auch wie folgt formuliert werden:

$${\dot {Q}}=U\,\Delta T,$$

analog zum Ohmschen Gesetz, $I=V/R$ oder $I=VG.$ ⓘ

Der Kehrwert des Leitwerts ist der Widerstand R, gegeben durch:

$$R={\frac {\Delta T}{\dot {Q}}},$$

analog zum Ohmschen Gesetz, $R=V/I.$ ⓘ

Die Regeln für die Kombination von Widerständen und Leitwerten (in Reihe und parallel) sind sowohl für den Wärmestrom als auch für den elektrischen Strom dieselben. ⓘ

Zylindrische Schalen

Die Wärmeleitung durch zylindrische Schalen (z. B. Rohre) kann aus dem Innenradius berechnet werden, $r_{1}$, dem Außenradius, $r_{2}$, der Länge, $\ell$und der Temperaturdifferenz zwischen der Innen- und der Außenwand berechnet werden, $T_{2}-T_{1}$. ⓘ

Der Oberflächenbereich des Zylinders ist $A_{r}=2\pi r\ell$ ⓘ

Wenn die Fourier-Gleichung angewendet wird:

$${\dot {Q}}=-kA_{r}{\frac {dT}{dr}}=-2k\pi r\ell {\frac {dT}{dr}}$$

und umgeformt:

$${\dot {Q}}\int _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {1}{r}}\,dr=-2k\pi \ell \int _{T_{1}}^{T_{2}}dT$$

dann ist die Wärmeübertragungsrate:

$${\dot {Q}}=2k\pi \ell {\frac {T_{1}-T_{2}}{\ln(r_{2}/r_{1})}}$$

der Wärmewiderstand ist:

$$R_{c}={\frac {\Delta T}{\dot {Q}}}={\frac {\ln(r_{2}/r_{1})}{2\pi k\ell }}$$

und ${\textstyle {\dot {Q}}=2\pi k\ell r_{m}{\frac {T_{1}-T_{2}}{r_{2}-r_{1}}}}$, wobei ${\textstyle r_{m}={\frac {r_{2}-r_{1}}{\ln(r_{2}/r_{1})}}}$. Es ist wichtig zu beachten, dass es sich um den logarithmischen Mittelwert des Radius handelt. ⓘ

Kugelschalen

Die Leitung durch eine kugelförmige Schale mit Innenradius, $r_{1}$und Außenradius, $r_{2}$kann auf ähnliche Weise berechnet werden wie für eine zylindrische Schale. ⓘ

Der Oberflächenbereich der Kugel ist: $A=4\pi r^{2}.$ ⓘ

Die Lösung in ähnlicher Weise wie für eine zylindrische Schale (siehe oben) ergibt:

$${\dot {Q}}=4k\pi {\frac {T_{1}-T_{2}}{1/{r_{1}}-1/{r_{2}}}}=4k\pi {\frac {(T_{1}-T_{2})r_{1}r_{2}}{r_{2}-r_{1}}}$$

ⓘ

Vorübergehende Wärmeleitung

Wärmeübertragung an der Grenzfläche

Der Wärmeübergang an einer Grenzfläche wird als instationärer Wärmestrom betrachtet. Um dieses Problem zu analysieren, ist die Biot-Zahl wichtig, um zu verstehen, wie sich das System verhält. Die Biot-Zahl wird bestimmt durch:

$${\textit {Bi}}={\frac {hL}{k}}$$

Der Wärmeübergangskoeffizient $h$wird in diese Formel eingeführt und wird gemessen in

$$\mathrm {\frac {J}{m^{2}sK}}$$

. Wenn das System eine Biot-Zahl von weniger als 0,1 hat, verhält sich das Material entsprechend der Newton'schen Kühlung, d. h. mit einem vernachlässigbaren Temperaturgefälle innerhalb des Körpers. Ist die Biot-Zahl größer als 0,1, verhält sich das System wie eine Serienlösung. Das Temperaturprofil in Abhängigkeit von der Zeit lässt sich aus folgender Gleichung ableiten

$$q=-h\,\Delta T,$$

ableiten, die wie folgt lautet

$${\frac {T-T_{f}}{T_{i}-T_{f}}}=\exp \left({\frac {-hAt}{\rho C_{p}V}}\right).$$

