Pauli-Prinzip

Wolfgang Pauli formulierte das Gesetz, das besagt, dass keine zwei Elektronen die gleiche Anzahl von Quantenzahlen haben können. ⓘ

In der Quantenmechanik besagt das Pauli-Ausschlussprinzip, dass zwei oder mehr identische Teilchen mit halbzahligen Spins (d. h. Fermionen) nicht gleichzeitig denselben Quantenzustand innerhalb eines Quantensystems einnehmen können. Dieses Prinzip wurde von dem österreichischen Physiker Wolfgang Pauli 1925 für Elektronen formuliert und später mit seinem Spin-Statistik-Theorem von 1940 auf alle Fermionen ausgedehnt. ⓘ

Für Elektronen in Atomen gilt: Es ist unmöglich, dass zwei Elektronen eines Mehrelektronenatoms die gleichen Werte der vier Quantenzahlen n, der Hauptquantenzahl, ℓ, der Azimutalquantenzahl, m_ℓ, der magnetischen Quantenzahl, und ms, der Spinquantenzahl, haben. Wenn sich beispielsweise zwei Elektronen im selben Orbital befinden, sind ihre n-, ℓ- und m_ℓ-Werte gleich; daher müssen ihre ms unterschiedlich sein, und die Elektronen müssen daher entgegengesetzte halbzahlige Spinprojektionen von 1/2 und -1/2 haben. ⓘ

Für Teilchen mit ganzzahligem Spin, so genannte Bosonen, gilt das Pauli-Ausschlussprinzip nicht: Eine beliebige Anzahl identischer Bosonen kann denselben Quantenzustand einnehmen, wie z. B. bei Photonen, die von einem Laser erzeugt werden, oder bei Atomen in einem Bose-Einstein-Kondensat. ⓘ

Eine strengere Aussage ist, dass beim Austausch von zwei identischen Teilchen die gesamte (Vielteilchen-)Wellenfunktion für Fermionen antisymmetrisch und für Bosonen symmetrisch ist. Das heißt, wenn die Raum- und Spin-Koordinaten zweier identischer Teilchen ausgetauscht werden, dann ändert die Gesamtwellenfunktion ihr Vorzeichen für Fermionen und bleibt für Bosonen unverändert. ⓘ

Befänden sich zwei Fermionen im selben Zustand (z. B. dasselbe Orbital mit demselben Spin im selben Atom), würde sich durch den Austausch nichts ändern und die Gesamtwellenfunktion bliebe unverändert. Die einzige Möglichkeit, wie die Gesamtwellenfunktion sowohl das Vorzeichen wechseln kann, wie es für Fermionen erforderlich ist, als auch unverändert bleiben kann, ist, dass diese Funktion überall gleich Null sein muss, was bedeutet, dass der Zustand nicht existieren kann. Diese Argumentation gilt nicht für Bosonen, da das Vorzeichen nicht wechselt. ⓘ

Das Pauli-Prinzip ist nicht zu verwechseln mit dem Pauli-Effekt. ⓘ

Überblick

Das Pauli-Ausschlussprinzip beschreibt das Verhalten aller Fermionen (Teilchen mit "halb-ganzzahligem Spin"), während für Bosonen (Teilchen mit "ganzzahligem Spin") andere Prinzipien gelten. Zu den Fermionen gehören Elementarteilchen wie Quarks, Elektronen und Neutrinos. Auch Baryonen wie Protonen und Neutronen (subatomare Teilchen, die aus drei Quarks bestehen) und einige Atome (z. B. Helium-3) sind Fermionen und werden daher ebenfalls durch das Pauli-Ausschlussprinzip beschrieben. Atome können unterschiedliche "Spins" haben, die bestimmen, ob sie Fermionen oder Bosonen sind - Helium-3 hat beispielsweise den Spin 1/2 und ist damit ein Fermion, während Helium-4 den Spin 0 hat und ein Boson ist. Das Pauli-Ausschlussprinzip liegt vielen Eigenschaften der alltäglichen Materie zugrunde, von der Stabilität im großen Maßstab bis hin zum chemischen Verhalten der Atome. ⓘ

