Lp-Raum

In der Mathematik sind die Lp-Räume Funktionsräume, die durch eine natürliche Verallgemeinerung der p-Norm für endlich-dimensionale Vektorräume definiert sind. Sie werden manchmal auch Lebesgue-Räume genannt, benannt nach Henri Lebesgue (Dunford & Schwartz 1958, III.3), obwohl sie nach Angaben der Bourbaki-Gruppe (Bourbaki 1987) zuerst von Frigyes Riesz (Riesz 1910) eingeführt wurden. Lp-Räume bilden eine wichtige Klasse von Banach-Räumen in der Funktionalanalysis und von topologischen Vektorräumen. Aufgrund ihrer Schlüsselrolle in der mathematischen Analyse von Maß- und Wahrscheinlichkeitsräumen werden Lebesgue-Räume auch in der theoretischen Diskussion von Problemen in der Physik, der Statistik, dem Finanzwesen, der Technik und anderen Disziplinen verwendet. ⓘ

Anwendungen

Statistik

In der Statistik werden Maße der zentralen Tendenz und der statistischen Streuung, wie z. B. der Mittelwert, der Median und die Standardabweichung, anhand von Lp-Metriken definiert, und Maße der zentralen Tendenz können als Lösungen von Variationsproblemen charakterisiert werden. ⓘ

Bei der bestraften Regression beziehen sich "L1-Strafe" und "L2-Strafe" auf die Bestrafung entweder der L¹-Norm des Vektors der Parameterwerte einer Lösung (d. h. der Summe ihrer absoluten Werte) oder ihrer L²-Norm (ihrer euklidischen Länge). Techniken, die eine L1-Strafe verwenden, wie LASSO, fördern Lösungen, bei denen viele Parameter Null sind. Verfahren, die eine L2-Strafe verwenden, wie die Ridge-Regression, fördern Lösungen, bei denen die meisten Parameterwerte klein sind. Die Regularisierung mit elastischen Netzen verwendet einen Strafbegriff, der eine Kombination aus der L¹-Norm und der L²-Norm des Parametervektors ist. ⓘ

Sobolev-Räume quadratintegrierbarer Funktionen

Wählt man $\Omega =\mathbb {R} ^{n}$, ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ als die borelsche σ-Algebra und $\mu =\left(1+\left\|\xi \right\|^{2}\right)^{\frac {s}{2}}\lambda$, wobei $s\in \mathbb {R}$ und $\lambda$ das $n$-dimensionale Borel-Lebesgue-Maß ist, dann erhält man den Maßraum $\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),\left(1+\left\|\xi \right\|^{2}\right)^{\frac {s}{2}}\lambda \right)$. Der Lebesgue-Raum $L^{2}\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),\left(1+\left\|\xi \right\|^{2}\right)^{\frac {s}{2}}\lambda \right)$ der bezüglich dieses Maßes quadratintegrierbaren Funktionen ist ein echter Unterraum des Raums ${\mathcal {S}}'$ der temperierten Distributionen. Er wird unter der Fourier-Transformation ${\mathcal {F}}$ bijektiv auf den Raum $H^{s}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ der quadratintegrierbaren Sobolev-Funktionen zur Differentiationsordnung $s$, ebenfalls ein echter Unterraum von ${\mathcal {S}}'$, abgebildet. Dabei überführt die Fourier-Transformation die entsprechenden Normen ineinander:

$\left\|{\mathcal {F}}\left(f\right)\right\|_{H^{s}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}=\left\|f\right\|_{L^{2}\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),\left(1+\left\|\xi \right\|^{2}\right)^{\frac {s}{2}}\lambda \right)}$

Für $s\geq 0$ sind obige Räume dichte Teilräume von $L^{2}\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),\lambda \right)$, sodass man in diesem Fall auch die Fourier-Transformation auf $L^{2}\left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),\lambda \right)$ statt auf ${\mathcal {S}}'$ betrachten kann. ⓘ

Die Fourier-Transformation für die reelle Linie (oder für periodische Funktionen, siehe Fourier-Reihen) bildet Lp(R) auf Lq(R) (bzw. Lp(T) auf ℓq) ab, wobei 1 ≤ p ≤ 2 und 1/p + 1/q = 1 ist. Dies ist eine Folge des Riesz-Thorin-Interpolationssatzes und wird durch die Hausdorff-Young-Ungleichung präzisiert. ⓘ

Ist dagegen p > 2, so lässt sich die Fourier-Transformation nicht auf Lq abbilden. ⓘ

Hilbert-Räume

Hilbert-Räume sind von zentraler Bedeutung für viele Anwendungen, von der Quantenmechanik bis zur stochastischen Kalkulation. Die Räume L² und ℓ² sind beide Hilbert-Räume. Wählt man eine Hilbert-Basis E, d. h. eine maximale orthonormale Teilmenge von L² oder eines beliebigen Hilbert-Raums, so sieht man, dass jeder Hilbert-Raum isometrisch isomorph zu ℓ²(E) (gleiches E wie oben) ist, d. h. ein Hilbert-Raum vom Typ ℓ². ⓘ

Die p-Norm in endlichen Dimensionen

Darstellungen von Einheitskreisen (siehe auch Superellipse) in R² auf der Basis verschiedener p-Normen (jeder Vektor vom Ursprung zum Einheitskreis hat die Länge eins, die Länge wird mit der Längenformel des entsprechenden p berechnet). ⓘ

Die Länge eines Vektors x = (x₁, x₂, ..., xn) im n-dimensionalen reellen Vektorraum Rn wird gewöhnlich durch die euklidische Norm angegeben:

$$\left\|x\right\|_{2}=\left({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dotsb +{x_{n}}^{2}\right)^{1/2}.$$

ⓘ

Der euklidische Abstand zwischen zwei Punkten x und y ist die Länge ||x - y||₂ der Geraden zwischen den beiden Punkten. In vielen Situationen ist der euklidische Abstand unzureichend, um die tatsächlichen Entfernungen in einem bestimmten Raum zu erfassen. Eine Analogie dazu wird von Taxifahrern in einem gitterförmigen Straßenplan vorgeschlagen, die Entfernungen nicht anhand der Länge der geraden Linie zu ihrem Ziel messen sollten, sondern anhand der geradlinigen Entfernung, die berücksichtigt, dass Straßen entweder orthogonal oder parallel zueinander verlaufen. Die Klasse der p-Normen verallgemeinert diese beiden Beispiele und hat eine Fülle von Anwendungen in vielen Bereichen der Mathematik, Physik und Informatik. ⓘ

Definition

Für eine reelle Zahl p ≥ 1 ist die p-Norm oder L^p-Norm von x definiert durch

$$\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.$$

Die Absolutwertbalken können entfallen, wenn p eine rationale Zahl mit geradem Zähler in ihrer reduzierten Form ist und x aus der Menge der reellen Zahlen oder einer ihrer Teilmengen stammt. ⓘ