ⓘ

Der Wärmeübergangskoeffizient, h, wird gemessen in $\mathrm {\frac {W}{m^{2}K}}$gemessen und stellt den Wärmeübergang an einer Grenzfläche zwischen zwei Materialien dar. Dieser Wert ist an jeder Grenzfläche unterschiedlich und ist ein wichtiges Konzept für das Verständnis des Wärmeflusses an einer Grenzfläche. ⓘ

Die Reihenlösung kann mit einem Nomogramm analysiert werden. Ein Nomogramm hat eine relative Temperatur als y-Koordinate und die Fourier-Zahl, die wie folgt berechnet wird

$${\textit {Fo}}={\frac {\alpha t}{L^{2}}}.$$

ⓘ

Die Biot-Zahl steigt mit abnehmender Fourier-Zahl. Es gibt fünf Schritte zur Bestimmung eines Temperaturprofils in Abhängigkeit von der Zeit.

1. Berechnen Sie die Biot-Zahl
2. Bestimmen Sie, welche relative Tiefe von Bedeutung ist, entweder x oder L.
3. Konvertieren Sie die Zeit in die Fourier-Zahl.
4. Konvertieren Sie $T_{i}$ in die relative Temperatur mit den Randbedingungen.
5. Vergleich der erforderlichen Punkte, um die angegebene Biot-Zahl auf dem Nomogramm zu verfolgen. ⓘ

Anwendungen der Wärmeleitung

Splat-Kühlung

Die Splat-Kühlung ist eine Methode zur Abschreckung kleiner Tropfen geschmolzener Materialien durch schnellen Kontakt mit einer kalten Oberfläche. Die Partikel durchlaufen einen charakteristischen Abkühlungsprozess, wobei das Wärmeprofil bei $t=0$ für die Anfangstemperatur als Maximum bei $x=0$ und $T=0$ bei $x=-\infty$ und $x=\infty$ist, und das Wärmeprofil bei $t=\infty$ für $-\infty \leq x\leq \infty$ als Randbedingungen. Die Splat-Kühlung endet schnell mit einer stationären Temperatur und ähnelt in ihrer Form der Gaußschen Diffusionsgleichung. Das Temperaturprofil in Bezug auf den Ort und die Zeit dieser Art der Abkühlung variiert mit:

$$T(x,t)-T_{i}={\frac {T_{i}\Delta X}{2{\sqrt {\pi \alpha t}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4\alpha t}}\right)$$

ⓘ

Die Splat-Kühlung ist ein grundlegendes Konzept, das für die praktische Anwendung in Form des thermischen Spritzens angepasst wurde. Der Wärmedurchgangskoeffizient, dargestellt als $\alpha$dargestellt wird, kann wie folgt geschrieben werden $\alpha ={\frac {k}{\rho C_{p}}}$. Dieser variiert je nach Material. ⓘ

Metallabschreckung

Das Abschrecken von Metallen ist ein instationärer Wärmeübertragungsprozess im Sinne der zeitlichen Temperaturumwandlung (TTT). Es ist möglich, den Abkühlungsprozess zu manipulieren, um die Phase eines geeigneten Materials einzustellen. So kann beispielsweise durch ein geeignetes Abschrecken von Stahl ein gewünschter Anteil seines Austenitgehalts in Martensit umgewandelt werden, wodurch ein sehr hartes und festes Produkt entsteht. Um dies zu erreichen, ist es notwendig, an der "Nase" (oder dem Eutektikum) des TTT-Diagramms abzuschrecken. Da sich die Werkstoffe in ihren Biot-Zahlen unterscheiden, variiert die Zeit, die das Material zum Abschrecken benötigt, oder die Fourier-Zahl, in der Praxis. Bei Stahl liegt der Abschrecktemperaturbereich im Allgemeinen zwischen 600 °C und 200 °C. Zur Steuerung der Abschreckzeit und zur Auswahl geeigneter Abschreckmedien ist es erforderlich, die Fourier-Zahl aus der gewünschten Abschreckzeit, dem relativen Temperaturabfall und der entsprechenden Biot-Zahl zu bestimmen. Normalerweise werden die richtigen Zahlen aus einem Standard-Nomogramm abgelesen. Durch die Berechnung des Wärmeübergangskoeffizienten aus dieser Biot-Zahl kann man ein für die Anwendung geeignetes flüssiges Medium finden. ⓘ

