Möbiusband

Ein Möbiusband aus Papier und Klebeband ⓘ

In der Mathematik ist ein Möbiusband, ein Möbiusstreifen oder eine Möbiusschleife eine Fläche, die durch das Zusammenfügen der Enden eines Papierstreifens mit einer halben Drehung gebildet werden kann. Als mathematisches Objekt wurde es 1858 von Johann Benedict Listing und August Ferdinand Möbius entdeckt, aber es tauchte bereits in römischen Mosaiken aus dem dritten Jahrhundert n. Chr. auf. Das Möbiusband ist eine nicht orientierbare Fläche, was bedeutet, dass man in ihr nicht konsequent zwischen Drehungen im und gegen den Uhrzeigersinn unterscheiden kann. Jede nicht orientierbare Fläche enthält ein Möbiusband. ⓘ

Als abstrakter topologischer Raum kann das Möbiusband auf viele verschiedene Arten in den dreidimensionalen euklidischen Raum eingebettet werden: Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn unterscheidet sich von einer Halbdrehung gegen den Uhrzeigersinn, und es kann auch mit einer ungeraden Anzahl von Drehungen größer als eins oder mit einer verknoteten Mittellinie eingebettet werden. Zwei Einbettungen mit demselben Knoten in der Mittellinie und derselben Anzahl und Richtung der Verdrehungen sind topologisch äquivalent. Alle diese Einbettungen haben nur eine Seite, aber wenn sie in andere Räume eingebettet sind, kann das Möbiusband zwei Seiten haben. Es hat nur eine einzige Begrenzungskurve. ⓘ

Mehrere geometrische Konstruktionen des Möbiusbandes verleihen ihm eine zusätzliche Struktur. Das Möbiusband kann durch eine in einer rotierenden Ebene rotierende Linie mit oder ohne Selbstkreuzung als Regelfläche überstrichen werden. Ein dünner Papierstreifen, dessen Enden zu einem Möbiusband verbunden sind, kann als abwickelbare Fläche glatt gebogen oder flach gefaltet werden; zu den abgeflachten Möbiusbändern gehört das Trihexaflexagon. Das sudanesische Möbiusband ist eine Minimalfläche in einer Hypersphäre, und das Meeks-Möbiusband ist eine sich selbst schneidende Minimalfläche im gewöhnlichen euklidischen Raum. Sowohl das sudanesische Möbiusband als auch ein anderes sich selbst schneidendes Mobiusband, die Kreuzkappe, haben eine kreisförmige Begrenzung. Ein Möbiusband ohne seine Begrenzung, ein so genanntes offenes Möbiusband, kann Flächen mit konstanter Krümmung bilden. Bestimmte hochsymmetrische Räume, deren Punkte Linien in der Ebene darstellen, haben die Form eines Möbiusbandes. ⓘ

Zu den zahlreichen Anwendungen von Möbiusbändern gehören mechanische Riemen, die sich auf beiden Seiten gleichmäßig abnutzen, zweispurige Achterbahnen, deren Wagen abwechselnd auf den beiden Spuren fahren, und Weltkarten, die so gedruckt sind, dass die Antipoden einander gegenüberliegen. Möbiusstreifen tauchen in Molekülen und Geräten mit neuartigen elektrischen und elektromechanischen Eigenschaften auf und wurden verwendet, um Unmöglichkeitsergebnisse in der Theorie der sozialen Auswahl zu beweisen. In der Populärkultur tauchen Möbiusstreifen in Kunstwerken von M. C. Escher, Max Bill und anderen sowie in der Gestaltung des Recycling-Symbols auf. Viele architektonische Konzepte wurden durch das Möbiusband inspiriert, darunter auch der Entwurf für das Gebäude der NASCAR Hall of Fame. Zauberkünstler wie Harry Blackstone Sr. und Thomas Nelson Downs haben ihre Zaubertricks auf die Eigenschaften des Möbiusbandes gestützt. Der Kanon von J. S. Bach wurde anhand von Möbiusstreifen analysiert. In vielen Werken der spekulativen Belletristik kommen Möbiusstreifen vor; ganz allgemein ist in der Belletristik eine auf dem Möbiusstreifen basierende Handlungsstruktur mit Ereignissen, die sich mit einer Wendung wiederholen, üblich. ⓘ

Möbiusband aus Granit: Skulptur unendliche Schleife von Max Bill aus Tranas-Granit; Stadtgarten Essen (an der Hohenzollernstraße) ⓘ

Geschichte

Mosaik aus dem antiken Sentinum mit der Darstellung von Aion, der ein Möbiusband hält

Kettenpumpe mit einer Möbius-Antriebskette, von Ismail al-Jazari (1206)

Die Entdeckung des Möbiusbandes als mathematisches Objekt wird unabhängig voneinander den deutschen Mathematikern Johann Benedict Listing und August Ferdinand Möbius im Jahr 1858 zugeschrieben. Das Möbiusband war jedoch schon lange vorher bekannt, sowohl als physikalisches Objekt als auch in künstlerischen Darstellungen; insbesondere ist es auf mehreren römischen Mosaiken aus dem dritten Jahrhundert n. Chr. zu sehen. In vielen Fällen stellen diese lediglich gewundene Bänder als Grenzen dar. Bei einer ungeraden Anzahl von Windungen handelt es sich bei diesen Bändern um Möbiusstreifen, bei einer geraden Anzahl von Windungen sind sie topologisch äquivalent zu unverdrillten Ringen. Ob es sich bei dem Band um ein Möbiusband handelt, kann daher eher zufällig als bewusst gewählt sein. In mindestens einem Fall wurde ein Band mit verschiedenen Farben auf verschiedenen Seiten mit einer ungeraden Anzahl von Windungen gezeichnet, so dass der Künstler gezwungen war, an der Stelle, an der die Farben nicht übereinstimmten, eine ungeschickte Korrektur vorzunehmen. Ein anderes Mosaik aus der Stadt Sentinum (siehe Abbildung) zeigt den Tierkreis, der vom Gott Aion gehalten wird, als Band mit nur einer Windung. Es gibt keine eindeutigen Hinweise darauf, dass die Einseitigkeit dieser Darstellung der himmlischen Zeit beabsichtigt war; sie könnte lediglich gewählt worden sein, um alle Tierkreiszeichen auf der sichtbaren Seite des Bandes erscheinen zu lassen. Einige andere antike Darstellungen des Ourobouros oder von achterförmigen Dekorationen sollen ebenfalls Möbiusstreifen darstellen, doch ist unklar, ob sie flache Streifen irgendeiner Art darstellen sollten. ⓘ

Unabhängig von der mathematischen Tradition wissen Maschinenbauer seit langem, dass sich mechanische Riemen nur halb so schnell abnutzen, wenn sie Möbiusbänder bilden, weil sie die gesamte Oberfläche des Riemens nutzen und nicht nur die Innenfläche eines unverdrillten Riemens. Außerdem neigt ein solcher Riemen weniger dazu, sich von einer Seite zur anderen zu wellen. Eine frühe schriftliche Beschreibung dieser Technik stammt aus dem Jahr 1871, also nach den ersten mathematischen Veröffentlichungen über das Möbiusband. Schon viel früher wurde in einem Werk von Ismail al-Jazari aus dem Jahr 1206 eine Kettenpumpe mit einer Möbiusbandkonfiguration für die Antriebskette abgebildet. Eine weitere Verwendung dieser Fläche wurde von Näherinnen in Paris (zu einem nicht näher bezeichneten Zeitpunkt) gemacht: Sie forderten ihre Novizen auf, ein Möbiusband als Kragen auf ein Kleidungsstück zu nähen. ⓘ