Die euklidische Norm von oben fällt in diese Klasse und ist die 2-Norm, und die 1-Norm ist die Norm, die dem geradlinigen Abstand entspricht. ⓘ

Die L^∞ -Norm oder Maximalnorm (oder einheitliche Norm) ist der Grenzwert der Lp-Normen für p → ∞. Es stellt sich heraus, dass dieser Grenzwert äquivalent zu der folgenden Definition ist:

$$\left\|x\right\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}$$

ⓘ

Siehe L-Unendlichkeit. ⓘ

Für alle p ≥ 1 erfüllen die oben definierten p-Normen und die maximale Norm tatsächlich die Eigenschaften einer "Längenfunktion" (oder Norm), die darin bestehen, dass:

• nur der Nullvektor hat die Länge Null,
• die Länge des Vektors ist positiv homogen in Bezug auf die Multiplikation mit einem Skalar (positive Homogenität), und
• die Länge der Summe zweier Vektoren ist nicht größer als die Summe der Längen der Vektoren (Dreiecksungleichung).

Abstrakt gesprochen bedeutet dies, dass Rn zusammen mit der p-Norm ein Banach-Raum ist. Dieser Banachraum ist der Lp-Raum über Rn. ⓘ

Beziehungen zwischen p-Normen

Die Gitterdistanz oder geradlinige Distanz (manchmal auch "Manhattan-Distanz" genannt) zwischen zwei Punkten ist niemals kürzer als die Länge des Liniensegments zwischen ihnen (die euklidische Distanz oder "Luftlinie"). Formal bedeutet dies, dass die euklidische Norm eines beliebigen Vektors durch seine 1-Norm begrenzt ist:

$$\left\|x\right\|_{2}\leq \left\|x\right\|_{1}.$$

ⓘ

Diese Tatsache verallgemeinert sich auf p-Normen, da die p-Norm ||x||_p eines beliebigen Vektors x nicht mit p wächst:

||x||_p+a ≤ ||x||_p für beliebige Vektoren x und reelle Zahlen p ≥ 1 und a ≥ 0 . (Tatsächlich bleibt dies wahr für 0 < p < 1 und a ≥ 0 .) ⓘ

Für die umgekehrte Richtung ist die folgende Beziehung zwischen der 1-Norm und der 2-Norm bekannt:

$$\left\|x\right\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\left\|x\right\|_{2}~.$$

ⓘ

Diese Ungleichung hängt von der Dimension n des zugrunde liegenden Vektorraums ab und folgt direkt aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung. ⓘ

Im Allgemeinen gilt für Vektoren in ℂn mit 0 < r < p:

$$\left\|x\right\|_{p}\leq \left\|x\right\|_{r}\leq n^{{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}\left\|x\right\|_{p}~.$$

ⓘ

Dies ist eine Folge der Hölderschen Ungleichung. ⓘ

Wenn 0 < p < 1

Astroide, Einheitskreis in der Metrik p = 2/3 <span title="Aus: Englische Wikipedia, Abschnitt "When 0 < p < 1"" class="plainlinks"><_p_<_1 ⓘ

In Rn für n > 1, definiert die Formel

$$\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}$$

eine absolut homogene Funktion für 0 < p < 1; die resultierende Funktion definiert jedoch keine Norm, da sie nicht subadditiv ist. Andererseits definiert die Formel

$$|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}$$

eine subadditive Funktion um den Preis des Verlustes der absoluten Homogenität. Sie definiert jedoch eine F-Norm, die homogen vom Grad p ist. <span title="Aus: Englische Wikipedia, Abschnitt "When 0 < p < 1"" class="plainlinks"><_p_<_1 ⓘ

Folglich definiert die Funktion

$$d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}$$

eine Metrik definiert. Der metrische Raum (Rn, dp) wird mit ℓnp bezeichnet. <span title="Aus: Englische Wikipedia, Abschnitt "When 0 < p < 1"" class="plainlinks"><_p_<_1 ⓘ

Obwohl die p-Einheitskugel Bnp um den Ursprung in dieser Metrik "konkav" ist, ist die auf Rn durch die Metrik dp definierte Topologie die übliche Vektorraumtopologie von Rn, also ist ℓnp ein lokal konvexer topologischer Vektorraum. Über diese qualitative Aussage hinaus kann man die fehlende Konvexität von ℓnp quantitativ messen, indem man mit Cp(n) die kleinste Konstante C bezeichnet, bei der das Vielfache C Bnp der p-Einheitskugel die konvexe Hülle von Bnp enthält, die gleich Bn¹ ist. Die Tatsache, dass für festes p < 1 gilt

$$C_{p}(n)=n^{{\frac {1}{p}}-1}\to \infty ,\quad {\text{as }}n\to \infty$$

zeigt, dass der unten definierte unendlich-dimensionale Sequenzraum ℓ^p nicht mehr lokal konvex ist. <span title="Aus: Englische Wikipedia, Abschnitt "When 0 < p < 1"" class="plainlinks"><_p_<_1 ⓘ

Wenn p = 0

Es gibt eine ℓ₀-Norm und eine weitere Funktion, die als ℓ₀-"Norm" (in Anführungszeichen) bezeichnet wird. ⓘ

Die mathematische Definition der ℓ₀-Norm stammt aus der Banachschen Theorie der linearen Operationen. Der Raum der Folgen hat eine vollständige metrische Topologie, die durch die F-Norm

$$(x_{n})\mapsto \sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}},$$

die von Stefan Rolewicz in Metric Linear Spaces diskutiert wird. Der ℓ₀-normierte Raum wird in der Funktionalanalysis, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der harmonischen Analyse untersucht. ⓘ

Eine andere Funktion wurde von David Donoho als ℓ₀-Norm" bezeichnet - dessen Anführungszeichen darauf hinweisen, dass es sich bei dieser Funktion nicht um eine echte Norm handelt -, nämlich die Anzahl der von Null verschiedenen Einträge des Vektors x. Viele Autoren missbrauchen die Terminologie, indem sie die Anführungszeichen weglassen. Definiert man 0⁰ = 0, so ist die Null-"Norm" von x gleich

$$|x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.$$

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Ein animiertes Gif der p-Normen 0,1 bis 2 mit einer Schrittweite von 0,05. ⓘ