Nullter Hauptsatz der Thermodynamik

Eine Aussage des so genannten nullten Hauptsatzes der Thermodynamik ist direkt auf die Idee der Wärmeleitung ausgerichtet. Bailyn (1994) schreibt, dass "der nullte Hauptsatz formuliert werden kann: Alle diathermischen Wände sind gleichwertig". ⓘ

Eine diathermische Wand ist eine physikalische Verbindung zwischen zwei Körpern, die den Durchgang von Wärme zwischen ihnen ermöglicht. Bailyn bezieht sich auf diathermische Wände, die ausschließlich zwei Körper miteinander verbinden, insbesondere leitende Wände. ⓘ

Diese Aussage des "nullten Gesetzes" gehört zu einem idealisierten theoretischen Diskurs, und tatsächliche physische Wände können Besonderheiten aufweisen, die nicht mit seiner Allgemeinheit übereinstimmen. ⓘ

Zum Beispiel darf das Material der Wand bei der Temperatur, bei der es Wärme leiten muss, keinen Phasenübergang wie Verdampfung oder Schmelzung durchlaufen. Wenn jedoch nur das thermische Gleichgewicht betrachtet wird und die Zeit keine Rolle spielt, so dass die Leitfähigkeit des Materials nicht allzu sehr ins Gewicht fällt, ist ein geeigneter Wärmeleiter so gut wie ein anderer. Umgekehrt ist ein weiterer Aspekt des nullten Gesetzes, dass eine gegebene diathermische Wand, wiederum mit geeigneten Einschränkungen, gleichgültig gegenüber der Art des Wärmebades ist, an das sie angeschlossen ist. So wirkt beispielsweise der Glaskolben eines Thermometers als diathermische Wand, egal ob er einem Gas oder einer Flüssigkeit ausgesetzt ist, vorausgesetzt, diese korrodieren oder schmelzen ihn nicht. ⓘ

Diese Unterschiede gehören zu den entscheidenden Merkmalen der Wärmeübertragung. In gewissem Sinne sind sie Symmetrien der Wärmeübertragung. ⓘ

Instrumente für die Wärmeleitung

Analysegerät für die Wärmeleitfähigkeit

Die Wärmeleitfähigkeit eines beliebigen Gases unter Standardbedingungen von Druck und Temperatur ist eine feste Größe. Diese Eigenschaft eines bekannten Referenzgases oder bekannter Referenzgasgemische kann daher für bestimmte sensorische Anwendungen, wie den Wärmeleitfähigkeitsanalysator, verwendet werden. ⓘ

Die Funktionsweise dieses Geräts beruht im Prinzip auf der Wheatstone-Brücke mit vier Fäden, deren Widerstände aufeinander abgestimmt sind. Immer wenn ein bestimmtes Gas über ein solches Netz von Fäden geleitet wird, ändert sich deren Widerstand aufgrund der veränderten Wärmeleitfähigkeit der Fäden und damit auch die von der Wheatstone-Brücke ausgegebene Nettospannung. Dieser Spannungsausgang wird mit der Datenbank korreliert, um die Gasprobe zu identifizieren. ⓘ

Gassensor

Das Prinzip der Wärmeleitfähigkeit von Gasen kann auch zur Messung der Konzentration eines Gases in einem binären Gasgemisch verwendet werden. ⓘ

Funktionsweise: Wenn sich um alle Fäden der Wheatstone-Brücke dasselbe Gas befindet, wird in allen Fäden dieselbe Temperatur und somit auch derselbe Widerstand aufrechterhalten, was zu einer ausgeglichenen Wheatstone-Brücke führt. Wenn jedoch die ungleiche Gasprobe (oder das Gasgemisch) über einen Satz von zwei Filamenten und das Referenzgas über den anderen Satz von zwei Filamenten geleitet wird, dann wird die Wheatstone-Brücke unsymmetrisch. Die resultierende Nettospannung der Schaltung wird mit der Datenbank korreliert, um die Bestandteile des Probengases zu identifizieren. ⓘ