Eigenschaften

Ein 2D-Objekt, das das Möbiusband einmal durchquert hat, kehrt in gespiegelter Form zurück ⓘ

Das Möbiusband hat mehrere merkwürdige Eigenschaften. Es ist eine nicht ausrichtbare Fläche: Wenn ein asymmetrisches zweidimensionales Objekt einmal um das Band gleitet, kehrt es als sein Spiegelbild an seine Ausgangsposition zurück. Insbesondere würde ein gekrümmter Pfeil, der im Uhrzeigersinn (↻) zeigt, als Pfeil zurückkehren, der gegen den Uhrzeigersinn (↺) zeigt, was bedeutet, dass es innerhalb des Möbiusbandes unmöglich ist, einheitlich zu definieren, was im oder gegen den Uhrzeigersinn ist. Sie ist die einfachste nicht orientierbare Fläche: Jede andere Fläche ist nur dann nicht orientierbar, wenn sie ein Möbiusband als Teilmenge hat. Ein Möbiusband, das in den euklidischen Raum eingebettet ist, hat also nur eine Seite. Ein dreidimensionales Objekt, das einmal über die Oberfläche des Streifens gleitet, wird nicht gespiegelt, sondern kehrt an denselben Punkt des Streifens zurück, der lokal als seine andere Seite erscheint, was zeigt, dass beide Positionen in Wirklichkeit Teil einer einzigen Seite sind. Dieses Verhalten unterscheidet sich von den bekannten ausrichtbaren Flächen in drei Dimensionen, wie z. B. flache Papierbögen, zylindrische Trinkhalme oder Hohlkugeln, bei denen eine Seite der Fläche nicht mit der anderen verbunden ist. Dies ist jedoch eher eine Eigenschaft der Einbettung in den Raum als eine dem Möbiusband selbst innewohnende Eigenschaft: Es gibt andere topologische Räume, in die das Möbiusband eingebettet werden kann, so dass es zwei Seiten hat. Klebt man beispielsweise die Vorder- und Rückseite eines Würfels mit einer Links-Rechts-Spiegelung aneinander, so entsteht ein dreidimensionaler topologischer Raum (das kartesische Produkt eines Möbiusbandes mit einem Intervall), in dem die obere und untere Hälfte des Würfels durch ein zweiseitiges Möbiusband voneinander getrennt werden können. Im Gegensatz zu Scheiben, Kugeln und Zylindern, bei denen es möglich ist, eine nicht abzählbare Menge von disjunkten Kopien gleichzeitig in den dreidimensionalen Raum einzubetten, kann nur eine abzählbare Anzahl von Möbiusbändern gleichzeitig eingebettet werden. ⓘ

Ein Pfad entlang der Kante eines Möbiusbandes, der so lange verfolgt wird, bis er zu seinem Ausgangspunkt an der Kante zurückkehrt, umfasst alle Randpunkte des Möbiusbandes in einer einzigen kontinuierlichen Kurve. Ein Möbiusband, das durch Verkleben und Verdrehen eines Rechtecks entsteht, ist doppelt so lang wie die Mittellinie des Bandes. In diesem Sinne unterscheidet sich das Möbiusband von einem unverdrehten Ring und von einer Kreisscheibe dadurch, dass es nur eine Begrenzung hat. Ein Möbiusband im euklidischen Raum kann nicht verschoben oder in sein Spiegelbild gedehnt werden; es ist ein chirales Objekt mit Rechts- oder Linkshändigkeit. Möbiusbänder mit einer ungeraden Anzahl von Halbdrehungen größer als eins oder die vor dem Verkleben verknotet werden, unterscheiden sich als eingebettete Teilmengen des dreidimensionalen Raums, auch wenn sie als zweidimensionale topologische Flächen alle gleichwertig sind. Genauer gesagt sind zwei Möbiusstreifen äquivalent in den dreidimensionalen Raum eingebettet, wenn ihre Mittellinien denselben Knoten bestimmen und sie dieselbe Anzahl von Verdrehungen aufweisen wie die anderen. Bei einer geraden Anzahl von Verdrehungen erhält man jedoch eine andere topologische Fläche, den so genannten Ringraum. ⓘ

Das Möbiusband kann kontinuierlich in seine Mittellinie transformiert werden, indem man es schmaler macht und die Punkte auf der Mittellinie fixiert. Diese Transformation ist ein Beispiel für eine Deformations-Retraktion, und ihre Existenz bedeutet, dass das Möbiusband viele der gleichen Eigenschaften hat wie seine Mittellinie, die topologisch ein Kreis ist. Insbesondere ist seine Fundamentalgruppe dieselbe wie die Fundamentalgruppe eines Kreises, eine unendliche zyklische Gruppe. Daher können Pfade auf dem Möbiusband, die am selben Punkt beginnen und enden, topologisch (bis zur Homotopie) nur durch die Anzahl der Schleifen unterschieden werden, die sie um das Band legen. ⓘ

Ein Schnitt durch die Mittellinie erzeugt ein zweiseitiges (nicht-Möbius-) Band

Ein einziger außermittiger Schnitt trennt ein Möbiusband (lila) von einem zweiseitigen Band

Schneidet man ein Möbiusband entlang der Mittellinie mit einer Schere, so erhält man einen langen Streifen mit zwei halben Drehungen, anstatt zwei getrennte Streifen. Das Ergebnis ist kein Möbiusband, sondern entspricht topologisch einem Zylinder. Schneidet man diesen doppelt verdrehten Streifen erneut entlang seiner Mittellinie, erhält man zwei miteinander verbundene doppelt verdrehte Streifen. Schneidet man stattdessen ein Möbiusband in Längsrichtung um ein Drittel seiner Breite, so erhält man zwei miteinander verbundene Streifen. Eines der beiden ist ein zentrales, dünneres Möbiusband, während das andere zwei halbe Drehungen aufweist. Diese miteinander verbundenen Formen, die durch Längsschnitte von Möbiusbändern mit unterschiedlicher Breite gebildet werden, werden manchmal als paradromische Ringe bezeichnet. ⓘ

Unterteilung in sechs aneinander angrenzende Regionen, die durch den Tietze-Graphen begrenzt werden