Es handelt sich nicht um eine Norm, da sie nicht homogen ist. Die Skalierung des Vektors x um eine positive Konstante beispielsweise ändert die "Norm" nicht. Trotz dieser Mängel als mathematische Norm findet die von Null abweichende "Norm" in der wissenschaftlichen Datenverarbeitung, der Informationstheorie und der Statistik Verwendung, insbesondere bei der komprimierten Abtastung in der Signalverarbeitung und der rechnergestützten harmonischen Analyse. Obwohl es sich nicht um eine Norm handelt, ist die zugehörige Metrik, die als Hamming-Distanz bekannt ist, eine gültige Distanz, da Homogenität für Distanzen nicht erforderlich ist. ⓘ

Die p-Norm in unendlichen Dimensionen und ℓp-Räumen

Der Sequenzraum ℓp

Die p-Norm kann auf Vektoren ausgedehnt werden, die eine unendliche Anzahl von Komponenten (Sequenzen) haben, was den Raum ℓp ergibt. Dieser enthält als Spezialfälle:

• ℓ¹, den Raum der Folgen, deren Reihen absolut konvergent sind,
• ℓ², den Raum der quadratsummierbaren Folgen, der ein Hilbert-Raum ist, und
• ℓ^∞, der Raum der beschränkten Folgen. ⓘ

Der Raum der Folgen hat eine natürliche Vektorraumstruktur, indem Addition und skalare Multiplikation koordinatenweise angewendet werden. Explizit sind die Vektorsumme und die Skalarwirkung für unendliche Folgen reeller (oder komplexer) Zahlen gegeben durch:

$${\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}$$

ⓘ

Definieren Sie die p-Norm:

$$\left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}$$

ⓘ

Hier ergibt sich eine Komplikation, nämlich dass die Reihe auf der rechten Seite nicht immer konvergent ist, so hat z.B. die Folge, die nur aus Einsen besteht, (1, 1, 1, ...), eine unendliche p-Norm für 1 ≤ p < ∞. Der Raum ℓp ist dann definiert als die Menge aller unendlichen Folgen reeller (oder komplexer) Zahlen, bei denen die p-Norm endlich ist. ⓘ

Man kann überprüfen, dass die Menge ℓp mit zunehmendem p größer wird. Zum Beispiel ist die Folge

$$\left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)$$

nicht in ℓ¹, aber sie ist in ℓ^p für p > 1, da die Reihe

$$1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,$$

für p = 1 divergiert (die harmonische Reihe), aber für p > 1 konvergent ist. ⓘ

Man definiert auch die ∞-Norm über das Supremum:

$$\left\|x\right\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )$$

und den entsprechenden Raum ℓ^∞ aller beschränkten Folgen. Es zeigt sich, dass

$$\left\|x\right\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left\|x\right\|_{p}$$

wenn die rechte Seite endlich ist, oder die linke Seite unendlich ist. Wir werden also ℓp-Räume für 1 ≤ p ≤ ∞ betrachten. ⓘ

Die so auf ℓp definierte p-Norm ist tatsächlich eine Norm, und ℓp ist zusammen mit dieser Norm ein Banach-Raum. Den ganz allgemeinen Lp-Raum erhält man - wie unten zu sehen -, indem man Vektoren nicht nur mit endlich oder abzählbar-unendlich vielen Komponenten, sondern mit "beliebig vielen Komponenten", also Funktionen, betrachtet. Zur Definition der p-Norm wird ein Integral anstelle einer Summe verwendet. ⓘ

Allgemeiner ℓp-Raum

In völliger Analogie zur vorangegangenen Definition kann man den Raum $\ell ^{p}(I)$ über einer allgemeinen Indexmenge $I$ (und $1\leq p<\infty$) als

$$\ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I}:\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<+\infty \right\},$$

wobei Konvergenz auf der rechten Seite bedeutet, dass nur abzählbar viele Summanden ungleich Null sind (siehe auch Unbedingte Konvergenz). Mit der Norm

$$\left\|x\right\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}$$

wird der Raum $\ell ^{p}(I)$ zu einem Banach-Raum. Für den Fall, dass $I$ endlich ist mit $n$ Elementen ist, ergibt diese Konstruktion Rn mit der $p$-Norm, die oben definiert ist. Wenn $I$ abzählbar unendlich ist, ist dies genau der Sequenzraum $\ell ^{p}$ wie oben definiert. Für nicht abzählbare Mengen $I$ ist dies ein nicht-trennbarer Banach-Raum, der als lokal konvexer direkter Grenzwert von $\ell ^{p}$-Sequenzräumen angesehen werden kann. ⓘ

Wir betrachten nun den Fall p=∞. Wir können definieren

$$\ell ^{\infty }(I)=\{x\in \mathbb {K} ^{I}:\sup \operatorname {range} |x|<+\infty \},$$

wobei für alle x gilt

$$\|x\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|x_{i}|\leq C{\text{ for all }}i\in I\}={\begin{cases}\sup \operatorname {range} |x|&{\text{if }}X\neq \emptyset ,\\0&{\text{if }}X=\emptyset .\end{cases}}$$

ⓘ

Die Indexmenge $I$ kann in einen Maßraum umgewandelt werden, indem man ihr die diskrete σ-Algebra und das Zählmaß gibt. Dann ist der Raum $\ell ^{p}(I)$ nur ein Spezialfall des allgemeineren $L^{p}$-Raums (siehe unten). ⓘ

Ist $\mu$ ein endliches Maß, gilt also $\mu (\Omega )<\infty$, so gilt $L^{q}\subseteq L^{p}\;$ für $1\leq p\leq q$ (folgt aus der Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte) ⓘ

Für allgemeine Maße gilt für $1<p\leq q\leq r\leq \infty$ stets ${\mathcal {L}}^{q}\supseteq {\mathcal {L}}^{p}\cap {\mathcal {L}}^{r}$. Dies wird auch als konvexe oder Hölder-Interpolation bezeichnet. ⓘ

Lp-Räume und Lebesgue-Integrale

Ein L^p-Raum kann definiert werden als ein Raum von messbaren Funktionen, für die die $p$Potenz des Absolutwerts Lebesgue-integrierbar ist, wobei Funktionen, die fast überall übereinstimmen, identifiziert werden. Allgemeiner ausgedrückt, sei 1 ≤ p < ∞ und (S, Σ, μ) ein Maßraum. Man betrachte die Menge aller messbaren Funktionen von S nach C oder R, deren Absolutwert zur p-ten Potenz ein endliches Integral hat, oder gleichbedeutend, dass

$$\|f\|_{p}\equiv \left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty$$

ⓘ

Die Menge solcher Funktionen bildet einen Vektorraum, mit den folgenden natürlichen Operationen:

$${\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\(\lambda f)(x)&=\lambda f(x)\end{aligned}}$$

für jeden Skalar λ. ⓘ

Dass die Summe von zwei p-ten Potenzen integrierbarer Funktionen wiederum p-ten Potenzen integrierbar ist, folgt aus der Ungleichung

$$\|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right).$$

ⓘ

(Diese ergibt sich aus der Konvexität von $t\mapsto t^{p}$ für $p\geq 1$.) ⓘ

Tatsächlich ist aber noch mehr wahr. Die Minkowski'sche Ungleichung besagt, dass die Dreiecksungleichung für || - ||p gilt. Somit ist die Menge der p-ten Potenz integrierbarer Funktionen, zusammen mit der Funktion || - ||p, ein seminorierter Vektorraum, der wie folgt bezeichnet wird ${\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$. ⓘ