"Halb-ganzzahliger Spin" bedeutet, dass der Eigendrehimpuls von Fermionen gleich $\hbar =h/2\pi$ (reduzierte Plancksche Konstante) mal eine halbe Zahl (1/2, 3/2, 5/2 usw.). In der Theorie der Quantenmechanik werden Fermionen durch antisymmetrische Zustände beschrieben. Im Gegensatz dazu haben Teilchen mit ganzzahligem Spin (Bosonen) symmetrische Wellenfunktionen und können dieselben Quantenzustände haben. Zu den Bosonen gehören das Photon, die Cooper-Paare, die für die Supraleitfähigkeit verantwortlich sind, sowie die W- und Z-Bosonen. Die Fermionen haben ihren Namen von der statistischen Fermi-Dirac-Verteilung, der sie gehorchen, und die Bosonen von der Bose-Einstein-Verteilung. ⓘ

Das verschiedene Permutationsverhalten von Fermionen und Bosonen passt zum verschiedenen Drehverhalten der jeweiligen Spinoren. In beiden Fällen ergibt sich ein Faktor von $(-1)^{2s}=\mp 1$, mit dem (+)-Zeichen für Bosonen ($s$ ganzzahlig) und dem (−)-Zeichen für Fermionen ($s$ halbzahlig), entsprechend einer Drehung um 360°. Der Zusammenhang liegt unter anderem deshalb nahe, weil eine Vertauschung der Teilchen 1 und 2 einer komplementären Drehung der beiden Teilchen um 180° entspricht (zum Beispiel Teilchen 1 zum Ort 2 auf dem oberen Halbkreis, Teilchen 2 zum Ort 1 auf dem unteren Halbkreis). ⓘ

Geschichte

Anfang des 20. Jahrhunderts wurde deutlich, dass Atome und Moleküle mit einer geraden Anzahl von Elektronen chemisch stabiler sind als solche mit einer ungeraden Anzahl von Elektronen. In dem Artikel "The Atom and the Molecule" von Gilbert N. Lewis aus dem Jahr 1916 heißt es beispielsweise im dritten seiner sechs Postulate für das chemische Verhalten, dass das Atom dazu neigt, eine gerade Anzahl von Elektronen in einer bestimmten Schale zu halten, und zwar insbesondere acht Elektronen, von denen er annahm, dass sie typischerweise symmetrisch an den acht Ecken eines Würfels angeordnet sind. 1919 schlug der Chemiker Irving Langmuir vor, dass sich das Periodensystem erklären ließe, wenn die Elektronen in einem Atom auf irgendeine Weise miteinander verbunden oder gebündelt wären. Man nahm an, dass die Elektronengruppen eine Reihe von Elektronenschalen um den Atomkern herum besetzen. Im Jahr 1922 aktualisierte Niels Bohr sein Atommodell, indem er davon ausging, dass eine bestimmte Anzahl von Elektronen (z. B. 2, 8 und 18) stabilen "geschlossenen Schalen" entspricht. ⓘ

Pauli suchte nach einer Erklärung für diese Zahlen, die zunächst nur empirisch waren. Zugleich versuchte er, experimentelle Ergebnisse des Zeeman-Effekts in der Atomspektroskopie und im Ferromagnetismus zu erklären. Einen wesentlichen Anhaltspunkt fand er in einem Aufsatz von Edmund C. Stoner aus dem Jahr 1924, der darauf hinwies, dass für einen bestimmten Wert der Hauptquantenzahl (n) die Anzahl der Energieniveaus eines einzelnen Elektrons in den Alkalimetallspektren in einem äußeren Magnetfeld, in dem alle entarteten Energieniveaus getrennt sind, gleich der Anzahl der Elektronen in der geschlossenen Schale der Edelgase für denselben Wert von n ist. Dies führte Pauli zu der Erkenntnis, dass die komplizierte Anzahl der Elektronen in geschlossenen Schalen auf die einfache Regel von einem Elektron pro Zustand reduziert werden kann, wenn die Elektronenzustände mit vier Quantenzahlen definiert werden. Zu diesem Zweck führte er eine neue zweiwertige Quantenzahl ein, die von Samuel Goudsmit und George Uhlenbeck als Elektronenspin bezeichnet wurde. ⓘ

Verbindung zur Quantenzustandssymmetrie

In seinem Nobelvortrag erläuterte Pauli die Bedeutung der Quantenzustandssymmetrie für das Ausschlussprinzip:

Unter den verschiedenen Klassen der Symmetrie sind die wichtigsten (die zudem für zwei Teilchen die einzigen sind) die symmetrische Klasse, in der die Wellenfunktion ihren Wert nicht ändert, wenn die Raum- und Spin-Koordinaten zweier Teilchen vertauscht werden, und die antisymmetrische Klasse, in der bei einer solchen Vertauschung die Wellenfunktion ihr Vorzeichen ändert...[Die antisymmetrische Klasse ist] die korrekte und allgemeine wellenmechanische Formulierung des Ausschlussprinzips. ⓘ

Das Pauli-Ausschlussprinzip mit einer einwertigen Vielteilchen-Wellenfunktion ist äquivalent zu der Forderung, dass die Wellenfunktion in Bezug auf den Austausch antisymmetrisch sein muss. Wenn $|x\rangle$ und $|y\rangle$ über die Basisvektoren des Hilbert-Raums reichen, der ein Ein-Teilchen-System beschreibt, dann ergibt das Tensorprodukt die Basisvektoren $|x,y\rangle =|x\rangle \otimes |y\rangle$ des Hilbert-Raums, der ein System aus zwei solchen Teilchen beschreibt. Jeder Zwei-Teilchen-Zustand kann als Überlagerung (d.h. Summe) dieser Basisvektoren dargestellt werden:

$|\psi \rangle =\sum _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle ,$ ⓘ

wobei jedes A(x,y) ein (komplexer) Skalarkoeffizient ist. Antisymmetrie unter Austausch bedeutet, dass A(x,y) = -A(y,x). Dies bedeutet, dass A(x,y) = 0 ist, wenn x = y ist, was der Pauli-Ausschluss ist. Dies gilt für jede Basis, da lokale Änderungen der Basis antisymmetrische Matrizen antisymmetrisch halten. ⓘ

Umgekehrt, wenn die diagonalen Größen A(x,x) in jeder Basis Null sind, dann ist die Wellenfunktionskomponente

$A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |{\Big (}|x\rangle \otimes |y\rangle {\Big )}$ ⓘ

notwendigerweise antisymmetrisch. Um dies zu beweisen, betrachten wir das Matrixelement

$\langle \psi |{\Big (}(|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ){\Big )}.$ ⓘ

Dieses ist Null, weil die Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden Teilchen im Überlagerungszustand befinden, gleich Null ist $|x\rangle +|y\rangle$. Aber dies ist gleich

$\langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle .$ ⓘ

Der erste und der letzte Term sind Diagonalelemente und sind Null, und die Gesamtsumme ist gleich Null. Die Elemente der Wellenfunktionsmatrix gehorchen also:

$\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0,$ ⓘ

oder

$A(x,y)=-A(y,x).$ ⓘ

Für ein System mit n > 2 Teilchen werden die Mehrteilchen-Basiszustände zu n-fachen Tensorprodukten von Einteilchen-Basiszuständen, und die Koeffizienten der Wellenfunktion $A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ werden durch n Ein-Teilchen-Zustände identifiziert. Die Bedingung der Antisymmetrie besagt, dass die Koeffizienten das Vorzeichen umkehren müssen, wenn zwei beliebige Zustände ausgetauscht werden: $A(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=-A(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )$ für jeden $i\neq j$. Das Ausschlussprinzip ist die Konsequenz, dass, wenn $x_{i}=x_{j}$ für jeden $i\neq j,$ dann $A(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=0.$ Dies zeigt, dass sich keines der n Teilchen im gleichen Zustand befinden darf. ⓘ

Fortgeschrittene Quantentheorie

Nach dem Spin-Statistik-Theorem nehmen Teilchen mit ganzzahligem Spin symmetrische Quantenzustände ein, und Teilchen mit halbzahligem Spin nehmen antisymmetrische Zustände ein; darüber hinaus sind nach den Grundsätzen der Quantenmechanik nur ganzzahlige oder halbzahlige Spinwerte zulässig. In der relativistischen Quantenfeldtheorie folgt das Pauli-Prinzip aus der Anwendung eines Rotationsoperators in imaginärer Zeit auf Teilchen mit halbzahligem Spin. ⓘ

