Unendlichzeichen

$\infty$ ⓘ
ⓘ
Unendlichkeitssymbol
In Unicode	U+221E ∞ UNENDLICHKEIT (∞)
Im Unterschied zu
Im Unterschied zu	U+267E ♾ DAUERPAPIERZEICHEN; U+26AD ⚭ HEIRATSZEICHEN

$\infty$ ⓘ
Mathematische Zeichen
Arithmetik
Pluszeichen	+
Minuszeichen	−, ⁒
Malzeichen	⋅, ×
Geteiltzeichen	:, ÷, /
Plusminuszeichen	±, ∓
Vergleichszeichen	<, ≤, =, ≥, >
Wurzelzeichen	√
Prozentzeichen	%
Analysis
Summenzeichen	Σ
Produktzeichen	Π
Differenzzeichen, Nabla	∆, ∇
Prime	′
Partielles Differential	∂
Integralzeichen	∫
Verkettungszeichen	∘
Unendlichzeichen	∞
Geometrie
Winkelzeichen	∠, ∡, ∢, ∟
Senkrecht, Parallel	⊥, ∥
Dreieck, Viereck	△, □
Durchmesserzeichen	⌀
Mengenlehre
Vereinigung, Schnitt	∪, ∩
Differenz, Komplement	∖, ∁
Elementzeichen	∈
Teilmenge, Obermenge	⊂, ⊆, ⊇, ⊃
Leere Menge	∅
Logik
Folgepfeil	⇒, ⇔, ⇐
Allquantor	∀
Existenzquantor	∃
Konjunktion, Disjunktion	∧, ∨
Negationszeichen	¬

Das Unendlichzeichen ( $\infty$ oder ∞) ist ein mathematisches Zeichen, mit dem Unendlichkeit symbolisiert wird. Es ähnelt einer liegenden Ziffer Acht. In der Bedeutung als unendlich große Zahl wurde es 1655 von dem englischen Mathematiker John Wallis eingeführt. Die Gründe für diese Wahl sind nicht restlos geklärt; möglicherweise entstand es aus einer Ligatur ↀ des römischen Zahlzeichens CIƆ für die Zahl 1000, oder als geschlossene Variante des letzten griechischen Kleinbuchstabens ω (Omega). Je nach Schriftart sind die beiden Schleifen gleich groß, oder die linke kleiner. ⓘ

In der modernen Mathematik wird das Unendlichzeichen vor allem zur Beschreibung von Grenzwerten bei Folgen und Reihen eingesetzt. Als Symbol wird es mit übertragener Bedeutung auch außerhalb der Mathematik verwendet. ⓘ

Das Unendlichkeitssymbol ( $\infty$ ) ist ein mathematisches Symbol, das das Konzept der Unendlichkeit darstellt. Dieses Symbol wird auch als Lemniskate bezeichnet, nach den Lemniskatenkurven ähnlicher Form, die in der algebraischen Geometrie untersucht werden, oder als "faule Acht", in der Terminologie der Viehzucht. ⓘ

Dieses Symbol wurde erstmals von John Wallis im 17. Jahrhundert mathematisch verwendet, obwohl es eine längere Geschichte anderer Verwendungen hat. In der Mathematik bezieht es sich oft auf unendliche Prozesse (potenzielle Unendlichkeit) und nicht auf unendliche Werte (tatsächliche Unendlichkeit). Es hat auch andere, damit zusammenhängende technische Bedeutungen, wie z. B. die Verwendung von langlebigem Papier in der Buchbinderei, und wurde wegen seines symbolischen Wertes des Unendlichen in der modernen Mystik und Literatur verwendet. Das Unendlichkeitssymbol ist ein gängiges Element des Grafikdesigns, z. B. in Firmenlogos und in älteren Designs wie der Métis-Flagge. ⓘ

Sowohl das Unendlichkeitssymbol selbst als auch mehrere Varianten des Symbols sind in verschiedenen Zeichenkodierungen verfügbar. ⓘ