Lösung des Drei-Nutzen-Problems auf einem Möbiusband

Das Möbiusband kann in sechs aneinander angrenzende Regionen unterteilt werden, was zeigt, dass Karten auf der Oberfläche des Möbiusbandes manchmal sechs Farben benötigen, im Gegensatz zum Vierfarbensatz für die Ebene. Sechs Farben sind immer ausreichend. Dieses Ergebnis ist Teil des Ringel-Youngs-Theorems, das angibt, wie viele Farben jede topologische Fläche benötigt. Die Kanten und Scheitelpunkte dieser sechs Regionen bilden den Tietze-Graphen, der ein dualer Graph auf dieser Fläche für den vollständigen Graphen mit sechs Scheitelpunkten ist, aber nicht ohne Kreuzungen auf einer Ebene gezeichnet werden kann. Eine weitere Familie von Graphen, die in das Möbiusband eingebettet werden können, aber nicht in die Ebene, sind die Möbiusleitern, die Grenzen von Unterteilungen des Möbiusbandes in Rechtecke, die sich Ende-an-Ende treffen. Dazu gehört der Nutzengraph, ein vollständiger bipartiter Graph mit sechs Vertexen, dessen Einbettung in das Möbiusband zeigt, dass das Drei-Nutzen-Problem auf einem transparenten Möbiusband gelöst werden kann, anders als in der Ebene. Die Euler-Charakteristik des Möbiusbandes ist gleich Null, was bedeutet, dass für jede Unterteilung des Bandes durch Eckpunkte und Kanten in Regionen die Zahlen $V$, $E$, und $F$ von Scheitelpunkten, Kanten und Regionen erfüllen $V-E+F=0$. Der Tietze'sche Graph hat zum Beispiel $12$ Scheitelpunkte, $18$ Kanten und $6$ Regionen; $12-18+6=0$. ⓘ

Möbiusband als Quotientenraum ⓘ

Die Topologie bietet einen mathematischen Weg, ein Möbiusband durch das gegensinnige Zusammenkleben der Enden eines Papierstreifens herzustellen. Dort wird ein Möbiusband als Quotientenraum des Quadrats $(x,y)\in [0,1]\times [0,1]$ definiert, wobei zwei gegenüberliegende Seiten durch die Äquivalenzrelation $(0,y)\sim (1,1-y)$ für $0\leq y\leq 1$ miteinander identifiziert werden. Das nebenstehende Diagramm verdeutlicht dies. ⓘ

Das Möbiusband ist eine kompakte topologische Mannigfaltigkeit der Dimension 2. ⓘ

Konstruktionen

Plot eines Möbiusbandes ⓘ

3D-Ansichten einer
Möbius-Schnecke ⓘ

Das Möbiusband kann als Fläche mittels der folgenden Parameterdarstellung gezeichnet werden:

$x(r,\alpha )=\cos(\alpha )\cdot \left(1+{\frac {r}{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)$

$y(r,\alpha )=\sin(\alpha )\cdot \left(1+{\frac {r}{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\right)$

$z(r,\alpha )={\frac {r}{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}$

mit $0\leq \alpha <2\pi$ und $-1\leq r\leq 1$. Damit wird ein Möbiusband mit einer Breite von 1 erstellt, dessen Mittellinie mit dem Einheitskreis der xy-Ebene zusammenfällt. Der Winkel $\alpha$ hat seinen Scheitel im Zentrum; während er sich ändert, führt die Variation von $r$ zur Fläche, die sich zwischen der einzigen Kante spannt. Wie im Bild rechts leicht zu erkennen ist, handelt es sich nicht um ein aus einem Papierstreifen zu fertigendes Möbiusband – im waagerechten Teil ähneln die Teilelemente symmetrischen Trapezen. ⓘ

Mit Hilfe von Zylinderkoordinaten $(r,\theta ,z)$ kann das Möbiusband durch

$\log(r)\cdot \sin(\theta /2)=z\cdot \cos(\theta /2)$

beschrieben werden. ⓘ

Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, geometrische Flächen mit der Topologie des Möbiusbandes zu definieren, was zu Realisierungen mit zusätzlichen geometrischen Eigenschaften führt. ⓘ

Überstreichen eines Liniensegments

Ein Möbiusband, das von einem rotierenden Liniensegment in einer rotierenden Ebene überstrichen wird

Das Plückersche Konoid, das durch eine andere Bewegung eines Liniensegments ausgefeilt wird

Eine Möglichkeit, das Möbiusband in den dreidimensionalen euklidischen Raum einzubetten, besteht darin, es durch ein Liniensegment auszufahren, das in einer Ebene rotiert, die wiederum um eine ihrer Linien rotiert. Damit sich die überstrichene Fläche nach einer halben Drehung mit sich selbst trifft, sollte sich das Liniensegment mit der halben Winkelgeschwindigkeit der Rotation der Ebene um seinen Mittelpunkt drehen. Dies kann als parametrische Fläche beschrieben werden, die durch Gleichungen für die kartesischen Koordinaten ihrer Punkte definiert ist,

$${\begin{aligned}x(u,v)&=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u\\y(u,v)&=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u\\z(u,v)&={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}}\\\end{aligned}}$$

für $0\leq u<2\pi$ und $-1\leq v\leq 1$, wobei ein Parameter $u$ den Drehwinkel der Ebene um ihre Mittelachse beschreibt und der andere Parameter $v$ die Position eines Punktes entlang des rotierenden Liniensegments beschreibt. So entsteht ein Möbiusband der Breite 1, dessen Mittelkreis den Radius 1 hat, in der $xy$-Ebene liegt und seinen Mittelpunkt bei $(0,0,0)$. Mit der gleichen Methode lassen sich Möbiusbänder mit einer beliebigen ungeraden Anzahl von Halbdrehungen erzeugen, indem man das Segment in seiner Ebene schneller dreht. Das rotierende Segment spannt in der Ebene, in der es rotiert, eine Kreisscheibe auf, und das erzeugte Möbiusband bildet einen Schnitt durch den von dieser Scheibe aufgespannten massiven Torus. Aufgrund der Einseitigkeit dieses Schnitts bleibt der aufgeschnittene Torus zusammenhängend. ⓘ

Eine Linie oder ein Liniensegment, das in einer anderen Bewegung gefegt wird und in einer horizontalen Ebene um den Ursprung rotiert, während es sich auf und ab bewegt, bildet das Plückersche Konoid oder Zylindroid, eine algebraische Regelfläche in Form eines sich selbst kreuzenden Möbiusbandes. Es findet Anwendung bei der Konstruktion von Getrieben. ⓘ

Polyedrische Flächen und flache Faltungen

Trihexaflexagon wird gebogen ⓘ

Ein Papierstreifen kann in der Ebene ein abgeflachtes Möbiusband bilden, indem er so gefaltet wird $60^{\circ }$ gefaltet wird, so dass seine Mittellinie auf einem gleichseitigen Dreieck liegt, und die Enden aneinander befestigt werden. Der kürzeste Streifen, bei dem dies möglich ist, besteht aus drei gleichseitigen Dreiecken, die an den Kanten, an denen sich zwei Dreiecke treffen, gefaltet werden. Das Seitenverhältnis - das Verhältnis von Länge und Breite des Streifens - ist ${\sqrt {3}}\approx 1.73$und die gleiche Faltmethode funktioniert für jedes größere Seitenverhältnis. Bei einem Streifen aus neun gleichseitigen Dreiecken ergibt sich ein Trihexaflexagon, das gebogen werden kann, um verschiedene Teile seiner Oberfläche zu zeigen. Bei Streifen, die zu kurz sind, um diese Methode direkt anzuwenden, kann man den Streifen zunächst mit einer geraden Anzahl von Faltungen in der Breite hin und her falten. Mit zwei Faltungen wird beispielsweise ein $1\times 1$ Streifen zu einem $1\times {\tfrac {1}{3}}$ gefalteter Streifen, dessen Querschnitt die Form eines "N" hat und nach einer halben Drehung ein "N" bleiben würde. Der schmalere akkordeongefaltete Streifen kann dann auf die gleiche Weise gefaltet und zusammengefügt werden wie ein längerer Streifen. ⓘ