Für p = ∞ ist der Raum ${\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )$ der Raum der messbaren Funktionen, die fast überall begrenzt sind, mit (wenn μ(X)≠0) dem essentiellen Supremum ihres Absolutwerts als Norm:

$$\|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\in \mathbb {R} _{\geq 0}:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}={\begin{cases}\operatorname {esssup} |f|&{\text{if }}0<\mu (X),\\0&{\text{if }}0=\mu (X).\end{cases}}$$

ⓘ

Wie im diskreten Fall, wenn es q < ∞ gibt, so dass f ∈ L^∞(S, μ) ∩ L^q(S, μ), dann

$$\|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}.$$

ⓘ

${\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$ auf übliche Weise in einen normierten Vektorraum umgewandelt werden; man nimmt einfach den Quotientenraum in Bezug auf den Unterraum der Funktionen, deren p-Norm Null ist. Da für jede messbare Funktion f gilt, dass || f ||p = 0 ist, wenn und nur wenn f = 0 fast überall ist, hängt dieser Unterraum nicht von p ab,

$${\mathcal {N}}\equiv \{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\{f:\|f\|_{p}=0\}\qquad \forall \ 1\leq p<\infty .$$

ⓘ

Im Quotientenraum sind zwei Funktionen f und g identisch, wenn f = g fast überall ist. Der sich daraus ergebende normierte Vektorraum ist per Definition,

$$L^{p}(S,\mu )\equiv {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}$$

ⓘ

Im Allgemeinen kann dieser Prozess nicht umgekehrt werden: Es gibt keine konsistente Möglichkeit, einen "kanonischen" Repräsentanten jedes Kosets von ${\mathcal {N}}$ in $L^{p}$. Für $L^{\infty }$gibt es jedoch eine Theorie der Lifts, die eine solche Rückgewinnung ermöglicht. ⓘ

Wenn der zugrundeliegende Maßraum S verstanden wird, wird Lp(S, μ) oft mit Lp(μ) oder einfach Lp abgekürzt. ⓘ

Für 1 ≤ p ≤ ∞, ist Lp(S, μ) ein Banachraum. Die Tatsache, dass Lp vollständig ist, wird oft als Riesz-Fischer-Theorem bezeichnet und kann mit Hilfe des Konvergenzsatzes für Lebesgue-Integrale bewiesen werden. ⓘ

Die obigen Definitionen lassen sich auf Bochner-Räume verallgemeinern. ⓘ

Spezialfälle

Ähnlich wie bei den ℓp-Räumen ist L² der einzige Hilbert-Raum unter den Lp-Räumen. Im komplexen Fall ist das innere Produkt auf L² definiert durch

$$\langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)$$

ⓘ

Die zusätzliche Struktur des inneren Produkts ermöglicht eine reichhaltigere Theorie, mit Anwendungen z. B. auf Fourier-Reihen und Quantenmechanik. Funktionen in L² werden manchmal als quadratisch integrierbare Funktionen, quadratisch integrierbare Funktionen oder quadratisch summierbare Funktionen bezeichnet, aber manchmal sind diese Begriffe für Funktionen reserviert, die in einem anderen Sinne quadratisch integrierbar sind, z. B. im Sinne eines Riemann-Integrals (Titchmarsh 1976). ⓘ

Wenn wir komplexwertige Funktionen verwenden, ist der Raum L^∞ eine kommutative C*-Algebra mit punktweiser Multiplikation und Konjugation. Für viele Maßräume, einschließlich aller sigma-finiten Räume, ist er sogar eine kommutative von-Neumann-Algebra. Ein Element von L^∞ definiert durch Multiplikation einen beschränkten Operator auf einem beliebigen Lp-Raum. ⓘ

Für 1 ≤ p ≤ ∞ sind die ℓp-Räume ein Spezialfall von Lp-Räumen, wenn S = N und μ das Zählmaß auf N ist. Allgemeiner ausgedrückt: Betrachtet man eine beliebige Menge S mit dem Zählmaß, so wird der resultierende Lp-Raum mit ℓp(S) bezeichnet. Zum Beispiel ist der Raum ℓp(Z) der Raum aller durch die ganzen Zahlen indizierten Folgen, und wenn man die p-Norm auf einem solchen Raum definiert, summiert man über alle ganzen Zahlen. Der Raum ℓp(n), wobei n die Menge mit n Elementen ist, ist Rn mit seiner p-Norm wie oben definiert. Wie jeder Hilbert-Raum ist jeder Raum L² linear isometrisch zu einem geeigneten ℓ²(I), wobei die Kardinalität der Menge I die Kardinalität einer beliebigen Hilbertschen Basis für diesen speziellen L² ist. ⓘ

Eigenschaften von Lp-Räumen

Duale Räume

Der Dualraum (der Banachraum aller stetigen linearen Funktionale) von Lp(μ) für 1 < p < ∞ hat einen natürlichen Isomorphismus mit L^q(μ), wobei q so ist, dass 1/p + 1/q = 1 (d. h. q = p/p - 1). Dieser Isomorphismus assoziiert g ∈ L^q(μ) mit dem Funktional κp(g) ∈ Lp(μ)^∗, definiert durch

$$f\mapsto \kappa _{p}(g)(f)=\int fg\,\mathrm {d} \mu \$$

für jede $f\in L^{p}(\mu )$ ⓘ

Die Tatsache, dass κp(g) wohldefiniert und stetig ist, folgt aus der Hölderschen Ungleichung. κp : Lq(μ) → Lp(μ)^∗ ist eine lineare Abbildung, die durch den Extremfall der Hölderschen Ungleichung eine Isometrie ist. Es ist auch möglich zu zeigen (z. B. mit dem Radon-Nikodym-Theorem, siehe), dass jedes G ∈ Lp(μ)^∗ auf diese Weise ausgedrückt werden kann: d. h., dass κp onto ist. Da κp onto und isometrisch ist, ist es ein Isomorphismus von Banachräumen. Mit diesem (isometrischen) Isomorphismus im Hinterkopf ist es üblich, einfach zu sagen, dass Lq der duale Banachraum von Lp ist. ⓘ