Geschichte

Der Mathematiker John Wallis gilt als einer der Pioniere der Infinitesimalrechnung. In seinen Arbeiten entwickelte er unter anderem das Prinzip der Indivisiblen von Bonaventura Cavalieri weiter. Gleich zu Beginn seines in lateinischer Sprache geschriebenen Werks über Kegelschnitte De sectionibus conicis aus dem Jahr 1655 schreibt er:

„Suppono in limine (juxta Bonaventuræ Cavallerii Geometriam Indiviſibilium) Planum quodlibet quaſi ex infinitis lineis parallelis conflari: Vel potius (quod ego mallem) ex infinitis Parallelogrammis æque altis; quorum quidem ſingulorum altitudo fit totius altitudinis ${\tfrac {1}{\infty }}$ , ſive aliquota pars infinite para; (eſto enim nota $\infty$ numeri infiniti;) adeoque omnium ſimul altitudo æqualis altitunini figuræ.“

„Zum Anfang nehme ich (gemäß Bonaventura Cavalieris Geometrie der Indivisibilien) an, dass jede flache Figur aus unendlich vielen parallelen Linien zusammengesetzt ist: Oder vielmehr (was ich bevorzuge) aus unendlich vielen Parallelogrammen gleicher Höhe; jede einzelne dieser Höhen mache ${\tfrac {1}{\infty }}$ der Gesamthöhe, oder auch einen unendlich kleinen Anteil, aus (hierzu bezeichne $\infty$ eine unendliche große Zahl;) daher ist die Höhe aller zusammen genommen gleich der Höhe der Figur.“

– John Wallis: De sectionibus conicis, 1655 ⓘ

An dieser Stelle nimmt Wallis eine signifikante Modifikation des cavalierischen Prinzips vor. Bei ihm besteht eine flache geometrische Figur nicht aus einzelnen Linien, sondern aus Parallelogrammen. Deren Höhe gibt er als ${\tfrac {1}{\infty }}$ , also als unendlich kleinen Teil der Gesamthöhe der Figur, an. Mit dem Symbol $\infty$ bezeichnet er dabei eine unendlich große Zahl. ⓘ

Römische Zahlzeichen nach Freigius (1582) ⓘ

Warum Wallis gerade dieses Symbol wählte, ist nicht genau bekannt. Er kannte es vermutlich als eine aus dem 7. Jahrhundert stammende Ligatur ↀ des römischen Zahlzeichens CIƆ (auch M) für die Zahl 1000. Der niederländische Mathematiker Bernard Nieuwentijt verwendete 1695 in seinem Werk Analysis infinitorum ebenfalls ein kleines m als Zeichen für Unendlichkeit. Anderen Autoren zufolge entstand das Zeichen aus einer geschlossenen Variante des letzten griechischen Kleinbuchstabens ω (Omega). Interpretationen des Zeichens als Lemniskate, Möbiusband oder auf der Seite liegende Zahl 8 (englisch „lazy eight“) sind modernerer Natur. ⓘ

Zu Beginn des 18. Jahrhunderts findet sich das Unendlichzeichen in der Literatur meist im Zusammenhang mit dem Begriff des unendlich Kleinen. Bei Gottfried Leibniz und Isaac Newton galt dessen Bedeutung und Zulässigkeit noch als mathematisches und philosophisches Problem. Erst mit Leonhard Euler, der einen formalen Standpunkt einnahm und im Gegensatz zu Leibniz und Newton metaphysische Legitimationen von unendlich kleinen Größen verwarf, wurde das Unendlichzeichen in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts zum festen Bestandteil der mathematischen Symbolsprache. Im Verlauf des 19. Jahrhunderts wurde dann die Theorie der infinitesimalen Größen durch die mathematisch stringentere Theorie der Differenzial- und Integralrechnung ersetzt. Seitdem dient das Unendlichsymbol vor allem zur Beschreibung von Grenzwerten bei Folgen und Reihen. ⓘ

Erste bekannte Verwendung des Unendlichkeitssymbols durch John Wallis im Jahr 1655 ⓘ

John Wallis führte das Unendlichkeitssymbol

\infty

in die mathematische Literatur ein.