Fünfeckige polyedrische und flach gefaltete Möbiusstreifen

Das Möbiusband kann auch als polyedrische Fläche im Raum eingebettet oder in der Ebene flach gefaltet werden, mit nur fünf dreieckigen Flächen, die sich fünf Scheitelpunkte teilen. In diesem Sinne ist es einfacher als der Zylinder, für den sechs Dreiecke und sechs Eckpunkte erforderlich sind, selbst wenn es abstrakter als ein vereinfachter Komplex dargestellt wird. Ein Möbiusband mit fünf Dreiecken kann am symmetrischsten durch fünf der zehn gleichseitigen Dreiecke eines vierdimensionalen regelmäßigen Simplexes dargestellt werden. Dieses vierdimensionale polyedrische Möbiusband ist das einzige enge Möbiusband, das vollständig vierdimensional ist und für das alle Schnitte durch Hyperebenen es in zwei Teile trennen, die topologisch äquivalent zu Scheiben oder Kreisen sind. ⓘ

Zu den anderen polyedrischen Einbettungen von Möbiusbändern gehören eine mit vier konvexen Vierecken als Flächen, eine andere mit drei nicht-konvexen Vierecksflächen und eine mit den Eckpunkten und dem Mittelpunkt eines regelmäßigen Oktaeders mit dreieckiger Begrenzung. Jede abstrakte Triangulation der projektiven Ebene kann in 3D als polyedrisches Möbiusband mit einer dreieckigen Begrenzung eingebettet werden, nachdem man eine ihrer Flächen entfernt hat; ein Beispiel ist die projektive Ebene mit sechs Ecken, die man erhält, indem man eine Ecke zu dem Möbiusband mit fünf Ecken hinzufügt, das durch Dreiecke mit jeder seiner Begrenzungskanten verbunden ist. Allerdings kann nicht jede abstrakte Triangulation des Möbiusbandes geometrisch als polyedrische Fläche dargestellt werden. Um realisierbar zu sein, ist es notwendig und hinreichend, dass es in der Triangulation keine zwei unzusammenhängenden, nicht kontrahierbaren 3-Zyklen gibt. ⓘ

Glatt eingebettete Rechtecke

Ein rechteckiges Möbiusband, das durch Aneinanderfügen der Enden eines Papierrechtecks entsteht, lässt sich reibungslos in den dreidimensionalen Raum einbetten, wenn sein Seitenverhältnis größer ist als ${\sqrt {3}}\approx 1.73$ist, das gleiche Verhältnis wie bei der flach gefalteten, gleichseitigen Dreiecksversion des Möbiusbandes. Diese flache dreieckige Einbettung kann zu einer glatten Einbettung im dreidimensionalen Raum führen, bei der der Streifen flach in drei parallelen Ebenen zwischen drei zylindrischen Rollen liegt, die jeweils zwei der Ebenen tangieren. Mathematisch gesehen kann ein glatt eingebettetes Blatt Papier als eine entwicklungsfähige Oberfläche modelliert werden, die sich biegen, aber nicht dehnen kann. Mit abnehmendem Seitenverhältnis in Richtung ${\sqrt {3}}$scheinen sich alle glatten Einbettungen der gleichen dreieckigen Form anzunähern. ⓘ

Die Längsfalten eines akkordeonartig gefalteten flachen Möbiusbandes verhindern, dass es eine dreidimensionale Einbettung bildet, bei der die Schichten voneinander getrennt sind und sich glatt biegen lassen, ohne zu zerknittern oder sich von den Falten weg zu dehnen. Stattdessen gibt es, anders als bei flach gefalteten Streifen, eine Untergrenze für das Seitenverhältnis von glatten rechteckigen Möbiusstreifen. Ihr Seitenverhältnis kann nicht kleiner sein als $\pi /2\approx 1.57$sein, selbst wenn Selbstüberschneidungen zulässig sind. Selbstschneidende glatte Möbiusstreifen gibt es für jedes Seitenverhältnis oberhalb dieser Grenze. Ohne Selbstüberschneidungen muss das Seitenverhältnis mindestens so groß sein wie

$${\frac {2{\sqrt {4-2{\sqrt {3}}}}+4}{{\sqrt {2{\sqrt {3}}}}+2{\sqrt {2{\sqrt {3}}-3}}}}\approx 1.695.$$

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Ungelöstes Problem in der Mathematik:

Kann ein $12\times 7$ Papierrechteck mit den Enden aneinander geklebt werden, um ein glattes Möbiusband zu bilden, das in den Raum eingebettet ist? 

(weitere ungelöste Probleme in der Mathematik)

Bei Seitenverhältnissen zwischen dieser Grenze und ${\sqrt {3}}$ist nicht bekannt, ob es glatte Einbettungen ohne Selbstüberschneidung gibt. Wenn das Erfordernis der Glätte gelockert wird, um kontinuierlich differenzierbare Flächen zuzulassen, impliziert das Nash-Kuiper-Theorem, dass zwei beliebige gegenüberliegende Kanten eines beliebigen Rechtecks geklebt werden können, um ein eingebettetes Möbiusband zu bilden, egal wie klein das Seitenverhältnis wird. Der Grenzfall, eine Fläche, die sich aus einem unendlichen Streifen der Ebene zwischen zwei parallelen Linien ergibt, die mit entgegengesetzter Ausrichtung aneinander geklebt werden, wird als unbeschränktes Möbiusband oder als reales tautologisches Linienbündel bezeichnet. Obwohl es keine glatte Einbettung in den dreidimensionalen Raum hat, kann es glatt in den vierdimensionalen euklidischen Raum eingebettet werden. ⓘ

Die Form des Energieminimums eines glatten Möbiusbandes, das aus einem Rechteck geklebt wird, ist zwar nicht analytisch beschrieben, kann aber numerisch berechnet werden und ist seit den ersten Arbeiten zu diesem Thema von Michael Sadowsky im Jahr 1930 Gegenstand zahlreicher Untersuchungen in der Plattentheorie. Es ist auch möglich, algebraische Flächen zu finden, die rechteckige entwicklungsfähige Möbiusstreifen enthalten. ⓘ

Die Begrenzung kreisförmig machen

Verkleben zweier Möbiusstreifen zu einer Klein-Flasche

Eine Projektion des sudanesischen Möbiusbandes

Die Kante oder Begrenzung eines Möbiusbandes ist topologisch einem Kreis gleichzusetzen. In den üblichen Formen des Möbiusbandes hat es eine andere Form als ein Kreis, aber es ist nicht verknotet, und daher kann das gesamte Band gestreckt werden, ohne sich selbst zu kreuzen, um den Rand perfekt kreisförmig zu machen. Ein solches Beispiel basiert auf der Topologie der Kleinschen Flasche, einer einseitigen Fläche ohne Begrenzung, die nicht in den dreidimensionalen Raum eingebettet werden kann, aber eingetaucht werden kann (so dass die Fläche sich auf bestimmte Weise kreuzen kann). Eine Klein-Flasche ist die Fläche, die entsteht, wenn zwei Möbiusstreifen Kante an Kante zusammengeklebt werden, und - in Umkehrung dieses Prozesses - kann eine Klein-Flasche entlang eines sorgfältig gewählten Schnitts aufgeschnitten werden, um zwei Möbiusstreifen zu erzeugen. Bei einer Form der Klein-Flasche, der so genannten Lawson'schen Klein-Flasche, kann die Kurve, entlang der sie geschnitten wird, kreisförmig gestaltet werden, so dass Möbiusstreifen mit kreisförmigen Kanten entstehen. ⓘ