Mit dieser Technik können viele unbekannte Gasproben identifiziert werden, indem ihre Wärmeleitfähigkeit mit der eines anderen Referenzgases mit bekannter Wärmeleitfähigkeit verglichen wird. Das am häufigsten verwendete Referenzgas ist Stickstoff, da die Wärmeleitfähigkeit der meisten gebräuchlichen Gase (außer Wasserstoff und Helium) der von Stickstoff ähnlich ist. ⓘ

Wärmestrom, Fouriersches Gesetz

Wandstück der Fläche $A$ und der Dicke $d$. $T_{1}$ ist die Temperatur der wärmeren Wandoberfläche; $T_{2}$ ist die Temperatur der kälteren Wandoberfläche ⓘ

Die durch Wärmeleitung übertragene Wärmeleistung ${\dot {Q}}$ wird durch das Fouriersche Gesetz (1822, nach Jean Baptiste Joseph Fourier) beschrieben, das für den vereinfachten Fall eines festen Körpers mit zwei parallelen Wandflächen lautet:

${\dot {Q}}=\lambda \cdot A\cdot {\frac {T_{W_{1}}-T_{W_{2}}}{d}}$ ⓘ

Einheit für ${\dot {Q}}$ ist Watt (W) ⓘ

Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:

• $T_{W_{1}}$: Temperatur der wärmeren Wandoberfläche
• $T_{W_{2}}$: Temperatur der kälteren Wandoberfläche
• $A$: Fläche, durch die die Wärme strömt
• $\lambda$: Wärmeleitfähigkeit (temperaturabhängige Stoffgröße)
• $d$: Dicke des Körpers, gemessen von Wand zu Wand ⓘ

Die übertragene Wärmeleistung ist also

• proportional zu Fläche, Wärmeleitfähigkeit und Temperaturdifferenz sowie
• umgekehrt proportional zur Materialdicke ⓘ

Aus heutiger Sicht wird der Wärmetransport durch den schärferen Begriff der Wärmestromdichte ${\vec {q}}$ beschrieben. Die Ansätze dazu gehen wieder auf Fourier und Newton zurück. Es gilt folgender Zusammenhang mit dem Temperaturgradienten:

${\vec {\dot {q}}}=-\lambda \,\operatorname {grad} \,T$ ⓘ

Wärmeleitungsgleichung

Mathematisch wird das Phänomen „Wärmeleitung“ durch eine partielle Differentialgleichung beschrieben. Sie hat eine parabolische Charakteristik. In ihrer allgemeinen Form kann diese partielle Differentialgleichung in folgender Form angegeben werden:

${\frac {\partial u({\vec {r}},t)}{\partial t}}=a\,\Delta u({\vec {r}},t)$

wobei $u({\vec {r}},t)$ die Temperatur an der Stelle ${\vec {r}}$ zum Zeitpunkt $t$, $\Delta$ der Laplace-Operator bezüglich ${\vec {r}}$ und die Konstante $a>0$ die Temperaturleitfähigkeit des Mediums ist. ⓘ

Spezialisiert man diese Gleichung auf die sogenannte Wärmeleitungsgleichung, muss einschränkend bemerkt werden, dass diese Form der Wärmeleitungsgleichung nur für homogene, isotrope Medien gilt. Also nur für Medien, die überall gleiche Zusammensetzung haben und die keine Vorzugsorientierung aufweisen (zu Vorzugsorientierungen kommt es zum Beispiel durch Fasern in Verbundmaterialien, aber auch durch sogenannte Kornstreckungen in gewalzten Blechen etc.). Für diese Fälle – und nur für diese – können die Materialeigenschaften des betrachteten Mediums als ausschließlich von der Temperatur abhängige Größen angenommen werden. Streng genommen gilt die so formulierte Gleichung auch nur dann, wenn keine Wärme durch Fremdeffekte in den betrachteten Körper eingebracht oder aus ihm entfernt wird. Ist das der Fall, müsste ein sogenannter Quellterm hinzugefügt werden. Unter diesen Einschränkungen gilt dann folgende Form der Wärmeleitungsgleichung:

${\frac {\partial T({\vec {r}},t)}{\partial t}}=a(T)\,\cdot \Delta T({\vec {r}},t)$ ⓘ

Die Differentialgleichung beschreibt generell Transportprozesse (wie zum Beispiel Diffusionsprozesse – worunter man einen Materialtransport auf Grund eines Konzentrationsunterschiedes versteht, oder im Fall der Wärmeleitungsgleichung eben ein „Wandern“ der Temperaturverteilung in einem Körper auf Grund eines Temperaturgefälles). Die analytische Lösung dieser Gleichung ist in vielen Fällen nicht möglich. Heute berechnet man technisch relevante Wärmeleitaufgaben mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode. Als Resultat kennt man die zeitliche wie räumliche Temperaturverteilung (Temperaturfeld). Damit kann man zum Beispiel auf das räumliche Ausdehnungsverhalten der Bauteile schließen, das seinerseits wieder den örtlichen Spannungszustand mitbestimmt. So wird die Temperaturfeldrechnung zu einer wichtigen Grundlage für alle technischen Auslegungsaufgaben, bei denen die thermische Bauteilbelastung nicht vernachlässigt werden kann. ⓘ

In inhomogenen Medien mit Wärmequellen lautet die Wärmeleitungsgleichung

$\rho ({\vec {r}})\cdot c({\vec {r}})\cdot {\frac {\partial T({\vec {r}},t)}{\partial t}}\ =\nabla \cdot \left[\lambda ({\vec {r}})\cdot \nabla T({\vec {r}},t)\right]+q({\vec {r}})$

wobei $\nabla$ der Nabla-Operator, $\rho$ die Massendichte, $c$ die spezifische Wärmekapazität, $\lambda$ die Wärmeleitfähigkeit und $q$ der pro Volumen durch externe oder interne Quellen eingebrachte Wärmestrom ist. ⓘ

Mechanismen

Wärmeleitfähigkeit ausgewählter Materialien ⓘ

Material	Wärmeleitfähigkeit bei 20 °C in W/(m·K)
Silber (rein)	430
Kupfer (rein)	403
Eisen (rein)	83,5
Glas	0,76
Wasser	0,58
Öl	0,145
Luft	0,0261
Xenon	0,0051

Beispiele

• Bei einem Heizkörper, Wärmerohr oder Tauchsieder gelangt die Wärmeenergie aus dem heißen Innenraum mittels Wärmeleitung durch das Gehäuse nach außen.
• Bei einem Lötkolben muss zwischen Heizelement und Spitze ein gut leitendes Metall wie Kupfer zur Übertragung der Wärmeenergie eingebaut werden. Andere Metalle wie Eisen leiten die Wärme nicht gut genug.
• Beim Stirlingmotor bzw. Heißgasmotor muss – im Gegensatz zum Ottomotor – die gesamte Antriebsenergie von der äußeren Wärmequelle mittels Wärmeleitung auf das Arbeitsgas im Zylinderraum übertragen werden. Die Wärmeleitfähigkeit der verwendeten Materialien begrenzt die maximal erzielbare Leistung des Stirlingmotors.
• Kühlschränke werden mit Glaswolle oder geschäumtem Polystyrol ummantelt, um den Wärmestrom von außen nach innen möglichst gering zu halten.
• In einer Thermoskanne oder einem Vakuumröhrenkollektor für Solaranlagen wird u. a. Vakuum eingesetzt, um Konvektion und Wärmeleitung zu verhindern.
• Bei Fenstern verwendet man Mehrscheiben-Isolierglas mit sehr geringem Wärmedurchgangskoeffizient, um mit dem Wärmeverlust die Heizkosten gering zu halten (siehe auch Energieeinsparverordnung). In dem Fall wird der Abstand so gewählt, dass die Luft/Gasschicht ausreichend dick ist (Gase sind schlechte Wärmeleiter), jedoch dünn genug, dass keine nennenswerte Konvektion stattfindet. ⓘ