Das

\infty

Symbol in verschiedenen Schriftarten

Die Lemniskate ist seit dem Altertum ein gängiges dekoratives Motiv, das beispielsweise auf wikingerzeitlichen Kämmen zu finden ist. ⓘ

Vielleicht wurden in einigen Fällen aufgrund typografischer Beschränkungen andere Symbole, die dem Unendlichkeitszeichen ähneln, für dieselbe Bedeutung verwendet. Leonhard Euler verwendete eine offene Buchstabenform, die eher einem gespiegelten und seitwärts gerichteten S als einer Lemniskate ähnelt, und sogar "O-O" wurde als Ersatz für das Unendlichkeitszeichen selbst verwendet. ⓘ

Verwendung

In der modernen Mathematik wird das Unendlichzeichen vor allem verwendet, um potentielle Unendlichkeit darzustellen. Strebt eine Folge von Zahlen $a_{1},a_{2},\ldots$ gegen einen Grenzwert $a$ , so wird dieser Sachverhalt durch ⓘ

\lim _{n\to \infty }a_{n}=a

ⓘ

notiert. Dabei symbolisiert $n\to \infty$ , dass die natürliche Zahl $n$ beliebig groß werden soll. Das Unendlichzeichen selbst stellt hierbei jedoch keine natürliche Zahl dar. Eine Reihe, also eine unendliche Summe der Glieder einer Folge, wird entsprechend durch ⓘ

\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}

ⓘ

notiert. Für reelle Zahlenfolgen wird auch bestimmte Divergenz definiert und man schreibt dann ⓘ

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty

. ⓘ

Entsprechend wird ein nach oben unbeschränktes Intervall reeller Zahlen mit $[a,\infty )$ bezeichnet. In der Integralrechnung werden auch uneigentliche Integrale der Form ⓘ

\int _{a}^{\infty }f(x)~dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)~dx

ⓘ

betrachtet. Bestimmte Divergenz kann auch nach $-\infty$ erfolgen und daher gibt es auch nach unten oder beidseitig unbeschränkte Intervalle und entsprechende Integrale. In der Topologie wird auch eine Erweiterung der reellen Zahlen um die beiden Elemente $+\infty$ und $-\infty$ betrachtet, in der dann bestimmt divergente Folgen ebenfalls konvergieren. Mit ⓘ

\|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}

ⓘ

wird auch die Supremumsnorm einer (beschränkten) Funktion bezeichnet, welche als Grenzwert der L^p-Normen für $p\to \infty$ entsteht. ⓘ

Mathematik

In der Mathematik wird das Unendlichkeitssymbol häufiger verwendet, um eine potenzielle Unendlichkeit darzustellen, als eine tatsächlich unendliche Menge, wie sie in den erweiterten reellen Zahlen, den Kardinalzahlen und den Ordinalzahlen enthalten ist (die andere Schreibweisen verwenden, wie $\,\aleph _{0}\,$ und ω, für unendliche Werte). Zum Beispiel in mathematischen Ausdrücken mit Summen und Grenzwerten wie

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2^{x}-1}{2^{x-1}}}=2,

ⓘ

Das Unendlichkeitszeichen wird üblicherweise so interpretiert, dass die Variable gegen unendlich wächst, anstatt tatsächlich einen unendlichen Wert anzunehmen, obwohl auch andere Interpretationen möglich sind. ⓘ

Das Unendlichkeitssymbol kann auch verwendet werden, um einen Punkt im Unendlichen darzustellen, insbesondere wenn nur ein solcher Punkt in Frage kommt. Diese Verwendung umfasst insbesondere den unendlichen Punkt einer projektiven Linie und den Punkt, der zu einem topologischen Raum hinzugefügt wird, um seine Ein-Punkt-Verdichtung zu bilden. ⓘ