Die Lawsonsche Klein-Flasche ist eine sich selbst kreuzende Minimalfläche in der Einheitshypersphäre des 4-dimensionalen Raums, die Menge der Punkte der Form

$$(\cos \theta \cos \phi ,\sin \theta \cos \phi ,\cos 2\theta \sin \phi ,\sin 2\theta \sin \phi )$$

für $0\leq \theta <\pi ,0\leq \phi <2\pi$. Die Hälfte dieser Kleinschen Flasche, die Teilmenge mit $0\leq \phi <\pi$ergibt ein in die Hypersphäre eingebettetes Möbiusband als minimale Fläche mit einem Großkreis als Begrenzung. Diese Einbettung wird manchmal als "sudanesisches Möbiusband" bezeichnet, nach den Topologen Sue Goodman und Daniel Asimov, die es in den 1970er Jahren entdeckten. Geometrisch gesehen kann Lawsons Klein-Flasche konstruiert werden, indem man einen Großkreis durch eine großkreisförmige Bewegung in der 3-Sphäre streicht, und das sudanesische Möbiusband erhält man, indem man statt eines Kreises einen Halbkreis streicht, oder indem man die Klein-Flasche entlang eines Kreises schneidet, der senkrecht zu allen gestrichenen Kreisen steht. Die stereografische Projektion transformiert diese Form aus einem dreidimensionalen sphärischen Raum in den dreidimensionalen euklidischen Raum, wobei die Kreisförmigkeit der Begrenzung erhalten bleibt. Die symmetrischste Projektion erhält man, wenn man einen Projektionspunkt verwendet, der auf dem Großkreis liegt, der durch den Mittelpunkt jedes der Halbkreise verläuft, aber eine nicht begrenzte Einbettung erzeugt, bei der der Projektionspunkt von seiner Mittellinie entfernt ist. Lässt man stattdessen das sudanesische Möbiusband unprojiziert in der 3-Sphäre, so erhält man eine unendliche Gruppe von Symmetrien, die isomorph zur orthogonalen Gruppe $\mathrm {O} (2)$, der Symmetriegruppe eines Kreises. ⓘ

Schematische Darstellung einer Kreuzkappe mit offenem Boden, die ihre Ebenenmengen zeigt. Diese Fläche kreuzt sich selbst entlang der senkrechten Linie. ⓘ

Das sudanesische Möbiusband erstreckt sich auf allen Seiten seines Grenzkreises, was unvermeidlich ist, wenn die Fläche sich nicht selbst kreuzen soll. Eine andere Form des Möbiusbandes, die so genannte Kreuzkappe, hat ebenfalls eine kreisförmige Begrenzung, bleibt aber ansonsten nur auf einer Seite der Ebene dieses Kreises, so dass sie sich besser auf kreisförmigen Löchern in anderen Flächen befestigen lässt. Zu diesem Zweck kreuzt sie sich selbst. Sie kann gebildet werden, indem man ein Viereck aus der Oberseite einer Halbkugel herausnimmt, die Kanten des Vierecks in wechselnde Richtungen ausrichtet und dann gegenüberliegende Paare dieser Kanten konsequent mit dieser Ausrichtung verklebt. Die beiden Teile der Oberfläche, die durch die beiden geklebten Kantenpaare gebildet werden, kreuzen sich mit einer Quetschstelle wie bei einem Whitney-Schirm an jedem Ende des Kreuzungssegments, der gleichen topologischen Struktur wie beim Plückerschen Konoid. ⓘ

Flächen mit konstanter Krümmung

Das offene Möbiusband ist das relative Innere eines Standard-Möbiusbandes, das durch Weglassen der Punkte an seinem Rand gebildet wird. Es kann eine Riemannsche Geometrie mit konstanter positiver, negativer oder null Gaußscher Krümmung haben. Die Fälle mit negativer und Null-Krümmung bilden geodätisch vollständige Flächen, was bedeutet, dass alle Geodäten ("Geraden" auf der Fläche) in beide Richtungen unbegrenzt verlängert werden können. ⓘ

Null-Krümmung

Ein offener Streifen mit Nullkrümmung kann konstruiert werden, indem die gegenüberliegenden Seiten eines ebenen Streifens zwischen zwei parallele Linien geklebt werden, wie oben als tautologisches Linienbündel beschrieben. Die sich daraus ergebende Metrik macht das offene Möbiusband zu einer (geodätisch) vollständig ebenen Fläche (d. h., sie hat überall eine Gaußsche Krümmung von Null). Dies ist die einzige Metrik auf dem Möbiusband, die bis zur einheitlichen Skalierung sowohl flach als auch vollständig ist. Sie ist der Quotient aus einer Ebene und einer Gleitspiegelung und ist (zusammen mit der Ebene, dem Zylinder, dem Torus und der Kleinschen Flasche) eine von nur fünf zweidimensionalen, vollständig flachen Mannigfaltigkeiten.

Negative Krümmung

Das offene Möbiusband lässt auch eine vollständige Metrik mit konstanter negativer Krümmung zu. Eine Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, mit dem Modell der oberen Halbebene (Poincaré-Modell) der hyperbolischen Ebene zu beginnen, einer Geometrie mit konstanter Krümmung, deren Linien in dem Modell durch Halbkreise dargestellt werden, die sich mit der $x$-Achse im rechten Winkel. Man nehme die Teilmenge der oberen Halbebene zwischen zwei beliebigen verschachtelten Halbkreisen und identifiziere den äußeren Halbkreis mit der Links-Rechts-Umkehrung des inneren Halbkreises. Das Ergebnis ist topologisch ein vollständiges und nicht kompaktes Möbiusband mit konstanter negativer Krümmung. Es handelt sich um eine "nicht standardisierte" vollständige hyperbolische Fläche in dem Sinne, dass sie eine vollständige hyperbolische Halbebene enthält (eigentlich zwei, auf gegenüberliegenden Seiten der Achse der Gleitreflexion), und ist eine von nur 13 nicht standardisierten Flächen. Auch hier kann sie als Quotient der hyperbolischen Ebene durch eine Gleitreflexion verstanden werden.