Für 1 < p < ∞ ist der Raum Lp(μ) reflexiv. Sei κp wie oben und sei κq : Lp(μ) → Lq(μ)^∗ sei die entsprechende lineare Isometrie. Betrachten wir die Abbildung von Lp(μ) nach Lp(μ)^∗∗, die man erhält, wenn man κq mit der Transponierten (oder Adjunkten) der Inversen von κp zusammensetzt:

$$j_{p}:L^{p}(\mu )\mathrel {\overset {\kappa _{q}}{\longrightarrow }} L^{q}(\mu )^{*}\mathrel {\overset {\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }} L^{p}(\mu )^{**}$$

ⓘ

Diese Karte stimmt mit der kanonischen Einbettung J von Lp(μ) in ihr Bidual überein. Außerdem ist die Karte jp onto, als Komposition zweier onto-Isometrien, und dies beweist Reflexivität. ⓘ

Wenn das Maß μ auf S sigma-finit ist, dann ist das Dual von L¹(μ) isometrisch isomorph zu L^∞(μ) (genauer gesagt, die Karte κ₁, die p = 1 entspricht, ist eine Isometrie von L^∞(μ) auf L¹(μ)^∗). ⓘ

Der Dual von L^∞ ist subtiler. Elemente von L^∞(μ)^∗ können mit begrenzten, vorzeichenbehafteten, endlich additiven Maßen auf S identifiziert werden, die absolut stetig in Bezug auf μ sind. Siehe ba space für weitere Details. Wenn wir das Auswahlaxiom annehmen, ist dieser Raum viel größer als L¹(μ), außer in einigen trivialen Fällen. Saharon Shelah bewies jedoch, dass es relativ konsistente Erweiterungen der Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie (ZF + DC + "Jede Teilmenge der reellen Zahlen hat die Baire-Eigenschaft") gibt, in denen das Dual von ℓ^∞ ℓ¹ ist. ⓘ

Einbettungen

Wenn 1 ≤ p < q ≤ ∞, dann enthält Lp(S, μ) Funktionen, die lokal singulärer sind, während die Elemente von Lq(S, μ) stärker verteilt sein können. Betrachten wir das Lebesgue-Maß auf der Halbgeraden (0, ∞). Eine stetige Funktion in L¹ kann in der Nähe von 0 aufblähen, muss aber hinreichend schnell gegen unendlich abfallen. Andererseits müssen stetige Funktionen in L^∞ überhaupt nicht abklingen, dürfen aber auch nicht aufblasen. Das genaue technische Ergebnis lautet wie folgt. Nehmen wir an, dass 0 < p < q ≤ ∞. Then:

1. L^q(S, μ) ⊂ L^p(S, μ), wenn und nur wenn S keine Mengen endlicher, aber beliebig großer Maße enthält, und
2. Lp(S, μ) ⊂ Lq(S, μ) dann und nur dann, wenn S keine Mengen mit einem von Null verschiedenen, aber beliebig kleinen Maß enthält. ⓘ

Beide Bedingungen gelten nicht für die reelle Linie mit Lebesgue-Maß. In beiden Fällen ist die Einbettung stetig, da der Identitätsoperator eine beschränkte lineare Abbildung von Lq nach Lp im ersten Fall, und im zweiten Fall von Lp nach Lq. (Dies ist eine Folge des Satzes vom geschlossenen Graphen und Eigenschaften von Lp-Räumen.) Wenn der Bereich S ein endliches Maß hat, kann man in der Tat kann man die folgende explizite Berechnung unter Verwendung der Hölderschen Ungleichung durchführen ⓘ

$$\ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}$$

und führt zu

$$\ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}.$$

ⓘ

Die in der obigen Ungleichung auftretende Konstante ist optimal in dem Sinne, dass die Operatornorm der Identität I : L^q(S, μ) → Lp(S, μ) genau

$$\|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}$$

der Fall, dass die Gleichheit genau dann erreicht wird, wenn f = 1 μ-fast-überall. ⓘ

Dichte Unterräume

In diesem Abschnitt nehmen wir an, dass: 1 ≤ p < ∞. ⓘ

Sei (S, Σ, μ) ein Maßraum. Eine integrable einfache Funktion f auf S ist eine Funktion der Form

$$f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}$$

wobei a_j skalar ist, A_j ∈ Σ ein endliches Maß hat und ${\mathbf {1} }_{A_{j}}$ ist die Indikatorfunktion der Menge $A_{j}$Für j = 1, ..., n. Durch die Konstruktion des Integrals ist der Vektorraum der integrierbaren einfachen Funktionen dicht in Lp(S, Σ, μ). ⓘ

Mehr lässt sich sagen, wenn S ein normaler topologischer Raum ist und Σ seine Borel-σ-Algebra, d.h. die kleinste σ-Algebra von Teilmengen von S, die die offenen Mengen enthält. ⓘ

Angenommen, V ⊂ S ist eine offene Menge mit μ(V) < ∞. Es kann bewiesen werden, dass es für jede in V enthaltene Borel-Menge A ∈ Σ und für jedes ε > 0 eine geschlossene Menge F und eine offene Menge U gibt, so dass

$$F\subset A\subset U\subset V\quad {\text{and}}\quad \mu (U)-\mu (F)=\mu (U\setminus F)<\varepsilon$$

ⓘ

Es folgt, dass es eine stetige Urysohn-Funktion 0 ≤ φ ≤ 1 auf S gibt, die 1 auf F und 0 auf S ∖ U ist, mit

$$\int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon \,.$$

ⓘ

Wenn S durch eine zunehmende Folge (Vn) offener Mengen mit endlichem Maß abgedeckt werden kann, dann ist der Raum der p-integrablen stetigen Funktionen dicht in Lp(S, Σ, μ). Genauer gesagt, kann man beschränkte stetige Funktionen verwenden, die außerhalb einer der offenen Mengen Vn verschwinden. ⓘ

Dies gilt insbesondere, wenn S = Rd ist und wenn μ das Lebesgue-Maß ist. Der Raum der kontinuierlichen und kompakt unterstützten Funktionen ist dicht in Lp(Rd). Ebenso ist der Raum der integrierbaren Stufenfunktionen dicht in Lp(Rd); dieser Raum ist die lineare Spannweite von Indikatorfunktionen begrenzter Intervalle, wenn d = 1, von begrenzten Rechtecken, wenn d = 2 und allgemeiner von Produkten begrenzter Intervalle. ⓘ

Mehrere Eigenschaften allgemeiner Funktionen in Lp(Rd) werden zunächst für kontinuierliche und kompakt unterstützte Funktionen (manchmal für Stufenfunktionen) bewiesen und dann durch Dichte auf alle Funktionen ausgedehnt. Auf diese Weise wird zum Beispiel bewiesen, dass Translationen auf Lp(Rd) kontinuierlich sind, und zwar im folgenden Sinne

$$\forall f\in L^{p}\left(\mathbf {R} ^{d}\right):\quad \left\|\tau _{t}f-f\right\|_{p}\to 0,\quad {\text{as }}\mathbf {R} ^{d}\ni t\to 0,$$

wobei

$$(\tau _{t}f)(x)=f(x-t).$$

ⓘ

Lp (0 < p < 1)