Andere technische Verwendungen

Das Zeichen $\infty$ wird mit unterschiedlichen Bedeutungen auch außerhalb der Mathematik verwendet, unter anderem als Symbol für

ein logisches Paradoxon oder einen Teufelskreis, beispielsweise in Form des Ouroboros, einer Schlange, die sich selbst in den Schwanz beißt
Ganzheit, beispielsweise auf den Tarotkarten Der Magier und Kraft
lange Beständigkeit, beispielsweise auf der Flagge der kanadischen Métis
einen unendlich weit entfernten Punkt, beispielsweise bei der Entfernungseinstellung in einer Kamera
steht für Ewigkeit und Beständigkeit in der Liebe und Freundschaft ⓘ

Als Markenzeichen wird es beispielsweise bei der Lautsprechermarke Infinity, der Automarke Infiniti und der Software Microsoft Visual Studio verwendet. Es findet sich auch in dem Label ♾ für säurefreies und damit lange haltbares Papier. ⓘ

Objektive z. B. in der Fotografie müssen mittels der Entfernungseinstellung scharf gestellt werden. Die axiale Einstellung relativ zur Filmebene verläuft dabei nicht linear zur Objektentfernung. Für große Distanzen (abhängig von der verwendeten Brennweite) muss nicht mehr sehr präzise eingestellt werden, da die Werte sehr dicht beieinander liegen. Ab einer bestimmten – von der Objektivkonstruktion abhängigen – Entfernung werden alle Objekte gleichzeitig als scharf empfunden. Diese Einstellung ist auf Objektiven meist mit Unendlich ( $\infty$ ) markiert. ⓘ

Seitenansicht eines Kameraobjektivs mit dem Unendlichkeitssymbol auf der Brennweitenanzeige ⓘ

Symbolik und literarische Verwendung

Das Unendlichkeitssymbol erscheint auf mehreren Karten des Tarotdecks von Rider-Waite. ⓘ

In der modernen Mystik wird das Unendlichkeitssymbol mit einer Variante des Ouroboros identifiziert, einem antiken Bild einer Schlange, die ihren eigenen Schwanz frisst, das ebenfalls das Unendliche symbolisiert. Der Ouroboros wird manchmal in Form einer Acht gezeichnet, um diese Identifikation widerzuspiegeln, und nicht in seiner traditionellen kreisförmigen Form. ⓘ

In den Werken von Vladimir Nabokov, darunter Die Gabe und Das helle Feuer, wird die Achterform symbolisch verwendet, um auf das Möbiusband und das Unendliche zu verweisen, wie in den Beschreibungen der Formen von Fahrradreifenspuren und der Umrisse halb erinnerter Menschen in diesen Büchern. Nabokovs Gedicht, dem er den Titel Bleiches Feuer gab, bezieht sich ausdrücklich auf "das Wunder der Lemniskate". Andere Autoren, die diese Form mit ihrer symbolischen Bedeutung für das Unendliche in ihren Werken verwenden, sind James Joyce in Ulysses und David Foster Wallace in Infinite Jest. ⓘ

Grafische Gestaltung

Die bekannte Form und Bedeutung des Unendlichkeitssymbols haben es zu einem gängigen typografischen Element des Grafikdesigns gemacht. Die Flagge der Métis, die seit dem frühen 19. Jahrhundert von den kanadischen Métis verwendet wird, basiert beispielsweise auf diesem Symbol. Für die Bedeutung des Symbols auf dieser Flagge wurden verschiedene Theorien aufgestellt, darunter die Hoffnung auf eine unendliche Zukunft für die Métis-Kultur und ihre Mischung aus europäischen und First-Nations-Traditionen, aber auch die Anspielung auf die geometrischen Formen der Métis-Tänze, auf keltische Knoten oder die Zeichensprache der Plains First Nations. ⓘ