Positive Krümmung

Ein Möbiusband mit konstanter positiver Krümmung kann nicht vollständig sein, denn die einzigen vollständigen Flächen mit konstanter positiver Krümmung sind bekanntlich die Kugel und die projektive Ebene. In gewissem Sinne ist es jedoch nur einen Punkt davon entfernt, eine vollständige Fläche zu sein, denn das offene Möbiusband ist homöomorph zur einmal punktierten projektiven Ebene, der Fläche, die man erhält, wenn man einen beliebigen Punkt aus der projektiven Ebene entfernt. ⓘ

Die minimalen Flächen werden als Flächen mit konstanter mittlerer Krümmung Null anstelle einer konstanten Gaußschen Krümmung beschrieben. Das sudanesische Möbiusband wurde als minimale Oberfläche konstruiert, die durch einen Großkreis in einer 3-Sphäre begrenzt ist, aber es gibt auch eine einzige vollständige (grenzenlose) minimale Oberfläche, die in den euklidischen Raum eingetaucht ist und die Topologie eines offenen Möbiusbandes hat. Sie wird Meeks-Möbiusband genannt, nach der Beschreibung von William Hamilton Meeks, III, aus dem Jahr 1982. Obwohl es als minimale Oberfläche global instabil ist, können kleine Bereiche davon, die durch nicht kontrahierbare Kurven innerhalb der Oberfläche begrenzt sind, stabile eingebettete Möbiusstreifen als minimale Oberflächen bilden. Sowohl der Meeks-Möbiusstreifen als auch jede höherdimensionale Minimalfläche mit der Topologie des Möbiusstreifens können mit Hilfe von Lösungen des Björling-Problems konstruiert werden, das eine Minimalfläche eindeutig durch ihre Grenzkurve und Tangentialebenen entlang dieser Kurve definiert. ⓘ

Räume von Linien

Die Familie der Linien in der Ebene kann die Struktur eines glatten Raums erhalten, wobei jede Linie als Punkt in diesem Raum dargestellt wird. Der resultierende Linienraum ist topologisch äquivalent zum offenen Möbiusband. Eine Möglichkeit, dies zu erkennen, besteht darin, die euklidische Ebene zur realen projektiven Ebene zu erweitern, indem man eine weitere Linie hinzufügt, nämlich die Linie im Unendlichen. Durch die projektive Dualität ist der Raum der Linien in der projektiven Ebene äquivalent zum Raum der Punkte, der projektiven Ebene selbst. Entfernt man die Unendlichkeitslinie, um den Raum der euklidischen Linien zu erzeugen, wird dieser Raum der projektiven Linien durchstochen. Daher ist der Raum der euklidischen Linien eine punktierte projektive Ebene, die eine der Formen des offenen Möbiusbandes ist. Der Raum der Linien in der hyperbolischen Ebene kann durch ungeordnete Paare verschiedener Punkte auf einem Kreis parametrisiert werden, die Punktpaare im Unendlichen einer jeden Linie. Auch dieser Raum hat die Topologie eines offenen Möbiusbandes. ⓘ

Diese Linienräume sind hochsymmetrisch. Zu den Symmetrien der euklidischen Linien gehören die affinen Transformationen, zu den Symmetrien der hyperbolischen Linien die Möbius-Transformationen. Die affinen Transformationen und die Möbius-Transformationen bilden beide 6-dimensionale Lie-Gruppen, topologische Räume mit einer kompatiblen algebraischen Struktur, die die Komposition von Symmetrien beschreibt. Da jede Linie in der Ebene symmetrisch zu jeder anderen Linie ist, ist das offene Möbiusband ein homogener Raum, ein Raum mit Symmetrien, die jeden Punkt zu jedem anderen Punkt führen. Homogene Räume von Lie-Gruppen werden Solvmanifolds genannt, und das Möbiusband kann als Gegenbeispiel verwendet werden, um zu zeigen, dass nicht jede Solvmanifold eine Nilmanifold ist, und dass nicht jede Solvmanifold in ein direktes Produkt einer kompakten Solvmanifold mit $\mathbb {R} ^{n}$. Diese Symmetrien bieten auch eine andere Möglichkeit, das Möbiusband selbst zu konstruieren, nämlich als Gruppenmodell dieser Lie-Gruppen. Ein Gruppenmodell besteht aus einer Lie-Gruppe und einer Stabilisator-Untergruppe ihrer Aktion; wenn man die Kosets der Untergruppe zu Punkten zusammenzieht, erhält man einen Raum mit derselben Topologie wie der zugrunde liegende homogene Raum. Im Fall der Symmetrien der euklidischen Geraden besteht der Stabilisator der $x$-Achse aus allen Symmetrien, die die Achse zu sich selbst nehmen. Jede Linie $\ell$ entspricht einem Coset, der Menge der Symmetrien, die $\ell$ auf die $x$-Achse abbilden. Der Quotientenraum, ein Raum mit einem Punkt pro Coset, der seine Topologie vom Raum der Symmetrien erbt, ist daher derselbe wie der Raum der Linien und ist wiederum ein offenes Möbiusband. ⓘ

Anwendungen

Elektrischer Fluss in einem Möbius-Widerstand ⓘ

Neben den bereits diskutierten Anwendungen von Möbiusbändern für die Konstruktion mechanischer Riemen, die sich gleichmäßig auf ihrer gesamten Oberfläche abnutzen, und des Plücker-Kegels für die Konstruktion von Zahnrädern gibt es weitere Anwendungen von Möbiusbändern:

• Graphenbänder, die zu Möbiusstreifen mit neuen elektronischen Eigenschaften verdreht sind, einschließlich helikalem Magnetismus
• Möbius-Aromatizität, eine Eigenschaft organischer Chemikalien, deren Molekülstruktur einen Zyklus bildet, wobei die Molekülorbitale entlang des Zyklus nach dem Muster eines Möbiusbandes ausgerichtet sind
• Der Möbius-Widerstand, ein Streifen aus leitfähigem Material, der die eine Seite eines dielektrischen Möbiusbandes so bedeckt, dass seine eigene Selbstinduktivität aufgehoben wird
• Resonatoren mit einer kompakten Bauweise und einer Resonanzfrequenz, die halb so hoch ist wie die von identisch aufgebauten linearen Spulen
• Polarisationsmuster im Licht, das aus einer q-Platte austritt
• Ein Beweis für die Unmöglichkeit von kontinuierlichen, anonymen und einstimmigen Zweiparteien-Aggregationsregeln in der Theorie der sozialen Wahl
• Möbius-Loop-Achterbahnen, eine Form von zweispurigen Achterbahnen, bei denen sich die beiden Schienen eine ungerade Anzahl von Malen umeinander drehen, so dass die Wagen auf die andere Schiene zurückkehren als die, auf der sie gestartet sind
• Weltkarten, die auf ein Möbiusband projiziert werden, mit den praktischen Eigenschaften, dass es keine Ost-West-Grenzen gibt und dass der Antipode eines beliebigen Punktes auf der Karte auf der anderen bedruckten Seite der Oberfläche an demselben Punkt des Möbiusbandes zu finden ist ⓘ

Wissenschaftler haben auch die energetischen Eigenschaften von Seifenfilmen in Form eines Möbiusbandes, die chemische Synthese von Molekülen mit der Form eines Möbiusbandes und die Bildung größerer Möbiusbänder im Nanomaßstab mit Hilfe von DNA-Origami untersucht. ⓘ

In der Populärkultur

Endless Twist, Max Bill, 1956, aus dem Middelheimer Freilichtmuseum für Skulpturen ⓘ

Zu den zweidimensionalen Kunstwerken, in denen das Möbiusband vorkommt, gehören ein unbetiteltes Gemälde von Corrado Cagli aus dem Jahr 1947 (an das Charles Olson in einem Gedicht erinnert) und zwei Drucke von M. C. Escher: Möbiusband I (1961), das drei gefaltete Plattfische zeigt, die sich gegenseitig in den Schwanz beißen, und Möbiusband II (1963), das Ameisen zeigt, die um ein lemniskatenförmiges Möbiusband herumkrabbeln. Das Möbiusband ist auch ein beliebtes Thema in der mathematischen Bildhauerei, darunter Werke von Max Bill (Endless Ribbon, 1953), José de Rivera (Infinity, 1967) und Sebastián. Ein Möbiusband mit Kleeblattknoten wurde in John Robinsons Immortality (1982) verwendet. Charles O. Perrys Continuum (1976) ist eines von mehreren Werken Perrys, die Variationen des Möbiusbandes erforschen. ⓘ