Sei (S, Σ, μ) ein Maßraum. Wenn 0 < p < 1, dann kann Lp(μ) wie oben definiert werden: Es ist der Vektorraum derjenigen messbaren Funktionen f, für die gilt

$$N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .$$

<span title="Aus: Englische Wikipedia, Abschnitt "Lp (0 < p < 1)"" class="plainlinks"><_p_<_1) ⓘ

Wie zuvor können wir die p-Norm || f ||_p = N_p( f )^1/p einführen, aber || - ||_p erfüllt in diesem Fall nicht die Dreiecksungleichung und definiert nur eine Quasi-Norm. Die Ungleichung (a + b)^p ≤ a^p + b^p, gültig für a, b ≥ 0, impliziert, dass (Rudin 1991, §1.47)

$$N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)$$

und somit ist die Funktion

$$d_{p}(f,g)=N_{p}(f-g)=\|f-g\|_{p}^{p}$$

eine Metrik auf Lp(μ) ist. Der resultierende metrische Raum ist vollständig; die Verifikation ist ähnlich wie im bekannten Fall, wenn p ≥ 1. <span title="Aus: Englische Wikipedia, Abschnitt "Lp (0 < p < 1)"" class="plainlinks"><_p_<_1) ⓘ

In diesem Fall erfüllt Lp eine umgekehrte Minkowski-Ungleichung, d. h. für u, v in Lp

$${\Big \|}|u|+|v|{\Big \|}_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}$$

<span title="Aus: Englische Wikipedia, Abschnitt "Lp (0 < p < 1)"" class="plainlinks"><_p_<_1) ⓘ

Dieses Ergebnis kann verwendet werden, um die Clarkson'schen Ungleichungen zu beweisen, die wiederum dazu dienen, die einheitliche Konvexität der Räume Lp für 1 < p < ∞ zu beweisen (Adams & Fournier 2003). <span title="Aus: Englische Wikipedia, Abschnitt "Lp (0 < p < 1)"" class="plainlinks"><_p_<_1) ⓘ

Der Raum Lp für 0 < p < 1 ist ein F-Raum: Er lässt eine vollständige translationsinvariante Metrik zu, für die die Vektorraumoperationen stetig sind. Er ist auch lokal begrenzt, ähnlich wie im Fall p ≥ 1. Er ist das prototypische Beispiel für einen F-Raum, der für die meisten vernünftigen Maßräume nicht lokal konvex ist: In ℓp oder Lp([0, 1]) ist jede offene konvexe Menge, die die Funktion 0 enthält, für die p-Quasi-Norm unbeschränkt; daher besitzt der 0-Vektor kein fundamentales System konvexer Nachbarschaften. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn der Maßraum S eine unendliche Familie von disjunkten messbaren Mengen mit endlichem positivem Maß enthält. <span title="Aus: Englische Wikipedia, Abschnitt "Lp (0 < p < 1)"" class="plainlinks"><_p_<_1) ⓘ

Die einzige nichtleere konvexe offene Menge in Lp([0, 1]) ist der gesamte Raum (Rudin 1991, §1.47). Daraus folgt insbesondere, dass es auf Lp([0, 1]) keine linearen Funktionale ungleich Null gibt: Der Dualraum ist der Nullraum. Im Fall des Zählmaßes auf den natürlichen Zahlen (das den Sequenzraum Lp(μ) = ℓp erzeugt), sind die beschränkten linearen Funktionale auf ℓp genau die, die auf ℓ¹ beschränkt sind, nämlich die, die durch Sequenzen in ℓ^∞ gegeben sind. Obwohl ℓp nicht-triviale konvexe offene Mengen enthält, gibt es nicht genug von ihnen, um eine Basis für die Topologie zu liefern. <span title="Aus: Englische Wikipedia, Abschnitt "Lp (0 < p < 1)"" class="plainlinks"><_p_<_1) ⓘ

Die Situation, dass es keine linearen Funktionale gibt, ist für die Zwecke der Analyse höchst unerwünscht. Im Fall des Lebesgue-Maßes auf Rn ist es üblich, statt mit Lp für 0 < p < 1 mit dem Hardy-Raum Hp zu arbeiten, wann immer dies möglich ist, da dieser eine ganze Reihe linearer Funktionale enthält: genug, um Punkte voneinander zu unterscheiden. Das Hahn-Banach-Theorem versagt jedoch auch in Hp für p < 1 (Duren 1970, §7.5). <span title="Aus: Englische Wikipedia, Abschnitt "Lp (0 < p < 1)"" class="plainlinks"><_p_<_1) ⓘ

L0, der Raum der messbaren Funktionen

Der Vektorraum der (Äquivalenzklassen von) messbaren Funktionen auf (S, Σ, μ) wird mit L⁰(S, Σ, μ) bezeichnet (Kalton, Peck & Roberts 1984). Sie enthält definitionsgemäß alle Lp und ist mit der Topologie der Konvergenz im Maß ausgestattet. Wenn μ ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist (d. h., μ(S) = 1), wird diese Art der Konvergenz als Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit bezeichnet. ⓘ

Die Beschreibung ist einfacher, wenn μ endlich ist. Wenn μ ein endliches Maß auf (S, Σ) ist, lässt die Funktion 0 für die Konvergenz im Maß das folgende fundamentale System von Nachbarschaften zu

$$V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\qquad \varepsilon >0$$

ⓘ

Die Topologie kann durch eine beliebige Metrik d der folgenden Form definiert werden

$$d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)$$

ⓘ

definiert werden, wobei φ begrenzt stetig konkav und nicht abnehmend auf [0, ∞) ist, mit φ(0) = 0 und φ(t) > 0, wenn t > 0 ist (zum Beispiel φ(t) = min(t, 1)). Eine solche Metrik wird Lévy-Metrik für L⁰ genannt. Unter dieser Metrik ist der Raum L⁰ vollständig (er ist wieder ein F-Raum). Der Raum L⁰ ist im Allgemeinen nicht lokal begrenzt und nicht lokal konvex. ⓘ

Für das unendliche Lebesgue-Maß λ auf Rn könnte die Definition des fundamentalen Nachbarschaftssystems wie folgt modifiziert werden ⓘ

$$W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon {\text{ and }}|x|<{\frac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}$$