Ein regenbogenfarbenes Unendlichkeitssymbol wird auch von der Neurodiversitätsbewegung verwendet, um die unendliche Vielfalt der Menschen in dieser Bewegung und der menschlichen Wahrnehmung zu symbolisieren. Die Firma Bakelite hat dieses Symbol in ihr Firmenlogo aufgenommen, um auf die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten des von ihr hergestellten Kunststoffs hinzuweisen. Versionen dieses Symbols wurden auch in anderen Marken, Firmenlogos und Emblemen verwendet, darunter die von Fujitsu, Cell Press und der FIFA Fußball-Weltmeisterschaft 2022. ⓘ

Kodierung

Das Symbol ist in Unicode mit U+221E ∞ INFINITY und in LaTeX als \infty kodiert: $\infty$ . Eine eingekreiste Version ist für die Verwendung als Symbol für säurefreies Papier kodiert. ⓘ

Zeicheninformationen ⓘ
Vorschau	∞		♾
Unicode-Bezeichnung	INFINITY		PERMANENTES PAPIERZEICHEN
Kodierungen	dezimal	hex	dez	hex
Unicode	8734	U+221E	9854	U+267E
UTF-8	226 136 158	E2 88 9E	226 153 190	E2 99 BE
GB 18030	161 222	A1 DE	129 55 174 56	81 37 AE 38
Numerische Zeichenreferenz	∞	∞	♾	♾
Benannte Zeichenreferenz	∞
OEM-437 (Alt-Code)	236	EC
Mac OS Roman	176	B0
Symbol Font-Kodierung	165	A5
Verschiebung JIS	129 135	81 87
EUC-JP	161 231	A1 E7
EUC-KR / UHC	161 196	A1 C4
EUC-KPS-9566	162 172	A2 AC
Big5	161 219	A1 DB
LaTeX	\infty		\acidfree
CLDR Text-in-Sprache-Name			unendlich

Der Unicode-Symbolsatz enthält auch mehrere Varianten des Unendlichkeitssymbols, die in Schriftarten des Blocks Miscellaneous Mathematical Symbols-B seltener vorkommen. ⓘ

Zeicheninformationen ⓘ
Vorschau	⧜		⧝		⧞
Unicode-Bezeichnung	UNVOLLSTÄNDIGE UNENDLICHKEIT		UNENTSCHIEDEN ÜBER UNENDLICHKEIT		UNENDLICH NEGIERT MIT SENKRECHTEM BALKEN
Kodierungen	dezimal	hex	dez	hex	dez	hex
Unicode	10716	U+29DC	10717	U+29DD	10718	U+29DE
UTF-8	226 167 156	E2 A7 9C	226 167 157	E2 A7 9D	226 167 158	E2 A7 9E
Numerische Zeichenreferenz	⧜	⧜	⧝	⧝	⧞	⧞
Benannte Zeichenreferenz	⧜		⧝		⧞
LaTeX	\iinfin		\tieinfty		\nvinfty

Das Unendlichzeichen in verschiedenen Schriftarten ⓘ

Abwandlungen des Unendlichzeichens sind folgende Zeichen:

Kodierung in Unicode, HTML und LaTeX ⓘ
Zeichen	Unicode		Bezeichnung	HTML			LaTeX
Zeichen	Position	Bezeichnung	Bezeichnung	hexadezimal	dezimal	benannt	LaTeX
∝	`U+221D`	proportional to	proportional zu	∝	∝	∝	`\propto`
⧞	`U+22DE`	infinity negated with vertical bar	mit Vertikalstrich negierte Unendlichkeit	⋞	⋞
♾	`U+267E`	permanent paper sign	Zeichen für säurefreies Papier	♾	♾
⧜	`U+29DC`	incomplete infinity	unvollständige Unendlichkeit	⧜	⧜
⧝	`U+29DD`	tie over infinity	Bogen über Unendlichkeit	⧝	⧝