In einer Dimension können sowohl Bosonen als auch Fermionen dem Ausschlussprinzip gehorchen. Ein eindimensionales Bose-Gas mit abstoßenden Delta-Funktions-Wechselwirkungen von unendlicher Stärke ist äquivalent zu einem Gas aus freien Fermionen. Der Grund dafür ist, dass der Austausch von Teilchen in einer Dimension erfordert, dass sie sich gegenseitig durchdringen; bei unendlich starker Abstoßung kann dies nicht geschehen. Dieses Modell wird durch eine nichtlineare Quanten-Schrödinger-Gleichung beschrieben. Im Impulsraum gilt das Ausschlussprinzip auch für endliche Abstoßung in einem Bose-Gas mit Delta-Funktions-Wechselwirkungen sowie für wechselwirkende Spins und das Hubbard-Modell in einer Dimension und für andere Modelle, die mit dem Bethe-Ansatz lösbar sind. Der Grundzustand in Modellen, die mit dem Bethe-Ansatz lösbar sind, ist eine Fermikugel. ⓘ

Anwendungen

Atome

Das Pauli-Ausschlussprinzip hilft bei der Erklärung einer Vielzahl physikalischer Phänomene. Eine besonders wichtige Konsequenz des Prinzips ist die ausgeklügelte Elektronenschalenstruktur von Atomen und die Art und Weise, wie Atome Elektronen teilen, was die Vielfalt der chemischen Elemente und ihrer chemischen Verbindungen erklärt. Ein elektrisch neutrales Atom enthält gebundene Elektronen in gleicher Anzahl wie die Protonen im Kern. Da Elektronen als Fermionen nicht denselben Quantenzustand wie andere Elektronen einnehmen können, müssen sie innerhalb eines Atoms "gestapelt" werden, d. h. sie haben unterschiedliche Spins, obwohl sie sich auf demselben Elektronenorbital befinden (siehe unten). ⓘ

Ein Beispiel ist das neutrale Heliumatom, das zwei gebundene Elektronen hat, die beide den Zustand niedrigster Energie (1s) einnehmen können, indem sie einen entgegengesetzten Spin annehmen. Allerdings kann der Spin nur zwei verschiedene Werte (Eigenwerte) annehmen. In einem Lithiumatom mit drei gebundenen Elektronen kann sich das dritte Elektron nicht in einem 1s-Zustand befinden und muss stattdessen einen der energiereicheren 2s-Zustände einnehmen. In ähnlicher Weise müssen immer größere Elemente Schalen mit immer höherer Energie haben. Die chemischen Eigenschaften eines Elements hängen weitgehend von der Anzahl der Elektronen in der äußersten Schale ab; Atome mit einer unterschiedlichen Anzahl besetzter Elektronenschalen, aber der gleichen Anzahl von Elektronen in der äußersten Schale haben ähnliche Eigenschaften, woraus sich das Periodensystem der Elemente ergibt. ⓘ

Um das Pauli-Ausschlussprinzip für das He-Atom zu testen, führte Gordon Drake sehr genaue Berechnungen für hypothetische Zustände des He-Atoms durch, die das Prinzip verletzen und die als paronische Zustände bezeichnet werden. Später suchten K. Deilamian et al. mit einem Atomstrahlspektrometer nach dem von Drake berechneten paronischen Zustand 1s2s ¹S₀. Die Suche blieb erfolglos und ergab, dass das statistische Gewicht dieses paronischen Zustands eine Obergrenze von 5×10-6 hat (das Ausschlussprinzip impliziert ein Gewicht von Null). ⓘ

Eigenschaften von Festkörpern

In Leitern und Halbleitern gibt es eine sehr große Anzahl von Molekülorbitalen, die praktisch eine kontinuierliche Bandstruktur von Energieniveaus bilden. In starken Leitern (Metallen) sind die Elektronen so entartet, dass sie nicht einmal viel zur Wärmekapazität eines Metalls beitragen können. Viele mechanische, elektrische, magnetische, optische und chemische Eigenschaften von Festkörpern sind die direkte Folge des Pauli-Ausschlusses. ⓘ