Recycling-Symbol

Google Drive-Logo (2012-2014)

IMPA-Logo auf Briefmarke ⓘ

Aufgrund ihrer leicht erkennbaren Form sind Möbiusstreifen ein gängiges Element des Grafikdesigns. Das bekannte dreipfeilige Logo für Recycling, das 1970 entworfen wurde, basiert auf der glatten dreieckigen Form des Möbiusbandes, ebenso wie das Logo für die Expo '74 mit ihrem Umweltthema. Einige Variationen des Recyclingsymbols verwenden eine andere Einbettung mit drei halben Drehungen anstelle von einer, und die ursprüngliche Version des Google Drive-Logos verwendete ein flach gefaltetes Möbiusband mit drei Drehungen, wie auch andere ähnliche Designs. Das brasilianische Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) verwendet ein stilisiertes glattes Möbiusband als Logo und hat eine passende große Skulptur eines Möbiusbands in seinem Gebäude ausgestellt. Das Möbiusband ist auch auf Briefmarken von Ländern wie Brasilien, Belgien, den Niederlanden und der Schweiz zu sehen. ⓘ

Eingang zur NASCAR Hall of Fame ⓘ

Das Möbiusband war eine häufige Inspiration für die architektonische Gestaltung von Gebäuden und Brücken. Bei vielen davon handelt es sich jedoch eher um Projekte oder konzeptionelle Entwürfe als um konstruierte Objekte, oder die Interpretation des Möbiusbandes geht über seine Erkennbarkeit als mathematische Form oder funktionaler Teil der Architektur hinaus. Ein Beispiel dafür ist die Nationalbibliothek von Kasachstan, für die ein Gebäude in Form eines verdickten Möbiusbandes geplant war, das aber nach dem Rückzug der ursprünglichen Architekten mit einem anderen Entwurf überarbeitet wurde. Ein bemerkenswertes Gebäude mit einem Möbiusband ist die NASCAR Hall of Fame, die von einem großen verdrehten Band aus rostfreiem Stahl umgeben ist, das als Fassade und Vordach dient und an die geschwungenen Formen von Rennstrecken erinnert. In kleinerem Maßstab ist der Moebius Chair (2006) von Pedro Reyes eine Sitzbank, deren Boden und Seiten die Form eines Möbiusbandes haben. Seit den Arbeiten von Elizabeth Zimmermann in den frühen 1980er Jahren werden Schals als eine Form der Mathematik und der Faserkunst zu Möbiusstreifen gestrickt. Im Food-Styling werden Möbiusstreifen zum Schneiden von Bagels, zum Herstellen von Schlaufen aus Speck und zum Kreieren neuer Formen für Nudeln verwendet. ⓘ

Obwohl sowohl das Möbiusband als auch die vierte Dimension mathematisch gesehen rein räumliche Konzepte sind, wurden sie in der spekulativen Fiktion oft als Grundlage für eine Zeitschleife herangezogen, in der unachtsame Opfer gefangen werden können. Beispiele hierfür sind Martin Gardners "No-Sided Professor" (1946), Armin Joseph Deutschs "A Subway Named Mobius" (1950) und der darauf basierende Film Moebius (1996). Eine ganze Welt, die wie ein Möbiusband geformt ist, bildet den Schauplatz von Arthur C. Clarkes "The Wall of Darkness" (1946), während herkömmliche Möbiusbänder als clevere Erfindungen in mehreren Geschichten von William Hazlett Upson aus den 1940er Jahren verwendet werden. Auch andere belletristische Werke wurden mit einer Möbiusband-ähnlichen Struktur analysiert, in der sich Elemente der Handlung mit einer Wendung wiederholen; dazu gehören Marcel Prousts Auf der Suche nach der verlorenen Zeit (1913-1927), Luigi Pirandellos Sechs Figuren auf der Suche nach einem Autor (1921), Frank Capras It's a Wonderful Life (1946), John Barths Lost in the Funhouse (1968), Samuel R. Delanys Dhalgren (1975) und der Film Donnie Darko (2001). ⓘ

Einer der musikalischen Kanons von J. S. Bach, der fünfte von 14 Kanons (BWV 1087), der 1974 in Bachs Abschrift der Goldberg-Variationen entdeckt wurde, zeichnet sich durch eine Gleit-Reflex-Symmetrie aus, bei der jede Stimme im Kanon das gleiche Motiv von zwei Takten zuvor mit invertierten Noten wiederholt. Aufgrund dieser Symmetrie kann man sich diesen Kanon so vorstellen, als sei seine Partitur auf einem Möbiusband geschrieben. In der Musiktheorie werden Töne, die sich um eine Oktave unterscheiden, im Allgemeinen als gleichwertige Noten betrachtet, und der Raum der möglichen Noten bildet einen Kreis, den chromatischen Kreis. Da das Möbiusband der Konfigurationsraum zweier ungeordneter Punkte auf einem Kreis ist, nimmt der Raum aller Akkorde mit zwei Noten die Form eines Möbiusbandes an. Diese Vorstellung und ihre Verallgemeinerung auf weitere Punkte ist eine wichtige Anwendung von Orbifolds in der Musiktheorie. Zu den modernen Musikgruppen, die sich nach dem Möbiusband benannt haben, gehören das amerikanische elektronische Rocktrio Mobius Band und die norwegische progressive Rockband Ring Van Möbius. ⓘ

Möbiusstreifen und ihre Eigenschaften wurden bei der Gestaltung von Zaubertricks verwendet. Ein solcher Trick, bekannt als die afghanischen Bänder, nutzt die Tatsache, dass das Möbiusband ein einziges Band bleibt, wenn es in Längsrichtung durchgeschnitten wird. Er entstand in den 1880er Jahren und war in der ersten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts sehr beliebt. Es gibt viele Versionen dieses Tricks, die von berühmten Illusionisten wie Harry Blackstone Sr. und Thomas Nelson Downs vorgeführt wurden. ⓘ

Möbius-Farbschema als Abwandlung des Vier-Farben-Satzes ⓘ

Möbius-Schal ⓘ

Möbius-Skulptur – Möbiusbänder, die jeweils so dick sind wie breit, quadratischer Querschnitt, 180° Verdrillung. ⓘ