ⓘ

Der resultierende Raum L⁰(Rn, λ) fällt als topologischer Vektorraum mit L⁰(Rn, g(x) dλ(x)) zusammen, für jede positive λ-integrable Dichte g. ⓘ

Verallgemeinerungen und Erweiterungen

Schwache Lp

Sei (S, Σ, μ) ein Maßraum und f eine messbare Funktion mit reellen oder komplexen Werten auf S. Die Verteilungsfunktion von f ist für t ≥ 0 definiert durch

$$\lambda _{f}(t)=\mu \left\{x\in S:|f(x)|>t\right\}$$

ⓘ

Wenn f in L^p(S, μ) für irgendein p mit 1 ≤ p < ∞ ist, dann durch die Markovsche Ungleichung,

$$\lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}$$

ⓘ

Eine Funktion f liegt im schwachen Raum Lp(S, μ) oder L^p,w(S, μ), wenn es eine Konstante C > 0 gibt, so dass für alle t > 0,

$$\lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}$$

ⓘ

Die beste Konstante C für diese Ungleichung ist die L^p,w-Norm von f, und wird bezeichnet durch

$$\|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).$$

ⓘ

Die schwachen Lp stimmen mit den Lorentz-Räumen L^p,∞ überein, daher wird diese Schreibweise auch zur Bezeichnung dieser Räume verwendet. ⓘ

Die L^p,w-Norm ist keine echte Norm, da die Dreiecksungleichung nicht gilt. Dennoch gilt für f in Lp(S, μ),

$$\|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}$$

und insbesondere Lp(S, μ) ⊂ L^p,w(S, μ). ⓘ

In der Tat, man hat

$$\|f\|_{L^{p}}^{p}=\int |f(x)|^{p}d\mu (x)\geq \int _{\{|f(x)|>t\}}t^{p}+\int _{\{|f(x)|\leq t\}}|f|^{p}\geq t^{p}\mu (\{|f|>t\}),$$

und durch Erhöhen auf die Potenz 1/p und Nehmen des Supremums in t erhält man ⓘ

$$\|f\|_{L^{p}}\geq \sup _{t>0}t\;\mu (\{|f|>t\})^{1/p}=\|f\|_{L^{p,w}}.$$

ⓘ

Unter der Konvention, dass zwei Funktionen gleich sind, wenn sie μ fast überall gleich sind, sind die Räume L^p,w vollständig (Grafakos 2004). ⓘ

Für jedes 0 < r < p ist der Ausdruck

$$|||f|||_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-1/r+1/p}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{1/r}$$

mit der L^p,w-Norm vergleichbar. Für den Fall p > 1 definiert dieser Ausdruck eine Norm, wenn r = 1. Für p > 1 sind die schwachen Lp-Räume also Banach-Räume (Grafakos 2004). ⓘ

Ein wichtiges Ergebnis, das die L^p,w-Räume verwendet, ist der Marcinkiewicz-Interpolationssatz, der breite Anwendung in der harmonischen Analyse und bei der Untersuchung singulärer Integrale findet. ⓘ

Gewichtete Lp-Räume

Wie zuvor betrachten wir einen Maßraum (S, Σ, μ). Sei w : S → [a, ∞), a > 0 eine messbare Funktion. Der w-gewichtete Lp-Raum ist definiert als Lp(S, w dμ), wobei w dμ das Maß ν bedeutet, das durch ⓘ

$$\nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,$$

ⓘ

oder, im Sinne der Radon-Nikodym-Ableitung, w = dν/dμ ist die Norm für L^p(S, w dμ) explizit

$$\|u\|_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{1/p}$$

ⓘ

Als Lp-Räume haben die gewichteten Räume nichts Besonderes, da Lp(S, w dμ) gleich Lp(S, dν) ist. Aber sie sind der natürliche Rahmen für mehrere Ergebnisse in der harmonischen Analysis (Grafakos 2004); sie erscheinen zum Beispiel im Muckenhoupt-Theorem: für 1 < p < ∞ ist die klassische Hilbert-Transformation auf Lp(T, λ) definiert, wobei T den Einheitskreis und λ das Lebesgue-Maß bezeichnet; der (nichtlineare) Hardy-Littlewood-Maximaloperator ist auf Lp(Rn, λ) beschränkt. Der Satz von Muckenhoupt beschreibt Gewichte w, so dass die Hilbert-Transformation auf Lp(T, w dλ) und der Maximaloperator auf Lp(Rn, w dλ) beschränkt bleiben. ⓘ

Lebesgue-Räume auf Mannigfaltigkeiten

Auf einer abstrakten differenzierbaren Mannigfaltigkeit, die nicht in einen euklidischen Raum eingebettet ist, existiert zwar kein kanonisches Maß und somit kann man keine $L^{p}$-Funktionen definieren. Es ist aber trotzdem möglich, ein Analogon zum $L^{p}$-Raum zu definieren, indem man statt Funktionen auf der Mannigfaltigkeit sogenannte 1-Dichten untersucht. Weitere Informationen sind im Artikel Dichtebündel zu finden. ⓘ

Vektorwertige Lp-Räume

Bei einem Maßraum (X, Σ, μ) und einem lokal-konvexen Raum E kann man auch Räume von p-integrablen E-wertigen Funktionen auf verschiedene Weise definieren. Die gebräuchlichsten davon sind die Räume der Bochner-integrierbaren und der Pettis-integrierbaren Funktionen. Unter Verwendung des Tensorprodukts von lokal konvexen Räumen können diese definiert werden als $L_{\mu }^{p}\left(X,\Sigma ,\mu \right)\otimes _{\pi }E$ und $L_{\mu }^{p}\left(X,\Sigma ,\mu \right)\otimes _{\varepsilon }E$; wobei $\otimes _{\pi }$ und $\otimes _{\varepsilon }$ die projektiven bzw. injektiven Tensorprodukte von lokal konvexen Räumen bezeichnen. Wenn E ein Kernraum ist, zeigte Grothendieck, dass diese beiden Konstruktionen nicht voneinander zu unterscheiden sind. ⓘ

Beispiele

Lebesgue-Räume bezüglich des Lebesgue-Maßes

Ein sehr wichtiges Beispiel von $L^{p}$-Räumen ist durch einen Maßraum $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ gegeben, ${\mathcal {A}}$ ist dann die borelsche σ-Algebra ${\mathcal {B}}(\Omega )$, und $\mu$ das Lebesgue-Maß $\lambda$. In diesem Zusammenhang wird die kürzere Notation $L^{p}(\Omega ):=L^{p}(\Omega ,{\mathcal {B}}(\Omega ),\lambda )$ benutzt. ⓘ

Wichtige Eigenschaften

Vollständigkeit

Nach dem Satz von Fischer-Riesz sind die $L^{p}$-Räume vollständig für alle $1\leq p\leq \infty$, also Banachräume. ⓘ