Stabilität der Materie

(weitere Informationen finden Sie auf der Seite Stabilität der Materie) ⓘ

Die Stabilität jedes Elektronenzustands in einem Atom wird durch die Quantentheorie des Atoms beschrieben, die zeigt, dass die Annäherung eines Elektrons an den Kern notwendigerweise die kinetische Energie des Elektrons erhöht, eine Anwendung der Heisenbergschen Unschärferelation. Die Stabilität von großen Systemen mit vielen Elektronen und vielen Nukleonen ist jedoch eine andere Frage und erfordert das Pauli-Ausschlussprinzip. ⓘ

Es hat sich gezeigt, dass das Pauli-Ausschlussprinzip dafür verantwortlich ist, dass gewöhnliche Materie stabil ist und ein bestimmtes Volumen einnimmt. Diese Vermutung wurde erstmals 1931 von Paul Ehrenfest geäußert, der darauf hinwies, dass die Elektronen jedes Atoms nicht alle in das Orbital mit der niedrigsten Energie fallen können und nacheinander größere Schalen besetzen müssen. Die Atome nehmen also ein Volumen ein und können nicht zu eng zusammengedrängt werden. ⓘ

Der erste strenge Beweis wurde 1967 von Freeman Dyson und Andrew Lenard (de) erbracht, die das Gleichgewicht zwischen anziehenden (Elektron-Kern) und abstoßenden (Elektron-Elektron und Kern-Kern) Kräften betrachteten und zeigten, dass gewöhnliche Materie ohne das Pauli-Prinzip kollabieren und ein viel kleineres Volumen einnehmen würde. Ein viel einfacherer Beweis wurde später von Elliott H. Lieb und Walter Thirring im Jahr 1975 gefunden. Sie lieferten eine untere Schranke für die Quantenenergie im Rahmen des Thomas-Fermi-Modells, das aufgrund eines Satzes von Teller stabil ist. Der Beweis verwendet eine untere Schranke für die kinetische Energie, die heute als Lieb-Thirring-Ungleichung bezeichnet wird. ⓘ

Die Konsequenz des Pauli-Prinzips ist, dass Elektronen desselben Spins durch eine abstoßende Austauschwechselwirkung auf Abstand gehalten werden, die ein Kurzstreckeneffekt ist und gleichzeitig mit der elektrostatischen oder Coulomb-Kraft mit großer Reichweite wirkt. Dieser Effekt ist mitverantwortlich für die alltägliche Beobachtung in der makroskopischen Welt, dass sich zwei feste Objekte nicht zur gleichen Zeit am gleichen Ort befinden können. ⓘ

Astrophysik

Dyson und Lenard berücksichtigten nicht die extremen magnetischen oder gravitativen Kräfte, die in einigen astronomischen Objekten auftreten. 1995 zeigten Elliott Lieb und Mitarbeiter, dass das Pauli-Prinzip auch in starken Magnetfeldern wie in Neutronensternen zur Stabilität führt, wenn auch bei einer viel höheren Dichte als in gewöhnlicher Materie. Es ist eine Folge der allgemeinen Relativitätstheorie, dass Materie in ausreichend starken Gravitationsfeldern kollabiert und ein Schwarzes Loch bildet. ⓘ

Die Astronomie liefert einen spektakulären Beweis für die Wirkung des Pauli-Prinzips in Form von Weißen Zwergen und Neutronensternen. In beiden Körpern ist die atomare Struktur durch extremen Druck gestört, aber die Sterne werden durch den Entartungsdruck, der auch als Fermi-Druck bezeichnet wird, im hydrostatischen Gleichgewicht gehalten. Diese exotische Form der Materie wird als entartete Materie bezeichnet. Die immense Gravitationskraft der Masse eines Sterns wird normalerweise durch den thermischen Druck im Gleichgewicht gehalten, der durch die bei der thermonuklearen Fusion im Kern des Sterns erzeugte Hitze entsteht. Bei Weißen Zwergen, bei denen keine Kernfusion stattfindet, wirkt der Druck der Elektronenentartung der Schwerkraft entgegen. In Neutronensternen, die noch stärkeren Gravitationskräften ausgesetzt sind, haben sich die Elektronen mit den Protonen zu Neutronen vereinigt. Neutronen sind in der Lage, einen noch höheren Entartungsdruck, den Neutronendegenerationsdruck, zu erzeugen, wenn auch über einen kürzeren Bereich. Dadurch können Neutronensterne vor einem weiteren Kollaps bewahrt werden, allerdings bei geringerer Größe und höherer Dichte als ein Weißer Zwerg. Neutronensterne sind die "steifsten" Objekte, die man kennt; ihr Young-Modul (oder genauer gesagt, ihr Volumenmodul) ist um 20 Größenordnungen größer als das von Diamant. Doch selbst diese enorme Steifigkeit kann durch das Gravitationsfeld eines Neutronensterns überwunden werden, dessen Masse die Tolman-Oppenheimer-Volkoff-Grenze überschreitet, was zur Bildung eines Schwarzen Lochs führt. ⓘ