Logo der Deutschen EU-Ratspräsidentschaft 2020 ⓘ

Berühmte Darstellungen des Möbiusbandes in der Kunst gibt es z. B. von M. C. Escher (Möbiusband I und II, 1963) sowie in neuerer Zeit von Gideon Möbius-Sherman. Auch der argentinische Spielfilm Moebius setzt sich mit dem Thema auseinander. In der Literatur wird das Möbiusband ebenfalls thematisiert: Die Struktur von John Barths Kurzgeschichtenserie Lost in the Funhouse (dt. „Ambrose im Juxhaus“) basiert auf dem Unendlichkeits- oder Wiederholungsprinzip (z. B. fehlende Mitte) des Möbiusbandes. Auch wird dem Buch ein Möbiusband mitgeliefert, das postmoderne Literaturansätze („Frame-Tale“) spiegelt. Es ist beschriftet mit: „Once upon a time there was a story that began once upon a time …“. Diese Form der Selbstreferenz ist typisch für sogenannte Seltsame Schleifen. Der Lyriker Erich Fried bezieht sich in seinem Gedicht Topologik auf das Möbiusband: „Ich habe mir ein Möbiusherz gefasst, das sich in ausweglose Streifen schneidet.“ Max Bill schuf ab den 1930er Jahren zahlreiche Plastiken, die den visuellen Repräsentationen des Möbiusbandes entsprechen: z. B. Unendliche Schleife (1935/37), Kontinuität (Zürichsee; 1947, zerstört 1948) oder Unendliche Schleife (Stadtgarten Essen, an der Hohenzollernstraße; 1974). Seine Skulptur Kontinuität (1986) stellt jedoch kein Möbiusband dar, entgegen gängiger Auffassung. ⓘ

Das zu der zum 1. Juli 2020 stattfindenden Übernahme des sechsmonatigen Vorsitzes Deutschlands im Rat der Europäischen Union entworfene Logo zeigt eine Möbiusbanddarstellung und symbolisiert ein „integratives und innovatives Europa, in dem unterschiedlichste Menschen und Interessen zu einem gemeinsamen Ganzen zusammenfinden“, so die Erklärung seitens der Bundesregierung im Rahmen der Vorstellung. ⓘ

Auch in der seit 1986 existierenden Romanreihe Necroscope des englischen Autors Brian Lumley spielt das Möbiusband eine wichtige Rolle. Es ist das Symbol einiger Figuren, vor allem aber bedeutend für die Hauptperson Harry Keogh. Er erlernt die Fähigkeit des Zeitreisens mit Hilfe des sogenannten Möbiuskontinuums, das sich ähnlich dem Möbiusband verhält. ⓘ

Das Möbiusband wird auch in der Perry-Rhodan-Serie thematisiert und bildet hier die dreidimensionale Modellbeschreibung für die beiden Seiten des $n$-dimensionalen Universums (Arresum und Paresum). ⓘ

Lars Gustafsson entwickelt das Möbiusband in seinem Roman Frau Sorgedahls schöne weiße Arme weiter zu einer Möbius-Zeitflasche, in der wir gefangen sind. Außerhalb unseres Lebens gibt es nichts. ⓘ

In der Manga-Reihe Angel Sanctuary wird das Schicksal des hohen Engels Alexiel und der steten Wiedergeburt seiner Seele in menschlichen Körpern, denen ein grausames und blutiges Schicksal vorherbestimmt ist, mit einer Möbius-Schleife verglichen. ⓘ

Im 2011 in deutscher Sprache erschienenen Roman Karte und Gebiet von Michel Houellebecq ist ein Möbiusband auf der Grabplatte der Romanfigur Michel Houellebecq eingemeißelt. ⓘ

Im Jahr 2011 hat der Student der Robotik Aaron Hoover an der University of California, Berkeley ein Möbius-Getriebe als technische Spielerei mittels 3D-Druck hergestellt. ⓘ

Das Möbiusschach ist eine Variante des Zylinderschachs, bei der man sich beim „Anschluss“ der Längsseiten noch eine Verdrillung des Spielfeldes hinzudenkt. ⓘ

Im Videospiel Mario Kart 8 stellt die Rennstrecke Marios Piste ein Möbius-Band dar. Auch die 8 im Logo zeigt ein Möbius-Band. ⓘ

In der Mode wurden auch schon Möbiusschals entworfen. ⓘ

Im Schauspiel Solaris nach Stanislaw Lem von Bettina Bruinier und Katja Friedrich am Münchner Volkstheater (2011) ist ein von einem Modellauto befahrenes Möbiusband wichtiger Bestandteil der Inszenierung (Bühnenbild: Markus Karner). ⓘ

Die Logos der Commerzbank und des deutschen Gebäudereiniger-Handwerks zeigen ein Möbiusband. ⓘ

Die DDR-Avantgarde-Band AG. Geige widmete dem Möbiusband ein Lied auf dem 1989 erschienenen Album Trickbeat. ⓘ

In der Natur

• Geladene Teilchen, die im Magnetfeld der Erde eingefangen wurden, können sich auf einem Möbiusband bewegen.
• Das zyklische Protein Kalata B1, Wirkstoff der Pflanze Oldenlandia. O. affinis, als Naturheilmittel z. B. für die Geburtseinleitung, hat eine Möbius-Topologie. ⓘ

In der Technik

Mechanik

• Das Band eines Riemengetriebes kann als Möbiusband ausgeführt sein. An Getrieben mit Riemenscheiben mit parallelen Achsen erleichtert es das Aufziehen und Abwerfen des Riemens. Die 180°-Verdrillung sollte dann im Leertrum liegen, in dessen Längenmitte der Riemen schonend mit zwei Walzen in seiner seitlichen Lage geführt werden kann. Durch diese Verdrillung werden die bandkantennahen Zonen etwas stärker gedehnt. Ändert sich das Flattern, gelangen „beide Bandseiten“ in Eingriff und das Bandmaterial wird bei einem Umlauf in eine und beim nächsten in die Gegenrichtung gekrümmt. ⓘ

Unterhaltungselektronik

• Beim Tefifon könnte man das von einer Tonabnehmernadel abgetastete Schallband als Möbiusband ausführen, was sich aber als nicht praktikabel erwiesen hat. ⓘ

Elektrotechnik

• Das schaltungstechnische Analogon eines Möbiusbandes ist ein Ringzähler mit einer Invertierung (Johnson-Zähler): Eine Bitsequenz erreicht nach zwei Umläufen den Ausgangszustand, mithin kann mit $n$ Speicherzellen bis $2n$ gezählt werden; Zählen sehr schnell aufeinanderfolgender Impulse.
• Als kompakter Resonator mit der Resonanzfrequenz bei der Hälfte baugleicher linearer Spulen.
• Als induktionsloser Widerstand, der auch als Möbius-Widerstand bezeichnet wird. ⓘ

Physik

• Als Supraleiter mit hoher Sprungtemperatur.
• Der Stellarator ist ein Typus eines Kernfusionsreaktors, bei dem das Plasma durch entsprechend geformte Feldspulen auf eine möbiusförmige Bahn gebracht wird. ⓘ

Chemie

• Als „Knotenmoleküle“ mit besonderen Eigenschaften (Knotane, Chiralität). ⓘ

Nanotechnologie

• Als molekulare Motoren.
• Als Graphen-Band (Nano-Graphit) mit neuartigen elektronischen Eigenschaften, wie helikalem Magnetismus. ⓘ

In der Mathematik

Variationsrechnung

Neue Erkenntnisse zur mathematischen Beschreibung eines Möbiusbands wurden im Jahr 2007 durch die Wissenschaftler E. L. Starostin und G. H. M. van der Heijden publiziert. Sie haben insbesondere die Form mathematisch berechnet, die ein aus einem Band gefertigtes Möbiusband von selbst einzunehmen bestrebt ist, um so den energieärmsten Zustand anzunehmen. ⓘ