Kompaktheit

Der Satz von Kolmogorow-Riesz beschreibt präkompakte bzw. kompakte Mengen in L^p-Räumen. ⓘ

Bochner-Lebesgue-Räume

Die Bochner-Lebesgue-Räume sind eine Verallgemeinerung der bisher betrachteten Lebesgue-Räume. Sie umfassen im Gegensatz zu den Lebesgue-Räumen banachraumwertige Funktionen. ⓘ

Definition

Sei $(E,\|{\cdot }\|)$ ein Banachraum und $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Für $0<p<\infty$ definiert man

${\mathcal {L}}^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;E,\|\cdot \|):=\left\{\,f\colon \Omega \to E\;{\Bigg |}\;f\mathrm {\ ist\ messbar} ,\,\int _{\Omega }\|f(x)\|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)<\infty \,\right\}$,

wobei sich „messbar“ auf die borelsche σ-Algebra der Normtopologie von $E$ bezieht. Die Abbildung

$\|f\|_{{\mathcal {L}}^{p}}:=\left(\int _{\Omega }\|f(x)\|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{\frac {1}{p}}$

ist ebenfalls eine Halbnorm auf ${\mathcal {L}}^{p}$, wenn $1\leq p$ gilt. Die Bochner-Lebesgue-Räume $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;E,\|\cdot \|)$ sind nun genauso wie die Lebesgue-Räume als Faktorraum definiert. ⓘ

Eigenschaften

Für die Bochner-Lebesgue-Räume gelten ebenfalls die Aussagen, die unter Eigenschaften aufgeführt sind. Nur bei den Dualräumen gibt es einen Unterschied. Für alle $1<p<\infty$ gilt nämlich

$L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;E)'\cong L^{q}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu ;E'),$

wobei $q$ durch ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$ definiert ist und $E'$ den Dualraum von $E$ bezeichnet. Entsprechend sind Bochner-Lebesgue-Räume nur dann reflexiv, wenn der Banachraum $E$ reflexiv ist. Ebenso sind die Bochner-Lebesgue-Räume nur separabel, wenn der Zielraum $E$ separabel ist. ⓘ

Beispiel: Zufallsvariable

In der Stochastik betrachtet man $L^{p}$-Räume, die mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ ausgestattet sind. Unter einer Zufallsvariable versteht man dann eine messbare Funktion $X\colon \Omega \rightarrow E$. Weiter ist der Erwartungswert für quasiintegrierbare $X$ als

$E(X):=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P\in E$

definiert. Zufallsvariablen, die $L^{1}$-Funktionen sind, besitzen also einen endlichen Erwartungswert. Des Weiteren sind Zufallsvariablen genau dann in $L^{2}$, wenn man ihnen eine Varianz zuweisen kann. Da das für praktische Anwendungen häufig gefordert ist, sind $L^{p}$-Räume gerade in der Stochastik wichtig. ⓘ

Den Lebesgue-Räumen verwandte Räume

Lp für p < 1

Ein Kreis bzgl. (2/3)-Quasinorm in zwei Dimensionen, d. h. in $L^{\frac {2}{3}}\left(\left\{0,1\right\},{\mathcal {P}}\left(\left\{0,1\right\}\right),\mu \right)$, mit $\mu$ Zählmaß, ist eine Astroide. Die Kreisscheibe ist nicht konvex.

<span title="Aus: Deutsche Wikipedia, Abschnitt "Lp für p < 1"" class="plainlinks"><_1 ⓘ

Es gibt auch die Verallgemeinerung der $L^{p}$-Räume $L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)$ bzw. $L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu ;E\right)$ für $0<p<1$. Diese sind allerdings keine Banachräume mehr, weil die entsprechende Definition keine Norm liefert. Immerhin sind diese Räume vollständige topologische Vektorräume mit der Quasinorm

${\begin{aligned}N_{p}\colon L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)&\longrightarrow \mathbb {R} \\f&\longmapsto \left(\int _{X}\|f\|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\end{aligned}}$

bzw. der Pseudonorm oder Fréchet-Metrik

${\begin{aligned}\varrho _{p}\colon L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)&\longrightarrow \mathbb {R} \\f&\longmapsto (N_{p}(f))^{p}=\int _{X}\|f\|^{p}\,\mathrm {d} \mu \end{aligned}}$

oder der translationsinvarianten Metrik

${\begin{aligned}d_{p}\colon L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)\times L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)&\longrightarrow \mathbb {R} \\(f,g)&\longmapsto \varrho _{p}(f-g)=\int _{X}\|f-g\|^{p}\,\mathrm {d} \mu \mathrm {.} \end{aligned}}$

Für die Quasinorm wird die Dreiecksungleichung abgeschwächt, die positive Homogenität bleibt erhalten:

$N_{p}(f+g)\leq 2^{{\frac {1}{p}}-1}\cdot (N_{p}(f)+N_{p}(g)),\quad N_{p}(\lambda f)=|\lambda |N_{p}(f)\mathrm {.}$

Für die Fréchet-Metrik wird hingegen die positive Homogenität abgeschwächt, die Dreiecksungleichung bleibt erhalten:

${\begin{aligned}\varrho _{p}(f+g)&\leq \varrho _{p}(f)+\varrho _{p}(g),\\\varrho _{p}(\lambda f)&=|\lambda |^{p}\cdot \varrho _{p}(f){\stackrel {|\lambda |\leq 1}{\leq }}|\lambda |\varrho _{p}(f),\\\varrho _{p}(-f)&=\varrho _{p}(f)\mathrm {.} \end{aligned}}$ <span title="Aus: Deutsche Wikipedia, Abschnitt "Lp für p < 1"" class="plainlinks"><_1 ⓘ

Diese Räume sind im Allgemeinen nicht lokalkonvex, der Satz von Hahn-Banach also im Allgemeinen nicht anwendbar, sodass es möglicherweise „sehr wenige“ lineare stetige Funktionale gibt. Insbesondere ist nicht gesichert, dass die schwache Topologie auf $L^{p}\left(X,{\mathcal {A}},\mu \right)$ Punkte trennen kann. Ein derartiges Beispiel liefert $L^{p}([\,0,1\,])$ mit $(L^{p}([\,0,1\,]))'=\{\,0\,\}$. <span title="Aus: Deutsche Wikipedia, Abschnitt "Lp für p < 1"" class="plainlinks"><_1 ⓘ

Sobolev-Räume

Neben den schon angeführten Sobolev-Räumen mit quadratintegrierbaren Funktionen, gibt es noch weitere Sobolev-Räume. Diese werden mithilfe der schwachen Ableitungen definiert und umfassen $p$-integrierbare Funktionen. Verwendet werden diese Räume insbesondere zur Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen. ⓘ