Das Pauli-Prinzip führt zur Austauschwechselwirkung und erklärt die Spinordnung in Atomen (Hundsche Regeln) und Festkörpern (Magnetismus). ⓘ

Bei Streuprozessen zweier identischer Teilchen ergeben sich für das Trajektorienpaar durch Vertauschung stets zwei verschiedene, aber von außen nicht unterscheidbare Möglichkeiten. Dies muss bei der theoretischen Berechnung von Wirkungsquerschnitt und Streuwellenfunktion berücksichtigt werden. ⓘ

Allgemeine Form (verallgemeinertes Pauli-Prinzip)

Formulierung

Die Gesamtwellenfunktion $\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2};\dots )$ eines Systems von $n$ identischen Fermionen muss total antisymmetrisch bezüglich jeder Vertauschung P zweier Teilchen sein:

$\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};\ldots ;{\vec {r}}_{n},s_{n})=-(P\psi )({\vec {r}}_{1},s_{1};\ldots ;{\vec {r}}_{n},s_{n})\,\,.$ ⓘ

Dabei ist ${\vec {r}}_{i}$ der Ort, $s_{i}$ der Spin des $i$-ten Fermions und $P$ jeder Permutationsoperator, der die Vertauschung jeweils zweier Teilchen bewirkt, also z. B. für die Vertauschung des ersten Teilchens mit dem zweiten:

$(P\psi )({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2};\dots ):=\psi ({\vec {r}}_{2},s_{2};{\vec {r}}_{1},s_{1};\dots )\,\,.$ ⓘ

Anschauliche Deutung

Betrachtet man ein System aus zwei nichtunterscheidbaren Fermionen, so gilt wegen der Antisymmetrie der Gesamtwellenfunktion

$\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2})=-\psi ({\vec {r}}_{2},s_{2};{\vec {r}}_{1},s_{1}).$

Für $({\vec {r}}_{1},s_{1})=({\vec {r}}_{2},s_{2})$ ergibt sich daraus $\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})=-\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})$, d. h. $\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{1},s_{1})=0$. Somit muss auch das Betragsquadrat dieser Wellenfunktion, also die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür, dass man bei einer Messung beide Fermionen am selben Ort ${\vec {r}}_{1}$ mit demselben Spin $s_{1}$ findet, null sein. ⓘ

In vielen Fällen (ein solcher Fall ist z. B. für nichtentartete Eigenfunktionen von Hamilton-Operatoren ohne Spin-Bahn-Kopplung stets gegeben) ist die Gesamtwellenfunktion $\psi$ als Produkt von Ortswellenfunktion $\phi$ und Spinwellenfunktion $\chi$ darstellbar, also

$\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2})=\phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})\chi (s_{1},s_{2}).$

Wegen der Antisymmetrie ist dann $\phi ({\vec {r}}_{2},{\vec {r}}_{1})\chi (s_{2},s_{1})=-\phi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2})\chi (s_{1},s_{2})$. Ist etwa die Spinwellenfunktion symmetrisch, also $\chi (s_{1},s_{2})=\chi (s_{2},s_{1})$, so folgt daraus die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion $\phi$. Entsprechend gilt allgemein, dass die Symmetrie einer der Funktionen $\phi$ oder $\chi$ äquivalent zur Antisymmetrie der jeweils anderen ist. Sind also die zwei Fermionen etwa im selben Spinzustand $s$, dann ist $\chi (s_{1},s_{2})=\delta _{ss_{1}}\delta _{ss_{2}}$ symmetrisch und daher folgt die Antisymmetrie der Ortswellenfunktion. ⓘ

Diese Zusammenhänge gelten sinngemäß auch dann, wenn mehr als zwei nichtunterscheidbare Fermionen beteiligt sind. ⓘ